Kombinatorial adalah cabang matematika yang berguna untuk menghitung jumlah penyusunan objek-objek tanpa harus mengenumerasi semua kemungkinan susunannya. Contoh : Sebuah password panjangnya 6 sampai 8 karakter. Karakter boleh berupa huruf atau angka. Berapa banyak kemungkinan password yang dapat dibuat? - Abcdef - aaaade - a123fs - erhtgahn -Yutresik - -..
Misalkan, Percobaan 1 : p hasil Percobaan 2 : q hasil maka, hasil Percobaan 1 atau percobaan 2: p+ qhasil
Seorang mahasiswa Politeknik Telkom ingin membelisebuahmotor. Ia dihadapkan untuk memilih pada satu jenis daritigamerkmotor, Honda 3 pilihan, Suzuki 2 pilihan, danyamaha 2 pilihan. Dengan demikian, mahasiswa tersebut mempunyai mempunyai pilihan sebanyak 3 + 2 + 2 = 7 pilihan.
Misalkan, Percobaan 1: p hasil Percobaan 2: q hasil maka, Percobaan1 danpercobaan2: p qhasil
Dosen dengan kode HNP, mengajar mahasiswa kelas PCA-09-01, PCA-09-02, dan PCA-09-03. Misalkan, jumlahmahasiswapca-09-01adalah25 orang, jumlahmahasiswapca-09-02adalah27 orang, danjumlahmahasiswapca-09-03adalah 20 orang. Jika HNP ingin memilih 3 mahasiswa dimana setiap kelas dipilih masing-masing 1 orang. Banyaknya susunan yang dapat dipilih oleh HNP? Penyelesaian:25 x 27 x 20 = 13.500 caradalam memilihsusunantigamuridtersebut.
Misalkan ada n percobaan, masing-masing dengap i hasil 1. Kaidah perkalian(rule of product) p 1 p 2 p n hasil 2. Kaidahpenjumlahan(rule of sum) p 1 + p 2 + + p n hasil
Berapa banyak string biner yang dapat dibentuk jika: a. panjangstring5 bit b. panjangstring8 bit (= 1 byte) Penyelesaian: a. 2 2 2 2 2 = 2 5 = 32 buah b. 2 8 = 256 buah
Berapabanyakbilanganganjilantara1000 dan9999 (termasuk 1000 dan 9999 itu sendiri) yang semua angkanya berbeda Penyelesaian: a. posisisatuan : 5 kemungkinanangka(1, 3, 5, 7 dan9) b. posisi ribuan : 8 kemungkinan angka c. posisi ratusan : 8 kemungkinan angka d. posisi puluhan: 7 kemungkinan angka Banyak bilangan ganjil seluruhnya = (5)(8)(8)(7) = 2240 buah.
Berapabanyakbilanganganjilantara1000 dan9999 (termasuk1000 dan9999 itu sendiri) yang boleh ada angka yang berulang. Penyelesaian: a. posisisatuan : 5 kemungkinanangka(1, 3, 5, 7 dan9); b. posisiribuan : 9 kemungkinanangka(1 sampai9) c. posisiratusan : 10 kemungkinanangka(0 sampai9) d. posisipuluhan: 10 kemungkinanangka(0 sampai9) Banyakbilanganganjilseluruhnya= (5)(9)(10)(10) = 4500
Ketika dua proses dikerjakan dalam waktu yang sama, kita tidak bisa menggunakan prinsip penjumlahan untuk menghitung jumlah cara untuk memilih salah satu dari dua prosestersebut. Untuk menghitung proses tersebut, kita harus mengenalprinsipinklusi-eksklusi.
