3 TINJAUAN PUSTAKA Asuransi Asuransi berasal dari kata assurance atau insurance, yang berarti jaminan atau pertanggungan. Asuransi dalam Undang-Undang No.2 Th 1992 tentang usaha perasuransian adalah perjanjian antara dua pihak atau lebih, dengan mana pihak penanggung mengikatkan diri kepada tertanggung, dengan menerima premi asuransi, untuk memberikan penggantian kepada tertanggung karena kerugian, kerusakan atau kehilangan keuntungan yang diharapkan atau tanggung jawab hukum pihak ke tiga yang mungkin akan diderita tertanggung, yang timbul dari suatu peristiwa yang tidak pasti, atau memberikan suatu pembayaran yang didasarkan atas meninggal atau hidupnya seseorang yang dipertanggungkan. Beberapa istilah dalam asuransi yaitu: 1. Premi adalah sejumlah uang yang harus dibayarkan oleh tertanggung guna mendapatkan perlindungan atas obyek yang dipertanggungkan. 2. Polis adalah dokumen tertulis yang berisi persetujuan antara perusahaan asuransi dan pemilik polis (tertanggung). 3. Klaim adalah hak tertanggung meminta jaminan/perlindungan kepada pihak penanggung. 4. Tertanggung adalah seseorang atau badan hukum yang memiliki atau berkepentingan atas harta benda yang diasuransikan. 5. Penanggung adalah pihak yang menerima premi asuransi dari tertanggung dan menanggung resiko atas kerugian/musibah yang menimpa harta benda yang diasuransikan. Kelompok Penyakit Lanjut Usia (Lansia) di Indonesia Survei Kesehatan Rumah Tangga (SKRT) tahun 1995 menyimpulkan bahwa berbagai penyakit degeneratif seperti diabetes melitus, hipertensi, gangguan refraksi, ketulian, osteoarthritis banyak ditemukan pada lansia. Penyakit-penyakit sistem sirkulasi darah, sistem pernafasan dan tuberkulosis paru merupakan penyebab kematian paling tinggi pada kelompok umur tua. Menurut Aprilianti (2009), penyakit lansia di Indonesia dapat dikelompokkan menjadi 8 kelompok penyakit, yaitu:
4 1. Penyakit persendian dan tulang 2. Penyakit kardiovaskuler 3. Penyakit pencernaan 4. Penyakit urogenital 5. Penyakit metabolik 6. Penyakit pernafasan 7. Penyakit keganasan 8. Penyakit lain-lain. Sebaran Peluang Diskret Jika gugus semua nilai yang mungkin dari peubah acak X merupakan gugus terhitung, maka X disebut dengan peubah acak diskret. Sebaran peluang diskret atau biasa disebut dengan fungsi massa peluang adalah fungsi f(x) = P (X=x) untuk x = yang mengalokasikan peluang untuk setiap kemungkinan nilai x. a. Sebaran Bernoulli Sebaran Bernoulli adalah sebaran peluang diskret yang ditemukan oleh ilmuan Swiss yang bernama Jacob Bernoulli. Sebuah percobaan dikatakan mengikuti sebaran Bernoulli, jika percobaan tersebut mengikuti sifat-sifat sebagai berikut: 1. Percobaannya terdiri atas dua kejadian, yaitu kejadian yang diperhatikan (sering disebut kejadian berhasil) dan kejadian yang tidak diperhatikan (sering disebut kejadian gagal). 2. Percobaan hanya dilakukan sekali saja. Peubah acak X dikatakan menyebar Bernoulli, jika dan hanya jika fungsi massa peluangnya berbentuk Nilai harapan dari sebaran Bernoulli adalah E(X) = p dan ragamnya adalah var(x)= p (1-p) (Herrhyanto & Gantini 2009). b. Sebaran binomial Bila percobaan terdiri dari n kejadian yang saling bebas, yang masing-masing berpeluang p untuk berhasil dan 1 p untuk gagal. Jika X menyatakan berapa kali terjadi keberhasilan dalam n tindakan tersebut, maka X dinamakan peubah
