PETUNJUK PRAKTIKUM METODE NUMERIK (MT318)

PETUNJUK PRAKTIKUM METODE NUMERIK (MT38) Oleh : Dewi Rachmatin, S.Si., M.Si. JURUSAN PENDIDIKAN MATEMATIKA FAKULTAS PENDIDIKAN MATEMATIKA DAN IPA UNIVERSITAS PENDIDIKAN INDONESIA 9 Dewi Rachmatin

PRAKTIKUM Metode Grafik Tunggal dan Metode Grafik Ganda Aturan Tanda Descartes Metode Tabulasi. MINGGU KE :. PERALATAN : LCD, Whiteboard, Komputer 3. SOFTWARE : Maple 7, Delphi 7, Turbo Pascal for Win Visual Basic 4. TUJUAN Setelah selesai praktikum mahasiswa diharapkan dapat membuat estimasi pendahuluan untuk menyelesaikan masalah-masalah yang berkaitan dengan penentuan akar persamaan tak linier, seperti menentukan selang akar dengan metode grafik tunggal, metode grafik ganda, aturan tanda descartes dan metode tabulasi. Dalam pengerjaannya untuk grafik mahasiswa dibantu dengan software Maple 7, sedangkan untuk metode tabulasi dapat menggunakan Delphi 7, Turbo Pascal for Win atau menggunakan Visual Basic. 5. TEORI PENGANTAR Untuk fungsi-fungsi yang sederhana di mana grafik fungsinya dapat digambarkan dengan mudah, ada dua metode grafik yang dapat dilakukan untuk mendapatkan tebakan awal dari akar persamaan f ( ), yaitu metode grafik tunggal dan metode grafik ganda. Contoh : Tentukan lokasi akar dan tebakan awal untuk akar persamaan fungsi : 3 f ( ),5,46 3,96. Dewi Rachmatin

Penyelesaian : Y y = f() X 3 Grafik fungsi f ( ),5,46 3, 96. Dari grafik dapat dilihat, tebakan awal untuk akar persamaan (.) dapat dipilih beberapa titik yang cukup dekat dengan akar persamaan seperti : -, -, atau. Sedangkan salah satu akar diperoleh dari grafik yaitu =. Metode grafik ganda digunakan untuk persamaan fungsi f ( ) yang penjabaran fungsi f () dapat didekomposisi menjadi pengurangan dua buah fungsi yaitu f ) f ( ) f ( ). ( Aturan Tanda Descartes Untuk menentukan lokasi akar polinom yaitu akar dari persamaan berikut : n n p( ) an an... a a ada dua tahap pengerjaan yaitu : tahap pertama penentuan komposisi akar polinom dengan aturan tanda Descartes dan tahap kedua penentuan batas selang akar. Untuk menentukan komposisi akar polinom, perhatikan langkah berikut. Misalkan u adalah banyaknya pergantian tanda koefisien p () dan n p adalah banyaknya akar riil positif, maka berlaku : (i) (ii) n p u u - n p =,, 4, a i dari polinom Sedangkan untuk menentukan komposisi akar riil negatif, misalkan v adalah banyaknya pergantian tanda koefisien banyaknya akar riil negatif, maka berlaku : a dari polinom p( ) dan n g adalah i Dewi Rachmatin 3

(i) (ii) n g v v n g =,, 4, Penentuan batas selang akar ditentukan oleh aturan berikut : a r maks k n a Sehingga selang akar yang dicari adalah [-r,r]. Metode Tabulasi k n Untuk fungsi-fungsi yang kompleks atau tidak dengan mudah dapat dibuat grafiknya dapat digunakan metode tabulasi. Caranya yaitu dengan membuat tabulasi titik-titik di mana terdapat pergantian tanda pada nilai-nilai dari fungsi f. Jika pada tabel yang dibuat terdapat suatu selang (a,b) di mana terdapat pergantian tanda dari f (a) ke f (b), dari + ke atau sebaliknya maka akar persamaan yang dicari terdapat pada selang (a,b). 6. LANGKAH KERJA Penulisan perintah dengan Maple7 untuk menggambar fungsi satu peubah pada bidang Cartesius : > plot(f, h, v); > plot(f, h, v,...); di mana f fungsi yang digambar h range horisontal v range vertikal color warna grafik fungsi Jika fungsi yang akan digambar ada fungsi, maka lakukan perintah berikut: > plot([f, f], h, v); Jika fungsi yang akan digambar adalah fungsi implisit, lakukan : > implicitplot(f,h,v); Dewi Rachmatin 4

Untuk aturan Descartes, langkah-langkahnya telah dijelaskan pada bagian sebelumnya, dan metode tabulasi dapat dibuat sesuai algoritma untuk prosedur metode tabulasi yang telah dijelaskan. 7. TUGAS Tentukan selang akar untuk masalah penentuan akar persamaan tak linier, dengan metode yang sesuai, bisa metode grafik tunggal atau metode grafik ganda, aturan Descartes yang dilanjutkan penentuan batas selang akar khusus untuk akar polinom, atau bisa metode tabulasi.. (a) cos (b) sin (c) e sin. (a) e (b) tan (c) e. Daftar Pustaka : Atkinson, K. (985). Elementary Numerical Analysis. New York : John Wiley & Sons. Chapra, S. & Canale. (99). Numerical Methods for Engineers with Personal Computer Applications. MacGraw-Hill Book Company. Conte, S. & Boor. (99). Elementary Numerical Analysis, An Algorithmic Approach. 3rd Edition. MacGraw-Hills. Inc. Epperson, J. (). Introduction to Numerical Methods and Analysis. New York John Wiley & Sons. Mathews, J. (993). Numerical Methods for Mathematics, Science and Engineering. nd Edition. London : Prentice-Hall Int. Munir, R. (997). Metode Numerik untuk Teknik Informatika. Institut Teknologi Bandung. Nakamura. S. (99). Applied Numerical Methods with Software. London: Prentice-Hall Int. Dewi Rachmatin 5

Purcell, Edwin dan Dale Varberg. (984). Kalkulus dan Geometri Analitis. Jilid. Edisi ke3. Jakarta : Penerbit Erlangga. Rajaraman, V. (98). Computer Oriented Numerical Methods. New Delhi : Prentice-Hall of India. Ralston, A. (965). A First Course in Numerical Analysis. McGraw-Hill. Susila, Nyoman. (994). Dasar-dasar Metode Numerik. Jakarta : DIKTI. Walpole, R. & Myers. (986). Ilmu Peluang dan Statistika untuk Insinyur dan Ilmuwan. Bandung : Penerbit ITB. Waterloo Maple Inc. (). Maple 7 Learning Guide. Canada. Dewi Rachmatin 6

