BESARAN STATISTIK (UKURAN TENGAH DAN UKURAN DISPERSI) UKURAN TENGAH Ukuran tengah nilai tunggal yang representatif untuk keseluruhan nilai data. Ukuran tendensi sentral nilainya cenderung terletak di urutan paling tengah atau pusat. Ukuran tengah yang umum digunakan mean, median, modus, kuartil dan percentil. 1
MEAN jumlah semua data dibagi banyak data. Untuk data yang tidak berkelompok: 1 2... n n dengan n adalah banyak data, adalah data. Untuk data yang berkelompok n n: banyak data fii i 1 i : titik tengah n interval kelas i fi f i : frekuensi titik i 1 kelas i MEDIAN nilai yang berada di tengah dari sekumpulan data itu setelah diurutkan menurut besarnya. Untuk data yang tidak berkelompok diurutkan menurut besarnya, kemudian dicari data yang berada di tengah. 2
. Untuk data yang berkelompok : n F md Lmd 2 c f md Lmd n F fmd c md : Median : batas bawah interval median : banyak data : jumlah frekuensi interval-interval sebelum median : frekuensi interval median : lebar interval MODUS nilai yang paling sering muncul Untuk data yang tidak berkelompok dicari yang paling banyak muncul. Untuk data yang berkelompok: Lmo : batas bawah interval modus a b a Modus : mo Lmo c a b : beda frek. Antara interval modus dgn interval sebelumnya. : beda frek. antara intr. modus dgn intr. Sesudahnya 3
PEMANFAATAN TENDENSI SENTRAL Mean : memiliki stabilitas yang besar, dapat digunakan untuk perhitungan statistik sselanjutnya. Digunakan pada data distribusi mendekati normal. Median : digunakan pada data yang berdistribusi istimewa, mis: sangat juling atau ada data yang tidak lengkap. Modus : alat taksir paling sederhana dalam keterbatasan waktu, mencari keadaan yang istimewa, misal: barang yang paling laris, model yang lagi trend. QUARTIL Data diurutkan, dibagi menjadi 4 bagian Q 1, Q 2, dan Q 3. Pertengahan antara data pertama dengan data terakhir adalah Q 2 (quartil kedua) atau disebut juga dengan median. Pertengahan antara data pertama dengan Q 2 adalah Q 1 (quartil pertama). Pertengahan antara Q 3 dengan data terakhir adalah Q 3 (quartil ketiga). 4
Rumus: Q n. LQ 4 f Q F c : quartil ke- n : banyak data L Q : batas bawah interval quartil F : jumlah frekuensi interval-interval sebelum interval quartil f Q : frekuensi interval quartil c : lebar interval DESIL Desil dibentuk dari sekumpulan data yang telah diurutkan yang dibagi menjadi 10 bagian, sehingga terdapat sembilan buah desil yaitu D 1, D 2, D 3,, D 9. D 3 = Q 1 ; D 5 = Q 2 ; D 7 = Q 3 5
D n. F LD 10 c f D : desil ke n : banyak data L D : batas bawah interval desil F : jumlah frekuensi interval sebelum interval desil f D : frekuensi interval desil. c : lebar interval PERSENTIL dibentuk dari sekumpilan data yang telah diurutkan yang dibagi menjadi 100 bagian, sehingga terdapat 99 buah persentil yaitu P 1, P 2, P 3,, P 99. P 25 = Q 1 ; P 50 = Q 2 ; P 75 = Q 3 6
P n. F LP 100 c f P : persentil ke- n : banyak data L P : batas bawah interval persentil F : jumlah frekuensi interval-interval sebelum interval persentil f P : frekuensi interval persentil c : lebar interval Contoh: Dari contoh data pada Bab 2: Hitunglah Mean, Median, Modus, Quartil, Desil dan persentil data berikut 147 149 155 157 159 161 164 168 170 173 147 150 155 157 160 162 164 168 170 173 148 150 156 158 160 163 165 169 171 174 149 152 156 158 161 163 165 170 171 174 149 154 156 159 161 163 166 170 172 175 7
TABEL DISTRIBUSI FREKUENSI Interval Kelas Batas Kelas Nilai Tengah Frekuensi Frekuensi Kumulatif 147 151 146,5 151,5 149 8 8 152 156 151,5 156,5 154 7 15 157 161 156,5 161,5 159 11 26 162 166 161,5 166,5 164 9 35 167 171 166,5 171,5 169 9 44 172 176 171,5 176,5 174 6 50 PENEYELESAIAN: Mean : 149.8 154.7 159.11 164.9 169.9 174.6 8 7 11 9 9 6 8060 161,2 50 Median : Modus : 50 15 50 md 156.5 2.5 156.5 161.05 11 11 4 mo 156.5.5 156.5 4 160.5 4 2 8
UKURAN PENYEBARAN (DISPERSI) Perserakan data individual terhadap nilai ratarata Data homogen dispersi kecil Data heterogen dispersi besar Ukuran penyebaran : Range, variansi dan standar deviasi. Kegunaan : Untuk menentukan apakah suatu nilai rata-rata dapat mewakili suatu rangkaian data. Perbandingan terhadap variabilitas data. Membantu penggunaan ukuran statistik. RANGE beda antara pengamatan terbesar dan terkecil dalam kumpulan data. Kurang baik terutama jika populasi atau sampel besar. Range = L S L : nilai data terbesar S : nilai data terkecil Contoh data: 44 56 60 67 70 80 85 90 99 Range = 99 44 = 55. 9
KERAGAMAN (VARIANSI) DAN SIMPANGAN (STANDAR DEVIASI) keragaman adalah nilai kuadrat simpangan setiap data terhadap rataannya dibagi banyaknya data dikurang 1 Simpangan adalah akar positif dari variansi Memperhatikan posisi relatif setiap pengamatan terhadap nilai tengah gugus data dengan cara memeriksa simpangan dari nilai tengahnya. Untuk data yang tidak berkelompok : ( i ) 2 i 1 var( ) s n 1 i : data ke-i : rata-rata n : banyak data n 2 10
Untuk data berkelompok: 2 i 1 var( ) s i : : n : f : data ke-i rata-rata banyak data f ( n 1 frekuensi titik kelas i n i ) 2 11
SOAL: Carilah mean, median, modus dan simpangan baku (standar deviasi) data pada tabel distribusi berikut: Interval Batas kelas Nilai Tengah Frek. Frek. Kumula tif 119 128 118,5-128,5 123,5 4 4 129 138 128,5-138,5 133,5 7 11 139 148 138,5-148,5 143,5 13 24 149 158 148,5-158,5 153,5 9 33 159 168 158,5-168,5 163,5 5 38 169-178 168,5-178,5 173,5 2 40 12