ALJABAR LINEAR ELEMENTER

BAHAN AJAR ALJABAR LINEAR ELEMENTER Disusun oleh : Indah Emilia Wijayanti Al. Sutjijana Jurusan Matematika Fakultas MIPA Universitas Gadjah Mada Desember, 22

Daftar Isi Sistem Persamaan Linear dan Matriks. Sistem Persamaan Linier............................. 2.. Pengertian Sistem Persamaan Linier.................. 2..2 Eliminasi Gauss.............................. 4..3 Sistem Homogen............................. 6.2 Matriks dan Operasi Matriks.......................... 7.2. Pengertian Matriks............................ 7.2.2 Operasi Penjumlahan Matriks...................... 8.2.3 Perkalian Skalar...............................2.4 Transpos Matriks..............................3 Perkalian Matriks................................. 2.3. Operasi Perkalian Matriks........................ 2.3.2 Sifat-sifat Operasi Perkalian Matriks.................. 3 iii

iv DAFTAR ISI.4 Matriks Invers................................... 5.4. Matriks Invers............................... 5.4.2 Sifat-sifat Matriks Invers......................... 8.5 Penilaian Penguasaan Materi.......................... 8 2 Determinan 25 2. Latar Belakang.................................. 25 2.2 Determinan Matriks Bujursangkar........................ 26 2.3 Sifat-Sifat Determinan.............................. 3 2.4 Beberapa Aplikasi Determinan.......................... 35 2.4. Perhitungan Invers Matriks: Rumus Adjoint.............. 35 2.4.2 Perhitungan Solusi Sistem Persamaan Linear.............. 36 2.5 Penilaian Penguasaan Materi.......................... 39 3 Ruang Vektor R 2 dan R 3 43 3. Vektor dan Skalar................................. 44 3.2 Norma dan Jarak................................. 46 3.3 Hasil Kali Titik di R 2 dan R 3.......................... 47 3.4 Sudut Antara Dua Vektor............................ 48 3.5 Hasil Kali Silang di R 3.............................. 5

DAFTAR ISI v 3.6 Generalisasi ke R n................................ 53 3.7 Basis dan Dimensi di R n............................. 56 3.8 Penilaian Penguasaan Materi.......................... 6 4 Transformasi Linear 65 4. Latar Belakang.................................. 65 4.2 Transformasi Linear dari R n ke R m....................... 66 4.3 Ruang Nol, Ruang Baris dan Ruang Kolom.................. 69 4.4 Matriks Representasi Transformasi Linear................... 72 4.5 Beberapa Jenis Transformasi Linear....................... 75 4.6 Penilaian Penguasaan Materi.......................... 76 5 Nilai Eigen dan Vektor Eigen 8 5. Latar Belakang.................................. 8 5.2 Nilai Eigen, Vektor Eigen dan Ruang Eigen.................. 82 5.3 Contoh Kegunaan Nilai Eigen, Vektor Eigen dan Ruang Eigen........ 85 5.4 Penilaian Penguasaan Materi.......................... 9

Bab Sistem Persamaan Linear dan Matriks Dalam bab ini termuat dua Pokok Bahasan yaitu Sistem Persamaan Linear dan Matriks, dengan masing-masing Sub-pokok Bahasan sebagai berikut :. Sistem Persamaan Linear: (a.) (b.) (c.) (d.) Pengertian Sistem Persamaan Linear (SPL). Contoh pemodelan menggunakan SPL. Operasi baris elementer (OBE) dan bentuk eselon baris tereduksi. Eliminasi Gauss-Jordan sebagai cara mencari penyelesaian SPL. 2. Matriks : (a.) (b.) (c.) Pengertian matriks, jenis-jenis matriks dan komponen suatu matriks. Matriks elementer dan sifatnya. Operasi-operasi matriks dan sifat-sifatnya. Materi-materi dalam bab ini disampaikan dalam 4 minggu perkuliahan.

2 BAB. SISTEM PERSAMAAN LINEAR DAN MATRIKS. Sistem Persamaan Linier.. Pengertian Sistem Persamaan Linier Seperti sudah diketahui, persamaan 2y + x = 3 dapat digambarkan sebagai garis lurus pada bidang datar. Jika diberikan dua persamaan berikut : 2y + x = 3 (.) y + 3x = 6, (.2) maka untuk mencari penyelesaiannya secara geometris dapat dilakukan dengan cara mencari titik perpotongan dua garis tersebut. Faktanya, titik perpotongan tersebut tidak selalu ada, karena dua garis tersebut mungkin saja paralel. Atau bisa terjadi titik potongnya ada sebanyak tak hingga banyak karena dua garis tersebut berimpit. Kemungkinan ketiga adalah titik potongnya tunggal, yaitu jika kedua garis tersebut berpotongan tepat di satu titik. Persamaan linier secara umum mempunyai bentuk a x + a 2 x 2 + + a n x n = b, (.3) dengan a i dan b adalah bilangan-bilangan real, i =, 2,..., n. Dalam persaman linear (..) termuat n buah variabel yaitu x, x 2,..., x n. Yang dimaksud penyelesaian persamaan linear dengan n variabel adalah bilangan-bilangan real yang memenuhi persamaan linier tersebut. x = r, x 2 = r 2,..., x n = r n Sistem persamaan linier adalah koleksi sebanyak berhingga persamaan-persamaan linier. Bentuk umum sistem persamaan linier dengan m persamaan dan n variabel adalah sebagai berikut : a x +a 2 x 2 + +a n x n = b a 2 x +a 22 x 2 + +a 2n x n = b 2 a m x +a m2 x 2 + +a mn x n = b m. (.4)

