Tugas Akhir Mata Kuliah Metode Numerik Dr. Kebamoto Penggunaan Metode Numerik dan MATLAB dalam Fisika Oleh : A. Arif Sartono 6305220017 DEPARTEMEN FISIKA FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM UNIVERSITAS INDONESIA 2006
Metode Numerik i
Daftar Isi Halaman Judul. i Daftar Isi.. ii PENDAHULUAN... 1 1. Metode Numerik. 1 A. Solusi grafik... 2 B. Metode numerik... 2 C. Komputer dan metode... 2 2. Berbagai Metode 3 A. Metode Langsung... 3 B. Metode Biasa... 3 C. Metode Gauss Seidel... 4 D. Metode Cramer... 4 3. Matlab... 4 A. Contoh Program MATLAB... 5 B. Jika file Bisection dijalankan di Common Window dihasilkan : 6 C. Sedangkan hasil plot atau gambarnya sebagai beikut :... 6 TUGAS AKHIR... 7 1. Soal Nomor 1. 7 2. Penyelesaian 7 3. Matrik A :. 8 4. Matriks-matriks ini jika diselesaikan dengan menggunakan MATLAB, 9 A. Metode Langsung :... 9 B. Metode Biasa. 11 C. Metode Gauss Seidel... 14 D. Metode Cramer... 18 5. Deskripsi Penulisan Variabel... 22 PENUTUP... 23 Referensi... 23 ii
BAGIAN I PENDAHULUAN 1. Metode Numerik Seiring pesatnya perkembangan teknologi dan kemajuan zaman, maka diperlukan suatu produk dengan ketelitian dan akurasi tinggi, dan waktu pengerjaan yang singkat. Begitu juga dengan permasalahan dalam bidang ilmu pengetahuan fisika murni maupun terapan, bidang rekayasa teknik metalurgi, mesin, elektro, sipil dan lain-lain dituntut hal yang sama, dimana dalam suatu perhitungan dengan data numerik membutuhkan ketelitian dan akurasi yang cukup baik. Pada saat teknologi informasi belum ada atau boleh dikatakan belum maju pesat, para praktisi dan profesional di bidang rekayasa teknik dan sain menganalisa dengan perhitungan manual. Simplifikasi digunakan dimana struktur yang sangat kompleks disederhanakan menjadi struktur yang lebih sederhana. Artinya akan terjadi perbedaan dari suatu permodelan dengan kondisi aktual. Hal ini dilakukan untuk menghindari kesulitan dalam analisa. Adanya perkembangan teknologi informasi yang sangat pesat pada saat ini mendorong para praktisi untuk mengembangkan cara baru agar pekerjaan analisa dapat dilakukan dengan lebih baik dan lebih efektif. Metode kalkulasi dengan matriks dapat dilakukan dengan mudah menggunakan teknologi informasi. Sudah banyak persoalan di bidang teknik maupun sain yang dapat diselesaikan dengan menggunakan permodelan matematika. Sering kali permodelan matematika tersebut muncul dalam bentuk yang tidak ideal, sehingga tidak dapat diselesaikan dengan menggunakan metode analitik untuk mendapatkan solusi sejatinya (exact solution). Jika persoalan-persoalan yang kita hadapi tidak dapat diselesaikan dengan metode permodelan matematika metode analitik menggunakan dalil-dalil kalkulus, maka solusinya dapat diperoleh dengan metode numerik. Metode numerik secara harafiah berarti suatu cara berhitung dengan menggunakan angka-angka, sedangkan secara istilah metode numerik adalah teknik yang digunakan untuk memformulasikan persoalan matematik sehingga dapat diselesaikan dengan operasi aritmatika biasa. Dengan menggunakan metode numerik, solusi exact dari persoalan yang dihadapi tidak akan diperoleh. Metode numerik hanya bisa memberikan solusi yang 1
