BAB I DERIVATIF (TURUNAN) Pada bab ini akan dipaparkan pengertian derivatif suatu fungsi, beberapa sifat aljabar derivatif, aturan rantai, dan derifativ fungsi invers. A. Pengertian Derivatif Pengertian derivatif fungsi f : [a, b] R di titik c [a, b] R dapat dijelaskan dalam definisi berikut. Definisi. Diberikan interval [a, b] R, fungsi f : [a, b] R, dan c [a, b]. Bilangan real L disebut derivatif fungsi f di titik c, jika diberikan sembarang bilangan ε > 0 terdapat bilangan δ > 0 sehingga untuk setiap x [a, b] dengan sifat 0 < x c < δ berlaku. Dalam hal ini fungsi f dikatakan terdiferensial (diferensiabel) di titik c dan ditulis = L. Dengan kata lain, derivatif fungsi f di titik c dapat dinyatakan sebagai it: jika itnya ada. Catatan: Secara umum konsep derivatif dikenakan pada suatu fungsi yang terdefinisi pada suatu interval. Jika derivatif fungsi f : [a, b] R ada di titik c [a, b], maka nilainya dinotasikan dengan. Dalam kasus fungsi, sudah terbiasa untuk memandang sebagai fungsi dari x. perhatikan contoh berikut. Diberikan fungsi bernilai real f yang didefinisikan dengan, Untuk sembarang c R, diperoleh 2 Jadi dalam kasus ini, fungsi terdefinisi pada R dan 2,. Selanjutnya akan ditunjukkan bahwa keterdiferensialan fungsi f di titik c mengakibatkan fungsi tersebut kontinu di titik c, hal tersebut diberikan pada teorema berikut. Thobirin Herawan, Analisis Real II
Teorema.2 Diberikan interval [a, b] R. Jika fungsi f : [a, b] R terdiferensial (mempunyai derivatif) di titik c [a, b], maka fungsi f kontinu di titik c. Bukti: Ambil sembarang x [a, b], dengan x c. Perhatikan bahwa. Berdasarkan hipotesis bahwa fungsi f terdiferensial atau ada, maka dengan menerapkan operator dan sifat aljabar it fungsi diperoleh.0 Oleh karena l im maka terbukti f kontinu di c. Kekontinuan fungsi f : [a, b] R di suatu titik tidak menjamin eksistensi derivatif fungsi di titik tersebut. Contoh berikut memberikan penjelasan tentang hal ini. Diberikan fungsi bernilai real f yang didefinisikan dengan, Tunjukkan bahwa fungsi tersebut kontinu di 0. Selanjutnya tunjukkan bahwa 0 tidak ada. Jadi kekontinuan fungsi di suatu titik tidaklah menjadi syarat cukup eksistensi derivatif fungsi di titik tersebut. Selanjutnya diberikan sifat sifat dasar dari derivatif yang sangat berguna dalam kalkulasi derivatif dari beberapa kombinasi fungsi fungsi terdiferensial. B. Sifat sifat Aljabar Derivatif Fungsi Teorema.3 Diberikan interval [a, b] R, c [a, b], serta fungsi f : [a, b] R dan fungsi g : [a, b] R keduanya terdiferensial di titik c. a. Untuk se tiap α R, fungsi α f terdiferensial di titik c, dan b. Fungsi f + g terdiferensial di titik c, dan c. Fungsi f g terdiferensial di titik c, dan d. Jika g(c) 0 maka fungsi terdiferensial di titik c, dan Bukti: Pada buku ini dibuktikan bagian a, c, dan d. Sedangkan bagian b yang cukup mudah buktinya diserahkan kepada pembaca. 2 Thobirin Herawan, Analisis Real II
Ambil sembarang interval [a, b] R, dan c [a, b]. Diketahui fungsi f : [a, b] R dan fungsi g : [a, b] R keduanya terdiferensial di tit ik c. a. Misalkan h = α f, maka untuk setiap x [a, b] dengan x c diperoleh Karena h = αf, maka diperoleh. c. Misalkan h = fg, maka untuk setiap x [a, b] dengan x c diperoleh Karena h = fg, maka diperoleh d. Misalkan dan g 0, maka untuk setiap x [a, b] dengan x c diperoleh 3 Thobirin Herawan, Analisis Real II
