Barisan dan Deret Agus Yodi Gunawan Barisan. Definisi. Barisan tak hingga adalah suatu fungsi dengan daerah asalnya himpunan bilangan bulat positif dan daerah kawannya himpunan bilangan real. Notasi untuk barisan a n adalah a a 2 a 3 atau {a n } n= atau {a n }. Barisan dapat dinyatakan oleh formula eksplisit (contoh a n = 2n + n ) atau formula rekursif (contoh a n = a n + 2 n 2). 2. Barisan konvergen. Barisan {a n } dikatakan konvergen ke L dinotasikan oleh lim a n = L jika untuk setiap bilangan positif ε ada bilangan positif yang bersesuaian N sehingga N n a n L < ε. Perhatikan bahwa definisi kekonvergenan ini dapat dipandang sebagai definisi limit di tak hingga dari suatu fungsi. Dalam hal barisan tidak konvergen maka barisan tersebut dikatakan barisan yang divergen. 3. Sifat barisan konvergen. Misalkan {a n } dan {b n } masing-masing barisan konvergen dam k suatu konstanta. Maka (a) lim ka n = k lim a n. (b) lim (a n ± b n ) = lim a n ± lim b n. (c) lim (a n b n ) = lim a n lim b n. a n (d) lim = b n lim a n lim b n 4. Beberapa teorema barisan. asalkan lim b n 0. (a) Misalkan fungsi f(x) (x merupakan peubah real) adalah fungsi yang bersesuaian dengan barisan f(n) (n bilangan bulat positif). Maka lim f(x) = L lim f(n) = L. x Fakta ini biasa digunakan pada saat kita memeriksa kekonvergenan barisan (menguji nilai limit) dengan menerapkan aturan L Hôpital. (b) Teorema Apit. Misalkan {a n } dan {c n } masing-masing konvergen ke L dan a n b n c n untuk n K (K suatu bilangan bulat tetap). Maka barisan {b n } juga konvergen ke L.
(c) Jika lim a n = 0 maka lim a n = 0. Fakta ini dapat dipergunakan untuk memeriksa barisan yang berganti tanda. (d) Teorema barisan monoton. Misalkan {a n } adalah barisan tak turun untuk n N yaitu a n a n+ n N. Misalkan pula U suatu bilangan bulat tetap. Jika a n < U untuk setiap n N maka barisan {a n } konvergen ke L L < U. Hal ini mengatakan bahwa barisan tak turun yang terbatas di atas merupakan barisan yang konvergen. Hal serupa berlaku pada barisan tak naik yang terbatas di bawah. 2 Deret. Notasi dan jumlah parsial. Deret tak hingga dinotasikan ole a + a 2 + a 3 + atau a k atau a k. Jumlah parsial ke-n dari deret tersebut dinyatakan oleh S n = a + a 2 + + a n = n a k. 2. Kekonvergenan deret. Deret tak hingga a k konvergen dan memiliki jumlah S jika barisan jumlah parsial {S n } konvergen ke S. Jika barisan jumlah parsial {S n } divergen maka deret a k dikatakan divergen. 3. Uji suku ke-n. Jika a k konvergen maka lim a n = 0. Pernyataan yang sama dengan ini adalah Jika lim a n 0 atau jika limit tersebut tidak ada maka a k divergen. Catatan: lim /n = 0 tetapi /n divergen. 4. Kelinearan deret konvergen. Jika a k dan b k masing-masing deret konvergen dan α β konstanta maka (αa k + βb k ) konvergen dan (αak + βb k ) = α a k + β b k. Catatan: Jika a k divergen dan α 0 maka αa k divergen. 5. Pengelompokan suku-suku deret. Jika suku-suku dari deret konvergen dikelompokkan tetapi tetap mempertahankan urutan suku-sukunya maka deret yang dihasilkan juga konvergen ke jumlah yang sama dengan deret asalnya. 6. Uji kekonvergenan Deret tak negatif. Jika a k 0 maka deret a k dikatakan deret tak negatif. Jika a k > 0 maka a k dikatakan deret positif. Uji kekonvergenan deret tak negatif/ positif: (a) Uji jumlah parsial terbatas. Deret tak negatif a k konvergen jika dan hanya jika jumlah parsialnya terbatas di atas. 2