mendekati atau menghampiri solusi sejati sehingga solusi numerik dinamakan juga solusi hampiran ( approximation solution). Pendekatan solusi ini tentu saja tidak tepat sama dengan solusi sejati, sehingga ada selisih antara keduanya. Solusi tersebut disebut solusi galat (error). Semakin kecil galat yang diperoleh berarti semakin dekat solusi hampiran yang diperoleh dengan solusi sejatinya. Pada saat sebelum perkembangan teknologi informasi belum pesat seperti sekarang ini, ada dua cara pendekatan yang biasa digunakan jika suatu persoalan tidak bisa diselesaikan dengan metode analitik, yaitu : A. Solusi grafik dipakai untuk mencirikan suatu perilaku sistem, teknik ini kurang presisi karena sangat tergantung pada ketelitian penggambaran grafik. B. Metode numerik secara manual. Secara teori pendekatan ini dapat digunakan dengan baik untuk penyelesaian masalah yang rumit, namun pada kenyataannya seringkali menemui masalah. Masalah ini timbul biasanya karena kesalahan kecil dalam perhitungan (Chapra & Canale, 1991) C. Komputer dan metode numerik memberikan suatu alternatif pemecahan dari masalah-masalah tersebut. Dengan menggunakan kemampuan komputer untuk mendapatkan solusi langsung, hampir semua persoalan dapat diselesaikan tanpa perlu penyederhanaan asumsi atau penggunaan teknik yang rumit. Selain mempercepat perhitungan numerik, dengan komputer kita dapat mencoba berbagai kemungkinan solusi yang terjadi akibat perubahan beberapa parameter dan kriteria error. Ada enam tahapan yang harus dilakukan dalam menyelesaikan persoalan dengan metode numerik, yaitu : a. Pemodelan, semua parameter dalam persoalan dimodelkan dalam bentuk persamaan matematika. Penyederhanaan model, model matematika yang diperoleh pada tahap pertama bisa saja masih kompleks. Untuk memudahkan dan mempecepat kinerja komputer, model tersebut disederhanakan dengan membuang parameter yang dapat diabaikan. b. Formulasi numerik, setelah model matematika yang sederhana diperoleh, tahap selanjutnya adalah memformulasikannya secara numerik, yaitu : 1.) Menentukan metode numerik yang akan digunakan beserta taksiran analisis galat awal. Pemilihan metode didasari pada : 2.) Apakah metode tersebut teliti? 2
3.) Apakah metode tersebut mudah diprogram dan waktu eksekusinya cepat? c. Menyusun algoritma dari metode numerik yang dipilih. d. Pemrograman, algoritma yang telah disusun diterjemahkan dalam program komputer, dengan terlebih dahulu membuat flowchart-nya kemudian dituliskan dalam bentuk program. (dengan menggunakan salah satu software yang dapat mendukung untuk mempermudah pembuatannya, misalnya MATLAB, sebagai catatan penulis juga akan menggunakan software ini) e. Operasional, program komputer dijalankan dengan data uji coba sebelum menggunakan data sebenarnya. f. Evaluasi, bila program sudah selesai dijalankan dengan menggunakan data sesungguhnya, hasil yang diperoleh diinterpretasi. Interpretasi meliputi analisis hasil perhitungan dan membandingkannya dengan prinsip dasar dan hasil-hasil empiric untuk menentukan kualitas solusi numerik. 