.. SISTEM PERSAMAAN LINIER 3 Yang dimaksud penyelesaian sistem persamaan linear dengan n variabel adalah bilanganbilangan real x = r, x 2 = r 2,..., x n = r n yang memenuhi semua persamaan linier dalam sistem persamaan linier tersebut. Sistem persamaan linier (..) mempunyai matriks yang bersesuaian yang disebut matriks yang diperluas atau augmented matrixsebagai berikut : a a 2 a n b a 2 a 22 a 2n b 2 [A b] =.. a m a m2 a mn b m Contoh.. Dua persamaan dalam (.) merupakan contoh sistem persamaan linier. Penyelesaian sistem persamaan (.) adalah x =, y = Contoh..2 Carilah penyelesaian sistem persamaan linear dengan 3 persamaan dan 3 variabel berikut ini : x z = 2 y +2z = 2 x +y =. Dengan menggunakan substitusi variabel x = 2 + z ke dalam persamaan ketiga diperoleh y z = 3, sehingga sistem persamaan tersebut tereduksi menjadi : y +2z = 2 y z = 3. Dengan menjumlahkan kedua persamaan tersebut diperoleh z =. Selanjutnya dengan substitusi pada persamaan-persamaan linier tersebut diperoleh nilai x = 3 dan y = 4. Jadi penyelesaian yang dicari adalah x = 3, y = 4 dan z =. Contoh..3 Dengan cara yang sama seperti Contoh (..2) dapat dicari penyelesaian sistem persamaan linear berikut ini: x 2x 2 +3x 3 +x 4 = 3 2x x 2 +3x 3 x 4 =.

4 BAB. SISTEM PERSAMAAN LINEAR DAN MATRIKS Perhatikan langkah-langkah yang dilakukan untuk mencari penyelesaian yang dimaksud. Berikut ini sistem persamaan linier tersebut disajikan bersamaan dengan matriks yang diperluas. x 2x 2 +3x 3 +x 4 = 3 2x x 2 +3x 3 x 4 = [ 2 3 3 2 3 Pertama-tama variabel x dieliminasi dari persamaan kedua dengan cara mengurangi persamaan tersebut dengan 2 kali persamaan pertama. Hasilnya adalah sebagai berikut: [ ] x 2x 2 +3x 3 +x 4 = 3 2 3 3. 3x 2 3x 3 3x 4 = 6 3 3 3 6 Selanjutnya persamaan kedua dikalikan dengan 3 x 2x 2 +3x 3 +x 4 = 3 x 2 x 3 x 4 = 2 sehingga diperoleh: [ 2 3 3 2 Dengan demikian variabel x 2 pada persamaan pertama bisa dieliminasi dengan cara menambah persamaan pertama dengan 2 kali persamaan kedua. x +x 3 x 4 = x 2 x 3 x 4 = 2 [ 2 Sistem terakhir yang diperoleh bisa dengan mudah dicari penyelesaiannya. Dengan menagmbil x 3 dan x 4 bilangan-bilangan real sebarang, misalnya r dan s berturut-turut, maka x dan x 2 dapat ditentukan : x = r + s, x 2 = 2 + r + t. ]. ] ]. Dalam Contoh..2 sistem persamaan linier tersebut mempunyai tak berhingga banyak penyelesaian. Variabel-variabel x 3 dan x 4 disebut variabel bebas, sedangkan x dan x 2 disebut variabel tak bebas...2 Eliminasi Gauss Perhatikan bahwa langkah-langkah dalam Contoh (..2) pada dasarnya dapat dibedakan menjadi 3 macam :

.. SISTEM PERSAMAAN LINIER 5. menukar letak dua persamaan; 2. mengalikan suatu persamaan dengan skalar tak nol; 3. menambah suatu persamaan dengan kelipatan persamaan yang lain. Langkah-langkah tersebut berpengaruh pada matriks yang diperluas [A b] yang selanjutnya dikenal dengan sebutan operasi baris elementer yang dibagi menjadi 3 :. menukar letak dua baris; 2. mengalikan suatu baris dengan skalar tak nol; 3. menambah suatu baris dengan kelipatan baris yang lain. Operasi-operasi baris elementer tersebut mempunyai tujuan membawa matriks yang diperluas menjadi matriks dengan bentuk lebih sederhana, atau lebih tepatnya dibawa ke bentuk eselon baris tereduksi. Suatu matriks dikatakan mempunyai bentuk eselon baris treduksi jika memiliki ciri-ciri sebagai berikut:. jika ada baris yang terdiri dari nol semua, maka baris tersebut diletakkan pada baris yang paling bawah; 2. entri tak nol pertama dari kiri adalah dan disebut utama; 3. untuk baris yang lebih bawah, letak utama berada lebih ke kanan daripada baris yang lebih atas. Contoh matriks dengan bentuk eselon baris diberikan sebagai berkut: [ ] 2 [ ], 2,. 2 Proses menghasilkan bentuk eselon baris ini disebut eliminasi Gauss. Selanjutnya untuk mencari penyelesaian sistem persamaan linier digunakan eliminasi Gauss ini. Jika kolom yang memuat -utama entrinya semua nol kecuali -utama maka matriks tersebut disebut bentuk eselon baris tereduksi dan prosesnya disebut eliminasi Gauss-Jordan.

6 BAB. SISTEM PERSAMAAN LINEAR DAN MATRIKS Contoh..4 Sistem persamaan linier di bawah ini akan dicari penyelesaiannya menggunakan eliminasi Gauss. x +x 2 x 3 = 3x x 2 +x 3 = x 3x 2 +3x 3 = 2 Operasi baris elementer yang diterapkan pada matriks yang diperluas adalah sebagai berikut: 3 4 4 3 4 4 3 3 3 2 4 4 3 3 4 4 3 4 Dengan demikian sistem persamaan linier tersebut mempunyai variabel bebas yaitu x 3. Penyelesaiannya adalah x = 4, x 2 = 3 4 + t, x 3 = t.. Berikut adalah contoh sistem persamaan linier yang tidak mempunyai penyelesaian...3 Sistem Homogen Sistem persamaan linier disebut homogen jika suku yang memuat konstanta adalah nol. Jadi sistem persamaan yang terbentuk menjadi demikian: a x +a 2 x 2 + +a n x n = a 2 x +a 22 x 2 + +a 2n x n =. a m x +a m2 x 2 + +a mn x n = (.5) Karena suku konstantanya nol semua, maka sistem persamaan linier homogen ini selalu mempunyai penyelesaian, yaitu x = x 2 = = x n =. Pertanyaannya adalah apakah sistem persamaan tersebut juga mempunyai penyelesaian tak nol. Untuk menjawab pertanyaan ini, metode mencari penyelesaian sistem persamaan non homogen bisa tetap diterapkan.

