1. GRUP Definisi 1.1 (Operasi Biner) Diketahui G himpunan dan ab, G. Operasi biner pada G merupakan pengaitan pasangan elemen ( ab, ) pada G, yang memenuhi dua kondisi berikut: 1. Setiap pasangan elemen ( ab, ) pada G dikaitkan dengan tepat satu elemen 2. Setiap elemen yang dikaitkan dengan pasangan elemen ( ab, ) pada G merupakan elemen di G. Kondisi 1 disebut juga dengan kondisi tertutup (closed), sedangkan kondisi 2 disebut juga dengan kondisi terdefinisi dengan baik (well-defined). Untuk selanjutnya, jika G merupakan himpunan, operasi pada G, dan ab, G, maka a b menyatakan elemen yang dikaitkan dengan pasangan elemen ( ab, ) terhadap operasi. Contoh 1.2 Diketahui G =, yaitu himpunan semua bilangan bulat. Didefinisikan operasi pada dengan syarat untuk setiap ab,, a b= a+ b. Apakah operasi merupakan operasi biner pada? Pertama, akan ditunjukkan bahwa operasi merupakan operasi yang tertutup. Dapat diperhatikan bahwa sesuai dengan sifat bilangan bulat, maka penjumlahan dua bilangan bulat akan menghasilkan bilangan bulat juga. Sehingga dengan demikian a b= a+ b. Jadi, terbukti operasi merupakan operasi yang tertutup. Kedua, akan ditunjukkan bahwa operasi merupakan operasi yang terdefinisi dengan baik. Dapat diperhatikan bahwa sesuai dengan sifat bilangan bulat, maka setiap dua bilangan bulat dapat dijumlahkan dan menghasilkan bilangan bulat. Jadi, terbukti operasi merupakan operasi yang terdefinisi dengan baik. Jadi, operasi merupakan operasi biner pada. 1
Contoh 1.3 Didefinisikan operasi pada dengan syarat untuk setiap ab,, a b= a b. Apakah operasi merupakan operasi biner pada? Diperhatikan bahwa jika a = 1 dan b = 2 akan berakibat a b= 1 2= 1 2. Jadi, operasi tidak memenuhi kondisi tertutup. Diperhatikan juga bahwa jika a = 1 dan b = 0 akan berakibat a b= 1 0= 1 0 yang tidak bisa didefinisikan. Jadi, operasi tidak memenuhi kondisi terdefinisi dengan baik. Jadi, operasi bukan merupakan operasi biner pada. Definisi 1.4 (Grup) Diketahui G himpunan dan operasi biner pada G. Himpunan G disebut grup terhadap operasi jika dan hanya jika memenuhi keempat aksioma berikut : 1. G bukan merupakan himpunan kosong 2. Untuk setiap abc,, Gberlaku ( a b) c= a ( b c) 3. Terdapat e G sehingga untuk setiap a G berlaku e a = a e = a 4. Untuk setiap a G terdapat a' G sehingga berlaku a a' = a' a = e. Aksioma 2 disebut juga dengan sifat asosiatif. Elemen e G pada aksioma 3 disebut juga dengan elemen identitas. Elemen elemen a terhadap operasi. a' G pada aksioma 4 disebut juga dengan invers Contoh 1.5 Misalkan G ( ) { a, b a, b } = =. Didefinisikan operasi biner pada G, yaitu untuk setiap ( ab, ),( cd, ) G berlaku ( a, b) ( c, d) ( a c, b d) terhadap operasi? = + +. Apakah G merupakan grup Jelas bahwa G bukan merupakan himpunan kosong, karena ( ) bahwa G memenuhi sifat asosiatif. Untuk sebarang (, ),(, ),(, ) menggunakan sifat bilangan bulat diperhatikan bahwa: 1,1 G. Akan ditunjukkan ab cd e f G, dan dengan 2
(( a, b) ( c, d) ) ( e, f ) = ( a+ c, b+ d) ( e, f ) = ( a+ c+ e, b+ d + f ) = ( ab, ) ( c+ ed, + f) = ( ab) ( cd) ( e f) ( ),,,. Jadi, terbukti bahwa sifat asosiatif berlaku. Jika dipilih elemen ( 0,0) G, maka untuk setiap ( ab, ) ( 0,0 ) ( ab, ) = ( 0 + a,0 + b) = ( ab, ) = ( a+ 0, b+ 0) = ( ab) ( ), 0,0. Jadi, ( 0,0) G merupakan elemen identitas pada G. Untuk sebarang ( ab, ) ( ab, ) ( a, b) = ( a+ ( a), b+ ( b) ) = ( a a, b b) = ( 0,0) = (( a) + a, ( b) + b) = ( a, b) ( a, b). Jadi, setiap elemen ( ab, ) (, ) G akan berlaku: Gdipilih elemen ( a, b) G, sehingga akan berlaku: G memiliki elemen invers terhadap operasi yaitu a b G. Karena keempat aksioma berlaku maka G merupakan grup terhadap operasi. Contoh 1.6 Misalkan G ( ) { a, b a, b } = =. Didefinisikan operasi biner pada G, yaitu untuk setiap ( ab, ),( cd, ) G berlaku ( a, b) ( c, d ) ( ac, bd ) terhadap operasi? =. Apakah G merupakan grup 3
