7//5 RUANG VEKTOR UMUM Yang dibahas.. Ruang vektor umum. Subruang. Hubungan dependensi linier 4. Basis dan dimensi 5. Ruang baris, ruang kolom, ruang nul, rank dan nulitas AKSIOMA RUANG VEKTOR V disebut ruang vektor jika memenuhi:.. u+v = v+u. u+(v+w)=(u+v)+w 4. 5. 6. 7. k(u+v)=ku+kv 8. (k+l)u=ku+kl 9. k(lu)=(kl)(u). u, v V ( u v) V V u u u, u V u V, ( u) V u ( u) ( u) u k, u V ku V u u
7//5 SUBRUANG Definisi. MisalkanV adalah ruang vektor atas R dan S V. S disebut Sub Ruang dari V jika terhadap operasi yang sama dengan V, S juga mrp ruang vektor. CONTOH:. S = { } mrp sub ruang dari ruang R n, dan disebut sub ruang nol. Dapat ditunjukkan bahwa S terhadap operasi penjumlahan dan perkalian skalar memenuhi aksioma dari ruang vektor.. Misalkan W = {(a, b, ) / a, b R}. Dapat ditunjukkan bahwa W adalah sub ruang dari R
7//5 Teorema MisalkanV adalah ruang vektor dan S V. S disebut sub ruang dariv jhj. u + v S (tertutup thd penjumlahan). ku S (tertutup thd perkalian skalar) untuk setiap u, v S dan k R. LATIHAN:. Misalkan a b S / a, b, c, d R c d S merupakan sub ruang dari M x. Tunjukkan dengan Teorema. Misalkan S = {(a, b, ) / a, b R}. Apakah S subruang dari R?
7//5 Definisi Misal V adalah ruang vektor dan S = {v, v,, v k } V. Suatu vektor v V disebut sebagai kombinasi linier dari S jika ada k,k,,k r R s.d.h v = k v + k v + + k r v r Ilustrasi gambar k v v = k v +k v k v Vektor v di R sbg kombinasi linier dari v dan v 4
7//5 Definisi Misal V adalah ruang vektor dan S = {v, v,, v r } V. Himpunan semua vektor dariv yg mrp kombinasi linier dari S disebut span S (rentang S). Span S = {k v + k v + + k r v r /c i R} Catt: Span S mrp sub ruang dari V. Ilustrasi Gambar Jika S = {u, v}, dengan u, v R tidak berada dalam satu garis, maka span(s) mrp bidang yang melalui titik pusat dan titik u dan v. 5
7//5 6 Himpunan Pembangun Jika V adalah r.v. dengan maka dikatakan S adalah himpunan pembangun untuk V. Dengan kata lain, S membangun V artinya setiap vektor dalam V dapat dinyatakan sebagai kombinasi linier dari S CONTOH:. Unit vektor: span. Himpunan {, x, x,, x n } membangun semua polinomial berderajad n.,, e e e R
7//5 Bagaimana??? Apakah himpunan membangun R? Penyelesaian: S ( ), ( ), ( Apakah ada x, x, x R s.d.h x (,, ) t + x (, -, -) t + x (,, ) t = b utk setiap b R? Persamaan diatas dapat ditulis: x b x b x b ) Merupakan SPL non homogen : Ax b SPL Ax b akan konsisten jhj rank [A b] = rank (A) Dalam kasus ini, rank (A)=, rank [A b]= Jadi S bukan span R. ( b, b, b ) 7
7//5 KEBEBASAN LINIER Definisi. Suatu himpunan S v, dikatakan Himpunan v,..., v n Bebas Linier jhj utk persamaan k v k v... k v r r hanya dipenuhi oleh k k... k r Jika ada Linier. k i, maka dikatakan S Himpunan Tak Bebas Dengan kata lain. Himpunan bebas linier : himpunan yang vektor-vektornya tidak saling berhubungan (tidak bergantung / bebas) Himpunan Tak Bebas Linier : himpunan yang salah satu vektornya mrp kombinasi linier dari vektor yang lain (satu vektor bergantung pada vektor lain / tidak bebas). 8
7//5 9 CONTOH: Tunjukkan himpunan berikut bebas linier atau tidak. Penyelesaian: Bentuk 7 6 5,, S 7 6 5 Bentuk diatas dapat ditulis Jika maka Karena terdapat penyelesaian yang non trivial (tidak tunggal), maka S tidak bebas linier. 7 6 5 7 6 5 A E A