2. Berbagai Metode Dalam menyelesaikan data numerik diperlukan beberapa metode dan dari metode-metode tersebut nantinya kita dapat menggunakan sarana komputer untuk membantu menyelesaikan perhitungannya. Di sini akan dikemukakan 4 metode saja yang berhubungan dengan tugas akhir penulis. Metode yang akan penulis gunakan adalah : A. Metode Langsung Metode langsung ini artinya penyelesaian persoalan matematika diselesaikan dengan cara menggunakan alat bantu yang sudah bisa menyelesaikan persoalan tersebut. Metode langsung ini akan menggunakan bahasa pemrograman MATLAB. Bahasa pemrograman matlab sudah memiliki berbagai fasilitas untuk menyelesaikan persoalan-persoalan yang ada dan sering muncul. Jadi perintah yang dipakai adalah dengan perintah yang sudah disediakan oleh matlab. B. Metode Biasa Metode biasa ini maksudnya adalah bahwa persoalan matematika diselesaikan dengan metode matematika biasa, yang memiliki cara-cara yang sudah lazim digunakan. Dalam persoalan tugas nanti penulis memperoleh persoalan yang merupakan matriks. Jadi berkaitan dengan cara biasa ini nantinya penulis akan 3
menggunakan cara penyelesaian matematika operasi matriks, seperti penggunaan determinan dan lain-lain. C. Metode Gauss Seidel Metode Gauss Seidel adalah suatu cara penyelesaian dengan menggunakan iterasi. Kemudian dengan mengubah elemen matriks diagonalnya nol. Untuk memulai perhitungan biasanya akan menggunakan tebakan awal. D. Metode Cramer Metode adalah metode yang menggunakan dasar perhitungan dengan cara matriks juga, seperti mialnya matriks [Z][I]=[V] maka persamaannya dapat dinyatakan sebagai [ I] [ V] [ Z] =. 3. Matlab Dengan bantuan komputer, langkah-langkah metode numerik diformulasikan menjadi suatu program. Perkembangan teknologi yang antara lain mencakup bahasa pemrograman telah melalui beberapa tahap. Pada awalnya bersifat Low Level Language dengan diperkenalkannya bahasa assembly. Disusul perkembangan bahasa dengan tingkat Middle dan High Level Language seperti FORTRAN, C++, BASIC / Visual Basic, Pascal, COBOL dan lain-lain. Akhir-akhir ini bahasa script pemrograman dijadikan alternatif bagi praktisi karena kemudahannya dalam membuat suatu aplikasi program. Dalam membuat suatu program dapat dilakukan dengan cara yang sangat mudah dengan waktu yang relatif lebih singkat dibandingkan dengan menggunakan bahasa Middle dan High Level Language. Tulisan ini membahas tugas aplikasi dengan menggunakan bahasa pemrograman MATLAB. Program MATLAB ini dapat ditulis dengan menggunakan perintah yang sangat sederhana, namun dapat mencakup tuntutan untuk menyelesaikan persoalan menganalisis data. Sekarang ini MATLAB adalah salah satu bahasa pemrograman yang banyak digunakan. MATLAB mampu menangani perhitungan sederhana seperti penambahan, pengurangan, perkalian dan pembagian. MATLAB juga mampu menyelesaikan perhitungan rumit, yang meliputi bilangan kompleks, akar dan pangkat, logaritma dan fungi trigonometri. Seperti kalkulator yang dapat diprogram, MATLAB dapat digunakan untuk menyimpan dan mengambil data; dalam MATLAB juga dapat dibuat sekumpulan perintah untuk mengotomatisasi suatu persamaan yang rumit, dan masih banyak lagi kemampuan lain dari MATLAB. (Hanselman & Littlefield). Dalam lingkungan MATLAB, kita 4
dapat mengembangkan dan melaksanakan program atau naskah, yang berisi perintah MATLAB. Kita juga dapat melaksanakan perintah MATLAB, mengamati hasilnya, dan kemudian melaksanakan sebuah perintah MATLAB lainnya yang berinteraksi dengan data dalam memori, mengamati hasilnya. A. Contoh Program MATLAB Berikut ini adalah contoh program MATLAB dalam mencari akar-akar dengan metode Bisection. List Program Program M-File dengan nama file bf1.m function y=bf1(x) y=x^2-5*x+6; Program M-file dengan nama file Bisection.m 5
