MODEL EPIDEMI SIRS DENGAN TIME DELAY

MODEL EPIDEMI SIRS DENGAN TIME DELAY TESIS Oleh FERDINAND SINUHAJI 127021034/MT FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM UNIVERSITAS SUMATERA UTARA MEDAN 2014

MODEL EPIDEMI SIRS DENGAN TIME DELAY T E S I S Diajukan Sebagai Salah Satu Syarat untuk Memperoleh Gelar Magister Sains dalam Program Studi Magister Matematika pada Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Oleh FERDINAND SINUHAJI 127021034/MT FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM UNIVERSITAS SUMATERA UTARA MEDAN 2014

Judul Tesis : MODEL EPIDEMI SIRS DENGAN TIME DELAY Nama Mahasiswa : Ferdinand Sinuhaji Nomor Pokok : 127021034 Program Studi : Magister Matematika Menyetujui, Komisi Pembimbing (Prof. Dr. Tulus, M.Si) Ketua (Dr. Sutarman, M.Sc) Anggota Ketua Program Studi Dekan (Prof. Dr. Herman Mawengkang) (Dr. Sutarman, M.Sc) Tanggal lulus : 22 Desember 2014

Telah diuji pada Tanggal 22 Desember 2014 PANITIA PENGUJI TESIS Ketua : Prof. Dr. Tulus, M.Si Anggota : 1. Dr. Sutarman, M.Sc 2. Dr. Ester Nababan, M.Sc 3. Prof. Dr. Muhammad Zarlis

PERNYATAAN MODEL EPIDEMI SIRS DENGAN TIME DELAY TESIS Saya mengakui bahwa tesis ini adalah hasil karya sendiri, kecuali beberapa kutipan dan ringkasan yang masing-masing dituliskan sumbernya Medan, Penulis, Ferdinand Sinuhaji i

ABSTRAK Epidemi merupakan suatu keadaan berjangkitnya suatu penyakit menular dalam populasi pada suatu tempat yang melebihi perkiraan yang normal dalam periode yang singkat. Bila penyakit tersebut selalu terdapat dalam suatu tempat begitupun dengan faktor penyebabnya maka dikatakan endemik. Penulisan ini membahas menurunkan model epidemi SIRS dengan time delay melalui model matematika berdasarkan model epidemi SIRS (Susceptible, Infective, Recovered, Susceptible). Model SIRS yang digunakan pada penulisan ini dengan asumsi bahwa semua individu yang telah sembuh tidak mempunyai kekebalan yang permanen terhadap penyakit, Sehingga akan kembali masuk ke dalam kelas rentan penyakit. Model epidemi mempunyai dua titik kesetimbangan, yaitu adalah titik kesetimbangan bebas infeksi penyakit dan titik kesetimbangan endemi. Syarat dan kestabilan titik kesetimbangan ditentukan oleh bilangan (R 0 ), yaitu nilai yang menentukan ada atau tidaknya penyebaran infeksi penyakit pada suatu populasi. Titik kesetimbangan bebas penyakit (E 0 ) adalah stabil asimtotik global pada Γ jika R 0 < 1 dan titik kesetimbangan endemik (E ) adalah tidak stabil asimtotik global pada Γ jika R 0 > 1. Hasil penelitian diketahui bahwa kesetimbangan bebas penyakit stabil global untuk semua τ > 0 ketika jumlah bilangan R 0 < 1. Dapat dikatakan, time delay tidak dapat mempengaruhi kestabilan kesetimbangan bebas penyakit. Dengan kata lain, pengaruh time delay dapat diabaikan untuk R 0 < 1. Namun, ketika, R 0 > 1 kestabilan kesetimbangan endemi akan dipengaruhi oleh time delay. Kata kunci : SIRS, Model epidemi SIRS, Time delay. ii