Setiap byte disusun oleh 8-bit. Berapa banyak jumlah byte yang dimulai dengan 11 atau berakhirdengan 11? Penyelesaian: Misalkan A = himpunanbyteyang dimulaidengan 11, B = himpunan byte yang diakhiri dengan 11 A B= himpunanbyteyang berawaldan berakhir dengan 11 A B= himpunanbyteyang berawaldengan 11 atau berakhir dengan 11
A = (1)(1)(2)(2)(2)(2)(2)(2) = 2 6 = 64 B = (2)(2)(2)(2)(2)(2)(1)(1) = 2 6 = 64, A B = (1)(1)(2)(2)(2)(2)(1)(1) = 2 4 = 16. maka A B = A + B A B = 2 6 + 2 6 16 = 64 + 64 16 = 112.
1. Sebuah restoran menyediakan 10 jenis makanan dan 8 jenis minuman. Jika setiap orang boleh memesan 1 makanan dan 1 minuman, berapa banyak makanan dan minuman yang dapat dipesan! 2. Jabatan presiden mahasiswa dapat diduduki oleh mahasiswa politeknik angkatan 2007 atau 2008. Jika jumlahmahasiswapolitekniktelkomangkatan2007 dan2008 masingmasing400 dan1100 mahasiswa, berapa cara memilih presiden mahasiswa!
3. Sekelompok mahasiswa yang menyukai BatagorRiriterdiridari12 priadan7 wanita. Berapa jumlah cara memilih satu orang pria dan satu orang wanita yang menyukai Batagor tersebut? 4. Sekelompok mahasiswa yang menyukai BatagorRiriterdiridari12 priadan7 wanita. Berapajumlahcaramemilihsatuorangyang menyukai Batagor tersebut?
5. Pelat nomor memuat 2 huruf(boleh sama)diikuti 3 angka dengan digit pertama tidaksamadengan0(bolehadaangkayang sama). Ada berapa pelat nomor berbeda? 6. Pelat nomor memuat 2 huruf berbeda diikuti 3 angka berbeda. Ada berapa pelat nomor berbeda?
7. Terdapat4 jalurbus antaraa danb dan3 jalur bus darib kec. Tentukanbanyaknyacaraagar seseorangdapatbepergiandenganbus daria kec melewatib? 8. Terdapat4 jalurbus antaraa danb dan3 jalur bus darib kec. Tentukanbanyaknyacaraagar seseorang dapat pulang pergi dengan bus dari A kec melewatib
9. Terdapat4 jalurbus antaraa danb dan3 jalur bus darib kec. Tentukanbanyaknyacaraagar seseorang dapat pulang pergi dengan bus dari A kec melewatib dantidakinginmelewati satu jalur lebih dari sekali?
10. PerpustakanPoliteknikTelkom memiliki6 buah buku Sistem Informasi, 10 buku Algoritma dan Pemrograman, serta 15 buku Sistem Komputer. Berapa jumlah cara memilih: a. 3 buahbuku, masing-masingdarijenisyang berbeda b. Sebuahbuku
11. Dari angka 3, 5, 6, 7, dan 9 dibuat bilangan yang terdiri atas tiga angka yang berbeda. Tentukan banyaknya bilangan yang kurang dari 400! 12.Dari angka-angka 1, 2, 3, 4 dibentuk bilangan yang terdiri atas 4 angka yang berlainan. Tentukan banyaknya bilangan yang lebih dari 2000!
Permutasi adalah jumlah urutan berbeda dari pengaturan objek-objek. Permutasi merupakan susunan yang mungkin dibuat dengan memperhatikan urutan. Simbol: P(n, r) P(n, r) = n! ( n r)!
