SELEKSI OLIMPIADE TINGKAT KABUPATEN/KOTA TAHUN 2009 TIM OLIMPIADE MATEMATIKA INDONESIA TAHUN 2010

Transkripsi

1 SELEKSI OLIMPIADE TINGKAT KABUPATEN/KOTA TAHUN 009 TIM OLIMPIADE MATEMATIKA INDONESIA TAHUN 00 Bidang Matematika Waktu : Jam DEPARTEMEN PENDIDIKAN NASIONAL DIREKTORAT JENDERAL MANAJEMEN PENDIDIKAN DASAR DAN MENENGAH DIREKTORAT PEMBINAAN SEKOLAH MENENGAH ATAS TAHUN

2 OLIMPIADE MATEMATIKA NASIONAL SELEKSI TINGKAT KOTA/KABUPATEN TAHUN 009 Isikan hanya jawaban saja pada lembar jawaban yang disediakan.. Banyaknya bilangan asli kurang dari 000 yang dapat dinyatakan dalam bentuk x y untuk suatu bilangan ganjil x dan y adalah. Bilangan bulat positif terkecil n dengan n > 009 sehingga L+ n merupakan bilangan bulat adalah n. Banyaknya solusi real x dari persamaan ( / + log ( cos x sin x) ) ( log ( cos x+ sin x) ) adalah + 4. Diberikan fungsi f : R R sedemikian hingga x f(x) + f( x) x x 4 untuk semua x R. Nilai f(009) adalah 5. Banyaknya segitiga siku-siku yang kelilingnya 009 dan sisi-sisinya bilangan bulat serta jari-jari lingkaran dalamnya juga bilangan bulat adalah Nilai eksak dari + + L+ adalah Jika tiga pasang suami isteri akan menempati tujuh kursi yang berjajar ke samping dengan syarat semua suami isteri duduk berdekatan dan tidak ada laki-laki dan perempuan bukan suami isteri yang duduk berdekatan, maka banyak caranya adalah Nilai dari FPB ( k,7) adalah k 80

3 9. Banyaknya pasangan bilangan asli (x, y) sehingga x 4 + 4y 4 merupakan bilangan prima adalah 0. Bilangan real x sehingga pernyataan x x jika dan hanya jika x x bernilai salah adalah. Diketahui ABC adalah segitiga siku-siku di A dengan AB 0 cm dan AC 40 cm. Misalkan AD adalah garis tinggi dari dan E adalah titik tengah AD. Nilai dari BE + CE adalah. Suatu turnamen diikuti 0 tim, dimana setiap tim bertemu satu kali dengan semua tim yang lain. Kemenangan memperoleh poin, sedangkan kekalahan 0. Pada klasemen akhir, tim teratas memperoleh poin yang sama, sedangkan 7 tim yang lain memperoleh poin yang berbeda-beda. Jumlah semua bilangan yang tidak muncul pada poin yang dimiliki suatu tim pada klasemen akhir adalah. Titik E terletak di dalam persegi ABCD sedemikian rupa sehingga ABE adalah segitiga sama sisi. Jika panjang AB + dan F titik potong antara diagonal BD dengan segmen garis AE, maka luas segitiga ABF sama dengan 4. Misalkan f(x) ( ) sin y + ( ) cos y real adalah +. Nilai maksimum untuk (f(y)) dimana y bilangan 5. Diberikan persegi ABCD dengan panjang sisi 0. Misalkan E pada AB dan F pada BD dengan AE FB 5. Misalkan P adalah titik potong CE dan AF. Luas DFPC adalah 6. Jika x k + xk + untuk k,, dan x maka x + x + + x Diberikan segitiga ABC tumpul ( ABC > 90 o ), AD dan AE membagi sudut BAC sama besar. Panjang segmen garis BD, DE dan EC berturut-turut adalah,, dan 6. Panjang terpendek dari sisi segitiga ABC adalah 8. Jika dibagi oleh 7, maka sisanya adalah 8

4 9. Diketahui A adalah himpunan semua bilangan asli yang habis dibagi, tidak habis dibagi 5, dan tidak lebih dari 00. Banyaknya fungsi f dari himpunan semua bilangan real yang tidak nol ke x dalam A yang memenuhi f f ( x y) adalah y 0. Delapan bilangan asli memiliki rata-rata 6,5. Empat dari delapan bilangan tersebut adalah 4, 5, 7, dan 8. Selisih antara bilangan terbesar dan terkecil adalah 0. Jika ke delapan bilangan diurutkan dari kecil ke besar, maka banyaknya susunan ada. 8

5 SELEKSI OLIMPIADE TINGKAT KABUPATEN/KOTA 009 TIM OLIMPIADE MATEMATIKA INDONESIA 00 Prestasi itu diraih bukan didapat!!! SOLUSI SOAL Bidang Matematika Disusun oleh : 8

6 Olimpiade Matematika Tk Kabupaten/Kota 009. Misalkan x m + dan y n + x y 4m(m + ) 4n(n + ) m(m + ) dan n(n + ) keduanya adalah bilangan genap maka x y merupakan kelipatan 8. Selain itu, 8k (k + ) (k ) sehingga setiap bilangan kelipatan 8 dapat diubah menjadi selisih kuadrat dua bilangan ganjil. Maka banyaknya bilangan asli kurang dari 000 yang dapat dinyatakan dalam bentuk x y 000 dengan x dan y adalah bilangan ganjil adalah 4. Tanda sebab 000 tidak 8 termasuk ke dalam bagian ini. Maka banyaknya bilangan asli kurang dari 000 yang dapat dinyatakan dalam bentuk x y dengan x dan y adalah bilangan ganjil adalah n+ Agar ( ) n + + L + n n n( n+ ) ( ) n n + n merupakan bilangan kuadrat maka haruslah n merupakan bilangan kuadrat sempurna. Bilangan kuadrat terdekat setelah 009 adalah Nilai n > 009 yang memenuhi n n + L merupakan bilangan kuadrat adalah 05.. ( ( cos x sin x) ) ( log ( cos x+ sin x) ) log + ( cos x sin x) + ( cos x + sin x) ( + ) cos x ( ) sin x cos sin 4 x 4 4 x 6 6 sin 05 o + sedangkan cos 05 o sin 05 o cos x + cos 05 o sin x sin 0 o sin (05 o + x) sin 0 o 05 o + x 0 o + k 60 o atau 05 o + x 80 o 0 o + k 60 o x 85 o + n 60 o atau x 45 o + k 60 o Untuk x 45 o + n 60 o akan menyebabkan cos x sin x 0 sehingga tidak memenuhi persyaratan bahwa cos x sin x > 0. Maka : Tetapi saat x 85 o + n 60 o maka akan menyebabkan cos x > sin x yang menyebabkan terpenuhinya syarat cos x sin x > 0. Karena ada tak berhingga nilai n yang mungkin maka banyaknya solusi real x yang memenuhi adalah tak berhingga. Jadi, banyaknya solusi real x yang memenuhi adalah tak berhingga. 84

