Dasar-dasar Kaidah Pencacahan

Transkripsi

1 Dasar-dasar Kaidah Pencacahan Djamilah Bondan W. M.Si. September Kaidah Penjumlahan 1.1 Kaidah Penjumlahan Sederhana Jika ada m pilihan untuk proses/kegiatan P, dan ada n pilihan untuk proses atau kegiatan Q, dan jika kedua proses/kegiatan P dan Q tidak dapat terjadi bersama-sama, maka ada m + n pilihan untuk salah satu dari kedua proses atau kegiatan tersebut. Jika himpunan P dan Q saling asing, dengan P = m, dan Q = n, maka banyaknya cara memilih satu anggota dari himpunan P Q adalah m + n. : 1. Jika terdapat 15 anak laki-laki dan 25 anak perempuan di suatu kelas, maka terdapat = 40 hasil pilihan yang mungkin jika dipilih seorang anak di antara mereka 2. Setiap siswa SMA X diwajibkan mengikuti satu kegiatan ekstrakurikuler. Berikut ini daftar kegiatan ekstrakurikuler yang akan diselenggarakan. Bidang Seni Olahraga Jenis Musik, teater, tari, karawitan, lukis Basket, bola voly, renang Digunakan untuk bahan kuliah Matematika Diskrit Jurdik Matematika FMIPA UNY, Tahun 2009 Dosen Jurdik Matematika UNY 1

2 Jadi ada = 8 pilihan kegiatan ekstrakurikuler bagi siswa SMA X 1.2 Kaidah Penjumlahan Umum Jika ada m 1, m 2, m 3,..., m k pilihan, berturut-turut untuk proses atau kegiatan P 1, P 2, P 3,...,P k dan jika k proses atau kegiatan P i tersebut tidak ada yang dapat terjadi bersama-sama, maka ada m 1 +m 2 +m 3 + +m k pilihan untuk salah satu dari k proses atau kegiatan tersebut. Jika himpunan P 1, P 2, P 3,..., P k saling asing, dengan P i = m i dan k P i = P, maka banyaknya cara untuk memilih satu anggota dari P adalah i=1 k P i = m 1 + m 2 + m m k. i=1 1. Seorang mahasiswa Program Studi Pendidikan Matematika dapat memilih satu topik untuk skripsi mereka dari daftar banyak topik-topik sebagai berikut: Bidang Kajian Banyak Topik Pembelajaran Matematika SMP/SMA/SMK 10 Pengembangan Multimedia Pembelajaran Matematika 15 Pengembangan Softskill siswa 5 Penggunaaan ICT 2 Jumlah 32 Jadi ada 32 pilihan topik bagi mahasiswa yang akan mengambil skripsi. 2. Dari kampus UNY ke Bunderan UGM menggunakan kendaraan umum, seseorang dapat naik bis Trans Jogja, bis kota Aspada, bis kota Oranye, bis mini Pemuda, atau colt. Ada 2 jalur bis Aspada (jalur 4 dan jalur 6), 2 jalur Oranye (jalur 3 dan jalur 9), 4 jalur bis mini Pemuda (jalur 6A, 6B, 6C, dan 6D), 3 colt (colt Klaten-Jogja, colt Kobutri jalur 16, dan colt Kobutri jalur 17), dan hanya ada satu jalur bis Trans Jogja. Dengan demikian seseorang yang pergi dari kampus UNY ke Bunderan 2