MisalkanS = {p, q, r}. Berapacarayang mungkindalampenyusunan2 hurufpadas sehingga tidak ada urutan yang sama? Penyelesaian:
Berapa banyak kata yang terbentuk dari kata HAPUS? Penyelesaian: P(5, 5) = 5! = 120 buahkata Berapa banyak cara mengurutkan nama 25 orang mahasiswa? Penyelesaian: P(25, 25) = 25!= 15.511.210.043.330.985.984.000.000
Diketahui enam buah bola yang berbeda warnanya dan3 buahkotak. Masing-masing kotak hanya boleh diisi 1 buah bola. Berapa jumlah urutan berbeda yang mungkin dibuat dari penempatan bola ke dalam kotak-kotak tersebut? BOLA m b p h k j KOTAK 1 2 3
Cara 1: a. kotak1 dapatdiisiolehsalahsatudari6 bola (ada6 pilihan); b. kotak2 dapatdiisiolehsalahsatudari5 bola (ada5 pilihan); c. kotak3 dapatdiisiolehsalahsatudari4 bola (ada4 pilihan). Jumlahurutanberbedadaripenempatanbola = (6)(5)(4) = 120 Cara 2: P(6,3)=6!/(6-3)!=6!/3!=120
Berapakah jumlah kemungkinan membentuk 3 angka dari5 angkaberikut: 1, 2, 3, 4, 5, jika: (a) tidak boleh ada pengulangan angka, dan (b) boleh ada pengulangan angka. Penyelesaian: (a) Dengan kaidah perkalian: (5)(4)(3) = 60 buah DenganrumuspermutasiP(5, 3) = 5!/(5 3)! = 60 (b) Tidak dapat diselesaikan dengan rumus permutasi. Dengankiadahperkalian: (5)(5)(5) = 5 3 = 125.
Diketahui Kode buku di sebuah perpustakaan panjangnya 7 karakter, terdiri dari 4 huruf berbedadandiikutidengan3 angkayang berbeda pula. Tentukan banyak kode yang dapat dibuat! Penyelesaian: P(26, 4) P(10,3) = 258.336.000
Banyaknyapermutasidarin objekdarin 1 yang sama, n 2 yang sama,, n r yang samaadalah n! n! n!... n! 1 2 r
Tentukan banyaknya kata yang dapat dibentuk dari kata DISKRIT Penyelesaian: n = 7 n 1 = 2 (huruf I yang sama, jumlahnya = 2) Banyaknya kata yang dapat dibentuk dari kata DISKRIT = n!/n 1! = 7!/2!= 2520 Kata
Tentukan banyaknya kata yang dapat dibentuk dari kata MATEMATIKA Penyelesaian: n = 10 n 1 = 2 (huruf M) n 2 = 3 (huruf A) n 3 = 2 (huruf T) Banyaknya kata yang dapat dibentuk dari kata MATEMATIKA = 10!/2!3!2! = 151.200 kata
1. Berapa banyak bilangan berdigit 3 yang bisa dibentuk dari 6 angka 2,3,4,5,7,9 dan pengulangan tidak diperbolehkan? 2. Sebuah bioskop mempunyai jajaran kursi yang disusun perbaris. Tiap baris terdiri dari 6 kursi. Jikaduaorangakanduduk, berapa banyakpengaturantempatdudukyang mungkin pada suatu baris?
3. Tentukan banyaknya sandi yang dapat dibentuk dari 5 huruf yang berbeda dan diikuti pula dengan 2 angka yang berbeda pula! 4. Sebuahmobilmempunyai4 tempatduduk. 4. Sebuahmobilmempunyai4 tempatduduk. Berapa banyak cara 3 orang didudukkan jika diandaikan satu orang harus duduk di kursi sopir?
Bentuk khusus dari permutasi adalah kombinasi. Jika pada permutasi urutan kemunculan diperhitungkan, maka pada kombinasi, urutan kemunculandiabaikan. Simbol: C (n,r) C (n,r) = n! r!( n r)!
Di antara 10 orang mahasiswa Teknik Komputer Angkatan 2009, berapa banyak cara membentuk sebuah perwakilan beranggotakan 5 orang sedemikian sehingga: 1. Mahasiswa bernama A selalu termasuk di dalamnya; 2. Mahasiswa bernama A tidak termasuk di dalamnya; 3. Mahasiswa bernama A selalu termasuk di dalamnya, tetapi Btidak; 4. Mahasiswa bernama B selalu termasuk di dalamnya, tetapi Atidak; 5. Mahasiswa bernama A dan B termasuk di dalamnya; 6. Setidaknya salah satu dari mahasiswa yang bernama A atau B termasuk di dalamnya.
