BAB V RELASI DAN FUNGSI 6.1 Pendahuluan Relasi atau hubungan antara himpunan merupakan suatu aturan pengawasan antar himpunan tersebut, sebagai contohnya kalimat adalah ayah b atau kalimat 4 habis diabgi 2 dan sebagainya. Relasi dapat menyangkut tidak hanya du himpunan, tetapi bisa tiga atau lebih. Relai yang menyangkut dua himunan dari semestanya disebut binair. atau R(a,b). Secara simbolis kalimat a berada dalam relais R denan b dapat disajikan dengan arb Definisi 6.1.1. Suatu relasi R dikatakan determinatif pada semesta S atau antara anggota dari semestanya beralku ara. Secara matematis dinyatakan dengan notasi. R refleksif jhj ( a S).aRa. Misalnya relasi mencintai antara orang-orang adalab relasi yang refleksif, sebab tidak ada orang yang tidak mencintai dirinya sendiri. Juga relasi kesejajaran antara garis-garis lurus adath refleksif, sebab a sejajar dengan a sendiri, untuk setiap garis a. Suatu relasi disebut non-refleksif jhj sekurang-kurangnya ada satu anggota a yang tidak berada dalam relasi R dengan dininya sendiri dikatakan a kongruen b modulo mjhj a-b adalah kelipatan m. Berikut bukti bahwa relasi kongruensi merupakan relasi ekuivalensi. Sifat refleksif dipenuhi sebab a-a = 0.m. Sehingga a=a (mod m). Sifat symetris dipenuhi sebab jika a-b=k.m maka b-a=-k.m (suatu kelipatan (negatif) dari m juga), sehingga untuk setiap a,b berlaku, apabila a=b (mod m) maka b=a (mod m). m), maka; Akhirnya sifat transitif dipenuhi sebab jika diketahui bahwa a=b (mod m) dan b=c (mod a-b=k 1 m dan b-c=k 2 m, sehingga jika dua hal ini dijumlahkan akan diperoleh a-c=(k 1 +k 2 )m=km. Karena a-c merupakan kelipatan m juga maka a=c (mod m). Jadi terbukti bahwa untuk setiap tripel a,b,c berlaku, a=b (mod m) dan b=c (mod m) maka a=c (mod m).
Selanjutnya diberikan suatu teorema yang memegang peranan penting dalam matematika. Teorema 6.1.6. Suatu relasi ekuivalensi antara anggota-anggotanya dalam himpunan semesta S, mengakibatkan adanya partisi (penggolongan) di dalam S. Partisi dalam himpunan S maksudnya bahwa S terbagi atas himpunan-himpunan bagian (kelas-kelas) masing-masing yang tidak kosong yang saling asing sedemikian hingga setiap anggota dan S berada dalam salah satu dan hanya satu kelas dari S. Bukti. Misalkan relasi diatas disebut R, maka R memenuhi sifat refleksif, symetris dan transitif. Semua elemen-elemen yang berada dalam relasi R dengan a, dikumpulkan dalam suatu hmpunan, sebut S a. Jadi S a = {x S/ x R a}. Himpunan S a tidak kosong sebab R refleksif, jadi ara, sehingga a S a dan S a mempunyai sekurang-kurangnya satu anggota. Dari ini disimpulkan bahwa setiap anggota pasti berada dalam sekurang-kurangnya satu kelas, yaitu yang memuat ia sendiri. Selanjutnya dibuktikan bahwa, apabila ada dua kelas yang beirisan maka mereka sama. Misalkan S a dan S b beirisan dengan irisannya elemen c. Karena a S a, maka cra, dan karena R symetris maka arc dan dari sebab C S b maka juga crb. Dari arc dan crb dengan menggunakan sifat transitif diturunkan arb, sehingga a S b. Selanjutnya untuk setiap p S a berlaku pra dan karena arb, dengan menggunakan R transitif, maka prb. Jadi p S b. Maka terbukti, setiap S a S b.(i). dan dengan cara yang sama maka dapat dibuktikan S b S a.... (ii). dari (i) dan (ii) terbukti S a S b. Dengan demikian terbukti bahwa relasi ekuivalensi akan menyebabkan terbentuknya kelaskelas yang disebut kelas ekuivalensi. Contoh 6.1.7. Diambil relasi kongruensi modulo 5, antara bilangan-bilangan bulat, kelas yang ditentukan oleh 2 adalah kelas yang memuatnya dan dinotasikan dengan 2. Apabila a 2 maka ini berarti bahwa a=2 (m0d 5), yaitu a-2=k.5 atau a=k.5+2, jadi bilangan bulat yang terletak dalam satu kelas dengan 2 adalah 7,12 dst.