7//5 Tunjukkan apakah himpunan berikut bebas linier atau tidak (a). (b). (c). (d). 9 5,,, 6, 5 4,,,,, BASIS dan DIMENSI Definisi MisalkanV ruang vektor atas R dan S = {v, v,, v n } subset dari V. S disebut basis dariv jika. S membangun V ( span(s) = V ). S bebas linier
7//5 Definisi Jika S = {v, v,, v n } adalah basis dari ruang vektor V, maka dikatakan V berdimensi n. Notasi dim(v) = n Jadi, dimensi suatu ruang vektor adalah jumlah vektor yang bebas linier dan membangun ruang vektor tsb. TEOREMA-TEOREMA DALAM KEBEBASAN LINIER dan BASIS Anita T. Kurniawati
7//5 Teorema (i) (ii) Suatu himpunan berhingga dari vektor yang memuat vektor nol mrp himpunan yang tak bebas linier. Himpunan yang terdiri atas dua elemen vektor saja mrp himpunan bebas linier jhj tidak ada vektor yg mrp kelipatan skalar dari vektor lain. BUKTI (i) Andaikan S = {v, v,, v n, } himpunan bebas linier, maka untuk kombinasi linier v + v + + n v n + k. = (*) hanya dipenuhi oleh = = = n = k =. Terjadi kontradiksi, karena untuk persamaan. v +. v + +. v n + k. = k. = k Jadi yang benar adalah S tak bebas linier.
7//5 (ii) Arah Kanan () Diketahui W = {v, v } adalah himp. bebas linier. Dibuktikan : v k.v, dengan k. Andaikan v = k.v, maka v - k.v = Karena W bebas linier, maka =. Terjadi kontradiksi. Jadi yang benar, v k.v, dengan k. Arah Kiri () Diketahui v k.v, dengan k. DibuktikanW = {v, v } adalah himp.bebas linier. AndaikanW adalah himp.tak bebas linier. Maka ada s.d.h kombinasi linier v + v =. Dari sini diperoleh v + ( / )v = v + c.v = v = -c.v = k.v Terjadi kontradiksi. Yang benar W bebas linier. TEOREMA Jika S = {v, v,, v n } adalah basis untuk ruang vektorv, maka untuk setiap v V dapat dinyatakan sebagai kombinasi linier dari S secara tunggal.
7//5 BUKTI KarenaV = span(s), maka jelas untuk setiap v V dapat dinyatakan sebagai kombinasi linier dari S. Selanjutnya, akan dibuktikan bahwa kombinasi linier ini adalah tunggal. Andaikan v = v + v + + n v n dan v = k v + k v + + k n v n Maka v + v + + n v n = k v + k v + + k n v n ( k )v + ( k )v + + ( n k n )v n = Karena {v, v,, v n } bebas linier, maka diperoleh k =, k =,, n k n = = k,, = k,, n = k n, TEOREMA Jika V ruang vektor berdimensi n dan S = {v, v,, v n } adalah basis untuk ruang vektor V, maka (i) setiap himpunan yang terdiri lebih dari n vektor mrp himpunan yang tak bebas linier. d.k.l Jika S = {w, w,, w m } dimana m > n maka S tak bebas linier. (ii) Tidak ada himpunan yang lebih kecil dari n vektor yang dapat membangun V. d.k.l Jika S {w, w,, w r } adalah vektor dalam V dengan r < n maka V span(s ). 4
7//5 CATATAN: Teorema Bagian (i) mrp definisi dari Himpunan Bebas Linier Maksimal Teorema Bagian (ii) mrp definisi dari Himpunan Pembangun Minimal. Bukti Teorema (i) Misalkan S = {w, w,, w m } adalah m vektor dalam V (m > n). Karena S = {v, v,, v n } adalah basis untuk ruang vektor V, maka setiap w i (i =,,,m) dapat dinyatakan sebagai kombinasi linier dari S, yaitu w = a v + a v + + a n v n w = a v + a v + + a n v n..(*). dst w m = a m v + a m v + + a nm v n 5
7//5 Selanjutnya. Akan ditunjukkan S tak bebas linier, yaitu ada k, k,, k m yg tak nol s.d.h k w + k w + + k m w m = (**) Dari persamaan (*) dan (**) diperoleh (k a + k a + + k m a m ) v + (k a + k a + + k m a m ) v +. + (k a n + k a n + + k m a nm ) v n = Karena S = {v, v,, v n } bebas linier, maka a k + a k + + a m k m = a k + a k + + a m k m =. dst a n k + a n k + + a nm k m =..(***) SPL (***) mrp SPL homogen dengan banyaknya variabel (m) > banyaknya persamaan (n), maka solusi nya adalah non trivial. 6
