Eigenvector dan eigenvalues

Eigenvector dan eigenvalues Pengertian Sebuah matriks bujur sangkar dengan orde n n misalkan A, dan sebuah vektor n kolom X. Vektor X adalah vektor dalam ruang Euklidian R yang dihubungkan dengan sebuah persamaan: AX X (7.) Dimana adalah suatu skalar dan X adalah vektor yang tidak nol Skalar dinamakan nilai Eigen dari matriks A. Nilai eigen adalah nilai karakteristik dari suatu matriks bujur sangkar. Vektor X dalam persamaan (7.) adalah suatu vektor yang tidak nol yang memenuhi persamaan (7.) untuk nilai eigen yang sesuai dan disebut dengan vektor eigen. Jadi vektor X mempunyai nilai tertentu untuk nilai eigen tertentu. Perhitungan eigenvalues Kita tinjau perkalian matriks A dan X dalam persamaan (7.) apabila kedua sisi dalam persamaan tersebut dikalikan dengan matriks identitas didapatkan: IAX I X AX IX [ I A] X (7.) Persamaan (7.) terpenuhi jika dan hanya jika: det [ I A] (7.3) Dengan menyelesaikan persamaan (7.3) dapat ditentukan nilai eigen ( ) dari sebuah matriks bujur sangkar A tersebut. Perhitungan eigenvector Kita tinjau kembali persamaan AX X dimana A adalah matriks bujur sangkar dan X adalah vektor bukan nol yang memenuhi persamaan tersebut. Dalam subbab 7. telah dibahas tentang perhitungan nilai eigen dari matriks A( ), pada

subbab ini kita bahas vektor yang memenuhi persamaan tersebut yang disebut vektor eigen(vektor karakteristik) yang sesuai untuk nilai eigennya. Kita tinjau sebuah matriks bujur sangkar orde berikut: A a a a a Persamaan AX X dapat dituliskan: a a a a (7.) Persamaan (7.) dikalikan dengan identitas didapatkan: a a a a a a a a a a a a (7.5) Persamaan (7.5) dalam bentuk sistem persamaan linier dituliskan: ( a a ) + ( a + a ) (7.6) Persamaan (7.6) adalah sistem persamaan linier homogen, vektor dalam ruang R n yang tidak nol didapatkan jika dan hanya jika persamaan tersebut mempunyai solusi non trivial untuk nilai eigen yang sesuai.

Contoh soal:. Misalkan Sebuah vektor X dan sebuah matriks bujur sangkar orde A, Apabila matriks A dikalikan dengan X maka: AX + + 8 Dimana: 8 X Dengan konstanta dan Memenuhi persamaan (7.). Konstanta dikatakan nilai eigen dari matriks bujur sangkar A. Dapatkan nilai eigen dari matriks A 3 Jawab: Dari persamaan (7.3) maka: det 3 3 ) )( ( 3 + +

Dengan menggunakan rumus abc didapatkan:, ± ( ).. ± 6 ± ± 3 ± 3 Maka penyelesaian adalah: 3 dan 3. + Nilai eigen matriks A 3 adalah: 3 dan 3 + 3 3. Dapatkan nilai eigen dari matriks A 5 Jawab: Nilai eigen ditentukan dengan persamaan: det maka: 5 ( )( 5) 9 + 9 + 9

Dengan rumus abc didapatkan:, 9 ± ( 9)..9, 9 ± 8 76, 9 ± 5 Didapatkan,5 + 5 dan,5 5, jadi nilai eigen matriks A 5 adalah,5 ± 5. Tentukan vector eigen dari matriks berikut: A 3 Jawab: Nilai eigen dari matriks A adalah A 3 3 3-3 Maka polynomial karakteristik A adalah : Det (I A) {( -3). } (-.) - 3 +

( ) ( ) dan (nilai eigen valuenya) Sekarang tentukan nilai vektornya yaitu : sebuah vector tak yang memenuhi persamaan A. - Untuk nilai eigen A 3 3. 3 + 3 + Maka di dapat persamaan : 3 + - Dan jika diselesaikan maka : + artinya - - artinya - Jika k (merupakan konstanta sembarang) Maka di dapat X k k - Untuk nilai eigen A 3 3.

3 + 3 + Maka di dapat persamaan : 3 + - Dan jika diselesaikan maka : + artinya - - artinya - Jika k (merupakan konstanta sembarang) Maka di dapat X k k

Linear Algebra Generalized Inverses Misalkan matriks A (aij) Cnm. Sebuah matriks X (ij) Cnm dikatakan sebagai generalized atau pseudo invers dari matriks A jika X memenuhi satu atau lebih dari sifat-sifat berikut: (i) AXA A (ii) XAX X (iii) (AX)H AX (6.) (iv) (XA)H XA Disini AH (A)T! conjugate transpose dari matriks A. Jika elemen-elemen dari matriks A maka AH AT (AH dibaca A- Hermitian) Jika X memenuhi persamaan (6.) maka X disebut sebagai satu-invers (one invers ) yang secara umum tidak tunggal. Jika X adalah satu-invers, maka seluruh satu-invers yang lain dari matriks A adalah : Satu-invers X adalah tunggal jika dan hanya jika matriks A adalah matriks bujur sangkar nonsingular. Matriks X dikatakan sebagi Moore-Penrose Generalized Invers dari matriks A jika dan hanya jika matriks X memenuhi keempat sifat yang diberikan pada persamaan (6.) dan dinotasikan dengan A+ Contoh matriks A* (A H ) If

then Teorema pada generalized inverse pada matriks mempunyai persamaan:. BAB B. ABA A 3. (BA) H BA. (AB) H AB Matriks B disebut pseudo-invers atau invers matriks tergeneralisasi dari A. Contoh: Teorema Diberikan A sembarang matriks berukuran mn, maka terdapat invers matriks tunggal tergeneralisasi dari A berukuran nm. Bukti: Jika X,Y adalah invers matrik tergenerasliasi dari A, maka X, Y memenuhi keempat sifat pada teorema. Sehingga berlaku: AY (AXA)Y (AX)(AY)

Karena AX dan AY matriks Hermitian dengan sifar nomer, di peroleh: AY ((AX(AY)) H (AY) H (AX) H (AY)(AX) (AYA)X AX Dengan cara yang sama didapatkan YA XA. Berikutnya AY AX dikalikan dengan Y dari kiri, didapatkan Y YAY YAX Selanjutnya YA XA dikalikan matriks X dari kanan, didapatkan : YAX XAX X Jadi Y YAX X Terbukti vahwa X Y, artinya invers A tunggal.