6.2. Fungsi (Pemetaan). Pada bagian ini akan dibahas pengertian yang sangat penting, yaitu pengertian fungsi dari suatu himpunan ke himpunan lain. Suatu fungsi juga disebut pemetaan atau mapping. Fungsi merupakan kejadian khusus dan relasi yang telah dibahas sebelumnya. Definisi 6.2.8. Suatu fungsi dan himpunan S ke himpunan T adalah suatu aturan pengawanan dimana setiap anggota S,mempunyai tepat satu kawan di T. Himpunan S disebut daerah asal/ domain dan himpunan T disebut kodomain/ daerah kawan. Contoh 6.2.9. S himpunan empat dadu, S={D1,D2,D3,D4} dan T himpunan bilangan 1 sampai 6,T={1,2,3,4,5,6}. Suatu lemparan menentukan suatu fungsi dari S ke T. Diagram diatas memperlihatkan bahwa dadi D 1 jatuh dengan mata 3, D 2 dengan mata 1 dst. Dari diagram diatas juga dapat dilihat bahwa setiap anggota S mempunyai kawan dalam T tetapi sebaliknya tidak perlu artinya boleh ada anggota T yang tidak mempunyai kawan di S. Dari definisi diatas memperlihatkan bahwa suatu fungsi adalah kejadian khusus dari suatu relasi, yaitu merupakan suatu relasi dari S ke T dengan setiap anggota dari S mempunyai kawan dan kawannya tunggal. Suatu fungsi dari S ke T disajikan dengan notasi F : S T, apabila s S, maka kawannya yang berada dalam T disajikan dengan f(s) dan dikatakan s dibawa ke f(s). Dengan notasi matematis s f(s). Definisi fungsi secara simbolis : F : S T jhj ( s S)(!t T).f(s) = t.
Himpunan anggota-anggota T yang mempunyai kawan disajikan dengan f(s) dan disebut daerah hasil (range) dari fungsi f. Pada fungsi diatas domain dari f adalah S={a,b,c,d}, daerah kawan dari f adalah T={1,2,3,4,5} dan daerah hasil dari f adalah {2,4,5}. Suatu fungsi dapat juga disajikan denan stau rumus. Misalnya domain dan kodomain himpunan bilangan-bilangan real: F: s f(s)=s 2 Apabila anggota sembarang dari himpunan S disajikan dengan peubah x sedangkan anggota sembarang dari himpunan T disajikan dengan peubah y maka fungsi diatas dapa disajikan dengan f:xy=f(x)=x 2. 6.3 Rumus-Rumus. Berikut ini akan diberikan beberapa rumus yang penting, sebelumnya akan diberikan definisi kesamaan dari dua fungsi dari S ke T. Definisi 6.3.10. Dua fungsi f dan g dari S ke T dikatakan sama jhj untuk setiap s S berlakulah f(s)=g(s). Notasi matematisnya. f=gjhj ( s S).f(s) = g(s). Sifat tunggalnya hasil dirumuskan dengan : S 1 =S 2 f(s 1 )= f(s 2 ) Perhatikan bahwa apabila A B f(a) f(b). Sebaliknya jika M T maka f 1 (M) adalah himpunan bayangan invers dari anggota-anggota M. f 1 (M)={s S/f(s) M} Langsung dari definisi diturunkan : Rumus 2. M N f 1 (M) f 1 (N) Rumus 3. f (A B)=f(A) f(b). Bukti. Karena A A B maka f(a) f(a B), demikian juga karena B A B maka f(b) f(a B), sehingga f(a) f(b) f(a B) (i).