(b) Uji integral. Misalkan f(x) suatu fungsi kontinu positif dan tak naik pada selang [ ). Misalkan pula a k = f(k) untuk setiap bilangan bulat k > 0. Maka a k konvergen jika dan hanya jika f(x) dx konvergen. Taksiran galat untuk hampiran jumlah deret. Misalkan deret a k konvergen ke S. Jika deret tersebut kita hampiri dengan jumlah parsial ke-n S n maka galatnya diberikan oleh E n = S S n = a n+ + a n+2 +. Misalkan f(x) suatu fungsi dengan sifat a k = f(k) dan f(x) fungsi positiff kontinu dan tak naik di selang [ ). Maka E n < f(x)dx (hal ini menyatakan batas atas untuk galat E n ). (c) Uji deret p. Untuk suatu konstanta p deret /k p disebut deret-p. k n i. Deret k ii. Deret k /k p konvergen jika p >. /k p divergen jika p. (d) Uji banding biasa. Misalkan 0 a n b n untuk n N. i. Jika b n konvergen maka a n juga konvergen. ii. Jika a n divergen maka b n juga divergen. (e) Uji banding limit. Misalkan 0 a n 0 b n dan lim a n /b n = L. i. Jika 0 < L < maka a n dan b n keduanya konvergen atau keduanya divergen. ii. Jika L = 0 dan b n konvergen maka a n juga konvergen. (f) Uji banding suku. Misalkan a n adalah deret positif dan lim a n+ /a n = ρ. i. Jika ρ < maka deret konvergen. ii. Jika ρ > atau lim a n+ /a n = maka deret divergen. iii. Jika ρ = uji ini tidak menyimpulkan apa-apa perlu dilakukan uji yang lainnya. 7. Deret berganti tanda. Misalkan a n 0. Deret ( ) n a n disebut deret berganti tanda atau deret berayun. dapat dilakukan cara berikut: Untuk menguji kekonvergenan deret berganti tanda (a) Misalkan diberikan deret berganti tanda ( ) n a n dengan a n > a n+ > 0 (suku-sukunya turun). Jika lim a n = 0 maka deret berganti tanda konvergen. (b) Jika ( ) n a n = a n konvergen maka ( ) n a n konvergen. 8. Konvergen mutlak dan konvergen bersyarat. Misalkan diberikan deret u n. 3
(a) Deret u n dikatakan konvergen mutlak jika u n konvergen. Lebih jauh lagi jika deret konvergen mutlak maka deret tersebut konvergen. (b) Deret u n dikatakan konvergen bersyarat jika u n konvergen tetapi u n divergen. 9. Uji banding suku mutlak. Misalkan u n deret dengan suku-sukunya tak nol. Dengan menggunakan sifat kekonvergenan mulak yang menyebabkan deret konvergen maka uji (6f) dapat digunakan untuk menyelidiki kekonvergenan deret ini dengan mensubstitusikan a n = u n. 3 Deret pangkat atau deret kuasa Pada bagian terdahulu telah dipelajari deret dengan suku-suku konstan. Pada bagian ini akan dipelajari deret dengan suku-sukunya berupa fungsi; suku fungsi yang akan dipelajari di sini berbentuk u n (x) = x n.. Definisi. Deret pangkat dalam x adalah deret dengan bentuk a n x n = a 0 + a + a 2 +. n=0 Selanjutnya akan dinotasikan dengan a n x n dan disebut dengan deret pangkat