TEORI SUBSPACE Di dalam matematika, sebuah subspace merupakan vector space yang berada di dalam vector space lain. Jadi, setiap subspace adalah vector space yang berada dalam subspace itu sendiri atau bisa juga merupakan vector space yang ada di dalam vector space lain (yang lebih besar). Dimisalkan ada dua buah vector space, yaitu V dan W yang keduanya memiliki bagian vector dan bagian skalar. Dimisalkan bahwa W merupakan subspace dari V, dengan W V. Apabila V adalah vector space yang didefinisikan C, melalui sebuah matriks berbentuk, maka sudah jelas bahwa W V apabila objek dari W adalah vektor kolom yang berjumlah. INVARIANT SUBSPACE Invariant subspace merupakan suatu istilah yang ditujukan pada sebuah subspace, yang apabila ada transformasi linier T : V V Kemudian W V, adalah eigenvalue dari sebuah transformasi T, v adalah eigenvector yang koresponden / sesuai dengan tsb, kemudian Tvv, sehingga T(w) terletak di dalam subspace W. Atau dengan kata lain, W merupakan sebuah subspace yang memiliki sifat invariant terhadap transformasi T. Atau bisa disebut juga bahwa W adalah T-invariant subspace. Perhatian : T : transformasi linier, contoh T()A. V : vektor space yang mengalami transformasi T, bisa berbentuk himpunan ataupun matriks W X : subspace dari V, bisa berbentuk himpunan atau matriks : eigenvector dari sebuah matriks persegi, biasanya berbentuk matriks

: eigenvalue dari sebuah matriks persegi, biasanya berbentuk konstanta Contoh soal:. Transformasi linear dari T: C > C didefinisikan sebagai T()A. Dimana A Dan w dan w: Dan himpunan W{w,w}. Kita akan periksa apakah W merupakan invariant subspace dari C dengan T. Dari definisi W, setiap vector yang dipilih dari W dapat ditulis sebagai kombinasi linear dari w dan w. Anggap w ε W, berikut penjelasan untuk pemeriksaannya. T(w) T(a*w+a*w) a* T(w)+ a*t(w)

a* + a* * a*w+a*((-)w++w) (-a)*w+(a+a)*w ε W Oleh karena itu berdasarkan definisi dari invariant subspace maka W merupakan invariant subspace dari C dengan T.. Dan dan : Dan himpunan X{,}. Kita akan periksa apakah X merupakan invariant subspace dari C dengan T. Dari definisi X, setiap vector yang dipilih dari X dapat ditulis sebagai kombinasi linear dari dan. Berikut penjelasan untuk pemeriksaan apakah X merupakan invariant subspace dari C atau tidak. T(w) T(b*+b*) b* T()+ b*t() b* + b* a*(-,7*+8,*)+a*(-8,57*+,98*) -(,7*a+8,57*a)*+(8,*a+,98*a)* ε X

Oleh karena itu berdasarkan definisi dari invariant subspace maka X merupakan invariant subspace dari C dengan T.

Linear Subspaces (Sub Ruang Linier). Pembuka Dalam tulisan ini sedikit menyinggung tentang beberapa istilah dalam aljabar linier yang perlu dimengerti sebelum belajar kontrol robust. Beberapa istilah lain ada di tulisan lain untuk melengkapi tulisan ini. Selain belajar dari tulisan ini, diharapkan peserta kuliah juga aktif menelusuri lebih dalam tentang aljabar linier di beberapa referensi buku yang disodorkan agar peserta bisa lebih memahami tentang istilah-istilah yang di tulis disini yang nantinya akan mempengaruhi pemahaman kita saat belajar kontrol robust. Dalam tulisan ini akan di jelaskan seperti apa sub ruang vektor (Subspace), kombinasi linier suatu vektor, span, kebebasan linier, basis dan dimensi yang mana seluruhnya saling berhubungan. Selain itu juga akan disinggung mengenai vektor yang ortogonal, ortonormal, kernel, image, dan trace.. Subruang Jika diketahui V adalah ruang vektor dan U adalah sub himpunan V, maka U dikatakan sub ruang dari V jika memenuhi dua syarat: Jika p, q ϵ U maka p + q ϵ U (syarat penjumlahan) Jika p ϵ U maka untuk skalar k berlaku kp ϵ U (syarat perkalian) Untuk lebih memahami pernyataan di atas kita bisa perhatikan contoh di bawah ini:.. jika U adalah sub himpunan R maka tunjukanlah apakah U subruang R? Kita uji U dengan syarat diatas: #Syarat penjumlahan misal p dan q 3 dimana kita tahu bahwa p, q ϵ U maka p + q + 3 5 p + q 5 ϵ U, berapapun nilai pada p, q ϵ U akan tetap mengakibatkan p + q sebagai anggota U (Syarat penjumlahan terpenuhi)

#Syarat perkalian misal p, maka kp ϵ U dengan k skalar. Berapapun nilai k dan berapapun nilai yang ada pada p, kp tetap akan berada dalam himpunan U (syarat perkalian terpenuhi) karena dua syarat di atas terpenuhi maka U adalah subruang dari R.. jika U y dan, dan U adalah sub himpunan R maka tunjukanlah apakah U subruang R? Kembali kita uji U dengan syarat diatas: #Syarat penjumlahan misal p dan q 3 dimana kita tahu bahwa p, q ϵ U maka 6 p + q + 3 6 5 p + q 5 ϵ U, berapapun nilai asalkan dan berapapun nilai y pada p, q ϵ U akan tetap mengakibatkan p + q sebagai anggota U (Syarat penjumlahan terpenuhi) #Syarat perkalian misal p, maka ada nilai k yang tidak dapat memenuhi syarat kp ϵ U yaitu ketika k. misalkan k - maka kp, padahal nilai harus agar tetap berada di dalam anggota U. (syarat perkalian tidak terpenuhi) karena ada syarat yang tidak terpenuhi maka U bukanlah subruang dari R 3. Kombinasi Linier dan Span