PRAKTIKUM Metode Bagidua dan Metode Posisi Palsu. MINGGU KE :. PERALATAN : LCD, Whiteboard, Komputer 3. SOFTWARE : Maple 7, Delphi 7, Turbo Pascal for Win Visual Basic 4. TUJUAN Setelah selesai praktikum mahasiswa diharapkan dapat menerapkan metode bagidua dan metode posisi palsu untuk menentukan hampiran akar pada masalah penentuan akar persamaan tak linier, dengan bantuan software yang dikuasainya. 5. TEORI PENGANTAR Metode bagidua (bisection method) memulai siklus iterasi dengan memilih dua tebakan awal yang dekat dengan akar persamaan. Dipilih dua tebakan awal dan yang cukup dekat dengan akar di mana nilai f ( ) dan nilai f ) berlawanan tanda. Pertama kali selang, ) dibagidua dan titik ( tengahnya dinamakan, sehingga ( ) /. ( Jika f ( ) = maka adalah akar persamaan yang dicari. Bagaimana jika f ( ) >? akar terletak antara dan, dan digantikan oleh. Selanjutnya akar ditentukan pada selang yang baru, yang panjangnya setengah dari selang terdahulu. Sekali lagi dihitung f ) pada titik tengah dari selang yang baru ini. Pada selang yang baru ini f ) < sehingga akar terletak antara dan. Gantikan dengan dan sekali lagi bagidua selang yang baru. ( Pengulangan pembagiduaan membuat akar semakin dekat dengan selang ( yang dicari dan selang ini dibagidua dalam setiap iterasi. Dewi Rachmatin 7

Metode posisi palsu atau metode regula falsi ini dibuat untuk memperbaiki metode bagidua yaitu untuk mempercepat kekonvergenan metode bagidua. Prosedur metode posisi palsu mulai dengan memilih dua tebakan awal yaitu dan di mana nilai fungsinya pada kedua tebakan awal ini berbeda tanda. Hubungkan kedua titik yaitu, f ( )) dan, f ( )) dengan garis lurus, ( ( dan tentukan titik perpotongan garis ini dengan sumbu X. Sebut absis titik perpotongan dengan. Jika f ( ) dan f ( ) berlawanan tanda maka gantikan dengan. Kemudian gambarkan sebuah garis lurus yang menghubungkan titik (, f ( )) dengan, f ( )) untuk menentukan titik perpotongan yang baru. ( Tetapi jika f ( ) dan f ( ) tidak berbeda tanda maka gantikan dengan, kemudian tentukan titik perpotongan yang baru. ( Misalkan tan merupakan kemiringan garis yang menghubungkan, f ( )) dan, f ( )) sehingga diperoleh persamaan berikut. ( tan = f ( ) f ( ). Dari sifat sudut-sudut sehadap diperoleh : f ( ) f ( tan = ) atau tan = f ( ). Sehingga diperoleh : f ( ) f ( ). f ( ) f ( ) Dewi Rachmatin 8

6. LANGKAH KERJA Untuk menentukan hampiran akar dengan metode bagidua dan metode posisi palsu ikuti algoritma-algoritma berikut : Algoritma Metode Bagidua : Masukan : f (),,, Keluaran : akar ( ) Langkah : / Jika f ). f ( ) maka cetak proses gagal, tebakan awal ( tidak cocok. Selesai 3 Jika f ( ). f ( ) maka, jika tidak 4 Jika / maka akar = 5 Ulangi kembali langkah. Selesai Algoritma Metode Posisi Palsu : Masukan : f (),,, Keluaran : akar ( ) Langkah : y f ) ; y f ( ) ( y y y / y 3 y f ) ( 4 Jika y maka akar =. Selesai 5 Jika y. y maka, y y, jika tidak, y y. 6 Ulangi langkah. Dewi Rachmatin 9

7. TUGAS. Tentukan hampiran akar persamaan berikut dengan menerapkan metode bagidua dan metode posisi palsu. (a) e ln ; =, = (b) ln 3 ; =, = 4 (c) e ; =, = (d) cos ; =,8, =,6. Tentukan dua akar dari persamaan berikut : f ( ) sin cos sampai tiga digit keberartian menggunakan : (a) Metode bagidua (b) Metode posisi palsu Daftar Pustaka : Daftar pustaka sama dengan daftar pustaka praktikum pertama. Dewi Rachmatin

PRAKTIKUM 3 METODE NEWTON-RAPHSON METODE SECANT. MINGGU KE : 3. PERALATAN : LCD, Whiteboard, Komputer 3. SOFTWARE : Maple 7, Delphi 7, Turbo Pascal for Win Visual Basic 4. TUJUAN Setelah selesai praktikum mahasiswa diharapkan dapat menerapkan metode N-R dan metode Secant untuk menentukan hampiran akar pada masalah penentuan akar persamaan tak linier, dengan bantuan software yang dikuasainya. 5. TEORI PENGANTAR Prosedur metode Newton-Raphson (metode N-R) mulai dari sebarang titik yang cukup dekat dengan akar. Langkah : Tentukan kemiringan dari fungsi f () pada. Namakan f ). ( Langkah : Tentukan hampiran akar yaitu dengan menggunakan persamaan Langkah 3 : f f ( ( ) atau ) f ( ). f ( ) Secara umum untuk memperoleh hampiran akar ke (i+) f ( i ) digunakan rumus : i i. f ( ) Hentikan iterasi bila dua hampiran akar yang berurutan cukup dekat. i Dewi Rachmatin

Metode secant menghampiri turunan pertama fungsi f ( ) pada masalah penentuan hampiran akar persamaan f ( ), dengan : f ( ) i f ( ) f ( i i i ) i di mana i dan i adalah dua hampiran akar untuk iterasi ke-i dan iterasi ke i-. Nilai hampiran akar pada iterasi ke i+ diperoleh dari dua nilai hampiran akar sebelumnya yaitu i dan i yang diterapkan pada persamaan tersebut : i i f ( ) f ( ) f ( i i i f ( i i ) ) dengan i adalah absis titik perpotongan garis lurus yang menghubungkan dua titik yaitu, f ( )) dengan, f ( )). ( i i ( i i 6. LANGKAH KERJA Untuk menentukan hampiran akar dengan metode N-R dan metode Secant ikuti algoritma-algoritma berikut : Algoritma Metode Newton-Raphson : Masukan : f (), f (),, delta,, n Keluaran : akar ( ) Langkah : Iterasi = Jika f delta maka cetak kemiringan terlalu kecil. Selesai. 3 f / f 4 Jika 5 / maka cetak akar =. Selesai 6 Iterasi = Iterasi + 7 Jika Iterasi < n, kembali ke langkah 8 Proses belum konvergen. Selesai. Dewi Rachmatin