.2. MATRIKS DAN OPERASI MATRIKS 7 Contoh..5 Carilah penyelesaian sistem persamaan linier homogen berikut ini : x +2x 2 +x 3 x 4 +3x 5 = x +2x 2 +2x 3 +x 4 +2x 5 = 2x +4x 2 +2x 3 x 4 +7x 5 = Proses Eliminasi Gauss-Jordan bisa diterapkan dalam sistem persamaan ini. Berikut adalah langkah-langkahnya. 2 3 2 2 2 2 4 2 7 2 3 2 2 7 3 Dari bentuk eselon baris tereduksi yang dihasilkan, diperoleh. x +2x 2 +7x 5 = x 3 3x 5 = x 4 +x 5 = 2 3 4 2 Dengan mengambil x 2 = t dan x 5 = r, maka diperoleh sistem persamaan linier homogen tersebut mempunyai penyelesaian tak nol juga. Lengkapnya, penyelesaian yang dicari adalah: x = 2t 7r, x 2 = t, x 3 = 3r, x 4 = r, x 5 = r..2 Matriks dan Operasi Matriks.2. Pengertian Matriks Matriks adalah sekumpulan angka, yang menyatakan bilangan-bilangan real, yang disusun menyerupai persegi panjang. Contoh matriks-matriks adalah sebagai berikut : A = 2 2 3 4 5 2 3 7, B = 5 6 2 5, C = [ ]

8 BAB. SISTEM PERSAMAAN LINEAR DAN MATRIKS Komponen yang penting dalam sebuah matriks adalah banyaknya baris dan banyaknya kolom. Jika A melambangkan suatu matriks dan matriks tersebut mempunyai baris sebanyak m dan kolom sebanyak n, maka matriks A tersebut dikatakan mempunyai ukuran atau order m n. Dari contoh di atas, matriks A mempunyai ukuran 3 4, matriks B mempunyai ukuran 4 2 dan matriks C mempunyai ukuran 5. Matriks A selanjutnya bisa dinyatakan secara lebih rinci dengan mendata anggotaanggotanya sebagai berikut : A = [a ij ] dengan i =, 2,..., m dan j =, 2,..., n. Adapun m menyatakan banyaknya baris dan n menyatakan banyaknya kolom. Contoh.2. Diberikan matriks A yang berukuran 3 3 berikut ini : 2 3 A = 4 8, 2 3 maka a =, a 23 = dan a 3 = 2. Yang dimaksud dengan matriks nol adalah matriks yang semua entrinya adalah, antara lain [ ],,, [],.2.2 Operasi Penjumlahan Matriks Dua buah matriks dapat dioperasikan dengan cara menjumlahkan keduanya. Syarat agar penjumlahan ini dapat dilakukan adalah ukuran matriks-matriks tersebut harus sama. Lebih jelasnya diberikan dalam definisi berikut ini.

.2. MATRIKS DAN OPERASI MATRIKS 9 Definisi.2.2 Jika diberikan matriks-matriks A = [a ij ] dan B = [b ij ] yang masing-masing berukuran m n, maka A + B = [a ij + b ij ]. Hasil jumlahan dua matriks berukuran m n tersebut berupa matriks berukuran m n dengan entri-entrinya merupakan penjumlahan entri-entri matriks A dan B yang bersesuaian. Untuk lebih jelasnya perhatikan contoh berikut. Contoh.2.3 Diberikan matriks-matriks A dan B yang masing-masing berukuran 4 2 [ ] [ ] 2 3 4 2 3 A =, B =. 4 2 3 3 4 8 Hasil jumlahan A dan B adalah [ ] + 4 + ( 2) 2 + 3 + ( 3) A + B = = 4 + 3 2 + ( 4) + 8 3 + ( ) [ 4 3 6 7 6 9 4 ]. Dari suatu matriks A = [a ij ] dapat dibentuk A = [ a ij ], Untuk A seperti pada Contoh (.2.3) diperoleh [ ] 2 3 A = 4 2 3 Karena penjumlahan matriks melibatkan penjumlahan bilangan-bilangan real pada masingmasing entrinya, maka sifat-sifat operasi penjumlahan matriks juga dipengaruhi sifat-sifat operasi penjumlahan bilangan real. Proposisi.2.4 Jika A, B dan C adalah matriks-matriks yang ukurannya sama, maka berlaku : (a.) A + B = B + A; (b.) (A + B) + C = A + (B + C); (c.) + A = A + = A; (d.) A + ( A) =.

BAB. SISTEM PERSAMAAN LINEAR DAN MATRIKS.2.3 Perkalian Skalar Selain penjumlahan dua matriks, dikenal juga operasi antara skalar dengan matriks yang definisinya sebagai berikut : Definisi.2.5 Jika diberikan matriks-matriks A = [a ij ] berukuran m n dan bilangan real k, maka ka = [ka ij ]. Dengan kata lain, hasil kali matriks A dan skalar k berupa matriks yang entri-entrinya k-kali entri-entri matriks A. Untuk lebih jelasnya perhatikan contoh berikut. Contoh.2.6 Diberikan skalar k = 2 dan matriks A sebagai berikut : 8 2 A = 2 2. 4 3 6 Hasil kali A dan k adalah 2.8 2.( 2) 2.( ) 2. ka = 2A = 2.2 2. 2. 2.( 2) = 2.4 2.( ) 2.3 2.( 6) 6 4 2 4 2 24 8 2 6 2. Untuk operasi perkalian matriks dan skalar ini diperoleh sifat-sifat sebagai berikut : Proposisi.2.7 Diberikan matriks A dan B yang berukuran sama, k dan h adalah bilanganbilangan real. Pernyataan berikut berlaku : (a.) (b.) (c.) k(a + B) = ka + kb; (k + h)a = ka + ha; k(ha) = (kh)a; (d.) A = A.