Jika U {,,...... n } maka u k. + k. +... k n. n bisa disebut kombinasi linier dari U Jika U {,,...... n }, maka Span{U} adalah semua kombinasi linier yang mungkin terjadi dari U jika V adalah ruang Vektor dan U adalah Sub himpunan dari V maka Span{U} bisa dikatakan sebagai subruang dari V, atau secara matematis Span{U} Subruang V jika U adalah subruang V berikut ini adalah contoh soal untuk memperjelas pernyataan di atas: 3.. jika U{p, q } { y, y } dan U adalah sub himpunan R bahwa span{u} adalah subruang R? maka tunjukanlah, tunjukanlah misal p q, maka span{p, q } adalah: 3 span{p, q } adalah kombinasi linier yang mungkin terjadi dari {p, q }, maka katakanlah u span{p, q } u k.p + k. q k. + k. 3 k + k k + 3k Untuk mengujinya dengan syarat sub ruang, maka kita definisikan lagi v sebagai kombinasi linier yang lain dari U, maka v span{p, q } v m.p + m. q m. + m. 3 m + m m + 3m Jika kita masukan nilai k, k, m, dan m ke dalam u dan v maka u dan v akan tetap menjadi anggota himpunan U, selanjutnya adalah pengujian terhadap syarat subruang : #syarat penjumlahan u + v k + k k + 3k + m + m m + 3m k + k + m + m k + 3k + m + 3m Berapapun nilai k, k, m, dan m, u + v tetap anggota himpunan U (syarat penjumlahan) #Syarat perkalian u k + k k + 3k, maka cu ϵ U dengan C skalar. Berapapun nilai c serta berapapun nilai k dan k yang ada pada u, cu tetap akan berada dalam himpunan U (syarat perkalian terpenuhi) karena dua syarat di atas terpenuhi maka span{u}span{p, q } adalah subruang dari R

. Kebebasan Linier, Basis, dan Dimensi U {,,...... n } dikatakan bebas linier (Linearly independent) jika : span{u} k. + k. +... k n. n dan hanya memiliki penyelesaian k k k n, Jika ada penyelesaian lain maka dikatakan bergantung linier (Linearly Dependent) Misalkan V ruang vektor dan U {,,...... n }. U disebut basis dari V bila U bebas linier Dimensi Ruang Vektor didefinisikan sebagai banyaknya unsur basis ruang vektor, misal dim (R 3 )3 berikut ini adalah contoh soal untuk memperjelas pernyataan di atas:.. misal U{p, q }, dimana p q 3, apakah U basis dari R? Cek kebebasan liniernya, maka Span{U} span{p, q } k.p + k. q Span{U} k. + k. 3 k + k k + 3k Atau bisa kita tulis dalam bentuk 3 k k k k 3 k k karena k k, maka U bebas linier, karena U bebas linier maka U adalah basis dari R. Dapat diliat secara langsung juga bahwa U memiliki vektor dan dim (R ) adalah maka U adalah basis dari R... misal U{p, q, r }, dimana p q 3 r 5, apakah U basis dari R :

Cek kebebasan liniernya, maka Span{U} span{p, q, r } k.p + k. q + k 3. r Span{U} k. + k. 3 + k 3. 5 k + k + 5k 3 k + 3k + k 3 5 3 k k Invers dari suatu matriks A adalah A - adj A det A Matriks 5 tidak memiliki determinan, maka matriks tersebut tidak bisa di inverskan, oleh 3 karena itu k k karena k k, maka U bergantung linier, karena U bergantung linier maka U bukanlah basis dari R. Dapat diliat secara langsung juga bahwa U memiliki 3 vektor dan dim (R ) adalah maka U bukanlah basis dari R. 5. Kernell atau Null space Didefinisikan dengan Ker A N(A) : { R n A }, Adalah semua nilai vektor ( ) yang memenuhi persamaan, dimana adalah anggota R n dan matriks A jika dikali akan menghasilkan vektor ( ). 5. misal A 3, maka berapakah Null A (N(A))? 3 A 3 N(A) : { R n A } 3 3 Matriks di atas bisa diwaki denagn persamaan linear sebagai berikut X + X + X 3 +X X +X +3X 3 +X X +3X +X 3 +X Persamaan diatas bisa diwakili dengan sebuah matriks buatan yaitu

kemudian : 3 3 baris ke diganti dengan : baris ke dikurangi baris ke dan baris ke diganti dengan : baris ke dikurangi baris ke sehingga matriks tersebut menjadi : 3 3 kemudian : baris ke diganti dengan : baris ke dikurangi baris ke dan baris ke diganti dengan : baris ke dikurangi baris ke 3 sehingga matriks tersebut menjadi : 3 Matriks di atas bisa dituliskan menjadi persamaan : X X 3 X maka X X 3 + X X +X 3 +3X maka X X 3 3X Sehingga 3 X 3 + X 3 3 Jadi N(A) Span + Sebagai catatan tambahan jika kolom kolom pada Matriks A merupakan bebas linear(linieary independent) maka yang memungkinkan Dan gambaran atau range dari A adalah

ImA R(A) : {y F m : y A, F n }. Biarkan a i, i,,...,n menyatakan colom dari matriks A F m n ; maka Im A span{a,a,...,a n }. Sebuah pesegi matriks U F n n yang kolomnya membentuk basis orthonormal untuk F n disebut kesatuan matriks ( atau matriks orthogonal jika F R), dan itu membuktikan U*U I UU*. 6. Trace Trace dari matriks persegi ordo n n didefinisikan sebagai jumlah elemen pada diagonal utama, yaitu diagonal dari kiri atas ke kanan bawah dinotasikan dengan Tr(A), yaitu a +a +a 33 +...a nn n i a ii atau bisa juga dituliskan : n Trace(A): a ii i Sebagai contoh : matriks A hitung trace dari A? 3 Dapat dituliskan tr(a) a +a +a 33 6. Referensi (-) + +3. Anton, Howard dan Rorres, Chris. Elementary Linear Algebra-Ninth Edition. John Wiley and Sons, Inc. 5. Sibaroni, Yuliant. Buku Ajar Aljabar Linier. STT Telkom Bandung. 3. www.youtube.com (channel: khan academy, bagian Lenear Algebra)