5 acak binom dengan parameter (n,p). Peubah acak Bernoulli adalah peubah acak binom dengan parameter (1,p). Peubah acak X dikatakan menyebar binomial, jika dan hanya jika fungsi massa peluangnya berbentuk P(X=x) = Nilai harapan dari sebaran binomial adalah E(X) = np dan ragamnya adalah var(x)= np (1-p) (Nugroho 2008). c. Sebaran Poisson Sebaran Poisson diperkenalkan pada tahun 1837 oleh S.D. Poisson. Sebaran Poisson diperoleh dari sebaran binomial, apabila dalam sebaran binomial berlaku syarat-syarat sebagai berikut: 1. Banyaknya pengulangan percobaan sangat besar ( n ) 2. Peluang terjadinya peristiwa yang diperhatikan mendekati nol (p 3. Perkalian n.p =, sehingga p = (Herrhyanto & Gantini 2009). Peubah acak X dikatakan menyebar Poisson, jika dan hanya jika fungsi massa peluangnya berbentuk: P(X=x) = Nilai harapan dari sebaran Poisson adalah E(X) = dan ragamnya adalah var(x)=. Baik nilai harapan maupun ragam keduanya sama dengan, sehingga ragamnya selalu tergantung pada nilai harapan (nilai tengah). Salah satu ciri dari pola sebaran Poisson adalah miring ke kanan atau memiliki ekor yang memanjang ke arah nilai yang besar, dengan bertambah nilai akan terlihat semakin simetris (Aunuddin 2005). d. Sebaran zero-truncated Poisson Sebaran zero-truncated Poisson adalah salah satu bentuk modifikasi dari sebaran Poisson. Pada sebaran ini diasumsikan tidak mungkin ada pengamatan yang bernilai nol. Fungsi massa peluang dari sebaran zero-truncated Poisson yaitu: P(
6 Nilai harapan dan ragam sebaran zero-truncated Poisson adalah E( dan (1-, (Moye 1991). e. Sebaran binomial negatif ( Sebaran gamma memiliki fungsi kepekatan peluang g( dengan α,β > 0. Jika sebaran Poisson( dimana merupakan nilai dari peubah acak yang menyebar gamma, maka dihasilkan sebaran Poisson campuran dengan fungsi massa peluang bersyarat: (Karlis 2005). f. Sebaran Poisson-Lindley (p) Sebaran Lindley memiliki fungsi kepekatan peluang g( dengan. Jika sebaran Poisson( dimana merupakan nilai dari peubah acak yang menyebar Lindley maka dihasilkan sebaran Poisson campuran dengan fungsi kepekatan peluang bersyarat: = (Karlis 2005). Sebaran Kontinu Peubah acak kontinu adalah suatu peubah acak dengan ruang contoh S yang terdiri dari suatu selang (interval) atau gabungan dari beberapa selang. Sebaran peluang kontinu atau biasa disebut dengan fungsi kepekatan peluang dari peubah acak kontinu X adalah F(x) untuk yang bersifat F(x) = F(X=x) = dt, untuk a. Sebaran eksponensial Sebaran eksponensial diperoleh dari sebaran gamma dengan dan β = Suatu peubah acak kontinu X memiliki sebaran eksponensial dengan parameter jika fungsi kepekatan peluangnya memiliki bentuk
7 p(x) = P(X=x) = Nilai harapan dari sebaran eksponensial adalah E(X) = dan ragamnya adalah var(x) = (Herrhyanto & Gantini 2009). b. Sebaran gamma Peubah acak X dikatakan menyebar gamma, jika dan hanya jika fungsi memiliki fungsi kepekatan peluang sebagai berikut: f(x) = Nilai harapan dari sebaran gamma adalah E(X) = αβ dan ragamnya adalah var(x)= α (Herrhyanto & Gantini 2009). c. Sebaran lognormal Peubah acak X dikatakan menyebar lognormal jika ln (X) menyebar normal. Fungsi massa peluang sebaran lognormal sebagai berikut: f(x) = Nilai harapan dari sebaran lognormal adalah E(X) = exp[ ] dan ragamnyanya adalah var(x) = (Krishnamoorthy 2006). d. Sebaran normal Pada tahun 1733 Abraham de Moivre mempublikasikan sebaran normal sebagai pendekatan dari peubah acak binomial. Sebaran normal adalah sebaran yang paling penting dalam teori peluang dan statistika. Suatu peubah acak X dikatakan mengikuti sebaran normal dengan rata-rata µ dan simpangan baku jika memiliki fungsi kepekatan peluang sebagai berikut f(x) =,, Nilai harapan dari sebaran normal adalah E(X) = µ dan ragamnya adalah var(x)=. Jika sebuah peubah acak Y adalah jumlah dari n peubah acak yang bebas yang memenuhi pada kondisi-kondisi umum tertentu, maka untuk n yang cukup besar Y akan mendekati sebaran normal (Nugroho 2008).
