Ruang Vektor Euclid R n

Ruang Vektor Euclid R n Kuliah Aljabar Linier Semester Ganjil 2015-2016 MZI Fakultas Informatika Telkom University FIF Tel-U Oktober 2015 MZI (FIF Tel-U) Ruang Vektor R n Oktober 2015 1 / 38

Acknowledgements Slide ini disusun berdasarkan materi yang terdapat pada sumber-sumber berikut: 1 Aplikasi Matriks dan Ruang Vektor, Edisi 1 2014, oleh Adiwijaya. 2 Elementary Linear Algebra, 10th Edition, 2010, oleh H. Anton dan C. Rorres. 3 Slide kuliah Aljabar Linier di Telkom University oleh Jondri. 4 Slide kuliah Aljabar Linier di Fasilkom UI oleh Kasiyah M. Junus dan Siti Aminah. 5 Slide kuliah Aljabar Linier di Fasilkom UI oleh L. Y. Stefanus. Beberapa gambar dapat diambil dari sumber-sumber di atas. Slide ini ditujukan untuk keperluan akademis di lingkungan FIF Telkom University. Jika Anda memiliki saran/ pendapat/ pertanyaan terkait materi dalam slide ini, silakan kirim email ke <pleasedontspam>@telkomuniversity.ac.id. MZI (FIF Tel-U) Ruang Vektor R n Oktober 2015 2 / 38

Bahasan 1 Pendahuluan dan Motivasi 2 Ruang Vektor Euclid R n 3 Vektor-vektor Basis Standar di R n 4 Norm dari Vektor dan Jarak Dua (Titik) Vektor di R n 5 Hasil Kali Titik, Sudut, dan Keortogonalan di R n 6 Beberapa Sifat-sifat Penting MZI (FIF Tel-U) Ruang Vektor R n Oktober 2015 3 / 38

Bahasan Pendahuluan dan Motivasi 1 Pendahuluan dan Motivasi 2 Ruang Vektor Euclid R n 3 Vektor-vektor Basis Standar di R n 4 Norm dari Vektor dan Jarak Dua (Titik) Vektor di R n 5 Hasil Kali Titik, Sudut, dan Keortogonalan di R n 6 Beberapa Sifat-sifat Penting MZI (FIF Tel-U) Ruang Vektor R n Oktober 2015 4 / 38

Pendahuluan dan Motivasi Sejarah Perkembangan Vektor Ide untuk menggunakan pasangan bilangan (x, y) untuk merepresentasikan posisi suatu benda pada ruang berdimensi 2 sudah ada sejak abad ke-17. Demikian pula halnya dengan ide untuk menggunakan tripel bilangan (x, y, z) untuk merepresentasikan posisi suatu benda pada ruang berdimensi 3. MZI (FIF Tel-U) Ruang Vektor R n Oktober 2015 5 / 38

Pendahuluan dan Motivasi Sejarah Perkembangan Vektor Ide untuk menggunakan pasangan bilangan (x, y) untuk merepresentasikan posisi suatu benda pada ruang berdimensi 2 sudah ada sejak abad ke-17. Demikian pula halnya dengan ide untuk menggunakan tripel bilangan (x, y, z) untuk merepresentasikan posisi suatu benda pada ruang berdimensi 3. Pada akhir abad ke-19 matematikawan dan fisikawan mulai menyadari bahwa kita tidak harus hanya berhenti pada tripel bilangan. Kita membutuhkan alat yang dapat merepresentasikan keadaaan pada dimensi yang lebih tinggi. MZI (FIF Tel-U) Ruang Vektor R n Oktober 2015 5 / 38

Pendahuluan dan Motivasi Sejarah Perkembangan Vektor Ide untuk menggunakan pasangan bilangan (x, y) untuk merepresentasikan posisi suatu benda pada ruang berdimensi 2 sudah ada sejak abad ke-17. Demikian pula halnya dengan ide untuk menggunakan tripel bilangan (x, y, z) untuk merepresentasikan posisi suatu benda pada ruang berdimensi 3. Pada akhir abad ke-19 matematikawan dan fisikawan mulai menyadari bahwa kita tidak harus hanya berhenti pada tripel bilangan. Kita membutuhkan alat yang dapat merepresentasikan keadaaan pada dimensi yang lebih tinggi. Kuadrupel bilangan (w, x, y, z) dapat digunakan untuk merepresentasikan posisi suatu benda pada ruang berdimensi 4. MZI (FIF Tel-U) Ruang Vektor R n Oktober 2015 5 / 38

Pendahuluan dan Motivasi Sejarah Perkembangan Vektor Ide untuk menggunakan pasangan bilangan (x, y) untuk merepresentasikan posisi suatu benda pada ruang berdimensi 2 sudah ada sejak abad ke-17. Demikian pula halnya dengan ide untuk menggunakan tripel bilangan (x, y, z) untuk merepresentasikan posisi suatu benda pada ruang berdimensi 3. Pada akhir abad ke-19 matematikawan dan fisikawan mulai menyadari bahwa kita tidak harus hanya berhenti pada tripel bilangan. Kita membutuhkan alat yang dapat merepresentasikan keadaaan pada dimensi yang lebih tinggi. Kuadrupel bilangan (w, x, y, z) dapat digunakan untuk merepresentasikan posisi suatu benda pada ruang berdimensi 4. 5-tupel bilangan (v, w, x, y, z) dapat digunakan untuk merepresentasikan posisi suatu benda pada ruang berdimensi 5. MZI (FIF Tel-U) Ruang Vektor R n Oktober 2015 5 / 38

Pendahuluan dan Motivasi Sejarah Perkembangan Vektor Ide untuk menggunakan pasangan bilangan (x, y) untuk merepresentasikan posisi suatu benda pada ruang berdimensi 2 sudah ada sejak abad ke-17. Demikian pula halnya dengan ide untuk menggunakan tripel bilangan (x, y, z) untuk merepresentasikan posisi suatu benda pada ruang berdimensi 3. Pada akhir abad ke-19 matematikawan dan fisikawan mulai menyadari bahwa kita tidak harus hanya berhenti pada tripel bilangan. Kita membutuhkan alat yang dapat merepresentasikan keadaaan pada dimensi yang lebih tinggi. Kuadrupel bilangan (w, x, y, z) dapat digunakan untuk merepresentasikan posisi suatu benda pada ruang berdimensi 4. 5-tupel bilangan (v, w, x, y, z) dapat digunakan untuk merepresentasikan posisi suatu benda pada ruang berdimensi 5. n-tupel bilangan (x 1, x 2,..., x n ) dapat digunakan untuk merepresentasikan posisi suatu benda pada ruang berdimensi n. MZI (FIF Tel-U) Ruang Vektor R n Oktober 2015 5 / 38

Motivasi Pendahuluan dan Motivasi Ruang vektor berdimensi n banyak digunakan dalam Ilmu Komputer, Ekonomi, Fisika, Matematika Terapan dan beberapa bidang ilmu lain. Beberapa di antaranya adalah kajian mengenai: MZI (FIF Tel-U) Ruang Vektor R n Oktober 2015 6 / 38

Motivasi Pendahuluan dan Motivasi Ruang vektor berdimensi n banyak digunakan dalam Ilmu Komputer, Ekonomi, Fisika, Matematika Terapan dan beberapa bidang ilmu lain. Beberapa di antaranya adalah kajian mengenai: Pemrosesan citra digital (image processing). MZI (FIF Tel-U) Ruang Vektor R n Oktober 2015 6 / 38