B. Jika file Bisection dijalankan di Common Window dihasilkan : C. Sedangkan hasil plot atau gambarnya sebagai beikut : 6
BAGIAN II TUGAS AKHIR 1. Soal Nomor 1 Penulis mendapat bagian tugas nomor 1. Soal nomor satu adalah Carilah kuat arus pada masing-masing cabang! I 2 I 3 I 1 R 1 2 Ω R 2 6 Ω R 3 3 Ω V 1 V 2 12 volt 8 volt 2. Penyelesaian Untuk memperoleh tiga buah persamaan tersebut, kita gunakan hukum tegangan Kirchoff pada tiap lup arus. Gambar 2 Untuk lup I2 seperti yang ditunjukkan pada gambar 2, jumlah dari jatuh tegangan sekitar lup itu sama dengan tegangan sumber V1. Persamaannya adalah.... I. R + ( I + I ). R = V (1.1) 2 1 2 3 2 1 7
Gambar 3 Untuk lup I3 seperti yang ditunjukkan pada gambar 3, jumlah dari jatuh tegangan sekitar lup itu sama dengan tegangan sumber V2. Persamaannya adalah.... I. R + ( I + I ). R = V (1.2) 3 3 3 2 2 2 Untuk mendapatkan persamaan ketiga menggunakan hukum Kirchoff untuk tegangan, persamaannya adalah. I1+ I2 + I3 = 0 (1.3) Dari persamaan (1.1), (1.2) dan (1.3) kita susun kembali menjadi : 0 + ( R1+ R2). I2+ R2. I3 = V1 0 + R. I + ( R + R ). I = V I + I + I = 0 1 2 2 2 2 3 3 2 0( R1+ R2) + R2 A = 0 R2 ( R2 + R3) 1 1 1 3 (1.4) Dari tiga persamaan (1.4) kita dapat menuliskan persamaan matriknya. 3. Matrik A : (1.5) B I1 I = 2 I 3 V1 C = V 2 0 Jika ditulis dalam bentuk operasi matrik adalah : 0( R1+ R2) + R2 I1 V1 0 R ( R + R ) I = V 2 2 3 2 2 1 1 1 I 3 0 (1.6) (1.7) (1.8) 8
atau secara umum persamaan (1.8) dapat ditulis : [ A][ B] = [ C] (1.9) Sehingga dari persamaan (1.9) besar kuat arus dapat dinyatakan sebagai : [ B] [ A] [ C] Menurut data pada soal bahwa : R = 2 Ω, R = 6 Ω, R = 3 Ω 1 2 3 dan V = 12 volt, V = 8 volt 1 2 = (1.10) Sehingga matriksnya dapat ditulis sebagai berikut : 0 8 6 A = 0 6 9 1 1 1 (1.11) B I1 I = 2 I 3 12 C = 8 0 (1.12) (1.13) 4. Matriks-matriks ini jika diselesaikan dengan menggunakan MATLAB, maka flowchart dan list programnya adalah sebagai berikut : A. Metode Langsung : a. Algoritma Metode Langsung : 1.) Program dimulai 2.) Sebagai persiapan membersihkan layar command window dan menghapus isi variabel sebelumnya yang tidak berfungsi 3.) Menginput elemen matriks berordo 3x3 ke dalam variabel matriks A 4.) Menginput elemen matriks berordo 3x1 ke dalam variabel matriks C 5.) Menentukan variabel matriks B yang diisi dari hasil perhitungan matriks A dibagi matriks B (perintah ini khusus bahasa program matlab) 6.) Menampilkan hasil elemen matriks B 7.) Program selesai 9
b. Flowchart Metode Langsung : Mulai Hapus Layar Input matriks A, C (3 3) (3 1) B = A\C Hasil B (3 1) Selesai c. Metode ini diberi nama file aruslistrik1.m d. List Program 10
e. Hasil Output B. Metode Biasa a. Algoritma Metode Biasa : 1.) Program dimulai 2.) Sebagai persiapan membersihkan layar command window dan menghapus isi variabel sebelumnya yang tidak berfungsi 3.) Menginput elemen matriks berordo 3x3 ke dalam variabel matriks Z 4.) Menginput elemen matriks berordo 3x1 ke dalam variabel matriks C 5.) Mengatur agar variabel angka hanya 5 digit atau dengan format eksponen 6.) Menentukan variabel matriks Iakhir yang diisi dari hasil perhitungan invers matriks Z dikali matriks C 7.) Menampilkan hasil elemen matriks Iakhir 8.) Program selesai 11