saja. 2. Kekonvergenan deret pangkat. Daerah kekonvergenan dari deret pangkat a n x n yang disebut himpunan/selang kekonvergenan deret selalu merupakan salah satu dari yang berikut: (a) Titik tunggal x = 0. (b) Selang ( R R) mungkin juga termasuk dengan ujung-ujung selangnya. (c) Himpunan bilangan real. Berdasarkan urutan di atas deret dikatakan mempunyai jari-jari kekonvergenan 0 R dan. Himpunan kekonvergenan deret pangkat dapat dicari dengan menggunakan uji banding suku mutlak (9). Deret pangkat a n x n konvergen mutlak pada titik dalam dari selang kekonvergenannya. Jika sekarang diberikan deret pangkat berbentuk a n (x c) n maka himpunan kekonvergenan untuk dua urutan pertama menjadi x = c dan (c R c + R) sedangkan yang terakhir tetap sama. Demikian pula dengan jari-jari kekonvergenannya hanya sekarang dengan pusat x = c. 4
3. Operasi pada deret pangkat. Misalkan S(x) merupakan jumlah dari suatu deret pangkat pada selang I yaitu S(x) = a n x n. Maka jika x adalah titik dalam di I (untuk menjamin kekonvergenan) (a) S (x) = (a n x n ) = na n x n. (b) 0 n=0 n=0 0 n= x S(t) dt = x a n t n dt = n=0 n=0 a n n + xn+. Operasi Aljabar. Jika f(x) = a n x n dan g(x) = b n x n keduanya konvergen paling tidak di x < r maka penjumlahan pengurangan dan perkalian dari kedua deret tersebut konvergen di x < r. Khusus untuk pembagian f(x)/g(x) diperlukan syarat tambahan yaitu b 0 0. 4. Formula Taylor dengan galat. Misalkan f(x) suatu fungsi yang dapat diturunkan sebanyak (n + ) kali untuk setiap x di selang buka I yang memuat titik a. Maka untuk setiap x I f(x) = f(a) + f (a)(x a) + f (a) 2! dimana galat (sisa) R n (x) diberikan oleh dengan c suatu titik diantara x dan a. (x a) 2 + + f (n) (a) (x a) n + R n (x) n! R n (x) = f (n+) (c) (x a)n+ (n + )! 5. Deret Taylor. Misalkan f(x) suatu fungsi yang dapat diturunkan tak hingga kali pada selang (a r a + r). Deret Taylor f(x) = f(a) + f (a)(x a) + f (a) (x a) 2 + 2! menyajikan fungsi f(x) pada selang (a r a + r) jika dan hanya jika lim R n(x) = 0 dimana R n (x) adalah galat formula Taylor. Jika dipilih a = 0 maka deret di atas disebut deret Maclaurin. 5
6. Deret Binomial. Untuk sembarang bilangan real p dan untuk x < ( ) ( ) ( ) p p p ( + x) p = + x + x 2 + x 3 + 2 3 dengan ( ) p = k p! k!(p k)!. 7. Hampiran Taylor. Diberikan fungsi f(x) yang dapat diturunkan hingga n kali di selang I dan a I. Sukubanyak Taylor orde-n dari f(x) di sekitar x = a adalah P n (x) = f(a) + f (a)(x a) + f (a) (x a) 2 + + f (n) (a) (x a) n. 2! n! Jika dipilih a = 0 maka sukubanyak di atas disebut sukubanyak Maclaurin berorden. Hampiran Taylor berorde -n untuk fungsi f(x) adalah f(x) P n (x). Untuk n = biasa disebut hampiran linear untuk fungsi f(x). Secara geometri hampiran ini merupakan garis singgung kurva f(x) di titik x = a. Beberapa deret Maclaurin yang penting diingat. x = + x + x2 + x 3 + x 4 + < x < ln( + x) = x x2 2 + x3 3 x4 4 + < x arctan x = x x3 3 + x5 5 x7 7 + x e x = + x + x2 2! + x3 3! + x5 5! + x R sin x = x x3 3! + x5 5! x7 7! + x R cos x = x2 2! + x4 4! x6 6! + x R sinh x = x + x3 3! + x5 5! + x7 7! + x R cos x = + x2 2! + x4 4! + x6 6! + x R ( + x) p = + ( p ) x + ( p 2 ) x 2 + ( p 3) x 3 + < x < Latihan. Periksa kekonvergenan barisan berikut; jika konvergen tentukan nilai limitnya. a n = e n 3n2 + 2 sin n; a n = 2n + ; a n = ln(/n) ; a n = sin2 n ; a n = 2n n 3 + n n 3 2 2 2 3 2 3 2 2 ; sin 2 sin(/2) 3 sin(/3) ; 2 2 2 3 3 4 6