Definisi inverse JIka A dan B matriks bujur sangkar sedemikian rupa sehingga A B B A I, maka B disebut balikan atau invers dari A dan dapat dituliskan ( B sama dengan invers A). Matriks B juga mempunyai invers yaitu A maka dapat dituliskan. Metode penentuan inverse : Ada beberapa metode untuk menetukan invers dari suatu matriks,antara lain :. subtitusi. matriks adjoint 3. eliminasi guass-jordan. dekomposisi 5. perkalian matriks inverse elementer 6. dan lain lain Pada pembahasan kali ini kami hanya kan membahas metode saja yaitu menggunakan matriks adjoint dan partisi matriks-dekomposisi, karena erat kaitannya dengan mata kuliah yang sedang kami ambil yaitu teknik control robust terutama metode dekomposisi. Penjelasan matriks adjoint Misalkan A suatu matriks kuadrat dengan baris dan kolomnya masing masing sebesar n. Jadi A (ai j) ; i,j,,.n. Dan setiap element dari matriks mempunyai kofaktor, yaitu elemen ai j mempunyai kofaktor k i j.apabila semua kofaktor itu dihitung untuk semua elemen matriks A, kemudian dibentuk suatu matriks K dengan kofaktor dari semua elemen matriks A sebagai elemennya, maka:

Yang disebut adjoint matriks A ialah suatu matriks yang elemen elemennya terdiri dari transpose semua kofaktor dari elemen-elemen matriks A, yaitu apabila: k( k i j ), dimana k i j ialah kofaktor dari elemen ai j, maka adjoint matriks A yaitu : Jadi, jelasnya Adj (A) ialah transpose dari matriks kofaktor K, yaitu: Matriks orde : Invers Matriks A Adj (A) Matriks adjoint dari matriks A Det (A) Determinan matriks A Untuk matriks berordo X dimana matriks A A Untuk nilai invers dari matriks :

Matriks orde 3 3 : Contoh soal : Carilah invers matriks dibawah ini : Penyelesaian : Mencari determinan matriks A Untuk matriks berukuran 33, maka determinan matriks dapat dicari dengan aturan Sarrus Det (A) a a a 33 + a a 3 a 3 + a 3 a a 3 a 3 a a 3 a 3 a 3 a a 33 a a Jadi untuk mencari determinan dari soal matriks A adalah, Det (A) 3()() + (-)()() + ()(-) ()() (-)()(3) ()(-) 3 7 + + 6 Mencari Adjoint A A

Det (A ) ()() (-)() + 8 9 A Det (A ) (-)() (-)() - + 3 A 3 Det (A 3) (-)() ()() - - -6 A Det (A ) ()() ()() - 8-8 A

Det (A ) (3)() ()() 3 - - A 3 Det (A ) (3)() ()() - A 3 Det (A 3) ()(-) ()() - - A 3 Det (A 3) (3)(-) ()(-) -6 + -

A 33 Det (A 33) (3)() (-)() 3 + 3 A Matriks kofaktor yang terbentuk adalah : Adjoint matriks didapat dari transpose matriks kofaktor, didapat:

Penyelesaian inverse dengan metode dekomposisi Dekomposisi adalah menuliskan suatu matriks sebagai jumlah atau perkalian dua matriks, yang masing-masing bentuknya tertentu. Cara menentukan invers dari matriks A berukuran nn dengan metode dekomposisi dimulai dengan teknik partisi. Partisi matriks adalah membagi matriks menjadi submatriks-submatriks. Ada macam teknik partisi, yaitu partisi simetri dan partisi tak simetri. Partisi simetri adalah apabila matriks asal dibagi menjadi empat buah submatriks yang ukurannya sama. Partisi tak simetri adalah apabila matriks asal dibagi menjadi empat buah submatriks yang ukurannya berbeda, dalam hal ini blok diagonal harus merupakan matriks bujur sangkar dan dua blok lainnya adalah matriks garis dan matris kolom. Penggunaan matriks dekomposisi bertujuan untuk menyelesaikan suatu invers dari matriks yang berukuran besar, karena apabila kita menggunakan metode yang biasa digunakan seperti matriks adjoint atau operasi baris elementer (OBE) rentan terjadi kesalahan dalam proses perhitungannya dan relative lebih sulit, namun apabila kita menggunakan metode dekomposisi maka matriks yang besar tersebut kemudian akan dibagi menjadi submatriks submatriks yang berukuran lebih kecil sehingga akan lebih teliti dalam perhitungan menentukan invers dari suatu matriks. Untuk lebih memahami bagaimana penyelesaian inverse dengan metode dekomposisi, kita bisa membuat formula atau rumus umumnya. Dimisalkan matriks Z adalah matriks bujur sangkar hasil partisi dari suatu matriks besar,dimana A dan A adalah juga merupakan sebuah matriks bujur sangkar. Z A A A A Misal A A ; A B ; A C ; A D Maka ; Z A B C D

Anggapan A adalah matriks nonsingular (formula ) Kemudian pada matriks Z dilakukan dekompoisi, sehingga didapat : Z A B Im A Im A B C D CA In Iq A Im A B Im A B CA In C D Iq Dengan disebut schur complement dari A; D CA B Kronologi didapatkannya formula umum diatas adalah sebagai berikut : Persamaan : Untuk membuat diagonal blok menjadi, maka C + RA. Sehingga R - CA dan menyebabkan nilai D + RB D CA B. Sehingga persamaan menjadi <> Persamaan : Kemudian untuk membuat diagonal blok menjadi, maka B +AQ, sehingga nilai Q - A B dan menyebabkan nilai D+CQ D CA B. Sehingga persamaan menjadi <> persamaan 3 :

Dengan melakukan subtitusi nilai R dan Q dari persamaan dan didapat Tujuan dari penjabaran ketiga persamaan diatas adalah untuk pembuktian penjabaran dari formula umum dekomposisi matriks. Yaitu (dari persmaan 3),kita dapat melakukan dekomposisi dari matriks Z. - Berdasarkan teori,bahwa : Im C - Im Im B - Im -B In -C In dan In In Sehingga untuk persamaan 3 menjadi : Z Kemudian dikembalikan lagi kedalam permisalan: A A ; A B ; A C ; A D, sehingga didapat kembali formula umum dari dekomposisi matriks dengan Anggapan A adalah matriks nonsingular dan A A A A ( adalah schur complement dari A ).

