. Ruag Sampel da Perstwa. Ruag Sampel Defs Ruag sampel (Sample Space), S : totaltas semua hasl yag mugk dar sebuah percobaa. Ttk sampel atau outcome : eleme dar tap sel. Perstwa/kejada (Evet) : kumpula satu atau beberapa ttk sampel. Ruag sampel da perstwa, serg dhubugka dega teor hmpua (Set), yatu bahwa ruag sampel da perstwa dapat dgambarka sebaga Dagram Ve. Sebaga cotoh, d dalam sebuah ruag sampel S terdapat sebuah perstwa A, dgambarka dalam Dagram Ve dperoleh : S A Gambar. Dagram Ve. Atura Peluag Defs Jka dalam ruag sampel S dega aggota sebayak ttk sampel, atau N(S) = terdapat perstwa E dega aggota sebayak ttk sampel, atau N(E) = s. Maka peluag E terjad, Buku Ajar (Modul) W Koad PROBABILITAS & STATISTIK
P(E) = [N(E)]/[N(S)] = / Defs Peluag terjad sebuah perstwa E adalah propors frekues terjadya E (dalam jagka pajag) d atara perstwa la yag mugk terjad Aksoma :. 0P(E) utuk setap perstwa dalam S. P(S) = 3. Jka A da B dua perstwa dalam S yag salg bebas, maka peluag A atau B terjad adalah, P(AB) = P(A) + P(B) Msal, A da B adalah dua perstwa dalam S. Hubuga yag mugk terajad atara perstwa A da perstwa B adalah :. Komplemeter, jka B meyataka terjad buka perstwa A (A c ). Bersyarat (kodsoal), jka terjadya B mejad syarat terjadya A (A B) atau sebalkya. 3. Salg bebas (Idepedet), jka terjad atau tdak terjadya perstwa B tdak mempegaruh terjad atau tdak terjadya perstwa A, atau sebalkya 4. Salg bebas (Mutually Eclusve), jka terjadya B mecegah terjadya A atau sebalkya (A da B tdak bsa terjad secara bersamaa). Jad A atau B (AB) saja 5. Iklusf, jka A terjad atau B terjad atau keduaya terjad (AB) Dagram Ve berkut meyataka hubuga datas, yatu komplemeter, AB da AB S S S A A B A B Gambar.a Gambar.b Gambar.c Buku Ajar (Modul) W Koad PROBABILITAS & STATISTIK
Dalam defs peluag d atas, terdapat kata aggota yag merupaka jumlah ttk sampel dar sebuah ruag sampel da perstwa. Sehubuga dega hal tersebut, berkut d kemukaka beberapa teor utuk meetuka bayakya cara yag mugk terjad dar sebuah ruag sampel atau perstwa. Cotoh Jka dua buah dadu (bermata :,,, 6) dlemparka satu kal, makasemua hasl (dar mata dadu yag ampak) yag mugk ada 36 hasl yatu (,) yag meyataka : kedua dadu meampakka muka, (,) yag meyataka dadu pertama ampak mata da dadu kedua ampak mata, da seterusya (lhat Tabel ). Tabel Ruag Sampel Percobaa Dadu Mata Mata Dadu ke- Dadu ke- 3 4 5 6 (,) (,) (,3) (,4) (,5) (,6) (,) (,) (,3) (,4) (,5) (,6) 3 (3,) (3,) (3,3) (3,4) (3,5) (3,6) 4 (4,) (4,) (4,3) (4,4) (4,5) (4,6) 5 (5,) (5,) (5,3) (5,4) (5,5) (5,6) 6 (6,) (6,) (6,3) (6,4) (6,5) (6,6) a) A : ampak jumlah mata tujuh, maka A : {(,6) (,5) (3,4) (4,3) (5,) (,6)}N(A)=6 sehgga, P(A)=6/36=/6 b) B : ampak jumlah mata sela tujuh, maka A da B salg berkompleme dega, B : A c N(B) = 30 sehgga, P(B) = P(A) = 5/6 c) C : ampak jumlah mata 7 atau jumlah mata 3 Msal, A : ampak jumlah mata 7 da F : ampak jumlah mata 3, maka C = (AF) dmaa A da F mutually eclusve (salg bebas) dega, N(A) = 6 ; P(A) = 6/36 = /6 F : {(,) (,)} N(F) = sehgga, P(F) = /36 = /8 Buku Ajar (Modul) W Koad PROBABILITAS & STATISTIK 3
Maka, P(C) = P(AF) = P(A) + P(F) = /9 d) D : ampak jumlah mata 7 atau ampak mata dar dadu ke- Msal, A : ampak jumlah mata 7 da F : ampak mata dar dadu ke-, maka D = P(AF) dmaa A da F berhubuga klusf dega, N(A) = 6 ; P(A) = 6/36 = /6 F : {(,) (,) (,3) (,4) (,5) (,6)} N(F) = 6, P(F) = 6/36 = /6 Da EF ; {(,5)} N(EF) = sehgga P(EF) = /36 Maka, P(D) = P(EF) = P(E) + P(F) - P(EF) = 7/36 Dall. Jka hmpua A,A,, A k masg-masg beraggota,,, k eleme, maka ada sebayak k cara yag dapat dlakuka utuk memlh, pertama : satu eleme A, kedua : satu eleme A,, terakhr : satu eleme A k Dall. Jumlah permutas dar r objek yag dplh dar objek yag berbeda adalah P ( permutas r ) =! / (-r)! r Dall 3. Bayakya cara memlh r objek dar objek yag berbeda adalah, C r ( kombas r ) =! / [! (-r)!] Dmaa,! = (-)(-) da 0!= (aksoma) Perbedaa atar Permutas da Kombas adalah : Dalam Permutas, uruta objek dbedaka; sedagka dalam Kombas, uruta objek yag dplh tdak dbedaka. Cotoh. Jka 3 dar 0 ba adalah cacat da 4 ba dambl secara acak utuk dperksa, berapa peluag terambl (terdapat) ba cacat? Buku Ajar (Modul) W Koad PROBABILITAS & STATISTIK 4
Peyelesaa Dketahu : = 0, d (ba cacat) = 3 da g (ba bak) = 7 Msal, S : bayak cara yg mugk megambl 4 dar 0 ba A : bayak cara yag mugk dalam 4 : cacat da 3 bak = (bayak cara yag mugk terambl cacat dar 3 cacat) (bayak cara yag mugk terambl 3 bak dar 7 bak) Maka, N(S) = N(A) =! 0! = 4845 da r! r! 4!.6! 3! 7! 040 8 = 040, sehgga P(A) = 0,4!.! 3!.4! 4845 9 Cotoh 3 a) Berapa kelompok yag mugk terplh 3 orag assste dar 9 calo b) Berapa kelompok yag mugk terplh orag assste fska dar 5 calo da 3 orag assste kma dar 6 calo? Peyelesaa a) Dega kombas dmaa = 9 da r = 3 dperoleh C 9 3 3! 9! 9876! 9 3! 36! = 84 kelompok b) Utuk assste fska dmaa = 5 da r = dega kombas dperoleh C 5! 5! 543! 5! 3! = 0 kelompok Utuk assste fska dmaa = 6 da r = 3 dega kombas dperoleh C 6 3 3! 6! 6543! 6 3! 33! = 0 kelompok Buku Ajar (Modul) W Koad PROBABILITAS & STATISTIK 5
Selajutya dega multfkas dperoleh bayak kelompok yag mugk yag terdr dar assste fska da assste kma = 0 0 = 00 kelompok Dall 4. Jka A,A,, A k adalah k buah perstwa yag salg bebas dalam sebuah ruag sampel S maka, peluag A atau A atau, atau A k terjad adalah, P(A A A k) = P(A ) + P(A ) + + P(A k) = P ( ) Dall 5. Jka A adalah sebuah perstwa dalam ruag sampel terbatas S, maka P(A) sama dega jumlah dar peluag ttk-ttk sampel aggota A. Dall 6. Jka A da B adalah dua perstwa dalam ruag sampel S maka, peluag A atau B kedua-duaya terjad adalah P(AB) = P(A) + P(B) P(AB) Jka A da B salg bebas maka, peluag A da B terjad bersama-sama, P(AB) = 0. Dall 7. Jka A adalah sebuah perstwa dalam ruag sampel S maka peluag kompleme A (buka A, A c ) terjad adalah, P(A c ) = P(A) Cotoh 4 Dalam sebuah survey d suatu kota terugkap bahwa 87% warga memlk TV-Wara, 36% memlk TV-BW da 9 % memlk keduaya. Jka pada suatu saat, kta bertemu dega seorag warga daerah tu, berapa peluag bahwa da adalah pemlk TV-Wara atau TV-BW atau keduaya. Peyelesaa Msal, A : memlk TV-Wara da B : memlk TV-BW P(A) = 0,87 ; P(B) = 0,36 da P(A B) = 0,9 Dtaya : berapa P(A B)? k A Buku Ajar (Modul) W Koad PROBABILITAS & STATISTIK 6
Jawab : P(A B) = P(A) + P(B) - P(A B) = 0,87 + 0,36-0,9 = 0,94 Defs Jka A da B adalh dua perstwa dalam ruag sampel S dega P(B) 0 maka, peluag bersyarat A relatf terhadap B adalah, P(A B) = P( A B) atau, P( B) P(AB) = P(A) P(B A) jka P(A) 0 = P(B) P(A B) jka P(B) 0 Jka A da B salg bebas maka, P(A B) = P(A) da P(B A) = P(B) sehgga P(AB) = P(A) P(B) Cotoh 5 Peluag sebuah sstem komukas aka memlk daya sesor tgg 0,8 da peluag aka memlk daya sesor da akuras 0,8. Berapa peluag sebuah sstem aka memlk daya sesor tgg jg memlk akuras tgg Peyelesaa Msal, A : memlk sesor tgg da B : memlk akuras tgg P(A) = 0,8; da P(AB) = 0,8 Dtaya : berapa P(A B)? Jawab : P(A B) = P A B 0,8 P A 0,8 3.Teorema Bayes 9 Atura perkala umum, sagat bergua utuk meyelesaka persoala dmaa, hasl akhr dar sebuah percobaa tergatug pada berbaga tahap sebelumya. Buku Ajar (Modul) W Koad PROBABILITAS & STATISTIK 7