Pendahuluan dan Motivasi Motivasi Ruang vektor berdimensi n banyak digunakan dalam Ilmu Komputer, Ekonomi, Fisika, Matematika Terapan dan beberapa bidang ilmu lain. Beberapa di antaranya adalah kajian mengenai: Pemrosesan citra digital (image processing). Teori pengkodean (coding theory): cara untuk mengkompresi data dan mentransmisikan data. MZI (FIF Tel-U) Ruang Vektor R n Oktober 2015 6 / 38

Pendahuluan dan Motivasi Motivasi Ruang vektor berdimensi n banyak digunakan dalam Ilmu Komputer, Ekonomi, Fisika, Matematika Terapan dan beberapa bidang ilmu lain. Beberapa di antaranya adalah kajian mengenai: Pemrosesan citra digital (image processing). Teori pengkodean (coding theory): cara untuk mengkompresi data dan mentransmisikan data. Kriptografi: cara untuk merahasiakan suatu data. MZI (FIF Tel-U) Ruang Vektor R n Oktober 2015 6 / 38

Pendahuluan dan Motivasi Motivasi Ruang vektor berdimensi n banyak digunakan dalam Ilmu Komputer, Ekonomi, Fisika, Matematika Terapan dan beberapa bidang ilmu lain. Beberapa di antaranya adalah kajian mengenai: Pemrosesan citra digital (image processing). Teori pengkodean (coding theory): cara untuk mengkompresi data dan mentransmisikan data. Kriptografi: cara untuk merahasiakan suatu data. Pada bidang-bidang di atas, suatu data dapat direpresentasikan menjadi suatu vektor (a 1, a 2,..., a n ). MZI (FIF Tel-U) Ruang Vektor R n Oktober 2015 6 / 38

Pendahuluan dan Motivasi Motivasi Ruang vektor berdimensi n banyak digunakan dalam Ilmu Komputer, Ekonomi, Fisika, Matematika Terapan dan beberapa bidang ilmu lain. Beberapa di antaranya adalah kajian mengenai: Pemrosesan citra digital (image processing). Teori pengkodean (coding theory): cara untuk mengkompresi data dan mentransmisikan data. Kriptografi: cara untuk merahasiakan suatu data. Pada bidang-bidang di atas, suatu data dapat direpresentasikan menjadi suatu vektor (a 1, a 2,..., a n ). Tujuan utama dari bahasan ini adalah untuk memperkenalkan operasi dan sifat vektor yang terdapat pada ruang berdimensi n. MZI (FIF Tel-U) Ruang Vektor R n Oktober 2015 6 / 38

Vektor dan Array Pendahuluan dan Motivasi Vektor berdimensi n yang ditulis (x 1, x 2,..., x n ) analog dengan array yang telah Anda pelajari di kuliah-kuliah pemrograman. Kadang-kadang vektor dapat dipandang sebagai array yang komponen-komponennya adalah bilangan-bilangan. MZI (FIF Tel-U) Ruang Vektor R n Oktober 2015 7 / 38

Vektor dan Array Pendahuluan dan Motivasi Vektor berdimensi n yang ditulis (x 1, x 2,..., x n ) analog dengan array yang telah Anda pelajari di kuliah-kuliah pemrograman. Kadang-kadang vektor dapat dipandang sebagai array yang komponen-komponennya adalah bilangan-bilangan. Vektor berdimensi n dapat dipandang sebagai array dengan n komponen. Suatu vektor v yang berdimensi 5, yaitu v = (v 1, v 2, v 3, v 4, v 5 ) dapat dipandang sebagai array V = v 1 v 2 v 3 v 4 v 5. MZI (FIF Tel-U) Ruang Vektor R n Oktober 2015 7 / 38

Vektor dan Array Pendahuluan dan Motivasi Vektor berdimensi n yang ditulis (x 1, x 2,..., x n ) analog dengan array yang telah Anda pelajari di kuliah-kuliah pemrograman. Kadang-kadang vektor dapat dipandang sebagai array yang komponen-komponennya adalah bilangan-bilangan. Vektor berdimensi n dapat dipandang sebagai array dengan n komponen. Suatu vektor v yang berdimensi 5, yaitu v = (v 1, v 2, v 3, v 4, v 5 ) dapat dipandang sebagai array V = v 1 v 2 v 3 v 4 v 5. Jika pada kuliah-kuliah yang terkait pemrograman Anda akan mempelajari operasi array terkait struktur data dan algoritmanya, contohnya searching dan sorting, pada perkuliahan Aljabar Linier Anda akan mengkaji struktur dan operasi matematika yang dapat dilakukan pada suatu vektor (array). MZI (FIF Tel-U) Ruang Vektor R n Oktober 2015 7 / 38

Bahasan Ruang Vektor Euclid R n 1 Pendahuluan dan Motivasi 2 Ruang Vektor Euclid R n 3 Vektor-vektor Basis Standar di R n 4 Norm dari Vektor dan Jarak Dua (Titik) Vektor di R n 5 Hasil Kali Titik, Sudut, dan Keortogonalan di R n 6 Beberapa Sifat-sifat Penting MZI (FIF Tel-U) Ruang Vektor R n Oktober 2015 8 / 38

Ruang Vektor Euclid R n Definisi Ruang Vektor Euclid R n Definisi Jika n adalah bilangan bulat positif, maka suatu vektor v adalah n tupel terurut (ordered n-tuple) (v 1, v 2,..., v n ), dengan v i R untuk 1 i n. Himpunan seluruh n tupel terurut disebut ruang vektor Euclid berdimensi n dan ditulis dengan R n. Untuk meringkas, kita katakan ruang vektor Euclid berdimensi n sebagai ruang Euclid berdimensi n (tanpa kata vektor). Vektor pada R n dapat dinyatakan dalam bentuk MZI (FIF Tel-U) Ruang Vektor R n Oktober 2015 9 / 38

Ruang Vektor Euclid R n Definisi Ruang Vektor Euclid R n Definisi Jika n adalah bilangan bulat positif, maka suatu vektor v adalah n tupel terurut (ordered n-tuple) (v 1, v 2,..., v n ), dengan v i R untuk 1 i n. Himpunan seluruh n tupel terurut disebut ruang vektor Euclid berdimensi n dan ditulis dengan R n. Untuk meringkas, kita katakan ruang vektor Euclid berdimensi n sebagai ruang Euclid berdimensi n (tanpa kata vektor). Vektor pada R n dapat dinyatakan dalam bentuk 1 n tupel terurut, contohnya v = (v 1, v 2,..., v n ) MZI (FIF Tel-U) Ruang Vektor R n Oktober 2015 9 / 38

Ruang Vektor Euclid R n Definisi Ruang Vektor Euclid R n Definisi Jika n adalah bilangan bulat positif, maka suatu vektor v adalah n tupel terurut (ordered n-tuple) (v 1, v 2,..., v n ), dengan v i R untuk 1 i n. Himpunan seluruh n tupel terurut disebut ruang vektor Euclid berdimensi n dan ditulis dengan R n. Untuk meringkas, kita katakan ruang vektor Euclid berdimensi n sebagai ruang Euclid berdimensi n (tanpa kata vektor). Vektor pada R n dapat dinyatakan dalam bentuk 1 n tupel terurut, contohnya v = (v 1, v 2,..., v n ) 2 matriks baris, contohnya v = [ v 1 v 2 v n ], notasi ini jarang dipakai MZI (FIF Tel-U) Ruang Vektor R n Oktober 2015 9 / 38

Ruang Vektor Euclid R n Definisi Ruang Vektor Euclid R n Definisi Jika n adalah bilangan bulat positif, maka suatu vektor v adalah n tupel terurut (ordered n-tuple) (v 1, v 2,..., v n ), dengan v i R untuk 1 i n. Himpunan seluruh n tupel terurut disebut ruang vektor Euclid berdimensi n dan ditulis dengan R n. Untuk meringkas, kita katakan ruang vektor Euclid berdimensi n sebagai ruang Euclid berdimensi n (tanpa kata vektor). Vektor pada R n dapat dinyatakan dalam bentuk 1 n tupel terurut, contohnya v = (v 1, v 2,..., v n ) 2 matriks baris, contohnya v = [ v 1 v 2 v 1 v n ], notasi ini jarang dipakai v 2 3 matriks kolom, contohnya v =. v n MZI (FIF Tel-U) Ruang Vektor R n Oktober 2015 9 / 38