ABSTRACT The epidemic is an outbreak of an infectious disease situation in the population at a place that exceeds the normal approximation in a short period. When the disease is always contained in any place as well as with the causes, it is called endemic. This study discusses decrease SIRS epidemic models with time delay through a mathematical model based on the model of SIRS epidemic (Susceptible, Infective, Recovered, Susceptible). SIRS models used in this study with the assumption that all individuals who had been recovered did not have permanent immunity against disease, so will go back into the susceptible class of diseases. Model epidemic has two equilibrium points, which is the point of infection disease-free equilibrium and the endemic equilibrium point. Terms and stability of the equilibrium point is determined by the number (R 0 ), a value that determines whether or not deployment infectious disease in a population. The disease-free equilibrium (E 0 ) is globally asymptotically stable if R 0 < 1 in the set Γ and the endemic equilibrium (E ) is globally asymptotically stable if R 0 > 1 in the set Γ. The results reveal that the disease-free equilibrium is globally stable for all τ > 0 when the number of the number R 0 < 1. This is to say, time delay can not affect the stability of the disease-free equilibrium. In other words, the effect of time delay can be ignored for R 0 < 1. However, when, R 0 > 1 stability of the endemic equilibrium will be affected by the time delay. Keyword : SIRS, SIRS epidemic models, Time delay. iii

KATA PENGANTAR Dengan rendah hati penulis ucapkan segala puji dan syukur kehadirat Tuhan Yang Maha Esa atas berkat dan rahmat-nya sehingga penulis dapat menyelesaikan tesis yang berjudul MODEL EPIDEMI SIRS DENGAN TIME DELAY. Tesis ini merupakan salah satu syarat untuk menyelesaikan studi pada Program Studi Magister Matematika Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam (FMIPA). Pada kesempatan ini, penulis ingin menyampaikan terima kasih sebesar-besarnya kepada : Prof. Dr. dr. Syahril Pasaribu, DTM&H, M.Sc(CTM), Sp.A(K) selaku Rektor Dr. Sutarman, M.Sc selaku Dekan Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam (FMIPA) dan juga adalah selaku Pembimbing Kedua yang telah banyak memberikan bimbingan dan arahan kepada penulis dalam penulisan tesis ini. Prof. Dr. Herman Mawengkang selaku Ketua Program Studi Magister Matematika FMIPA USU yang telah banyak memberikan bantuan dalam penulisan tesis ini. Prof. Dr. Saib Suwilo, M.Sc selaku Sekretaris Program Studi Magister Matematika FMIPA USU yang telah banyak memberikan bantuan dalam penulisan tesis ini. Prof. Dr. Tulus, M.Si selaku Pembimbing Utama yang telah banyak memberikan bimbingan dan arahan serta motivasi kepada penulis dalam penulisan tesis ini. Seluruh Staf Pengajar pada Program Studi Magister Matematika FMIPA USU yang telah banyak memberikan ilmu pengetahuan selama masa perkuliahan. Kak Misiani, S.Si selaku Staf Administrasi Program Studi Magister Matematika FMIPA USU yang telah banyak memberikan pelayanan yang baik kepada penulis selama mengikuti perkuliahan. Rekan-rekan Mahasiswa Program Studi Magister Matematika FMIPA USU tahun 2012 genap yang memberikan bantuan moril kepada penulis dalam penulisan tesis. iv

Tak lupa penulis mengucapkan terimakasih sebesar-besarnya dan penghargaan setinggi-tingginya kepada ibunda tercinta Nurcahaya Br Sembiring dan ayahanda Agen Sinuhaji yang mencurahkan kasih sayang dan dukungan kepada penulis, terlebih yang dengan setia mendampingi dan membantu penulis selama mengikuti perkuliahan hingga sampai penulisan tesis ini. Tak lupa pula kepada kakakku Tabitha Fransisca Br Sinuhaji yang telah memberikan semangat selama penulisan tesis ini. Terima kasih kepada sahabat-sahabatku serta rekan-rekan lainnya yang tidak dapat disebutkan satu-persatu. Semoga Tuhan Yang Maha Esa memberikan balasan atas jasa-jasa mereka yang telah diberikan kepada penulis. Penulis menyadari bahwa tesis ini masih jauh dari sempurna, untuk itu penulis mengharapkan kritik saran untuk penyempurnaan tesis ini. Semoga tesis ini dapat bermanfaat bagi pembaca dan pihak-pihak lain yang memerlukannya. Terimakasih. Medan, 2014 Penulis, Ferdinand Sinuhaji v

