Metode Simpleks Minimum

Metode Simpleks Minimum

Perhatian Untuk menyelesaikan Persoalan Program Linier dengan Metode Simpleks untuk fungsi tujuan memaksimumkan dan meminimumkan caranya BERBEDA.

Perhatian Model matematika dari Permasalahan Program Linier dapat dinyatakan dalam bentuk Sistem Persamaan Linier AX = B sebagai berikut :

Bentuk Umum Model Persoalan Program Linier Fungsi Tujuan: Minimumkan Z = C X + C 2 X 2 + + C n X n Bisa dibuat dlm bentuk matriks sbb: Z C C... 2 C n X X 2 X n

Batasan: a X + a 2 X 2 + + a n X n or b a 2 X + a 22 X 2 + + a 2n X n or b 2 a m X + a m2 X 2 + + a mn X n or b m Bisa ditulis dlm bentuk matriks sbb: m n mn m m n n b b b or X X X a a a a a a a a a 2 2 2 2 2 2 2

Langkah Penyelesaian Simpleks Minimum. Mengubah semua kendala ke Bentuk Kanonik dengan menambah variabel Slack S. Variabel slack yang ada dimasukkan (ditambahkan) ke fungsi sasaran dan diberi koefisien. 2. Jika dalam matriks A sudah terbentuk Matriks Identitas maka disusun tabel awal simpleks sebagai berikut :

C j C C 2.. C n.. M C i Xi Xj X X 2.. X n S S 2.. V b i R i C X a a 2.. a n.. b R : : : :.... C m X m a m.. b m R m Z j Z Z 2.. Z n.. Z j - C j Z - C Z 2 - C 2 Z n - C n..

Keterangan Baris C j diisi dengan para koefisien Fungsi Tujuan (sasaran) Baris X j diisi dengan nama-nama perubah (variabel) yang ada. Kolom X i diisi dengan nama-nama perubah yang menjadi basis (variabel yang menyusun matriks Identitas). Kolom C i diisi dengan para koefisien perubah yang menjadi basis Kolom b i diisi dengan para konstanta fungsi kendala (Nilai Sebelah Kanan/NSK). m Baris Z j diisi dengan rumus: Z C a, j n j i ij,..., i Kolom Ri diisi dengan rumus Ri = b i / a ik (a ik = elemenelemen yang berada dalam kolom kunci, dan R i dihitung hanya untuk a ik )

Langkah Penyelesaian Simpleks Minimum (Lanjutan) Jika belum terbentuk matriks identitas (I n ), maka matriks identitas dimunculkan dengan menambah peubah semu dan diberi notasi V. Perubah semu yang ada dimasukan di fungsi sasaran dengan koefisien sebesar (+M), dengan M adalah bilangan yang cukup besar.

Contoh Meminimumkan Z = 22 X + 6 X 2 Fungsi Kendala: a). X + 3X 2 33 b). 8X + 5X2 4 c). 7X + X2 7, dan X, X2

Bentuk Baku Meminimumkan Z = 22 X + 6 X 2 Fungsi Kendala: a). X + 3X2 S + S2 + S3 = 33 b). 8X + 5X2 + S + S2 + S3 = 4 c). 7X + X2 + S + S2 + S3 = 7, dan X, X 2, S, S 2, S 3

Jika ditulis dalam matriks 7 4 33 3 2 2 7 5 8 3 S S S X X Its not identity matrix

Supaya muncul matriks identitas Ditambah peubah semu V k ke kendala X + 3X2 S + S2 + S3 + V= 33 8X + 5X2 + S + S2 + S3 + V= 4 7X + X2 + S + S2 + S3 + V= 7, Bisa ditulis menjadi X + 3X2 + V+ S2 + S3 S = 33 8X + 5X2 + V + S2 + S3 + S = 4 7X + X2 + V + S2 + S3 + S = 7, dan X, X 2, S, S 2, S 3, V, V2