Algoritma Secant : Masukan : f (),,,, delta, n Keluaran : akar ( ) Langkah : Iterasi = Jika f f delta maka cetak f f terlalukecil.selesai 3 f f f / f 4 Jika f e maka akar =. Selesai 5 f f 6 f f 7 8 9 Iterasi = iterasi + Jika Iterasi < n, kembali ke langkah 3 Proses belum konvergen. Selesai 7. TUGAS Tentukan hampiran akar persamaan berikut dengan menerapkan metode N-R dan metode Secant.. e ln =.. ln 3 ; =. 4 3. e ; =. 4. cos ; =,8. Daftar Pustaka : Daftar pustaka sama dengan daftar pustaka praktikum pertama. Dewi Rachmatin 3

PRAKTIKUM 4 METODE ITERASI TITIK TETAP. MINGGU KE : 4. PERALATAN : LCD, Whiteboard, Komputer 3. SOFTWARE : Maple 7, Delphi 7, Turbo Pascal for Win Visual Basic 4. TUJUAN Setelah selesai praktikum mahasiswa diharapkan dapat menerapkan metode iterasi titik tetap untuk menentukan hampiran akar pada masalah penentuan akar persamaan tak linier, dengan bantuan software yang dikuasainya. 5. TEORI PENGANTAR Pada metode iterasi titik tetap, persamaan f ( ) secara aljabar dapat ditransformasi menjadi bentuk g(). Sehingga prosedur iterasi yang berpadanan dengan bentuk tersebut adalah g( ) Contoh : n n. Tentukan akar persamaan berikut : f ( ) 8. Penyelesaian : Persamaan (.) dapat ditulis : g ( ) = 4. Sehingga n g( n ) = n 4. Persamaan di atas juga dapat ditulis sebagai : g ( ) 8 g3 ( ) 8 dan g ( ) 8 4 Dewi Rachmatin 4

Kekonvergenan metode ini bergantung pada kenyataan bahwa di sekitar akar, kurva g () kurang curamnya daripada garis lurus y = atau kondisi g ( ) merupakan syarat cukup untuk kekonvergenan. 6. LANGKAH KERJA Algoritma Metode Iterasi Titik Tetap : Masukan : g (),,, n Keluaran : akar ( ) Langkah : Iterasi = g ) ( 3 Jika 4 / maka akar = 5 Iterasi = iterasi + 6 Jika Iterasi < n, kembali ke langkah 7 Proses belum konvergen. Selesai. Selesai 7. TUGAS Tentukan hampiran akar persamaan berikut dengan menerapkan metode Iterasi Titik Tetap.. e ln =.. ln 3 ; =. 4 3. e ; =. 4. cos ; =,8. Daftar Pustaka : Daftar pustaka sama dengan daftar pustaka praktikum pertama. Dewi Rachmatin 5

PRAKTIKUM 5 INTERPOLASI BEDA MAJU NEWTON INTERPOLASI BEDA MUNDUR NEWTON. MINGGU KE : 5. PERALATAN : LCD, Whiteboard, Komputer 3. SOFTWARE : Maple 7, Delphi 7, Turbo Pascal for Win Visual Basic 4. TUJUAN Setelah selesai praktikum mahasiswa diharapkan dapat menentukan hampiran nilai fungsi dari argumen-argumen yang ditabelkan dengan interpolasi beda maju dan beda mundur Newton. 5. TEORI PENGANTAR Andaikan diberikan suatu tabel nilai-nilai numeris f j f ( j ) dari suatu fungsi f pada titik - titik yang berjarak sama:, = + h, = + h, 3 = + 3h,..., dengan h > tetap, dengan f ( j ) mungkin berupa hasil suatu rumus atau mungkin diperoleh secara empiris dari percobaan. Andaikan pula f, f, f, f, f,..., adalah nilai-nilai dari f ( j ) masing-masing untuk,,,,,...maka ( f f ),( f f ),( f f ),( f f ),..., disebut beda-beda dari f j f ( j ). Beda maju pertama dinotasikan dengan : fm f m f m. Beda dari beda-beda maju pertama disebut beda-beda maju kedua dan dinotasikan: fm fm fm. Dengan cara yang sama dapat dinotasikan beda-beda maju ketiga, keempat, dan seterusnya. Bentuk umumnya: Dewi Rachmatin 6

n+ f m = n f m+ - n f m untuk n =,,,... Beda - beda Mundur (Backward Difference) Notasi yang dipakai dalam beda-beda mundur adalah sebagai berikut: f = f - f ; f = f - f ; dan seterusnya, disebut beda-beda mundur pertama. Secara umum ditulis: f m = f m - f m-. Beda dari beda-beda mundur pertama disebut beda-beda mundur kedua dan dinotasikan: f m = f m - f m-. Dengan cara yang sama dapat dinotasikan beda-beda mundur ketiga, keempat, dan seterusnya. Bentuk umumnya: n+ f m = n f m - n f m- untuk n =,,,... Bentuk interpolasi yang paling sederhana adalah menghubungkan dua titik data dengan garis lurus. Teknik ini yang dinamakan interpolasi linier : P () = f + r. f ; dengan = + rh, r =, r n. h Jika tersedia tiga titik data (,f ), (,f ), dan (,f ), lebih baik digunakan polinom orde kedua (juga disebut polinom kuadrat atau parabola). Rumus interpolasi kuadrat dinyatakan : r( r ) p () = f + r. f + f. Interpolasi kuadrat lebih baik daripada interpolasi linier. Tentu akan lebih baik lagi bila kita memakai polinom yang derajatnya lebih tinggi lagi. Bila polinom interpolasi derajat n yang diinginkan, maka jumlah titik yang dibutuhkan harus (n+) buah. Dewi Rachmatin 7

