MATERI BAB I RUANG SAMPEL DAN KEJADIAN Pendahuluan Ruang Sampel Kejadian Dua Kejadian Yang Saling Lepas Operasi Kejadian BAB II MENGHITUNG TITIK SAMPEL Prinsip Perkalian/ Aturan Dasar Notasi Faktorial Permutasi Permutasi (Seluruhnya) Dengan Beberapa Unsur Yang Sama Permutasi Melingkar Kombinasi Diagram Pohon BAB III PELUANG KEJADIAN Definisi Klasik Beberapa Hukum Peluang Kejadian Saling Bebas BAB IV PELUANG BERSYARAT DAN ATURAN BAYES Peluang Bersyarat Aturan Bayes BAB I RUANG SAMPEL DAN KEJADIAN A. Pendahuluan Dari jaman dulu sampai sekarang orang sering berhadapan dengan peluang. Misalnya orang melambungkan satu kali mata uang logam bersisi gambar dan bersisi angka, maka peluang muncul sisi gambar = peluang muncul sisi angka; kemungkinan muncul sisi gambar adalah 1 dari 2, yaitu peluangnya muncul sisi gambar adalah 1/2, demikian pula peluangnya muncul sisi angka adalah 1/2. Misalnya dalam permainan sepakbola, seorang wasit melambungkan mata uang logam satu kali untuk mengundi tempat bermain masing-masing kesebelasan yang berhadapan sebagai lawan, upaya wasit melakukan undian seperti ini dipandang adil baik oleh para pemain maupun penonton. 1
B. Ruang Sampel Definisi 1.1 Himpunan dari semua hasil yang mungkin muncul pada suatu percobaan disebut ruang sampel, sedangkan anggota-anggota dari ruang sampel disebut titik sampel. Ruang sampel biasa disimbolkan dengan huruf S, sedangkan anggota-anggota ruang sampel didaftar dengan menuliskannya diantara dua kurung kurawal (alokade), masing-masing anggota dipisah dengan tanda koma. Pada percobaan melempar sebuah dadu sekali maka ruang sampelnya adalah S = {1,2,3,4,5,6} dengan 1 menyatakan banyaknya titik dadu bagian atas ada satu, 2 menyatakan banyaknya titik dadu bagian atas ada dua, dan seterusnya. C. Kejadian Definisi Kejadian atau peristiwa adalah himpunan bagian dari ruang Sampel. Pada umumnya kejadian dibedakan menjadi dua macam, yaitu : Kejadian sederhana; yaitu kejadian yang hanya mempunyai satu titik sampel. {1}, {4}, {5} adalah kejadian-kejadian sederhana dari percobaan melempar sebuah dadu bersisi enam. Kejadian majemuk; yaitu kejadian yang mempunyai lebih dari satu titik sampel. {1,2}, {2,4,6}, {2,3,5} adalah kejadian-kejadian majemuk pada percobaan melempar sebuah dadu bersisi enam. Dari definisi kejadian juga dapat disimpulkan bahwa S dan juga suatu kejadian, karena SS dan S. 2
D. Dua kejadian Yang Saling Lepas (Saling Asing) Dua kejadian dikatakan saling lepas/asing apabila dua kejadian tersebut tidak mungkin terjadi bersama-sama atau tidak mungkin dipertemukan. Dengan kata lain kejadian yang satu meniadakan kejadian yang lain. Pada percobaan melempar sebuah dadu satu kali, kejadian munculnya mata dadu 1 dan kejadian munculnya mata dadu 3 adalah dua kejadian yang saling lepas, sebab apabila muncul mata dadu 1 maka mata dadu 3 tidak mungkin muncul, demikian pula sebaliknya. Dalam notasi himpunan dua kejadian A dan B disebut saling lepas jika AB=. Pada contoh diatas misalkan A adalah kejadian munculnya mata dadu 1 dan B adalah kejadian munculnya mata dadi 3 maka A = {1} dan B={3} sehingga AB=, disimpulkan kejadian A dan B saling lepas E. Operasi Kejadian Operasi antar kejadian antara lain: operasi gabungan (union), operasi irisan (interseksi) dan komplemen Misalkan pada percobaan melempar sebuah dadu sebanyak satu kali dengan ruang sampel