.2. MATRIKS DAN OPERASI MATRIKS.2.4 Transpos Matriks Jika diberikan A yaitu matriks berukuran m n, maka dapat diperoleh matriks lain, sebut saja B, yang berukuran n m dengan cara merubah baris ke-i matriks A menjadi kolom ke-i matriks B. Matriks B ini dinamakan transpos matriks A, yang dinotasikan dengan A t. Jadi jika A = [a ij ], maka A t = [a ji ]. Contoh.2.8 Diberikan matriks A berikut ini 6 4 A = 5 7 22 2. 7 2 3 Transpos matriks tersebut adalah A t = 6 5 7 4 7 2 22 2 3. Selanjutnya diberikan sifat-sifat yang diperoleh dari suatu transpos matriks terhadap operasioperasi yang lain, yaitu jumlahan dan perkalian dengan skalar. Proposisi.2.9 Misalkan A dan B adalah matriks-matriks yang ukurannya sama, k adalah suatu bilangan real. Pernyataan-pernyataan berikut berlaku : (a.) (A t ) t = A; (b.) (A + B) t = A t + B t ; (c.) (ka) t = ka t.

2 BAB. SISTEM PERSAMAAN LINEAR DAN MATRIKS.3 Perkalian Matriks.3. Operasi Perkalian Matriks Jika suatu matriks mempunyai ukuran khusus yaitu m atau n, maka disebut vektor. Matriks dengan ukuran m x x 2. x m disebut vektor kolom, sedangkan matriks dengan ukuran n [ x x 2... x n ] disebut vektor baris. Definisi-definisi tersebut akan digunakan untuk membahas operasi perkalian dua buah matriks dalam bagian ini. Diberikan matriks A = [a ij ] dengan ukuran m n dan matriks B = [b ij ] dengan ukuran n p. Hasil kali matriks A dan B adalah AB = [c ij ], dengan n c ij = a ik b kj. k= Perhatikan bahwa c ij merupakan hasil kali entri-entri baris ke-i matriks A dan kolom kej matriks B. Dua matriks dapat dikalikan jika banyaknya kolom matriks pertama sama dengan banyaknya baris matriks kedua. Untuk lebih jelasnya oerhatikan contoh berikut. Diberikan matriks-matriks : 9 2 3 7 3 A = 5 3 3, B = 4 4 3 5, 8 6 3

.3. PERKALIAN MATRIKS 3 Akan dihitung hasil kali baris-baris di A dan kolom-kolom di B. Sebagai contoh, akan dihitung hasil kali vektor baris ke-2 dari matriks A dan vektor kolom ke-3 dari matriks B, yang nantinya akan menjadi entri baris ke-2 dan kolom ke-3 dari matriks AB. 9 c 23 = [ 5 3 3 ] 3 5 3 = 5.9 + ( 3)( 3) +. +.( 5) + ( 3)( 3) = 45 + 9 + + + 9 = 64. Langkah-langkah tersebut dilakukan terus terhadap semua vektor-vektor baris matriks A dan vektor-vektor kolom matriks B, sehingga diperoleh hasil: 2 AB = 5 3.3.2 Sifat-sifat Operasi Perkalian Matriks Terkait dengan perkalian matriks, terdapat matriks khusus yang disebut matriks identitas, sebagai berikut : I 3 =, I 2 = [ ], I 4 = Berikut adalah sifat-sifat perkalian matriks yang dikaitkan dengan operasi-operasi yang lain, misalnya penjumlahan, perkalian dengan skalar dan transpos. Proposisi.3. Diberikan matriks A, B dan C dengan ukuran sedemikian sehingga berlaku operasi-operasi penjumlahan dan perkalian, k adalah skalar. Pernyataan-pernyataan berikut berlaku: (a.) IA = A dan BI = B;

4 BAB. SISTEM PERSAMAAN LINEAR DAN MATRIKS (b.) (c.) (d.) (e.) (AB)C = A(BC); A(B + C) = AB + AC; (B + C)A = BA + CA; k(ab) = (ka)b = A(kB); (f.) (AB) t = B t A t ; (g.) Jika AB = I dan CA = I, maka B = C. Setelah dipelajari pada matriks=matriks bisa dilakukan operasi perkalian, sekarang akan ditinjau keterkaitannya dengan sistem persamaan linier. Perhatikan kembali persamaan... Sistem persamaan tersebut dapat dipandang sebagai perkalian matriksmatriks berikut: a a 2 a n a 2 a 22 a 2n.... a m a m2 a mn atau secara ringkas dapat dinotasikan sebagai x x 2. x n = b b 2. b m Ax = b dengan A = a a 2 a n a 2 a 22 a 2n.... a m a m2 a mn, x = x x 2. x n, b = Matriks A disebut matriks koefisien,matriks x disebut matriks variabeldan matriks b disebut matriks konstanta. b b 2. b m. Perlu diingat kembali bahwa cara mencari penyelesaian suatu sistem persamaan linear adalah menggunakan Eliminasi Gauss-Jordan. Operasi baris elementer juga dapat dilakukan pada matriks identitas. Misalnya menukar letak dua buah baris: I 3 = = E.

.4. MATRIKS INVERS 5 Matriks yang dihasilkan dari operasi baris elementer pada matriks identitas disebut matriks elementer, dengan notasi E. Contoh matriks elementer yang lain adalah : 2, 3 Pada saat dilakukan suatu operasi baris elementer pada sebuah matriks, hal ini juga berarti matriks tersebut dikalikan dari kiri dengan suatu matriks elementer dari operasi baris elementer yang bersesuaian. Jika pada matriks A berikut dilakukan operasi baris elementer yaitu baris pertama ditukar letaknya dengan baris ketiga, maka diperoleh matriks A di bawah ini: 5 2 2 3 7 A = 3 4 3 4 = A. 2 3 7 5 2 Matriks A juga dapat diperoleh dengan cara : 5 2 A = EA = 3 4 2 3 7 = 2 3 7 3 4 5 2 Dengan demikian sejumlah berhingga operasi baris elementer yang diterapkan pada suatu matriks sama artinya dengan mengalikan sebanyak berhingga matriks-matriks elementer yang bersesuaian dengan matriks tersebut. Jika bentuk yang dicari adalah bentuk eselon baris tereduksi B dari matriks A, maka dapat diilustrasikan sebagai berikut: B = E k E k... E 2 E A...4 Matriks Invers.4. Matriks Invers Diberikan matriks bujursangkar A yang berukuran n n. Jika terdapat matriks bujursangkar C sehingga AC = CA = I, maka C disebut invers matriks A.

