11 STATISTIK NON PARAMETRIK (1) Debrina Puspita Andriani Teknik Industri Universitas Brawijaya e-mail : debrina@ub.ac.id Blog : http://debrina.lecture.ub.ac.id/
2 Outline
Metode Statistik : Parametrik vs Non Parametrik 3 Uji Statistik Parametrik Suatu uji yang modelnya menetapkan adanya syarat-syarat tertentu (asumsi-asumsi) dari sebaran (distribusi) data populasinya. Banyak digunakan untuk menganalisis data interval dan rasio Biasanya datanya besar : > 30 Uji Statistik Non parametrik Cabang ilmu statistik yang mempelajari prosedur-prosedur inferensial dengan kesahihan yang tidak bergantung kepada asumsi-asumsi yang kaku tapi cukup pada asumsi yang umum. Asumsi-asumsi yang kaku, misal: syarat kenormalan suatu data, ragam yang sama, dll.
Metode Statistik : Parametrik vs Non Parametrik 4 Parametrik menuntut ukuran ukuran tingkat taraf tinggi Ukuran taraf / tingkat tinggi adalah sesuatu yang menghasilkan ukuranukuran yang digunakan untuk menunjukkan arti penting dari perbedaan yang terjadi. Misal: Ukuran berat (kg) Perbedaan (0-485 kg) = perbedaan (485-980 kg) Non Parametrik Terjadi ukuran ordinal (bukan taraf tinggi) Misal: Preferensi konsumen atas 5 jenis barang (1,2,3,4,5) 3 memiliki preferensi > 2, tapi perbedaannya belum tentu 1 Tingkatan eksekutif 4 manager (1,2,3,4) Pengujian dalam ukuran ordinal dengan cara memberi rank. Contoh : Ukuran berat : 3,4 1,8 5,8 Rank : 2 1 3
Metode Statistik : Parametrik vs Non Parametrik 5
Metode Statistik : Langkah distribusi data diketahui Ya Tidak Lihat Jenis Distribusinya Non Parametrik 6 Langkah Pemilihan data berdistribusi normal Ya Tidak Parametrik Non Parametrik Ya Parametrik Metode Statistik Sampel random Tidak Non parametrik Varians kelompok sama Ya Tidak Lihat jenis distribusinya Non parametrik Jenis skala pengukuran data Interval - Rasio Nominal - Ordinal Parametrik Non parametrik
Metode Statistik : Langkah Langkah Pemilihan 7
Statistik Non Parametrik 8 Kelebihan Kekurangan 1. Asumsi yang digunakan minimum sehingga mengurangi kesalahan penggunaan 2. Perhitungan dapat dilakukan dengan cepat dan mudah 3. Konsep dan metode nonparametrik mudah dipahami bahkan oleh seseorang dengan kemampuan matematik yang minim 4. Dapat diterapkan pada skala peubah kualitatif (nominal dan ordinal) 5. Distribusi data tidak harus normal 1. Bila digunakan pada data yang dapat diuji menggunakan statistika parametrik maka hasil pengujian menggunakan statistik nonparametrik menyebabkan pemborosan informasi 2. Pekerjaan hitung-menghitung (aritmetik) karena memerlukan ketelitian terkadang menjemukan
9 Statistik Non Parametrik Sampel ukuran kecil / tidak melibatkan parameter populasi Data yang digunakan : data ordinal atau nominal Bentuk distribusi populasi dan tempat pengambilan sampel tidak diketahui menyebar secara normal Ingin menyelesaikan masalah statistik dengan cepat Bila asumsi-asumsi yang diperlukan pada suatu prosedur pengujian parametrik tidak terpenuhi Bila penghitungan harus dilakukan secara manual Kapan digunakan?
