"We are the first of the fastest online solution of mathematics" 009 SELEKSI OLIMPIADE TINGKAT PROVINSI 008 TIM OLIMPIADE MATEMATIKA INDONESIA 009 Prestasi itu diraih bukan didapat!!! SOLUSI SOAL Bidang Matematika Bagian Pertama [ w w w. i n u g z c a k e p. w o r d p r e s s. c o m ] Page
Solusi Olimpiade Matematika Tk Provinsi 008 Bagian Kedua BAGIAN PERTAMA. 008 5 Banyaknya pembagi positif dari 008 ( + )( + ) Banyaknya pembagi positif dari 008 8. 0!. Banyaknya cara menyusun huruf-huruf MATEMATIKA adalah 500!!! Banyaknya cara menyusun huruf-huruf MATEMATIKA dengan syarat kedua T berdekatan adalah 9! sama dengan banyaknya cara menyusun huruf-huruf MATEMAIKA, yaitu 040!! Banyaknya cara menyusun huruf-huruf MATEMATIKA dengan kedua T tidak berdekatan adalah 500 040 0960. Banyaknya cara menyusun 0960. a + b. Karena 0 < b < a maka akan bernilai positif. a b a + b a + b a b a + b a + b a b + ab 6ab ab 6ab + ab ab 4. Misalkan segitiga ABC dimaksud adalah seperti pada gambar berikut Misalkan juga AC b [ABC] ½ AC ½ AB 4 b AB 4 AB b Misalkan juga BC a dan panjang garis tinggi dari A adalah x dengan x bilangan asli. [ABC] ½ a x ½ 4 b a x b () [ w w w. i n u g z c a k e p. w o r d p r e s s. c o m ] Page
Solusi Olimpiade Matematika Tk Provinsi 008 Bagian Kedua Ada dua kemungkinan pemahaman terhadap pertanyaan pada soal. i) Yang ditanyakan adalah maks (x, 4, ). Akan dibuktikan bahwa x sehingga panjang maksimum dari garis tinggi segitiga ABC adalah. Andaikan bahwa x >. Dari persamaan () akan didapat bahwa a < b () Pada segitiga siku-siku ACF jelas bahwa AC b > AF Karena AB b maka FB > b Pada segitiga siku-siku BCF berlaku bahwa BC > FB Karena BC a < b sedangkan FB > b maka ketaksamamaan tidak mungkin terjadi. Kontradiksi dengan pengandaian awal. Jadi, x. Maka panjang maksimum garis tinggi segitiga ABC adalah. ii) Yang ditanyakan adalah panjang maksimum dari garis tinggi yang ketiga dari segitiga ABC Andaikan b adalah sisi terpanjang Berdasarkan ketaksamaan segitiga berlaku b < a + b Maka b < a Berdasarkan persamaan () maka a x < 6a Jadi, x < 6 * Jika x 5 maka a b 5 69 + b b < AB AC + BC b 5 5 Jadi, jika x 5 maka segitiga BC tumpul. Tidak memenuhi bahwa segitiga ABC lancip. * Jika x 4 maka a b Segitiga ABC sama kaki dengan BC AB b Karena AB adalah sisi terpanjang maka segitiga BC lancip. Andaikan a adalah sisi terpanjang b < a xa b < 4a x < 4 Karena x 4 maka tidak perlu lagi mencari nilai x maksimum. Jadi, panjang maksimum garis tinggi yang ketiga dari segitiga ABC adalah 4. Dari dua kemungkinan ini Penulis lebih cenderung pada kemungkinan pertama yang sesua dengan kata-kata pada soal. Panjang maksimum garis tinggi dari segitiga ABC adalah. 5. Misalkan persamaan garis tersebut adalah y mx + c Misalkan juga garis memotong sumbu X di (p, 0) dan sumbu Y di (0, q) dengan p adalah bilangan prima dan q adalah bilangan bulat positif. Karena garis memotong sumbu X di (p, 0) dan sumbu Y di (0, q) maka persamaan garis tersebut q adalah y x + c. p [ w w w. i n u g z c a k e p. w o r d p r e s s. c o m ] Page