7 Olimpiade Matematika Tk Kabupaten/Kota x f(x) + f( x) x x 4 k f(k) + f( k) k k 4 () ( k) f( k) + f(k) ( k) ( k) 4 () Kalikan persamaan () dengan ( k) lalu kurangkan dengan persamaan () didapat (k (k ) ) f(k) k(k ) k 4 (k ) ( k) + (k ) 4 (k (k ) ) f(k) k 4k + k k 4 (k ) + k + k (k ) k(k ) + (k ) (k (k ) ) f(k) k 4k + 4k k 4 (k ) + k (k ) k(k ) + (k ) (k (k ) ) f(k) k 4k + 4k k 4 (k ) + k (k ) k + 4k k + k k + (k (k ) ) f(k) k k 4 (k ) + k (k ) (k (k ) ) f(k) (k (k ) )( k ) f(k) k f(009) Akan dibuktikan bahwa tidak ada segitiga siku-siku dengan sisi-sisinya bilangan bulat dan memenuhi bahwa kelilingnya merupakan bilangan ganjil. Alternatif : Misalkan sisi-sisi segitiga tersebut adalah a, b dan 009 a b a + b (009 a b) ab 408a 408b Karena ab 408a 408b genap sedangkan 009 ganjil maka tidak ada bilangan bulat a dan b yang memenuhi ab 408a 408b Jadi tidak ada segitiga yang demikian. Alternatif : Misalkan sisi-sisi siku-sikunya adalah a dan b sedangkan hipotenusa c. Karena 009 ganjil maka sisi-sisi segitiga tersebut haruslah ketiga-tiganya ganjil atau tepat satu yang ganjil. Jika ketiga-tiganya ganjil Karena a + b (mod 4) maka tidak mungkin ada hipotenusa yang memenuhi. Jika tepat satu yang ganjil Jika yang ganjil tersebut merupakan hipotenusa maka a + b 0 (mod 4) sehingga hipotenusa haruslah merupakan bilangan genap. Kontradiksi. Jika hipotenusa genap maka a + b (mod 4) sehingga hipotenusa haruslah merupakan bilangan ganjil. Kontradiksi. Maka tidak ada segitiga siku-siku dengan sisi-sisinya bilangan bulat dan memenuhi bahwa kelilingnya sama dengan 009. Jadi, banyaknya segitiga yang memenuhi adalah k 009 k L L

8 Olimpiade Matematika Tk Kabupaten/Kota L Jadi, L Misalkan penomoran kursi urut dari kiri ke kanan. Ada tiga bentuk susunan yang mungkin. Susunannya berbentuk SIISSI atau ISSIIS Karena suami isteri harus berdekatan maka posisi kursi kosong haruslah kursi nomor,, 5 atau 7. Banyaknya susunan masing-masing bentuk tanpa memperhitungkan kursi kosong adalah!. Jadi, banyaknya susunan yang mungkin adalah 4! 48. Susunannya berbentuk SISIIS atau ISISSI Karena tidak ada laki-laki dan perempuan yang bukan suami isteri yang duduk berdekatan serta suami isteri harus berdekatan maka posisi kursi kosong haruslah kursi nomor. Banyaknya susunan yang mungkin adalah! Susunannya berbentuk SIISIS atau ISSISI Bentuk di atas adalah percerminan bentuk kedua. Banyaknya susunan yang mungkin adalah! Maka banyaknya susunan yang mungkin adalah Maka banyaknya susunan yang mungkin adalah FPB (k, 7) jika k bukan merupakan kelipatan 7 sedangkan FPB (k, 7) 7 jika k kelipatan 7. Bilangan asli dari sampai 009 yang habis dibagi 7 banyaknya ada 009/7 87. Bilangan asli dari sampai 009 yang tidak habis dibagi 7 banyaknya ada ( k,7) FPB 7 k 009 FPB ( k,7) 7 k 9. x 4 + 4y 4 (x + y ) (xy) (x + y xy)(x + y + xy) x 4 + 4y 4 ((x y) + y )(x + y + xy) Suku kedua persamaan di atas selalu lebih dari satu. Agar x 4 + 4y 4 prima maka (x y) + y yang terpenuhi hanya jika x y dan y. Maka pasangan (x, y) yang memenuhi hanya (, ) Banyaknya pasangan (x, y) bilangan asli sehingga x 4 + 4y 4 adalah bilangan prima ada. 0. Agar bernilai salah maka x x benar dan x x salah atau x x salah dan x x benar. Jika x x benar maka nilai x yang memenuhi adalah 0 atau. Tetapi x 0 atau x akan membuat x x benar. Jika x x benar maka nilai x yang memenuhi adalah 0 atau atau. Tetapi x 0 atau x akan membuat x x benar sedangkan x akan membuat x x salah. Jadi bilangan real x yang memenuhi adalah x. 86

9 Olimpiade Matematika Tk Kabupaten/Kota 009. Jelas bahwa panjang BC 50 cm. 0 BD 0 8 cm. 50 DC 50 8 cm AD 4 cm 50 DE cm BE BD + DE CE CD + DE BE + CE Nilai dari BE + CE adalah cm.. Nilai yang mungkin bagi peserta adalah 0,,,, 9. Jumlah seluruh pertandingan 0 C 90. Karena dalam satu pertandingan hanya ada nilai atau 0 maka nilai total seluruh peserta haruslah sama dengan 90. Misalkan nilai total 7 peserta terbawah adalah M. M min Total nilai tiga tim teratas maksimum adalah Maka tidak mungkin nilai masing-masing tiga tim teratas sama dengan 9. Nilai terkecil masing-masing tiga tim teratas adalah 7 sebab nilai terendah tim ke-4 adalah 6. Jika masing-masing tiga tim teratas sama dengan 7 Nilai peringkat ke-4 haruslah 6. Maka M 6. Tetapi total nilai seluruh peserta Tidak memenuhi syarat total nilai seluruh peserta sama dengan 90. Jika masing-masing tiga tim teratas sama dengan 8 Maka M M min. Maka nilai-nilai tim peringkat ke-4 sampai 0 adalah 6, 5, 4,,, 0. Jadi nilai yang tidak muncul adalah 7 dan 9. Jumlah semua bilangan yang tidak muncul pada poin yang dimiliki suatu tim 6. 87

10 Olimpiade Matematika Tk Kabupaten/Kota 009. AFB 80 o BAF FBA 80 o 60 o 45 o 75 o. Dengan dalil sinus pada segitiga AFB maka : + AF sin 75 sin 45 sin 75 ( + ). Maka 4 AF + Luas segitiga ABF ½ AB AF sin 60 o Luas segitiga ABF. 4. f(x) ( + ) sin y + ( ) cos y Alternatif : a sin x + bcos x a + b cos( x α ) dengan ( f ( y) ) 8 cos ( y α ) Alternatif : a tan α b 6 6 sin 05 o + sedangkan cos 05 o ( ) 6 6 f x + sin y + cos y f x sin05 sin y cos05 cos y cos y 05 ( f ( y) ) 8cos ( y 05 ) Nilai maksimum untuk (f(y)) adalah 8. ( ) ( ) ( ) 88