6 BAB. SISTEM PERSAMAAN LINEAR DAN MATRIKS Contoh.4. Matriks berikut A = [ 3 7 2 5 mempunyai invers karena dapat ditemukan matriks [ ] 5 7 C = 2 3 ] sehingga AC = [ 3 7 2 5 ] [ 5 7 2 3 ] = [ ] Tetapi pada umumnya tidak setiap matriks bujursangkar mempunyai invers. Berikut adalah contoh matriks yang tidak mempunyai invers. Contoh.4.2 Akan dibuktikan matriks berikut tidak mempunyai invers: Andaikan terdapat matriks sehingga maka dipenuhi AC = A = [ 2 [ 2 ]. [ ] a b C = c d [ 2a + c 2b + d ] [ ] a b = c d ] = [ [ Hal ini menyebabkan kontradiksi karena pada entri baris ke-2 kolom ke-2 dari AC tidak sama dengan. ]. ], Selanjutnya akan dibahas cara mencari invers suatu matriks bujursangkar. Jika diberikan matriks bujursangkar A berukuran n n, maka dengan menerapkan operasi baris elementer sebanyak berhingga akan dicapai bentuk eselon baris tereduksi. Hal tersebut digambarkan sebagai berikut: A E A E 2 E A E k E k... E A.

.4. MATRIKS INVERS 7 Jika bentuk eselon tereduksi matriks A, yaitu perkalian matriks yang paling kanan, berupa matriks identitas, maka artinya: E k E k... E A = I n. Namakan U = E k E k... E, sehingga UA = I n, yang berarti U adalah invers matriks A. Secara teknis, langkah pertama untuk mencari invers matriks A adalah dibentuk matriks berikut [ A I n ] dengan I n adalah matriks identitas. baris elementer diperoleh : Selanjutnya jika dengan beberapa langkah operasi [ I n A ], maka invers matriks A bisa ditemukan. Contoh.4.3 Akan dicari invers matriks berikut: 5 7 3 5. 2 5 6 5 7 3 5 2 5 6 7 2 3 2 5 3 2 3 5 3 6 2 2 7 3 8 3 7 2 2 6 3 3 7 3 3 2 2 2 8 3 7 2 8 3 7 2 8 3 3 8 3 3 2 2 2 2 2 2 Jadi invers matriks yang dicari adalah 3 2 2 2 8 3 7 2. 8 3 3 2 2 2.

8 BAB. SISTEM PERSAMAAN LINEAR DAN MATRIKS.4.2 Sifat-sifat Matriks Invers Sifat-sifat invers suatu matriks diberikan dalam proposisi berikut ini. Proposisi.4.4 Pernyataan-pernyataan berikut berlaku: (a.) (b.) Jika A mempunyai invers, maka A juga mempunyai invers; Jika A dan B masing-masing mempunyai invers, maka AB juga mempunyai invers dan (AB) = B A ; (c.) Jika A mempunyai invers, maka A t juga mempunyai inversdan (A t ) = (A ) t..5 Penilaian Penguasaan Materi Kompetensi yang diharapkan dari mahasiswa setelah mengikuti perkuliahan dengan materi pada bab ini adalah:. Menjelaskan pengertian SPL; 2. Memodelkan masalah nyata menjadi SPL; 3. Menjelaskan dan menggunakan OBE; 4. Menjelaskan pengertian bentuk eselon baris suatu matriks; 5. Menggunakan metode eliminasi Gauss Jordan untuk mencari penyelesaian suatu SPL; 6. Menjelaskan definisi dan jenis-jenis matriks serta komponen suatu matriks; 7. Menjelaskan keistimewaan matriks elementer; 8. Menjelaskan operasi-operasi matriks dan membuktikan sifat-sifatnya; 9. Menjelaskan definisi invers suatu matriks;. Menjelaskan dan membuktikan sifat-sifat invers suatu matriks;. Menghitung invers suatu matriks.

.5. PENILAIAN PENGUASAAN MATERI 9 Adapun contoh-contoh soal yang digunakan untuk menguji kompetensi mahasiswa adalah sebagai berikut:. (a.) Berikan gambaran jika suatu matriks sama dengan transposnya. Matriks demikian disebut matriks simetris. (b.) Berikan gambaran jika suatu matriks sama dengan negatif transposnya. Matriks demikian disebut matriks simetris miring. 2. Diberikan matriks-matriks berikut : 2 A = 3, B = 3 3 6 4 2 2 2 3 2 3 3 4, C = 2 8 3 4 3 2 2 3 2 4 3 2 3 8. Hitunglah (a.) A + B. (b.) 3A + 2B. (c.) C t. (d.) (6B) t. 3. Tentukan matriks A jika diketahui 2A [ 2 4 7 3 4. Tentukan a, b, c dan d jika [ ] [ ] a b b c c (a.) = c d d [ ] [ ] [ ] a b (b.) 3 2 = b 4 ] t = 2 3 4 8 5. Tentukan bentuk eselon baris dari matriks-matriks berikut : (a.) 2 3 2 4 2 2 7 2 5.

2 BAB. SISTEM PERSAMAAN LINEAR DAN MATRIKS (b.) (c.) 2 4 4 5 2 3 6 3 2 5 3 5 2 5 6 6. Tentukan penyelesaian sistem persamaan linear berikut : (a.) (b.).. 3x 2x 2 +6x 5 = x +3x 2 +x 3 +4x 4 +3x 5 = 2 x 3x 2 +4x 3 6x 4 +2x 5 = 4 3x +2x 2 +2x 3 5x 4 = 2 x +6x 2 4x 3 2x 4 = 3 x +x 2 x 3 x 4 = 8 5x +2x 2 x 3 9x 4 = 2 7. Buktikan bahwa matriks berikut tidak mempunyai invers untuk bilangan real manapun a b c d e f g h 8. Jika kurva f(x) = ax 3 + bx 2 + cx + d melalui titik-titik (, ), (, 7), (3, ) dan (4, 4), tentukan koefisien-koefisien [ ] persamaan kurva tersebut. 9. Diberikan matriks A =. Tentukan matriks-matriks elementer E 5 2 dan E 2 sehingga E 2 E A = I.. Jika diberikan (a.) A = Tentukan matriks X sehingga 2 2 3 5 3 AX =.. 2 3.