Z A A I A I A - A A A AA - I I Anggapan permisalan D A adalah matriks nonsingular (formula ) Z A A A A Misal A A ; A B ; A C ; A D Maka ; Z A B C D Maka berlaku juga pada permisalan A A adalah matriks nonsingular, sehingga didapat Z A B Im BD Im C D In D D C Iq Dengan disebut schur complement dari D; A BD C atau A A A A Kronologi didapatkannya formula umum diatas adalah sebagai berikut : persamaan persamaan

dari persamaan dan didapat persamaan 3 dari persamaan 3 didapat bahwa A B Im -BD - Im C D In D -D C Iq - Berdasarkan teori,bahwa : Im C - Im Im B - Im -B In -C In dan In In Sehingga untuk persamaan 3 menjadi A B Im BD Im C D In D D C Iq Selanjutnya perhitungan matriks dari formula dan : Misal A A ; A B ; A C ; A D dan A adalah matriks nonsingular Formula ; Z A B I A I A B C D CA I I Dari Persamaan :

y V Dari matriks diatas Dan Y V X - Y - V - X, sehingga : Dari teori Maka dapat dipersamakan dengan persamaan Misal A A ; A B ; A C ; A D dan A adalah matriks nonsingular Formula ; A B Im BD Im C D In D D C Iq

Kronologi mendapatkan rumusnya adalah sebagai berikut ; Dengan F adalah (schum complement dari D) Dianalogikan bahwa Lalu didapat persamaan persamaan Dari persamaan didapat lalu Berarti : dan Dari persamaan didapat S D - - D - CQ Dan f sehingga Lalu didapat Dan Jadi sudah didapat semua komponen (P Q R S)

Contoh soal penyelesaian matriks dengan metode dekomposisi : Langkah yang pertama mempartisi matriks diatas menjadi sesuai dengan bentuk umum dibawah ini : A A A A A [] Maka kita dapat menggunakan rumus karena A merpakan matriks Non singular sehingga kita menggunakan rumus : A A A - + A - A - A A - - A - A - A A - - A A - - Berdasarkan rumus diatas kita cari nilai nilai dari setiap matriks diatas : A - A A A - A

[] * - - -.5 A - + A - A - A A - - A - A - - - A A - -.5 * Sehingga invers matriks B dengan metode dekomposisi adalah, B - A A -.5.5 A A -.5.5.5.5 -.5 Mencari invers matriks dengan menggunakan matlab : >> A [ 5; 3] A 5 3 >> inv(a) ans 3-5 -

SEMIDEFINIT MATRICES Suatu matriks Hermitian A Mn dikatakan definit positif jika *A >, untuk semua Cn. Jika ketaksamaan di atas diperlemah menjadi * A maka A dikatakan semidefinit positif. Secara implicit, ruas kiri pada ketaksamaan di atas menyatakan suatu bilangan real. Matrik Hessian Beberapa konsep dalam matriks dan aljabar seperti matriks Hessian dapat kita gunakan sebagai salah satu metode untuk menentukan jenis matriks seperti matriks definite positive, semidefinite positif, definite negative atau indefinite dan definit negative. Diberikan f(,,, n ) adalah sebuah fungsi dengan n variable, (,,, n ). Matriks Hessian adalah matriks yang merupakan turunan parsial dari fungsi tersebut dengan susunan seperti berikut : f f f n f (H) f f n... f n f n f nn f f n Contoh : f f ( ) n f n f f nn f n ( n ) Tentukan matriks hessian dari suatu fungsi dengan tiga variabel berikut : f() + - 3 3 + - 5 3 + 6 3 turunan parsial I : f + - 5 3 turunan parsial II : f + + 6 3 f 3-6 3-5 + 6 f f f 3 f f ( ) f f 3 f -5 3 f f f f ( ) 3 f 6 3 f 3-5 f 3 f 3 6 f 33 f ( 3 ) -6

Maka akan diperoleh matriks hessian : 5 (H) 6 5 6 6 Bagian-bagian matriks hessian Jika terdapat suatu matriks berukuran (n n), maka principal minor ke k (k n) adalah suatu sub matriks dengan ukuran (k k) yang diperoleh dengan menghapus (n-k) baris dan kolom yang bersesuaian dari matriks tersebut. Contoh : 3 (Q) 5 6 7 8 9 Principal minor ke- adalah elemen-elemen yang diagonal yaitu,5,9. Principal minor ke- adlah matriks-matriks ( ) berikut : 3 6 5 5 7 9 8 9 Principal minor ke-3 adalah matriks Q itu sendiri. Determinan dari suatu principal minor dinamakan principal determinan. Leading principal minor ke k dari suatu matriks n n diperoleh dengan menghapus (n - k) baris terakhir dan kolom yang bersesuaian. Dengan matriks Q diatas leading minor ke- adalah (hapus dua baris terakhir dan dua kolom terakhir). Leading principal minor ke- adalah : 5 Sementara yang ke-3 adalah matriks Q itu sendiri. Banyaknya leading Principle determinan dari suatu matriks (n n) adalah n. Determinan dari leading principal minor dinamakan leading principal determinan. Menentukan jenis matriks hessian Cara pengujian sederhana untuk menentukan apakah suatu matriks adalah definit positif, semidefinit positif, definit negative, semidefinit negative atau indefinite. Semua pengujian ini berlaku hanya jika matriksnya simetris.