11 Olimpiade Matematika Tk Kabupaten/Kota Misalkan koordinat A(0,0), B(0,0) maka C(0,0) dan D(0,0). 5 5 Panjang BF 5 sedangkan DBA 45 o maka koordinat F 0,. Persamaan garis AF adalah y x dan persamaan garis EC adalah y x x P 0 x P x P dan 4 8 Misalkan [ABCD] menyatakan luas bangunan ABCD [AEP] 5 sehingga ( ) [AFD] 0 [EBC] 5 [DFPC] 00 [AEP] [AFD] [EBC] y P Luas DFPC adalah. 46 Catatan : Jawaban yang dikirim dari pusat menyatakan bahwa jawaban dari soal ini adalah 55 yang didapat jika penulisan titik sudutnya sebagai berikut (buktikan). Tetapi, penulisan titik sudut tersebut tidak sesuai dengan kesepakatan umum penulisan titik sudut. 89

12 Olimpiade Matematika Tk Kabupaten/Kota x k+ x k ½ Karena selisih dua bilangan berurutan konstan maka soal tersebut merupakan deret aritmatika dengan beda sama dengan ½ dan suku pertama sama dengan. 400 x + x + + x 400 () + ( 400 ) x + x + + x x + x + + x Perhatikan gambar. Misalkan CAE EAD DAB α dan panjang AB x. EA x Pada EAB, ruas AD adalah garis bagi sehingga. Maka EA. AB Misalkan juga AD y. Dengan dalil cosinus maka 9 x + y y + x 4 cosα xy xy 6y + 6x 4 9x + 4y 6 y x () Pada DAC, karena AE adalah garis bagi maka berlaku AC AD y Sesuai dalil cosinus pada CAE maka 9 y + x 6 4y + x y x 4 xy 44 6y + 9x (y + x 4) 96 4y y Subtitusikan persamaan () 96 6x 4 x x 0 ( ) Karena ABC > 90 o maka sisi terpanjang ABC adalah sisi AC. Karena x 0 < 4 < BC maka panjang sisi yang terpendek adalah AB x Panjang sisi segitiga ABC yang terpendek adalah 0 90

13 Olimpiade Matematika Tk Kabupaten/Kota (7 4 ) ( ) (mod 7) (mod 7) dibagi 7 maka akan bersisa dibagi 7 akan bersisa Banyaknya bilangan asli yang kurang dari 00 dan habis dibagi ada. Banyaknya bilangan asli yang habis dibagi dan habis dibagi 5 serta kurang dari 00 ada 6. Banyaknya anggota himpunan A adalah 6 7. Fungsi f dari himpunan semua bilangan real yang tidak nol ke dalam A memenuhi x f x y. ( ) ( ) f y Alternatif : Ambil ab x dan a b y untuk a serta a dan b tak nol. Maka a f(a) f(b) Jadi f merupakan fungsi konstan. Karena banyaknya anggota himpunan A ada 7 maka banyaknya fungsi yang memenuhi ada 7. Banyaknya fungsi yang memenuhi adalah 7. Alternatif : x f(x) f(x x) f ( ) f() sehingga f merupakan fungsi konstan. x Karena banyaknya anggota himpunan A ada 7 maka banyaknya fungsi yang memenuhi ada 7. Banyaknya fungsi yang memenuhi adalah Karena rata-rata delapan bilangan sama dengan 6,5 maka jumlah kedelapan bilangan 5. Jumlah empat bilangan yang ada adalah sehingga jumlah keempat bilangan yang lain sama dengan 8. Jika bilangan yang terkecil sama dengan maka bilangan terbesar sama dengan Jumlah dua bilangan terakhir 6. Pasangan yang memenuhi adalah (5, ), (6, 0), (7, 9) dan (8, 8) yang semuanya ada 4. Jika bilangan yang terkecil sama dengan maka bilangan terbesar sama dengan Jumlah dua bilangan terakhir 4. Pasangan yang memenuhi adalah (, ), (, ), (4, 0), (5, 9), (6, 8) dan (7, 7) yang semuanya ada 6. Jika bilangan yang terkecil sama dengan maka bilangan terbesar sama dengan Jumlah dua bilangan terakhir. Pasangan yang memenuhi adalah (, 9), (4, 8), (5, 7) dan (6, 6) yang semuanya ada 4. Jika bilangan yang terkecil sama dengan 4 maka bilangan terbesar sama dengan 4 Jumlah dua bilangan terakhir 0. Pasangan yang memenuhi adalah (4, 6) dan (5, 5) yang semuanya ada. Jika bilangan yang terkecil sama dengan 4 maka bilangan terbesar sama dengan 4 dengan bilangan 4 tersebut merupakan salah satu dari 4 bilangan awal. Jumlah tiga bilangan lain haruslah 4 dan tidak ada salah satu di antaranya sama dengan 4. Karena yang terendah sama dengan 5 maka nilai minimal sama dengan 5. Tidak ada yang memenuhi. Banyaknya susunan Banyaknya susunan yang mungkin ada 6. 9

14 SELEKSI OLIMPIADE TINGKAT PROVINSI 009 TIM OLIMPIADE MATEMATIKA INDONESIA 00 Waktu : 0 Menit DEPARTEMEN PENDIDIKAN NASIONAL DIREKTORAT JENDERAL MANAJEMEN PENDIDIKAN DASAR DAN MENENGAH DIREKTORAT PEMBINAAN SEKOLAH MENENGAH ATAS TAHUN 009 9

15 SELEKSI TINGKAT PROVINSI CALON PESERTA OLIMPIADE SAINS NASIONAL 009 MATEMATIKA SMA/MA Petunjuk untuk peserta :. Tes terdiri dari dua bagian. Tes bagian pertama terdiri dari 0 soal isian singkat dan tes bagian kedua terdiri dari 5 soal uraian.. Waktu yang disediakan untuk menyelesaikan semua soal adalah 0 menit.. Tuliskan nama, kelas dan asal sekolah Anda di sebelah kanan atas pada setiap halaman. 4. Untuk soal bagian pertama : (a) Masing-masing soal bagian pertama bernilai (satu) angka. (b) Beberapa pertanyaan dapat memiliki lebih dari satu jawaban yang benar. Anda diminta memberikan jawaban yang paling tepat atau persis untuk pertanyaan seperti ini. Nilai hanya akan diberikan kepada pemberi jawaban paling tepat atau paling persis. (c) Tuliskan hanya jawaban dari soal yang diberikan. Tuliskan jawaban tersebut pada kotak di sebelah kanan setiap soal. 5. Untuk soal bagian kedua : (a) Masing-masing soal bagian kedua bernilai 7 (tujuh) angka (b) Anda diminta menyelesaikan soal yang diberikan secara lengkap. Selain jawaban akhir, Anda diminta menuliskan semua langkah dan argumentasi yang Anda gunakan untuk sampai kepada jawaban akhir tersebut. (c) Jika halaman muka tidak cukup, gunakan halaman sebaliknya. 6. Jawaban hendaknya Anda tuliskan dengan menggunakan tinta, bukan pensil. 7. Selama tes, Anda tidak diperkenankan menggunakan buku, catatan dan alat bantu hitung. Anda juga tidak diperkenankan bekerja sama. 8. Mulailah bekerja hanya setelah pengawas memberi tanda dan berhentilah bekerja segera setelah pengawas memberi tanda. 9. Selamat bekerja. 9