2. Gunakan teorema barisan monoton untuk menunjukkan bahwa barisan berikut konvergen: a n = ( )( ) ( ) n 2; a 2 9 n 2 n+ = (a 2 n + 2 a n ) a = 2. ( n 3. Hitung: (a) lim sin k ) [ ] n (b) lim n n + (k/n) 2 n. 4. Periksa kekonvergenan deret berikut: [ ( ) k ( 2 + 3 ) k ] 4 5 k=0 ( k k ) 2 k k! (k + 2)! ( ) k. k 5. Tuliskan desimal berulang berikut sebagai deret tak hingga dan tentukan jumlah deretnya: 0 2222 ; 0 36777. 6. Tuliskan jumlah parsial ke-n untuk deret bahwa deret ini divergen. 7. Tunjukkan bahwa ln ( k ) = ln 2. 2 k ln kemudian perlihatkan (k + ) 8. Gunakan uji integral untuk menyelidiki kekonvergenan deret berikut: k 2 e 000 ke 3k2 k k(ln k). 2 9. Periksa kekonvergenan deret berikut: k k sin e k3 k arctan k + k ( 2 k ) k + + 4k 2. 0. (a) Taksir galat untuk hampiran deret berikut sampai dengan 3 suku pertama; (b) Tentukan seberapa banyak suku yang diambil agar galat hampirannya tidak lebih dari 00002 untuk deret berikut: + k 2 k(k + ).. Gunakan uji-uji kekonvergenan untuk deret tak negatif berikut: k 2 + 4k 3 + 3k 3 k k 5 4k 2 + 5 2k k! ; ln 2 2 + ln 3 2 3 + ln 4 2 4 + 2 2. Uji akar. Jika a n > 0 dan lim (a n ) /n = R maka a n konvergen jika R < dan an divergen jika R >. Gunakan uji ini untuk menyelidiki kekonvergenan deret: ( ln k ) k ( k 3k + 2 ) k 7
3. Dalam beberapa kasus untuk menguji kekonvergenan deret terkadang menjadi mudah bila menggunakan manipulasi sifat logaritma. Periksa kekonvergenan deret ( berikut: ln + ) k (ln k) ( ) 2 ln k. ln k k 4. Periksa kekonvergenan (konvergen absolut/bersyarat atau divergen) deret berganti tanda berikut: ( ) k k2 ( ) k sin k k k k sin k ( 3) k+ 5. Tentukan himpunan kekonvergenan dari deret pangkat berikut: (a) x 3 + x2 2 4 x3 3 5 + x4 4 6 (x + 2)2 (x + 2)3 (b) + (x + 2) + + + 2! 3! (c) x 2 (x 2)2 (x 2)3 (x 2)4 + + + + 2 2 2 3 2 4 2 2 3 k (d) 3 5 (2k ) x2k+ (pk)! (e) (k!) p xk untuk p bilangan bulat positif. k=0 6. Tentukan deret pangkat fungsi berikut serta himpunan kekonvergenannya: f(x) = x 2 /( x 2 ) f(x) = x arctan t dt f(x) = 0 e x arctan x f(x) = arctan x/( + x 2 + x 4 ) f(x) = x arctan t/t dt 0 k 2 7. Tentukan jumlah deret berikut: kx k ; k(k + )x k ; cos x + cos 2 x + cos 3 x + ; x x 2 + x 3 x 4 +. 8. Tentukan lima suku pertama dari deret Maclaurin untuk fungsi-fungsi berikut: f(x) = e x + x + sin x f(x) = /( sin x) f(x) = cos x/ + x. 9. Gunakan sukubanyak Maclaurin orde 4 untuk menghampiri nilai f(0 4) dari fungsifungsi berikut: f(x) = ln( + x) f(x) = + x. 20. Tentukan nilai taksiran yang cukup baik untuk nilai maksimum dari fungsi-fungsi berikut dengan c terdapat pada selang yang dituliskan: tan c + sec c [0 π/4]; cos c/(c + 2) [0 π/4]; (c 2 c)/ cos c [0 π/4] 8