Statistik Non Parametrik : Pengujian Hipotesis 10 Langkah langkah pengujian hipotesis: 1. Menentukan formulasi hipotesis 2. Menentukan taraf nyata dan nilai tabel 3. Menentukan kriteria pengujian 4. Menentukan nilai uji statistik 5. Membuat kesimpulan
Statistik Non Parametrik : Pengujian Hipotesis 11
Uji Tanda (Sign Test) Statistik Non Parametrik 12
Uji Tanda (Sign Test) 13 Fungsi pengujian: Untuk menguji perbedaan ranking (median selisih skor/ ranking) dua buah populasi berdasarkan ranking (median selisih skor/ranking) dua sampel berpasangan Didasarkan atas tanda-tanda positif atau negatif dari perbedaan antara pasangan pengamatan.
Uji Tanda (Sign Test) 14 Menentukan formulasi hipotesis H 0 : Probabilitas terjadinya tanda + dan - adalah sama H 1 : Probabilitas terjadinya tanda + dan - adalah berbeda Menentukan taraf nyata dan nilai tabel Pengujian bisa satu sisi atau dua sisi Menentukan kriteria pengujian Pengujian satu sisi H 0 : diterima à α probabilitas hasil sampel H 1 : diterima à α > probabilitas hasil sampel Pengujian dua sisi H 0 : diterima à α 2 KALI probabilitas hasil sampel H 1 : diterima à α > 2 KALI probabilitas hasil sampel Menentukan nilai uji statistik Lihat tabel probabilitas binomial dengan n,r tertentu dan p = 0,5 r = jumlah tanda yang terkecil Membuat kesimpulan Menyimpulkan H 0 diterima ataukah tidak
Contoh Soal 1 15 Sejumlah 10 pasangan suami istri yang baru menikah dipilih secara acak dan ditanyakan secara terpisah pada masing-masing istri dan suami, berapa jumlah anak yang mereka inginkan. Informasi yang didapat adalah sebagai berikut: Pasangan 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Istri 3 2 1 0 0 1 2 2 2 0 Suami 2 3 2 2 0 2 1 3 1 2 Ujilah apakah kita dapat mengatakan bahwa wanita (istri) menginginkan anak lebih sedikit dibandingkan pria (suami)? Taraf nyata uji 0,01
Solusi 1 16 H 0 : Tidak ada perbedaan jumlah anak yang diinginkan antara suami dan istri H 1 : wanita (istri) menginginkan anak lebih sedikit dibandingkan pria (suami) Taraf nyata uji : 0,01 Kriteria pengujian : (pengujian satu sisi) H 0 diterima Jika 0,01 probabilitas hasil sampel H 1 diterima Jika 0,01 > probabilitas hasil sampel
Solusi 1 17 Pasangan 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Istri 3 2 1 0 0 1 2 2 2 0 Suami Selisih 2 + 3-2 - 2-0 0 2-1 + 3-1 + 2 - r = jumlah tanda terkecil = 3 Distribusi Binomial dengan n = 9 dan p = 0,5 Menggunakan tabel Binomial, maka akan diperoleh: P(r 3) = 0,254 Keputusan, karena 0,01 0,254, maka terima H 0. Tidak ada perbedaan jumlah anak yang diinginkan antara suami dan istri
Membaca Tabel Distribusi Binomial 18 r = jumlah tanda terkecil = 3 Distribusi Binomial dengan n = 9 dan p = 0,5 Menggunakan tabel Binomial, maka akan diperoleh: P(r 3) = 0,2539 = 0,254
Contoh Soal 2 19 Berikut data mutu kerja karyawan sebelum dan sesudah kenaikan gaji. Uji dengan taraf nyata α = 5%, apakah ada peningkatan mutu karyawan setelah gaji naik? Pegawai Sebelum kenaikan gaji (X 1 ) Sesudah kenaikan gaji (X 2 ) Selisih (X 2 X 1 ) 1 71 72 + 2 91 88-3 86 82-4 60 67 + 5 83 88 + 6 70 67-7 72 75 + 8 65 75 + 9 80 90 + 10 72 76 +