Dall 8. Jka B, B,, B adalah perstwa yag salg bebas, dmaa salah satu dataraya harus terjad maka, P(A) = P ( ). P(A B ) B Teorema Bayes : Jka B, B,, B adalah perstwa bersyarat, dmaa salah satu dataraya harus terjad maka, P(B r A) = P( A). P( A Br ) utuk r =,,, atau P( B ). P( A B ) Cotoh 6 Sebuah mes tersusu dar 0% kompoe P, 60% kompoe Q, 5% kompoe R, da 5%, kompoe S. Berdasarka pegalama (jka mes rusak), 5% karea kompoe P rusak, 0% karea kompoe Q rusak, 0% karea kompoe R rusak, da 5% karea kompoe S rusak. Jka suatu saat terjad mes rusak, berapa peluag bahwa kerusaka mes tersebut akbat rusakya kompoe P? Peyelesaa : Msal B = kompoe P ; B = kompoe Q ; B 3 = kompoe R ; B 4 = kompoe S, da A ; perstwa mes rusak, maka : P(B ) = 0,0 ; P(B ) = 0,60 ; P(B 3) = 0,5 ; da P(B 4) = 0,05 P(A B ) = 0, 05 ; P(A B ) = 0,0 ; P(A B 3) = 0,0 ; da P(A B 4) = 0, 05 Dtaya : berapa P(B A)? Jawab : megguaka Teorema Bayes, Buku Ajar (Modul) W Koad PROBABILITAS & STATISTIK 8
P B r PA. PA Br A PB A PB PA B P A. PA B P B PA B 0,00,05 P(B A) = = 0,4 0,00,05 0,600,0 0,50,0 0,050,05 Jad, peluag mes rusak akbat rusakya kompoe P = 0,4 atau,4%. 4.Ekspektas Matemats Defs Jka peluag memperoleh sejumlah a, a,, atau a k adalah p, p,, da p k maka ekspektas ddefska sebaga, E = a p + a p + + a k p k = a p k Cotoh 7 Sebuah dstrbutor aka memperoleh laba dar sejes produk sebesar : $0 jka produk dkrm dar pabrk tepat waktu da dalam keadaa utuh (kods ), $8 jka produk dkrm dar pabrk tap tdak tepat waktu (kods ), $8 jka produk tdak dkrm dar pabrk meskpu tepat waktu da dalam keadaa utuh (kods 3). Berapa ekspektas laba yag dharapka dperoleh dstrbutor tersebut jka 70% produk dkrm dalam kods, 0% dkrm dalam kods & 0% dalam kods 3? Peyelesaa : Dketahu : a = $0, a = $8, a 3 = $8, p = 0,70, p = 0,0 da p 3 = 0,0. Megguaka atura ekspektas matemats dperoleh, Ekspektas E = 0,70 $0 + 0,0 $ + 0,0 $8 = $7,4 Buku Ajar (Modul) W Koad PROBABILITAS & STATISTIK 9
Latha. Sebuah mata uag dlempar sampa dega dperoleh hasl ampak dua agka secara beruruta. Tetuka ruag sampel dar percobaa. Sebuah kotak bers 3 bola : merah, hjau da bru. Sebuah percobaa dlakuka dega megambl sebuah bola kemuda dsmpa lag da kemuda dambl lag sebuah bola. a) Tetuka ruag sampel dar percobaa! b) Berapa peluag setap ttk sampel? 3. Tga dadu dlempar. Berapa peluag ampak dua mata yag sama? 4. Seorag pegawas bagua basa melakuka pemerksaa pada har Se, Selasa, Rabu, atau Kams jam 08, jam 3, atau jam 4. Tetuka seluruh jadwal pemerksaa yag mugk dapat dplh oleh pegawas 5. Sebuah optk memlk 6 lesa cekug, 4 lesa cembug, da 3 prsma. Berapa cara atau pajaga yag mugk yag terdr dar lesa cekug, lesa cembug da lesa prsma? 6. Satu set daftar pertayaa (utuk survey pasar) terdr dar 8 pertayaa yag masg-masg terdr dar 3 plha jawaba. Berapa komposs jawaba yag mugk yag aka dperoleh? 7. a) Ada 5 fals ratu kecatka. Berapa pasaga yag mugk utuk merah juara, juara, da juara 3? c) Tetuka alteratf plha utuk membagu gudag dar 5 calo lokas? 8. Sebuah percobaa meghaslka 4 perstwa (A,B,C, da D) yag salg bebas. Adakah kesalaha dalamperyataa-peryataa berkut? Megapa? Buku Ajar (Modul) W Koad PROBABILITAS & STATISTIK 0
a) P(A) = 0,38; P(B) = 0,6; P(C) = 0, da P(D) = 0,35 b) P(A) = 0,3; P(B) = 0,7; P(C) = -0,06 da P(D) = 0,47 c) P(A) = ½; P(B) = ¼; P(C) = /8 da P(D) = /6 9. Departeme kepolsa sebuah kota membtuhka ba baru utukmobl patrol.berdasarka pegalama, ba yag dberka adalah merk Uroyal, Goodyear, Mchel, Geeral, Goodrch, atau Amstrog dega peluag masg-masg 0,7 ; 0, ; 0,03 ; 0,9 ; 0, ; da 0,08. Berapa peluag aka dber ba merk : a) Goodyear atau Goodrch? b) Uroyal, Geeral, atau Goodrch? c) Mchel atau Amstrog? d) Goodyear, Geeral atau Amstrog? 0. Sebuah kosulta megguaka mobl yag dsewa dar 3 age, 0% dar age D, 0% dar age E, da 60% dar age F. Jka berdasarka pegalama 0% mobl dar age D, % dar age E, da 4% dar age F baya gudul, berapa peluag seorag pegawa kosulta tersebut medapat mobl das dega ba gudul?. Toko A, B, da C masg-masg mempekerjaka 50, 75, da 00 pegawa dega 50%, 60%, da 70% dataraya adalah wata. Dega asums bahwa setap karyawa memlk kesempata dpecat yag sama (kecual berdasarka kelam), jka suatu ketka terjad pemecata pegawa toko, berapa peluagbahwa yag dpecat tu adalah pegawa wata dar toko C? Buku Ajar (Modul) W Koad PROBABILITAS & STATISTIK
. DISTRIBUSI PROBABILITAS Defs. Varabel acak (varabel radom) adalah sebuah varabel yag la atau la-laya yag mugk, mempuya harga peluag atau terjad/mucul tersedr. Varabel acak yag laya terblag dsebut varabel acak dskrt (varabel dskrt), sedagka varabel acak yag laya terukur dsebut varabel acak kotu (varabel kotu).. Dstrbus peluag dar varabel dskrt dsebut dstrbus dskrt, da fugsya dsebut fugs peluag yag umumya dotaska dega p(). sedagka, dstrbus peluag dar varabel kotu dsebut dstrbus kotu, da fugsya dsebut fugs destas yag dotaska dega f().. Dstrbus Dskrt Defs Jka varabel dskrt X membetuk dstrbus peluag dega fugs peluag P(X=) = p() utuk = 0,,,, maka haruslah 0< p() < utuk = 0,,, p() = 0 utuk laya 0 p P(X ) = F() = = p(0) + p() + + p() = dega fugs dstrbus, a a p da, Rata-rata da varas, = E(X) = p( ) = p() + p() + + p() da, 0 Var(X) = = E() (E()) dmaa, E() = 0 p( ) = p() + 4 p() + + p() Buku Ajar (Modul) W Koad PROBABILITAS & STATISTIK
Msal, fugs dstrbus X terdefs utuk setap blaga yata - < <, yatu F() = P(X ), maka F() mempuya sfat-sfat : F() adalah fugs tdak turu dar b, lm F() = F() =, da lm F() = F() = 0 Atura-atura peluag dskrt : ) P(X>a) = P(Xa) = [p(0) + p() + + p(a)] ) P(Xa) = P(Xa-) = [p(0) + p() + + p(a-)] 3) P(a<X<b) = P[(X b-)]-p(xa) = p(a+) + + p(b-) 4) P(aX<b) = P[(Xb-)]-P(Xa-) = p(a) + + p(b-) 5) P(a<Xb) = P[(Xb)]-P(Xa) = p(a+) + + p(b) 6) P(aXb) = P[(Xb+)]-P(Xa-) = p(a) + + p(b) Cotoh Sebuah varabel acak X berdstrbus peluag dega, P() = utuk =, da 3 6 = 0 utuk laya Tetukalah F() da gambarka kurva p() da F()! Peyelesaa F() = 0 utuk < = 6 utuk < = 6 3 utuk < 3 = utuk 3 kurva p() da F() dsaja dalam gambar berkut : Gambar Kurva Dstrbus Peluag Gambar Kurva Fugs Dstrbus Buku Ajar (Modul) W Koad PROBABILITAS & STATISTIK 3
Cotoh Sebuah varabel acak X berdstrbus peluag dega, P() = utuk = 0,,, 3, 4, da 5 5 = 0 utuk laya a) Betulkah p() dsebut dstrbus peluag? b) Berapa peluag memperoleh X > 5? da berapa utuk X < 0? c) Berapa peluag memperoleh X >? da berapa utuk X? d) Berapa peluag memperoleh la : < X< 3; X< 3; < X 3; X 3 Peyelesaa a) agar f() merupaka fugs peluag, maka haruslah p() = utuk = 0,,, 3, 4, da 5 0 5 = p() = p(0) + p() + p() + p(3) + p(4) + p(5) = 5 5 5 betul b) Karea p() terdefs haya utk la 0,,, 3, 4, 5 maka P(X < 0) = 0 da P(X > 5) = 0 c) P(X > ) = P(X ) = [p(0) + p()] = (0+ 4 ) = 5 5 5 P(X ) = P(X ) = [p(0) + p()] = (0+ 4 5 ) = 5 d) P( < X < 3) = p() = 5 P( X < 3) = p() + p() = = 5 5 5 P( < X 3) = p() + p(3) = 3 = 5 5 3 3 P( X 3) = p() + p() + p(3) = = 5 5 5 5 Cotoh 3 Sebuah varabel acak X, yatu jumlah pegujug yag datag ke sebuah tempat hbura (orag per met) berdstrbus peluag dega fugs peluag, p() = k utuk = 0,,, 3, da 4 = 0 utuk laya Buku Ajar (Modul) W Koad PROBABILITAS & STATISTIK 4