16 SELEKSI TINGKAT PROVINSI CALON PESERTA OLIMPIADE SAINS NASIONAL 009 MATEMATIKA SMA/MA BAGIAN PERTAMA. Tiga dadu berwarna hitam, merah, dan putih dilempar bersama-sama. Macam hasil lemparan sehingga jumlah ketiga mata dadu adalah 8 sebanyak. Banyaknya bilangan real x yang memenuhi persamaan x 4 x + 5x 76x adalah. Bilangan rasional a < b < c membentuk barisan hitung (aritmatika) dan a b c + + b c a Banyaknya bilangan positif a yang memenuhi adalah 4. Misalkan N menyatakan himpunan semua bilangan bulat positif dan 009 n + S n N N n + Banyaknya himpunan bagian dari S adalah 5. Diberikan segitiga ABC dengan tan CAB 7. Melalui titik sudut A ditarik garis tinggi sedemikian rupa sehingga membagi sisi BC menjadi segmen-segmen dengan panjang dan 7. Luas segitiga ABC adalah 6. Nilai minimum dari f ( x) 9x sin x + 4 untuk 0 < x < π adalah xsin x 7. Diberikan segitiga dengan panjang dari ketiga garis tinggi segitiga itu merupakan bilangan bulat. Jika panjang kedua garis tingginya adalah 0 dan 6, maka panjang maksimum garis tinggi ketiga adalah 8. Suatu fungsi f : Z Q mempunyai sifat f ( x + ) maka nilai fungsi f(009) adalah ( x) ( x) + f untuk setiap x Z. Jika f(), f 9. Diketahui segitiga siku-siku ABC dengan panjang sisi-sisinya a, b, dan c serta a < b < c. Misalkan r dan R berturut-turut menyatakan panjang jari-jari lingkaran dalam dan lingkaran luarnya. Jika r( a + b + c) r maka nilai dari adalah R a + b + c 94

17 0. Jika tan x + tan y 5 dan cot x + cot y 0, maka nilai tan (x + y) adalah. Pada bagian kanan 00! terdapat digit 0 berturut-turut sebanyak. Ada empat pasang sepatu akan diambil empat sepatu secara acak. Peluang bahwa yang terambil ada yang berpasangan adalah. Diketahui k, m, dan n adalah tiga bilangan bulat positif yang memenuhi k + m m 4 n 6 Bilangan m terkecil yang memenuhi adalah 4. Bilangan prima p yang memenuhi (p ) + (p) 6 p ada sebanyak 5. Jika x, x,, x 009 bilangan real, maka nilai terkecil dari cos x sin x + cos x sin x + + cos x 009 sin x adalah 6. Misalkan a, b, c adalah akar-akar polinom x 8x + 4x. Jika f(x) x + px + qx + r adalah polinom dengan akar-akar a + b c, b + c a, c + a b maka f() 7. Banyaknya segitiga tumpul dengan sisi bilangan asli yang memiliki sisi-sisi terpanjang 0 adalah (Catatan : dua segitiga kongruen dianggap sama) 8. Misalkan n bilangan asli terkecil yang mempunyai tepat 009 faktor dan n merupakan kelipatan 009. Faktor prima terkeci dari n adalah 9. Misalkan p(x) x 6 dan A {x R p(p(x)) x}. Nilai maksimal dari { x : x A} adalah Misalkan q dan x menyatakan bilangan bulat terbesar yang lebih kecil atau sama dengan x. Nilai q qn q n untuk sebarang n N adalah 95

18 SELEKSI TINGKAT PROVINSI CALON PESERTA OLIMPIADE SAINS NASIONAL 009 MATEMATIKA SMA/MA BAGIAN KEDUA. Seekor semut hendak melangkah ke makanan yang berada sejauh 0 langkah di depannya. Semut tersebut sedang mendapatkan hukuman, ia hanya boleh melangkah ke depan sebanyak kelipatan tiga langkah dan selebihnya harus melangkah ke belakang. Tentukan banyaknya cara melangkah agar bisa mencapai makanan, jika ia harus melangkah tidak lebih dari dua puluh langkah. (Catatan : jika semut melangkah dua kali dimana masing-masing melangkah sekali ke belakang, maka dianggap sama saja dengan dua langkah ke belakang.) 009 x x. Diberikan n adalah bilangan asli. Misalkan x n. Jika x x rasional, tunjukkan bahwa n merupakan kuadrat dari suatu bilangan asli. merupakan bilangan. Diberikan segitiga ABC dan titik D pada sisi AC. Misalkan r, r dan r berturut-turut menyatakan jari-jari lingkaran dalam dari segitiga-segitiga ABD, BCD, dan ABC. Buktikan bahwa r + r > r. 4. Diketahui p adalah bilangan prima sehingga persamaan 7p 8x dan p y mempunyai solusi x dan y berupa bilangan bulat. Tentukan semua nilai p yang memenuhi. 5. Diketahui himpunan H mempunyai lima anggota dari {0,,,,, 9}. Buktikan ada dua himpunan bagian dari H, yang tidak kosong dan saling asing, yang jika semua anggotanya dijumlahkan hasilnya sama. 96

19 SELEKSI OLIMPIADE TINGKAT PROVINSI 009 TIM OLIMPIADE MATEMATIKA INDONESIA 00 Prestasi itu diraih bukan didapat!!! SOLUSI SOAL BAGIAN PERTAMA Disusun oleh : 97

20 Solusi Olimpiade Matematika Tk Provinsi 009 Bagian Pertama BAGIAN PERTAMA. Banyaknya macam adalah (,, 6), (,, 5), (,, 4), (,, 4), (,, ) beserta permutasi yang berturut-turut ada sebanyak, 6, 6, dan. Banyaknya macam hasil lemparan x 4 x + 5x 76x (x x) + (x 44) Karena bilangan kuadrat tidak mungkin negatif maka tidak ada x real yang memenuhi. Banyaknya bilangan real x yang memenuhi adalah 0. a b c. + + b c a Karena a, b dan c positif maka dengan ketaksamaan AM-GM didapat a b c a b c + + b c a b c a Tanda kesamaan terjadi jika a b c. a b c Karena + + maka haruslah a b c yang kontradiksi dengan a < b < c. b c a Banyaknya bilangan positif a yang memenuhi adalah n + S n N N n n + n + + N n + n + n + Karena n + n maka haruslah n + Jadi n +, tetapi n N sehingga tidak ada n N yang memenuhi. Semua himpunan bagian dari S hanya ada satu yaitu { }. Banyaknya himpunan bagian dari S adalah. 5. Misalkan garis tinggi dari A memotong sisi BC di D dan AD x. Tanpa mengurangi keumuman misalkan CD dan DB 7. 98

21 Solusi Olimpiade Matematika Tk Provinsi 009 Bagian Pertama tan CAD + tan DAB tan CAB tan( CAD + DAB) tan CAD tan DAB 7 + x x yang ekivalen dengan 7 7 x x x 56 70x (x )(x + 5) 0 Karena x > 0 maka x AD Luas ABC ½ AD BC ½ ( + 7) Luas ABC adalah 0. 9x sin x + 4 xsin x Untuk 0 < x < π maka sin x > 0 Dengan AM-GM didapat 6. f ( x) 9x sin x f xsin x xsin x xsin x 4 Tanda kesamaan terjadi jika 9 xsin x atau x sin x xsin x 9x sin x + 4 Nilai minimum dari f ( x) adalah. xsin x ( x) 9xsin x + 9xsin x 7. Misalkan garis tinggi ketiga t. Misalkan juga 6, 0 dan t adalah garis tinggi-garis tinggi yang berturut-turut sepadan dengan sisisisi a, b dan c. Dengan rumus luas segitiga ABC didapat hubungan 6a 0b tc Dengan ketaksamaan segitiga didapat a < b + c b c < + a a 6 < + 5 t t < 5. Jika t 4 maka 6a 0b 4c a : b : c : : 5 : : Karena a 5k < b + c 6k untuk suatu nilai real k maka t 4 memenuhi. Panjang maksimum garis tinggi ketiga adalah 4. 99

