Aljr Liner Elementer MA SKS Sils : B I Mtriks dn Opersiny B II Determinn Mtriks B III Sistem Persmn Liner B IV Vektor di Bidng dn di Rng B V Rng Vektor B VI Rng Hsil Kli Dlm B VII Trnsformsi Liner B VIII Rng Eigen 07/0/007 :6 MA- Aljr Liner
VEKTOR DI BIDANG DAN DI RUANG Pokok Bhsn :. Notsi dn Opersi Vektor. Perklin titik dn Proyeksi Ortogonl. Perklin silng dn Apliksiny Beerp Apliksi : Proses Grfik Kompter Kntissi pd proses kompresi Lest Sqre pd Optimsi Dn lin-lin 07/0/007 :6 MA- Aljr Liner
07/0/007 :6 MA- Aljr Liner Notsi dn Opersi Vektor esrn yng mempnyi rh Notsi ektor ( ),, ˆ ˆ ˆ k j i Notsi pnjng ektor dlh Vektor stn Vektor dengn pnjng t norm sm dengn st
Opersi Vektor melipti :. Penjmlhn ntr ektor (pd rng yng sm). Perklin ektor () dengn sklr () dengn ektor lin Hsil kli titik (Dot Prodt) Hsil kli silng (Cross Prodt) 07/0/007 :6 MA- Aljr Liner 4
Penjmlhn Vektor Mislkn dn dlh ektor ektor yng erd di rng yng sm, mk ektor mk didefinisikn { 07/0/007 :6 MA- Aljr Liner 5
Perklin ektor dengn sklr ( ) k Perklin ektor dengn sklr k, didefinisikn segi ektor yng pnjngny k kli pnjng ektor dengn rh Jik k > 0 serh dengn Jik k < 0 erlwnn rh dengn 07/0/007 :6 MA- Aljr Liner 6
Sling P P 07/0/007 :6 MA- Aljr Liner 7
Ser nlitis, ked opersi pd ektor dits dpt dijelskn segi erikt : Mislkn ( ) (, ), (, )., (, )., ( k, k ). k k,, dlh ektor-ektor di rng yng sm mk dn 07/0/007 :6 MA- Aljr Liner 8
Perklin ntr d ektor Hsil kli titik (dot prodt) Hsil kli silng (ross prodt) Hsil kli titik (dot prodt) Hsil kli titik merpkn opersi ntr d h ektor pd rng yng sm yng menghsilkn sklr Hsil kli silng (Cross prodt) Hsil kli silng merpkn opersi ntr d h ektor pd rng R yng menghsilkn ektor 07/0/007 :6 MA- Aljr Liner 9
Dot Prodt Mislkn, dlh ektor pd rng yng sm mk hsil kli titik ntr d ektor : osα dimn : pnjng : pnjng α : sdt kedny 07/0/007 :6 MA- Aljr Liner 0
Ilstrsi dot prodt ektor A dn B A B A B osα 07/0/007 :6 MA- Aljr Liner
Contoh : Tentkn hsil kli titik dri d ektor iˆ dn iˆ ˆj Jw : Kren tn α, rtiny 45 0 osα 4 8 07/0/007 :6 MA- Aljr Liner
Ingt trn osins os α α Perhtikn α osα 07/0/007 :6 MA- Aljr Liner
07/0/007 :6 MA- Aljr Liner 4 Selnjtny dpt ditlis Ingt hw : os θ osα..... n.... n ( ) ( ) ( ).... 4 n n n n n n n n......... n n...
Perhtikn setip skny, diperoleh hngn :... n n Tentkn kemli hsil kli titik dri d ektor pd ontoh seelmny () 0 () 4 Beerp sift hsilkli titik :... ( ) ( ) ( ) k ( ) k k, dimn k R 07/0/007 :6 MA- Aljr Liner 5
Proyeksi Ortogonl w terliht hw proy k k Kren w ( w ) w k k 07/0/007 :6 MA- Aljr Liner 6
07/0/007 :6 MA- Aljr Liner 7 Jdi, rms proyeksi diperoleh : Contoh 4 : Tentkn proyeksi ortogonl ektor terhdp ektor 4 4 Pr oy
07/0/007 :6 MA- Aljr Liner 8 Jw : 4 4 6 6 4 6 ) ( ) ( 4 4) ( 4 4 Pr w oy w
07/0/007 :6 MA- Aljr Liner 9 Cross Prodt (hsilkli silng) Hsil kli silng merpkn hsil kli ntr d ektor di Rng (R ) yng menghsilkn ektor yng tegk lrs terhdp ked ektor yng diklikn terset. ˆ ˆ ˆ B B B A B A k j i A x B C k B B A A j B B A A i B B A A ˆ ˆ ˆ
Ilstrsi Cross Prodt (hsilkli silng) C A x B 07/0/007 :6 MA- Aljr Liner 0
Contoh : Tentkn, dimn Jw : w iˆ ˆj kˆ w (,, ) (, 0, ) iˆ ˆj kˆ 0 (. 0( ) ) ( ( ).) ĵ ( ) kˆ î iˆ 7 ˆj 6 kˆ.0. 07/0/007 :6 MA- Aljr Liner
Beerp sift Cross Prodt :.. ( x ) 0 ( x ) 0. ( ) 07/0/007 :6 MA- Aljr Liner
Dri sift ke- diperoleh ( ) ( ) osα ( ) os α ( os α ) sin α Jdi, x sinα 07/0/007 :6 MA- Aljr Liner
Perhtikn ilstrsi erikt : sinα α Ls Jjrn Genjng x sinα Ls segitig yng dientk oleh ked ektor terset dlh Ls segitig 07/0/007 :6 MA- Aljr Liner 4
Contoh : Dikethi titik-titik dirng ( di R³ ) dlh : A (,, ) B (4,, 0) C (,, ) Dengn menggnkn hsilkli silng, tentkn ls segitig ABC! Jw : Tlis AB AC B A (4,, 0) (,, ) (,, ) C A (,, ) (,, ) (, 4, 5) 07/0/007 :6 MA- Aljr Liner 5
iˆ ˆj kˆ AB AC 4 5 iˆ ˆj 0kˆ Ls segitig ABC yng erimpit di A dlh Ls 4 69 00 7 07/0/007 :6 MA- Aljr Liner 6
Orientsi pd titik B BA (,-,-) (4,,0) (-,-,-) BC (,,) (4,,0) (-,,) BA BC iˆ ˆj kˆ iˆ kˆ 0 ˆj Sehingg ls segitig ABC yng erimpit di B dlh : BAxBC 4 69 00 7 07/0/007 :6 MA- Aljr Liner 7
07/0/007 :6 MA- Aljr Liner 8 Ltihn B 4. Tentkn os sdt yng terentk oleh psngn ektor erikt :. dn. dn. Tentkn proyeksi ortogonl ektor terhdp ektor dn tentkn pnjng ektor proyeksi terset:. dn. dn 8 6 7 8
07/0/007 :6 MA- Aljr Liner 9. Tentkn d h ektor stn yng tegk lrs terhdp 4. Tentkn ektor yng tegk lrs terhdp ektor dn 5. Tentkn ls segitig yng mempnyi titik sdt P (, 0, ), Q (, 4, 5), dn R (7,, 9) 7 4 0