Pertemuan ke-8 Distribusi Probabilitas Variabel Acak Diskrit Dr.Eng. Agus S. Muntohar Geotechnical Engineering Division Department of Civil Engineering 2
POKOK BAHASAN 5.1 Distribusi Bernoulli 5.2 Distribusi Binomial 5.3 Distribusi Binomial Negatif 5.4 Distribusi Geometrik 5.5 Distribusi Hipergeometrik 5.6 Distribusi Poisson 5.7 Rangkuman Distribusi Diskrit 2
5.1 DISTRIBUSI BERNOULLI Kriteria: 1. Hanya terdapat dua kemungkinan keluaran (Outcome) : sukses atau gagal, 2. Probabilitas kejadian gagal (atau sukses) adalah konstan. 3. Merupakan percobaan yang independen (keluaran percobaan tidak mempengaruhi keluaran dari percobaan lainnya) Contoh : Melempar koin, hanya terdapat kemungkinan sisi gambar atau sisi angka nominal uang. 3
Probability mass function (pmf) Bernoulli: untuk untuk yang lain p=0.3 p=0.5 p=0.7 p x (x) 1.00 0.90 0.80 0.70 0.60 0.50 0.40 0.30 0.20 0.10 0.00 0 1 x p x (x) 1.00 0.90 0.80 0.70 0.60 0.50 0.40 0.30 0.20 0.10 0.00 0 1 x p x (x) 1.00 0.90 0.80 0.70 0.60 0.50 0.40 0.30 0.20 0.10 0.00 0 1 x 4
Mean distribusi Bernoulli Varian distribusi Bernoulli 5
Contoh 5.1 Pada smester 6 di Jurusan Teknik Kelutan setiap mahasiswa akan mendapatkan Tugas Rancang Besar II (Perancangan Struktur Lepas Pantai Terpancang - Statis). Derdapat dua software yang sudah familiar digunakan untuk mengerjakan TRB II, yakni GT Strudl dan SACS. Data yang ada selama ini menunjukkan 80% mahasiswa menggunakan SACS karena lebih friendly use daripada GT Strudl. Jika variabel acak X menyatakan mahasiswa yang menggunakan SACS, maka dapat dibentuk distribusi probabilitas sebagai berikut: X =1,untuk SACS =0,untuk GT Strudl 6
p=0.8 Maka pmf Bernoulli denga parameter p = 0.8 dinotasikan : =0.8, x = 1 =0.2, x = 0 =0.0, x 0 atau 1 Atau p x (x) 1.00 0.90 0.80 0.70 0.60 0.50 0.40 0.30 0.20 0.10 0.00 0 1 x 7
5.2 DISTRIBUSI BINOMIAL Kriteria: 1. Hanya terdapat satu dari dua keluaran yang memungkinan, yakni sukses atau gagal. 2. Percobaan/pengujian dilakukan dalam kondisi yang sama dan dengan probabilitas sukses p yang konstan. 3. Jumlah percobaan/pengujian n yang sudah titetapkan (fixed). 4. Keluaran percobaan/pengujian berifat independen. 5. Variabel acak X adalah jumlah total dari n kejdian sukses dari n percobaan. 8
pmf Binomial variabel acak: Untuk x=0,1,,n ; 0 < p < 1 = 0 Untuk yang lainnya Cumulative Density function (cdf) distribusi Binomial: dengan 9
Mean distribusi Binomial: varian distribusi Binomial: 10
Contoh 5.2 Seorang mahasiswa Jurusan Teknik Kelutan sedang melakukan pengujian besarnya energi gelombang di 8 pantai berbeda dalam penelitianya untuk pengembangan alat pembangkit listrik tenaga gelombang laut. Bila X menyatakan jumlah pantai yang memiliki kuat arus sesuai kriteria minimum alat pembangkit tenaga gelombang laut, dengan probabilitas 0.8. Sehingga dapat ditentukan distribusi probabilitasnya sebagai berikut. 11
Pmf : cdf 12
x p x (x) F x (X) 0 0.000 0.000 1 0.000 0.000 2 0.001 0.001 3 0.009 0.010 4 0.046 0.056 5 0.147 0.203 6 0.294 0.497 7 0.336 0.832 8 0.168 1.000 13
5.3 DISTRIBUSI BINOMIAL NEGATIF Kriteria: 1. Eksperimen terdiri dari serangkaian percobaan yang saling bebas 2. Setiap percobaan (trial) hanya dapat menghasilkan satu dari dua keluaran yang mungkin, sukses atau gagal 3. Probabilitas sukses p dan, demikian pula, probabilitas gagl q=1-p selalu konstan dalam setiap percobaan. 4. Eksperiman terus berlanjut (percobaan terus dilakukan) sampai sejumlah total r sukses diperoleh, dimana r berupa bilangan bulat tertentu. 14