.5. PENILAIAN PENGUASAAN MATERI 2 (b.) Tentukan matriks X sehingga [ XA = 2 3 5 ].

22 BAB. SISTEM PERSAMAAN LINEAR DAN MATRIKS

Bibliografi [] Anton, H. and Rorres, C., 2, Elementary Linear Algebra, John Wiley and Sons Inc. [2] DeFranza, J. and Gagliardi, D., 29, Introduction to Linear ALgebra, McGraw-Hill Int. Edition, Boston. [3] Nicholson., W.K., 2, Elementary Linear Algebra, McGrw-Hill Book Co., Toronto. 23

24 BIBLIOGRAFI

Bab 2 Determinan Dalam bab ini termuat dua Pokok Bahasan yaitu Invers Matriks dan Determinan, dengan masing-masing Sub-pokok Bahasan sebagai berikut :. Invers Matriks: (a.) (b.) (c.) Pengertian invers matriks. Sifat invers matriks. Menghitung invers matriks menggunakan matriks elementer. 2. Determinan: (a.) (b.) (c.) Pengertian determinan matriks. Sifat determinan matriks. Menghitung determinan matriks menggunakan ekspansi kofaktor. Materi-materi dalam bab ini disampaikan dalam 3 minggu perkuliahan. 2. Latar Belakang Sudah diketahui bahwa matriks bujursangkar A disebut matriks invertibel jika ada matriks B yang memenuhi AB = BA = I dengan I adalah matriks identitas. Selain itu dapat 25

26 BAB 2. DETERMINAN ditunjukkan bahwa jika ada matriks B yang memenuhi AB = BA = I, maka matriks B tersebut tunggal yang selanjutnya disebut matriks invers dari matriks A dan dinotasikan dengan A. Matriks berukuran 2 2 berikut [ ] a a A = 2 a 2 a 22 mempunyai invers jika dan hanya jika a a 22 a 2 a 2 dan invers matriks A adalah [ ] A a22 a = 2 a a 22 a 2 a 2 a 2 a Nilai a a 22 a 2 a 2 telah dikenal sebagai determinan matriks A 2 2. Tentu saja timbul pertanyaan, apakah fakta pada matriks bertipe 2 2 tersebut dapat diperluas pada sebarang matriks berukuran berukuran n n?. Pada bab ini akan dibahas tentang hal tersebut. 2.2 Determinan Matriks Bujursangkar Untuk matriks A berukuran 3 3 berikut a a 2 a 3 A = a 2 a 22 a 23 a 3 a 32 a 33 jika a maka dapat dilakukan dua kali operasi baris yakni baris ke 2 dan ke 3 masingmasing dikalikan a sehingga diperoleh a a 2 a 3 a a 2 a 3 a a 2 a a 22 a a 23 a a 22 a a 2 a a 23 a a 2 a a 3 a a 32 a a 33 a a 32 a 2 a 3 a a 33 a 3 a 3 Mengingat A invertibel maka salah satu diantara a a 22 a a 2 dan a a 32 a 2 a 3 tidak bernilai nol. Misalkan a a 22 a a 2, maka jika baris ke 3 dikalikan dengan a a 22 a a 2 akan diperoleh a a 2 a 3 a a 22 a a 2 a a 23 a a 2 (a a 22 a a 2 )(a a 32 a 2 a 3 ) (a a 22 a a 2 )(a a 33 a 3 a 3 )

2.2. DETERMINAN MATRIKS BUJURSANGKAR 27 selanjutnya dengan mengurangkan baris ke 3 dengan (a a 32 a 2 a 3 ) kali baris ke 2 akan diperoleh matriks a a 2 a 3 a a 22 a a 2 a a 23 a a 2 (a a 22 a a 2 )(a a 33 a 3 a 3 ) (a a 32 a 2 a 3 )(a a 23 a a 2 ) nilai komponen pada posisi baris ke 3 kolom ke 3, yakni (a a 22 a a 2 )(a a 33 a 3 a 3 ) (a a 32 a 2 a 3 )(a a 23 a a 2 ) akan sama dengan a dengan = a a 22 a 33 + a 2 a 23 a 3 + a 3 a 2 a 32 a a 23 a 32 a 2 a 2 a 33 a 3 a 22 a 3 Mengingat A invertibel maka. Selanjutnya disebut determinan matriks A 3 3. Untuk memperumum pengertian determinan ke bentuk yang lebih besar, akan dilakukan ekspresi determinan matriks berukuran 3 3 dalam bentuk determinan matriks berukuran 2 2. = a a 22 a [ 33 + a 2 a 23 ] a 3 + a 3 a 2 [ a 32 a a ] 23 a 32 a 2 [ a 2 a 33 a 3 ] a 22 a 3 a22 a = a det 23 a2 a a a 32 a 2 det 23 a2 a + a 33 a 3 a 3 det 22 33 a 3 a 32 Untuk mempersingkat, dapat diekspresikan dengan bentuk sebagai berikut = a deta a 2 deta 2 + a 3 deta 3. Matriks A j adalah matriks berukuran 2 2 yang diperoleh dengan menghapus baris ke- dan kolom ke-j. Untuk sebarang matriks A berukuran n n, A ij adalah matriks yang diperoleh dengan menghapus baris ke-i dan kolom ke-j. Secara recursive dapat didefinisikan pengertian determinan untuk sebarang matriks bujursangkar bertipe n n. Definisi lengkapnya diberikan di bawah ini. Definisi 2.2. Misalkan A n n = [a ij ]. Determinan matriks A didefinisikan sebagai berikut: det(a) = a det A a 2 det A 2 + + ( ) +n a n det A n = n j= ( )+j a j A +j