Newton : Polinom interpolasi derajat n diberikan dalam rumus interpolasi beda-maju n r s f() P n () = f s s r( r ) = f + r. f + f! +... + r( r )... (r - n ) n! n f dengan = + rh, r =, r n. h Suatu rumus yang serupa dengan rumus tadi tetapi melibatkan beda- mundur adalah rumus interpolasi beda-mundur Newton : f() P n () = f + r. f + + r ( r )... ( r n ) n! dengan = + rh, r = ( )/h, r n. r ( r ) f +..! n f 6. LANGKAH KERJA Algoritma setiap metode interpolasi pada topik praktikum ini ditugaskan untuk mahasiswa, dan diserahkan sebelum praktikum 5 dimulai. Dewi Rachmatin 8

7. TUGAS. Diberikan data berikut:,5 3 4 y,4,6,,65,6, Memakai interpolasi Newton f (), f (), f 3 () dan f 4 (), hitung nilai interpolasi di titik =,75.. Taksirlah ln dengan memakai interpolasi kuadrat bila diketahui ln =, ln 4 =,386944 dan ln 6 =,797595. Daftar Pustaka : Daftar pustaka sama dengan daftar pustaka praktikum pertama. Dewi Rachmatin 9

PRAKTIKUM 6 INTERPOLASI BEDA TERBAGI NEWTON. MINGGU KE : 6. PERALATAN : LCD, Whiteboard, Komputer 3. SOFTWARE : Maple 7, Delphi 7, Turbo Pascal for Win Visual Basic 4. TUJUAN Setelah selesai praktikum mahasiswa diharapkan dapat menerapkan algoritma polinom beda terbagi Newton untuk menyelesaikan masalah penghampiran nilai fungsi. 5. TEORI PENGANTAR Sebelum sampai kepada formula interpolasi beda terbagi Newton, didefinisikan terlebih dahulu beda-beda terbagi, yang secara iteratif dinyatakan oleh hubungan: f[, ] = f[,, ] = f ( ) f [ f[,,..., n ] = - f (, ) ] -............... f [, Formula Interpolasi Ordo linier. f [,...,, n n ] ] f [,,..., - n ] (3.) Formula ini diperoleh dengan cara yang sama seperti formula interpolasi - P () = f( ) + f ( f ( ) ) P () = f( ) + ( - ) f ( ) f ( ) - Dewi Rachmatin

P () = f( ) + ( - ).f[, ] Jadi diperoleh: P () = f + ( - ). f[, ] Formula Interpolasi Ordo Secara umum interpolasi ordo dinyatakan dengan: f() P () = a + a + a. Persamaan tersebut ekuivalen dengan polinomial P () = b + b ( - ) + b ( - ) ( - ). P ( ) = f + ( - ). f[, ] + ( - )( - ). f[,, ] Secara umum sampai dengan ordo n, kita peroleh formula interpolasi beda terbagi Newton sebagai berikut: f() = P n () = f + ( - ). f[, ] + ( - )( - ). f[,, ] +.... + ( - )( - )... ( - n- ). f[,,..., n ] 6. LANGKAH KERJA Algoritma Polinom Beda Terbagi Newton Masukan : n, i, f( i ) dengan i =,,,..., n., Keluaran : f() Langkah-langkah: b f( ) = f pbagi b 3 faktor Dewi Rachmatin

4 Untuk i =,,..., n, lakukan 5 b i f( i ) 6 Untuk j = i-, i-,...,, lakukan 7 b j b j b j i j 8 faktor faktor. ( - i- ) 9 suku b. faktor pbagi pbagi + suku Jika suku, selesai. 7. TUGAS Diketahui ln =, ln 4 =,386944 dan ln 6 =,797595 dan ln 5 =,694379. Taksirlah ln dengan memakai polinom interpolasi beda terbagi Newton ordo ketiga. Daftar Pustaka : Daftar pustaka sama dengan daftar pustaka praktikum pertama. Dewi Rachmatin

PRAKTIKUM 7 INTERPOLASI LAGRANGE. MINGGU KE : 7. PERALATAN : LCD, Whiteboard, Komputer 3. SOFTWARE : Maple 7, Delphi 7, Turbo Pascal for Win Visual Basic 4. TUJUAN Setelah selesai praktikum mahasiswa diharapkan dapat menerapkan interpolasi Lagrange untuk menyelesaikan masalah penghampiran nilai fungsi. 5. TEORI PENGANTAR Polinom Interpolasi Lagrange Polinom interpolasi Lagrange hanyalah perumusan ulang dari polinom Newton yang menghindari komputasi beda-beda terbagi. Dengan demikian, polinom interpolasi Lagrange dapat diturunkan langsung dari polinom interpolasi Newton tersebut. Polinom Interpolasi Lagrange Ordo Perhatikan kembali formula polinom interpolasi Newton ordo : f() P () = f + ( - ). f[, ] Untuk menurunkan bentuk Lagrange, beda-beda terbagi dirumuskan ulang f[, ] = f f Bentuk terakhir ini disubstitusikan ke persamaan pertama sehingga diperoleh: P () = j i i j i - j j. f i Dewi Rachmatin 3

Polinom Interpolasi Lagrange Ordo f[,, ] = Formula polinom interpolasi Newton ordo adalah: P () = f + ( - ). f[, ] + ( - ) ( - ). f[,, ] Beda-beda terbagi ordo dirumuskan ulang f f )( ) ( ( )( ) + f ( )( ) Bentuk terakhir ini disubstitusikan ke formula interpolasi Newton ordo sehingga diperoleh: P () = i j i j i - j j. f i Secara umum sampai dengan ordo n, kita peroleh formula interpolasi Lagrange sebagai berikut : P n () = n n j i i j i - n j.f i j i L ( ).f i i. 6. LANGKAH KERJA Algoritma Polinom Interpolasi Lagrange Masukan : n, i, f( i ) dengan i =,,,..., n Keluaran : plag Langkah-langkah: plag Dewi Rachmatin 4

Untuk i =,,,..., n lakukan: 3 faktor 4 Untuk j =,,,..., n 5 Jika j i, faktor faktor. j i j 6 plag plag + faktor. f( i ) 7. TUGAS. Diberikan data berikut: 3 5 6 f( 4,75 4 5,5 9,75 36 ) Hitung f(3,5) dengan memakai polinom Lagrange ordo sampai ordo 3.. Diberikan titik-titik simpul =, =, = 3, dan 4 = 5. Memakai interpolasi polinom Lagrange tentukan interpolasi di titik = 4 dan = 3,5. Andaikan f() = Sin (/6). Daftar Pustaka : Daftar pustaka sama dengan daftar pustaka praktikum pertama. Dewi Rachmatin 5

