TEORI HIMPUNAN LOGIKA MATEMATIKA

TEORI HIMPUNN SMTS 1101 / 3SKS LOGIK MTEMTIK Disusun Oleh : Dra. Noeryanti, M.Si 87

Dra. Noeryanti, M.Si DFTR ISI Cover pokok bahasan... 87 Daftar isi... 88 Judul Pokok Bahasan... 89 4.1. Pengantar... 89 4.2. Kompetensi... 89 4.3. Uraian Materi... 89 4.3.1 Cara Menulis Himpunan... 90 4.3.2 Maam-maam Himpunan... 91 4.3.3. Operasi-operasi Himpunan... 95 a. Gabungan... 95 b. Irisan... 96. Komplemen... 97 d. Selisih... 98 e. Selisih simetris... 98 4.3.4 Hukum-hukum ljabar Himpunan... 98 4.3.5. Pergandaan Himpunan... 100 4.3.6 Keluarga Himpunan... 102 4.3.7. Partisi (penggolongan)... 103 Rangkuman... 104 Soal-penyelesaian... 107 Soal-soal latihan... 113 88

TEORI HIMPUNN TEORI HIMPUNN 4.1 Pengantar Setelah mahasiswa mempelajari tentang materi pokok proposisi di bab sebelumnya, diharapkan mampu menggunakanya dalam pembahasan di modul ini. Disisni akan membahas tentang konsep-konsep dasar teori himpunan yang sering digunakan di bidang lain. 4.2 Kompetensi Setelah mempelajari materi pokok bahasan disini, mahasiswa diharapkan: a. Mampu menggunakan konsep-konsep dasar teori himpunan seara benar. b. Mampu melakukan hitungan-hitungan dalam operasi-operasi himpunan antara lain gabungan, irisan, komplemen, selisih, pergandaan himpunan, dan partisi.. Terampil dalam mengerjakan soal-soal kuis / latihan. 4.3 Uraian Materi Dalam upaya untuk melakukan pengamatan, pengumpulan, penghimpunan, atau pemisahan (mengklasifikasikan) dari suatu obyek-obyek menurut sifatnya, perlu adanya pengertian tentang himpunan. Menghimpun adalah suatu kegiatan yang berhubungan dengan berbagai obyek dan mempunyai suatu sifat yang dimiliki bersama. Jadi himpunan adalah kumpulan dari obyek-obyek yang mempunyai sifat tertentu dan didefinisikan seara jelas. Kumpulan ini dapat berupa daftar, koleksi atau kelas. Sedangkan obyek-obyek dalam kumpulan dapat berupa benda, orang, bilangan-bilangan atau huruf. Obyek-obyek ini disebut anggota, unsur atau elemen dari himpunan tersebut. Karena obyek-obyek dalam himpunan telah didefisnisikan seara jelas, sehingga dapat dibedakan obyek mana yang menjadi anggota dan obyek mana yang bukan menjadi anggota. Contoh (4.1): 1. Himpuanan semua huruf hidup dari abjad, yaitu a, i, u, e, o 2. Himpuanan semua bilangan riel x yang memenuhi x 2 3x 4= 0 89

Dra. Noeryanti, M.Si 3. Himpunan semua bilangan genap, yaitu 0, ± 2, ± 6, ± 8,..... 4. Himpunan semua bilangan riel x yang memenuhi 2 x + 3= 0 Himpunan-himpunan yang akan dibahas disini kita beri simbol dengan huruf besar dari abjad :, B, C,...,K, L, M,.,X,Y, Z. Sedangkan anggota-anggota dari himpunanya ditulis dengan huruf keil a, b,.. x, y,.. dan seterusnya. Jika x anggota dari himpunan, maka dinyatakan x. Dan jika x bukan anggota dari himpunan, maka ditulis x. 4.3.1. Cara Penulisan Himpunan Untuk menuliskan atau menyatakan himpunan seperti pada ontoh-ontoh di atas diraskan sangat bertele-tele tidak singkat. Oleh karena itu diperlukan ara menuliskan seara matematis, singkat dan jelas. Di dalam konsep teori himpunan, ada tiga ara dalam penulisan himpunan antara lain: 1. Dengan ara mendaftar setiap anggota-anggotanya, diantara dua tanda kurung kurawal. Contoh (4.2): a. = { a, b,, x, k } artinya merupakan suatu himpunan dengan anggota-anggotanya adalah a, b,, x, dan k. b. B = {Niken, isya, ji} artinya B merupakan suatu himpunan dengan anggota-anggotanya adalah Niken, isya dan ji.. C adalah himpunan semua bilangan x yang memenuhi x 2 3x 4 = 0 Jadi C = {-1, 4} 2. Dengan ara menyebut sifat-sifat yang dimiliki setiap anggotanya. Contoh (4.3): D = himpunan bilangan riil. E = himpunan orang-orang asing. 3. Dengan menyatakan syarat keanggotaannya. 90

