Algoritma Simplex Algoritma Simplex adalah algoritma yang digunakan untuk mengoptimalkan fungsi objektif dan memperhatikan semua persamaan kendala. (George Dantizg, USA, 1950) Contoh Kasus Suatu perusahaan ingin memproduksi 2 jenis barang, yaitu kursi dan meja. 1 Kursi membutuhkan material: 2 kg kayu, 1 kg plastik, dan 1 kg besi. 1 meja membutuhkan material 1 kg kayu, 2 kg plastik, dan 3 kg besi. Ternyata, perusahaan itu setiap jamnya hanya mampu menyediakan maksimal 16 kg kayu, 11 kg plastik, dan 15 kg besi. Untuk penjualan, 1 kursi dapat dijual seharga 30$, sedangkan 1 meja dapat dijual seharga 50$. Jadi, berapa banyak kursi dan meja yang harus diproduksi oleh perusahaan itu setiap jamnya agar keuntungannya maksimum?
Penyelesaian 1. Kalimat Matematis. Fungsi Objektif: Kendala: Kendala variabel: 2. Gambar Grafik (0,0) Z = 0 (0,5) Z = 250 (3,4) Z = 290 (7,2) Z = 310 (8,0) Z = 240 Titik optimumnya adalah (7,2). Artinya: Setiap jam, jumlah kursi yang diproduksi haruslah sebanyak 7, dan jumlah meja yang diproduksi haruslah sebanyak 2, sehingga dapat menghasilkan keuntungan sebesar 310$.
Metode grafik tidak bisa digunakan jika variabelnya lebih dari 2. Maka, digunakan metode simpleks, yang akan menutupi kekurangan itu. Cara menggunakan metode simpleks. Buat kalimat matematis: Fungsi Objektif: Kendala: Kendala variabel: Ubah pertidaksamaan menjadi persamaan. Artinya, akan muncul suatu variabel baru yang nilainya tidak diketahui. Kita namakan variabel itu sebagai Variabel Slack, karena berfungsi untuk menampung nilai sisa. menjadi, dimana. Fungsi Objektif: Kendala: Kendala variabel:,,,
Ubah fungsi objektif sehingga nilai kanannya adalah konstanta. (tidak harus positif) Pindahkan ruas kanan ke ruas kiri, menjadi: Dengan demikian, kita dapat menuliskan kembali persamaan matematikanya menjadi: Fungsi Objektif: Kendala: Kendala variabel:,,, Buat TABLE AWAL SIMPLEKS: Tambahkan 1 kolom baru: Variabel Basis : Iterasi I. Tabel Awal Simplex
Selanjutnya, gunakan Tahapan Simplex, berikut: 1. Dari baris Z pilih angka yang negatif dan paling negatif. Maka kolom itu menjadi kolom kunci. 2. Hitung rasio tiap baris. Pilih yang terkecil dan positif. Maka baris itu menjadi baris kunci. Perpotongan baris kunci dan kolom kunci dinamakan pivot. 3. Ubah pivot menjadi 1 dengan operasi perkalian. 4. Ubah sel sel pada kolom kunci (kecuali pivot) menjadi nol dengan operasi matematika. 5. Ubah variabel basis menjadi yang sesuai. 6. Jika di baris Z, masih ada sel yang negatif maka ulangi langkah nomor 1. Jika semua sel sudah positif, maka iterasi selesai, dan kondisi optimum sudah terpenuhi. Bingung??? Langsung Contoh aja.
Iterasi Pertama: Tabel awal: 1. Di baris Z ada 2 nilai negatif, yaitu 30 dan 50. Karena 50 adalah yang paling negatif, maka pilih kolom m sebagai kolom kunci. 2. Hitung rasio di tiap baris kendala. Rasio tiap baris dihitung dengan membagi RHS dengan sel di kolom kunci. Rasio yang terkecil dan positif adalah 5. Artinya kendala ke 3 menjadi baris kunci. Pivot adalah perpotongan antara baris kunci dan kolom kunci. 3. Supaya pivot menjadi "1", maka bagilah baris ke 4 dengan 3, maka menjadi:
4. Selanjutnya, usahakan agar sel sel yang berada di kolom kunci semuanya menjadi nol. (kecuali pivot). Baris pertama yang baru = baris pertama yang lama + 50 * baris ke 4. Baris kedua yang baru = baris kedua yang lama baris ke 4 Baris ketiga yang baru = baris ketiga yang lama 2* baris ke 4. Maka, hasilnya adalah sebagai berikut:
5. Langkah ini sungguh mudah. Cukup mengeluarkan "S3" dari variabel basis dan menggantinya dengan "m". 6. Ternyata, di baris Z masih terdapat sel negatif, yaitu 13.333. Oleh karena itu, kita lakukan iterasi berikutnya dengan menggunakan langkah yang sama seperti pada nomor 1 s/d 6, namun menggunakan tabel yang terakhir diperoleh. Iterasi Kedua: Tabel awal: Dengan menggunakan langkah langkah yang sama persis seperti di atas, maka dapatkan hasil akhir iterasi kedua, sbb: Karena masih ada sel yang negatif di baris Z, maka lakukan iterasi berikutnya.
Iterasi Ketiga: Tabel awal yang digunakan sama seperti hasil akhir iterasi kedua. Dengan langkah langkah yang digunakan tetap sama. Maka kita dapatkan hasil akhir iterasi ketiga sbb: Karena semua sel di baris Z sudah semuanya non negatif, maka iterasi berakhir, dan penyelesaian didapat dengan melihat variabel basis dan RHS yang bersesuaian: k = 7, m = 2 dengan Z(maks)= 310
Ringkasan: Iterasi iterasi Iterasi 1 awal: ====== k = 0, m=0, Z = 0 ====== Iterasi 2 awal: ====== k = 0, m=5, Z = 250 ====== Iterasi 3 awal: ====== k = 3, m=4, Z = 290 ====== Iterasi 4 (3 akhir): ====== k = 7, m=2, Z = 310 ======
Dapat dilihat bahwa semakin iterasi, maka nilai Z akan semakin meningkat. Lebih jauh lagi, jika dilihat dari grafik, sebenarnya iterasi simpleks berjalan mengitari daerah yang dibatasi oleh titik titik pojok dan dia akan berhenti jika dia tidak dapat bergerak lagi. Perhatikan gambar di bawah:
Latihan : Dengan menggunakan metode simpleks: 1. Maksimumkan fungsi dengan kendala sebagai berikut: 2. Maksimumkan fungsi dengan kendala sebagai berikut: Jawaban 1. 2.