a) Tetuka la k! b) Berapa peluag pada met tertetu datag pegujug 6 orag? c) Berapa peluag pada met tertetu datag pegujug palg bayak 5 orag? d) Berapa peluag pada met tertetu datag pegujug palg bayak 5 orag? e) Berapa peluag pada met tertetu datag pegujug palg sedkt orag? f) Berapa rata-rata da varasya? Peyelesaa a) Karea p() fugs peluag, maka 4 0 p ( ) = p(0) + p() + p() + p(3) + p(4) = k k k k k = 3 0 3 4 6 k= k= 6 3. Maka, 6 p() = utuk = 0,,, 3, 4 3 = 0 utuk laya b) p(6)=0, karea X = 6 d luar la yabg ddefska utuk p() c) P(X 5) = {p(0) + p() + p() + p(3) + p(4)}+ p(5) = +0 = 6 d) P(X < 3) = p(0) + p() + p() = 8 = 3 4 3 6 7 = 3 3 e) P(X ) = -[ p(0) + p()] = - f) Rata-rata, = E(X) = 4 0 p() = 0p(0) + p() + p() + 3p(3) + 4p(4) = 0 + 6 3 ( ½ + ¼ + 3 8 + 4 6 6 ) = 3 Utuk mecar varas, perlu dhtug dahulu 4 E(X )= 0 p() = 0p(0) + p() + 4() + 9p(3) + 6p(4) Buku Ajar (Modul) W Koad PROBABILITAS & STATISTIK 5
= 0+ 6 3 ( ½ + 4 ¼ + 9 8 + 6 58 6 ) = 3 Maka, Var (X) = = E(X ) [E(X)] = 58 3 - ( 6 3 ) = 96 Dstrbus dskrt yag telah dbahas tad, dapat dkataka sebaga dstrbus umum (tdak mempuya ama teorts yag populer). Berkut aka dbahas beberapa dstrbus dskrt teorts.. Dstrbus Bomal Cr-cr percobaa Bomal adalah : Haya meghaslka (dperhatka) dua perstwa atau ketegor, msal S (sukses) dam G (gagal) Dlakuka sebayak (tertetu) kal Tap percobaa salg bebas, artya hasl yag mucul pada sebuah percobaa tdak dpegaruh oleh hasl percobaa sebelumya da tdak mempegaruh hasl percobaa berkutya Peluag terjadya salah satu perstwa (msal S) dketahu sebesar yag berla tetap utuk setap percobaa (0 < < ) Msal X adalah sebuah varabel yag meyataka frekues terjad S dalam, maka la-la X yag mugk adalah = 0,,,, da X merupaka varabel dskrt berdstrbus bomal dega fugs peluag P(X=) = p() =!!! (-) - utuk = 0,,,, da = = 0 utuk laya dega rata-rata, = davaras, = (- ) 0 p( ) Buku Ajar (Modul) W Koad PROBABILITAS & STATISTIK 6
Beberapa cotoh percobaa dega dua kategor atara la adalah : medapat la A da buka A dalam uja, medapat utug da tdak utug, da la-la kejada yag salg berkompleme. Utuk keperlua perhtuga, telah terseda Tabel Fugs Dstrbus Bomal (Tabel pada lampra). Tabel terdr dar kolom-kolom :,, da p =. Agka yag tercatum d dalam bada tabel meyataka F() = P(X ). Sebaga cotoh, utuk = 0, p = 0,50 pada bars = terdapat agka 0,0547. Maka, kta peroleh F() = P(X ) = p(0) + p() + p() = 0,0547. Cotoh 4 Htug peluag dar 0 bu yag melahrka aka lahr bay lak-lak sebayak : a) Tepat 3 bay b) Palg sedkt 3 bay c) Palg bayak 3 bay d) Kurag dar 3 bay e) Lebh dar 3 bay f) Atara da 5 bay (klusf) g) Atara da 5 bay (eksklusf) Peyelesaa Dketahu : = 0 (jumlah percobaa), = (peluag lahr pra = peluag lahr wata) Msal, X : jumlah bay lak-lak yag lahr. Maka, X berdstrbus bomal dega fugs peluag : 0! 0 0! p() =! utuk = 0,,,, 0 da = 0 utuk laya 0 0 p ( ) = Buku Ajar (Modul) W Koad PROBABILITAS & STATISTIK 7
Utuk meyelesaka persoala dapat dlakuka dega meghtug lagsug dar fugs peluag d atas, atau dega megguaka agkaagka yag sudah ada pada Tabel Dst. Bomal. Dega = 0 da p = 0,5. a) Dtaya : P(X=3) = p(3) = P(X 3) - P(X )? Jawab : Dar tabel : = 0; p = 0,5 pada bars = 3 ddapat P(X 3) = 0,79 da, pada bars = ddapat P(X ) = 0,0547 sehgga p(3) = 0,7. Jad peluag memperoleh 3 bay lak-lak = 0,7 b) Dtaya : P(X3)? Jawab : P(X3) = - P(X ) = 0,0547 = 0,9453 Jad peluag memperoleh palg sedkt 3 bay lak-lak = 0,9453. c) Dtaya : P(X 3)? Jawab : P(X 3) = 0,79 Jad, peluag memperoleh palg bayak 3 bay lak-lak = 0,79 d) Dtaya : P(X<3)? Jawab : P(X < 3 ) = P(X ) = 0,0547 Jad, peluag memperoleh kurag dar 3 bay lak-lak = 0,0547 e) Dtaya : P(X>3)? Jawab : P(X>3) = - P(X 3) = 0,79 = 0,88 Jad, peluag memperoleh lebh dar 3 bay lak-lak = 0,88 f) Dtaya : P( X 5)? Jawab : P( X 5) = P(X 5) - P(X ). Dar Tabel : =0; p = 0,5 pada bars = 5 ddapat P(X 5) = 0.630 da pada bars = ddapat P(X ) = 0,007 sehgga, P( X 5) = 0,63 Jad, peluag memperoleh atara da 5 bay lak-lak (klusf) = 0,63 g) Dtaya : P( < X < 5)? Jawab : P( < X < 5) = P(X 4) - P(X ). Dar Tabel : =0; p = 0,5 pada bars = 4 ddapat P(X 4) = 0,3770 sehgga, P( < X < 5) = 0,33 Buku Ajar (Modul) W Koad PROBABILITAS & STATISTIK 8
Jad, peluag memperoleh atara da 5 bay lak-lak (eksklusf) = 0,33. Dstrbus Multomal Cr-cr percobaa Multomal adalah : Dlakuka sebayak kal da atar percobaa salg bebas, artya hasl yag mucul pada sebuah percobaa tdak dpegaruh oleh hasl percobaa sebelumya da tdak mempegaruh hasl percobaa sesudahya Meghaslka k buah perstwa atau kategor, msalya E, E,, E k Peluag terjadya tap perstwa dketahu sebesar,,, k Msalka X meyataka perstwa E, E,, E k masg-masg sebayak,,, k, maka X adalah varabel dskrt berdstrbus multomal dega fugs peluag P(X= ) = p(,,, k) = k!!! k! k dega = = 0 < < =,,, k = 0,,, Cotoh 5 Dketahu peluag sejes lampu proyektor aka hdup : Kurag dar 40 jam = 0,30 : kategor Atara 40 80 jam = 0,50 : kategor Lebh dar 80 jam = 0,0 : kategor 3 Dar 8 lampu jes berapa peluag terdapat : dar kategor, 5 dar kategor, da dar kategor 3? Buku Ajar (Modul) W Koad PROBABILITAS & STATISTIK 9
Peyelesaa Dketahu : = 8; = 0,30; = 0,50; 3 = 0,0 Dtaya : p(,5,)? 8! Jawab : p(,5,) = 0,30 0,50 5 0, 0 = 0,0945!5!!.3 Dstrbus Hpergeometrk Cr-cr percobaa hpergeometrk adalah : Dalam sebuah populas berukura N, terdapat D termasuk kategor A. Dar populas dambl sampel berukura. Msal X adalah varabel yag meyataka bayakya kategor A dalam, maka X adalah varabel dskrt berdstrbus hpergeometrk dega fugs peluag : P(X=) = p() = D! N D!! N!! D!! N D! N! D D Dega rata-rata =, da varas N DN = N N N Cotoh.6 Dar 0 barag dketahu bahwa 5 dataraya cacat. Jka 0 barag dperksa, berapa peluag terdapat barag cacat? Peyelesaa Dketahu : N = 0, D = 5, da = 0 Msal X : jumlah barag cacat yag terdapat dalam Dtaya : P(X=)? Jawab : P(X=) = p() =! 5! 0 5!! 0 0! 5 5! 0! 0 5 0!0! 646 Buku Ajar (Modul) W Koad PROBABILITAS & STATISTIK 0
.4 Dstrbus Geometrk Cr-cr percobaa geometrk adalah : Dalam percobaa Bomal, jka varabel X meyataka terjad S pertama kalya pada percobaa yag ke, maka X merupaka varabel dskrt berdstrbus geometrk dega fugs peluag : P(X=) = p() = (-) - utuk =,, = 0 utuk laya Dega rata-rata = / Cotoh.7 Dketahu bahwa sebuah mes potesal meghaslka produk cacat dega peluag sebesar 0,05. Berapa peluag seorag pemerksa aka meemuka produk cacat pertama kalya pada pemerksaa ke 3? Peyelesaa Dketahu : = 0,05 (peluag terjad cacat) da = 3 Msal pemerksa meemuka produk cacat pertama kalya pada pemerksaa ke. Dtaya : P(X = 3) = p(3)? Jawab : P(X = 3) = p(3) = 0,05 (0,95) 3- = 0,045.5 Dstrbus Posso Cr-cr percobaa Posso adalah : Dalam lgkup besar ( ), frekues terjadya dharapka sagat jarag ( 0), dega rata-rata sebesar Frekues terjadya damat dalam terval waktu tertetu dega peluag terjad dalam selag t 0 sebesar t, peluag terjad perstwa satu kal atau lebh selama t dapat dabaka, da kejada atar selag waktu salg bebas Buku Ajar (Modul) W Koad PROBABILITAS & STATISTIK