3 UGM menggunakan kendaraan umum dapat terjadi naik satu diantara = 12 jalur kendaraan yang mungkin. 2 Kaidah Perkalian 2.1 Kaidah Perkalian Sederhana Jika proses P dapat dilaksanakan dalam m cara, dan proses Q dapat dilaksanakan dengan n cara, maka rangkaian proses (P, Q) dapat dilaksanakan dalam m n cara. Jika ada m pilihan untuk proses P, dan ada n pilihan untuk proses Q, maka ada m n pilihan untuk pasangan proses (P, Q) Misalkan sebuah prosedur dapat dipecah ke dalam 2 kegiatan. Jika kegiatan pertama dapat dilaksanakan dalam m cara, dan kegiatan keedua dapat dilaksanakan dalam n cara setelah kegiatan pertama, maka ada m n cara untuk melaksanakan prosedur tersebut. Jika himpunan P mempunyai m anggota, dan himpunan Q mempunyai n anggota, maka ada m n pilihan untuk mengambil pasangan berutan (a, b) dengan a P dan b Q. 1. Dari 6 siswa laki-laki dan 4 siswa perempuan SMA N I Yogyakarta yang memenuhi syarat-syarat untuk dikirim ke Surabaya guna mengikuti upacara bendera peringatan hari pahlawan 10 November, hanyak akan dipilih 1 orang siswa laki-laki dan 1 orang siswa perempuan. Jika setiap siswa dari kesepuluh siswa tersebut mempunyai hak yang sama untuk terpilih, maka ada 6 4 = 24 pasang pilihan yang mungkin 2. Suatu persuhaan real estate akan menawarkan kepada calon pembeli rumah gaya luar berbentuk tradisional, Spanyol, Belanda dan modern di daerah pusat kota, pantai dan bukit. Dengan demikian ada 4 3 = 12 pilihan yang mungkin bagi calon pembeli. 3

4 2.2 Kaidah Perkalian Umum Jika proses P 1, P 2, P 3,...,P k, berturut-turut dapat dilaksanakan dalam m 1, m 2, m 3,..., m k cara, maka rangkaian proses (P 1, P 2, P 3,..., P k ) dapat dilaksanakan dalam m 1 m 2 m 3 m k cara. Jika ada m 1 pilihan untuk proses P 1, ada m 2 pilihan untuk proses P 2, ada m 3 pilihan untuk proses P 3,...,ada m k pilihan untuk proses P k, maka ada m 1 m 2 m 3 m k pilihan untuk rangkaian proses (P 1, P 2, P 3,..., P k ) Misalkan sebuah prosedur dapat dipecah ke dalam k kegiatan. Jika kegiatan ke- i dapat dilaksanakan dalam m i cara setelah kegiatan ke-i 1 dilaksanakan, maka ada m 1 m 2 m 3 m k cara untuk melaksanakan prosedur tersebut Jika himpunan P 1, P 2, P 3,..., P k, berturut-turut mempunyai anggota sebanyak m 1, m 2, m 3,..., m k maka ada pilihan sebanyak m 1 m 2 m 3 m k untuk mengambil rangkaian (a 1, a 2, a 3,..., a k ) dengan a k P i, i = 1, 2, 3,..., k 1. Seorang pemilik toko swalayan bermaksud membuat kode untuk setiap barang di tokonya. Jika kode tersebut menggunakan 8 angka, terdiri dari angka 0 dan 1, maka kode yang dapat dibuat sebanyak = 2 8 = Suatu password komputer terdiri dari 3 huruf diikuti dengan 4 angka selain 0. Total password yang dapat dibuat: (a) jika huruf dan angka boleh berulang, sebanyak = (b) jika huruf maupun angkanya tidak boleh ada yang berulang, sebanyak =

5 3 Prinsip Sarang Burung Merpati 3.1 Prinsip Sarang Burung Merpati Sederhana Jika k + 1 atau lebih objek ditempatkan ke dalam k kotak, maka terdapat paling sedikit satu kotak yang memuat dua atau satu lebih objek tersebut. 1. Andaikan adik anda mempunyai 20 burung merpati, dan hanya tersedia 8 sangkar untuk burung-burung itu, maka akan ada paling sedikit satu sangkar yang akan ditempati 3 burung merpati atau lebih. 2. Jika anda menghadiri 6 kuliah dalam selang waktu Senin sampai Jumat, maka haruslah terdapat paling sedikit 1 hari ketika anda menghadiri paling sedikit 2 kelas. 3.2 Prinsip Sarang Burung Merpati yang Diperumum Jika N objek ditempatkan ke dalam k kotak, maka terdapat paling sedikit 1 N kotak yang memuat sedikitnya objek. k 1. Di dalam kelas dengan 40 mahasiswa, jika dosen yang bersangkutan tidak memberi nilai E, maka terdapat paling sedikit 10 mahasiswa akan mendapat nilai yang sama, yaitu sama-sama A, sama-sama B, samasama C, atau sama-sama D. Tetapi jika di dalam kelas tersebut ada 41 mahasiswa, maka paling sedikit ada 11 mahasiswa akan memperoleh nilai yang sama. 2. Tersedia 4 mata kuliah pilihan di Program Studi Pendidikan Matematika UNY pada semester ini. Setiap mahasiswa hanya akan memilih satu mata kuliah saja untuk ditempuh pada semester ini. Jika ada 38 mahasiswa yang menempuh 1 mata kuliah pilihan tersebut, maka akan ada satu mata kuliah yang akan ditempuh oleh sedikitnya 10 mahasiswa. 5