Misalkan sekarang x f(a B). Maka ada y A B sedemikian hingga f(y)=x, karena y A B maka y A atau y B. Sehingga f(y) f(a) atau f(y) f(b). Karena f(y)=x maka x f(a) atau x f(b), yaitu x f(a) f(b). Maka terbukti x f(a B) x f(a) f(b), sehingga didapat, f(a B) f(a) f(b) (ii) Karena (i) dan (ii) maka f(a B)=f(A) f(b). Rumus 4. f(a B) f(a) f(b). Bukti. Karena A B A maka a(a B) f(a). Demikian juga karena A B B maka f(a B) f(b), sehingga f(a B) f(a) f(b). Rumus 5. f 1 (A B)=f 1 (A) f 1 (B). Bukti. f 1 (A)={s S/f(s) B} dengan f(s) A sebagai syarat keanggotaan untuk f 1(A). f 1 (B)={s S/f(s) B} dengan f(s) A v f(s) B}={s S/f(s) A B}=f 1 (A B). Rumus 6. f -1 (A B)=f 1 (A) f 1 (B). Bukti. Sebagai latihan. Rumus 7. f -1 (A-B)=f -1 (A)-f 1 (B). Bukti. Sebagai latihan. 6.4. Fungsi Injektif, Surjektif, Bijektif. Setiap fungsi (pemetaan) dari himpunan S ke himpunan T disebut juga fungsi dari S into T, dan jika setiap anggota T mempunyai kawan di S maka fungsi itu disebut S onto T. Perhatian bahwa untuk fungsi yang onto berlaku f(s) = T yaitu daerah hasilnya berhimpit dengana daerah kawannya (kodomain). Pemetaan yang onto disebut juga surjektif. Istilah ini telah dipakai secara umum dalam matematik. Dengan symbol logika fungsi surjektif diberikan sebagai berikut: f:s T surjektif jhj ( t T)( s S ).f(s) = t Seperti diketahui maka pada suatu fungsi dari S ke T, sesuatu t T mungkin mempunyai lebih dari satu kawan didalam S. Pada fungsi dengan sifat setiap t T yang mempunyai kawan, hanya mampunyai satu kawan saja, maka fungsinya disebut injektif. Sehingga pada suatu fungsi yang injektif untuk setiap pasangan s 1,s 2 S berlakulah f(s 1 ) f(s 2 ) s 1 s 2 dengan kontraposisinya s 1 s 2 z f(s 1 ) f(s 2 ). Rumus tersebut digunakan untuk membuktikan bahwa suatu fungsi itu injektif. Fungsi yang sekaligus surjektif dan injektif disebut Bijektif, sehingga fungsi Bijektif adalah fungsi dengan setiap anggota S menentukan dengan tunggal satu anggota dari T dan sebaliknya. Dapat juga dikatakan sebagai korespondensi satu-satu bertimbal balik.
Contoh 6.4.11. S adalah himpunan bilangan-bilangan bulat dan T demikian juga, Maka fungsi f yang ditentukan oleh rumus: nf(n)=0, jika n ganjil nf(n)=n/2, jika n genap adalah fungsi yang surjektif. Contoh 6.4.12.Misalkan S himpunan bilangan-bilangan bulat non-negatif, sedangkan T adalah himpunan bilangan-bilangan bulat, maka fungsi f:sf(s)=s+1 adalah fungsi yang injektif tetapi tidak surjektif, hal ini dengan mudah dapat diterima karena ada anggota T yang tidak mempunyai kawan di S, yaitu bilangan bulat negatif dan nol. Contoh 6.4.13. Misalkan S himpunan bilangan Ash dan T himpunan bilangan genap positif. Perkawanan s S dengan 2s T adalah fungsi yang bijektif. Sebagai bagian akhir diklat ini, berikut diberikan beberapa fungsi khusus. Definisi 6.4.14.Fungsi identitas adalah suatu fungsi bijektif yang membawa suatu elemen dalam suatu himpunan ke dirinya sendiri. Definisi 6.4.15. Misalkan S 1 adalah himpunan bagian dari S yaitu S 1 S. Sedangkan f suatu fungsi dari S ke T dan g fungsi dari S 1 ke T, maka fungsi g dikatakan merupakan restriksi atau pembatasan pada S 1 dan dinotasikan g=fl S 1, maka f:st disebut extensi (perluasan) dari g:s 1 T lewat himpunan S. 6.5. Latihan Soal 1. S adalah himpunan bilangan bulat, sedangkan T himpunan bilangan bulat non-negatif. Apakah perkawanan f:sf(s)= s suatu fungsi? Apabila demikian apakah surjektif/injektif? 2. S adalah himpunan bilangan real. Apakah perkawanan s S dengan s/s-1 suatu fungsi dari S ke S?