Ketentuan uji bagi matriks definit positif adlah :. Semua elemen diagonal harus positif. Semua leading principal determinan harus positif ( > ) Ketentuan uji untuk matriks semidefinit positif adalah :. Semua elemen diagonal positif. Semua leading principal determinan non negative ( ) Untuk membuktikan bahwa suatu matriks definit negative (semidefinit negatif), uji negative dari matriks itu untuk definit positif (semidefinit positif). Suatu uji cukup bagi suatu matriks menjadi indefinite adalah bahwa sekurang-kurangnya dua elemen diagonalnya memiliki tanda berlawanan. Sifat-sifat penting berkaitan dengan matriks definit positif Beberapa sifat penting berkaitan dengan matriks definit positif adalah: a. Penjumlahan sebarang dua buah matriks definit positif menghasilkan matriks definit positif juga. Secara umum berlaku sebarang kombinasi linear nonnegative dari matriks-matriks semidefinit positif menghasilkan matriks semidefinit positif Bukti: Misalkan A dan B keduanya semidefinit positif, dan a,b Ο. Perhatikan bahwa (aa + bb) a( A)+ b( B) Ο untuk semua Cn. b. Setiap nilai eigen dari matriks definit positif adalah bilangan real positif Bukti: Misalkan A definit positif dan σ (A), yaitu suatu nilai eigen dari A dan adalah vektor eigen yang bersesuaian dengan. Perhatikan, A Oleh karena itu kita peroleh ( A) dimana pembilang dan penyebut keduanya positif. c. Sebagai akibat dari bagian (b), trace dan determinan dari matriks definit positif adalah positif Karakterisasi Matriks Definit Positif Pada bagian ini kita akan melihat syarat cukup yang harus dipenuhi oleh matriks definit dan semidefinit positif yang dinyatakan dalam teorema berikut. Teorema. Suatu matriks Hermitian A Mn adalah semidefinit positif jika dan hanya jika semua nilai eigennya nonnegative.

. Suatu matriks Hermitian n A M adalah definit positif jika dan hanya jika semua nilai eigennya positif. Bukti: Jika setiap nilai eigen dari A adalah positif maka untuk sebarang vektor tak nol Cn Berlaku * A * U * n n DU y* Dy i di yi yi > di yi yi > i Dimana D adalah matriks diagonal dengan entri-entri diagonal adalah nilai-nilai eigen dari A, y U dan U uniter. Dengan menggunakan teorema di atas kita dapat memperoleh akibat berikut Akibat 3 Jika n A M suatu matriks semidefinit positif maka demikian juga matriks Ak, k,, Bukti: Jika adalah suatu nilai eigen dari A maka k adalah nilai eigen untuk Ak. Berdasarkan Teorema di atas maka Ak semidefinit positif. Contoh Soal : Contoh : f() 7 + + 7 3 + 3 3 maka (H) dengan leading principal determinan H, H 6, H 3 356 sehingga (H) definit positif. Contoh : f() 3 + 3 3 3 + 3 maka 3 3 (H) 3 3

dengan leading principal determinant H -, H -5, H 3 - sehingga (H) definit negatif. Contoh 3 : f() + + 3 + + 3 + 3 maka (H) 8 dengan leading principal determinan H, H, H 3 sehingga (H) semidefinit positif Ulinnuha L Susdarminasari T Achmad ulul Azmy (LF93) (LF93) (LF99)

Singular Value Decomposition A. Pengertian Singular Value Decomposition ( SVD ) adalah suatu cara memfaktorkan matrik A dengan cara menguraikan matrik kedalam dua matrik P dan Q. Jika terdapat matrik berukuran m n dengan rank r >, maka penguraian matrik dapa dinyatakan sebagai A P Δ Q T Rank ( r ) menyatakan banyaknya jumlah baris atau kolom yang saling independent antara baris atau kolom lainnya dalam suatu matrik. Matrik P merupakan matrik orthogonal berukuran m r sedangkan matrik Q merupakan matrik orthogonal berukuran n r. Matrik Δ adalah matrik diagonal berukuran r r yang elemen diagonalnya merupakan akar positif dari eigenvalue matrik A. Terbentuknya matrik Δ tergantung kondisi matrik A, yaitu : a. Δ, bila r m n b. Δ bila r n dan r < m () c. [Δ ()] bila r m dan r < n d. Δ () bila r < m dan r < n () () Matrik P dapat diperoleh melalui perkalian antara A, Q, dan Δ - sehingga dapat dinyatakan P AQΔ - CONTOH Contoh : Menghitung SVD matrik non singular X Hitung SVD dari matrik X 3 Jawab : Pertama mencari nilai eigenvalue dari X X T A X X T 7 5 3 3 7 3 XX T I,, 5 7 7 3 5 7 7 3

( 5-)(3-) (7)(7) 65-5 - 3 + 9-8 + 6, b ± b ac a (8)± (8) ()(6) () 9 ± 65 eigenvalue yang didapat adalah 9-65.9377 dan 9 + 65 7.63 kedua mencari eigenvektor dari masing masing.9377 ( XX T I) ( 5 7 -.9377 7 3.9377 ).63 7 7.63.63 + 7 ; 7 +.63 - Proses normalisai 7 -.73.63 T / ( ) /.73 (.73 ).73 /.73.73.9693X + / 3.9693.869.59 7.63 ( XX T I) ( 5 7-7.63 7 3 7.63 ).63 7 7.63 -,63 + 7 ; 7.63 7.583 X.63

Proses normalisai T / ( ) /.583 X (.583 X ).583 /.583.583.3367 + /.3367.59.869,869,59 Sehingga eigenvektor yang didapat dari dan adalah P,59,869 Ketiga mencari nilai eigenvalue dari X T X B X T X 8 8 3 3 8 X T X I,, 8 8 8 8 8 8 ( 8-)(-) (8)(8) 8-8 - + 6-8 + 6, b ± b ac a (8)± (8) ()(6) () 9 ± 65 eigenvalue yang didapat adalah 9-65.9377 dan 9 + 65 7.63 Keempat mencari nilai eigenvektor dari masing masing pada X T X.9377 ( X T X I) ( 8 8 -.9377 8.9377 ) 7.63 8 8 9.63 7.63 + 8 ; 8 + 9.63-8 -.38 7.63

Proses normalisai T / ( ) /.38 (.38 ).38 /.38.38,83 + /.83.797.668 7.63 ( X T X I) ( 8 8-7.63 8 7.63 ) 9.63 8 8 7.63-9,63 + 8 ; 8 7.63 Proses normalisai 8.888 X 9.63 T / ( ) /.888 X (.888 X ).888 /.888.888.7793 + /.7793.668.797,797,668 Sehingga eigenvektor yang didapat dari dan adalah Q,668,797 Sedangkan matrik Δ adalah Δ diambil dari eigenvalue matrik A atau B, pilih salah satu. Δ,9377,968 7,63,37