PRAKTIKUM 8 METODE ELIMINASI GAUSS DAN PIVOTING PADA SISTEM PERSAMAAN LINIER. MINGGU KE : 8. PERALATAN : LCD, Whiteboard, Komputer 3. SOFTWARE : Maple 7, Delphi 7, Turbo Pascal for Win Visual Basic 4. TUJUAN Setelah selesai praktikum mahasiswa diharapkan dapat menerapkan metode eliminasi Gauss dan Pivoting untuk menyelesaikan masalah-masalah pada sistem persamaan linier. 5. TEORI PENGANTAR Bentuk-bentuk sistem persamaan linier sangat banyak muncul dalam aplikasi, misalnya dalam jaringan listrik, sehingga perlu dicari metode untuk menyelesaikannya. Pada bagian ini akan dibicarakan mengenai sistem persamaan linier saja yang dalam penyajiannya akan menggunakan bentuk matriks. Pada prinsipnya untuk menyelesaikan sistem persamaan linier ada dua macam, yaitu: ) Cara langsung, antara lain dengan eleminasi Gauss dan dekomposisi LU. ) Cara tidak langsung (iteratif), antara lain dengan metode Jacobi dan metode Gauss-Seidel. Sistem persamaan linier yang mempunyai matriks koefisien berupa matriks segitiga atas disebut sistem persamaan linier segitiga atas. Sistem persamaan linier seperti itu dapat dituliskan dalam bentuk : Dewi Rachmatin 6

a a a a n-,n- n a a a n n n,n a nn n n n n c c c c n n Dengan asumsi elemen-elemen diagonal tak nol, a kk untuk k =,,..., n, maka terdapat suatu solusi tunggal dari sistem persamaan linier di atas. Kondisi a kk ini sangat penting karena persamaan tersebut melibatkan pembagian oleh a kk. Jika persyaratan ini tidak terpenuhi maka solusinya tidak ada atau terdapat takhingga banyaknya solusi. Untuk mengatasi hal tersebut dilakukan pengaturan kembali susunan sistem persamaannya sedemikian sehingga elemen diagonal yang dipakai sebagai tumpuan dipilih tidak sama dengan nol. Cara tersebut sering disebut eliminasi dengan pivoting. Penyelesaian sistem persamaan linier segitiga atas mudah dicari dengan mempergunakan substitusi mundur (backward substitution). Proses inilah yang disebut eliminasi Gauss. Pada eliminasi Gauss, bilangan a kk pada posisi (k,k) yang dipakai untuk mengeliminasi k dalam baris-baris k+, k+,..., n dinamakan elemen tumpuan (pivot) ke-k, dan k disebut baris tumpuan. Metode eliminasi Gauss terdiri dari 3 macam, yaitu: ) Eliminasi Gauss naif (= apa adanya, tidak mempedulikan nilai pivot). ) Eliminasi Gauss pivoting parsial. 3) Elimnasi Gauss pivoting parsial terskala. Sistem persamaan linier yang mempunyai matriks koefisien berupa matriks segitiga bawah disebut sistem persamaan linier segitiga bawah. Sistem persamaan linier seperti itu dapat dituliskan dalam bentuk: a a a n a c a n a nn n c c n Dewi Rachmatin 7

Metode Eliminasi Gauss Naif Eliminasi Gauss naif termasuk hitungan langsung sehingga galatnya tidak dapat diatur (perambatan galat sulit dihindari). Selain itu juga, elemen tumpuan yang nol sulit dihindari. Untuk itulah diperbaiki dengan strategi pivoting. Jika a kk =, perlu mencari baris r, dengan a rk dan r > k, kemudian mempertukarkan baris k dengan baris r sehingga diperoleh elemen tumpuan tak nol. 6. LANGKAH KERJA Algoritma Substitusi Mundur untuk Matriks Segitiga Atas Masukan : n, a ij, c i, i,j =,,..., n. Keluaran : i, i =,,..., n. Langkah-langkah: n = c n /a nn Untuk k = n-, n-,..., lakukan: jumlah Untuk j = k+, k+,..., n lakukan: jumlah jumlah + a kj. j k ( C k jumlah ) / a kk Algoritma Substitusi Maju untuk Matriks Segitiga Bawah ditugaskan kepada mahasiswa, dan harus dibawa ketika akan melaksanakan praktikum kedelapan. Dewi Rachmatin 8

Algoritma Eliminasi Gauss Naif Masukan : n, a(i,j), i =,,..., n j =,,..., n+ Keluaran : (i), i =,,..., n. Langkah-langkah:. Untuk k =,,..., n-, lakukan: Jika a kk maka ke langkah 7 Jika tidak, maka baris k. Untuk i = k +, k+,..., n, lakukan: Jika a ik, maka ke langkah 4 Jika tidak, ke langkah 3 3. Cetak Matriks Singular, selesai 4. Baris i 5. Untuk i = k, k +,..., n+, lakukan: D a ki a baris,i a ki a baris, i 6. Untuk i = k+, k+,..., n, lakukan: P a ik /a kk Untuk j = k+, k+,..., n+, lakukan: a ij D a ij - P.a kj a ik 8. Jika a nn =, maka matriks singular. Selesai. 9. n a n,n+ /a nn. Untuk k = n-, n-,...,, lakukan: jumlah Untuk j = k+, k+,..., n, lakukan: jumlah jumlah + a kj * j k (a k,n+ - jumlah) /a kk Dewi Rachmatin 9

7. TUGAS. Selesaikan SPL segitiga atas berikut + + 3-4 = - 3 + 4 = 9 3 3 + 4 = 6-4 = -6. Selesaikan SPL berikut dengan eliminasi Gauss naif dan eliminasi Gauss pivoting parsial. a. - + 3 = + + 3 = 9 3 - + 3 3 = b. + 4 + 7 3-4 = 4 + 8 + 4 3 = 8 + 5 + 4 3-3 4 = - 4 + 3-4 = Daftar Pustaka : Daftar pustaka sama dengan daftar pustaka praktikum pertama. Dewi Rachmatin 3