TEORI HIMPUNN Contoh (4.4): F = {x / x adalah bilangan riil} G = {x / x adalah orang asing} 4.3.2. Maam-maam Himpunan. Berdasarkan pengamatan dengan memperhatikan jumlah anggotanya, himpunan terbagi menjadi beberapa maam : 1. Himpunan kosong (himpunan hampa) Himpunan kosong adalah himpunan yang tidak mempunyai anggota. Sering dinyatakan sebagai atau { }. Contoh (4.5) : Himpunan semua bilangan riil x yang memenuhi tau 2 x + 3= 0 H = {x/x= bilanganriil,x + 3= 0} ditulis H = 2. Himpunan Semesta 2 Himpunan semesta adalah himpunan yang anggota-anggotanya terdiri atas semua obyek yang sedang dibiarakan. Biasanya ditulis S atau U (singkatan dari Universal). Contoh (4.6): S = { 5, 7, -4, 9}, = {7, 9} Dikatakan S merupakan semesta dari himpunan. 3. Himpunan berhingga dan himpunan tak berhingga (infinit). Himpunan dikatakan berhingga jika ia mempunyai anggota-anggota yang banyaknya berhingga. Sedangkan himpunan dikatakan tak berhingga jika himpunan tersebut mempunyai anggota-anggota yang banyaknya tak berhingga. 91

Dra. Noeryanti, M.Si Contoh (4.7): a. H = {x / x = himpunan bilangan-bilangan bulat positif } = {1, 2, 3, } H disebut himpunan tak berhingga. b. K = { ni, Joko, Tuti} K disebut himpunan berhingga. 4. Himpunan Bagian (Subset). Himpunan dikatakan himpunan bagian (subset) dari himpunan B ditulis B, jika setiap anggota merupakan anggota dari B. Dinyatakan dengan simbol : B jika dan hanya jika ("x) x fi x B. Contoh (4.8) : Misal maka x = { /x = bilangan bulat positif } dan B x B = { /x = bilangan riil} Sebab setiap elemen dalam merupakan elemen dalam B, tetapi tidak sebaliknya. Teorema (4.1): Himpunan kosong merupakan himpunan bagian setiap himpunan atau ditulis sebagai H. ( dimana H adalah sembarang himpunan) rtinya : Bukti : [Teorema 4.1] x x φ x H. Implikasi ini bernilai benar. Dimana anteseden salah dan konsekuennya benar. kan ditunjukkan : H. menggunakan Redutio d bsurdum ndaikan himpunan bukan himpunan bagian dari H, ditulis H atau H Diturunkan menjadi: H x x x H x x x H 92

TEORI HIMPUNN x x.. x H x x.. x H ( mustahil ) Karena himpunan kosong tidak mempunyai anggota, maka kalimat terakhir ini bernilai salah. Pengandaian harus diingkar Yaitu himpunan kosong merupakan himpunan bagian dari setiap himpunan dinyatakan H. Jadi terbukti bahwa himpunan kosong merupakan himpunan bagian setiap himpunan. Contoh (4.9): Misal : = {1, 2, 3} dan B = {1, 2, 3, 4, 7, 9} Himpunan merupakan himpunan bagian dari himunan B 5. Kesamaan Himpunan. Dua himpunan dan B dikatakan sama, ditulis = B, jika dan hanya jika B dan B. Dinyatakan dengan simbol = B jika dan hanya jika B dan B = B «( x, x x B).. ( x, x B x ) kibat adanya definisi kesamaan dua himpunan ini, maka a). B apabila merupakan himpunan bagian murni dari B. artiya himpunan bagian dari b tetapi B b). B apabila merupakan himpunan bagian dari B. U U B =B B, B =B 93