Solusi 2 20 Dari tabel diketahui bahwa tanda (+) ada 7, & tanda (-) ada 3 Jawab : H 0 : Tidak ada peningkatan mutu kerja setelah kenaikan gaji H 1 : Ada peningkatan mutu kerja setelah kenaikan gaji Taraf nyata uji : 0,05 Kriteria pengujian : (pengujian satu sisi) H 0 diterima Jika 0,05 probabilitas hasil sampel H 1 diterima Jika 0,05 > probabilitas hasil sampel r = jumlah tanda terkecil = 3, N = 10, dan p = 0,5 Probabilitas hasil sampel: Menggunakan tabel Binomial, maka akan diperoleh: P(r 3) = 0,1719 0,05 < 0.1719 à H 0 diterima (tidak ada peningkatan mutu kerja setelah kenaikan gaji)
Uji Tanda Dengan Data Sampel Besar 21 Untuk data besar à N > 25 Dengan: X = jumlah data terbesar bertanda +/- N = total jumlah data bertanda + dan -
Contoh Soal 3 Dilakukan sebuah penelitian untuk mengetahui tingkat pengetahuan budidaya kopi sebelum dan sesudah diberi penyuluhan. Data hasil penelitian ditunjukkan pada tabel berikut. Dengan α = 0,01, lakukan pengujian untuk mengetahui ada tidaknya pengaruh penyuluhan terhadap tingkat pengetahuan budidaya kopi. 22
Solusi 3 23
Solusi 3 24 (lihat tabel) Ada pengaruh penyuluhan terhadap tingkat pengetahuan budidaya kopi
Membaca Tabel Distribusi Normal (Z) 25 Z = 2,58 maka p = 1 0,9951 = 0,0049
Uji Urutan Bertanda Wilcoxon Statistik Non Parametrik 26
Uji Urutan Bertanda Wilcoxon (Signed Rank Test) 27 Sebagai penyempurnaan uji tanda Diperkenalkan pertama kali oleh (Frank Wilcoxon) Selain memperhatikan + dan -, uji ini juga memperhatikan besarnya beda/selisih
Uji Urutan Bertanda Wilcoxon Menentukan formulasi hipotesis H 0 : Tidak terdapat perbedaan dari perlakuan 1 dan 2. H 1 : Terdapat perbedaan antara perlakuan 1 dan 2 Menentukan taraf nyata dan nilai tabel Pengujian bisa satu sisi atau dua sisi 28 Menentukan kriteria pengujian H 0 : Diterima jika T α < T 0 H 1 : Diterima jika T α > T 0 Nilai T diperoleh dari Tabel urutan bertanda wilcoxon => T α Menentukan nilai uji statistik 1. Tentukan tanda beda/selisih dan besarnya 2. Urutkan bedanya (tanpa memperhatikan tanda) Ranking 1 diberikan pada selisih terkecil, urutan 2 pada selisih terkecil berikutnya. Bila 2/lebih selisih nilai mutlaknya sama, maka masing-masing diberi rangking sama dengan rata-rata urutan. Contoh : selisih ke 5 dan ke 6 terkecil mempunyai nilai selisih yang sama, maka masing - masing mendapat rangking 5,5 yang diperoleh dari (5 + 6)/2 3. Pisahkan tanda selisih positif dan negatif 4. Jumlahkan semua angka positif dan negatif 5. Nilai terkecil dari nilai absolut hasil penjumlahan selisih adalah nilai T 0 Membuat kesimpulan Menyimpulkan H 0 diterima ataukah tidak
Contoh Soal 1 29 Berikut data mutu kerja karyawan sebelum dan sesudah kenaikan gaji. Uji dengan taraf nyata α = 5%, apakah ada peningkatan mutu karyawan setelah gaji naik? Pegawai Sebelum kenaikan gaji (X 1 ) Sesudah kenaikan gaji (X 2 ) 1 71 72 2 91 88 3 86 82 4 60 67 5 83 88 6 70 67 7 72 75 8 65 75 9 80 90 10 72 76 Dari Soal Uji Tanda à Contoh Soal 2