Solusi Olimpiade Matematika Tk Provinsi 008 Bagian Kedua q Garis melalui (0, q) maka c q. Jadi persamaan garis tersebut adalah y x + q p Karena garis melalui (4, ) maka berlaku p 4q + pq (p 4)(q ) * Jika p genap maka p sehingga q. Tidak memenuhi q bulat positif. * Jika p ganjil maka p 4 ganjil. Nilai p 4 yang mungkin memenuhi adalah ± atau ±. - Jika p 4 maka p dan q 9. Tidak memenuhi q bulat positif. - Jika p 4 maka p 5 dan q 5. Jadi persamaan garis adalah y x + 5 yang melalui titik (4, ) - Jika p 4 maka p yang tidak memenuhi bahwa p adalah bilangan prima. - Jika p 4 maka p 7 dan q 7. Jadi persamaan garis adalah y x + 7 yang melalui titik (4, ) Persamaan garis yang memenuhi adalah y x + 5 dan y x + 7. Banyaknya garis yang memenuhi ada. 6. Perhatikan gambar. Diketahui dari soal BAC 45 o. Misalkan luas segitiga ABC [ABC] Dengan dalil pitagoras didapat : AC AD + 4 () AB AD + 9 () Persamaan () jumlahkan dengan () didapat AB + AC AD + () [ABC] ½ BC AD Karena BC 5 maka AD [ ABC] 5 (4) Pada segitiga ABC berlaku BC AB + AC AB AC cos 45 o AB + AC AB AC sin 45 o 5 AD + 4[ABC] (5) Subtitusikan persamaan (4) ke (5) 8 [ ABC] 4 [ ABC] 5 ([ABC] + 5)([ABC] 5) 0 Maka [ABC] 5 Luas segitiga ABC adalah 5. [ w w w. i n u g z c a k e p. w o r d p r e s s. c o m ] Page 4
Solusi Olimpiade Matematika Tk Provinsi 008 Bagian Kedua 7. Persamaan tersebut dapat diubah menjadi (x + )(y 0) 507 Karena x + bulat positif maka y 0 juga bilangan bulat positif. Faktor positif dari 507 ada 6 yaitu,,, 9, 69 dan 507. y 0 adalah faktor dari 507 maka y,,, 49, 79 atau 57 dan yang merupakan bilangan kuadrat sempurna hanya 49. Maka y 49. Sehingga x +. x y x 49 588. 8. tan 5 tan( 45 0 ) tan5 + + tan 45 tan 0 + tan 45 tan 0 + + tan5 () + Dengan dalil cosinus a b sin A a sehingga + sin A sin B sin B b sin A ( + ) sin B () Karena C 60 o maka A 0 o B sin A sin (0 o B) sin 0 o cos B cos 0 o sin B ( + ) sin B cos B + sin B + sin B cos B o tan B tan5 + Besarnya sudut B adalah 5 o. 9. Karena banyaknya siswa 00 orang sedangkan banyaknya siswa kelas II 50% lebih banyak dari siswa kelas III maka banyaknya siswa kelas II yang mengikuti seleksi 60 orang sedangkan siswa kelas III 40 orang. Misalkan skor rata-rata kelas III adalah x maka skor rata-rata kelas II adalah x. 60 x + 40 x 00 00 x 5 Skor rata-rata siswa kelas III adalah 5. [ w w w. i n u g z c a k e p. w o r d p r e s s. c o m ] Page 5
Solusi Olimpiade Matematika Tk Provinsi 008 Bagian Kedua 0. Misalkan panjang AD x dan panjang AE y 5 Luas ABC (5)() 0 dan sin A serta cos A Luas ADE xy sin A 5. Maka xy 78. Sesuai dalil cosinus pada ADE maka : DE x + y xy cos A x + y 44 Dengan AM-GM maka DE xy 44 DE akan minimum sama dengan jika x y 78 DE minimum. Misalkan ke-4 akar tersebut adalah x, x, x dan x 4 dengan x dan x 008 50. x 4 + ax + bx + cx + d (x x ) (x x ) (x x ) (x x 4 ) 0 x + x + x + x 4 a yang merupakan bilangan rasional. Maka ada kemungkinan nilai x dan x 4. x p 50 dan x 4 q untuk p dan q bilangan rasional. x x x x 4 d yang merupakan bilangan rasional. 50 p 50 q bilangan rasional untuk p, q rasional ( )( )( )( ) 4 p 5 4 5 008 bilangan rasional. Maka tidak ada p rasional yang memenuhi x p dan x 4 q 50 untuk p dan q bilangan rasional. x x x x 4 d yang merupakan bilangan rasional. 50 p q 50 bilangan rasional ( )( )( )( ) 4 pq 5 008 p 4q 50 + 406 bilangan rasional Kesamaan di atas akan terpenuhi hanya jika p q 0 sehingga x dan x 4 008 x 4 + ax + bx + cx + d (x ) (x 008 ) (x + ) (x + 008 ) x 4 + ax + bx + cx + d (x )(x 008) x 4 00x + 406 Maka a 0, b 00, c 0 dan d 406 a + b + c + d 0 00 + 0 + 406 Nilai a + b + c + d adalah 006.. Misalkan [ABC] menyatakan luas ABC. AB + AC BC Berdasarkan dalil cosinus, cos A. AB AC cos A AB + AC BC AB + AC BC Maka ctg A sin A AB AC sin A 4 ABC [ ] [ w w w. i n u g z c a k e p. w o r d p r e s s. c o m ] Page 6