22 Solusi Olimpiade Matematika Tk Provinsi 009 Bagian Pertama 8. f ( x + ) ( x) ( x) + f dan f() f + f () f ( 4) + f () f ( 6 ) Sehingga nilai f(n) untuk n bulat akan periodik dengan kala ulang 4. Karena 009 4(50) + maka nilai f(009) f(5) Nilai fungsi f(009) adalah. 9. r ( a + b + c) R Luas ABC r( a + b + c) ab abc 4R ab R Alternatif : Dengan mensubtitusikan bahwa c R, a c sin A dan b c cos A maka 4 sin A cos A sin A Karena a < b < c maka A < B < C. 00

23 Solusi Olimpiade Matematika Tk Provinsi 009 Bagian Pertama Jadi, A 0 o, B 60 o dan C 90 o. ( a + b + c) r r ab c sin 0 c cos0 a + b + c c r a + b + c ( a + b + c) ( a + b + c) ( csin 0 + c cos0 + ) ( ) 6 Alternatif : Karena R c maka 4ab c a + b c a + b 4ab ( a b )( a b ) 0 Karena a < b maka b a dan c a ab a r a + b + c a + a + + a + a + r a a + b + c a r a + b + c ( + )( a + a + ) ( ) tan x + tan y 5 cot x + cot y tan x tan y tan x + tan y 0 tan x tan y 5 tan x tan y 6 tan ( x + y) tan x + tan y tan x tan y tan (x + y) Nilai maksimal k sehingga 5 k ! adalah Bagian kanan 00! terdapat digit 0 berturut-turut sebanyak 4. 0

24 Solusi Olimpiade Matematika Tk Provinsi 009 Bagian Pertama. Alternatif : Akan ada dua kasus ) Ada tepat sepasang sepatu yang berpasangan dan dua lainnya dipilih dari pasang sepatu tersisa sehinga keduanya tidak berpasangan. Sepasang sepatu dipilih dari kemungkinan 4 pasangan. Banyaknya cara memilih ada 4. Banyaknya cara memilih dua sepatu dari tiga pasang sepatu sehingga keduanya tidak berpasangan adalah C. Banyaknya cara memilih sehingga tepat sepasang sepatu yang berpasangan dan lainnya dipilih dari pasang sepatu tersisa sehinga keduanya tidak berpasangan ) Ada tepat dua pasang sepatu berpasangan yang dipilih dari kemungkinan empat pasang sepatu. Banyaknya cara memilih adalah 4 C Peluang kejadian 8 C4 5 Alternatif : Komplemen dari kejadian dimaksud adalah tidak ada sepasang sepatu dari keempat sepatu tersebut yang berpasangan, sehingga masing-masing satu buah sepatu dipilih dari masingmasing empat pasang sepatu tersebut. Banyaknya cara adalah 6. 6 Peluang kejadian 8 C4 7 Peluang kejadian. 5. k m + m 4 n 6 dengan k, m dan n adalah tiga bilangan bulat positif. m n(m 6k) Karena ruas kiri positif maka haruslah m > 6k > 6. Ruas kanan pasti genap sehingga m harus genap. Karena m genap dan m > 6 maka m 8. Jika m 8 maka 48 4n kn 48 n(4 k) n 48 dan k adalah salah satu pasangan (n, k) yang memenuhi. Bilangan m terkecil yang memenuhi adalah (p ) + (p) 6 p untuk suatu bilangan prima p. Jika p maka sehingga p tidak memenuhi. Jika p maka sehingga p tidak memenuhi. Karena p, dan p prima maka p dapat dinyatakan p 6k + atau 6k + 5 dengan k bulat taknegatif. Jika p 6k + Persamaan semula akan ekivalen dengan (k + ) + 9(6k + ) 6 6k+ (k) + (k) + (k) + + 9(6k + ) 6 6k+ Ruas kiri dibagi 9 bersisa sedangkan ruas kanan habis dibagi 9. 0

25 Solusi Olimpiade Matematika Tk Provinsi 009 Bagian Pertama Maka tidak ada nilai k asli yang memenuhi. Jika p 6k + 5 Persamaan semula akan ekivalen dengan (k + 9) + 9(6k + 5) 6 6k- (4k + ) + 4k 540k k+5 Karena 80 9 (mod 7) maka ruas kiri dibagi 7 bersisa 9 sedangkan 7 membagi ruas kanan. Maka tidak ada nilai k asli yang memenuhi. Jadi, tidak ada bilangan prima p yang memenuhi. Banyaknya bilangan prima p yang memenuhi adalah Misalkan k cos x sin x + cos x sin x + + cos x 009 sin x maka k cos x sin x + cos x sin x + + cos x 009 sin x Mengingat bahwa sin α + cos α maka 009+k cos x + cosx sinx + (sin x + cos x ) + cosx sinx + (sin x + cos x ) + + cosx 009 sinx + sin x 009+k(cos x + cosx sinx + sin x )+(cos x + cosx sinx + sin x )+ +(cos x cosx 009 sinx + sin x ) k (cos x + sin x ) + (cos x + sin x ) + + (cos x sin x ) + (cos x + sin x 009 ) Karena bilangan kuadrat tidak mungkin negatif maka k min k min Nilai minimum didapat jika cos x sin x, cos x sin x, cos x sin x, cos x sin x,, π cos x 009 sin x dan cos x 009 sin x yang dapat dipenuhi oleh x x L x rad. Nilai minimum dari cos x sin x + cos x sin x + + cos x 009 sin x adalah x 8x + 4x 0 akar-akarnya a, b dan c. Maka a + b + c 8. 8 y Subtitusi y 8 x sehingga x ke persamaan x 8x + 4x 0. Maka 8 y 8 y 8 y memiliki akar-akar 8 a, 8 b dan 8 c Polinom f(x) x + px + qx + r memiliki akar-akar, yaitu a + b c 8 c, a + c b 8 b dan b + c a 8 a. Karena koefisien x dari f(x) sama dengan maka 8 x 8 x 8 x Polinom f ( x) juga memiliki akar-akar 8 a, 8 b dan 8 c f () f() 45. 0