7//5 (ii). Misalkan S = {w, w,, w r } adalah vektor dalam V dengan r < n. Akan ditunjukkan S tidak membangun V. Andaikan S membangun V, maka setiap vektor dalam V dapat ditulis sbg kombinasi linier dari S, khususnya vektor v j, (j =,,,n) dalam V dapat dinyatakan sebagai kombinasi linier dari w i v = a w + a w + + a r w r v = a w + a w + + a r w r dst.. (a) v n = a n w + a n w + + a rn w r Utk menunjukkan adanya kontradiksi, akan ditunjukkan bahwa S = {v, v,, v n } tak bebas linier Bentuk k v + k v + + k n v n = (b) A.d.t. ada k i yang memenuhi pers.(b). Atau dari persamaan (a) dan (b) diperoleh (k a + k a + + k n a n ) w + (k a + k a + + k n a n ) w +. + (k a r + k a r + + k n a rn ) w r =.(c) a.d.t. ada k i yang memenuhi persamaan ini. 7
7//5 Dari persamaan c, jika dibentuk a k + a k + + a n k n = a k + a k + + a n k n =. dst a r k + a r k + + a rn k n = Maka SPL ini mrp SPL homogen dengan banyak variabel tak diketahui (n) > banyak persamaan (r), sehingga mempunyai penyelesaian non trivial. Jadi k i. Terjadi kontradiksi. Jadi yang benar adalah S tidak membangun V. Latihan Soal. Yang manakah dari himpunan berikut ini mrp himp.tak beba linier? a. {(4, -, ), (-4,, )} di R b. {(-,, ), (,, 5), (6, -, ), (7,, -)} di R c. {(6 x ), ( + x + 4x )} di P d. {(+x+x ), (x+4x ), (5+6x+x ), (7+ x x )} di P. Tunjukkan bahwa : Jika {v, v, v } bebas linier, maka himpunan {v, v }, {v, v {v, v }, {v }, {v }, {v } juga bebas linier.. Tunjukkan : Jika {v, v, v } tak bebas linier pada ruang vektor V da v 4 V, maka himpunan {v, v, v, v 4 } juga tak bebas linier. 8
7//5 RUANG BARIS, RUANG KOLOM, dan RUANG NULL Definisi Jika A adalah matriks ukuran mxn a a a a maka : am am (i) Vektor-vektor r a a a. n r a a an r m a m dalam R n disebut vektor-vektor baris dari matriks A. a m an a n amn a mn 9
7//5 (ii) vektor-vektor,,, di R m disebut vektor-vektor kolom dari matriks A. a m a a c a m a a c mn n n n a a a c CONTOH: Diberikan matriks Maka : vektor baris dari A adalah r = [ ], r = [ - 4] dan vektor kolom dari A adalah,, 4 A c c 4 c
7//5 Definisi Misalkan A adalah matriks mxn. Maka (i) subruang dari R n yang dibangun oleh vektor baris dari matriks A disebut Ruang Baris (row space) dari A (ii) subruang dari R m yang dibangun oleh vektor kolom dari matriks A disebut Ruang Kolom (column space) dari A Jadi Ruang baris A, dinotasikan R(B), adalah R(B) = Ruang yang dibangun oleh vektor baris matriks A = span{r, r,, r m } R n Ruang Kolom A, dinotasikan R(K), adalah R(K) = Ruang yang dibangun oleh vektor kolom matriks A = span{c, c,, c n } R m
7//5 Apakah ada hubungan antara solusi SPL A.x = b dengan ruang baris dan ruang kolom, dari matriks A? Apakah ada hubungan antara ruang baris, ruang kolom, ruang null dari suatu matriks? Teorema Misalkan A adalah matriks ukuran mxn. Suatu SPL Ax = b konsisten jhj b adalah elemen dari ruang kolom matriks A. Atau : b R(K) b = A.x
7//5 Contoh : Diberikan SPL Ax = b Dengan EGJ, diperoleh solusi : x =, x = -, dan x = sehingga : yaitu b mrp kombinasi linier dari kolom matriks A. shg b mrp elemen dari ruang kolom matriks A. 9 x x x 9 Contoh: Tentukan apakah b mrp elemen dari ruang kolom matriks A berikut ini? Jika ya, tuliskan kombinasi liniernya. ; 6 4 b A