Dra. Noeryanti, M.Si Contoh (4.10) : Misalkan = {a, b,, d}, B = {, b, a, d}, dan C={ a,b, b, a,, d}, B dan C adalah himpunan himpunan yang sama Yaitu = B = C 6. Himpunan Berpotongan. Dua himpunan dan B dikatakan berpotongan ditulis B jika dan hanya jika ada anggota yang menjadi anggota B. Contoh (4.11): Misalkan himpunan = {3, 4, 5, 6} dan B = {2, 5, 8} dan B adalah dua himpunan yang saling berpotongan. 7. Himpunan Lepas Dua himpunan dan B dikatakan lepas ditulis // B jika dan hanya jika kedua himpunan tersebut tidak kosong dan tidak mempunyai anggota yang sama. Contoh (4.12): Misalnya x = { /x = bilangan bulat positif} x B = { /x = bilangan bulat negatif} Maka dan B merupakan dua himpunan yang saling lepas. Telah dikemukakan diatas bahwa anggota dari suatu himpunan itu dapat berupa obyek apa saja. Jadi dapat terjadi bahwa anggota suatu himpunan adalah himpunan. gar istilah yang digunakan tidak membingungkan, maka himpunan yang mempunyai anggota himpunan ini kita namakan Famili himpunan. Diberi notasi huruf besar latin:, B,C,D,... 94

TEORI HIMPUNN Contoh (4.13): a. Misalkan = {{2,5}, {3},{4,6}}, maka adalah suatu famili himpunan dengan anggota-anggotanya adalah {2,5}, {3}, dan {4,6} b. Pandang himpunan B = {1,3}, 2,{4,6,8},{5}, 7}. Himpunan B ini bukan suatu famili himpunan karena 2 dan 7 bukan himpunan. Contoh (4.13): Misalkan suatu himpunan. Famili semua himpunan bagian dari ditulis P(). Jika = {a, b,, d} tentukan P() Jawab: Himpunan-himpunan bagian dari adalah:, {a}, {b}, {}, {d}, {a,b}, {a,}, {a,d}, {b,}, {b,d}, {,d}, {a,b,}, {a,b,d}, {a,,d}, {b,,d}, {a,b,,d} ada 16 anggota Jadi P()= {, {a}, {b}, {}, {d},{a,b}, {a,}, {a,d}, {b,}, {b,d}, {,d},{a,b,}, {a,b,d}, Catatan: {a,,d}, {b,,d}, {a,b,,d}} Jika suatu himpunan dengan n-anggota, maka famili dari ditulis P() dengan jumlah anggotanya ada 2 n. Untuk ontoh (4.13), n = 4 sehingga P() = 2 n = 2 4 = 16 4.3.3. Operasi-Operasi Dalam Himpunan. 1. Gabungan ( Union ). Gabungan dua himpunan dan himpunan B ditulis B, adalah himpunan yang anggota-anggotanya terdiri atas anggota, atau anggota B, atau sekaligus kedua-keduanya. tau B didefinisikan sebagai : 95

Dra. Noeryanti, M.Si ( B) = {x / x.. x B} atau x ( B ) x x.. x B B B Diagram venn untuk B adalah suatu daerah yang diberi tanda Contoh (4.14): Misalkan = { a, b, } dan B = { b,, d, e } B = { a, b,, d, e } B = { a, b,, d, e } Kesimpulan B = B = { a, b,, d, e } = dan B B = B 2. Irisan ( Intersetion ) Irisan dua himpunan dan himpunan B ditulis B, adalah himpunan yang anggota-anggotanya terdiri atas anggota dan sekaligus anggota B. didefinikan sebagai: ( B) = {x / x.. x B}. atau x ( B ) «x x.. x B B B Diagram venn B digambarkan sebagai daerah yan diarsir (ditengah) B B B= B 96

TEORI HIMPUNN Contoh (4.15): Misalkan ={ a, b, }, B = { b,, d, e } dan C = {a,b,,e,f} B = { b, } B = { b, } B C = {b,, e} ( B) C = { b, } (B C) = { b, } Kesimpulan 1. = dan B B = B 2. B = B 3. ( B) C = (B C) 3. Komplemen. Komplemen dari himpunan ditulis atau l adalah himpunan yang anggota-anggotanya dalam semesta (S) yang bukan anggota. tau didefinisikan sebagai : = { x /x x S } atau x ( x) x S Contoh (4.16): Misalkan S = { a, b,, d, e, f, g, h } dan = { b, d, e, h } = { a,, f, g } 97

Dra. Noeryanti, M.Si 4. Selisih Dua Himpunan Selisih dua himpunan dan himpunan B ditulis B atau B adalah himpunan yang anggota-anggotanya terdiri atas anggota dan bukan anggota. tau B didefinikan sebagai: B = { x /x x B} = { x /x x B } B = B B Contoh (4.17): Misalkan = { a, b,, d, e } dan B = { b, d, e, g, h } B = { a, } B = { b, } Kesimpulan: umumnya: B B 5. Jumlah Dua Himpunan (Selisih Simetri) Jumlah dua himpunan dan himpunan B ditulis B adalah himpunan yang anggota-anggotanya terdiri atas anggota yang bukan anggota B dan anggota B yang bukan anggota. tau B didefinikan sebagai : B = {x / x ( B).. x (B )} atau B = {x/x ( B).. x (B )} B = ( B) ( B) Contoh (4.18): 98 B Misalkan = { a, b,, d, e } dan B = { b, d, e, f, g, h } B = { a, b,, d, e, f, g, h }

