BAB 2 LANDASAN TEORI 2.1 Sistem Persamaan Linier Sistem Persamaan dengan m persamaan dan n bilangan tak diketahui ditulis dengan : Dimana x 1, x 2, x n : bilangan tak diketahui a,b : konstanta Jika SPL diatas ditulis dalam bentuk matriks, maka : A x = b Matriks A dinamakan dengan matriks koefisien dari SPL. Vektor x dinamakan dengan vektor variable dan vektor b dinamakan dengan vektor b konstanta. 14
2.2 LU Dekomposisi Sistem persamaan n x n dapat ditulis dalam bentuk matriks : Akan ditunjukkan bahwa algoritma Gauss sederhana yang diterapkan pada A dapat memfaktorkan A menjadi hasil kali dua matriks diagonal bawah Dan matriks diagonal atas Dengan kata lain dapat diperoleh, A = LU 15
2.3 Invers Matriks Jika diketahui 2 besaran a dan x sedemikian sehingga ax = 1, maka dikatakan x adalah kebalikan dari a dan nilai x = 1/a = a -1. Jika A dan I keduanya matriks bujur sangkar dan ordenya sama maka [I] [A] = [A] [I] = [A]. Jika terdapat suatu matriks bujur sangkar [X] yang berorde sama sehinggga [A] [X] = [I] maka dikatakan [X] kebalikan atau invers matriks dari [A] dan dituliskan [X] = [A] -1. Matriks-matriks yang mempunyai invers adalah matriks non singular yaitu matriks yang determinannya 0. Berlaku sifat : 1. (A -1 ) -1 = A 2. (AB) -1 = B -1 A -1 Matriks adjoint untuk mencari invers yaitu :, dimana : A-1 = invers matriks A adj (A) = matriks adjoint dari matriks A det (A) = determinan dari matriks A Jika A adalah matriks nxn, maka inversnya dapat dicari dengan cara mereduksi A menjadi matriks identitas (I) dengan menggunakan operasi-operasi baris dan menerapkan operasi-operasi ini secara serempak pada I untuk menghasilkan A -1. Transformasi elementer untuk mencari invers yaitu : setelah melalui transformasi elementer [A -1 ] = [X] 16
Jika A matriks n x n yang memiliki invers, maka untuk setiap matriks B yang berukuran n x 1, sistem persamaan AX = B memiliki tepat satu penyelesaian yaitu X = A -1 B 2.4 Eliminasi Gauss Salah satu metode yang dapat digunakan untuk menyelesaikan system persamaan linier adalah metode eleminasi Gauss-Jordan. Metode ini diberi nama Gauss- Jordan untuk menghormati Carl Friedrich Gauss dan Wilhlem Jordan. Metode ini sebenarnya adalah modifikasi dari metode eliminasi Gauss, yang dijelaskan oleh Jordan di tahun 1887. Metode Gauss-Jordan ini menghasilkan matriks dengan bentuk baris eselon yang tereduksi, sementara eleminasi Gauss hanya menghasilkan matriks sampai pada bentuk baris eselon. Prosedur umum untuk metode eliminasi Gauss-Jordan ini adalah : 1. Ubah sistem persamaan linier yang ingin dihitung menjadi matriks augmentasi. 2. Lakukan operasi baris elementer pada matriks augmentasi untuk mengubah matriks A menjadi dalam bentuk baris eselon yang tereduksi. Langkah langkah pada operasi baris elementer yaitu : 1. Menukar posisi dari 2 baris 2. Mengalikan baris dengan sebuah bilangan skalar positif 3. Menambah baris dengan hasil kali scalar dengan baris lainnya Sebuah matriks bisa dikatakan sudah memiliki bentuk baris eselon yang tereduksi jika telah memenuhi syarat-syarat berikut : 17
1. Jika sebuah baris seluruhnya bukan merupakan angka nol, maka angka bukan nol pertama pada baris tersebut adalah 1(leading 1). 2. Jika ada baris yang seluruhnya terdiri dari angka nol, maka baris tersebut dikelompokkan dibaris paling bawah dari marriks. 3. Jika ada 2 baris berurutan yang sama-sama tidak terdiri dari angka nol seluruhnya, maka leading 1 dari baris yang lebih bawah berada disebelah kanan dari leading 1 yang berada di baris yang lebih atas. 4. Pada setiap kolom yang memiliki leading 1 di kolomnya, maka nilai yang ada kolom tersebut kecuali leading 1 adalah nol. Sebuah matriks yang hanya memenuhi syarat 1 sampai 3 adalah matriks yang dalam bentuk baris eselon. Sedangkan jika syarat keempat juga dipenuhi, maka matriks tersebut dapat dikatakan dalam bentuk baris eselon yang tereduksi 18