Jelas bahwa G bukan merupakan himpunan kosong, karena ( ) bahwa G memenuhi sifat asosiatif. Untuk sebarang (, ),(, ),(, ) menggunakan sifat bilangan bulat diperhatikan bahwa: (( a, b) ( c, d )) ( e, f ) = ( ac, bd ) ( e, f ) = ( ace, bdf ) = ( ab, ) ( cedf, ) = ( ab) ( cd) ( e f) ( ),,,. Jadi, terbukti bahwa sifat asosiatif berlaku. Jika dipilih elemen ( 1,1) G, maka untuk setiap ( ab, ) ( 1,1 ) ( ab, ) = ( 1 a,1b) = ( ab, ) = ( a1, b1 ) = ( ab) ( ), 1,1. Jadi, ( 1,1) G merupakan elemen identitas pada G. Akan ditunjukkan tidak setiap elemen ( ab, ) 1,1 G. Akan ditunjukkan ab cd e f G, dan dengan Gakan berlaku: G memiliki elemen invers terhadap operasi. Misalkan ( ab, ),( cd, ) G, agar ( a, b) ( c, d ) ( ac, bd ) ( 1,1) = = maka harus dipenuhi ac = 1 dan bd = 1. Jika ab, 1, maka menurut sifat bilangan bulat tidak ada cd, sehingga ac = 1 dan 1 terhadap operasi operasi. bd =. Jadi, tidak setiap elemen ( ab, ) Akibatnya G bukan merupakan grup terhadap operasi. G memiliki invers Untuk selanjutnya notasi ( G, ) menyatakan himpunan G yang disertai operasi biner. Definisi 1.7 (Grup Komutatif) Grup ( G, ) disebut grup komutatif jika dan hanya jika untuk setiap, a b= b a. ab G berlaku 4
Contoh 1.8 Grup ( G, ) pada Contoh 1.5 merupakan grup komutatif karena untuk setiap ( ab, ),( cd, ) G berlaku ( a, b) ( c, d) ( a c, b d) ( c a, d b) ( c, d) ( a, b) = + + = + + =, sesuai dengan sifat komutatif pada penjumlahan bilangan bulat. Definisi 1.9 (Subgrup) ) merupakan grup. Himpunan H hanya jika memenuhi kedua aksioma berikut : 1. H bukan merupakan himpunan kosong 2. ( H, ) merupakan grup. G disebut subgrup atas G jika dan Contoh 1.10 { } Diperhatikan kembali Contoh 1.5. Misalkan (,0) merupakan subgrup dari G? H = a a G. Apakah H Jelas bahwa H bukan merupakan himpunan kosong, karena ( 0,0) H. Akan ditunjukkan bahwa H memenuhi sifat asosiatif. Untuk sebarang ( a,0 ),( b,0 ),( c,0) H, dan dengan menggunakan sifat bilangan bulat diperhatikan bahwa: (( a,0 ) ( b,0 )) ( c,0 ) = ( a+ b,0 ) ( c,0) = ( a+ b+ c,0) = ( a,0 ) ( b+ c,0) = ( a ) ( b ) ( c ) ( ),0,0,0. Jadi, terbukti bahwa sifat asosiatif berlaku. Jika dipilih elemen ( 0,0) H, maka untuk setiap ( ab, ) ( 0,0 ) ( a,0) = ( 0 + a,0) = ( a,0) = ( a + 0,0) = ( a ) ( ),0 0,0. H akan berlaku: 5
Jadi, ( 0,0) H merupakan elemen identitas pada H. Untuk sebarang ( a,0) ( a,0 ) ( a,0 ) = ( a+ ( a),0) = ( a a,0) = ( 0,0) = (( a) + a,0) = ( a ) ( a ) H dipilih elemen ( a,0) H, sehingga akan berlaku:,0,0. Jadi, setiap elemen ( a,0) ( a,0) H memiliki elemen invers terhadap operasi yaitu H. Karena keempat aksioma berlaku maka H merupakan grup terhadap operasi. Akibatnya H merupakan subgrup atas G. Definisi 1.11 (Subgrup Trivial dan Subgrup Sejati) ) merupakan grup dan H disebut subgrup trivial jika dan hanya jika H { e} identitas. Subgrup H disebut subgrup sejati jika dan hanya jika H G merupakan subgrup atas G. Subgrup H =, dengan e G merupakan elemen G. Teorema 1.12 (Kanselasi Kanan) ) merupakan grup dan,, abc G. Jika a c= b c, maka berlaku a = b. Misalkan a c= b c. Menurut aksioma 3 Grup (Definisi 1.4) terdapat elemen c ' yang merupakan invers elemen c. Diperhatikan bahwa: ( ) ' ( ) a c c = b c c'. Menggunakan sifat asosiatif grup diperoleh: ( ') ( ') a c c = b c c. Sesuai definisi aksioma 3 Grup diperoleh a e= b e. Sesuai definisi aksioma 2 Grup diperoleh: a = b. c c' = e, dengan e elemen identitas sehingga: 6