TEORI HIMPUNN B = { b, d, e } B = { a,, f, g, h } B = { a,, f, g, h } Kesimpulan B = B 4.3.4. Hukum-hukum ljabar Hipunan 1. Hukum Idempoten: a. = b. = 2. Hukum ssosiatif : a. ( B) C= (B C) 3. Hukum Komulatif: a. B = B b. ( B) C= (B C) b. B = B 4. Hukum Distributif : a. ( B) C = ( B) ( C) b. (B C) = ( B) ( C). ( B) C = ( C) (B C) d. (B C) = ( B) ( C) 5. Hukum identitas: a. = b. S = 6. Hukum identitas: a. S = S b. = 7. Hukum Komplemen: a. = S b. = 8. Hukum Komplemen: a. ( ) = b. 9. Hukum De Morgan: a. ( B) = B b. ( B) = B S = dan = S 99

Dra. Noeryanti, M.Si 4.3.5. Pergandaan Himpunan Seara intuitif, pasangan (x,y) dikatakan pasangan terurut, atau berurutan dengan x dikatakan urutan pertama dan y urutan kedua. Dua pasangan terurut (a, b) dan (, d) dikatakan sama jika hanya jika a = dan b = d. Dapat ditulis sebagai : (a, b) = (, d) «a =.. b = d. Dapat diperluas menjadi n pasangan terurut yaitu : (a1, a2,.., an) = (b1, b2,... bn) «ai = bi, untuk i = 1, 2,..n. Contoh (4.17): 1) (2, 5) dan (5, 2) merupakan dua pasangan yang berbeda. 2) Setiap titik-titik pada koordinat kartesius menyetakan pasangan terurut dari bilangan-bilangan riil. 3) Himpunan {3, 2, 7} bukan pasangan terurut, sebab 3, 2 dan 7 tidak mempunyai urutan. Definisi: [Pergandaan Kartesius] Jika dan B sembarang himpunan, maka perkalian dua himpuan dan B ditulis x B adalah himpunan dari semua pasangan terurut berbentuk (x,y) dengan x dan y B. Perkalian ini juga disebut pergandaan Kartesius (Cartesian produt) Seara matematis dinyatakan sebagai: (x,y) { } xb = /x y B tau (x, y) x B «(x, y) x.. y B 100

TEORI HIMPUNN Jika himpunan mempunyai n-anggota dan himpunan B mempunyai m- anggota maka perkalian himpunan x B mempunyai (nxm) anggota Jika dan B adalah dua himpunan kosong, maka x B adalah himpunan kosong, yaitu = atau B =, maka x B =. Jika H adalah suatu himpunan yang tidak kosong, maka hasil ganda terhadap dirinya sendiri dinyatakan sebagai x atau 2. Contoh (4.18): Misalkan H = {1, 3, 7}, maka H x H = {(1,1), (1,3), (1,7), (3,1), (3,3), (3,7), (7,1), (7,3), (7,7)} Diagram koordinatnya sbb: : y 7 3 1 0 1 3 7 Diagram Koordinat H x H x Pada umumnya pergandaan himpunan tidak mempunyai sifat kumutatif yaitu x B B x. Contoh (4.19): mbil H = {a, b} dan K = {, d} maka 101

Dra. Noeryanti, M.Si H x K = {(a, ), (a, d), (b, ), (b,d)} dan K x H = {(, a), (, b), (d, a), (d, b)} Karena (a, ) (, a), (a, d) (d, a), (b, ) (, b) dan (b, d) (d, b) maka (H x K) (K x H) 4.3.5. Keluarga Himpunan, Hipunan Kuasa dan Himpunan Indeks 1. Keluarga himpunan Yang dimaksud keluarga himpunan adalah himpunan dimana obyek-obyeknya terdiri atas himpunan-himpunan. Biasanya dinyatakan dengan huruf skrip (Sript Letter) seperti, B,.. dan seterusnya, atau dapat juga dengan huruf besar biasa. Contoh(4.20) : = { {2}, {a}, {1,3} } B = {{1,3},{2},{2,3,5},{6,79}} 2. Himpunan kuasa, Yang dimaksud himpunan kuasa dari himpunan ditulis 2 adalah keluarga himpunan yang obyek-obyeknya terdiri atas himpunan bagian (subset) dari. Contoh(4.21) : Misalkan = {a, b}, maka Himpunan kuasa dari = 2 = {, {a}, {b}, {a, b} } Dengan banyakanggota nya = n() = n(2 ) = 2 2 = 4 anggota. 3. Himpunan indeks Yang dimaksud himpunan indeks ditulis I adalah himpunan yang terdiri atas indeks-indeks. 102