Ruang Vektor Euclid R n Kesamaan Dua Vektor di R n Definisi Dua vektor u, v R n dengan u = (u 1, u 2,..., u n ) dan v = (v 1, v 2,..., v n ) dikatakan sama jika MZI (FIF Tel-U) Ruang Vektor R n Oktober 2015 10 / 38

Ruang Vektor Euclid R n Kesamaan Dua Vektor di R n Definisi Dua vektor u, v R n dengan u = (u 1, u 2,..., u n ) dan v = (v 1, v 2,..., v n ) dikatakan sama jika (u 1 = v 1 ) (u 2 = v 2 ) (u n = v n ). Jika u dan v sama, kita dapat menuliskan u = v. Catatan MZI (FIF Tel-U) Ruang Vektor R n Oktober 2015 10 / 38

Ruang Vektor Euclid R n Kesamaan Dua Vektor di R n Definisi Dua vektor u, v R n dengan u = (u 1, u 2,..., u n ) dan v = (v 1, v 2,..., v n ) dikatakan sama jika (u 1 = v 1 ) (u 2 = v 2 ) (u n = v n ). Jika u dan v sama, kita dapat menuliskan u = v. Catatan Kesamaan dua vektor di R n juga dapat dipandang sebagai kesamaan dua matriks kolom dengan n baris, atau kesamaan dua matriks baris dengan n kolom. MZI (FIF Tel-U) Ruang Vektor R n Oktober 2015 10 / 38

Ruang Vektor Euclid R n Operasi Vektor di R n Kita perlu mendefinisikan operasi pejumlahan dan perkalian skalar untuk vektor di R n. Definisi Jika u = (u 1, u 2,..., u n ) dan v = (v 1, v 2,... v n ) adalah dua vektor di R n dan α R, maka u + v = MZI (FIF Tel-U) Ruang Vektor R n Oktober 2015 11 / 38

Ruang Vektor Euclid R n Operasi Vektor di R n Kita perlu mendefinisikan operasi pejumlahan dan perkalian skalar untuk vektor di R n. Definisi Jika u = (u 1, u 2,..., u n ) dan v = (v 1, v 2,... v n ) adalah dua vektor di R n dan α R, maka u + v = (u 1 + v 1, u 2 + v 2,..., u n + v n ) α u = MZI (FIF Tel-U) Ruang Vektor R n Oktober 2015 11 / 38

Ruang Vektor Euclid R n Operasi Vektor di R n Kita perlu mendefinisikan operasi pejumlahan dan perkalian skalar untuk vektor di R n. Definisi Jika u = (u 1, u 2,..., u n ) dan v = (v 1, v 2,... v n ) adalah dua vektor di R n dan α R, maka u + v = (u 1 + v 1, u 2 + v 2,..., u n + v n ) α u = (αu 1, αu 2,..., αu n ) u = MZI (FIF Tel-U) Ruang Vektor R n Oktober 2015 11 / 38

Ruang Vektor Euclid R n Operasi Vektor di R n Kita perlu mendefinisikan operasi pejumlahan dan perkalian skalar untuk vektor di R n. Definisi Jika u = (u 1, u 2,..., u n ) dan v = (v 1, v 2,... v n ) adalah dua vektor di R n dan α R, maka u + v = (u 1 + v 1, u 2 + v 2,..., u n + v n ) α u = (αu 1, αu 2,..., αu n ) u = ( u 1, u 2,..., u n ) u v = MZI (FIF Tel-U) Ruang Vektor R n Oktober 2015 11 / 38

Ruang Vektor Euclid R n Operasi Vektor di R n Kita perlu mendefinisikan operasi pejumlahan dan perkalian skalar untuk vektor di R n. Definisi Jika u = (u 1, u 2,..., u n ) dan v = (v 1, v 2,... v n ) adalah dua vektor di R n dan α R, maka Definisi u + v = (u 1 + v 1, u 2 + v 2,..., u n + v n ) α u = (αu 1, αu 2,..., αu n ) u = ( u 1, u 2,..., u n ) u v = u + ( v) = (u 1 v 1, u 2 v 2,..., u n v n ) Vektor 0 di R n didefinisikan sebagai 0 = (0, 0,..., 0). Vektor 0 di R n juga dapat dipandang sebagai suatu matriks kolom (matriks baris) yang seluruh entrinya 0. MZI (FIF Tel-U) Ruang Vektor R n Oktober 2015 11 / 38

Ruang Vektor Euclid R n Catatan Penjumlahan dua vektor di R n dapat dipandang sebagai penjumlahan dua matriks kolom dengan n baris. Perkalian suatu vektor dengan suatu skalar di R n juga dapat dipandang sebagai perkalian suatu matriks kolom dengan n baris dan suatu skalar di R. MZI (FIF Tel-U) Ruang Vektor R n Oktober 2015 12 / 38

Ruang Vektor Euclid R n Aritmetika Vektor di R n Teorema Jika u, v, w R n dan α, β R, maka MZI (FIF Tel-U) Ruang Vektor R n Oktober 2015 13 / 38

Ruang Vektor Euclid R n Aritmetika Vektor di R n Teorema Jika u, v, w R n dan α, β R, maka 1 u + v = v + u MZI (FIF Tel-U) Ruang Vektor R n Oktober 2015 13 / 38

Ruang Vektor Euclid R n Aritmetika Vektor di R n Teorema Jika u, v, w R n dan α, β R, maka 1 u + v = v + u 2 ( u + v) + w = u + ( v + w) MZI (FIF Tel-U) Ruang Vektor R n Oktober 2015 13 / 38

Ruang Vektor Euclid R n Aritmetika Vektor di R n Teorema Jika u, v, w R n dan α, β R, maka 1 u + v = v + u 2 ( u + v) + w = u + ( v + w) 3 u + 0 = 0 + u = u MZI (FIF Tel-U) Ruang Vektor R n Oktober 2015 13 / 38

Ruang Vektor Euclid R n Aritmetika Vektor di R n Teorema Jika u, v, w R n dan α, β R, maka 1 u + v = v + u 2 ( u + v) + w = u + ( v + w) 3 u + 0 = 0 + u = u 4 u + ( u) = ( u) + u = 0 MZI (FIF Tel-U) Ruang Vektor R n Oktober 2015 13 / 38

Ruang Vektor Euclid R n Aritmetika Vektor di R n Teorema Jika u, v, w R n dan α, β R, maka 1 u + v = v + u 2 ( u + v) + w = u + ( v + w) 3 u + 0 = 0 + u = u 4 u + ( u) = ( u) + u = 0 5 α ( u + v) = α u + α v MZI (FIF Tel-U) Ruang Vektor R n Oktober 2015 13 / 38

Ruang Vektor Euclid R n Aritmetika Vektor di R n Teorema Jika u, v, w R n dan α, β R, maka 1 u + v = v + u 2 ( u + v) + w = u + ( v + w) 3 u + 0 = 0 + u = u 4 u + ( u) = ( u) + u = 0 5 α ( u + v) = α u + α v 6 (α + β) u = α u + β u MZI (FIF Tel-U) Ruang Vektor R n Oktober 2015 13 / 38