Solusi 1 30 H 0 : Tidak ada peningkatan mutu kerja setelah kenaikan gaji H 1 : Ada peningkatan mutu kerja setelah kenaikan gaji Taraf nyata uji : 0,05 Kriteria pengujian : (pengujian satu arah) H 0 : Diterima jika T < T 0 H 1 : Diterima jika T > T 0 Dengan n=10 dan α = 0,05 berdasarkan Tabel uji urutan bertanda wilcoxon (uji satu arah) => T 0.05 = 10
Tabel Uji Urutan Bertanda Wilcoxon 31
Solusi 1 32 Pegawai ke Sebelum kenaikan gaji Sesudah kenaikan gaji Selisih Urutan Ranking Tanda Ranking Tanda Ranking (X) (Y) (Y-X) (+) (-) 1 71 72 1 1 1 +1 2 91 88-3 2 3-3 3 86 82-4 5 5.5-5.5 4 60 67 7 8 8 +8 5 83 88 5 7 7 +7 6 70 67-3 3 3-3 7 72 75 3 4 3 +3 8 65 75 10 9 9.5 + 9.5 9 80 90 10 10 9.5 + 9.5 10 72 76 4 6 5.5 + 5.5 Jumlah + 43.5-11.5 Kesimpulan Karena T 0.05 = 10 < T 0 = 11,5, maka: H 0 diterima yang artinya bahwa tidak ada perbedaan nyata pada mutu kerja pegawai setelah kenaikan gaji Dipilih sebagai (absolut terkecil) T 0 = 11,5
Contoh Soal 2 33 Sebuah alat pencukur rambut dapat digunakan sebelum charged lamanya (jam) adalah : 1,5; 2,2; 0,9; 1,3; 2,0; 1,6; 1,8; 1,5; 2,0; 1,2; 1,7. Ujilah hipotesis dengan α = 5% bahwa alat tersebut rata - rata dapat digunakan 1,8 jam sebelum charged.
Solusi 2 34 1. H 0 : m = 1,8 H 1 : m 1,8 2. α = 0,05 3. Kriteria pengujian H 0 : Diterima jika T < T 0 H 0 : Ditolak jika T > T 0 Untuk n = 10 (dengan menghilangkan satu data yg selisihnya nol) dan α = 0,05 maka dari Tabel nilai kritis uji urutan tanda (uji dua arah) =>T 0.05 = 8
Tabel Uji Urutan Bertanda Wilcoxon 35
Solusi 2 36 Perhitungan : setiap pengamatan dikurangkan dengan 1,8, dan ditentukan peringkatnya, tanpa memperhatikan tanda minus atau plus n ke Selisih Tanda Rangking Tanda Rangking (+) (-) 1-0,3 5 5,5-5,5 2 0,4 7 7 7 3-0,9 10 10-10 4-0,5 8 8-8 5 0,2 4 3 3 6-0,2 3 3-3 7 0 Urutan Ranking 8-0,3 6 5,5-5,5 9 0,2 2 3 3 10-0,6 9 9-9 11-0,1 1 1-1 Jumlah 13-42 Kesimpulan: Karena T 0.05 = 8 < T 0 = 13, maka terima H 0 artinya bahwa alat pencukur rambut tersebut rata - rata dapat digunakan 1,8 jam sebelum charged. T 0 = 13
37 Uji Urutan Bertanda Wilcoxon untuk 2 sampel
Uji Urutan Bertanda Wilcoxon untuk 2 sampel Untuk 2 sampel yang berbeda 38
Contoh Soal 39 Data kedua sampel digabungkan terus diurutkan
Contoh Soal 40
Contoh Soal 41
42 Uji Urutan Bertanda Wilcoxon untuk data besar
Uji Urutan Bertanda Wilcoxon Untuk data besar 43 Menurut Walpole & Meyer Bila n > 15, distribusi sampel T mendekati distribusi normal
Contoh Soal 44
45
46 Keputusan Pengujian: 1. Dari tabel perhitungan diperoleh N = 26 dan T = 53 2. Untuk mencari harga z dari N = 26 dan T = 53, gunakan perhitungan memakai rumus
Untuk z = 3,11, harga p = 0,0009 Karena nilai tersebut diperoleh dari tabel distribusi normal untuk pengujian satu sisi, sementara belum dapat diduga kelompok sampel mana yang memberikan skor yang lebih besar, maka 47
Membaca tabel distribusi normal (z) 48 Z = 3,11 maka p = 1 0,99906 = 0,00094 = 0,0009