S={1,2,3,4,5,6}. Misalkan A kejadian munculnya mata dadu ganjil, maka A={1,3,5}, dan B kejadian munculnya mata dadu prima, maka B={2,3,5}. Dari dua kejadian tersebut dapat dibentuk kejadian majemuk sebagai berikut. Gabungan dua kejadian, P = AB = {1,2,3,5}. Kejadian P adalah kejadian munculnya mata dadu ganjil atau prima. Arti kata atau dalam hal ini adalah kejadian A atau kejadian B atau kejadian kedua-duanya. Jadi gabungan kejadian A dan B ditulis AB adalah himpunan titik sampel yang terdapat pada kejadian A atau kejadian B atau keduaduanya. Irisan dua kejadian Q= AB ={3,5}. Kejadian Q adalah kejadian munculnya mata dadu ganjil dan prima. Kata dan berarti kejadian A terjadi dan bersamaan dengan itu kejadian B terjadi. Jadi irisan kejadian A dan B ditulis AB adalah himpunan titik sampel yang terdapat pada kejadian A dan terdapat pada kejadian B. Operasi Komplemen. Komplemen kejadian A dalam ruang sampel S adalah himpunan semua unsur di S yang tidak termasuk di A. Misalkan A={1,3,5} maka komplemen A ditulis A c atau A = {2,4,6}. 3
BAB II MENGHITUNG TITIK SAMPEL A. Prinsip Perkalian/Aturan Dasar Jika suatu kejadian dapat terjadi dengan n 1 cara yang berbeda, dan kejadian berikutnya (sebut kejadian kedua) terjadi dengan n 2 cara yang berbeda, dan seterusnya maka banyaknya keseluruhan kejadian dapat terjadi secara berurutan dalam n 1.n 2.n 3 cara yang berbeda. Berapa banyak kertas yang harus disediakan, jika tiap kertas ditulisi bilangan 3 angka yang dibentuk dari lima angka 1,3,5,7,9, jika : a. pengulangan tidak diperbolehkan b. pengulangan diperbolehkan. Penyelesaian. a. Misalkan ada tiga kotak untuk mempresentasikan bilangan sebarang. kotak pertama dapat diisi dengan 5 cara, karena pengulangan tidak diperbolehkan maka kotak kedua dan ketiga masing-masing dapat diisi dengan 4 dan 3 cara. Jadi banyaknya bilangan yang dapat terbetuk ada 5.4.3=60 bilangan. Karena tiap bilangan dituliskan pada sebuah kertas maka banyaknya kertas yang harus disediakan ada 60 kertas. b. Karena pengulangan diperbolehkan maka kotak pertama, kedua dan ketiga dapat diisi dengan 5 cara, sehingga banyaknya bilangan yang terbentuk ada 5.5.5 = 125 bilangan. Jadi banyaknya kertas yang harus disediakan ada 125 lembar. 4
B. Notasi Faktorial Definisi 2.1 Hasil kali bilangan bulat positif dari 1 sampai n disebut n faktorial ditulis n!. Jadi n! = 1.2.3..(n-2)(n-1).n ; dan 0! = 1 Hitunglah (a) 5! (b) 10! Penyelesaian (a) 5! = 5.4.3.2.1 = 720 (b) 10! = 10.9.8.7.6.5.4.3.2.1 = 3.628.800 C. Permutasi Permutasi adalah susunan berurutan dari semua atau sebagian elemen suatu himpunan Tentukan banyaknya kata (tidak harus punya arti) yang terdiri dari 3 huruf yang dapat dibentuk dari huruf-huruf dari kata CINTA: a. Apabila setiap huruf yang digunakan tidak boleh lebih dari sekali. b. Apabila setiap huruf bisa diulangi dalam sebarang penyusunan. Penyelesaian. a. Banyaknya kata-kata = pengaturan 5 huruf yang berbeda diambil 3 sekaligus = 5.4.3 = 60 b. Banyaknya kata-kata = 5.5.5 = 125 5
D. Permutasi (Seluruhnya) dengan Beberapa Unsur yang Sama Teorema Banyaknya permutasi yang berlainan dari n elemen bila n1 diantaranya berjenis pertama, n2 berjenis kedua,,nk berjenis ke-k adalah n! n, (n1,n2,n3, nk)) =, n1!n2!n3!...nk! Ada berapa penyusunan kata-kata (tidak harus punya arti) yang diambil dari kata KAKAKKU. Penyelesaian Permutasi dari 7 huruf dimana ada 4 huruf sama yaitu K, dan 2 huruf sama yaitu A adalah 7! 4! 2!1! 7, (4,2,1)) = = 105. Jadi banyaknya penyusunan kata yang mungkin ada 105 kata. dimana n1 + n2 + n3 + + nk = n 6