8 Sebaran Campuran Sebaran campuran adalah campuran dari beberapa sebaran statistik, dimana contoh berasal dari populasi yang tidak sama (populasi campuran). Misalkan X adalah peubah acak yang berasal dari ruang contoh S dan fungsi massa peluang atau fungsi kepekatan peluangnya adalah sebagai berikut g(x) = (x ), dimana 0 i = 1,...,k; dengan g(.) adalah fungsi massa atau kepekatan peluang campuran adalah proporsi subpopulasi ke-i adalah fungsi massa atau kepekatan peluang subpopulasi Fungsi massa atau kepekatan peluang subpopulasi tidak harus memiliki parameter dan sebaran yang sama, namun dalam penelitian ini fungsi massa atau kepekatan peluang subpopulasi memiliki sebaran yang sama dengan penduga parameter yang berbeda sehingga fungsi massa atau kepekatan peluang campuran terbatas menjadi sebagai berikut g(x (x ), dimana =, (Du 2002). Sebaran campuran dapat digunakan dalam keadaan yang berbeda yaitu: 1. Pada populasi yang diketahui terdapat struktur campuran 2. Pada populasi yang belum diketahui struktur campurannya. Pada keadaan pertama, struktur campuran diketahui sehingga tujuannya adalah menduga sebaran masing-masing subpopulasi dan proporsinya. Pada keadaan kedua, tujuannya adalah mengklasifikasikan data ke dalam subpopulasisubpopulasi berdasarkan peluang akhir (McLachlan dan Basford 1988). Uji Khi-Kuadrat Uji khi-kuadrat digunakan untuk menguji kesesuaian sebaran data dengan sebaran diskret. Jika data yang digunakan besar, maka uji khi-kuadrat dapat digunakan untuk menguji kesesuaian sebaran kontinu. Hipotesis pada uji khi-kuadrat sebagai berikut:
9 Ho: data mengikuti sebaran yang diinginkan : data mengikuti sebaran lainnya Uji kesesuaian (Goodness of Fit-Test) antara frekuensi teramati dengan frekuensi harapannya didasarkan pada statistik uji sebagai berikut: dengan : frekuensi data yang diamati : frekuensi harapan dari data yang diamati n : banyaknya kelas data yang diamati d : banyaknya parameter sebaran Dengan tingkat signifikansi, hipotesis nol akan ditolak jika (Krishnamoorthy 2006). Plot Kuantil-Kuantil Tujuan dari pembuatan plot kuantil-kuantil adalah memeriksa kesesuaian pola sebaran data terhadap pola sebaran teoritik dengan cara membandingkan antara kuantil yang didasarkan pada data (kuantil empirik) dan kuantil dari sebaran tertentu (kuantil teoritik). Penetapan nilai kuantil dapat dilakukan jika data diurutkan dari nilai terkecil ke nilai terbesar. Kuantil didefenisikan sebagai berikut: Q( = y(i), untuk i = 1,2,..., n =, dimana a = 0, Plot kuantil empirik yaitu plot antara nilai y(i) dengan fraksi. Plot kuantil teoritik yaitu plot antara Q( ) dan. Plot kuantil-kuantil adalah plot antara y(i) dan Q( ). Absis dan ordinat pada plot kuantil berbeda-beda tergantung sebaran yang akan didekati. Absis dan ordinat pada plot kuantil-kuantil sesuai dengan masing-masing sebaran yang akan didekati, seperti yang terdapat pada Tabel 1. Pola pencaran dalam plot yang membentuk garis lurus menjadi petunjuk bahwa sebaran data dapat didekati oleh sebaran teoritik (Aunudin 1989; Chambers et.al 1983).