Ruang Vektor Euclid R n Aritmetika Vektor di R n Teorema Jika u, v, w R n dan α, β R, maka 1 u + v = v + u 2 ( u + v) + w = u + ( v + w) 3 u + 0 = 0 + u = u 4 u + ( u) = ( u) + u = 0 5 α ( u + v) = α u + α v 6 (α + β) u = α u + β u 7 α (β u) = (αβ) u MZI (FIF Tel-U) Ruang Vektor R n Oktober 2015 13 / 38

Ruang Vektor Euclid R n Aritmetika Vektor di R n Teorema Jika u, v, w R n dan α, β R, maka 1 u + v = v + u 2 ( u + v) + w = u + ( v + w) 3 u + 0 = 0 + u = u 4 u + ( u) = ( u) + u = 0 5 α ( u + v) = α u + α v 6 (α + β) u = α u + β u 7 α (β u) = (αβ) u 8 1 u = u Bukti Cukup mudah. Tinjau u, v, dan w sebagai suatu matriks kolom berukuran n 1. Sifat-sifat yang dijelaskan pada teorema analog dengan sifat yang dimiliki matriks kolom berukuran n 1. MZI (FIF Tel-U) Ruang Vektor R n Oktober 2015 13 / 38

Bahasan Vektor-vektor Basis Standar di R n 1 Pendahuluan dan Motivasi 2 Ruang Vektor Euclid R n 3 Vektor-vektor Basis Standar di R n 4 Norm dari Vektor dan Jarak Dua (Titik) Vektor di R n 5 Hasil Kali Titik, Sudut, dan Keortogonalan di R n 6 Beberapa Sifat-sifat Penting MZI (FIF Tel-U) Ruang Vektor R n Oktober 2015 14 / 38

Vektor-vektor Basis Standar di R n Vektor-vektor Basis Standar di R n Kita telah melihat bahwa î = (1, 0) dan ˆ = (0, 1) adalah vektor-vektor basis standar di R 2, sedangkan î = (1, 0, 0), ˆ = (0, 1, 0), dan ˆk = (0, 0, 1) adalah vektor-vektor basis standar di R 3. Definisi MZI (FIF Tel-U) Ruang Vektor R n Oktober 2015 15 / 38

Vektor-vektor Basis Standar di R n Vektor-vektor Basis Standar di R n Kita telah melihat bahwa î = (1, 0) dan ˆ = (0, 1) adalah vektor-vektor basis standar di R 2, sedangkan î = (1, 0, 0), ˆ = (0, 1, 0), dan ˆk = (0, 0, 1) adalah vektor-vektor basis standar di R 3. Definisi Vektor-vektor basis standar di R n adalah e 1, e 2,..., e n dengan e i = MZI (FIF Tel-U) Ruang Vektor R n Oktober 2015 15 / 38

Vektor-vektor Basis Standar di R n Vektor-vektor Basis Standar di R n Kita telah melihat bahwa î = (1, 0) dan ˆ = (0, 1) adalah vektor-vektor basis standar di R 2, sedangkan î = (1, 0, 0), ˆ = (0, 1, 0), dan ˆk = (0, 0, 1) adalah vektor-vektor basis standar di R 3. Definisi Vektor-vektor basis standar di R n adalah e 1, e 2,..., e n dengan ( ) e i = 0,..., 0, 1, 0,..., 0. posisi ke-i Jika v = (v 1, v 2,..., v n ) R n, maka kita memiliki sifat v = α 1 e 1 + α 2 e 2 + + α n e n MZI (FIF Tel-U) Ruang Vektor R n Oktober 2015 15 / 38

Vektor-vektor Basis Standar di R n Vektor-vektor Basis Standar di R n Kita telah melihat bahwa î = (1, 0) dan ˆ = (0, 1) adalah vektor-vektor basis standar di R 2, sedangkan î = (1, 0, 0), ˆ = (0, 1, 0), dan ˆk = (0, 0, 1) adalah vektor-vektor basis standar di R 3. Definisi Vektor-vektor basis standar di R n adalah e 1, e 2,..., e n dengan ( ) e i = 0,..., 0, 1, 0,..., 0. posisi ke-i Jika v = (v 1, v 2,..., v n ) R n, maka kita memiliki sifat v = α 1 e 1 + α 2 e 2 + + α n e n (α 1 = v 1 ) (α 2 = v 2 ) (α n = v n ). MZI (FIF Tel-U) Ruang Vektor R n Oktober 2015 15 / 38

Bahasan Norm dari Vektor dan Jarak Dua (Titik) Vektor di R n 1 Pendahuluan dan Motivasi 2 Ruang Vektor Euclid R n 3 Vektor-vektor Basis Standar di R n 4 Norm dari Vektor dan Jarak Dua (Titik) Vektor di R n 5 Hasil Kali Titik, Sudut, dan Keortogonalan di R n 6 Beberapa Sifat-sifat Penting MZI (FIF Tel-U) Ruang Vektor R n Oktober 2015 16 / 38

Norm dari Vektor dan Jarak Dua (Titik) Vektor di R n Norm dari Vektor di R n Norm dari vektor di R n merupakan perumuman dari norm vektor di R 2 dan R 3. Definisi Misalkan v = (v 1, v 2,..., v n ) R n, norm Euclid atau panjang Euclid (Euclidean norm/ Euclidean length) dari v dinotasikan dengan v dan didefinisikan sebagai MZI (FIF Tel-U) Ruang Vektor R n Oktober 2015 17 / 38

Norm dari Vektor dan Jarak Dua (Titik) Vektor di R n Norm dari Vektor di R n Norm dari vektor di R n merupakan perumuman dari norm vektor di R 2 dan R 3. Definisi Misalkan v = (v 1, v 2,..., v n ) R n, norm Euclid atau panjang Euclid (Euclidean norm/ Euclidean length) dari v dinotasikan dengan v dan didefinisikan sebagai v = v1 2 + v2 2 + + v2 n MZI (FIF Tel-U) Ruang Vektor R n Oktober 2015 17 / 38

Norm dari Vektor dan Jarak Dua (Titik) Vektor di R n Jarak Dua Titik (Vektor) di R n Jarak dari dua titik (vektor) di R n merupakan perumuman dari jarak dua titik (vektor) di R 2 dan R 3. Definisi Misalkan P 1 (x 1, x 2,..., x n ) dan P 2 (y 1, y 2,..., y n ) adalah dua titik di R n. Jarak dari P 1 ke P 2 tidak lain merupakan panjang dari vektor P 1 P 2. MZI (FIF Tel-U) Ruang Vektor R n Oktober 2015 18 / 38

Norm dari Vektor dan Jarak Dua (Titik) Vektor di R n Jarak Dua Titik (Vektor) di R n Jarak dari dua titik (vektor) di R n merupakan perumuman dari jarak dua titik (vektor) di R 2 dan R 3. Definisi Misalkan P 1 (x 1, x 2,..., x n ) dan P 2 (y 1, y 2,..., y n ) adalah dua titik di R n. Jarak dari P 1 ke P 2 tidak lain merupakan panjang dari vektor P 1 P 2. d (P 1, P 2 ) = P 1 P 2 = (y 1 x 1 ) 2 + (y 2 x 2 ) 2 + + (y n x n ) 2. Jika u = (u 1, u 2,..., u n ) dan v = (v 1, v 2,..., v n ) adalah dua titik di R n, maka jarak dari u ke v (yang sama dengan jarak dari v ke u) adalah panjang dari vektor u v MZI (FIF Tel-U) Ruang Vektor R n Oktober 2015 18 / 38