Karena, maka diperoleh Dengan menggunakan induksi matematika, pembaca dapat memperluas aturan aturan pendiferensialan yang secara ringkas diberikan pada akibat berikut. Akibat.4 Jika,,,, masing masing fungsi dari [a, b] R ke R dan terdiferensial di c [a, b], maka a. fungsi terdiferensial di titik c, dan b. fungsi terdiferensial di titik c, dan (.) Jika pada (.) fungsi fungsinya sama, yaitu maka pada (.) berlaku (.2) Catata n: Jika [a, b] R suatu interval dan f : [a, b] R fungsi, maka terdapat notasi lain yang sering digunakan untuk menyatakan derivatif fungsi f, sebagai contoh Df atau atau (jika x variabel bebas atau f bukan fungsi implisit). Demikian halnya pada Teorema.3 bagian b dan c dapat pula ditulis sebagai D(f + g) = Df + Dg dan D(f g) = (Df)g + f(dg). C. Aturan Rantai (Chain Rule) Pada bagian ini diberikan suatu aturan pendiferensialan fungsi fungsi komposisi yang dikenal dengan aturan rantai (chain rule). Aturan rantai memberikan suatu cara untuk mencari derivatif dari fungsi komposisi g o f. Jika fungsi f terdiferensial di titik c dan fungsi g terdiferensial di f(c), maka derivatif dari fungsi g o f di titik c adalah o atau o o. 4 Thobirin Herawan, Analisis Real II
Teorema.5 (Aturan Ranta i) Diberikan interval [a, b] dan[c, d] keduany a interval di dalam R, g : [c, d] R dan f : [a, b] R keduanya fungsi dengan sifat f([a, b]) [c, d] dan c * [a, b]. Jika fungsi f terdiferensial di titik c * dan fungsi g terdiferensial di f(c * ), maka fungsi komposisi g o f terdiferensial di titik c *, dan o. Bukti: Misalkan e = f(c * ), oleh karena g terdiferensial di f(c * ) maka didefiniskan fungsi bernilai real G yang well defined pada [c, d] dengan,, ada. Selanjutnya Oleh karena fungsi g terdiferensial di e = f(c * ), maka. Hal ini menunjukkan bahwa fung si G kontinu di e = f( c * ). Selanjutnya karena fungsi G kontinu di e = f(c * ), fungsi f kontinu di c * dan f([a, b]) [c, d], maka berdasarkan teorema kekontinuan komposisi fungsi fungsi kontinu, diperoleh G o f kontinu di c *, sehingga o Dari definisi fungsi G, dapat ditulis,, Oleh karenanya, jika x [a, b] dengan x c *, dan f(x) = y, diperoleh o o o o o o Selanjutnya untuk x c * dan dengan menerapkan operator it, diperoleh o o o Dengan demikian bukti telah lengkap. o. Sering kita jumpai dalam kuliah kalkulus integral, notasi Df =. Oleh karenanya aturan rantai dapat pula ditulis o o o. 5 Thobirin Herawan, Analisis Real II
Contoh.6. Diberikan interval [a, b] R, jika fungsi f : [a, b] R terdiferensial pada [a, b] dan g(y) = y n y R, n N o. Oleh karenanya berdasarkan Teorema.5 diperoleh o,, (.3) Dapat dimengerti bahwa, jika g(y) = y n maka, oleh karenanya dari (.3) diperoleh. Misalkan f(x) = 2x, maka 2 22. Dipersilakan pembaca untuk memberikan contoh lain. 2. Diberikan interval [a, b] R, jika fungsi f : [a, b] R terdiferensial pada [a, b] dengan sifat 0 dan 0 untuk setiap,. Jika, 0, dapat dimengerti bahwa, 0. Oleh karenanya diperoleh o. 3. Tugas bagi pembaca untuk menunjukkan Jika sin, maka cos untuk setiap x R dan jika cos, maka sin untuk setiap x R. Dengan menggunakan sifat aljabar derivatif, yaitu aturan pembagian untuk setiap x R dengan Jadi untuk k bilangan bulat, selanjutnya diperoleh sin cos tan cos cos sin sin tan cos tan cos sin cos cos sec. Demikian halnya untuk setiap x R dengan untuk k bilangan bulat, diperoleh 0. cos. sin sec cos cos cos cot sin sin cos cos sin sin cos cos sin sin cos sin sin csc. sin sectan cos 6 Thobirin Herawan, Analisis Real II