TEORI HIMPUNN Contoh (4.22) : 1. Misalkan I = {1, 2, 3,..} Maka IHi = H1 H 2... adalah keluarga himpunan i I UHi = H1 H 2... adalah keluarga himpunan i I 2. Misalkan I = { α, β, χ,..} Maka I H i = H α H β... adalah keluarga himpunan ii U i I H = H H... adalah keluarga himpunan i α β 4.3.6. Partisi ( penggolongan ) Suatu partisi pada himpunan X adalah suatu ara untuk membagi himpunan X menjadi beberapa himpunan bagian yang saling lepas, dan gabungan dari himpunan-himpunan bagian tersebut sama dengan X. Himpunan bagian pada suatu partisi disebut sel ( katakan i = sel; i = 1,2,... m). Jadi koleksi dari himpunan-himpunan bagian X yaitu X= { 1, 2,..., m } disebut suatu partisi atau penggolongan jika memenuhi syarat : (1) X=... = 1 2 m i i= 1 m U Contoh (4.23): (2) i j = ; untuk setiap i j Misalkan X = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}. Perhatikan kelas-kelas pada himpunan bagian X. (i) {{1, 3, 5}, {2, 5}, {4, 8, 9}} (ii) {{1, 3, 5}, {2, 4, 6, 8}, {5, 7, 9}} 103

Dra. Noeryanti, M.Si (iii) {{1, 3, 5}, {2, 4, 6, 8}, {7, 9}} maka (i). Bukan partisi dari X, sebab 7 X, tetapi 7 tidak termasuk pada suatu sel. (ii). Bukan partisi dari X, sebab 5 X dan 5 {1, 3, 5}sekaligus 5 {5, 7, 9} (iii). Prtisi dari X, sebab X = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} Rangkuman 1. Himpunan-himpunan diberi simbol dengan huruf besar dari abjad :, B, C,...,K, L, M,.,X,Y, Z. Sedangkan anggota-anggotanya ditulis dengan huruf keil a, b,.. x, y,.. dan seterusnya. 2. da tiga ara dalam penulisan himpunan antara lain: a. Dengan ara mendaftar setiap anggota-anggotanya, diantara dua tanda kurung kurawal. b. Dengan ara menyebut sifat-sifat yang dimiliki setiap anggotanya.. Dengan menyatakan syarat keanggotaannya. 3. Maam-maam Himpunan. a. Himpunan adalah himpunan yang tidak mempunyai anggota. Sering dinyatakan sebagai atau { }. b. Himpunan semesta adalah himpunan dari semua obyek yang sedang dibiarakan. Biasanya ditulis S atau U.. Himpunan dikatakan berhingga jika ia mempunyai anggota-anggota yang banyaknya berhingga. Sedangkan himpunan dikatakan tak berhingga jika himpunan tersebut mempunyai anggota-anggota yang banyaknya tak berhingga. 104

TEORI HIMPUNN d. Himpunan dikatakan himpunan bagian (subset) dari himpunan B ditulis B, jika setiap anggota merupakan anggota dari B. Dinyatakan dengan simbol B jika dan hanya jika ("x) x fi x B. 4. Teorema (4.1): Himpunan kosong merupakan himpunan bagian setiap himpunan atau ditulis sebagai H. ( dimana H adalah sembarang himpunan) 5. Dua himpunan dan B dikatakan sama, ditulis = B, jika dan hanya jika B dan B. Dinyatakan dengan simbol = B jika dan hanya jika B dan B = B «( x x x B).. ( x x B x ) 6. Dua himpunan dan B dikatakan berpotongan ditulis B jika dan hanya jika ada anggota yang menjadi anggota B. 7. Dua himpunan dan B dikatakan lepas ditulis // B jika dan hanya jika kedua himpunan tersebut tidak kosong dan tidak mempunyai anggota yang sama. 8. Operasi-Operasi Dalam Himpunan. a. Gabungan dua himpunan dan himpunan B ditulis B didefinisikan sebagai : ( B) = {x / x.. x B} b. Irisan dua himpunan dan himpunan B ditulis B, didefinikan sebagai: ( B) = {x / x.. x B}.. Komplemen dari himpunan ditulis = { x /x x S } didefinisikan sebagai : d. Selisih dua himpunan dan himpunan B ditulis B didefinikan sebagai: B = { x /x x B} = { x /x x B } = B e. Jumlah dua himpunan dan himpunan B ditulis B didefinikan sebagai 105