Norm dari Vektor dan Jarak Dua (Titik) Vektor di R n Jarak Dua Titik (Vektor) di R n Jarak dari dua titik (vektor) di R n merupakan perumuman dari jarak dua titik (vektor) di R 2 dan R 3. Definisi Misalkan P 1 (x 1, x 2,..., x n ) dan P 2 (y 1, y 2,..., y n ) adalah dua titik di R n. Jarak dari P 1 ke P 2 tidak lain merupakan panjang dari vektor P 1 P 2. d (P 1, P 2 ) = P 1 P 2 = (y 1 x 1 ) 2 + (y 2 x 2 ) 2 + + (y n x n ) 2. Jika u = (u 1, u 2,..., u n ) dan v = (v 1, v 2,..., v n ) adalah dua titik di R n, maka jarak dari u ke v (yang sama dengan jarak dari v ke u) adalah panjang dari vektor u v d ( u, v) = u v = (v 1 u 1 ) 2 + (v 2 u 2 ) 2 + + (v n u n ) 2. MZI (FIF Tel-U) Ruang Vektor R n Oktober 2015 18 / 38

Norm dari Vektor dan Jarak Dua (Titik) Vektor di R n Vektor Satuan di R n Definisi vektor satuan di R n analog dengan definisi vektor satuan (unit vector) di R 2 maupun R 3. Definisi Suatu vektor u di R n dikatakan sebagai vektor satuan (unit vector) apabila u = 1. Teorema Misalkan v adalah suatu vektor tak nol di R n, maka 1 v v adalah sebuah vektor satuan yang searah dengan v. Bukti Jelas bahwa 1 v v searah dengan v. MZI (FIF Tel-U) Ruang Vektor R n Oktober 2015 19 / 38

Norm dari Vektor dan Jarak Dua (Titik) Vektor di R n Vektor Satuan di R n Definisi vektor satuan di R n analog dengan definisi vektor satuan (unit vector) di R 2 maupun R 3. Definisi Suatu vektor u di R n dikatakan sebagai vektor satuan (unit vector) apabila u = 1. Teorema Misalkan v adalah suatu vektor tak nol di R n, maka 1 v v adalah sebuah vektor satuan yang searah dengan v. Bukti Jelas bahwa 1 v v searah dengan v. Kemudian perhatikan bahwa 1 v v = 1 v v v = = 1. (Q.E.D) v MZI (FIF Tel-U) Ruang Vektor R n Oktober 2015 19 / 38

Norm dari Vektor dan Jarak Dua (Titik) Vektor di R n Catatan Untuk memperingkas, kita akan menulis v v untuk menyatakan 1 v v. MZI (FIF Tel-U) Ruang Vektor R n Oktober 2015 20 / 38

Bahasan Hasil Kali Titik, Sudut, dan Keortogonalan di R n 1 Pendahuluan dan Motivasi 2 Ruang Vektor Euclid R n 3 Vektor-vektor Basis Standar di R n 4 Norm dari Vektor dan Jarak Dua (Titik) Vektor di R n 5 Hasil Kali Titik, Sudut, dan Keortogonalan di R n 6 Beberapa Sifat-sifat Penting MZI (FIF Tel-U) Ruang Vektor R n Oktober 2015 21 / 38

Hasil Kali Titik, Sudut, dan Keortogonalan di R n Hasil Kali Titik di R n Hasil kali titik dua vektor di R n merupakan perumuman dari hasil kali titik dua vektor di R 2 dan R 3. Definisi Misalkan u = (u 1, u 2,..., u n ) dan v = (v 1, v 2,..., v n ) adalah dua vektor di R n, maka MZI (FIF Tel-U) Ruang Vektor R n Oktober 2015 22 / 38

Hasil Kali Titik, Sudut, dan Keortogonalan di R n Hasil Kali Titik di R n Hasil kali titik dua vektor di R n merupakan perumuman dari hasil kali titik dua vektor di R 2 dan R 3. Definisi Misalkan u = (u 1, u 2,..., u n ) dan v = (v 1, v 2,..., v n ) adalah dua vektor di R n, maka u v = u 1 v 1 + u 2 v 2 + + u n v n Catatan Hasil kali titik (dot product) di R n selanjutnya juga akan dinamakan sebagai hasil kali dalam Euclid (Euclidean inner product). MZI (FIF Tel-U) Ruang Vektor R n Oktober 2015 22 / 38

Sudut di R n Hasil Kali Titik, Sudut, dan Keortogonalan di R n Berbeda dengan sudut antara dua vektor di R 2 maupun R 3 yang memiliki representasi geometris, sudut antara dua vektor di R n untuk n 4 tidak memiliki representasi geometris. Jadi kita perlu mendefinisikan sudut antara dua vektor di R n melalui definisi yang jelas dan tidak bertentangan dengan kaidah matematis yang sudah ada sebelumnya. Ingat kembali bahwa jika θ adalah cosinus sudut antara dua vektor, maka haruslah MZI (FIF Tel-U) Ruang Vektor R n Oktober 2015 23 / 38

Sudut di R n Hasil Kali Titik, Sudut, dan Keortogonalan di R n Berbeda dengan sudut antara dua vektor di R 2 maupun R 3 yang memiliki representasi geometris, sudut antara dua vektor di R n untuk n 4 tidak memiliki representasi geometris. Jadi kita perlu mendefinisikan sudut antara dua vektor di R n melalui definisi yang jelas dan tidak bertentangan dengan kaidah matematis yang sudah ada sebelumnya. Ingat kembali bahwa jika θ adalah cosinus sudut antara dua vektor, maka haruslah 1 cos θ 1. MZI (FIF Tel-U) Ruang Vektor R n Oktober 2015 23 / 38

Hasil Kali Titik, Sudut, dan Keortogonalan di R n Ketaksamaan Cauchy-Schwarz di R n Jika u, v R n, maka u v u v MZI (FIF Tel-U) Ruang Vektor R n Oktober 2015 24 / 38

Hasil Kali Titik, Sudut, dan Keortogonalan di R n Bukti Misalkan t R, tinjau bahwa 0 t u + v 2 (norm selalu tak negatif) MZI (FIF Tel-U) Ruang Vektor R n Oktober 2015 25 / 38

Hasil Kali Titik, Sudut, dan Keortogonalan di R n Bukti Misalkan t R, tinjau bahwa 0 t u + v 2 (norm selalu tak negatif) = (t u + v) (t u + v) = MZI (FIF Tel-U) Ruang Vektor R n Oktober 2015 25 / 38

Hasil Kali Titik, Sudut, dan Keortogonalan di R n Bukti Misalkan t R, tinjau bahwa 0 t u + v 2 (norm selalu tak negatif) = (t u + v) (t u + v) = u 2 t 2 + 2 ( u v) t + v 2 (1) Dari pengetahuan kita di sekolah menengah, ketika fungsi kuadrat f (x) = ax 2 + bx + c selalu bernilai non negatif, maka MZI (FIF Tel-U) Ruang Vektor R n Oktober 2015 25 / 38

Hasil Kali Titik, Sudut, dan Keortogonalan di R n Bukti Misalkan t R, tinjau bahwa 0 t u + v 2 (norm selalu tak negatif) = (t u + v) (t u + v) = u 2 t 2 + 2 ( u v) t + v 2 (1) Dari pengetahuan kita di sekolah menengah, ketika fungsi kuadrat f (x) = ax 2 + bx + c selalu bernilai non negatif, maka fungsi tersebut memotong sumbu x tepat di satu titik atau sama sekali tidak memotong sumbu x. MZI (FIF Tel-U) Ruang Vektor R n Oktober 2015 25 / 38

Hasil Kali Titik, Sudut, dan Keortogonalan di R n Bukti Misalkan t R, tinjau bahwa 0 t u + v 2 (norm selalu tak negatif) = (t u + v) (t u + v) = u 2 t 2 + 2 ( u v) t + v 2 (1) Dari pengetahuan kita di sekolah menengah, ketika fungsi kuadrat f (x) = ax 2 + bx + c selalu bernilai non negatif, maka fungsi tersebut memotong sumbu x tepat di satu titik atau sama sekali tidak memotong sumbu x. Akibatnya nilai dari disriminannya, yaitu D = b 2 4ac, selalu non positif. Pertidaksamaan (1) memberikan MZI (FIF Tel-U) Ruang Vektor R n Oktober 2015 25 / 38