csc 0. sin. cos cos sin sin sin sin 4. Diberikan suatu fungsi f yang didefinisikan sebagai berikut. sin, 0. cos sin csc cot Derivatif (Turunan) 0, 0 Jika digunakan sifat aljabar derivatif, yaitu aturan perkalian titik (dot product) pada Teorema.3 bagian c dan aturan rantai (Teorema.5) diperoleh 2sin cos, 0. Jika 0 tak satu pun dari aturan kalkulasi dapat digunakan. Konsekuensinya untuk mencari derivatif di titik 0 digunakan definisi, sehingga diperoleh 0 0 0 sin sin 0 Jadi derivatif f, yaitu ada di mana mana. Namun fungsi tidak punya it di x = 0, oleh karenanya diskontinu di titik 0. Dengan demikian, suatu fungsi yang terdiferensial di mana mana, tidaklah selalu mempunyai fungsi turunan yang kontinu. C. Derivatif Fungsi Invers Pada bagian ini dipaparkan hubungan derivatif suatu fungsi dengan derivatif inversnya, jika fungsi yang bersangkutan mempunyai invers. Pada bagian ini pembahasan hanya dibatasi pada fungsi kontinu yang monoton tegas. Teorema.7 Diberikan interval [a, b] R, dan f : [a, b] R fungsi monoton tegas (stricly monotone) dan kontinu pada [a, b]. Diberikan [c, d] = f([a, b]) dan g : [c, d] R invers fungsi f yang monoton tegas dan kontinu. Jika fungsi f terdiferensial di titik [a, b] dan 0, maka fungsi g terdiferensial di titik e =, lebih lanjut Bukti: Ambil sembarang y [c, d] dengan y e, selanjutnya didedifiniskan fungsi H : [c, d] R dengan 7 Thobirin Herawan, Analisis Real II
Diketahui g monoton tegas, selanjutnya mudah dimengerti bahwa untuk setiap y [c, d] dengan y e, maka, dengan kata lain H : [c, d] R well define. Demikian halnya jika dan maka berdasarkan definisi fungsi H diperoleh. Mudah dimengerti bahwa untuk setiap y [c, d] dengan y e, maka H(y) 0. dibuktikan bahwa. Selanjutnya Diberikan bilangan ε > 0 dan jika f terdiferensial di = g(e), maka terdapat bilangan δ > 0 sehingga untuk setiap x [a, b] dengan sifat 0 < x < δ berlaku. Diketahui g kontinu di titik e =, artinya untuk setiap bilangan δ > 0 terdapat bilangan η > 0 sehingga untuk setiap y [c, d] dengan 0 < y e < η maka berlaku. (.4) Karena g fungsi invers dari f, maka g bijektif, dengan kata lain g injektif dan surjektif. g injektif dan, maka dari pembahasan sebelumnya dan berdasarkan (.4), diperoleh; jika 0 < y e < η maka untuk setiap y [ c, d]. Oleh karenanya untuk setiap y [c, d] dengan 0 < y e < η berakibat untuk sembarang ε > 0. Jadi. Perhatikan bahwa karena y e mak a 0, sehingga diperoleh Dapat disimpulkan, untuk setiap y [c, d] dengan y e, berlaku. Terbukti.. Catatan: Persyaratan 0 pada Teorema.7 sangat penting. Faktanya, apabila 0 maka fungsi invers g tidak terdiferensial di e =. Artinya, jika g terdiferensial di titik e = dan jika f invers fungsi g, maka dapat diterapkan Teorema.7 pada fungsi g untuk dapat menyimpulkan bahwa fungsi f terdiferensial di titik dan diperoleh 0. Nampak terjadi kontradiksi, oleh karena itu g tak terdiferensial di titik e =. Perhatikan contoh berikut. Diberikan fungsi bernilai real f yang didefinisikan dengan, 8 Thobirin Herawan, Analisis Real II