28 BAB 2. DETERMINAN Contoh 2.2.2 Hitung determinan matriks 5 A = 2 4 2 Jawab: det(a) = a deta [ a 2 deta ] 2 + a 3 deta [ 3 ] 4 2 = det 5 det 2 = ( 2) + 5( ) + ( 4 ) = 2 [ 2 4 + det 2 Terkait dengan ekspresi pendefinisian determinan matriks bujur sangkar berikut akan didefinisikan pengertian co-faktor suatu matriks bujur sangkar. ] Definisi 2.2.3 Misalkan A = [a ij ] adalah matriks bujursangkar bertipe n n. Co-faktor (i, j) dinotasikan dengan C ij = ( ) i+j deta ij. Ekspansi co-faktor sepanjang baris pertama adalah det(a) = n j= ( )+j a j A j Proposisi 2.2.4 Determinan matriks A berukuran n n dapat dihitung dengan menggunakan ekspansi sebarang baris atau sebarang kolom sebagai berikut: (a.) Ekspansi baris ke-i, det(a) = n j= ( )i+j a ij A ij (b.) Ekspansi kolom ke-j, det(a) = n i= ( )i+j a ij A ij Contoh 2.2.5 Gunakan ekspansi co-faktor sepanjang baris ke 3 untuk menghitung determinan matrik A berikut: A = 5 2 4 2

2.2. DETERMINAN MATRIKS BUJURSANGKAR 29 det(a) = ( ) 3+ a [ 3 det A 3 ] ( ) 3+2 a 32 det [ A 2 + ( ) ] 3+3 a 33 det [ A 33 5 5 = det ( 2) det + det 4 2 ( ) 2 4 = + 2( ) + = 2 Proposisi (2.2.4) menunjukkan bahwa perhitungan determinan matriks menggunakan ekspansi baris atau kolom akan sangat bermanfaat untuk matriks yang banyak memuat nol. Untuk efisiensi dalam perhitungan jelas perhitungan akan menjadi lebih singkat apabila kita memilih baris atau kolom dengan komponen terbanyak. ] Contoh 2.2.6 Hitung determinan matriks berukuran 5 5 berikut 3 7 8 9 6 2 5 7 3 A = 5 2 4 2 Untuk matriks di atas, jelas perhitungan paling efisien apabila kita memilih ekspansi sepanjang kolom ke- atau ekspansi baris ke-4. Dengan ekspansi sepanjang kolom ke- akan diperoleh det(a) = 3 det 2 5 7 3 5 2 4 2 C 2 + C 3 C 4 + C 5 sehingga dengan menggunakan ekspansi kolom ke- lagi akan diperoleh 5 det(a) = 3.2. det 2 4. 2 Dari contoh sebelumnya diperoleh determinan 5 det 2 4 = 2. 2 Jadi diperoleh det(a) = 3.2.( 2) = 2. Dari contoh di atas dapat disimpulkan dalam proposisi berikut.

3 BAB 2. DETERMINAN Proposisi 2.2.7 Jika A adalah matriks segitiga atas, maka determinan A merupakan hasil kali unsur-unsur diagonal utamanya. 2.3 Sifat-Sifat Determinan Pada Bab telah dipelajari tentang Operasi Baris Elementer (dan Operasi Kolom Elementer). Dari ekspansi determinan akan didapat proposisi berikut yang menunjukkan pengaruh operasi baris atau kolom terhadap nilai determinan. Proposisi 2.3. Misalkan A adalah matriks bujursangkar berukuran n n.. Jika matriks B adalah suatu matriks yang diperoleh dengan menambah suatu baris (kolom) matriks A dengan hasil kali skalar baris (kolom) baris yang lain, maka determinan B= determinan A. 2. Jika matriks B adalah suatu matriks yang diperoleh dengan mengalikan suatu baris (kolom) dengan skalar tak nol α kali baris (kolom) baris yang lain, maka det B = α det A. 3. Jika matriks B adalah suatu matriks yang diperoleh menukar 2 buah baris yang berlainan, maka det B = det A. Dengan Proposisi (2.3.) dapat dihitung determinan suatu matriks dengan menggunakan Operasi Baris (Kolom) Elementer. Contoh 2.3.2 Hitung determinan matriks A berikut ini: det 4 2 2 8 9 7

2.3. SIFAT-SIFAT DETERMINAN 3 Strateginya adalah dilakukan operasi baris elementer untuk membawa matriks A ke bentuk matriks segitiga atas. det(a) = det = det 4 2 2 8 9 7 = det = det 4 2 5 7 4 2 5 3 2 4 2 3 2 5 = ()(3)( 5) = 5 Contoh 2.3.3 Hitung determinan matriks det 2 8 6 8 3 9 5 3 2 4 6 Untuk menyederhanakan perhitungan, terlebih dahulu dilakukan operasi baris elementer sedemikian hingga pada posisi (, ) (baris pertama kolom pertama) entrinya bernilai, sehingga diperoleh det(a) = det 2 8 6 8 3 9 5 3 2 4 6

32 BAB 2. DETERMINAN det(a) = 2 det = 2 det = 2 det = 2 det 4 3 4 3 9 5 3 2 4 6 4 3 4 3 4 2 2 3 2 4 3 4 3 4 2 6 2 3 2 4 3 4 3 4 2 6 2 = 2..3.( 6). = 36 Dari proses perhitungan determinan menggunakan operasi baris elementer, khususnya jika dibandingkan dengaan penentuan invers matriks menggunakan operasi baris elementer, maka akan didapatkan proposisi berikut: Proposisi 2.3.4 Matrik bujursangkar A invertibel jika dan hanya jika determinan A Selain itu, mengingat nilai determinan suatu matriks dapat dihitung baik menggunakan ekspansi baris ataupun ekspansi kolom maka dapat disimpulkan determinan suatu matriks bujur sangkar akan sama dengan nilai determinan matriks transposnya seperti dinyatakan dalam proposisi berikut: Proposisi 2.3.5 Misalkan A matriks bujursangkar, maka det(a T ) = det(a). Seperti sudah dibahas didepan bahwa terdapat hubungan antara determinan suatu matriks bujursangkar A, dengan matriks hasil operasi baris (kolom) elementer. Selain itu pada Bab I juga sudah diperkenalkan pengertian matriks elementer yaitu matriks yang diperoleh