Dra. Noeryanti, M.Si B = {x/x ( B).. x (B )} B = ( B) ( B) 9. Hasil ganda kartesius (Cartesian produt) dari dua himpunan H dan K ditulis H x K didefinikan sebagai : H x K ={ (x, y) / x H.. y K } 10. Yang dimaksud keluarga himpunan adalah himpunan dimana obyek-obyeknya terdiri atas himpunan-himpunan. Biasanya dinyatakan dengan huruf skrip (Sript Letter) seperti, B,.. dan seterusnya, atau dapat juga dengan huruf besar biasa. 11. Yang dimaksud himpunan kuasa dari himpunan ditulis 2 adalah keluarga himpunan yang obyek-obyeknya terdiri atas himpunan bagian (subset) dari. 12. Himpunan indeks (ditulis I) adalah himpunan yang terdiri atas indeks-indeks. a. IHi = H1 H 2... i I b. UHi = H1 H 2... i I I. H i = H α H β... ii U d. Hi = Hα H β... i I 13. Himpunan X= { 1, 2,..., m } disebut suatu partisi ( penggolongan) jika memenuhi syarat : (1) X=... = 1 2 m i i= 1 m U (2) i j = ; untuk setiap i j 106

TEORI HIMPUNN SOL-SOL LTIHN 1. Diketahui himpunan-himpunan P = {a, b,, d}, Q = {, d, e, f} dan R = {b,, d, e} Tentukan : (a) P Q ; P Q ; P R ; P R ; Q R ; Q R (b) pakan sifat assosiatif (P R) R = P ( Q R) () pakah sifat distributif P ( Q R) = (P Q) (P R) dan (d) P (Q R) = (P Q) ( P R) dipenuhi? Jelaskan! (e) Gambarkan diagram venn untuk soal 1a s/d 1f Jawab : (a) P Q = {, d} ; P Q = {a, b,, d, e, f}; P R = {b,, d}; P R = {a, b,, d, e}; Q R = {, d, e}; dan Q R = {b,, d, e, f} (b) Dipenuhi, sebab : (P Q) R = P (Q R) = {, d} dan (P Q) R = P (Q R) = {a, b,, d, e, f}. () Dipenuhi, sebab : P (Q R) = (P Q) (P R) = {b,, d} dan P (Q R) = (P R) (P R) = {a, b,, d, e} (d) Diagram-diagram Venn. P a b d e f S S S Q P R Q S a b d e b d e f P Q = {, d} P R = {b,, d} Q R = {, d, e} P Q = {a, b,, d, e, f} P R = {a, b,, d, e} Q R = {b,, d, e, f} 2. Untuk P, Q, dan R pada soal nomor 1, tunjukan apakah sifat-sifat berikut ini dipenuhi (a) P (Q R) = (P Q) (P R) (b) P (Q R) = (P Q) (P R) 107

Dra. Noeryanti, M.Si Jawab : (a) Q R = {b,, d, e, f} P (Q R) = {a, e, f} P Q = {a, b, e, f} P R = {a, e} Jadi P (Q R) (P R) (P R) (b) Q R = {b, f} P (Q R) = {a, b,, d, e, f} P Q = {a, b,, d, e, f} P R = {a, b,, d, e} (P Q) (P R) = {f} Jadi P (Q R) (P Q) (P R) 3. Buktikan : Jika B maka B Bukti : Untuk membuktikan ada 2 ara. (a) Seara langsung. (menggunakan kontraposisinya) (b) Seara tidak langsung. (menggunakan bukti kemustahilan) Yang harus dibuktikan : C fi B (a) Seara langsung Dari ketentuan B berarti x x fi a B Dengan kontraposisinya : x x B fi x mbil sembarang x B, berarti x B. Sehingga x, yaitu x. Terbukti x x B fi x. Jadi B (b) Seara tidak langsung (bukti kemustahilan) Dari ketentuan B, akan ditunjukkan B atau Diketahui : B berarti x x fi x B kan ditunjukkan : B. Bukti : 108