Hasil Kali Titik, Sudut, dan Keortogonalan di R n Bukti Misalkan t R, tinjau bahwa 0 t u + v 2 (norm selalu tak negatif) = (t u + v) (t u + v) = u 2 t 2 + 2 ( u v) t + v 2 (1) Dari pengetahuan kita di sekolah menengah, ketika fungsi kuadrat f (x) = ax 2 + bx + c selalu bernilai non negatif, maka fungsi tersebut memotong sumbu x tepat di satu titik atau sama sekali tidak memotong sumbu x. Akibatnya nilai dari disriminannya, yaitu D = b 2 4ac, selalu non positif. Pertidaksamaan (1) memberikan 4 ( u v) 2 4 u 2 v 2 0, atau MZI (FIF Tel-U) Ruang Vektor R n Oktober 2015 25 / 38

Hasil Kali Titik, Sudut, dan Keortogonalan di R n Bukti Misalkan t R, tinjau bahwa 0 t u + v 2 (norm selalu tak negatif) = (t u + v) (t u + v) = u 2 t 2 + 2 ( u v) t + v 2 (1) Dari pengetahuan kita di sekolah menengah, ketika fungsi kuadrat f (x) = ax 2 + bx + c selalu bernilai non negatif, maka fungsi tersebut memotong sumbu x tepat di satu titik atau sama sekali tidak memotong sumbu x. Akibatnya nilai dari disriminannya, yaitu D = b 2 4ac, selalu non positif. Pertidaksamaan (1) memberikan 4 ( u v) 2 4 u 2 v 2 0, atau ( u v) 2 ( u v ) 2 u v u v, karena u, v 0 (Q.E.D). MZI (FIF Tel-U) Ruang Vektor R n Oktober 2015 25 / 38

Hasil Kali Titik, Sudut, dan Keortogonalan di R n Sudut antara Dua Vektor Tak Nol di R n Teorema Jika u, v R n adalah dua vektor tak nol, maka maka Bukti 1 u v u v 1 Dari ketaksamaan Cauchy-Schwarz, kita memiliki u v u v, yang berarti MZI (FIF Tel-U) Ruang Vektor R n Oktober 2015 26 / 38

Hasil Kali Titik, Sudut, dan Keortogonalan di R n Sudut antara Dua Vektor Tak Nol di R n Teorema Jika u, v R n adalah dua vektor tak nol, maka maka Bukti 1 u v u v 1 Dari ketaksamaan Cauchy-Schwarz, kita memiliki u v u v, yang berarti u v u v u v. (2) Jika u dan v keduanya tak nol, maka u v > 0, akibatnya membagi ketaksamaan (2) dengan u v memberikan MZI (FIF Tel-U) Ruang Vektor R n Oktober 2015 26 / 38

Hasil Kali Titik, Sudut, dan Keortogonalan di R n Sudut antara Dua Vektor Tak Nol di R n Teorema Jika u, v R n adalah dua vektor tak nol, maka maka Bukti 1 u v u v 1 Dari ketaksamaan Cauchy-Schwarz, kita memiliki u v u v, yang berarti u v u v u v. (2) Jika u dan v keduanya tak nol, maka u v > 0, akibatnya membagi ketaksamaan (2) dengan u v memberikan 1 u v 1. (Q.E.D) u v MZI (FIF Tel-U) Ruang Vektor R n Oktober 2015 26 / 38

Hasil Kali Titik, Sudut, dan Keortogonalan di R n Definisi (Sudut antara dua vektor tak nol di R n ) Jika u, v R n adalah dua vektor tak nol, maka cosinus sudut θ antara u dan v didefinisikan sebagai MZI (FIF Tel-U) Ruang Vektor R n Oktober 2015 27 / 38

Hasil Kali Titik, Sudut, dan Keortogonalan di R n Definisi (Sudut antara dua vektor tak nol di R n ) Jika u, v R n adalah dua vektor tak nol, maka cosinus sudut θ antara u dan v didefinisikan sebagai u v cos θ = u v. Akibatnya, jika θ adalah sudut antara dua vektor tak nol u, v R n, maka MZI (FIF Tel-U) Ruang Vektor R n Oktober 2015 27 / 38

Hasil Kali Titik, Sudut, dan Keortogonalan di R n Definisi (Sudut antara dua vektor tak nol di R n ) Jika u, v R n adalah dua vektor tak nol, maka cosinus sudut θ antara u dan v didefinisikan sebagai u v cos θ = u v. Akibatnya, jika θ adalah sudut antara dua vektor tak nol u, v R n, maka ( ) u v θ = arccos. u v Catatan Definisi di atas juga sesuai dengan kondisi di R 2 dan R 3, yaitu u v = u v cos θ. MZI (FIF Tel-U) Ruang Vektor R n Oktober 2015 27 / 38

Hasil Kali Titik, Sudut, dan Keortogonalan di R n Catatan Kita tidak mendefinisikan sudut antara sebuah vektor dengan vektor nol. Hal ini terjadi karena vektor nol merupakan vektor yang tidak memiliki arah yang jelas. MZI (FIF Tel-U) Ruang Vektor R n Oktober 2015 28 / 38

Hasil Kali Titik, Sudut, dan Keortogonalan di R n Latihan 1: Sudut Vektor di R n Latihan Tentukan nilai terkecil untuk θ jika θ adalah sudut antara vektor 1 u = (1, 1, 0, 0) dan v = (0, 1, 0, 1). 2 u = (1, 0, 1, 0) dan v = (0, 1, 0, 1). MZI (FIF Tel-U) Ruang Vektor R n Oktober 2015 29 / 38

Hasil Kali Titik, Sudut, dan Keortogonalan di R n Solusi: karena kita memiliki u v = u v cos θ, dengan θ adalah sudut antara vektor tak nol u dan v, maka cos θ = u v u v. MZI (FIF Tel-U) Ruang Vektor R n Oktober 2015 30 / 38

Hasil Kali Titik, Sudut, dan Keortogonalan di R n Solusi: karena kita memiliki u v = u v cos θ, dengan θ adalah sudut antara vektor tak nol u dan v, maka cos θ = u v u v. 1 Kita memiliki u = (1, 1, 0, 0) = 2, v = (0, 1, 0, 1) = 2, u v = (1, 1, 0, 0) (0, 1, 0, 1) = 1, akibatnya cos θ = u v u v = MZI (FIF Tel-U) Ruang Vektor R n Oktober 2015 30 / 38

Hasil Kali Titik, Sudut, dan Keortogonalan di R n Solusi: karena kita memiliki u v = u v cos θ, dengan θ adalah sudut antara vektor tak nol u dan v, maka cos θ = u v u v. 1 Kita memiliki u = (1, 1, 0, 0) = 2, v = (0, 1, 0, 1) = 2, u v = (1, 1, 0, 0) (0, 1, 0, 1) = 1, akibatnya cos θ = u v u v = 1 ( ) ( ) = 1 2 2 2 θ = MZI (FIF Tel-U) Ruang Vektor R n Oktober 2015 30 / 38

Hasil Kali Titik, Sudut, dan Keortogonalan di R n Solusi: karena kita memiliki u v = u v cos θ, dengan θ adalah sudut antara vektor tak nol u dan v, maka cos θ = u v u v. 1 Kita memiliki u = (1, 1, 0, 0) = 2, v = (0, 1, 0, 1) = 2, u v = (1, 1, 0, 0) (0, 1, 0, 1) = 1, akibatnya cos θ = u v u v = θ = arccos ( 1 ) 2 1 ( 2 ) ( 2 ) = 1 2 = 2 3 π rad = 120. MZI (FIF Tel-U) Ruang Vektor R n Oktober 2015 30 / 38