Dapat dimengerti bahwa,, 3, dan 3. Ambil titik = 0, diperoleh e = = 0 dan 0. Dengan demikian 0. T erjadi kontradiksi, sehingga dapat disimpulkan bahwa, tak terdiferensial di 0. Teorema.8 Diberikan interval [a, b] R, dan f : [a, b] R fungsi monoton tegas (stricly monotone) pada [a, b]. Diberikan [c, d] = f([a, b]) dan g : [c, d] R invers fungsi f. Jika fungsi f terdiferensial pada [a, b] dan 0 untuk setiap x [a, b], maka fungsi g terdiferensial pada [c, d], lebih lanjut,. o Bukti teorema diserahkan kepada pembaca sebagai latihan. Contoh.9. Diberikan dengan n genap, I = [0, ) dan fungsi bernilai real f : I R yang didefinisikan dengan,, dapat dibuktikan bahwa fungsi f naik tegas dan kontinu pada I. Sehingga fungsi inversnya ada pada I, sehingga fungsi inversnya ada, yaitu, 0,. Fungsi g nai k tegas dan kontinu pada [0, ). Lebih lanjut diperoleh,. Oleh karenanya jika y > 0, maka ada, dan o Dengan kata lain untuk y > 0, akan tetapi g tak terdiferensial di titik 0.. 2. Diberikan, n ganjil dengan sifat n, dan dua fungsi bernilai real F dan G berturut turut didefinisikan dengan, dan, Dapat dipahami bahwa G merupakan fungsi invers F. Berdasarkan nomor telah ditemukan untuk y 0 dan G tak terdiferensial di titik 0, akan tetapi terdiferensial di titik titik lain. 3. Diberikan bilangan rasional positif, diberikan I = [0, )dan fungsi bernilai real h didefinisikan dengan h(x) =,. Fungsi h dapat dinyatakan sebagai komposisi fungsifungsi f(x) =, dan g(x) =,. Dapat dimengerti bahwa h(x) = (f o g)(x). Dengan mengaplikasikan aturan rantai (Teorema.5) dan berdasrakan hasil nomor atau nomor 2, diperoleh 9 Thobirin Herawan, Analisis Real II
untuk setiap x > 0 4. Diberikan fungsi sinus, sin yang dibatasi pada pada domain I =,. Jelas f naik tegas pada I. Pembaca tahu bahwa sin sin dan sin. Selanjutnya diberikan J = [, ], perhatikan bahwa f : I J merupakan fungsi bijektif, akibatnya f mempunyai invers yaitu arcsin. Dengan demikian, jika diberikan I =, dan J = [, ], maka sin arcsin. Dapat dimengerti bahwa fungsi sinus terdiferensial pada I dengan sin cos,. Selanjutnya untuk setiap, nilai c os 0, maka berdasarkan Teorema.7 diperoleh ar csin sin cos cos sin untuk setiap, erlu dicatat bahwa P tidak ada di titik dan. LATIHAN. Gunakan definisi derivatif fungsi untuk mencari derivatif beberapa fungsi bernilai real berikut a., b., 0 c., 0, d., 0, 2. Buktikan bahwa, tak terdiferensial di titik x = 0 3. Buktikan Teorema. bagian b. 0 Thobirin Herawan, Analisis Real II
4. Diberikan fungsi f : R R didefinisikan dengan l, rasiona 0, irrasional Buktikan bahwa f terdiferensial di titik x = 0 dan tentukan 0. 5. Menggunakan aturan rantai, tentukan derivatif beberapa fungsi bernilai real berikut a., b. 5 2, c. sin,, d. tan, 6. Diberikan dan fungsi f : R R didefinisikan dengan, 0 0, 0 Tentukan nilai n aga r kontinu di titik 0 dan terdiferensi al di titik 0. 7. Andaikan f : R R terdiferensial di titik dan 0. Buktikan bahwa fungsi terdiferensial di titik c jika dan hanya jika 0. 8. Diberikan fungsi g : R R didefinisikan dengan sin, 0 0, 0 Tunjukkan bahwa g terdiferensial pada R dan tunjukkan bahwa tak terbatas pada [, ]. 9. Jika 0 suatu bilangan rasional, fungsi f : R R didefinisikan dengan Tentukan nilai r agar ada. sin, 0 0, 0 Thobirin Herawan, Analisis Real II