PRAKTIKUM 9 ITERASI JACOBI ITERASI GAUSS-SEIDEL. MINGGU KE : 9. PERALATAN : LCD, Whiteboard, Komputer 3. SOFTWARE : Maple 7, Delphi 7, Turbo Pascal for Win Visual Basic 4. TUJUAN Setelah selesai praktikum mahasiswa diharapkan dapat menggunakan iterasi Jacobi dan iterasi Gauss-Seidel untuk menyelesaikan masalah sistem persamaan linier. 5. TEORI PENGANTAR Iterasi Jacobi dan iterasi Gauss-Seidel merupakan metode penyelesaian SPL secara tak langsung. Dalam metode eliminasi Gauss melibatkan banyak galat pembulatan yang dapat menyebabkan solusi yang diperoleh jauh dari solusi sebenarnya. Dengan kedua metode iterasi ini galat pembulatan dapat diperkecil, karena iterasi dapat diteruskan sampai solusinya seteliti mungkin, sesuai dengan batas galat yang diinginkan. SPL AX = C dapat diselesaikan dengan metode ini sehingga konvergen, apabila matriks koefisien A memenuhi syarat cukup yaitu dominan secara diagonal: a ii a ij n j, ji, untuk i =,, 3,..., n. Dewi Rachmatin 3

Pandang SPL: a + a +... + a n n = b a + a +... + a n n = b a n + a n +... + a nn n = b n dengan matriks koefisiennya dominan secara diagonal. Untuk mencari hampiran solusinya disarankan bentuk-bentuk iteratif berikut: = = n = b ( a a3 3 an n ) a b ( a a33 an n ) a bn ( an an an,n n a nn Misalkan diberikan nilai awal (,,..., n ), bentuk umum proses iteratif Jacobi adalah b i n j ji a k i untuk i,,...,n dan k,,,... a ii ij k j Sedangkan bentuk umum proses iteratif Gauss-Seidel adalah k i i n b k i a ij j j j i a ii k j a ij ) untuk i =,,..., n dan k =,,,.. 6. LANGKAH KERJA Algoritma iterasi Jacobi dan iterasi Gauss-Seidel ditugaskan kepada mahasiswa dan wajib diserahkan sebelum praktikum kesembilan dilaksanakan. Dewi Rachmatin 3

7. TUGAS Carilah hampiran akar SPL berikut sampai iterasi ke 3 dengan iterasi Jacobi dan iterasi Gauss-Seidel. Mulailah dengan nilai awal (,y,z) = (,,) sehingga konvergen ke penyelesaiannya.. 5 - y + z = + 8y - z = - + y + 4z = 3. + + 3 3 = 3 - + 3 = - + 4-3 = 4 Daftar Pustaka : Daftar pustaka sama dengan daftar pustaka praktikum pertama. Dewi Rachmatin 33

PRAKTIKUM PENGHAMPIRAN FUNGSI DENGAN METODE KUADRAT TERKECIL (REGRESI LINIER). MINGGU KE :. PERALATAN : LCD, Whiteboard, Komputer 3. SOFTWARE : Maple 7, Delphi 7, Turbo Pascal for Win Visual Basic 4. TUJUAN Setelah selesai praktikum mahasiswa diharapkan dapat menggunakan metode kuadrat terkecil untuk menghampiri nilai fungsi dengan model yang cocok. 5. TEORI PENGANTAR Pada praktikum sebelumnya telah dipelajari teknik interpolasi untuk memperkirakan nilai sebuah fungsi untuk suatu argumen yang bukan anggota dari argumen-argumen yang ditabulasikan. Diasumsikan bahwa nilai-nilai yang ditabulasikan tidak mempunyai galat atau kesalahan. Jika nilai-nilai pada tabel diperoleh sebagai hasil pengamatan, nilai-nilai itu akan mempunyai galat hasil pengamatan. Galat hasil pengamatan ini adalah kuantitas yang acak dan dapat digambarkan hanya secara statistika saja. Galat-galat ini akan bervariasi atas sebuah rentangan dan beberapa galat kemungkinan cukup besar. Pada kasus seperti ini dapat dicocokkan sebuah hampiran kurva dengan tujuan memperoleh sebuah kurva yang secara statistika terbaik atau yang paling cocok. Andaikan,,, n adalah nilai-nilai dari sebuah peubah bebas X dan y, y,, yn adalah nilai-nilai dari peubah tak bebas (terikat) Y yang bersesuaian dengan X. Misalkan yˆ fˆ( ) adalah nilai hampiran atau taksiran untuk sebuah Dewi Rachmatin 34

fungsi f. Galat antara ŷ nilai-nilai hampiran untuk fungsi f dengan y nilainilai sebenarnya yang ditabulasikan adalah d y yˆ y fˆ ( ) i i i i i Jika suatu data yang diplot mengumpul di sekitar sebuah garis lurus sehingga dapat dikatakan bahwa sebuah garis lurus menggambarkan situasi yang cukup masuk akal, sehingga dapat dinyatakan dengan persamaan : yˆ a a yang menggambarkan sebuah garis lurus. Jumlah kuadrat simpangannya atau jumlah kuadrat galatnya adalah : n n S = yˆ y a a i i i y. i i Kita akan mendiskusikan sebuah metode penghitungan a dan a pada persamaan linier tadi dengan meminimumkan jumlah kuadrat galat antara nilainilai yang diukur dan yang diberikan pada persamaan tersebut. Maka untuk meminimumkan S, diambil turunan parsial dari S terhadap a dan a kemudian samakan dengan nol, hasilnya diperoleh persamaan yang disebut persamaan normal. Metode kuadrat terkecil ini dapat diterapkan pada kasus-kasus yang lain seperti : fungsi polinom derajat yˆ a a a i, fungsi eksponensial b yˆ a e, fungsi hiperbol yˆ, kurva geometri yˆ a b c dan a b fungsi trigonometri ˆ A sin y. 6. LANGKAH KERJA Algoritma untuk Regresi Linear Masukan : n,, y ) untuk i=,,n ( i i Keluaran : a dan a Langkah : Jumlah sq = Dewi Rachmatin 35