10 Tabel 1. Absis dan ordinat plot kuantil-kuantil sebaran kontinu Sebaran absis ordinat Eksponensial y(i) -log Gamma y(i) ( Lognormal y(i) exp( Normal y(i) Weibull y(i) log(-log Uji Kruskal-Wallis Uji Kruskal-Wallis diperkenalkan pada tahun 1952 oleh W.H. Kruskal dan W.A. Wallis. Uji Kruskal-Wallis sama dengan uji F dalam rancangan acak lengkap. Perbedaanya, rancangan acak lengkap memerlukan asumsi bahwa data menyebar normal, sedangkan uji Kruskal-Wallis tidak memerlukannya. Berikut ini hipotesis pada uji Kruskal-Wallis: Ho: nilai tengah kelompok penyakit lansia sama : minimal ada satu nilai tengah kelompok penyakit lansia yang berbeda dengan yang lainnya. Statistik ujinya sebagai berikut: H = - 3(N+1) dengan : banyaknya lama perawatan dalam kelompok penyakit lansia ke-i : jumlah lama perawatan dari rangking i N : jumlah total lama perawatan = k : banyaknya kelompok penyakit lansia Dengan tingkat signifikansi, hipotesis nol akan ditolak jika H >. Jika nilai-nilai pengamatan pada data banyak yang sama, maka statistik uji harus disesuaikan. Statistik uji yang telah disesuaikan adalah, - t
11 dengan t adalah banyaknya nilai pengamatan yang sama dalam sekelompok penyakit N adalah jumlah total lama perawatan = (Daniel 1989). Metode Pendugaan Parameter Sebaran Campuran Ada beberapa metode yang digunakan untuk menduga parameter, antara lain metode momen, metode bayes dan kemungkinan maksimum. Pendugaan parameter yang digunakan untuk menduga parameter sebaran campuran adalah metode kemungkinan maksimum dan metode EM (Expectation Maximation). Metode kemungkinan maksimum adalah suatu metode yang paling baik untuk memperoleh sebuah parameter tunggal. Menurut Hogg dan Craig (2005), dengan memisalkan masing-masing peubah acak yang saling bebas dengan sebaran yang memiliki fungsi kepekatan peluang f(x; ) dimana 0 1, dan adalah ruang contoh. Fungsi kepekatan peluang bersama dari adalah L( yang disebut juga sebagai fungsi kemungkinan. Andaikan dicari fungsi sederhana dari yaitu ( sehingga = u ( membuat fungsi kemungkinan L maksimum untuk semua. Statistik u( disebut penduga kemungkinan maksimum dari yang dinotasikan dengan = u(. Menurut Dimitri Karlis (2005) seringkali untuk pendugaan parameter dengan menggunakan metode kemungkinan maksimum tidak bisa secara langsung karena datanya tidak lengkap, untuk itu dapat digunakan algoritma EM (Expectation Maximation). Algoritma EM adalah suatu algoritma yang sangat handal untuk pendugaan parameter dari fungsi kemungkinan pada data yang tidak teramati seperti yang terdapat pada sebaran campuran (Dempster 1997). Ada dua tahap dalam menggunakan algoritma EM yaitu tahap E(Expectation) dan tahap M (Maximation). Dalam tahap E mencari nilai harapan penduga parameter dan pada tahap M memaksimumkan nilai harapan ke fungsi kemungkinan.