Matrik SVD adalah bila P Δ Q X,869,59,668 P Δ Q,968,797,59,869,37,668,797,8376,733,668,797,86 3,577,668,797 3 Terbukti bahwa P Δ Q X 3 Contoh : Menghitung SVD matrik simetri non singular, bedanya ini langsung mencari eigenvalue tanpa harus mengalikannya dengan transposenya.. Diketahui A 5. Mencari nilai eigenvalue matrik A A I,, 5 5 ( 5-)(-) - 5 - + - 7 + 6 eigenvalue yang didapat adalah dan 6 3. Mencari eigenvektor matrik A ( A I) ( 5-5 ) + - -,5

Proses normalisasi T / ( ) /,5 (,5 ),5 /,5,5,5 + /.7,5.89 6 ( A I) ( 5-6 6 ) X - + Proses normalisai T / ( ) / X ( X ) / + / 5.89.7,7,89 Sehingga eigenvektor yang didapat dari dan adalah X,89,7. Menentukan Δ Δ 6 5. Mencari SVD dengan rumus A X Δ X T,7,89,89 A,7,89,7 6,89,7,7 5,366,89,7,89,683,89,7 5 maka terbukti nilai X Δ XT A 5

Contoh 3: Menghitung SVD matriks A( mn) A (3) A Jawab: A T A T A Eigenvalue A T A (- ) - - + - - +3 ( -3)( -) 3

Eigenvektor A T A Untuk ) ( I A + - Proses Normalisasi ( ) ( ) * [ ] +

Untuk 3 ) ( I A 3 3 - + Proses Normalisasi ( ) ( ) * [ ] + Sehingga eigenvektor A T A X AA T

Eigenvalue AA T ( )( ) ( ) ++-( ) -( ) ( - +)(- )-(- ) - +- 3 - - -+ - 3-3 - ( -3) ; ; 3 Eigenvektor AA T Untuk ) ( I A 3 3 + + 3 ; + ; + 3 - ; 3 -

Proses Normalisasi 3 [ 3] 3 [ ] (3 ) 3 3 3 3 Untuk 3 3 + + 3 ; ; 3 -

Proses Normalisasi 3 [ 3] 3 3 3 [ 3 3 ] 3 3 3 3 ( 3 ) Untuk 3 3 3 3 - + + 3 ; ; 3 ; 3

Proses Normalisasi 3 3 [ 3] 3 3 3,865,8,7,8 Mencari Nilai P: P AQ - 3 3

6 3 6 6 6 6 A P Q 6 3 6 6 6 6 3

Contoh Menghitung SVD matriks A (mn) A (3) Dapatkan Singular Value Decomposition (SVD) dari matrik yang berukuran mn berikut ini : B ( 3) Jawab:. Menghitung Matrik B T B dan BB T B T B C 6 8 6 BB T D. Mencari Eigenvalue () dari Matrik B T B dan BB T Eigenvalue Matrik B T B: C-I 6 8 6 6 8 6

[()(8)() + ()6 + 6()()] [6(8)6 + () () + ()] [ 3 + 8 7 + 3 56 56] [56(8) + 6() + 6 ()] ( 3 + 8 7 + 688) (8 56 + 3 6 + 3 6) ( 3 + 8 7 + 688) (688 88) 3 + 8 3 ( 8 3) ( )( 36),, dan 3 36 Jika dinyatakan dalam bentuk matrik diagonal 36 Eigenvalue Matrik BB T : D-I [()() ] ( 8 + 576 ) 8 + 3 ( ) ( 36) dan 36

Jika dinyatakan dalam bentuk matrik diagonal 36 Pada proses mencari eigenvalue matrik B T B (matrik C) didapatkan, mengacu pada prosedur penyelesaian SVD matrik m n terdapat catatan bahwa: jika dalam perhitungan eigenvalue didapatkan maka untuk prosedur perhitungan eigenvalue diabaikan yang berakibat eigenvektor untuk kolom pada prosedur selanjutnya akan dihilangkan dari matrik eigenvektornya.. Sehingga, matrik diagonal. 36 3. Mencari Eigenvektor Matrik B T B dan BB T Untuk Eigenvektor Matrik B T B: Untuk (C 6 8 6 6 8 6 3 6 8 6 3

6 + + 8 + 6 3 + 3 3 6 + + 8 + 6 3 + 3 3 Pers. Pers. Pers.3 Eliminasi Pers. dan Pers.3: + + 6 3 6 + 3 + 36 + 36 3 + 3 3 Pers. Subsitusikan Pers. ke Pers. ( 3 ) + 8 3 8 8 3 3 Pers.5

Proses normalisasi untuk : * ( ) / T / 3 3 3 ) ( / 3 3 3 3 3 3 3 3 3 ) ( + + 3 / 3 / 3 / ) (3 ) ( / 3 3 3 3 / 3 3 3 3 3 3,577,577,577 Untuk (C Ι) 6 8 6 6 8 6 3 8 6 6 8 3 + + + 8 6 6 8 3 3 3

8 + + 6 6 + 8 3 3 3 Pers. Pers. Pers.3 Eliminasi Pers. dan Pers.3: 8 + + 6 3 6 + 8 3 + + 3 + 3 3 Pers. Subsitusikan Pers. ke Pers. ( 3 ) 3 8 3 3 Pers.5 Proses normalisasi untuk : * T ( ) / 3 / ( 3 ) 3 3 / ( 3 3 3 3 3 3 ) 3 3

+ + 6 / 6 / 6 / ) (6 ) ( / 3 3 3 3 / 3 3 3 3 3 3,8.865,8 Untuk 3 36 (C 3 Ι) 3 6 8 6 3 36 6 36 8 6 36 33 3 3 6 6 8 6 6 33 3 3 + + 6 6 8 6 6 33 3 3 33 3 3 33 3 3 + + 6 6 8 6 6 33 3 3 33 3 3 33 3 3 Pers. Pers.3 Pers.