Msal X adalah varabel yag memeuh krtera d atas, maka la-la X yag mugk adalah = 0,,,, da merupaka varabel dskrt berdstrbus Posso dega fugs peluag : P(X=) = p() = e! utuk = 0,,, da 0 = 0 utuk laya dega rata-ratasmpaga baku p = Cotoh 8 Kosume yag datag ke sebuah toko (orag/met) merupaka varabel dskrt berdstrbus Posso dega rata-rata,5. Berapa peluag pada met tertetu aka datag kosume : a) palg bayak 4 orag b) Lebh dar orag c) Palg sedkt orag d) Mmal orag da maksmal 4 orag e) Maksmal orag atau mmal 4 orag Peyelesaa Dketahu : X (kosume sebuah toko) ~ Posso( =,5), dega fugs peluag : p() =,5 e!,5 utuk = 0,,, = 0 utuk laya a) Dtaya : P(X 4) Jawab : Dar Tabel Dst. Posso, pada kolom = 4 ddapat agka 0,98. maka P(X 4) = 0,98 Jad, peluag peluag aka datag palg bayak 4 pegujug = 0,98 Buku Ajar (Modul) W Koad PROBABILITAS & STATISTIK
b) Dtaya : P(X >) Jawab : P(X >) = P(X ). Dar Tabel posso, pada kolom = ddapat agka 0,558. Maka P(X >) = 0,558 = 0,44 Jad, peluag peluag aka datag lebh dar pegujug = 0,44 c) Dtaya : P(X ) Jawab : P(X ) = P(0). Dar Tabel posso, pada kolom = 0 ddapat agka 0,3. Maka P(X ) = 0,3 = 0,777 Jad, peluag peluag aka datag palg sedkt seorag pegujug = 0,777 d) Dtaya : P( X 4) Jawab : P( X 4) = P(X 4) P(0) = 0,98 0,3 = 0,758 Jad, peluag peluag aka datag maksmal 4 da mmal pegujug = 0,758 e) Dtaya : P(X atau X 4) Jawab : P(X atau X 4) = P(X ) + P(X 4)= P(X ) + P(-P(X 3)). Dar Tabel Posso pada kolom = ddapat agka 0,809 da pada kolom = 3 ddapat agka 0,934. Maka P(X atau X 4) = 0, 875 Jad, peluag peluag aka datag maksmal atau mmal 4 pegujug = 0, 875 Teorema Chebysev Jka X berdstrbus peluag dega rata-rata da smpaga baku, maka peluag memperoleh sebuah la X = yag bedaya dega mmal sebesar k, palg besar k - Dalam otas peluag, teorema dtuls : P( - k ) k atau P( - < k ) - k Buku Ajar (Modul) W Koad PROBABILITAS & STATISTIK 3
Teorema dapat meujukka bahwajka smpaga baku semak kecl, maka peluag memperoleh la yag sagat dekat dega ratarataya semak besar, da sebalkya. Cotoh 9 Jumlah pelagga yag datag ke sebuah dealer mobl pada har Sabtu, merupaka varabel acak dega rata-rata 8 orag da smpaga baku,5 orag. Berapa peluag pada suatu Sabtu aka datag pelagga atara 8 da 8 orag? Peyelesaa Dketahu : = 8, =,5 Dtaya : P(8<X<8)? Jawab : dega megguaka dall Chebyshev ddapat, P(8<X<8) = P( -8 <,5k) - 8,5 = k k = k 8 8 = 4 -,5 k = - 6 = 0,9375 Maka P(8<X<8) = 0,9375 Jad, peluag pada suatu Sabtu tertetu aka datag peluag atara 8 da 8 orag adalah 0,9375 Buku Ajar (Modul) W Koad PROBABILITAS & STATISTIK 4
.. Dstrbus Kotu Defs Varabel kotu X dega harga-hargaya - < < membetuk dstrbus peluag dega fugs destas f(). Maka haruslah, f d = dega fugs dstrbus, P(X=) = F() = Rata-rata = = E() = f ( t) dt f df = f() d d() da, Varas = Var() = = E(X ) [E(X)] dmaa E(X ) = f d Atura-atura dstrbus kotu : a. P(X a) = P(X > a) = - f. P(a < X < b) = P(a < X b) = P(a X b) = f a 3. P(X = a) = f(a) = f a d b a d d, dmaa > 0 da sagat kecl Buku Ajar (Modul) W Koad PROBABILITAS & STATISTIK 5
Cotoh Varabel kotu X berdstrbus peluag dega fugs destas, f() = c(4 ) utuk 0 < < = 0 utuk laya a) Nla c! b) Peluag memperoleh la X atara 0,5 da,5! c) Peluag memperoleh lebh dar 0,5! d) Peluag memperoleh kurag dar! e) Peluag memperoleh lebh dar! f) Peluag memperoleh la X tepat sama dega! g) Htug rata-rata da varasya! Peyelesaa a) Karea f() fugs destas, maka haruslah : f () d = c4 d = c - 3 3 0 = 8 3 c = c = 3 8 0 sehgga f() = 8 3 (4 ) utuk 0 < < = 0 utuk laya b) Dtaya : P(0,5 < X <,5)? 0,5 3 Jawab : P(0,5 < X <,5) = 4 8 c) Dtaya : P(X > 0,5)? 0,5 Jawab : P(X > 0,5) = 3 4 8 0,5 d) Dtaya : P(X < )? Jawab : P(X < ) = 3 8 4 0 d = 3 8-3 3, 5 0,5 = 6 d = 3 8-3 3 7 0, 5 = 3 d = 3 8-3 3 0 = Buku Ajar (Modul) W Koad PROBABILITAS & STATISTIK 6
e) Dtaya : P(X > )? Jawab : P(X > ) = 0 karea X > dluar la X yag ddefska f) Dtaya : P(X = )?,5 3 P(X = ) = f() = 4 8 0,5 d = 6 g) Dtaya : = E() da = E(X ) [E(X)] Jawab : = E() =. 3 8 4 3 =. 8 4 0 0 d = 3 8-3 3 0 = d () = 3 8 4-5 5 0 - = 5.. Dstrbus Normal Msal X berdstrbus ormal dega rata-rata smpaga baku da smpaga baku [X N (,)], maka fugs destas X adalah, f() = ep utuk - < < Yag dsebut fugs destas dstrbus ormal umum Kemuda msalka z =. Maka z aka berdstrbus ormal dega rata-rata 0 (ol) da smpaga baku [zn(0,)] dega fugs destas, f(z) = ep z utuk - < < Yag dsebut fugs destas dstrbus ormal baku/stadar Buku Ajar (Modul) W Koad PROBABILITAS & STATISTIK 7
Kurva Dstrbus Normal mempuya cr-cr sebaga berkut : Berada d atas sumbu datar ( : dstrbus umum, z : dstrbus baku) Berbetuk smetrs sepert loceg, dega sumbu smetr pada : = (dstrbus umum), z = 0 (dstrbus baku), da terbuka ke bawah Berasymptoot pada 3 (rata-rata (3 smpaga baku)) Utuk keperlua perhtuga, telah terseda Tabel Fugs Dstrbus Normal Baku (Tabel, Lampra) dmaa agka-agka yag tercatum dalam bada tabel meyataka luas daerah d bawah kurva dstrbus ormal baku (dar - z) = P(Zz) atau F(z), yatu peluag memperoleh la Z (dar - z). Sebaga cotoh, pada bars z =,0 d bawah kolom 0,05 terdapat agka 0,853 yag artya adalah F(,05) = P(Z,05) = 0,853. Jka dstrbus bomal mempuya cukup besar ( ) sedemka hgga la = berharga tetap maka, statstk z = aka medekat dstrbus ormal dega rata-rata 0 smpaga baku (dstrbus ormal baku). Dstrbus merupaka pedekata dar dstrbus bomal ke dstrbus ormal. Karea dstrbus bomal adalah dstrbus dskrt, sedagka dstrbus ormal adalah dstrbus kotu, maka dperluka koreks kotutas utuk la yatu dega meambah da atau meguragya dega 0,5. Bayak sekal cotoh varabel berdstrbus ormal. D ataraya adalah tgg da berat mausa, s bersh makaa atau muma dalam kaleg, hasl pae pad per meter perseg, da sebagaya. Cotoh Waktu merakt sejes mes, berdstrbus ormal dega rata-rata da smpaga baku masg-masg,9 met da met. Berapa peluag seseorag yag sedag merakt mes tersebut, aka selesa dalam waktu Buku Ajar (Modul) W Koad PROBABILITAS & STATISTIK 8
a) palg lama met b) atara 0 da 5,8 met c) tepat 4 met Peyelesaa Msal X adalah waktu merakt, maka X N(,9;). Utuk megguaka Tabel Normal Baku, setap la X dtrasformaska mejad la Z dega trasformas,,9 z = = a) Dtaya, P(X)? Jawab : dega trasformas d atas, utuk = d dapat z,9 = = -0,95 sehgga, P(X) = P(Z -0,95). Dar Tabel Normal Baku ddapat, P(X) = P(Z -0,95) = 0,7 atau 7,% Jad peluag perakt aka selesa dalam waktu maksmum met adalah sebesar 7,% b) Dtaya P(0 < X< 5,8)? Jawab : dega trasformas d atas, utuk = 0 ddapat z = 0,9 =-,45 da utuk =5,8 ddapat z = 5,8,9 =,45 sehgga, P(0 < X< 5,8) = P(-,45 < Z<,45) = P( Z<,45). Dar Tabel Normal Baku ddapat, P(Z <,45) = 0,965 sehgga P(0 < X< 5,8) = 0,8530 atau 85,3 %. Jad peluag perakt aka selesa dalam waktu atara 0 da 5,8 met adalah 85,3 % c) Dtaya, P(X=4)? Jawab : Utuk pertayaa, la X harus drubah terlebh dulu dega meambah da meguragya dega 0,5 sehgga P(X=4) = P(3,5 < X < 4,5) Dega trasformas d atas, utuk = 3,5 ddapat Buku Ajar (Modul) W Koad PROBABILITAS & STATISTIK 9
