----- Garis dan Bidang di R dan R 3 -----
Sifat Operasi Hasil Kali Titik pada Vektor Teorema: Hasil kali titik (dot product) u dan v dapat dinyatakan pula sebagai: A. Pendekatan Geometri: R u v cos ; u, v 0 uv = 0; u= 0 atau v 0 B. Pendekatan Matriks: R v x T uv = uv ux u y u z v y vz u v u v x x y y uz vz R merupakan nilai dari hasil kali titik dari kedua vektor di atas.
Sifat Operasi Hasil Kali Titik pada Vektor Contoh: Diberikan vektor u = 0, 0,1 dan = 0,, v, yang membentuk sudut 45º (/4), maka carilah hasil kali titik (dot product) dari keduanya! A. Pendekatan Geometri: R uv = u v cos 1 cos 4 B. Pendekatan Matriks: R u v = uv T 0 0 0 1 0 0 0 1 perlu norma dan
Sifat-sifat Operasi Hasil Kali Silang pada Vektor Teorema: 1. uuv 0. vuv 0 3. uv u v uv u v sin 4. u v u v sin u v 1 cos u v u v cos u v u v cos (identitas Lagrange)
Sifat-sifat Operasi Hasil Kali Silang pada Vektor Teorema: Jika u, v dan w adalah vektor-vektor di R 3, dan k sembarang skalar, maka : 1. uv uv. uvw uv uw uv w uw vw k uv ku v = u kv 5. u0 0u 6. uu 0 3. 4.
Sifat-sifat Operasi Hasil Kali Silang pada Vektor Teorema: Jika i = (1,0,0); j = (0,1,0); dan k = (0,0,1) menyatakan vektor-vektor satuan di R 3, maka: 0 0 1 0 1 0 i j =,, 0,0,1 k 1 0 0 0 0 1 1 0 0 0 0 1 j k =,, 1,0,0 i 0 1 0 1 0 0 0 1 0 1 0 0 k i =,, 0,1,0 j 0 0 1 0 1 0 j i = k; k j = i; ik = j ii = j j = k k = 0
Sifat-sifat Operasi Hasil Kali Silang pada Vektor Teorema: Hasil kali silang u dan v dapat dinyatakan pula sebagai: u u3 u1 u3 u1 u uv = i j k v v3 v1 v3 v1 v i j k u u u v v v 1 3 1 3 Contoh: Diberikan vektor u = 0, 0,1 dan = 0,,, maka carilah hasil kali silang (cross product) dari keduanya! v Jawab: r uv i j k 0 0 1 0 i 0j 0k, 0, 0
SOAL Latihan (Ulangan) Soal No. 1 Diberikan dua buah vektor gaya yang sama, masing-masing sebesar 10 N (Newton) dan keduanya saling membentuk sudut 60º seperti pada gambar berikut ini: F 1 F 1 R F 1 F R atau 60º F F Tentukanlah nilai resultan dari kedua vektor tersebut! Pembahasan Resultan untuk dua buah vektor yang diketahui sudutnya adalah: R F F F F cos 1 1 10 10 10 10 cos(60 ) 300 10 3 Newton
SOAL Latihan (Ulangan) Soal No. Dua buah vektor kecepatan u dan v, masing-masing besarnya 0 m s -1 dan 40 m s -1 membentuk sudut 60º seperti gambar berikut: v u u 60º 60º v u v Tentukanlah selisih dari kedua vektor di atas! Pembahasan Selisih dari dua buah vektor dengan sudut 60º seperti di atas adalah: u v u v uvcos(60) 0 40 040(0,5) 100 m s 0 3 m s 1 1
SOAL Latihan (ulangan) Soal No. 3 Dua buah vektor gaya, masing-masing besarnya 8 N dan 4 N, saling mengapit dengan sudut 3 (10º). Tentukanlah besar resultan kedua vektor tersebut! Pembahasan F F 1 8 N 4 N membentuk sudut (10 ) 3 Resultan dari dua buah vektor tersebut dengan sudut 3, adalah: 1 F 1 F1 cos( ) 3 F F F F 8 4 8 4 ( 0,5) 64 16 3 m s 4 3 ms 1 1 Catatan: cos cos
SOAL Latihan (ulangan) Soal No. 4 Perhatikan gambar di bawah ini: F 1 F Jika satu kotak mewakili 10 Newton, tentukanlah resultan dari kedua vektor F 1 dan F tersebut!