Jumlah y = 3 Jumlah y = 4 Untuk i=,,n lakukan : 5 baca i, y i 6 jumlah = jumlah + 7 jumlah sq = jumlah sq + 8 jumlah y = jumlah y + y 9 jumlah y = jumlah y +. y denom = n. jumlah sq jumlah. jumlah a = (jumlah y. jumlah sq jumlah.jumlah y )/denom a = (n. jumlah y jumlah. jumlah y )/denom 3 cetak a, a. Selesai. 7. TUGAS. Sebuah percobaan memberikan nilai-nilai pada tabel berikut untuk peubah tak bebas y untuk himpunan nilai-nilai yang diberikan. Lakukan pencocokan kuadrat terkecil yang sesuai untuk data berikut. 3 4 5 6 7 8 9 y 5,5 7, 9,6,5,6 4,4 7,6 9,5,5. Untuk data pada tabel berikut, plot y vs. Dari plot tersebut tebak bentuk kurva yang cocok. Gunakan metode kuadrat terkecil untuk mencocokkan kurva. 3 4 5 6 7 8 9 y 7,6 3, 7,4 33, 6,5 86,4 5, 47, 8, Daftar Pustaka : Daftar pustaka sama dengan daftar pustaka praktikum pertama. Dewi Rachmatin 36

PRAKTIKUM INTEGRASI NUMERIK (ATURAN KOMPOSISI TRAPESIUM). MINGGU KE :. PERALATAN : LCD, Whiteboard, Komputer 3. SOFTWARE : Maple 7, Delphi 7, Turbo Pascal for Win Visual Basic 4. TUJUAN Setelah selesai praktikum mahasiswa diharapkan dapat menerapkan aturan komposisi trapesium untuk menyelesaikan masalah integrasi numerik. 5. TEORI PENGANTAR Mengevaluasi suatu integral tertentu b I = a f ( )d untuk f() kontinu dalam selang [a,b], dengan metode analitik biasanya sulit bahkan ada yang tak dapat dievaluasi. Walaupun fungsi tersebut merupakan bentuk analitik yang relatif sederhana. Mengatasi persoalan ini dan persoalan integrasi yang lebih umum yang hanya mempunyai beberapa nilai dari f() (dengan argumen = i, i =,,,..., n) dibutuhkan beberapa pendekatan. Pilihannya adalah mencari sebuah fungsi, misalnya g() yang sesuai untuk mengatasi kedua persoalan yaitu merupakan pendekatan dari f() yang mudah untuk diintegralkan secara b analitik. Kemudian I = a f ( )d dapat diperkirakan sebagai I h = Aturan Trapesium untuk menghampiri I adalah : b a g ( )d. b a f ( )d h f ( a ) f ( b ) dengan h = b - a. Dewi Rachmatin 37

h = Jika selang [a,b] dibagi menjadi n selang bagian dengan lebar selang : b a. Berdasarkan aturan trapesium diperoleh aturan komposisi trapesium n sebagai berikut : b a n h f ( )d f ( a ) f ( b ) f ( i ). i 6. LANGKAH KERJA Algoritma untuk Komposisi Trapesium ditugaskan kepada mahasiswa, dan harus diserahkan ketika akan melaksanakan praktikum sebelas. 7. TUGAS Diketahui f() = cos,,5,5. Hitunglah,5 f ( ) d aturan komposisi trapesium, jika selang [,5 ;,5],5 dibagi menjadi 4 selang bagian. Daftar Pustaka : Daftar pustaka sama dengan daftar pustaka praktikum pertama. Dewi Rachmatin 38

PRAKTIKUM INTEGRASI NUMERIK (ATURAN KOMPOSISI SIMPSON). MINGGU KE :. PERALATAN : LCD, Whiteboard, Komputer 3. SOFTWARE : Maple 7, Delphi 7, Turbo Pascal for Win Visual Basic 4. TUJUAN Setelah selesai praktikum mahasiswa diharapkan dapat menerapkan aturan komposisi Simpson untuk menyelesaikan masalah integrasi numerik. 5. TEORI PENGANTAR Integral numerik yang lain yaitu aturan Simpson. Aturan Simpson mirip dengan aturan trapesium yaitu keduanya membagi daerah yang akan diintegralkan dalam interval bagian yang kecil dan kemudian menjumlahkan semua integral dari daerah yang dibatasi oleh sumbu yang kecil tersebut. Hanya dalam aturan Simpson pendekatan fungsi f() diperoleh dari interpolasi polinomial derajat dua (parabola) yang melalui tiga ordinat dari dua selang yang berdampingan. Jadi aturan Simpson akan tepat untuk fungsi derajat dua atau lebih kecil. Telah dikatakan bahwa, untuk memperoleh hampiran nilai integrasi yang lebih teliti, digunakan polinom interpolasi berderajat lebih tinggi. Apabila fungsi f() dihampiri dengan polinom interpolasi derajat, dibutuhkan 3 buah titik data a b misalkan (a, f(a)), (c,f(c)) dan (b,f(b)), di mana c =. Aturan Simpson untuk menghampiri I adalah I h f o 4 f f. 3 Dewi Rachmatin 39

Jika selang [a,b] dipartisi menjadi (M+) titik dengan M genap, dengan b a lebar selang bagiannya h =. M o =a h h h 3 h 4... M- h M- h M = b Berdasarkan aturan Simpson diperoleh I b f ( )d f ( )d f ( )d a 4 a M b f ) d I 4 M M f ( a ) f ( b ) 4 f ( ) f ( 3 i i i i i i ). 6. LANGKAH KERJA Algoritma untuk Komposisi Simpson ditugaskan kepada mahasiswa, dan harus diserahkan ketika akan melaksanakan praktikum sebelas. 7. TUGAS Diketahui f() = cos,,5,5. Hitunglah,5,5 f ( ) d dengan aturan komposisi Simpson, jika selang [,5 ;,5] dibagi menjadi 4 selang bagian. Daftar Pustaka : Daftar pustaka sama dengan daftar pustaka praktikum pertama. Dewi Rachmatin 4

PRAKTIKUM 3 INTEGRASI NUMERIK (KUADRATUR GAUSS-LEGENDRE). MINGGU KE : 3. PERALATAN : LCD, Whiteboard, Komputer 3. SOFTWARE : Maple 7, Delphi 7, Turbo Pascal for Win Visual Basic 4. TUJUAN Setelah selesai praktikum mahasiswa diharapkan dapat menerapkan aturan kuadratur Gauss-Legendre untuk menyelesaikan masalah integrasi numerik. 5. TEORI PENGANTAR Kita ingin menghitung luas daerah di bawah kurva Y = f() pada yaitu I f ( ) d dengan aturan trapesium. galat Y Y = f() - X h I f ( )d f ( ) f ( ) f ( ) f ( ) dengan h = (-(-)) =. Persamaan I f() + f(-) dapat ditulis sebagai I W f(a) + W f(b) dengan a = -, b =, W = W = h = =. Dewi Rachmatin 4