6 4 Latihan 1. Untuk pergi ke tempat les bahasa Inggris, Ani mempunyai 2 celana panjang, 3 blus dan 2 rompi favorit. Dalam berapa kali kesempaan Ani dapat tampil beda ketika pergi ke les, yaitu memakai setelan celana, blus, dan rompi favorit yang berlainan? 2. Kursi-kursi di Auditorium UNY akan diberi label yang terdiri dari sebuah huruf dan sebuah bilangan bulat positif yang tidak lebih dari 25. Berapa banyak maksimum jumlah kursi yang dapat diberi label berbeda? 3. Tanda pengenal dalam bentuk nomor plat kendaraan bermotor roda empat harus dibuat dengan 2 huruf di depan, 4 angka di tengah, dan 2 huruf di belakang. Jika angka pertama nomor itu tidak boleh angka 0. Ada berapa banyak tanda pengenal yang dapat dibentuk? 4. Berapa banyak fungsi yang dapat dibentuk bila daerah definisinya terdiri dari n unsur dan nilai fungsinya harus 0 dan 1 5. Andaikan dari UNY kita akan pergi ke Malioboro naik angkutan umum. Tidak ada angkutan umum yang langsung dari UNY ke Malioboro, yang ada dari UNY ke Bunderan, kemudian dari Bunderan ke Malioboro, atau dari UNY ke Mirota Kampus, kemudian dari Mirota Kampus ke Malioboro atau dari UNY ke Bunderan, kemudian dari Bunderan jalan kakai ke Mirota Kampus (hanya sekitar 100 meter), kemudian dari Mirota Kampus ke Malioboro. Dari UNY ke Bunderan terdapat 4 macam pilihan, dan keempatnya tidak melalui Mirota Kampus, dan dari Bunderan ke Malioboro terdapat 2 pilihan. Dari UNY ke Mirota Kampus ada 3 pilihan dan ketiganya masuk kampus UGM tanpa melalui Bunderan, kemudian dari Mirota Kampus ke Malioboro tersedia 3 pilihan. Ada berapa jalan yang mungkin dari UNY ke Malioboro naik angkutan umum? 6. Sebuah Bank mempunyai nasabah kurang dari orang. Password yang dimiliki setiap nasabah menggunakan 6 angka dari 0, 1, 2,..., 9, dengan angka pertama bukan 0 dan setiap angka paling banyak muncul 1 kali dalam ke dalam password tersebut. Jika tahun depan diperkirakan jumlah nasabah bertambah menjadi orang, 6

7 masihkan password yang terdiri dari 6 angka dengan ketentuan seperti di atas mencukupi? Mengapa? 7. Terdapat 10 pita warna biru dan 10 pita warna hitam pada suatu laci. Pada saat listrik padam, berapa pita yang harus anda ambil untuk memastika bahwa terdapat sepasang pita yang sewarna? 8. Dari hari Senin sampai Jumat hanya terdapat 24 jam mata kuliah, yaitu jam ke-1 s.d. jam ke-5, kecuali Jumat hanya ada 4 jam kuliah. Semester ini ada 368 kelas perkuliahan yang harus diselenggarakan di FMIPA UNY yang mempunyai 8 prodi. Berapa minimal banyak ruangkan kuliah yang diperlukan, jika variabel lain (jumlah dosen, mahasiswa tumbukan, dsb) diabaikan? 7