SOAL Latihan (ulangan) Pembahasan Dari gambar seperti di atas, untuk mencari resultan gaya-gaya yang bekerja pada sumbu-x dan sumbu-y, langkah-langkahnya adalah sebagai berikut: yang pertama, perhatikanlah kotak dari masing-masing vektor F 1 (sumbux: 30 N ke kanan dan sumbu-y: 40 N ke atas) dan F (sumbu-x: 50 N ke kanan dan sumbu-y: 0 N ke atas), kemudian, hitunglah jumlah gaya-gaya yang bekerja pada arah sumbu-x dan sumbu-y, sebagai berikut: F F x y 30 50 80 Newton 0 40 60 Newton terakhir, hitung resultan keduanya dengan menggunakan rumus di bawah ini, dengan memperhatikan sudut 90 : R F F x y 80 60 10 Newton
Interpretasi Geometri dari Hasil Kali Silang
Iterpretasi Geometri untuk Luas Segitiga Perhatikan Teorema berikut: u v u v sin, adalah LUAS (AREA) dari suatu Jajaran Genjang Perhatikan pula JAJARAN-GENJANG di bawah ini: v v v sin u u Luas dari jajaran genjang = (alas) x (tinggi) = u v sin = u v
Contoh Iterpretasi Geometri untuk Luas Area Contoh Carilah LUAS segitiga yang dibentuk oleh titik-titik P 1,,0, P1 1, 0, P 0, 4,3! 1, dan Penyelesaian Dari gambar di bawah, dapat dilihat bahwa LUAS A adalah ½ luas jajaran genjang yang dibentuk oleh vektor PP 1 dan PP 1 3 x z P 1, 0, P 1,,0 P 3 0,4,3 y Dari pelajaran sebelumnya, dihitung: PP 1 3,, PP 1 3,,3 dan PP 1 PP 1 3 10,5, 10 1 1 A P1P P1P3 5 15
Hasil Kali Skalar Lipat-3 - [#1] Jika u, v dan w 3 adalah vektor-vektor dalam u v w R, maka disebut hasil kali skalar lipat-3 atau hasil kali skalar ganda-3 (scalar triple product) Hasil kali skalar lipat-3 dari u= u,u,u 1 3, v= v,v,v 1 3 dan w= w,w,w dapat dihitung sebagai berikut: 1 3 1 3 v1 v v3 u v w u u u w w w 1 3 Perhatikan bahwa, hasil kali di atas adalah KOMBINASI antara HASIL KALI SILANG (prioritas dalam kurung) dan HASIL KALI TITIK...!
Hasil Kali Skalar Lipat-3 - [#] Rumus hasil kali skalar lipat-3 uvw atas dapat diturunkan dari kombinasi berikut ini: seperti di v v v v v v w w w w w w 3 1 3 1 u v w u i j k 3 1 3 1 v v v v v v u u w w w 3 1 3 1 1 3 3 1 w3 w1 w u u u u 1 3 v v v w 1 3 w 1 w 3 ingat : minor / kofakator?
Contoh: Contoh Hasil Kali Skalar Lipat-3 Rumus hasil kali skalar lipat-3 uvw berikut ini: dengan vektor-vektor u 3i j 5 k; v i 4j 4 k; w 3j k Penyelesaian: u1 u u3 u vw v v v w 1 3 w 1 3 w 0 3 5 1 4 4 3 4 4 1 4 1 4 3 5 3 0 0 3 60 4 15 49
Iterpretasi GeometriK untuk DETERMINAN Nilai mutlak determinan matriks ordo-: u u u u det v v v v 1 1 1 1 R u,u sama dengan LUAS Jajaran Genjang dalam yang dibentuk oleh vektor-vektor u= 1 dan v= v,v 1 Nilai mutlak determinan matriks ordo-3: u u u u u u det v v v v v v w w w w w w 1 3 1 3 1 3 1 3 1 3 1 3 3 sama dengan VOLUME Paralelepidum dalam R yang dibentuk oleh vektorvektor u= u,u,u, v= v,v,v 1 3 1 3 dan w= w,w,w 1 3.
Garis dan Bidang Di dalam R 3
Garis dan Bidang dalam Ruang Dimensi 3 In analytic geometry a line in -space can be specified by giving its slope and one of its points. Similarly, one can specify a plane in 3-space by giving its inclination and specifying one of its points. A convenient method for describing the inclination of a plane is to specify a nonzero vector, called a normal, that is perpendicular to the plane. Dalam geometri analitis bidang, sebuah garis dalam R dapat diperoleh dengan menentukan kelandaian dan salah satu titik (posisinya). Demikian pula, sebuah bidang dalam R 3 dapat diperoleh dengan menentukan inklinasi dan salah satu titik posisinya. Sebuah metode yang dapat digunakan untuk menguraikan inklinasi adalah dengan menentukan suatu vektor tak nol (disebut suatu normal) yang tegak lurus dengan bidang tersebut.
Garis dan Bidang dalam Ruang Dimensi 3 () Jika diinginkan suatu persamaan bidang yang melalui titik,, memiliki sebuah vektor tak nol n a, b, c berikut ini P x y z dan 1 0 0 0 sebagai normal. Maka dari gambar dapat ditunjukkan dengan jelas, bahwa pada bidang tersebut terdapat titik-titik P x, y, z di mana vektor PP 0 ortogonal terhadap n, yaitu n P P 0 0
Garis dan Bidang dalam Ruang Dimensi 3 (3) Seperti diketahui dengan jelas, bahwa pada bidang di atas terdapat titiktitik P x, y, z di mana vektor PP 0 ortogonal terhadap n, yaitu n P0 P 0 P P x x, y y, z z, persamaan di Maka, dengan menggunakan atas dapat ditulis sebagai: 0 0 0 0 x x y y z z a b c 0 0 0 0 Disebut juga sebagai bentuk normal titik dari persamaan sebuah bidang.
Contoh Garis/Bidang dalam R3