Hasil Kali Titik, Sudut, dan Keortogonalan di R n Solusi: karena kita memiliki u v = u v cos θ, dengan θ adalah sudut antara vektor tak nol u dan v, maka cos θ = u v u v. 1 Kita memiliki u = (1, 1, 0, 0) = 2, v = (0, 1, 0, 1) = 2, u v = (1, 1, 0, 0) (0, 1, 0, 1) = 1, akibatnya cos θ = u v u v = θ = arccos ( 1 ) 2 1 ( 2 ) ( 2 ) = 1 2 = 2 3 π rad = 120. 2 Kita memiliki u = (1, 0, 1, 0) = 2, v = (0, 1, 0, 1) = 2, u v = (1, 0, 1, 0) (0, 1, 0, 1) = 0, akibatnya cos θ = u v u v = MZI (FIF Tel-U) Ruang Vektor R n Oktober 2015 30 / 38

Hasil Kali Titik, Sudut, dan Keortogonalan di R n Solusi: karena kita memiliki u v = u v cos θ, dengan θ adalah sudut antara vektor tak nol u dan v, maka cos θ = u v u v. 1 Kita memiliki u = (1, 1, 0, 0) = 2, v = (0, 1, 0, 1) = 2, u v = (1, 1, 0, 0) (0, 1, 0, 1) = 1, akibatnya cos θ = u v u v = θ = arccos ( 1 ) 2 1 ( 2 ) ( 2 ) = 1 2 = 2 3 π rad = 120. 2 Kita memiliki u = (1, 0, 1, 0) = 2, v = (0, 1, 0, 1) = 2, u v = (1, 0, 1, 0) (0, 1, 0, 1) = 0, akibatnya cos θ = u v u v = 0 ( ) ( ) = 0 2 2 θ = MZI (FIF Tel-U) Ruang Vektor R n Oktober 2015 30 / 38

Hasil Kali Titik, Sudut, dan Keortogonalan di R n Solusi: karena kita memiliki u v = u v cos θ, dengan θ adalah sudut antara vektor tak nol u dan v, maka cos θ = u v u v. 1 Kita memiliki u = (1, 1, 0, 0) = 2, v = (0, 1, 0, 1) = 2, u v = (1, 1, 0, 0) (0, 1, 0, 1) = 1, akibatnya cos θ = u v u v = θ = arccos ( 1 ) 2 1 ( 2 ) ( 2 ) = 1 2 = 2 3 π rad = 120. 2 Kita memiliki u = (1, 0, 1, 0) = 2, v = (0, 1, 0, 1) = 2, u v = (1, 0, 1, 0) (0, 1, 0, 1) = 0, akibatnya cos θ = u v u v = 0 ( ) ( ) = 0 2 2 θ = arccos (0) = π 2 rad = 90. MZI (FIF Tel-U) Ruang Vektor R n Oktober 2015 30 / 38

Hasil Kali Titik, Sudut, dan Keortogonalan di R n Hasil Kali Titik Dua Vektor dan Perkalian Matriks Misalkan u dan v adalah dua vektor yang dinyatakan sebagai matriks kolom, u 1 v 1 u 2 u =. dan v = v 2. Bila matriks 1 1 dipandang sebagai bilangan. u n v n real (tanda kurung [ ] diabaikan), maka kita memiliki MZI (FIF Tel-U) Ruang Vektor R n Oktober 2015 31 / 38

Hasil Kali Titik, Sudut, dan Keortogonalan di R n Hasil Kali Titik Dua Vektor dan Perkalian Matriks Misalkan u dan v adalah dua vektor yang dinyatakan sebagai matriks kolom, u 1 v 1 u 2 u =. dan v = v 2. Bila matriks 1 1 dipandang sebagai bilangan. u n v n real (tanda kurung [ ] diabaikan), maka kita memiliki v 1 u T v = [ ] v 2 u 1 u 2 u n. = u 1v 1 + u 2 v 2 + + u n v n = u v. v n MZI (FIF Tel-U) Ruang Vektor R n Oktober 2015 31 / 38

Hasil Kali Titik, Sudut, dan Keortogonalan di R n Hasil Kali Titik dan Norm Teorema Jika v = v 1 v 2. v n Rn, maka v 2 = v v = v T v. MZI (FIF Tel-U) Ruang Vektor R n Oktober 2015 32 / 38

Hasil Kali Titik, Sudut, dan Keortogonalan di R n Bukti MZI (FIF Tel-U) Ruang Vektor R n Oktober 2015 33 / 38

Hasil Kali Titik, Sudut, dan Keortogonalan di R n Bukti Tinjau bahwa v 2 = MZI (FIF Tel-U) Ruang Vektor R n Oktober 2015 33 / 38

Hasil Kali Titik, Sudut, dan Keortogonalan di R n Bukti Tinjau bahwa v 2 = v1 2 + v2 2 + + vn 2 = MZI (FIF Tel-U) Ruang Vektor R n Oktober 2015 33 / 38

Hasil Kali Titik, Sudut, dan Keortogonalan di R n Bukti Tinjau bahwa v 2 = v1 2 + v2 2 + + vn 2 = (v 1, v 2,..., v n ) (v 1, v 2,..., v n ) = v v = MZI (FIF Tel-U) Ruang Vektor R n Oktober 2015 33 / 38

Hasil Kali Titik, Sudut, dan Keortogonalan di R n Bukti Tinjau bahwa v 2 = v1 2 + v2 2 + + vn 2 = (v 1, v 2,..., v n ) (v 1, v 2,..., v n ) = v v v 1 = [ ] v 2 v 1 v 2 v n. = vt v (Q.E.D) v n MZI (FIF Tel-U) Ruang Vektor R n Oktober 2015 33 / 38

Hasil Kali Titik, Sudut, dan Keortogonalan di R n Keortogonalan di R n Ingat kembali bahwa pada R 2 maupun R 3, dua vektor u dan v dikatakan ortogonal bila u v = 0. Definisi Dua vektor u, v R n dikatakan ortogonal bila u v = 0. Teorema (Teorema Phytagoras di R n ) Jika u, v R n saling ortogonal, maka Bukti Tinjau bahwa u + v 2 = u 2 + v 2 MZI (FIF Tel-U) Ruang Vektor R n Oktober 2015 34 / 38

Hasil Kali Titik, Sudut, dan Keortogonalan di R n Keortogonalan di R n Ingat kembali bahwa pada R 2 maupun R 3, dua vektor u dan v dikatakan ortogonal bila u v = 0. Definisi Dua vektor u, v R n dikatakan ortogonal bila u v = 0. Teorema (Teorema Phytagoras di R n ) Jika u, v R n saling ortogonal, maka Bukti Tinjau bahwa u + v 2 = u + v 2 = u 2 + v 2 MZI (FIF Tel-U) Ruang Vektor R n Oktober 2015 34 / 38

Hasil Kali Titik, Sudut, dan Keortogonalan di R n Keortogonalan di R n Ingat kembali bahwa pada R 2 maupun R 3, dua vektor u dan v dikatakan ortogonal bila u v = 0. Definisi Dua vektor u, v R n dikatakan ortogonal bila u v = 0. Teorema (Teorema Phytagoras di R n ) Jika u, v R n saling ortogonal, maka Bukti Tinjau bahwa u + v 2 = u 2 + v 2 u + v 2 = ( u + v) ( u + v) = MZI (FIF Tel-U) Ruang Vektor R n Oktober 2015 34 / 38