3,5,9 4,5,9 z = = 0,3 da utuk = 5 ddapat z = = 0,8 sehgga, P(X=4) = P(0,3 < Z < 0,8) = P(Z< 0,8) P(Z< 0,3). Dar Tabel Normal Baku ddapat, P(Z< 0,8) = 0,788 da P(Z< 0,3) = 0,679 sehgga, P(X=4) = 0,70 atau 7,0% Jad peluag perakt aka selesa dalam waktu atara 0 da 5,8 met adalah 7,0%. Dstrbus Uform Msal X berdstrbus uform dega parameter da [X U(, ), maka fugs destas X adalah, f() = utuk < < = 0 utuk laya dega rata-rata, = ( + ) da varas, = ( - ) Cotoh 3 Dalam sebuah percobaa, kesalaha yag terjad ketka meetuka kepadata suatu baha, merupaka varabel acak berdstrbus Uform dega = -0,05 da = 0,05. Berapa peluag terjad kesalaha tersebut sebesar : a) Atara 0,0 da 0,05 b) Atara 0,0 da 0,0 Peyelesaa Msal X : kesalaha yag terjad ketka meetuka kepadata suatu baha maka, XU(-0,05 ; 0,05) dega fugs destas. f() = 0 utuk < < = 0 utuk laya Buku Ajar (Modul) W Koad PROBABILITAS & STATISTIK 30
a) Dtaya, P(0,0< X< 0,05)? Jawab : P(0,0< X< 0,05) = 0,05 0,0 b) Dtaya, P(-0,0 < X< 0,0)? Jawab : P(-0,0< X< 0,0) =.3. Dstrbus Epoesal 0 d = 0 = 0, 0,0 0,0 0,05 0,0 0 d = 0 = 0,48 0,0 0,0 Msal X berdstrbus ekspoesal dega parameter [X~ep()], maka fugs destas X adalah (dega rata-rata,da smpaga baku sama, yatu /), f() = e - utuk 0 = 0 utuk laya Msal, dalam megamat terjadya kerusaka kompoe. Pegamata dmula pada saat kompoe telah dpaka selama satua waktu, da X adalah waktu kerusaka kompoe, maka X berdstrbus Ekspoesal da parameter ( da ) dega fugs destas, f() = e - (- ) utuk 0 = 0 utuk laya dega rata-rata, = [(/) + ]; da smpaga baku, = / Cotoh 4 Varabel kotu X berdstrbus ekspoesal dega fugs destas, f() = ce - utuk > 0 = 0 utuk laya a) berapa c? b) berapa peluag memperoleh la X lebh dar? Buku Ajar (Modul) W Koad PROBABILITAS & STATISTIK 3
Peyelesaa a) Dtaya, c? Jawab : Karea f() adalah fugs destas, maka haruslah 0 f () d = 0 ce d = c - e - 0 sehgga f() = e - utuk > 0 = 0 utuk laya c) Dtaya, P(X >)? Jawab : P(X>) = e d = - Latha 0 = c= c=, e d = - -e - 0 = e-4. Dketahu 0% dar kerusaka yag terjad dalam sebuah proses produks otomats membutuhka waktu perbaa lebh dar met. Berapa peluag tga dar delapa kal kerusaka yag terjad dalam proses produks dalam proses produks, membutuhka perbaka a) Lebh dar met? b) Kurag dar met? c) Berapa peluag maksmal 3 dar 0 kerusaka perlu perbaka lebh dar met?. Peluag terjad huja pada har-har d bula Ju adalah sebesar 0,05. Berapa peluag pada bula Ju d tahu tertetu aka terjad huja pertama kalya pada taggal 0? 3. Dega megguaka Teorema Chebyschev, berapa peluag ampak mata 6 sebayak palg bayak 30 kal atau palg sedkt 05 kal dar 405 kal lempara dadu? 4. Jumlah pesaa yag dlaya oleh sebuah perusaa merupaka varabel acak dega rata-rata, = 4 ut da smpaga baku, = ut. Dega megguaka Teorema Chebyschev, berapa peluag pada suatu har telah dlaya pesaa sebayak atara 8 da 0 ut? Buku Ajar (Modul) W Koad PROBABILITAS & STATISTIK 3
5. Waktu cetak sebuah foto merupaka varabel acak berdstrbus ormal dega rata-rata 6,8 detk da smpaga baku 0, detk. Jka ada seseorag yag mecetak sebuah foto, berapa peluag bahwa da aka selesa dalam waktu (detk) : a) Atara 6, da 6,5 b) Lebh dar 6, c) Kurag dar 6,35 Buku Ajar (Modul) W Koad PROBABILITAS & STATISTIK 33
3. DISTRIBUSI SAMPLING Dar sebuah populas N, dambl k sampel acak masg-masg berukura ( =,,, k). Msalka,,, adalah la-la pegamata dar sampel ke-. Jka setap sampel dhtug la rata-rata da smpaga bakuya, maka aka ddapat rata-rata da smpaga baku masg-masg sebayak k buah. Nla-la tersebut aka membetuk dstrbus baru, yag dsebut dstrbus samplg atau dstrbus fugs varabel acak. Defs Segugus pegamata,,, dsebut sampel acak berukura yag dambl dar populas terhgga berukura N jka, sampel tersebut dplh sedemka rupa sehgga tap hmpua baga berukura dar populas tersebut memlk peluag terplh yag sama. Defs Sebuah hmpua pegamata,,, dsebut sampel acak berukura yag dambl dar populas tak terhgga f() jka,. Tap merupaka varabel acak yag dstrbusya berla f(). varabel acak tersebut salg bebas (depedet) 3. Dstrbus Samplg Rata-rata Jka dar sebuah populas berukura N yag mempuya rata-rata = da varas =, dambl sampel acak berukura, maka rata-rata sampel ( ) aka membetuk dstrbus peluag (dsebut dstrbus samplg rata-rata atau dstrbus rata-rata) dega, Rata-rata Smpaga baku jka 5% atau, N Buku Ajar (Modul) W Koad PROBABILITAS & STATISTIK 34
Kekelrua baku rata-rata, N N N N faktor koreks populas terhgga jka N > 5% Dall Lmt Pusat Jka adalah rata-rata dar sampel acak berukura yag dambl dar populas berukura N, maka utuk cukup besar (), statstk, Berdstrbus N(0,) Dalam praktek, pada umumya dall berlaku utuk 30 Cotoh Rata-rata tgg bada mahasswa adalah 65 cm dega smpaga baku 8,4 cm. Jka dambl sampel sebayak 45 mahasswa, tetuka peluag dar sampel aka dperoleh rata-rata tgg bada, a) Atara 60 cm da 68 cm? b) Palg sedkt 66 cm? Peyelesaa Dketahu : = 65 cm, = 8,4 cm, = 45 (cukup besar Dall lmt Pusat berlaku) Jka ukura populas tdak dsebutka, maka daggap N = a) Dtaya : berapa P(60 < X < 68)? 65 Jawab : megguaka DLP ddapat z = sehgga, 8,4 45 Buku Ajar (Modul) W Koad PROBABILITAS & STATISTIK 35
Utuk 60 65 = 60 z = 8,4 Utuk 68 65 = 68 z = 8,4 45 = -3,99 da, 45 =,40 sehgga, P(60 < X < 68) = P(-3,99 < Z <,40) = P(Z <,40) P(Z < -3,99) = 0,998 Jad, peluag memperoleh rata-rata atara 60 cm da 68 cm = 0,998 b) Dtaya : berapa P( X 66)? Jawab : megguaka DLP ddapat 65 z = 45 sehgga, 8,4 Utuk 66 65 45 = 66 z = = 0,80 sehgga 8,4 P( X 66 ) = P(Z 0,80) = - P(Z < 0,80). Dar Tabel Dstrbus Normal Baku ddapat, P(Z < 0,80) = 0,788 maka, P( X 66 ) = P(Z 0,80) = 0,9 Jad peluag memperoleh rata-rata atara palg sedkt 66 cm = 0,9 Dall Jka adalah rata-rata dar sampel acak berukura yag dambl dar populas berdstrbus ormal berukura N dega rata-rata, smpaga baku (dketahu), maka statstk, z = jka N 5% atau, Buku Ajar (Modul) W Koad PROBABILITAS & STATISTIK 36
N z = N jka N > 5% berdstrbus N(0,) Cotoh Is bersh cat merk C, berdstrbus ormal dega rata-rata luas area yag dapat dcat 53,3 m /gallo da smpaga baku 3,5 m /gallo. Jka aka dguaka cat merk C sebayak 40 gallo, berapa peluag aka dperoleh rata-rata hasl pegeceta atara 50 m da 50 m? Peyelesaa Dketahu : = 53,3 m /gallo, = 3,5 m /gallo, =40, dar sebuah populas ~ ormal Msal, X adalah rata-rata area yag dapat dcat dega gallo maka, Dtaya : berapa P(50 < X < 50)? Jawab : megguaka DLP ddapat 53,3 Utuk = 50 z = Utuk = 50 z = 3,5 40 50 53,3 3,5 sehgga 40 = -0,66 da, 50 53,3 40 =,34 sehgga, 3,5 P(50 < X < 50) = P(-0,66 < Z <,34) = P(Z<,34) P(Z< -0,66). Dar Tabel Dstrbus Normal Baku ddapat P(Z<,34) = 0,9099 da P(Z< -0,66) = 0,546 maka, P(50 < X < 50) = P(-0,66 < Z <,34) = 0,6553. Jad, peluag memperoleh rata-rata atara 50 m da 50 m = 0,6553 Buku Ajar (Modul) W Koad PROBABILITAS & STATISTIK 37
Dall Jka da s adalah rata-rata da smpaga baku dar sampel acak berukura yag dambl dar populas berdstrbus ormal berukura N dega rata-rata, smpaga baku (tdak dketahu), maka statstk, t = jka 5% atau, t = N jka > 5% s N s N N Berdstrbus t-studet dega derajat kebebasa = -. Msal X adalah varabel acak berdstrbus t-studet dega derajat kebebasa. Maka fugs destas X adalah : / / / f ( ) utuk - < < = 0 utuk laya Jka, la t (dstrbus t) aka medekat z (dstrbus ormal baku). Pedekata umumya mula berlaku jka 30. Kurva dstrbus t- Studet, adalah mrp dega kurva dstrbus ormal yatu smetrs. Cotoh 3 Produse sekerg merk S meyataka bahwa jka terjad kelebha beba sebayak 0% maka produkya aka putus dalam waktu (ratarata),40 met. Telah duj 0 ut sekerg (dber beba lebh sebayak 0%) meghaslka smpaga baku,48 met. Jka waktu yag dmaksud berdstrbus ormal, tetuka berapa peluag aka terjad putus sekerg dalam waktu (rata-rata) lebh dar 0,63 met! Peyelesaa : Dketahu : =,40 met, s =,48 met, = 0 (v = 9), dar sebuah populas ~ ormal. Msal X adalah rata-rata waktu putus sekerg maka, Dtaya : berapa P( X > 0,63)? Jawab : Buku Ajar (Modul) W Koad PROBABILITAS & STATISTIK 38