Eliminasi Pers. dan Pers.: 6 3 + 3 + 6 33 6 3 3 + 6 33 + 8 3 3 Pers. Subsitusikan Pers. ke Pers.3 6 3 () 6 33 6 3 6 33 3 33 Pers.5 Proses normalisasi untuk 3 : 3 T ( ) / 3 3 3 3 / ( 3 3 33 3 3 ) 3 3 33 3 / ( 33 33 33 ) 33 33 ( 33 33 33 + ) 33 / ( 33 33 33 / ) / /,77,77

Sehingga, eigenvektor yang didapatkan adalah:,577,8,77 X,577,865,577,8,77 Akan tetapi, untuk prosedur selanjutnya eigenvektor yang digunakan adalah eigenvektor dari kolom yang nilai eigenvalue () lebih dari nol (positif). Q,8,865,8,77,77 Eigenvektor Matrik BB T : Untuk (D I) + + + + Pers. Pers. + + Pers.3

Proses normalisasi untuk : * T ( ) / / ( ) / ( ) ( + ) / / ( ) / /,77,77 Untuk 36 (D I) 36 36 + + Pers. Pers. + + Pers.3

Proses normalisasi untuk : * T ( ) / / ( ) / ( ) ( + ) / ( ) / / /,77,77 Sehingga, eigenvektor yang didapatkan adalah: Y,77,77,77,77. Dekompisisi Nilai Singular (SVD) Matrik B Diketahui: 36 3,6 36 6 Didapatkan: - /,887 /,667 P B Q - P P P,8,865,8,77,887,77,9,6,887,9,6, 667,77,77,77, 77,667

Dekomposisi matrik B P Q T B,77,77 3,6,8,865,8,77,77 6,77, 77 B,9,6,8,865,8,9,6,77, 77 B, 3,9999,, 3,9999, B

Vector Norms and Matri Norms VECTOR NORM Norm merupakan konsep yang dimaksudkan untuk memperluas pengertian magnitude atau besar sebuah besaran scalar dan vector atau bisa juga norm mendefinisikan panjang suatu vector di ruang Euclidean (system koordinat yang lazim digunakan. Untuk lebih mudahnya, pada konsep panjang kita dapat membandingkan mana yang lebih besar antara dua buah vector yaitu dengan membandingkan panjang keduanya. Norm didefinisikan dengan symbol Besaran vektor ( i ) R n dinyatakan "panjang" atau "besar"-nya dengan norm dari, dilambangkan oleh. Dalam literature dikenal ada 3 buah definisi tentang : n i i. norm- : ; n i i. norm- : ( T ) / ; 3. norm- : ma( i ; i,,..,n ). Ketiga definisi ini masing-masing memenuhi 3 sifat-dasar, yaitu definit positif, homogeny dan memiliki sifat ketidaksamaan segitiga. Antara lain : (i) Positif Pembuktian : Vector 3i + j. Maka Vector -3i -j. Maka 3 + 5 5 ( 3) + ( ) 5 5 Jadi norm dari suatu vector akan selalu bernilai positif untuk semua nilai vector (baik itu positif maupun negative) (ii) Definit positif jika dan hanya jika (iii) Homogen α α.,dimana α merupakan nilai skalar Pembuktian : Misalkan α 5 dan 3i+j. Maka α α.

5(3i+j) 5. 3i+j 5i + j 5.5 5 + 5 65 5 5 5 (Terbukti) (iv) Sifat segitiga +y + y Pembuktian : Misalkan 3i+j, y i+3j Maka +y + y (3i+i) + (j+3j) 3i+j + i+3j 5i + 7j 5 + 3,65 5 + 7 5 + 3,65 8,6 8,65 (Terbukti)

MATRIX NORM Norm juga digunakan pada matriks. Ruang matriks M n adalah suatu ruang vector berdimensi n. Dengan demikian sifat-sifat norm vektor di ruang berdimensihingga tetap berlaku di sana. Perbedaannya, untuk sembarang A dan B di M n kita dapat mengalikan keduanya yang menghasilkan matriks baru AB di Mn juga. Sangatlah wajar jika kita menginginkan suatu ukuran matriks yang memberikan hubungan antara ukuran ketiganya Suatu fungsi. : M n R disebut norm matriks jika untuk sembarang A, B Mn berlaku lima sifat berikut: (). A untuk norm matri akan selalu bernilai positif (a). A jika dan hanya jika A (). ca c. A untuk semua scalar kompleks c. (3). A + B A + B (). AB A. B (sub-multiplikatif) Pada definisi di atas keempat sifat pertama tidak lain merupakan sifat-sifat norm vektor. Adapun sifat terakhir ditambahkan untuk menghubungkan ukuran matriks matriks A, B dan hasil perkalian keduanya yaitu matriks AB. Inilah yang membedakan Norm matriks dengan norm vektor. Dengan melihat keterkaitan antara ruang Mn dan Cn maka kita dapat mendefinisikan suatu norm di Mn dengan melibatkan norm di Cn seperti pada definisi berikut. Norm matriks yang dibangunoleh norm vector. (Induced Norm) Misalkan. adalah norm vector di C n (n merupakan kolom matriks) dan C m (m merupakan baris matriks),yaitu. :C m n R, didefinisikan matri p-norm : A p ma{ A p : C n dengan ma { A p Untuk p,, dan : C n dengan }

Untuk p m A ma j n i aij,nilai maksimum dari masing-masing penjumlahan kolom matriks. Contoh : 3 5 7 A 6 8 A ma (3++, 5+6+, 7++8) ma (5,3,9) 9 Jadi A 9 Untuk p A ma i m penjumlahan baris matriks. n j aij,nilai maksimum dari masing-masing Contoh : 3 5 7 A 6 8 A ma (3+5+7, +6+, ++8) ma (5,,) 5 Jadi A 5 Untuk p atau sering disebut dengan Euclidian norm / spectral norm. A A ma(a A) (akar dari nilai eigen maksimal dari (A transpose A) Contoh : A 3

A* 3 A*A 3 3 ma(a A) SI (A*A) S - S S S (S-)(S-) - 96 S - 3S + -96 S -3S + S, b ± b ac a S 3 ± (3) () 3 ± 96 5 ±,86 5 +,86 9,86 (nilai eigen maksimal) S 5,86, Jadi A A 9,86 5,6

FROBENIOUS NORM Matriks norm yang lain yang sering digunakan adalah frobenius form. Frobenius form dituliskan: n j A f : trace(a A) i aij i i m Lebih mudahnya, perhitungan frobenius form adalah akar dari jumlah kuadrat nilai eigen dari (A transpose A). Contoh: A 3 A* 3 A*A 3 3 ma(a A) SI (A*A) S - S S S (S-)(S-) - 96 S - 3S + -96 S -3S + S, b ± b ac a 3 ± (3) () 3 ± 96 5 ±,86 S 5 +,86 9,86 S 5,86, Maka A f S + S 9,86 +, 9.86