METODOLOGI PENELITIAN Data Data yang digunakan dalam penelitian ini adalah data sekunder yang diperoleh dari P.T. Asuransi Jiwa Bringin Jiwa Sejahtera. Data ini merupakan data klaim nasabah asuransi kesehatan khusus lansia dengan jenis klaim rawat inap yang dikumpulkan dari tahun 2002 sampai dengan bulan april 2010. Jumlah nasabah sebanyak 1585 nasabah dengan 2807 klaim dan lama perawatan 16416 hari, usia nasabah lebih dari 55 tahun. Metode Analisis Data Tahapan analisis yang dilakukan dalam penelitian ini sebagai berikut: 1. Analisis deskriptif Pada tahap pertama ini akan dideskripsikan data lama perawatan secara keseluruhan dan data lama perawatan per kelompok penyakit. Data dikelompokkan berdasarkan kelompok penyakit lansia di Indonesia, kemudian mengkaji hubungan antara kelompok penyakit lansia dengan sebaran lama perawatan dengan langkah-langkah sebagai berikut: a. Melakukan analisis ragam dengan 8 kelompok penyakit lansia dianggap sebagai perlakuan. b. Menguji asumsi-asumsi yang harus dipenuhi analisis ragam yaitu uji kenormalan, keaditifan dan kehomogenan. c. Melakukan transformasi dan menguji kembali asumsi-asumsi analisis ragam. d. Melakukan uji statistik nonparametrik yaitu uji Kruskal-Wallis. Jika pada tahap analisis deskriptif diperoleh kesimpulan bahwa kelompok penyakit mempengaruhi lama perawatan maka akan diduga sebaran lama perawatan secara keseluruhan dan sebaran lama perawatan per kelompok penyakit. 2. Pendugaan sebaran Pendugaan sebaran dibagi menjadi dua yaitu pendugaan sebaran dengan sebaran diskret dan sebaran kontinu.
14 Langkah-langkah pendugaan sebaran lama perawatan dengan sebaran diskret sebagai berikut: a. Menduga parameter sebaran diskret. b. Menghitung nilai peluang sebaran diskret. c. Menghitung nilai frekuensi harapan sebaran diskret. d. Membuat dan menghampiri histogram dengan pendekatan kurva sebaran diskret. e. Melakukan uji kesesuaian sebaran dengan uji khi-kuadrat. f. Menentukan sebaran yang sesuai dengan sebaran lama perawatan berdasarkan histogram dan nilai khi-kuadrat. Langkah-langkah pendugaan sebaran lama perawatan dengan sebaran kontinu sebagai berikut: a. Membuat dan menghampiri histogram data dengan pendekatan kurva sebaran kontinu. b. Membuat plot kuantil-kuantil untuk masing-masing sebaran kontinu. Membuat plot kuantil-kuantil untuk sebaran normal dengan langkahlangkah sebagai berikut: (1). Mengurutkan data dari yang terkecil sampai data yang terbesar y(1),...,y(i),..., y(n). (2). Menghitung nilai untuk setiap y(i) yaitu =. (3). Menghitung nilai untuk setiap p(i) yaitu =. (4). Membuat plot antara y(i) dengan yang merupakan plot kuantil-kuantil. c. Menghitung nilai statistik dari uji kesesuaian sebaran kontinu. d. Menentukan sebaran yang sesuai dengan sebaran lama perawatan berdasarkan histogram, plot kuantil-kuantil dan nilai statistik uji. 3. Perbandingan kesesuaian sebaran Membandingkan sebaran yang sesuai dengan lama perawatan secara keseluruhan dan lama perawatan per kelompok penyakit. 4. Pendugaan sebaran lama perawatan dengan sebaran campuran. Langkahlangkah pendugaan lama perawatan dengan sebaran campuran sebagai berikut:
15 a. Membuat plot sebaran campuran. b. Menentukan nilai parameter awal suatu sebaran (. c. Menduga nilai parameter dari sebaran campuran. d. Melakukan uji kesesuaian sebaran yaitu uji khi-kuadrat. 5. Penerapan sebaran lama perawatan untuk memperkirakan nilai premi yang akan dikenakan pada nasabah asuransi kesehatan.