Jika ditulis dalam matriks 7 4 33 3 2 2 7 5 8 3 S S S V X X Its identity matrix

Fungsi Tujuan Menjadi Z = 22 X + 6 X 2 + MV + S + S2 + S3 Dengan M adalah bilangan yang sangat besar

Pemeriksaan terhadap nilai Z j - C j. Tabel sudah minimum jika semua Z j - C j. Jika ada Z j - C j > (positif), maka dibuat tabel baru dengan cara sebagai berikut : Menentukan kolom kunci yaitu memilih nilai Z j - C j yang terbesar. Sebut dengan Z k - C k maka kolom ke-k disebut kolom kunci. Pada kolom ke-k dilakukan pemeriksaan terhadap nilai a ik.

Jika untuk semua a ik negatif (a ik < ) maka jawab tidak terbatas (Nilai Fungsi Tujuan tidak terbatas)/(unbounded). Jika terdapat a ik yang positif hitung nilai R i, (untuk a ik yang positif saja) kemudian dilanjutkan ke langkah berikutnya

Menentukan baris kunci, yaitu nilai Ri yang terkecil, selanjutnya baris yg memuat Ri terkecil disebut baris kunci. Kemudian disusun tabel baru sebagai berikut (dimulai dari baris kunci baru): Untuk elemen baris kunci baru: elemen baris kunci baru = elemen baris kunci lama dibagi a ik Untuk elemen baris yang lain: elemen baris baru = elemen baris lama - (a ik x elemen baris r baru) Kemudian tentukan lagi nilai Xi, Ci, Zj, Zj - Cj.

Jadi langkah Metode Simpleks Minimum hampir sama dengan Maksimum, hanya ada beberapa perbedaaan yaitu:. Pengubahan bentuk kanonik, koefisien dari peubah (variabel) semu (V) pada fungsi sasaran adalah +M (positif M) dimana M bilangan yang sangat besar. 2. Tabel sudah minimum jika semua nilai dari Zj -Cj. 3. Penentuan kolom kunci berdasarkan nilai dari Zj -Cj yang paling besar yaitu (maks {Zj - Cj }).

Contoh Soal Meminimumkan : Z = 4 X + 8 X2 dengan batasan/kendala/constrain: X + X2 4 X + 3X2 6 X, X2

Penyelesaian Bentuk Kanonik : X + X2 - S + S2 + V + V2 = 4 X + 3X2 + S - S2 + V + V2 = 6 Meminimumkan : Z = 4 X + 8X2 + S + S2 + M V + M V2 Tabel Simpleks lengkapnya lihat disini

C j 4 8 M M C i X i X j X X 2 S S 2 V V 2 b i R i M V - 4 4 M V 2 3-6 2 Z j 2M 4M -M -M M M M Z j - C j 2M-4 4M-8 -M -M M V 2/3 - /3 -/3 2 3 8 X2 /3 -/3 /3 2 6 Z j (2M+8)/3 8 -M (M-8)/3 M (8-M)/3 2M+6 Z j - C j (2M-4)/3 -M (M-8)/3 (8-4M)/3 4 X -3/2 ½ 3/2 -/2 3 8 X 2 /2 -/2 -/2 ½ Z j 4 8-2 -2 2 2 2 Z j - C j -2-2 2-M 2-M

Karena semua Zj Cj, maka tabel sudah minimal, dengan nilai X = 3, dan X 2 =, dan Zminimalnya = 2.

TUGAS INDIVIDU 4 Selesaikan Persoalan Program Linier berikut dengan Metode Simpleks.. Meminimumkan F = 22 X + 6 X2 Fungsi Kendala : X + 3 X2 33 8X + 5X2 4 7X + X2 7 dan X, X2 SOLUSI: X =,4563 X2 = 5,67749 Z = 66

2. Meminimumkan Z = 6X + 8 X2 Fungsi Kendala: 3X + X2 4 5X + 2X2 X + 2X2 3 dan X, X2, SOLUSI: X =, X2 = Z = 4