Megguaka rumus t-studet ddapat t 0 s,48 sehgga, utuk 0,63,40 = 0,63 t =,48 =,40 = 0 = -3,9 da, P( X > 0,63) = P(T > -3,9) = P(T < 3,9) = - P(T > 3,9). Dar Tabel Dstrbus t-studet (v = 9) ddapat, P(T >,86) = 0,005 maka, karea 3,9 >,86 maka P(T > 3,9) < 0,005 sehgga, P( X > 0,63) = P(T > -3,9) = P(T < 3,9) > 0,995 Jad peluag aka terjad putus sekerg dalam waktu (rata-rata) lebh dar 0,63 met sagat besar, yatu > 0,995. Dar dua populas (rata-rata : da, smpaga baku : da ), dambl sampel berukura da. jka s da s adalah rata-rata da smpaga masg-masg sampel maka ( ) berdstrbus peluag (dsebut dstrbus samplg dua rata-rata, atau dstrbus dua rata-rata dega, Rata-rata = Smpaga baku gab jka gab jka = = Dall 3 Msalka, s ;, s adalah rata-rata da smpaga baku dar dua sampel acak berukura da yag dambl dar dua populas Buku Ajar (Modul) W Koad PROBABILITAS & STATISTIK 39
Buku Ajar (Modul) W Koad PROBABILITAS & STATISTIK 40 berdstrbus ormal dega rata-rata da smpaga baku, da, smpaga baku. Jka = = da dketahu maka statstk, z = N(0,). Jka = = tap tdak dketahu maka statstk, t = s s t V, v = ( + - ) 3. Jka tap dketahu maka statstk, z = s N(0,) 4. Jka tdak dketahu maka statstk, t = s t V, v = / / s s s s Cotoh 4 Rata-rata tgg mahasswa pra (populas ) 63 cm dega smpaga baku 5, cm da, rata-rata tgg mahasswa wata (populas ) 5 cm dega smpaga baku 4,9 cm, keduaya berdstrbus ormal. Dar kedua populas mahasswa tersebut masg-masg dambl sampel berukura sama, yatu 40 mahasswa. Berapa peluag aka dperoleh rata-rata tgg mahasswa pra palg sedkt 0 cm lebh tgg dar ratarata tgg mahassw wata? Peyelesaa Dketahu : = = 40, = 63, = 5, = 5,, = 4,9, populas ~ ormal
Msal, : rata-rata tgg bada sampel pra da : rata-rata tgg bada sampel wata, maka Dtaya : berapa P 0? Jawab : karea tap dketahu, maka z = 40 = s 40 5, 4,9 0 40 40 =0 ddapat, z = 40 5, 4,9 0 Utuk 40 = -,66 sehgga, P = P(Z -,66) = P(Z< -,66). Dar Tabel Normal Baku ddapat, P(Z< -,66) = 0,0485 sehgga, P 0 = P(Z -,66) = 0,955 Jad, peluag rata-rata tgg mahasswa pra palg sedkt 0 cm lebh tgg dar rata-rata tgg mahasswa wata = 0,955 3.. Dstrbus Samplg Varas Jka dar populas ormal (varas = ) dambl sampel acak berukura, maka varas sampel (s ) aka membetuk dstrbus peluag (dsebut dstrbus samplg varas, atau dstrbus varas). Da jka dar dua populas ormal (varas :, ), dambl sampel berukura da, maka varas sampel s da s aka berdstrbus peluag (dsebut dstrbus samplg dua varas, atau dstrbus dua varas) Dall 4 Jka s adalah varas dar sampel acak berukura yag dambl dar populas berdstrbus ormal dega smpaga baku, maka statstk Buku Ajar (Modul) W Koad PROBABILITAS & STATISTIK 4
s ~ (berdstrbus Ch-Kuadrat dega dk = -) rata-rata s = (-) / varas s = (-)( /) Msal varabel acak X berdstrbus Ch-Kuadrat dega derajat kebebasa atau dk =. Maka fugs destas X adalah, f / / e utuk > 0 / / = 0 utuk laya Kurva dstrbus Ch-Kuadrat betukya mrg postf. Cotoh 5 Sebuah perusahaa optk, aka meerma paket krma kaca jes K dmaa berdasarka pegalamaya, dketahu bahwa kaca jes memlk varas deks refleks sebesar,6 0-4. Phak perusahaa meetapka bahwa, krama aka dtolak jka varas deks refleks dar 0 ut sampel kaca yag dkrmka meghaslka varas deks refleks lebh dar,00 0-4. Jka deks refleks kaca berdstrbus ormal, tetuka peluag bahwa krma aka dterma! Peyelesaa Dketahu : = 0, =,6 0-4 da s =,00 0-4 Msal, X : deks refleks kaca dega varas s maka, Dtaya : berapa P(varas X <,00 0-4 )? s 9s Jawab : sehgga,,6 0 Utuk s =,00 0-4 ddapat, maka, 4 9,00 0,6 0 P(s <,00 0-4 ) = P( < 30,) = -P( > 30,). Dar Tabel Dstrbus Ch Kuadrat (v = 9) ddapat, P( > 30,44) = 0,05 sehgga, P( > 30,) < 0,05 Maka, P( < 30,) = - P( > 30,) > 0,975 4 4 Buku Ajar (Modul) W Koad PROBABILITAS & STATISTIK 4
Jad, peluag bahwa krma aka dterma adalah cukup besar yatu lebh dar 0,975 Dall 5 Jka s da s adalah varas dar dua dua sampel acak berukura da yag dambl dar dua populas berdstrbus ormal, maka statstk, s F ~ F, atau berdstrbus F s dega, derajat kebebasa pemblag, = ( -), derajat kebebasa peyebut = ( -) Msal, varabel acak X berdstrbus F dega derajat kebebasa pemblag atau v = da derajat kebebasa peyebut atau v =, maka fugs destas X adalah, f / / / / / / utuk > 0 / = 0 utuk laya Kurva dstrbus F berbetuk kurva mrg postf. Dalam pegguaa aka berlaku hubuga F ; v, v F ; v, v Buku Ajar (Modul) W Koad PROBABILITAS & STATISTIK 43
3.3. Dstrbus Samplg Propors Dalam sebuah populas berukura N, terdapat y aggota dataraya termasuk kategor A. Maka, propors kategor A dalam populas, = y/n. Jka dar populas dambl sampel acak berukura da aggota dataraya termasuk kategor A, maka propors kategor A dalam sampel, p = / aka membetuk dstrbus peluag (dstrbus samplg propors atau dstrbus propors) dega, Rata-rata Smpaga baku p = N N p jka > 5% N p p : kekelrua baku propors, jka N 5% atau, N : faktor koreks populas terhgga N Dalam dua populas berukura N da N, terdapat y da y aggota dataraya termasuk kategor A. maka, propors A dalam populas masg-masg, = y /N da = y /N. Jka dar masg-masg populas dambl sampel acak berukura da dmaa masgmasg sebayak da aggota dataraya termasuk kategor A, maka propors kategor A dalam kedua sampel masg-masg, p = / da p = / aka membetuk dstrbus peluag (dsebut dstrbus samplg dua propors atau dstrbus dua propors) dega Rata-rata p p sp Smpaga baku p p sp Buku Ajar (Modul) W Koad PROBABILITAS & STATISTIK 44
Dall 6 Dar populas dmaa terdapat kategor A dega propors sebesar, dambl sampel acak berukura. Jka p adalah propors kategor A dalam, maka utuk (umumya utu 30) statstk z = p ~ N(0,) atau berdstrbus ormal baku Cotoh 6. Ada petujuk kuat bahwa 0% aggota masyarakat daerah D termasuk gologa A. Dar 00 orag aggota masyarakat daerah D yag dtemua, tetuka berapa peluag terdapat sedktya orag termasuk gologa A? Peyelesaa Dketahu = 00, = 0% = 0, Msal, X : bayakya gologa A dalam maka, Dtaya : berapa P(X 5) = P(p 0,5)? p 00 p 0, Jawab : megguaka z = hgga Utuk p = 0,5 ddapat. z = 00 0,5 0, 0, 0,9 0, 0,9 =,67. Maka, P(p 0,5) = P(Z,67) = - P(Z <,67) Dar tabel ormal baku, P(Z <,67) = 0,955 Sehgga P(p 0,5) = P(Z,67) = - P(Z <,67) = 0,0475 Jad, peluag aka bertemu dega palg sedkt 5 orag dar gologa A = 0,0475 Dall 7 Dar data populas dmaa terdapat kategor A dega propors masgmasg sebesar da, dambl sampel acak masg-masg berukura da. ja p da p adalah propors kategor A dalam masg-masg sampel maka, utuk (umumya utuk 30, =,) statstk, Buku Ajar (Modul) W Koad PROBABILITAS & STATISTIK 45