b. Flowchart Metode Biasa : Mulai Hapus Layar & variabel Input matriks Z, C (3 3) (3 1) short g Invers Z C Hasil Inv Z C Selesai c. Metode ini diberi nama aruslistrik2.m d. List Program 12
13
e. Hasil Output C. Metode Gauss Seidel a. Algoritma Metode Gauss Seidel 1.) Program dimulai 2.) Sebagai persiapan membersihkan layar command window dan menghapus isi variabel sebelumnya yang tidak berfungsi 3.) Menentukan variabel epsilon dengan nilai 0,0001 dan variabel x dengan nilai 0 4.) Menginput elemen-elemen matriks berordo 3x3 ke dalam variabel matriks A 5.) Menginput elemen matriks berordo 3x1 ke dalam variabel matriks C 6.) Menentukan variabel I2, It3 dan iter serta memberikan masing-masing nilai awal 0 7.) Menentukan implikasi dengan syarat x lebih besar atau sama dengan epsilon 8.) Jika Implikasi nomor 7 benar langkah berikutnya mengerjakan nomor 9 9.) Menghitung proses dengan rumusan iter = iter + 1 ; I1=(C1-A(1,2).I2- (1,3).It3)/A(1,1) ; I2=(C2-A(2,1).I1-A(2,3).It3)/A(2,2) ; I3=(C3- A(3,1).I1-(3,2).I2)/A(3,3) ; Iakhir1 = mutlak dari I1; Iakhir2 = mutlak dari I2; Iakhir3 = mutlak dari I3; x = mutlak dari I3-It3; dan It3 = I3; 14
10.) Menampilkan hasil iter; Iakhir1; Iakhir2; dan Iakhir3 11.) Jika implikasi salah program selesai dan jika implikasi benar mengulangi proses nomor 9 b. Flowchart Metode Gauss Seidel : Mulai Hapus Layar & variabel epsilon = 0.0001; x = 1 A(1,1) = -1; A(1,2) = 1 ; A(1,3) = 1 ; A(2,1) = 0 ; A(2,2) = 4 ; A(2,3) = 3 ; A(3,1) = 0 ; A(3,2) = 6 ; A(3,3) = 9 ; C1 = 0 ; C2 = 6 ; C3 = 8 ; I2 = 0, It3 = 0, iter = 0 x >= epsilon False Selesai True iter = iter + 1 ; I1=(C1-A(1,2).I2-A(1,3).It3)/A(1,1) ; I2=(C2-A(2,1).I1-A(2,3).It3)/A(2,2) ; I3=(C3-A(3,1).I1-A(3,2).I2)/A(3,3) ; Iakhir1 = mutlak dari I1; Iakhir2 = mutlak dari I2; Iakhir3 = mutlak dari I3; x = mutlak dari I3-It3; It3 = I3; iter; Iakhir1; Iakhir2; Iakhir3 c. Metode ini diberi nama aruslistrik3.m 15
d. List Program 16
e. Hasil Output 17
D. Metode Cramer a. Algoritma Metode Cramer 1.) Program dimulai 2.) Sebagai persiapan membersihkan layar command window dan menghapus isi variabel sebelumnya yang tidak berfungsi 3.) Menginput elemen-elemen matriks berordo 3x3 ke dalam variabel matriks Z 4.) Menginput elemen matriks berordo 3x1 ke dalam variabel matriks C 5.) Mengatur agar variabel angka hanya 5 digit atau dengan format eksponen 6.) Menginput elemen-elemen matriks berordo 3x3 ke dalam variabel matriks A1 dengan elemen samadengan elemen Z kecuali A1(1,1) = C1, elemen A1(2,1) = C2 dan elemen A1(3,1) = C3 7.) Menginput elemen-elemen matriks berordo 3x3 ke dalam variabel matriks A2 dengan elemen samadengan elemen Z kecuali A3(1,3) = C1, elemen A3(2,3) = C2 dan elemen A3(3,3) = C3 8.) Menginput elemen-elemen matriks berordo 3x3 ke dalam variabel matriks A3 dengan elemen samadengan elemen Z kecuali A3(1,1) = C1, elemen A1(2,1) = C2 dan elemen A1(3,1) = C3 9.) Menentukan variabel matriks B1 dengan nilai determinan dari A1 dibagi determinan Z 10.) Menentukan variabel matriks B2 dengan nilai determinan dari A2 dibagi determinan Z 11.) Menentukan variabel matriks B3 dengan nilai determinan dari A3 dibagi determinan Z 12.) Memasukkan nilai nilai mutlak dari B1, B2 dan B3 masing-masing ke dalam varibel Ba1, Ba2 dan Ba3 13.) Menampilkan hasil Ba1, Ba2 dan Ba3 14.) Program selesai 18