26 Solusi Olimpiade Matematika Tk Provinsi 009 Bagian Pertama 7. Tanpa mengurangi keumuman misalkan sisi-sisi segitiga adalah a, b dan 0 dengan a b 0. Ketaksamaan segitiga, a + b > 0 Karena segitiga tumpul maka a + b < 0 Pasangan (a, b) bilangan asli yang memenuhi kedua ketaksamaan tersebut adalah (,9), (,8), (,9), (4,7), (4,8), (4,9), (5,6), (5,7), (5,8), (6,6), (6,7) dan (7,7). Banyaknya pasangan (a, b) bilangan asli yang memenuhi ada. Banyaknya segitiga yang memenuhi adalah maka 7 dan 4 haruslah merupakan faktor dari n. n min memenuhi banyaknya faktor positif dari n adalah (40 + )(6 + )(6 + ) 009 Faktor prima terkecil dari n adalah. 9. p(x) x 6 p(p(x) x (x 6) 6 x x 4 x x (x + )(x )(x + x 5) 0 Nilai x yang memenuhi adalah,,, Karena < maka nilai terbesar x yang memenuhi adalah. Nilai maksimal dari { x : x A} adalah Karena q maka q q + 5 q q n nq + n Karena n bulat maka q n nq + n qn + n () q qn (q ) qn + qn Karena qn bulat maka q qn (q ) qn + qn () ( ) ( )( ) + q qn q qn n n n Karena q tak bulat maka 5 ( q ) qn ( q ) qn 5 + < < n n 04

27 Solusi Olimpiade Matematika Tk Provinsi 009 Bagian Pertama Karena n > (q ) qn n maka (q ) qn n q qn (q ) qn + qn q qn n + qn () Kurangkan persamaan () dengan persamaan () q qn q n (n + qn ) ( qn + n) q qn q n Nilai q qn q n untuk sebarang n N adalah. 05

28 SELEKSI OLIMPIADE TINGKAT PROVINSI 009 TIM OLIMPIADE MATEMATIKA INDONESIA 00 Prestasi itu diraih bukan didapat!!! SOLUSI SOAL BAGIAN KEDUA Disusun oleh : 06

29 Solusi Olimpiade Matematika Tk Provinsi 009 Bagian Kedua BAGIAN KEDUA. Jelas bahwa semut harus melangkah ke depan lebih dari kali. Jika semut melangkah ke depan lebih dari 5 kali maka semut tersebut harus mundur sekurangkurangnya 8 langkah sehingga total langkah lebih dari 0. Jadi, hanya ada kasus : - Semut tersebut maju x 4 langkah dan mundur langkah, total langkah 4. Banyaknya cara sama saja dengan banyaknya susunan 6! Banyaknya cara 5 cara. 4!! Cara lainnya sama dengan menempatkan 4 angka tiga ke 4 dari 6 tempat. Banyaknya cara 6C 4 5 cara. - Semut tersebut maju x 5 langkah dan mundur 5 langkah, total langkah 0. Banyaknya cara sama saja dengan banyaknya susunan 0! Banyaknya cara 5 cara. 5! 5! Cara lainnya sama dengan menempatkan 5 angka tiga ke 5 dari 0 tempat. Banyaknya cara 0C 5 5 cara. Banyaknya cara semut tersebut melangkah agar mencapai makanan adalah x n x x 009 x x a b dengan a dan b bilangan bulat dan b 0. Karena ( q n )( p + q n ) ( p p + q q n) + ( p q p q ) n p + + yang juga berbentuk pi + qi n untuk suatu bilangan asli p i dan q i dengan i adalah bilangan asli maka x i juga akan berbentuk pi + qi n untuk suatu bilangan asli i. x Karena x 0 maka x p008 + q008 n a p + q n b 009 x x a b x x 008 ( a q b q ) n b p008 a p + a b 008 Karena a, b, p, p 008, q dam q 008 adalah bilangan bulat maka n haruslah merupakan kuadrat dari suatu bilangan rasional. k n dengan k, m bilangan asli dan FPB(k, m) m Karena n bilangan asli maka haruslah m sehingga n merupakan kuadrat dari suatu bilangan asli. Terbukti bahwa n merupakan kuadrat dari suatu bilangan asli. 07

30 Solusi Olimpiade Matematika Tk Provinsi 009 Bagian Kedua. Misalkan [ABC] menyatakan luas ABC, maka [ABC] [ABD] + [BCD] r ( AB + BC + AC) r ( AB + BD + AD) + r ( BC + BD + DC) Pada ABD dan BCD berturut-turut berlaku BD < AD + AB dan BD < BC + DC sehingga r(ab + BC + AC) r (AB + BD + AD) + r (BC + BD + DC) < r (AB + BC + DC + AD) + r (BC + AD + AB + DC) Karena AD + DC AC maka r(ab + BC + AC) < r (AB + BC + AC) + r (BC + AC + AB) r < r + r Terbukti bahwa r + r > r 4. 7p 8x () p y () Jika (x, y) (x, y ) memenuhi persamaan maka ( x, y ) pasti memenuhi sehingga tanpa mengurangi keumuman dapat dimisalkan x, y 0. p y y. Karena y 0 dan y tidak memenuhi persamaan maka y > sehingga p > y () Jika p maka 5 8x yang tidak akan terpenuhi untuk x bilangan bulat. Jika p maka 8x yang tidak akan terpenuhi untuk x bilangan bulat. Jika p 5 maka 6 8x yang tidak akan terpenuhi untuk x bilangan bulat. Jika p 7 maka 50 8x yang tidak akan terpenuhi untuk x bilangan bulat. Jadi, p > 7. Kurangkan persamaan () dengan () didapat p(p 7) (y + x)(y x) Karena p > 7 maka y > x sehingga p > y > x (4) Karena p maka p (y + x)(y x) Karena p > y y x dan p bilangan prima maka p y + x Karena p y + x < p + p p maka hanya terpenuhi jika p y + x Maka p (p x) sehingga p 8xp + 8x 0 Subtitusikan persamaan () sehingga p 8xp + 7p 0 Karena p 0 maka p 8x 7 (5) Subtitusikan persamaan (5) ke persamaan () 7(8x 7) 8x (x 6)(x ) 0 * Jika x dan sesuai persamaan (5) maka p (tidak memenuhi bahwa p bilangan prima) * Jika x 6 maka p 4 dan y 9 yang memenuhi bahwa p bilangan prima dan y bulat Semua nilai p yang memenuhi adalah p 4. 08

31 Solusi Olimpiade Matematika Tk Provinsi 009 Bagian Kedua 5. Misalkan A H dan B H yang memenuhi A B { } serta A dan B keduanya bukan himpunan kosong. H {0,,, 4, 8} merupakan counter example dari soal. Bagaimana pun disusun A H dan B H serta A B { } tidak akan didapat jika semua anggota A dijumlahkan hasilnya akan sama dengan jumlah semua anggota B. Tidak dapat dibuktikan ada dua himpunan bagian dari H, yang tidak kosong dan saling asing, yang jika semua anggotanya dijumlahkan hasilnya sama. 09

32 SELEKSI TIM OLIMPIADE MATEMATIKA INDONESIA 00 OLIMPIADE SAINS NASIONAL 009 DKI JAKARTA, 9 AGUSTUS 009 Bidang Matematika Hari Pertama Waktu : 4 Jam DEPARTEMEN PENDIDIKAN NASIONAL DIREKTORAT JENDERAL MANAJEMEN PENDIDIKAN DASAR DAN MENENGAH DIREKTORAT PEMBINAAN SEKOLAH MENENGAH ATAS TAHUN 009 0