Pendekatan integrasi dengan metode kuadratur Gauss yaitu, menghitung nilai integrasi numerik cukup diperoleh dengan menghitung nilai fungsi f() pada beberapa titik tertentu. Titik-titik tersebut diatur sedemikian sehingga garis lurus tersebut menyeimbangkan galat positif dan galat negatif. Luas daerah yang dihitung sekarang adalah luas daerah di bawah garis lurus yang dinyatakan sebagai I f ( )d W f ( ) W f ( ) dengan W, W,, dan adalah sembarang nilai. Kita harus memilih W, W,, dan sedemikian sehingga galat integrasinya minimum. Persamaan ini dinamakan persamaan kuadratur Gauss. I f ( ) d f ( 3 ) f ( 3 ) Persamaan ini dinamakan metode Gauss-Legendre titik. Dengan metode ini, menghitung integral f() dalam selang [-, ] cukup hanya dengan mengevaluasi fungsi f di = / 3 dan di = - 3. 6. LANGKAH KERJA Algoritma untuk kuadratur Gauss-Legendre ditugaskan kepada mahasiswa, dan harus diserahkan ketika akan melaksanakan praktikum sebelas. 7. TUGAS Diketahui f() = cos,,5,5. Hitunglah,5,5 f ( ) d dengan aturan Gauss-Legendre 4 titik. Daftar Pustaka : Daftar pustaka sama dengan daftar pustaka praktikum pertama. Dewi Rachmatin 4

PRAKTIKUM 4 PERSAMAAN DIFERENSIAL BIASA (METODE EULER). MINGGU KE : 4. PERALATAN : LCD, Whiteboard, Komputer 3. SOFTWARE : Maple 7, Delphi 7, Turbo Pascal for Win Visual Basic 4. TUJUAN Setelah selesai praktikum mahasiswa diharapkan dapat menerapkan metode Euler untuk menyelesaikan penentuan solusi Persamaan Diferensial Biasa. 5. TEORI PENGANTAR Diberikan PDB orde satu, y' = dy/d = f(,y) dan y( ) = y Misalkan y r = y( r ) adalah hampiran nilai y di r yang dihitung dengan metode Euler. Dalam hal ini r = + rh, r =,,,...n. Metoda Euler diturunkan dengan menguraikan y( r+ ) di sekitar r ke dalam deret Taylor : y( r+ ) = y( r ) + ( r r! ). y' ( r ) + ( r r )! Bila persamaan (*) dipotong sampai suku orde tiga, diperoleh. y"( r ) +... (5.) ( ) y( r+ ) y( r ) + r r (. y' ( r ) + r r ). y"(t), r < t < r+.(5.)!! Tetapi karena y' ( r ) = f( r, y r ) dan r+ - r = h, maka persamaan (5.) dapat ditulis menjadi h y( r+ ) y( r ) + hf( r, y r ) + y" (t) (5.3) Dewi Rachmatin 43

Dua suku pertama persamaan (5.3) yaitu y( r+ ) y( r ) + hf( r, y r ) ; r =,,,...,n menyatakan persamaan metode Euler atau metode Euler-Cauchy. 6. LANGKAH KERJA Algoritma untuk metode Euler ditugaskan kepada mahasiswa, dan harus diserahkan ketika akan melaksanakan praktikum. 7. TUGAS. Diberikan persamaan diferensial berikut: dy/d = -y, y() =. Lakukan perhitungan numerik untuk menaksir nilai y pada nilai-nilai dalam selang [,5]. Ambil ukuran langkah h =, dengan menggunakan metode Euler.. Diberikan persamaan diferensial berikut: dy/d = y, y() =. Tentukan nilai (,4) dengan metode Euler dengan ukuran langkah : h =,. Daftar Pustaka : Daftar pustaka sama dengan daftar pustaka praktikum pertama. Dewi Rachmatin 44

PRAKTIKUM 5 PERSAMAAN DIFERENSIAL BIASA (METODE HEUN). MINGGU KE : 5. PERALATAN : LCD, Whiteboard, Komputer 3. SOFTWARE : Maple 7, Delphi 7, Turbo Pascal for Win Visual Basic 4. TUJUAN Setelah selesai praktikum mahasiswa diharapkan dapat menerapkan metode Heun untuk menyelesaikan penentuan solusi Persamaan Diferensial Biasa. 5. TEORI PENGANTAR Metode Euler mempunyai ketelitian yang rendah karena galatnya besar (sebanding dengan h). Buruknya galat ini dapat dikurangi dengan menggunakan metode Heun, yang merupakan perbaikan metode Euler. Pada metode Heun, solusi dari metode Euler dijadikan sebagai solusi perkiraan awal, selanjutnya, solusi perkiraan awal ini diperbaiki dengan metode Heun. Metode Heun diturunkan sebagai berikut : Pandang PDB orde satu y' () = f(, y()) Integrasikan kedua ruas persamaan dari r sampai r+ : r r f (, y( )) d = y ( ) d = = y r+ - y r. r r Nyatakan y r+ di ruas kiri dan suku-suku lainnya di ruas kanan : r y r+ = y r + f (, y( )) d r r Suku f (, y( )) d dapat diselesaikan dengan aturan trapesium menjadi r Dewi Rachmatin 45

r h f (, y( )) d [f(r,y r ) + f( r+, y r+ )] r Substitusikan persamaan ini ke dalam persamaan sebelumnya menghasilkan persamaan : y r+ = y r + h [f(r,y r ) + f( r+, y r+ )] yang merupakan metode Heun, atau metode Euler-Cauchy yang diperbaiki. 6. LANGKAH KERJA Algoritma untuk metode Heun ditugaskan kepada mahasiswa, dan harus diserahkan ketika akan melaksanakan praktikum. 7. TUGAS. Diberikan persamaan diferensial berikut: dy/d = -y, y() =. Lakukan perhitungan numerik untuk menaksir nilai y pada nilai-nilai dalam selang [,5]. Ambil ukuran langkah h =, dengan menggunakan metode Heun.. Diberikan persamaan diferensial berikut: dy/d = y, y() =. Tentukan nilai (,4) dengan metode Heun dengan ukuran langkah : h =,. Daftar Pustaka : Daftar pustaka sama dengan daftar pustaka praktikum pertama. Dewi Rachmatin 46