z = p p baku ~ N(0,) atau berdstrbus ormal Cotoh 7 Mejelag sebuah pemlu, ada petujuk kuat bahwa 60% calo pemlh aka memlh parta A. Dar dua daerah pemlha, telah dwawacara masg-masg sebayak 300 calo pemlh. Tetuka berapa peluag terjad selsh persetase yag aka memlh parta A d kedua daerah pemlha tdak lebh dar 0%! Peyelsesaa Dketahu = = 300, = = 60% = 0,6 Msal, p : propors yag aka memlh parta A dalam (=,) maka, Dtaya P( p - p 0,) = P(-0, (p - p ) 0,)? p p 300 p p 0 Jawab : z = = 300 0,6 0,4 Sehgga, utuk (p-p) = -0, ddapat utuk (p-p) = 0, ddapat 300 0, = -,50 da 300 0,6 0,4 300 0, =,50 sehgga 300 0,6 0,4 P( p - p 0,) = P(-, 5 Z,5) = P(Z,5) - P(Z -,5), Dar Tabel Dstrbus Normal Baku ddapat P(Z,5) = 0,9938 da P(Z -,5) = 0,006. Maka P( p - p 0,) = 0,9876 Jad, peluag aka terjad selsh propors pemlh tdak lebh dar 0% = 0,9876 Buku Ajar (Modul) W Koad PROBABILITAS & STATISTIK 46
Latha. Dalam populas yag terdr atas 3000 objek, 000 objek dataraya berla 0 da ssaya berla. a) Htug da! Jka dar populas dambl 00 buah sampel masg-masg berukura 0, kemuda dhtug rata-rata da varasya. b) Berapa dharapka rata-rata da varas dar 00 rata-rata yag dperoleh? Jka ukura sampel yag dambl adalah 5, c) Httuglah kekelrua baku rata-rata! d) Agara kekelrua baku rata-rata palg besar 0,05 berapa seharusya?. Jka rata-rata berat bada peumpag pesawat dar Dallas ke El Peso berdstrbus ormal dega rata-rata 63 po da smpaga baku 8 po, berapa peluag dea 36 orag peumpag, pesawat aka memlk beba : a) Lebh dar 6000 po? c) Atara 5760 po da 5976 po? b) Kurag dar 6500 po? d) Atara 6000 po da 7000 po? 3. Sebuah sampel acak berukura 0 telah dambl dar populas berdstrbus ormal dega varas 4,5. Htug peluag memperoleh smpaga baku sampel atara 3,4 da 8,94! 4. Telah dkrmka 5000 pet gelas dega kemasa 00 gelas/pet. Dar pegalama dketahu bahwa dalam pegrma basaya trejad pecah gelas sebayak 5%. Berapa pet dharapka bers gelas utuh palg sedkt 98 buah! 5. Sepuluh perse peduduk sebuah daerah mederta peyakt A. Jka catata d sebuah rumah sakt (dalam tahu tertetu) ada 900 orag peduduk daerah tersebut yag telah berobat, berapa peluag telah dobat pederta peyakt A sebayak : a) Palg bayak 75 orag? d) Atara 80 da 95 orag? b) Lebh dar 98 orag? e) Tdak lebh dar 00 orag? c) Tdak kurag dar 60 orag? f) Maksmum 90 orag? Buku Ajar (Modul) W Koad PROBABILITAS & STATISTIK 47
4. PENGOLAHAN DATA STATISTIK Ukura Pemusata Termasuk ke dalam ukura adalah rata-rata da modus. Rata-rata terdr dar rata-rata htug, rata-rata ukur da rata-rata harmok. Karea yag palg bayak dpaka adalah rata-rata htug, maka dalam dktat haya aka dbahas rata-rata htug, selajutya aka dsebut rata-rata. Notas yag umum dguaka dalam meyataka rata-rata adalah utuk rata-rata populas da utuk rata-rata sampel.. Rata-rata htug Msal,,, adalah buah data (dskrt atau kotu) yag belum dsajka dalam DDF (ugrouped data), yag dambl dar sebuah populas berukura N dega data,,, N. Maka rata-rata ( : populas, : sampel) dhtug dega rumus : da N N Sedagka jka data tersebut telah dsajka dalam DDF (grouped data), rata-rata dhtug dega rumus berkut k Cara pajag, f Cara pedek, N 0 p k f C da k f = Ttk Tegah; 0 : yag sekelas dega C = ( - 0 ) = 0 p Buku Ajar (Modul) W Koad PROBABILITAS & STATISTIK 48
Utuk meghtug dega cara pedek, gat pada rumus cara pedek dega N. Da, melhat rumus cara pedek maka Tabel.4 harus dtambah kolom C da fc. Modus Dapat dguaka sela utuk mecar rata-rata data kuattatf, juga dapat dguaka utuk mecar rata-rata data kualtatf. Modus, adalah agka (kuattatf) atau atrbut (kualtatf, msal : bak, cacat) yag palg bayak mucul. Jad, utuk ugrouped data, modus adalah data/agka yag palg bayak mucul. Jka haya satu agka atau satu atrbut yag palg bayak mucul, dsebut umodal. Jka lebh dar satu, dsebut multmodal. Utuk grouped data. Modus dhtug dega rumus, pb M o = b + b b b : frekues kelas M o dkurag frekues kelas sebelumya b : frekues kelas M o dkurag frekues kelas berkutya b : frekues kelas M o dkurag frekues kelas berkutya p : frekues kelas M o dkurag frekues kelas berkutya Kelas Modus adalah kelas dega frekues terbesar.3 Ukura Letak (Meda, Kuartl, Desl da Persetl) Dega Persetl, data dbag mejad 00 baga yag sama, masgmasg baga sebesar % Drega Desl, data dbag mejad 0 baga yag sama, masgmsg baga sebesar 0% Dega Kuartl, data dbag mejad 4 baga yag sama, masgmasg baga sebesar 5% Dega Kuartl, data dbag mejad 4 baga yag sama, masgmasg baga sebesar 5% Buku Ajar (Modul) W Koad PROBABILITAS & STATISTIK 49
Berdasarka pera ukura-ukura maka, terdapat hubuga berkut : Persetl ke-90 = Desl ke-9 Persetl ke-80 = Desl ke-8 Persetl ke-70 = Desl ke-7 Persetl ke-75 = Kuartl ke-3 (Atas) Persetl ke-60 = Desl ke-6 Persetl ke-50 = Desl ke-5 = Kuartl ke- (Meda) Persetl ke-40 = Desl ke-4 Persetl ke-30 = Desl ke-3 Persetl ke-5 = Kuartl ke- (Bawah) Persetl ke-0 = Desl ke- Persetl ke-0 = Desl ke- Msal,,,, adalah buah data (dskrt atau kotu). Persetl, Desl, Kuartl, da Meda dhtug dega rumus yag tercatum pada Tabel 3.. Utuk ugrouped data, empat ukura dcar setelah data durut dar data terkecl sampa dega data terbesar, sedagka utuk grouped data, rumus pada Tabel 3. dapat lagsug dguaka. Tabel Rumus Ukura-Ukura Letak Rumus Ugrouped Data data ke - 00 data ke - data ke - 0 4 Nama da Notas Persetl, P ; =,,,99 Desl, D ; =,,,9 Kuartl, K ; =,,3 Rumus Grouped Data p b+ F f 00 p b+ F f 0 p b+ F f 4 Buku Ajar (Modul) W Koad PROBABILITAS & STATISTIK 50
data ke - Meda, p b+ F M e f Utuk dapat megguaka rumus-rumus dalam Tabel 3., perlu dpaham art dar otas yag ada d dalam rumus-rumus tersebut, yatu Persetl ke- (P ) : : letak P yatu kelas dega frekues kumulatf 00 00 b : batas bawah kelas P f : frekues kelas P F : jumlah frekues sebelum kelas P p : pajag kelas Desl ke- (D ) : 0 b f F p Desl ke- (D ) : 0 b f F p : letak P yatu kelas dega frekues kumulatf : batas bawah kelas D : frekues kelas D : jumlah frekues sebelum kelas D : pajag kelas : letak P yatu kelas dega frekues kumulatf : batas bawah kelas D : frekues kelas D : jumlah frekues sebelum kelas D : pajag kelas 0 0 Buku Ajar (Modul) W Koad PROBABILITAS & STATISTIK 5
Kuartl ke- (K ) : : letak P yatu kelas dega frekues kumulatf 4 b : batas bawah kelas K f : frekues kelas K F : jumlah frekues sebelum kelas K p : pajag kelas 4 Meda (M e) : b f F p : letak P yatu kelas dega frekues kumulatf : batas bawah kelas M e : frekues kelas M e : jumlah frekues sebelum kelas M e : pajag kelas.3 Ukura Dspers ). Varas da Smpaga Baku Yag aka d bahas dalam dktat adalah smpaga baku da varas (varas) karea, dua ukura dspers yag palg serg dguaka. Hubuga atara smpaga baku dega varas adalah : Varas = kuadrat dar Smpaga Baku. Notas yag umum dguaka utuk smpaga baku adalah (sgma) utuk smpaga baku populas da s utuk smpaga baku sampel. Ukura merupaka ukura statstk yag meujukka sampa sejauh maa varabltas data yag terkumpul. Mak kecl la ukura, meujukka varabltas data mak redah atau dapat dkataka bahwa data relatf seragam, da sebalkya. Buku Ajar (Modul) W Koad PROBABILITAS & STATISTIK 5
Buku Ajar (Modul) W Koad PROBABILITAS & STATISTIK 53 Msal,,, adalah buah data (dskrt atau kotu) yag belum dsajka dalam DDF (ugrouped data), yag dambl dar sebuah populas berukura N dega data,,, N. Maka varas( : populas, s : sampel) dhtug dega rumus : Ugrouped data N N N N da s Grouped data Cara pajag, N f f N N N da f f s Cara pedek, N C f C f N p N N da C f C f s : ttk tegah, f: frekues, da C = 0 p Utuk meghtug smpaga baku, maka jka la varas sudah dperoleh maka la varas tersebut dakarka.