1. Banyak carauntukmembentukperwakilanyang beranggotakan5 orangsedemikiansehinggaa selalu termasuk di dalamnya adalah: C(9, 4) = 126 2. Banyak carauntukmembentukperwakilanyang beranggotakan 5 orang sedemikian sehingga A tidak termasuk di dalamnya adalah: C(9, 5) = 126 3. Banyak carauntukmembentukperwakilanyang beranggotakan5 orangsedemikiansehinggaa termasuk di dalamnya, tetapi B tidak adalah: C(8, 4) = 70
4. Banyak cara untuk membentuk perwakilan yang beranggotakan 5 orang sedemikian sehingga B termasuk di dalamnya, tetapi A tidak adalah: C(8, 4) = 70 5. Banyak cara untuk membentuk perwakilan yang beranggotakan 5 orang sedemikian sehinggaadanbselalutermasukdi dalamnya adalah: C(8, 3) = 56
6. Jumlah cara membentuk perwakilan sedemikian sehingga setidaknya salah satu dari A atau B termasuk di dalamnya adalah: Jumlah cara membentuk perwakilan sehingga A termasuk di dalamnya, B tidak + jumlah cara membentuk perwakilan sehingga B termasuk di dalamnya, A tidak + jumlah cara membentuk perwakilan sehingga A dan B termasuk di dalamnya = 70 + 70 + 56 = 196
1. Suatu pertemuan dihadiri oleh 15 orang undangan. Jika mereka saling berjabat tangan, banyak jabat tangan yang terjadi dalam pertemuan itu adalah... 2. Dari 20 siswa akan dipilih sebuah tim sepakbola yang terdiri atas 11 orang. Tentukan banyak cara dalam pemilihan tersebut.
3. Banyaknyasegitigayang dapat dibuat dari 7 titik tanpa ada tiga titik yang terletak segarisadalah... 4. Tentukan banyaknya cara memilih 5 orang dari15 orangsiswauntukmenjadi pelaksana upacara bendera Senin pagi! 5. Menentukan lima orang pemain cadangan dari 16 orang anggota kesebelasan sepakbola.
6. Ada 5 orang mahasiswa jurusan Matematika dan 7 orang mahasiswa jurusan Informatika. Berapa banyak cara membentuk panitia yang terdiri dari 4 orang jika: (a) tidak ada batasan jurusan (b) semua anggota panitia harus dari jurusan Matematika (c) semua anggota panitia harus dari jurusan Informatika (d) semua anggota panitia harus dari jurusan yang sama (e) 2 orang mahasiswa per jurusan harus mewakili. 40
7. Berapa banyak cara membentuk sebuah panitia yang beranggotakan 5 orang yang dipilih dari 7 orang pria dan 5 orang wanita, jika di dalam panitia tersebut paling sedikit beranggotakan 2 orang wanita? 41
Jabarkan(3x-2) 3! Penyelesaian: Misalkana= 3xdanb= -2, (a+ b) 3 = C(3, 0) a 3 + C(3, 1) a 2 b 1 + C(3, 2) a 1 b 2 + C(3, 3) b 3 = 1 (3x) 3 + 3 (3x) 2 (-2) + 3 (3x) (-2) 2 + 1 (-2) 3 = 27 x 3 54x 2 + 36x 8
Tentukan suku keempat dari penjabaran perpangkatan (x-y) 5. Penyelesaian: (x-y) 5 = (x+(-y)) 5. Suku keempat adalah: C(5, 3) x 5-3 (-y) 3 = -10x 2 y 3.
1. (2x-3) 3 = 2. (3x-2y) 4 = 3. Tentukan suku ke empat dari penjabaran 5 perpangkatan (x+y) 5 4. Tentukan suku ke lima dari penjabaran perpangkatan (2x+3y) 6
5. Denganmenggunakanteoremabinomial, tentukan: a. koefisienx 5 y 8 dalam(x + y) 13 b. koefisienx 7 dalam(1 + x) 11 c. koefisienx 9 dalam(1 x) 19