33 OLIMPIADE SAINS NASIONAL AGUSTUS 009 DKI JAKARTA BIDANG : MATEMATIKA HARI PERTAMA WAKTU : 4 JAM. Tentukan banyaknya bilangan n {,,,, 009} sedemikian sehingga 4n 6 + n + 5 habis dibagi 7.. Misalkan untuk setiap bilangan real x didefinisikan x sebagai bilangan bulat terbesar yang lebih kecil atau sama dengan x. Diberikan a, a, a, suatu barisan bilangan asli yang memenuhi a > dan a + a + a + Buktikan bahwa untuk setiap bilangan asli n. a a an + an+ a 4 L.. Pada segitiga ABC, titik-titik D, E dan F berturut-turut terletak pada segmen BC, CA dan AB. Nyatakan P sebagai titik perpotongan AD dan EF. Tunjukkan bahwa AB AC AD xdc + xdb xbc AF AE AP 4. Di suatu pulau terdapat 7 kota dan ada jaringan kereta api yang melalui kota-kota tersebut. Setiap segmen rel menghubungkan tepat kota, dan diketahui bahwa setiap kota memiliki paling sedikit segmen ke kota lain. Buktikan bahwa terdapat rute perjalanan kereta api yang mengunjungi 4 kota yang berbeda masing-masing sekali dan kembali ke kota asalnya. (Contoh : rute A B C D A)

34 SELEKSI TIM OLIMPIADE MATEMATIKA INDONESIA 00 OLIMPIADE SAINS NASIONAL 009 DKI JAKARTA, 9 AGUSTUS 009 Bidang Matematika Hari Kedua Waktu : 4 Jam DEPARTEMEN PENDIDIKAN NASIONAL DIREKTORAT JENDERAL MANAJEMEN PENDIDIKAN DASAR DAN MENENGAH DIREKTORAT PEMBINAAN SEKOLAH MENENGAH ATAS TAHUN 009

35 OLIMPIADE SAINS NASIONAL AGUSTUS 009 DKI JAKARTA BIDANG : MATEMATIKA HARI KEDUA WAKTU : 4 JAM 5. Di dalam suatu laci terdapat paling banyak 009 bola yang terdiri dari bola putih dan biru yang tercampur secara acak. Jika dua bola diambil secara acak tanpa pengembalian, maka diketahui probabilitas bahwa terambil keduanya bola warna putih atau keduanya bola warna biru adalah. Berapa banyak maksimum bola putih yang mungkin berada dalam laci sedemikian sehingga pernyataan tentang probabilitas tersebut tetap terpenuhi? 6. Tentukan nilai terkecil yang mungkin dari fungsi f(x) x 008 x x x x x x 008x untuk sebarang bilangan real x. 7. Suatu pasangan bilangan bulat (m, n) dikatakan baik bila m n + n dan n m + m Diberikan sebarang dua bilangan asli a, b > yang relatif prima, buktikan bahwa terdapat pasangan baik (m, n) dengan a m dan b n tetapi a tidak membagi n dan b tidak membagi m. 8. Diberikan segitiga ABC lancip. Lingkaran dalam segitiga ABC menyinggung BC, CA, dan AB berturut-turut di D, E, dan F. Garis bagi sudut A memotong DE dan DF berturut-turut di K dan L. Misalkan AA adalah garis tinggi dan M titik tengah BC. (a) Buktikan bahwa BK dan CL tegak lurus garis bagi sudut BAC (b) Tunjukkan bahwa A KML adalah segiempat talibusur

36 SELEKSI TIM OLIMPIADE MATEMATIKA INDONESIA 00 OLIMPIADE SAINS NASIONAL 009 DKI JAKARTA, 9 AGUSTUS 009 Prestasi itu diraih bukan didapat!!! SOLUSI SOAL Bidang Matematika Disusun oleh : 4

37 Solusi Olimpiade Sains Nasional 009 Bidang : Matematika. 4n 6 + n + 5 Jika n 0 (mod 7) maka 4n 6 + n + 5 4(0) 6 + (0) + 5 (mod 7) 5 (mod 7) Jika n (mod 7) maka 4n 6 + n + 5 4() 6 + () + 5 (mod 7) (mod 7) Jika n (mod 7) maka 4n 6 + n + 5 4() 6 + () + 5 (mod 7) (mod 7) Jika n (mod 7) maka 4n 6 + n + 5 4() 6 + () + 5 (mod 7) (mod 7) Jika n (mod 7) maka 4n 6 + n + 5 4( ) 6 + ( ) + 5 (mod 7) (mod 7) Jika n (mod 7) maka 4n 6 + n + 5 4( ) 6 + ( ) + 5 (mod 7) (mod 7) Jika n (mod 7) maka 4n 6 + n + 5 4( ) 6 + ( ) + 5 (mod 7) (mod 7) Maka tidak ada nilai n asli yang akan menyebabkan 4n 6 + n + 5 habis dibagi 7. Banyaknya bilangan n yang memenuhi ada 0. a a + + a +. Misalkan L p untuk suatu bilangan bulat tak negatif p. a a a4 Misalkan juga terdapat a k untuk suatu bilangan asli k. Maka berdasarkan pengertian fungsi tangga maka ak + ak + p sebab a k merupakan bilangan asli. ak ak + p sebab a k+ merupakan bilangan asli. ak + ak + Akibatnya haruslah a k a k+ a k. Jadi, haruslah a. Kontradiksi. Jadi, a n untuk setiap bilangan asli n. Berdasarkan pengertian fungsi tangga maka am + p untuk suatu bilangan asli m > sehingga a m p. Dengan cara yang sama am am am didapat am p. Demikian seterusnya. am am Misalkan k < m untuk suatu bilangan asli k. Maka ak ak + am ak L p p L p. ak + ak + am am ak + ak + am ak Jika p maka > sehingga a k > a m untuk setiap bilangan asli k, m dan k < m. a m Jadi, jika p maka a, a, a, merupakan barisan turun. Karena a memiliki suatu nilai tertentu maka akan terdapat a n < untuk suatu bilangan asli n. Kontradiksi karena a n merupakan bilangan asli. Jadi, haruslah p.,,,,, adalah contoh barisan untuk p sedangkan, 4, 6, adalah contoh barisan untuk p 0. an + Terbukti bahwa. an+ 5