.4. Agka Baku da Koefse Varas Agka baku pada umumya dguaka utuk membadgka palg sedkt dua buah la. Suatu la dkataka lebh bak dbadgka dega la laya apabla mempuya agka baku yag lebh beasr atau lebh kecl (tergatug pada permasalaha yag dhadap). Msal utuk membadgka dua la hasl uja, tetuya yag memlk agka baku yag lebh besar yag meyataka lebh bak. Agka baku ddefska dega rumus : Z la rata rata smpagabaku s Koefse varas keguaaya sama dega agka baku, perbedaa yag medasar adalah jka agka baku dguaka utuk membadgka suatu la tertetu, sedagka koefse varas dguaka utuk membadgka keragama dar suatu dvdu dbadgka dega dvdu la. Msalya dalam pemlha mes yag meghaslka produk serupa, dar dua mes yag masg masg mempuya rata-rata da smpaga tertetu. Mes yag dplh adalah yag mempuya koefse varas yag kecl, karea la tersebut meujukka kosstes (varabltas dvdu). Rumus koefse varas ddefska sebaga : KV Smpaga Baku s 00% 00% Rata rata.5. Rata-rata da Smpaga Baku Gabuga Msal, telah dambl k buah sampel. Kemuda, dar tap sampel dhtug rata-rata da smpaga baku. Maka, aka dperoleh k buah la ratarata da k buah la smpaga baku. Selegkapya, dapat dlhat dalam Tabel ; Buku Ajar (Modul) W Koad PROBABILITAS & STATISTIK 54
Tabel Rata-rata da Smpaga Baku Sampel Ke Ukura Rata-rata Smpaga Baku s k k k Jumlah - - Berdasarka tabel d atas, rata-rata gabuga da smpaga baku gabuga dar seluruh sampel dapat dhtug dega : gab k k da s gab k k s s k Cotoh Nla eam kal ulaga Dda adalah 0, 8, 8, 9, 7, da 9 a) Tetukalah la rata-rata ulaga Dda tersebut b) Tetukalah varas da smpaga baku ulaga Dda c) Tetukalah Modus da Meda la ulaga Dda d) Tetukalah Kuartl da Kuartl 3 ulaga Dda Peyelesaa 0 8 8 9 7 9 5 a) = 8,5 6 6 Jad la rata-rata ulaga Dda adalah 8,5 6 b) = 6, = 5, = 439 6 s Buku Ajar (Modul) W Koad PROBABILITAS & STATISTIK 55
s 6 439 6 6 5 33 = =, 30 s =, =.048809. Jad varasya adalah, sedagka la smpagaya adalah.048809 c) Modus (agka yag serg mucul) dar ulaga Dda adalah 8 da 9. Sebelum meghtug Meda terlebh dahulu data durutka dar data terkecl sampa data terbesar. Uruta dataya mejad 7, 8, 8, 9, 9, 0. Maka, la Meda ulaga Dda (karea dataya geap) dlakuka perhtuga megguaka rumus : 8 9 = 8,5 Meda = 3 4 Jad la Modus = 8 da 9. Sedagka la Medaya = 8,5 d) Letak K = data ke ¼ (+) = data ke ¼ (6+) = data ke,75 Nla K = + 0,75 ( ) = 7 + 0,75(8 7) = 7,75 Letak K 3 = data ke ¾ (+) = data ke ¾ (6+) = data ke 5,5 Nla K 3 = 5 + 0,5 ( 6 5) = 9 + 0,5 (0 9) = 9,5 Jad la Kuartl = 7,75 da la Kuartl 3 = 9,5 Cotoh Tgg bada (cm) 80 mahasswa sebuah PT dsajka dalam daftar dstrbus frekues berkut Tgg Bada (cm) Frekues (f) 54 56 8 57 59 60 6 4 63 65 0 66 68 69 7 9 7 74 6 Jumlah 80 Buku Ajar (Modul) W Koad PROBABILITAS & STATISTIK 56
a. Tetukalah la rata-rata tgg bada mahasswa b. Tetukalah varas da smpaga baku tgg bada mahasswa c. Tetukalah Modus da Meda la tgg bada mahasswa d. Tetukalah Kuartl da Kuartl 3 tgg bada mahasswa e. Tetukalah Persetl 0 da 90 tgg bada mahasswa f. Htuglah Rata-rata atar kuartl tgg bada mahasswa Peyelesaa Tgg Bada frekues Nla Tegah (cm) (f) () f. f. 54 56 8 55 40 900 57 59 58 738 74604 60 6 4 6 54 36894 63 65 0 64 380 53790 66 68 67 004 334668 69 7 9 70 530 6000 7 74 6 73 038 79574 Jumlah 80 3084 4960 a) b) 0384 f = 63,55 80 Jad rata-rata tgg bada mahasswa tersebut adalah 63,55 cm s f f s = 6367, = 404.564 80.4960 3084 6367. 80(80 ) Jad varas da smpaga baku tgg bada mahasswa masg-masg adalah 6367. da 404.564 pb 3.4 c) M o = b + = 6,5 + = 64,5385 b b 4 Buku Ajar (Modul) W Koad PROBABILITAS & STATISTIK 57
Letak Meda = data ke / = data ke 80/ = data ke 40 p 3 80 Me = b+ F = 6,5 + 33 = 63,55 f 0 Jad la Modus = 64,5385cm da medaya = 63,55cm d) Letak K = data ke /4 = data ke 80/4 = data ke 0 p 3 80 K = b+ F = 59,5+ 9 = 59,7486 f 4 4 4 Letak K 3 = data ke 3/4 = data ke 3 80/4 = data ke 60 p 3 3 80 K 3 = b+ F = 65,5+ 53 = 67,5 f 4 4 Jad K = 59,7486 cm da K 3 = 67,5 cm e) Letak P 0 = data ke 0 /00 = data ke 800/00 = data ke 8 p 3 0 80 P 0 = b+ F = 53,5 + 0 =56,5 f 00 8 00 Letak P 90 = data ke 90 /00 = data ke 70/00 = data ke 7 p 3 90 80 P 90 = b+ F = 68,5 + 65 =70,8333 f 00 9 00 Jad P 0 = 56,5 cm da P 90 = 70,8333 cm e) Rata-rata atar kuartl RAK = ½ (K +K 3) = ½ (59,7486 + 67,5) = 63.48 Jad Rata-rata atar kuartl tgg bada mahasswa = 63.48 Cotoh 3 Aka dplh satu dar dua asste Lab. Statstka Idustr, dega dasar la statstka yag dperolehya. Calo A, medapat la 7 dalam kelompok yag mempuya rata-rata 6 smpaga baku 0,7; calo B, medapat la 7,5 dalamkelompok yag mempuya rata-rata 7 smpaga baku 0,9. Calo maa yag sebakmya dterma? Buku Ajar (Modul) W Koad PROBABILITAS & STATISTIK 58
Peyelesaa Agka baku kedua calo adalah : Z A = A s A A 7 6 0,7 =,43 da Z B = B s B B 7,5 7 0,9 = 0,56 Karea Z A > Z B, maka calo A yag harus dpertmbagka utuk dterma Cotoh 4 Pegukura dameter bola, dlakuka dega dua alat ukur (sejes tap berbeda merk). Dega alat ukur A, hasl pegukura meghaslka ratarata 3,9 mm smpaga baku 0,05 mm; sedagka dega alat ukur B rata-rata,54 ch smpaga baku 0,008. Alat ukur maa yag lebh press? Peyelesaa KV A = KV B = s s A A B B 00% = 00% = 0,05 3,9 0,008,54 00% = 0,38% 00% = 0,5% Karea KV B > KV A maka A lebh press dar B. Cotoh 5 Dua sampel telah dambl. Sampel pertama berukura 0 meghaslka rata-rata 6 smpaga baku 0,7; sedagka sampel kedua, berukura 8 meghaslka rata-rata 7 smpaga baku 0,9. Htuglah rata-rata da smpaga baku gabuga dar kedua sampel! Peyelesaa Dketahu : = 0 ; = 8 ; s = 0,7 ; s = 0,9 ; = 6 da = 7. Maka, Buku Ajar (Modul) W Koad PROBABILITAS & STATISTIK 59
0.6 8.7 gab = 6,44 0 8 s 9(0,7) 7(0,9) s gab = 0,794 0 8 Latha. Berkut dberka data umur (tahu) dar 3 orag eksekutf yag dperoleh dar sebuah survey. 45 45 46 4 44 44 4 44 48 4 44 45 45 46 43 44 4 44 45 45 44 4 43. Dar data tersebut, htug : Modus, Meda, kuartl (atas, bawah, tegah), desl (ke :, 6 da 8), persetl (ke : 5, 30, 45, 65, 85, da 95), rata-rata, smpaga baku da koefse varas! Kemuda terpretaska.. Data berkut adalah IQ dar 40calo mahasswa sebuah pergurua tgg, yatu 74 84 79 84 85 90 9 77 76 87 8 8 9 90 93 97 0 06 05 06 6 05 79 8 85 97 9 95 04 07 06 03 6 8 88 97 9 0 04 3. a) Sajka data dalam DDF! b) Htug modus, meda, kuartl atas, desl ke-4, da persetl 55! c) Htug rata-rata da smpaga baku dega cara pedek! d) Jka yag aka dterma mejad mahasswa adalah 85% peserta yag mempuya IQ tertgg, tetuka batas terredah IQ yag dapat dterma! e) Tetuka batas tertgg dar 65% calo mahasswa yag memlk IQ terredah! Buku Ajar (Modul) W Koad PROBABILITAS & STATISTIK 60
3. Berkut adalah data waktu peyelesaa (met) suatu pekerjaa dar dua kelompok pekerja. Kelompok : 79 78 87 8 8 84 89 99 96 96 97 90 94 93 Kelompok : 74 85 79 84 85 90 9 77 76 87 8 8 9 Kelompok maa yag lebh merata kemampuaya! 4. Berkut adalah data la pelatha (skala 0 00) Pegedala Kualtas dar dua kelompok pekerja Kelompok : 89 78 87 8 8 84 89 90 9 95 9 90 9 93 Kelompok : 78 85 79 84 85 90 9 77 76 87 8 8 9 a) Apakah peserta dega la 78 d kelompok lebh berprestas dar peserta dega la 78 d kelompok? b) Kelompok maa yag memlk prestas lebh merata? c) Htug rata-rata da smpaga baku gabuga dar la kedua kelompok! 5. Dega data pada soal omor 4, ada berapa orag (dar tap kelompok) yag dapat dpromoska mejad Kepala Dvs Qualty Cotrol jka yag aka dpertmbagka adalah 5% dar peserta dega la tertgg? Buku Ajar (Modul) W Koad PROBABILITAS & STATISTIK 6
Tabel Z; Luas Daerah D Bawah Kurva Normal Baku Agka dalam bada tabel meyataka la F(z) = P( Z z) = z e z / dz Buku Ajar (Modul) W Koad PROBABILITAS & STATISTIK 6
Tabel Z. Luas Daerah D Bawah Kurva Normal Baku Agka dalam bada tabel meyataka la F(-z) = P( Z -z) = z e z / dz Buku Ajar (Modul) W Koad PROBABILITAS & STATISTIK 63
CARA BACA TABEL-t JIKA KITA MAU MENGUJI PERBEDAAN DUA KELOMPOK DATA (X) DAN (X) YANG SALING INDEPENDENT MAKA SETELAH DI HITUNG STATISTIK t-htug MAKA AMBIL t-tabel dega melhat Tabel t berkut; Msalka, - Sampel data kelompok- = = 0 - Sampel data kelompok- = = sehgga total data = - Guaka taraf uj 5%, dalam arta kta yak hasl uj bear 95% Maka membaca Table-t adalah; Htug deajat bebas uj : v = = = 0 Baca bars v = 0, da kolom 0.05 == dalam table tercatat : t-tabel =,75 Buku Ajar (Modul) W Koad PROBABILITAS & STATISTIK 64