E. Permutasi Melingkar (Permutasi Siklis) Banyaknya permutasi n unsur berlainan yang disusun melingkar adalah (n-1)! Sekelompok mahasiswa yang terdiri dari 4 orang duduk mengelilingi sebuah meja bundar. Dalam berapa cara keempat orang mahasiswa tadi dapat duduk mengelilingi meja tersebut. Penyelesaian. Keempat mahasiswa tadi dapat diatur mengelilingi meja dalam (4-1)! = 3! = 6 F. Kombinasi Definisi Kombinasi adalah susunan unsur-unsur yang urutannya tidak diperhatikan. Banyaknya kombinasi r elemen yang diambil dari n elemen ditulis C(n,r) atau ncr atau n n atau C r n! r adalah dengan r n. r! (n r)! 7
Suatu tim bola basket terdiri dari 5 orang akan dipilih darin 10 pemain. Berapa macam susunan dapat dipilih? Penyelesaian. Susunan yang dapat dipilih adalah pengambilan 5 orang dari 10 orang yang urutannya tidak diperhatikan, jadi menggunakan banyaknya kombinasi 5 orang yang dipilih dari 10 orang = 10! 5! (10 5)! 10! 5! 5! C(10,5) = 252 G. Diagram Pohon Diagram pohon merupakan cara yang mudah untuk menggambarkan hasil-hasil yang mungkin dari sederetan percobaan jika dari setiap percobaan hasil yang mungkin berhingga. (dalam teori peluang disebut proses stokastik). Diagram pohon bila diperhatikan menurut suatu arah tertentu, mulai dengan satu titik, bercabang dan cabang-cabang itu mungkin bercabangcabang lagi dan cabang-cabang baru itu bercabang lagi dan seterusnya. Jadi menurut suatu arah tertentu, dan banyaknya cabang yang meninggalkan titik itu paling sedikit satu. 8
Melempar 3 mata uang bersama-sama (sisi mata uang angka disingkat A dan gambar disingkat G), hasilnya dapat digambar dengan diagram pohon sebagai berikut. A G A G A G A G A G A G A G AAA GAA AGA AGG AGG GAA GGA GGG Gambar diatas menggambarkan semua hasil yang mungkin terjadi pada percobaan melempar 3 mata uang, sehingga kita bisa menentukan ruang sampel dan peluang setiap kejadian yang berkaitan dengan percobaan tersebut. 9
BAB III PELUANG KEJADIAN A. Definisi Peluang Klasik Jika suatu percobaan menghasilkan n hasil yang tidak mungkin terjadi bersama-sama dam masing-masing mempunyai kesempatan yang sama untuk terjadi, maka peluang suatu kejadian A ditulis A) = n(a), dimana n(a) adalah banyaknya hasil dalam kejadian A. n Setiap hasil dari n hasil yang mungkin muncul dengan kesempatan yang sama itu berpeluang muncul yang sama dengan 1/n. Jika kejadian yang diharapkan tidak pernah terjadi, berarti n(a) = 0, maka A) = 0/n = 0, sehingga peluangnya = 0. Jika kejadian A yang diharapkan itu selalu terjadi terus menerus, berarti n(a)=n maka A) = n/n = 1. Sehingga peluangnya = 1 Kesimpulannya adalah bahwa nilai A) terletak diantara nol dan satu, atau ditulis 0 A) 1. 10
Sebuah mata uang dilempar dua kali, tentukan peluang munculnya sisi gambar pada lemparan pertama dan sisi angka pada lemparan kedua. Penyelesaian. Ruang sampel dari percobaan diatas S= {(A,A), (A,G), (G,A), (G,G)} Misalkan D kejadian munculnya sisi gambar pada lemparan pertama dan sisi angka pada lemparan kedua, maka D = {(G,A)}. Karena semua titik sampel bersempatan sama untuk terjadi maka D) = ¼. B. Beberapa Hukum Peluang Teorema Bila A dan B dua kejadian sembarang, maka AB) = A )+ B) AB). Akibat 1. Bila A dan B kejadian yang saling lepas (terpisah), maka AB) = A) + B). Akibat 2. Bila A1, A2, A3,..., An saling lepas, maka A1 A2A3... An) = A1)+A2)+A3)+...+An) Teorema Bila A dan A kejadian yang saling berkomplemen, maka A ) = 1 A). 11