b. Flowchart Metode Cramer : Mulai Hapus Layar & variabel Z(1,1) = -1; Z(1,2) = 1 ; Z(1,3) = 1 ; Z(2,1) = 0 ; Z(2,2) = 4 ; Z(2,3) = 3 ; Z(3,1) = 0 ; Z(3,2) = 6 ; Z(3,3) = 9 ; C1 = 0 ; C2 = 6 ; C3 = 8 short g Ba1 adalah mutlak dari B1 ; Ba2 adalah mutlak dari B2 ; Ba3 adalah mutlak dari B3 ; A1(1,1) = C1; A1(1,2) = 1; A1(1,3) = 1; A1(2,1) = C2; A1(2,2) = 4; A1(2,3) = 3; A1(3,1) = C3; A1(3,2) = 6; A1(3,3) = 9; Ba1 ; Ba2; Ba3 Selesai A2(1,1) = -1; A2(1,2) = C1; A2(1,3) = 1; A2(2,1) = 0; A2(2,2) = C2; A2(2,3) = 3; A2(3,1) = 0; A2(3,2) = C3; A2(3,3) = 9; A3(1,1) = -1; A3(1,2) = 1; A3(1,3) = C1; A3(2,1) = 0; A3(2,2) = 4; A3(2,3) = C2; A3(3,1) = 0; A3(3,2) = 6; A3(3,3) = C3; B1 adalah determinan A1 dibagi determinan Z ; B2 adalah determinan A2 dibagi determinan Z ; B3 adalah determinan A3 dibagi determinan Z ; 19
c. Metode ini diberi nama aruslistrik4.m d. List Program 20
21
e. Hasil Output 5. Deskripsi Penulisan Variabel dan Perintah yang digunakan dalam Program clc : menghapus layar clear : menghapus variabel yang aktif sebelumnya Tsuhu : Membuat variabel suhu berbentuk matriks, kemudian diisi dengan data Ckapasitas : Membuat variabel kapasitas berbentuk matriks, kemudian diisi dengan data p : menuliskan variabel polyfit xi : menuliskan variabel suhu ke dalam sumbu x z : menuliskan variabel kapasitas ke dalam sumbu y plot : perintah MATLAB untuk menggambar grafik hubungan kapasitas terhadap suhu grid on : perintah MATLAB untuk mengaktifkan grid (garis-garis koordinat) syms T : perintah MATLAB utnuk mendefinisikan penulisan fungsi simbol Tsuhux : menuliskan variabel suhu yang akan di cari nilai kapasitasnya Cy : mendefinisikan variabel fungsi kapasitas Disp : perintah MATLAB untuk menampilkan judul regresi C : menuliskan variabel fungsi yang diperoleh(baru terbentuk) 22
BAGIAN III PENUTUP Penulis ingin mengucapkan terima kasih sebesar-besarnya kepada pembimbing yaitu Bapak Dr. Kebamoto. Tugas ini telah memberikan wawasan yang lebih berarti karena dengan mengerjakan tugas ini penulis merasa banyak terbantu sehingga dapat mengenali berbagai perintah program MATLAB yang ternyata begitu banyaknya perintah-perintah yang lebih bermanfaat dan aplikatif dibandingkan perintah-perintah program yang penulis kenal sebelumnya. Mudah-mudahan pada masa yang akan datang penulis dapat memanfaatkan untuk kepentingan pengajaran. Semoga tugas ini juga dapat bermanfaat dan dapat dimanfaatkan sebagai sarana belajar untuk penulis pribadi khususnya dan untuk rekan-rekan sesama mahasiswa Departemen Fisika UI pada umumnya. Jika dalam tulisan program sederhana ini masih banyak terdapat kekurangan maka penulis mengharapkan saran dan kritik yang sifatnya membangun untuk peningkatan kemampuan penulis dalam mengenal dan menggunakan program MATLAB. Referensi : 1. Cekmas Cekdin, Teori dan Contoh Soal Teknik Elektro, Andi Yogyakarta, 2005 2. Duane Hanselman & Bruce Littlefield, MATLAB Bahasa Komputasi Teknis, Andi Yogyakarta, 2000 3. http://www.google.com 23