Pmf distribusi binom negatif Cdf distribusi binom negatif = 0 untuk yg lain Dengan 15
Mean dan varian distribusi binom negative 16
Contoh 5.3 Sebuah perusahaan menawarkan excavator untuk keperluan reklamasi pantai yang dilakukan pemerintah daerah. Dari pengalaman-penggalaman sebelumnya perusahaan mengestimasikan 10 persen unit excavator yang dikirim mengalami gangguan dalam beberapa hal. Jika dibutuhkan 5 unit excavator, tentukan berapa jumlah minimum yang dikirm agar 95 persen unit excavator dipastikan tidak akan mengalami ganguan. 17
Dengan probabilitas sukses x Px(X=x;5,0.9) Fx(X=x;5,0.9) 5 0.5905 0.5905 6 0.2952 0.8857 7 0.0886 0.9743 8 0.0207 0.9950 9 0.0041 0.9991 10 0.0007 0.9999 Sehingga jumlah minimum yang diperlukan adalah 7 unit 18
5.4 DISTRIBUSI GEOMETRIK Pada distribusi binomial negatif, jika r=1 atau dengan kata lain jumlah kesukesnan yang diperlukan adalah satu, maka distribusi bibom negatif menjadi distribusi geometrik dengan pmf: = 0 untuk yang lain 19
Mean dan varian distribusi gemoterik 20
5.5 DISTRIBUSI HIPERGEOMETRIK Kriteria: 1. Populasi berukuran m 2. Setiap anggota populasi dapat dinyatakan sebagai sukses atau gagal 3. Suatu sampel berukuran n, dipilih dari s populasi tanpa pergantian dimana setiap himpunan bagian beranggotakan n yang dapat dibentuk dari populasi memiliki kesempatan yang sama untuk terpilih menjadi sampel. 21
Pmf distribusi hipergeometrik: m=populasi, n=sampel, p=kejadian sukses, q=kejadian gagal 22
Mean dan varian distribusi hipergeometrik: 23
Contoh 5.5 100 uint mesin las akan dikirim untuk pada perusahaan konstruksi anjungan lepas pantai dengan spesifikasi yang sama tapi ditemukan 2% mesin las megalami disfungsi. Agar pengiriman dapat diterima, tidak boleh lebih dari satu unit dari 10 unit yang dipilih secara acak mengalami disfungsi. Berapakah probabilitasnya? 24
x px(x=x) Fx(X=x) 0 0.809091 0.809091 1 0.181818 0.990909 25
5.6 DISTRIBUSI POISSON Distribusi poisson digunakan untuk mengamati jumlah kejadiankejadian khusus yang terjadi dalam satu satuan waktu atau ruang Kriteria: 1. Suatu eksperimen yang meliputi pencacahan banyaknya suatu peristiwa terjadi dalam satuan unit yang ditentukan. Unit yang ditentukan ini biasanya adalah unit waktu atau ruang 2. Probabilitas peristiwa tersebut adalah sama untuk setiap satuan unit 26
3. Banyaknya peristiwa yang terjadi dalam setiap satuan unit saling bebas terhadap banyaknya peristiwa yang terjadi pada setiap satuan unit yang lainnya. Jika p sangat kecil dan n cenderung tidak terbatas, sehingga. Maka pfm distribusi poisson adalah sebagai berikut: =0 untuk yang lain 27
Dan cdf distribusi poisson adalah: Sehingga 28
Mean dan varian distribusi poisson: Hubungan mean count v dan mean rate λ : 29
Contoh 5.6 Dikarenakan badai menyebabkan tinggi gelombang di perairan Natuna melebihi batas aman operasi sebuah anjungan pengeboran lepas pantai yang mengakibatkan anjungan tersebut tidak dapat beroperasi (downtime) selama 10 hari dalam 20 tahun periode. Para crew anjungan (roughneck) beranggapan bahwa probabilitas anjungan mengalami downtime lebih dari satu hari selama kurun waktu tersebut lebih kecil dari 0.1. Apakah anggapan tersebut benar? 30
Rata-rata downtime per tahun adalah 0.5, sehingga v =0.5 dan Maka anggapan para crew roughneck anjugan dapat dibenarkan 31