C. Kejadian Saling Bebas Definisi Kejadian A dan B dikatakan saling bebas jika dan hanya jika A).B) =AB). Jika A dan B dua kejadian yang saling bebas dengan A) =0,2 dan B)=0,3, hitung AB)? Penyelesaian Karena A dan B kejadian yang saling bebas, maka AB)= A).B)=0,2.0,3=0,6 BAB IV PELUANG BERSYARAT DAN ATURAN BAYES A. Peluang Bersyarat Definisi Peluang bersyarat B dengan dengan diketahui A ditentukan oleh A B) BA) =, bila A) > 0 A) Akibat 1 AB)=A) BA) Akibat 2 Bila suatu percobaan, kejadian A1, A2, A3,. dapat terjadi maka A1 A2 A3. ) = A1).A2 A1).A3 A1 A2) 12
Dari seperangkat kartu bridge diambil satu kartu secara berturut-turut sebanyak dua kali. Tentukan peluang pengambilan pertama As dan pengambilan kedua King. Penyelesaian Misalkan A: kejadian pertama (terambil kartu As) B: kejadian kedua (terambil kartu King) Maka A) = 4/52 dan BA)=4/51 (karena satu kartu telah terambil). Jadi AB)=A) BA) = 4/52. 4/51 = 4/663. B. ATURAN BAYES Teorema (Aturan Bayes). Jika kejadian-kejadian B1, B2, B3,, Bk adalah partisi dari ruang sampel S dengan BI) 0, I = 1.2,3,..,k maka untuk setiap kejadian A dalam S denga A) 0 berlaku Bi A) Bi ). A Bi ) BiA) = k k B A) B ). A B ) i1 i i1 i i 13
FKM ingin menyewa Bus dari 3 perusahaan, yaitu 60% bus Jawa Indah, 30% Bus Nusantara, dan 10% bus Kramat Jati. Diketahui juga 9% bus Jawa Indah tidak berac, 20% bus Nusantara tidak berac, dan 6% bus Kramat Jati tidak berac. Jika sebuah Bus yang disewa dan ternyata tidak berac, hitung peluang yang disewa adalah bus Jawa Indah. Penyelesaian Misalkan J : kejadian yang terambil adalah bus Jawa Indah N : kejadian yang terambil adalah bus Nusantara K : kejadian yang terambil adalah bus Kramat Jati J ) A J ) Maka JA) = J ) A J ) N) A N) K) A K) 60%.9% = 60%.9% 30%.20% 10%.6% = 0,45 PEUBAH ACAK Peubah Acak X adalah fungsi dari S ruang sampel ke bilangan real R, X : S R : Menjawab soal multipel choice 2 kali S = {SS, SB, BS, BB} X : Peubah Acak banyaknya jawaban benar, maka X = {0,1,2} S BB SB BS SS X R 0 1 2 14
RUANG BERSAMA PEUBAH ACAK Misalkan didefinisikan terdapat n buah peubah acak X 1, X 2,, X n maka ruang peubah acak dari X 1, X 2,, X n atau ruang bersama X 1, X 2,, X n adalah A X1, X2,, Xn ={(x 1, x 2,, x n ) x i = X(c), c di S, i = 1,2,,n} Sebuah uang koin dilambungkan 3 kali berturut-turut Misal X=banyaknya muncul muka Y=banyak muncul belakang didahului muka Maka A x ={0,1,2,3} dan A y ={0,1,2} Ruang bersama peubah acak X dan Y adalah A xy ={(x,y) x=0,1,2,3 dan y=0,1,2} ={(0,0),(0,1),, (3,2)} A xy adalah himpunan bagian dari R 2 FUNGSI KEPADATAN PELUANG Peubah Acak Diskrit 1. X x) 0 1. f x 0 2. xx X x) 1 3. a X b) b xa X x) 2. PA Kontinu x A f x 3. P ( a dx 1 X b) b a f x dx 15
EKSPEKTASI MATEMATIKA 1. Ekspektasi Matematik (Nilai Harapan) Misal X adalah PA yang mpy FKP f(x) dan u(x) adalah fungsi dari X, maka ekspektasi dari u(x) adalah E[u(X)] = u ( x) f ( x) untuk X diskret xx ~ E[u(X)] = u ~ x f xdx untuk X kontinu 2. Varians dari X V(X) E(X E(X)) 2 E(X ) E(X) 3. Fungsi Pembangkit Momen M(t) = E(e tx ) KEBEBASAN STOKASTIK Definisi Peubah acak X dan Y dikatakan bebas stokastik (independent) jika: f(x,y) = f 1 (x).f 2 (y) 2 2 16
17