Hasil Kali Titik, Sudut, dan Keortogonalan di R n Keortogonalan di R n Ingat kembali bahwa pada R 2 maupun R 3, dua vektor u dan v dikatakan ortogonal bila u v = 0. Definisi Dua vektor u, v R n dikatakan ortogonal bila u v = 0. Teorema (Teorema Phytagoras di R n ) Jika u, v R n saling ortogonal, maka Bukti Tinjau bahwa u + v 2 = u 2 + v 2 u + v 2 = ( u + v) ( u + v) = u 2 + 2 ( u v) + v 2 = MZI (FIF Tel-U) Ruang Vektor R n Oktober 2015 34 / 38

Hasil Kali Titik, Sudut, dan Keortogonalan di R n Keortogonalan di R n Ingat kembali bahwa pada R 2 maupun R 3, dua vektor u dan v dikatakan ortogonal bila u v = 0. Definisi Dua vektor u, v R n dikatakan ortogonal bila u v = 0. Teorema (Teorema Phytagoras di R n ) Jika u, v R n saling ortogonal, maka Bukti Tinjau bahwa u + v 2 = u 2 + v 2 u + v 2 = ( u + v) ( u + v) = u 2 + 2 ( u v) + v 2 = u 2 + v 2 (karena u v = 0). (Q.E.D) MZI (FIF Tel-U) Ruang Vektor R n Oktober 2015 34 / 38

Bahasan Beberapa Sifat-sifat Penting 1 Pendahuluan dan Motivasi 2 Ruang Vektor Euclid R n 3 Vektor-vektor Basis Standar di R n 4 Norm dari Vektor dan Jarak Dua (Titik) Vektor di R n 5 Hasil Kali Titik, Sudut, dan Keortogonalan di R n 6 Beberapa Sifat-sifat Penting MZI (FIF Tel-U) Ruang Vektor R n Oktober 2015 35 / 38

Beberapa Sifat-sifat Penting Beberapa Sifat Terkait Norm Teorema Jika v R n dan α R, maka 1 v 0 2 v = 0 jika dan hanya jika v = 0. 3 α v = α v. 4 u + v u + v (ketaksamaan segitiga/ triangle inequality untuk norm) Bukti untuk sifat nomor 1 3 analog dengan bukti untuk vektor di R 2 yang sudah kita buktikan di slide sebelumnya. MZI (FIF Tel-U) Ruang Vektor R n Oktober 2015 36 / 38

Beberapa Sifat-sifat Penting Bukti (Bukti sifat 4) Tinjau bahwa u + v 2 = MZI (FIF Tel-U) Ruang Vektor R n Oktober 2015 37 / 38

Beberapa Sifat-sifat Penting Bukti (Bukti sifat 4) Tinjau bahwa u + v 2 = ( u + v) ( u + v) = MZI (FIF Tel-U) Ruang Vektor R n Oktober 2015 37 / 38

Beberapa Sifat-sifat Penting Bukti (Bukti sifat 4) Tinjau bahwa u + v 2 = ( u + v) ( u + v) = u 2 + 2 ( u v) + v 2 MZI (FIF Tel-U) Ruang Vektor R n Oktober 2015 37 / 38

Beberapa Sifat-sifat Penting Bukti (Bukti sifat 4) Tinjau bahwa u + v 2 = ( u + v) ( u + v) = u 2 + 2 ( u v) + v 2 u 2 + 2 u v + v 2 (sifat nilai mutlak) MZI (FIF Tel-U) Ruang Vektor R n Oktober 2015 37 / 38

Beberapa Sifat-sifat Penting Bukti (Bukti sifat 4) Tinjau bahwa u + v 2 = ( u + v) ( u + v) = u 2 + 2 ( u v) + v 2 u 2 + 2 u v + v 2 (sifat nilai mutlak) u 2 + 2 u v + v 2 (ketaksamaan Cauchy-Schwarz) = MZI (FIF Tel-U) Ruang Vektor R n Oktober 2015 37 / 38

Beberapa Sifat-sifat Penting Bukti (Bukti sifat 4) Tinjau bahwa u + v 2 = ( u + v) ( u + v) = u 2 + 2 ( u v) + v 2 u 2 + 2 u v + v 2 (sifat nilai mutlak) u 2 + 2 u v + v 2 (ketaksamaan Cauchy-Schwarz) = ( u + v ) 2 Jadi u + v u + v (karena u + v 0). (Q.E.D) MZI (FIF Tel-U) Ruang Vektor R n Oktober 2015 37 / 38

Beberapa Sifat Terkait Jarak Teorema Jika u, v, w R n, dan d ( u, v) menyatakan jarak dari u ke v, maka 1 d ( u, v) 0 2 d ( u, v) = 0 jika dan hanya jika u = v 3 d ( u, v) = d ( v, u) 4 d ( u, v) d ( u, w) + d ( w, v) (ketaksamaan segitiga/ triangle inequality untuk jarak) Bukti untuk sifat nomor 1 3 analog dengan bukti untuk norm pada teorema sebelumnya. Bukti (Bukti sifat 4) Tinjau bahwa d ( u, v) =

Beberapa Sifat Terkait Jarak Teorema Jika u, v, w R n, dan d ( u, v) menyatakan jarak dari u ke v, maka 1 d ( u, v) 0 2 d ( u, v) = 0 jika dan hanya jika u = v 3 d ( u, v) = d ( v, u) 4 d ( u, v) d ( u, w) + d ( w, v) (ketaksamaan segitiga/ triangle inequality untuk jarak) Bukti untuk sifat nomor 1 3 analog dengan bukti untuk norm pada teorema sebelumnya. Bukti (Bukti sifat 4) Tinjau bahwa d ( u, v) = u v =

Beberapa Sifat Terkait Jarak Teorema Jika u, v, w R n, dan d ( u, v) menyatakan jarak dari u ke v, maka 1 d ( u, v) 0 2 d ( u, v) = 0 jika dan hanya jika u = v 3 d ( u, v) = d ( v, u) 4 d ( u, v) d ( u, w) + d ( w, v) (ketaksamaan segitiga/ triangle inequality untuk jarak) Bukti untuk sifat nomor 1 3 analog dengan bukti untuk norm pada teorema sebelumnya. Bukti (Bukti sifat 4) Tinjau bahwa d ( u, v) = u v = u w + w v

Beberapa Sifat Terkait Jarak Teorema Jika u, v, w R n, dan d ( u, v) menyatakan jarak dari u ke v, maka 1 d ( u, v) 0 2 d ( u, v) = 0 jika dan hanya jika u = v 3 d ( u, v) = d ( v, u) 4 d ( u, v) d ( u, w) + d ( w, v) (ketaksamaan segitiga/ triangle inequality untuk jarak) Bukti untuk sifat nomor 1 3 analog dengan bukti untuk norm pada teorema sebelumnya. Bukti (Bukti sifat 4) Tinjau bahwa d ( u, v) = u v = u w + w v = u w + w v (ketaksamaan segitiga untuk norm)

Beberapa Sifat Terkait Jarak Teorema Jika u, v, w R n, dan d ( u, v) menyatakan jarak dari u ke v, maka 1 d ( u, v) 0 2 d ( u, v) = 0 jika dan hanya jika u = v 3 d ( u, v) = d ( v, u) 4 d ( u, v) d ( u, w) + d ( w, v) (ketaksamaan segitiga/ triangle inequality untuk jarak) Bukti untuk sifat nomor 1 3 analog dengan bukti untuk norm pada teorema sebelumnya. Bukti (Bukti sifat 4) Tinjau bahwa d ( u, v) = u v = u w + w v u w + w v (ketaksamaan segitiga untuk norm) = d ( u, w) + d ( w, v) (Q.E.D)