7//5 Teorema Operasi baris elementer tidak mengubah ruang baris suatu matriks dengan kata lain: Jika matriks A dan B mrp matriks ekuivalen baris, maka ruang baris A dan B adalah sama. Contoh 4 Diberikan matriks A 7 8 Menggunakan OBE, matriks A diubah menjadi bentuk eselon baris tereduksi: 7 / B 5 / maka, ruang baris dari matriks A dan B adalah sama. 4
7//5 5 Basis utk ruang baris dan ruang kolom Misalkan Menggunakan OBE, matriks A diubah kebentuk matriks eselon baris tereduksi : Ruang baris matriks A dan B adalah sama 4 7 4 8 4 A B Selanjutnya Basis utk ruang baris matriks A adalah vektor baris tak nol dari matriks B, yaitu w = [ ] w = [ ] w = [ -] Sedangkan basis untuk ruang kolom matriks A adalah vektor kolom standar dari matriks B, yaitu u =, u =, u = 4
7//5 Prosedur utk mencari basis dari sub ruang V di R n Misalkan S = {v, v,, v k } adalah vektor di R n, dengan V = span(s). Maka basis utk V ditentukan dengan langkah : Langkah Bentuk matriks A = Langkah Langkah v v v k Ubah matriks A kebentuk matriks eselon baris tereduksi B. vektor baris tak nol dari matriks B mrp basis utk V. Contoh 5 Misalkan S = {v, v, v, v 4 } adalah vektor di R 5 dengan v = [ - -4] v = [ 8 4] v = [ 7 ] v 4 = [- 4 -] dan misalkan V adalah subruang dari R 5 yang dibangun oleh S. Tentukan basis untuk V 6
7//5 7 Contoh 6 Carilah basis utk ruang baris dan ruang kolom dari matriks berikut : 4 5 4 7 9 9 6 8 9 6 4 5 4 B Teorema Jika A sebarang matriks, maka ruang baris dan ruang kolom dari matriks A mpy dimensi yang sama.
7//5 Contoh 7 Pada contoh 5, dim(ruang baris A) = dim(ruang kolom A) = Pada contoh 6, dim(ruang baris B) = dim(ruang kolom B) = RANK MATRIKS DEFINISI (i) Dimensi dari ruang baris disebut rank baris (ii) Dimensi dari ruang kolom disebut rank kolom 8
7//5 Definisi 4 Jika A adalah matriks sebarang, maka rank baris A = rank kolom A = rank A. Rank matriks A dituliskan : rank(a). Cara mencari Rank suatu matriks Misalkan A adalah sebarang matriks. Langkah Ubah matriks A menjadi matriks eselon baris tereduksi B. Langkah Rank A = jumlah baris tak nol dari matriks B. 9
7//5 Carilah rank dari matriks : A 9 8 RUANG NULL dan NULLITY Definisi 5 (i) Himpunan dari semua solusi sistem homogen A.x = disebut dengan Ruang Null (Nullspace). Nullspace merupakan subset dari R n. (ii) Dimensi dari ruang null disebut Nullity.
7//5 Basis utk Ruang Null Diberikan SPL homogen A.x =, dengan A matriks berukuran m x n. Solusi dari sistem di atas dicari menggunakan EGJ, yaitu matriks augmented diubah ke matriks eselon baris tereduksi dimana matriks B mpy r baris tak nol, r m. A B Jika m > n (r = n), yaitu B r = n m n Maka, solusi A.x = trivial. Artinya, semua solusinya adalah nol, sehingga ruang solusinya tidak punya basis, akibatnya, nullity =.
7//5 Jika m < n (r < n), yaitu rn r n n s s s s s s B r m n Maka, solusi A.x = adalah non trivial (mpy r buah solusi), shg ruang solusinya mpy r buah basis, akibatnya nillity = r. Contoh 9 Carilah ruang null dan nullity dari SPL homogen : 5 4 x x x x x
7//5 Teorema 4 Jika A adalah matriks ukuran m x n, maka rank(a) + nullity A = n Contoh Apakah SPL berikut mpy solusi? 5 6 5 5 x x x
7//5 RANK dan KESINGULARAN MATRIKS Teorema 6 Diberikan matriks A berukuran nxn. det(a) jhj rank(a) = n Teorema 7 Misalkan A matriks ukuran nxn. i. SPL A.x = b mempunyai penyelesaian tunggal jhj rank(a) = n ii. SPL A.x = mpy solusi non trivial jhj rank(a) < n. 4