38 Solusi Olimpiade Sains Nasional 009 Bidang : Matematika. Alternatif : Misalkan [XYZ] menyatakan luas segitiga XYZ. ACD dan ABC memiliki tinggi yang sama sehingga luas dapat dinyatakan sebagai perbandingan alas. Maka [ ] [ ADC DC ABC] BC (). ABD dan ABC juga memiliki tinggi yang sama sehingga [ [ ABD ] ] DB ABC BC (). Misalkan DAC α dan BAD β. [ ADC ] AC AD sinα AC AD [ APE ] () [ ABD ] [ AFP] AP AE sinα AP AE AD AB sin β AD AB AP AF sin β AP AF (4) AB AF DC + AC AE DB AB AF [ [ ADC ] ] ABC BC + AC AE [ [ ABD ] ] ABC BC AF Karena [AFE] [APE] + [AFP] maka AB AF DC + AC AE DB AB AF Karena [ [ ] ABC ] AFE AF AE AB. AC AD AC AP. AE. maka AFE BC. [ [ ] ABC ] AB AF DC + AC AE DB AD AP BC AB AF DC + AC AE DB AD AP BC (terbukti) AB AD AC AP. AE. [ [ APE] ABC] BC + AE AC AD AB AP. AF AFP BC. [ ] [ ABC] Alternatif : Tanpa mengurangi keumuman misalkan koordinat A(0, 0), B(a, 0) dan C(b, c) serta absis titik D, E dan F berturut-turut d, e dan f, maka koordinat F(f, 0). Persamaan garis AC adalah y b c x sehingga koordinat E(e, b ce ). Persamaan garis EF adalah y 0 ce 0 b x f e f yang setara dengan y cex cef be bf y 0 x a x a Persamaan garis BC adalah c 0 b a yang setara dengan y c( ) a b a d Maka koordinat titik D(d, c( ) a b ). ac cd Persamaan garis AD adalah y ( ) x. ad bd Titik P adalah perpotongan antara garis EF dan AD maka cex P cef be bf ac cd ( ) ad bd x P.. adex P bdex P adef + bdef abex P bdex P abfx P + bdfx P def ( a b) x P ade+ abf bdf abe AB Karena A, F dan B berada pada satu garis lurus maka AF xb x A xf x A f a () 6

39 Solusi Olimpiade Sains Nasional 009 Bidang : Matematika AC Karena A, E dan C berada pada satu garis lurus maka AE DC Karena C, D dan B berada pada satu garis lurus maka BC DB Karena C, D dan B berada pada satu garis lurus maka BC AD Karena A, D dan P berada pada satu garis lurus maka AP AB DC AC DB a ( d + b) ( a d ) AF BC AE BC ( ) b ade+ abf bdf + f a b e ( a b) ef ( a b) Dari persamaan (5) dan (6) didapat AB DC AC DB AD + AF BC AE BC AP AB AF DC + AC AE DB AD AP BC (terbukti) abe xc xa xe xa xd xc xb xc xb xd xb xc xd x A xp x A e b () d b a b a d a b () (4) ade+ abf bdf abe ef ( a b) (6) (5) 4. Sebuah segmen rel menghubungkan dua kota. Maka jumlah total kota yang muncul dari seluruh segmen haruslah genap. Jika masing-masing kota tepat terhubung dengan tiga kota lainnya maka banyaknya kota yang muncul adalah x 7 yang ganjil. Maka akan ada sekurang-kurangnya segmen dan ada satu kota yang terhubung dengan sekurang-kurangnya 4 kota. Tanpa mengurangi keumuman misalkan kota yang terhubung dengan sekurang-kurangnya 4 kota tersebut adalah kota A yang terhubung dengan kota B, C, D dan E. Karena sebuah kota terhubung dengan sekurang-kurangnya kota lain maka kota F dan G masing-masing terhubung dengan sedikitnya salah satu dari B, C, D dan E. Akan ada kasus : Kota F atau G terhubung dengan sekurang-kurangnya di antara B, C, D dan E misalkan B dan C, maka bukti selesai sebab akan terdapat rute A B F/G C A. Kota F dan G masing-masing terhubung dengan salah satu di antara B, C, D dan E. Kota F dan G terhubung dengan salah satu di antara B, C, D dan E. Selain itu kota F juga harus terhubung dengan kota A dan G serta kota G juga harus terhubung dengan A. Tanpa mengurangi keumuman misalkan kota F terhubung dengan kota B. Maka akan terdapat rute A B F G A. Terbukti bahwa terdapat rute perjalanan kereta api yang mengunjungi 4 kota yang berbeda masing-masing sekali dan kembali ke kota asalnya. 5. x C + yc x+ y C x( x ) + y( y ) ( x+ y )( x+ y ) x x + y y x + y x y + xy (x y) x + y 009 x y 44 x + y (x y) x x 990 Jika x 990 maka y Peluang 990 C + 946C 96 C Jadi, x terbesar adalah

40 Solusi Olimpiade Sains Nasional 009 Bidang : Matematika 6. f(x) x 008 x x x x x x 008x f(x) x 006 (x ) + x 004 (x ) + x 00 (x ) (x ) Karena bilangan kuadrat tidak mungkin negatif maka f(x) akan minimal saat x f(x) minimal 005 Jadi, nilai terkecil dari f(x) adalah Karena FPB(a, b) maka pasti ada pasangan bilangan bulat (x, y) yang memenuhi ax + by. Misalkan m ax dan n by. Jelas bahwa m dan n keduanya bilangan bulat. n + n by(by +) by( ax) mn yang berarti habis dibagi m. m + m ax(ax +) ax( by) mn yang berarti habis dibagi n. Jadi m n + n dan n m + m Selain itu, dari m ax dan n by akan didapat a m dan b n. Jika a n maka a y. Dari ax + by akan didapat bahwa a sehingga a (kontradiksi). Jadi, a tidak membagi n. Dengan cara yang sama akan didapat bahwa b tidak membagi m. Terbukti bahwa terdapat pasangan baik (m, n) dengan a m dan b n tetapi a tidak membagi n dan b tidak membagi m. 8. a) LIC 80 o AIC 80 o (80 o A (80 o (A + B)) 90 o B () Karena BDF sama kaki maka BDF 90 o B () CDL 80 o BDF 80 o (90 o B) 90 o + B () Karena LIC + CDL 80 o maka CDLI adalah segiempat talibusur. Karena CI adalah talibusur suatu lingkaran sedangkan titik D dan L terletak pada lingkaran tersebut maka CLI CDI 90 o. Jadi, CL tegak lurus AK yang merupakan garis bagi sudut BAC (terbukti). AEK 80 o CEK 80 o (90 o (80 o (A + B)) 80 o (A + B) DKI 80 o AEK CAK 80 o (80 o (A + B)) A B Karena DKI DBI maka titik-titik D, K, B dan I adalah segiempat talibusur. Karena BI adalah talibusur suatu lingkaran sedangkan titik D dan K terletak pada lingkaran tersebut maka BKI BDI 90 o. Jadi, BK tegak lurus AK yang merupakan garis bagi sudut BAC (terbukti). 8

41 Solusi Olimpiade Sains Nasional 009 Bidang : Matematika b) Misalkan garis BC dan KL berpotongan di titik T. Karena CLT BKT 90 o dan BTK CTL maka CLT dan BKT sebangun BK BT CL CT TK LT c sin A a CT TK b sin A CT AK AL TK c a CT TK b CT c cos A b cos A TK Dari persamaan () didapat c CT ab b CT ab CT b+ c (4) Juga didapat c(c b) cos A c TK b TK c TK ( ) c b cos A b+ c LT c b TK (5) () Misalkan lingkaran luar A LK memotong garis BC di titik N. Karena A LT KNT dan ATL KTN maka KTN sebangun dengan A TL. Jadi, A T TN LT TK (CT CA ) TN c b TK ab ( b cosc) b+ c TN b c c ( c b) ( cosc + ) ( ) ( b+ c) a + b c Dengan menggunakan cos C ab maka didapat a( c b) TN ( b+ c) ab CN CT + TN + a( c b) a b+ c ( b+ c) Maka, N adalah pertengahan BC. Jadi, N M. Jadi, titik A, L, K dan M terletak pada satu lingkaran. Terbukti bahwa A, L, M dan K siklik. 9