Teorema 1.13 (Kanselasi Kiri) ) merupakan grup dan,, abc G. Jika c a = c b, maka berlaku a = b. Teorema 1.14 ) merupakan grup dan, memenuhi persamaan a x= b. ab G, maka hanya ada tepat satu x G yang Akan ditunjukkan bahwa terdapat x G yang memenuhi a x= b. Akan ditunjukkan bahwa a' b merupakan elemen x yang dimaksud, dengan a ' merupakan invers elemen a. Diperhatikan bahwa: ( ) ( ) a a' b = a a' b sifat asosiatif = e b definisi a' = b sifat e. Kemudian akan ditunjukkan bahwa elemen x tersebut tunggal. Misalkan ada penyelesaian lain, namakan x2 G yang memenuhi a x2 = b. Karena a x= b dan a x2 = b, maka berlaku a x= a x2. Menggunakan teorema kanselasi kiri, diperoleh x = x2. Jadi, terbukti bahwa hanya ada tepat satu x G yang memenuhi persamaan a x = b. Teorema 1.15 Diketahui (, ) G merupakan grup dan e G merupakan elemen identitas, maka hanya ada tepat satu elemen identitas pada G. Misalkan ada elemen ee, 1 G, dengan e a= a e= a dan e 1 a= a e 1 = a untuk setiap a G. Misalkan dipilih a= e1, akibatnya berlaku e e1 = e1 e= e1. Karena e 1 juga merupakan elemen identitas, akibatnya e 1 e= e, dan dengan kata lain e= e1. Jadi, elemen identitas pada grup G tunggal. 7
Teorema 1.16 Diketahui (, ) G merupakan grup dan a G. Jika a ' merupakan invers elemen a, maka hanya ada tepat satu elemen a ' pada G. Misalkan elemen a G memiliki dua elemen invers, yaitu a ' dan a '', sehingga a a' = a' a= e dan a a'' = a'' a= e. Akibatnya a a' = a a'' = e, dan dengan teorema kanselasi kiri diperoleh a' = a''. Jadi, terbukti bahwa elemen invers tunggal. Teorema 1.17 ) merupakan grup dan, ( a b) pada G. Menggunakan sifat grup, perhatikan bahwa: ( ) ( ) ( ) ( ) a b b' a' = a b b' a' = a e a' = a a' = e. Jadi, terbukti bahwa ( a b) ' ( b' a' ) =. ab G, maka ( b' a' ) merupakan invers elemen Teorema 1.18 ) merupakan grup dan H subgrup atas G, maka kedua pernyataan berikut berlaku: 1. Elemen identitas e G juga merupakan elemen pada H 2. Untuk setiap a H, berlaku a' H dengan a ' merupakan invers elemen a. Akan ditunjukkan kebenaran pernyataan 1. Andaikan terdapat H H eh H, dengan e a= a e = a untuk setiap a H. Karena H G, maka untuk setiap a H berlaku a G. Karena G merupakan grup, maka berlaku e a= a e= a. Dengan demikian diperoleh eh = e. Jadi, terbukti bahwa e H. a eh = a e= a dan menggunakan teorema kanselasi kiri diperoleh 8
Akan ditunjukkan kebenaran pernyataan 2. Karena H merupakan grup terhadap operasi biner, maka menurut definisi grup jelas bahwa a' H untuk setiap a H. Teorema 1.19 ) merupakan grup dan H G. Himpunan H merupakan subgrup atas G jika dan hanya jika untuk setiap ab, H berlaku a b' H, dengan b ' merupakan invers elemen b. Karena H merupakan subgrup atas G, maka menurut Teorema 1.17 berlaku b' dengan demikian a b' H. H dan Akan ditunjukkan H merupakan subgrup atas G. Karena H operasi pada G juga berlaku pada H. Jika dipilih b G maka sifat asosiatif = a, akan diperoleh a b' = a a' = e H. Dengan demikian H memuat elemen identitas dan sekaligus menunjukkan bahwa H bukan himpunan kosong. Selanjutnya, jika dipilih a = e, akan diperoleh a b' = e b' = b' H untuk setiap b H. Dengan demikian H memuat invers dari setiap elemennya. Jadi, terbukti bahwa H merupakah subgrup atas G. Teorema 1.20 ) merupakan grup dan H, K merupakan subgrup-subgrup atas G, maka H K juga merupakan subgrup atas G. Ambil sebarang ab, H K, akibatnya ab, H dan ab, K. Karena H merupakan subgrup maka menurut Teorema 1.19 berlaku subgrup maka menurut Teorema 1.19 juga berlaku dan menurut Teorema 1.19 berakibat H a b' H. Karena K juga merupakan a b' K. Akibatnya a b' H K, K merupakan subgrup atas G. 9
Sumber Fraleigh J. B., 1994, A First Course in Abstract Algebra, Addison-Wesley Publishing Company inc., United States. 10