Solusi Olimpiade Matematika Tk Provinsi 008 Bagian Kedua Dengan cara yang sama didapat : AB + BC AC ctg B dan ctg C 4 ABC [ ] AB + AC ctg A + ctg B + ctg C 4 ctg A + ctg B + ctg C 4. [ ABC] AC + BC + BC 4 [ ABC] 6 4 AB. f(x) x + 4 f(xy) x y + 4 f(y x) (y x) + 4 f(y + x) (y + x) + 4 f(xy) + f(y x) f(y + x) x y + 4 + (y x) + 4 (y + x) + 4 x y + y + x xy + 4 y + x + xy x y + 4 4xy (xy ) 0 Jadi xy Dengan ketaksamaan AM-GM maka x + y xy Nilai minimum dari x + y adalah 4. Jelas bahwa n harus genap. Misalkan n y p x p x p k xk dengan p i untuk i,,, k semuanya bilangan prima ganjil dan x i untuk i i,,, k semuanya bilangan bulat tak negatif serta y asli. Karena salah satu faktor dari n adalah maka semua bilangan genap n tidak akan relatif prima dengan n. Banyaknya bilangan genap n ada tepat sebanyak n dan banyaknya bilangan ganjil kurang dari n juga ada sebanyak n. Tetapi untuk semua < p i < n dengan i,,, k juga merupakan faktor dari n yang mengakibatkan semua < p i < n dengan i,,, k tidak akan relatif prima dengan n. Maka agar terpenuhi ada tepat n bilangan kurang dari n dan relatif prima terhadap n maka n tidak boleh memiliki faktor ganjil selain. Jadi p i untuk semua i,,, k. Maka n y untuk suatu bilangan asli y. Karena n < 008 maka y < 008. Jadi y 0. Maka nilai n yang memenuhi adalah, 4, 8, 6,, 64, 8, 56, 5, 04. Banyaknya bilangan bulat positif n yang memenuhi ada 0. [ w w w. i n u g z c a k e p. w o r d p r e s s. c o m ] Page 7
Solusi Olimpiade Matematika Tk Provinsi 008 Bagian Kedua 5. Misalkan f(x) berderajat n maka f(x ) akan berderajat n. x f(x) akan berderajat n +. Jika n > maka n > n + sehingga f(x ) x f(x) akan berderajat n > 6. Jadi, tanda kesamaan tidak mungkin terjadi. Jika n maka f(x ) dan x f(x) akan berderajat sama yaitu 6 sehingga masih dimungkinkan f(x ) x f(x) akan berderajat. Jika f(x) x maka f(x ) x f(x) (x 6 ) x (x ) (x ) yang memenuhi. Jika n < maka n < n + sehingga f(x ) x f(x) akan berderajat n +. Karena ruas kanan berderajat maka n 0. Derajat f(x) adalah. 6. Banyaknya cara memilih orang dari 0 orang 0 C 90. Banyaknya kemungkinan tanggal lahir dari 0 orang 65 0. 65 64 6 L 47 Peluang 0 C 0 65 90 65! Peluang dari soal dengan tanda! menyatakan faktorial. 0 46! 65 7. Ada dua kemungkinan jumlah ketiga bilangan tersebut genap Ketiga bilangan tersebut semuanya genap 004 00 00 004C 67 Peluang 6 008 007 006 008C 8 6 Ada satu bilangan genap dan dua lainnya ganjil 004 00 004 004 C 004 C 50 008 007 006 008C 8 6 67 50 Peluang jumlah ketiga bilangan tersebut genap + 8 8 Peluang jumlah ketiga bilangan tersebut genap 8. A B A + B A B 0 4 + B A B B A B 6 Jelas bahwa 0 A B A sehingga 0 A B 4. Jadi 6 B 0 Karena B bulat tak negatif maka B 6, 7, 8, 9 atau 0. B 6, 7, 8, 9 atau 0. [ w w w. i n u g z c a k e p. w o r d p r e s s. c o m ] Page 8
Solusi Olimpiade Matematika Tk Provinsi 008 Bagian Kedua 9. Misalkan DAB ACD α AD CD ctg α BD AD 6 CD 9 sehingga CD 8 6 75 Luas segitiga ABC ½ (BD + CD) AD 75 Luas segitiga ABC 0. Dengan binom Newton didapat 004 004 004 004 0 004 004 004 004 k 004 4 ( + ) + + + L + 0 004 k 0 k 004 k 004 008. k 0 k [ w w w. i n u g z c a k e p. w o r d p r e s s. c o m ] Page 9