RIWAYAT HIDUP Ferdinand Sinuhaji dilahirkan di Berastagi pada tanggal 4 Februari 1985 dari pasangan Bapak Agen Sinuhaji & Ibu Nurcahaya Br Sembiring. Penulis menamatkan pendidikan Sekolah Dasar di Methodist Berastagi pada tahun 1997, Sekolah Menengah Pertama (SMP) Negeri 1 Berastagi pada tahun 2000, Sekolah Menengah Atas (SMA) Negeri 1 Berastagi tahun 2003. Pada tahun 2003 memasuki Perguruan Tinggi Fakultas MIPA Jurusan D3 Ilmu Komputer lulus tahun 2006 dan pada tahun yang sama melanjut pada Strata Satu (S-I) Jurusan Matematika dan lulus tahun 2009. Pada tahun 2012, penulis melanjutkan pendidikan pada Program Studi Magister Matematika. Pada tahun yang sama, penulis bekerja sebagai staf pengajar sampai sekarang. vi

DAFTAR ISI Halaman PERNYATAAN ABSTRAK ABSTRACT KATA PENGANTAR RIWAYAT HIDUP DAFTAR ISI DAFTAR TABEL DAFTAR GAMBAR i ii iii iv vi vii ix x BAB 1 PENDAHULUAN 1 1.1 Latar Belakang 1 1.2 Rumusan Masalah 4 1.3 Tujuan Penelitian 4 1.4 Manfaat Penelitian 4 1.5 Metodologi Penelitian 5 BAB 2 TINJAUAN PUSTAKA 6 2.1 Sistem Persamaan Diferensial Autonomous 6 2.2 Sistem Persamaan Diferensial 7 2.3 Titik Kesetimbangan dan Kestabilan 8 2.4 Linierisasi Sistem 11 2.5 Nilai Eigen dan Vektor Eigen 12 2.6 Bilangan Reproduksi Dasar (R 0 ) 13 vii

2.7 Model Epidemi 14 BAB 3 MODEL EPIDEMI SIRS DENGAN TIME DELAY 16 3.1 Model Epidemi SIRS 16 3.2 Perancangan Model 16 3.3 Memodifikasi Dinamika Transmisi 17 3.4 Asumsi Pemodelan 19 3.5 Diagram Kompartemen 20 3.6 Positivity dan Boundedness 22 3.7 Lokal pada Hopf Bifurkasi 23 BAB 4 ANALISIS KESTABILAN DAN TITIK KESETIMBANGAN 25 4.1 Analisis Kualitatif Model 25 4.2 Bilangan Reproduksi Dasar (R 0 ) 25 4.3 Kesetimbangan dan Kestabilan Model 26 4.4 Titik Kesetimbangan Bebas Penyakit (E 0 ) 26 4.5 Kestabilan Lokal pada (E 0 ) 27 4.6 Titik Kesetimbangan Epidemi (E ) 28 4.7 Kestabilan Lokal dan Hopf Bifurkasi pada (E ) 30 4.8 Analisis Kestabilan Titik Kesetimbangan Model SIRS 31 4.9 Contoh Model Matematika Epidemi SIRS dengan Time Delay 32 4.9.1 Contoh 1 jika R 0 < 1 32 4.9.2 Contoh 2 jika R 0 > 1 33 4.9.3 Contoh model SIRS tanpa time delay 35 4.9.4 Pendekatan dengan kuantitatif 37 BAB 5 KESIMPULAN 39 DAFTAR PUSTAKA 40 viii

DAFTAR TABEL Nomor Judul Halaman 3.1 Variabel dan parameter dalam proses pembentukan model 19 4.1 Nilai parameter pada contoh pertama 33 4.2 Nilai parameter pada contoh kedua 34 4.3 Nilai parameter pada contoh ketiga 35 ix

DAFTAR GAMBAR Nomor Judul Halaman 1.1 Model epidemi SIR 2 1.2 Model epidemi SIRS 3 2.1 Kestabilan dari titik kesetimbangan stabil 10 2.2 Kestabilan dari titik kesetimbangan stabil asimtotik 10 3.1 Diagram kompartemen SIRS dengan time delay 20 4.1 Lintasan dari I(t) dengan τ = 5,15,25,35,55. (E 0 ) selalu stabil 36 4.2 Lintasan grafik dari solusinya 37 x