TEORI HIMPUNN ndaikan B berarti B menurut definisi x x B x x x B x x x B.. x x x B.. x x x B.. x B diketahui ( ) x x B B x x ( = mustahil) Karena himpunan tidak mempunyai anggota, maka kalimat x pasti bernilai salah. Pengandaian harus diingkar, yaitu B Jadi terbukti B fi B. 4. Buktikan : (B C) = ( B) ( C) bernilai benar. Jawab : (B C) = {x / x.. x (B C)} = {x / x.. x (B C) } = {x / x.. x (B C )} = {x / x.. (x B.. x C )} = {x / (x.. x B ).. (x.. x C )} = {x / x.. x B}.. {x / x.. x C} = ( B).. ( C) Jadi terbukti (B C) = ( B) ( C) 5. Diketahui : = {a, b}, B = {2, 3}, dan C = {3, 4}. Tentukan : (1) x (B ( C) 109

Dra. Noeryanti, M.Si (2) ( x B) ( x C) (3) x (B ( C) (4) ( x B) ( x C) Jawab : (1) B C = {2, 3, 4} x (B C) = {(a, 2), (a, 3), (a, 4), (b, 2), (b, 3), (b, 4)} (2) x B = {(a, 2), (a, 3), (b, 2), (b, 3)} x C = {(a, 3), (a, 4),(b, 3), (b, 4)} ( x B) ( x C) = {(a, 2), (a, 3), (a, 4), (b, 2), (b, 3), (b, 4)} (3) B C = {3} x ( C) = {(a, 3), (b, 3)} (4) x B dan x C lihat jawaban (2) ( x B) ( x C) = {(a, 3), (b, 3)} Perhatikan, dari jawaban (1) s/d (4) diperoleh : x (B C) = ( x B) ( x C) dan x (B C) = ( x B) ( x C) 6. Misalkan = {1, 2, 3}, B = {2, 4}, dan C = {3, 4, 5}. Tentukan x B x C. Jawab : Salah satu ara untuk menentukan x B x C adalah dengan membuat diagram pohon seperti di bawah ini. 110

TEORI HIMPUNN 3 (1, 2, 3) 2 4 (1, 2, 4) 1 5 3 (1, 2, 5) (1, 4, 3) 4 4 (1, 4, 4) 5 (1, 4, 5) 3 (2, 2, 3) 2 2 4 5 (2, 2, 4) (2, 2, 5) 3 (2, 4, 3) 4 4 (2, 4, 4) 5 (2, 4, 5) 3 (3, 2, 3) 2 4 (3, 2, 4) 3 5 3 (3, 2, 5) (3, 4, 3) 4 4 (3, 4, 4) 5 (3, 4, 5) 7. Buktikan : a) x (B C) = ( x B) ( x C) b) ( x B) C = ( C) x (B C) Jawab : mbil sembarang himpunan-himpunan, B, dan C. (a) x (B C) = {(x, y) / x.. y (B C)} = {(x, y) / x.. (y B.. y C)} = {(x, y) / (x.. y B).. (x.. y C)} = {(x, y) / x.. y B} {(x, y) / x.. y C)} = ( x B).. ( x C) Terbukti x (B C) = ( x B).. ( x C) (b) ( x B) C = {k / k ( x B) k C} = {(x, y) / (x.. y B) (x, y) C}..(*) 111

Dra. Noeryanti, M.Si ( C) x (B C) = {(x, y) / x ( C).. y (B C)} = {(x, y) / (x.. x C).. (y B.. y C)} = {(x, y) / (x.. y B) (x C.. y C)} = (x C.. y B) (x C.. y C)}. (**) dari (*) dan (**) diperoleh ( x B) C ( C) x (B C). 8. Misalkan = B C. Tentukan manakah dari pernyataan berikut ini yang mempunyai nilai benar? (a) x = (B x B) (C x C) (b) x = (B x C) (C x B). Jawab : (a) Benar, sebab x = (B C) x (B C) = {(x,y) /x (B C).. y (B C)} = {(x,y) / x B.. x C.. y B.. y C} = {(x,y) / (x B.. y B).. (x C.. y C)} = {(x,y) / x b.. y B} {(x,y) /x C.. y C} = (B x B).. (C x C) Jadi x = (B x B) (C x C) (b) Benar, sebab x = (B C) x (B C) = {(x,y)/x (B C).. y (B C)} = {(x,y)/x B.. x C.. y B.. y C} = {(x,y)/(x B.. y C) (x C.. y B)} = {(x,y)/x B.. y C} {(x,y)/x C.. y C} = (B x C) (C x B) Jadi x = (B x C) (C x B) 9. Diketahui X = {a, b,, d, e, f, g} dan himpunan bagian himpunan bagian dari adalah, 112

TEORI HIMPUNN (a) 1 = {a,, e}, 2 = {b}, dan 3 = {d, g} (b) B 1 = {a, e, g}, B 2 = {, d}, dan B 3 = {b, e, f} () C 1 = {a, b, e, g}, C 2 = {}, dan C 3 = {d, f} (d) D 1 = {a, b,, d, e, f, g} Maka tentukan yang mana diantara (a) sampai dengan (d) yang merupakan partisi dari X? Jawab: (a) { 1, 2, 3 } bukan partisi dari X, sebab f X, f 1, f 2 dan f 3. (b) {B 1,B 2,B 3 } bukan partisi dari X, sebab e X, tetapi e B 1 dan e B 3. () {C 1, C 2, C 3 } partisi dari X, sebab X = {C 1, C 2, C 3 } (d) {D 1 } merupakan partisi dari X. 10. Tentukan semua partisi dari X = {a, b,, d}. Jawab : Partisi dari X adalah : [{a, b,, d}] ; [{a}, {b,, d}], [{b}, {a,, d}], [{}, {a, b, d}], [{d}, {a, b, }] ; [{a,b}, {,d}] ; [{a,}, {b,d}] ; [{a,d}, {b,}] ; [{a}, {b}, {,d}] ; [{a}, {}, {b,d}]; [{a}, {d}, {b,}] ; [{b}, {}, {a, d}] ; [{b}, {d}, {a,}] ; [{}, {d}, {a,b}] ; [{a}, {b}, {}, {d}] da 15 partisi yang berbeda dari X. SOL-SOL LTIHN 1. pakah dari himpunan berikut ada yang sama? Jelaskan a. {r, t, s}, {s, t, r, s}, {t, s, t, r}, {s, r, s, t} b., {0}, { } 2. Tentukan apakah himpunan berikut merupakan himpunan kosong. (a) X = {x / x 2 = 9.. 2x = 4} 113

Dra. Noeryanti, M.Si (b) Y = {x / x x} () Z = {x / x + 8 = 8} 3. Misalkan himpunan semesta S = {a, b,, d, e, f, g}. = {a, b,, d, e}, B = {a,, e,g} dan C = {b, e, f, g} Tentukan : (a) C (d) B C (g) C (b) B (e) B (h) ( C) () C B (f) C (i) ( B) (j) ( ) 4. Tentukan diagram Venn untuk soal no. 3 5. Diketahui himpunan-himpunan P = {a, b, }, Q = {b,, d} dan R = {a, d}. Tentukan P x Q x R, kemudian tunjukkan bahwa (P x Q) x R = P x (Q x R) 6. Tunjukkan bahwa pernyataan-pernyataan berikut ini benar untuk, B dan C himpunan-himpunan sembarang. (a) ( B) = B (b) ( B) = B () (B ) = B (d) ( B) B = (e) (B C) = ( B) ( C) (f) (B C) = ( B) ( C) (g) (B C) = ( B) ( C) (h) ( B) (B ) = ( B) ( B) 7. Buktikan (menggunakan bukti kemustahilan) pernyataan-pernyataan berikut ini : (a) B B. (b) B jika dan hanya jika B = () B = S jika dan hanya jika B (disini S = himpunan semesta) (d) B jika dan hanya jika B = (e) Jika B =, maka B = B (f) Jika B =, maka B = B 114

TEORI HIMPUNN 8. Tentukan himpunan kuasa dari : (a) himpunan H = {1, 2, 3} (b) himpunan N = {a, b,, d} 9. Jika himpunan indeks I = {α, β, γ,.} maka tunjukkan bahwa : (a) (b) UHi I i I i I = IHi U i I i I = H H i i 10. Untuk setiap himpunan K dan untuk setiap himpunan indeks I, berlakulah : I i I i I i I (a) K H = ( K H ) U i U i I i I (b) K H = ( K H ) I i I i I i I () K H = ( K H ) U i U i I i I (d) K H = ( K H ) i i i i 11. Selidiki apakah pernyataan di bawah ini bernilai benar. (a)(h x K) M = (H x M).. (K x M) (b) H x (K M) = (H x K) (H x M) () H x (K M) = (H x K) (H x M) (d)(h K) x M = (H x M) ( K x M) (e) H (K x M) = (H K) x (H M) (f) (H 1 H 2 ) x (K 1 K 2 ) = (H 1 x K 1 ) (H 1 x K 2 ).. (H 2 x K 1 ) (H 2 x K 2 ) (g)(h 1 H 2 ) x (K 1 K 2 ) = (H 1 x K 1 ) (H 1 x K 2 ).. (H 2 x K 1 ) (H 2 x K 2 ) 12. pabila M H dan N K, maka tunjukkan bahwa (M x K) (H x N) = M x N. 13. Tentukan partisi dari himpunan = {a, b, b, b,, d} 115