2.3. SIFAT-SIFAT DETERMINAN 33 dengan melakukan satu kali operasi baris (kolom) elementer. Disamping itu pada Bab I, juga sudah diterangkan tentang apa makna operasi baris (kolom) elementer dalam kaitannya dengan perkaalian matriks, diantaranya dikatakan bahwa jika B adalah matriks yang diperoleh dengan melakukan satu kali operasi baris elementer dari satu matriks A, maka B = EA dengan E adalah matriks elementer yang diperoleh dengan melakukan satu kali operasi baris elementer terhadap matriks I. Untuk melihat hubungan antara determinan matriks B dengan matriks A, kita akan tinjau 3 jenis operasi baris elementer. Misalkan yang dilakukan adalah operasi Operasi Baris Elementer Tipe : yaitu B adalah matriks yang diperoleh dengan menukar dua baris berlainan dari satu matriks A, maka akan diperoleh det B = det A sehingga diperoleh det B = ( ) det A sementara itu det E = det I =. Selain itu B = EA, dengan demikian akan diperoleh det(ea) = det(e) det(a). Dengan cara analog akan dapat ditunjukkan untuk operasi baris elementer tipe yang lain. Dengan kenyataan akan dapat ditunjukkan bahwa untuk sebarang matriks bukur sangkar yang berukuran sama. Proposisi 2.3.6 Jika A dan matriks B adalah matriks-matriks bujursangkar dengan ukuran yang sama, maka det(ab) = det(a) det(b). Bukti. Pembuktian akan dibedakan untuk dua kasus: Kasus. Matriks A invertibel. Menurut sifat matriks invertibel yang seperti diuraikan pada Bab I, dengan serangkaian (berhingga) operasi baris elementer A akan dapat diubah menjadi matriks identitas. Dengan demikian terdapat matriks elementer E, E 2, E 3,, E n sedemikian hingga A = E, E 2, E 3,, E n I.

34 BAB 2. DETERMINAN Dengan demikian, akan diperoleh AB = E, E 2, E 3,, E n IB = E, E 2, E 3,, E n B sehingga dengan menggunakan n-kali pengulangan akan diperoleh det(ab) = det(e, E 2, E 3,, E n B) = det(e ) det(e 2, E 3,, E n B) = det(e ) det(e 2 ) det(e 3,, E n B).. = det(e ) det(e 2 ) det(e 3 ),, det(e n ) det(e n B) = det(e ) det(e 2 )(E 3 ),, (E n ) det(e n B) = det(e )(E 2 )(E 3 ),, (E n )(E n B) = det(e )(E 2 )(E 3 ),, (E n I)(E n B) = det(a) det(b) Kasus 2. Matriks A tidak invertibel. Hal ini berarti det A =, dengan demikian untuk menunjukkan bahwa det AB = det A det B, cukup bila dapat ditunjukkan bahwa det(ab) = atau yang ekivalen dengan meunjukkan bahwa AB juga tidak invertibel. Andaikan AB invertibel, maka ada (AB) yang memenuhi (AB)(AB) = I. Dengan demikian menggunakan Kasus akan diperoleh det(ab)(ab) = det(i) yang berarti det(ab) det(ab) = dengan demikian det(ab). Kontradiksi dengan pengandaian bahwa matriks AB invertibel.

2.4. BEBERAPA APLIKASI DETERMINAN 35 2.4 Beberapa Aplikasi Determinan 2.4. Perhitungan Invers Matriks: Rumus Adjoint Determinan dapat dihitung menggunakan ekspansi kofaktor sepanjang sebarang baris yang dapat dinyatakan sebagai berikut. det(a) = a det A a 2 det A 2 + + ( ) +n a n det A n det(a) = a 2 det A 2 + a 22 det A 22 + + ( ) 2+n a 2n det A 2n......... det(a) = ( ) n+ a n det A n + ( ) n+2 a n2 det A n2 + + ( ) n+n a nn det A nn Dari formula tersebut akan diperoleh det A det A.... = det A a a 2 a n a 2 a 22 a 2n.... a n a n2 a nn det A det A 2 ( ) n+ det A n det A 2 + det A 22 ( ) n+2 det A n2.... ( ) +n det A n +( ) 2+n det A 2n ( ) n+n det A nn Dengan menotasikan matriks det A det A 2 ( ) n+ det A n det A 2 + det A 22 ( ) n+2 det A n2.... = Adj(A) ( ) +n det A n ( ) 2+n det A 2n ( ) n+n det A nn akan diperoleh dengan Adj berarti adjpint. proposisi berikut ini. det(a)i n n = A Adj(A) Akhirnya diperoleh Rumus Adjoint yang disajikan dalam Proposisi 2.4. Jika A invertibel, maka A = det(a) Adj(A)

36 BAB 2. DETERMINAN dan untuk mempermudah penotasian komponen-komponen Adj(A), dinotasikan sebagai berikut: C C 2 C n C 2 C 22 C n2 Adj(A) =.... C n C 2n C nn dengan C ij = ( ) i+j det(a ij ) Contoh 2.4.2 Tentukan invers matriks A berikut: 2 3 A = 4 2 Untuk menghitung A, terlebih dahulu dihitung masing-masing nilai C ij berikut [ ] [ ] [ ] C = + det = 2, C 4 2 2 = det = 3, C 2 3 = + det = 2 [ ] [ ] [ 4 ] 3 2 3 2 C 2 = det = 4, C 4 2 22 = + det = 7, C 2 23 = det = 7 [ ] [ ] [ 4 ] 3 2 3 2 C 3 = + det = 4, C 32 = det =, C 33 = + det = 3 Kemudian dibentuk Adj(A) sebagai berikut Adjoint(A) = 2 4 4 3 7 5 7 3 Kemudian dengan rumus adjoint diperoleh A = 2 4 4 2 7 7 3 7 = 3 4 2 4 4 5 5 7 3 3 4 2 4. 2.4.2 Perhitungan Solusi Sistem Persamaan Linear Jika A matriks invertibel maka sistem persamaan linear A n n x n = b n akan mempunyai solusi tunggal yakni: x n = A b n.

2.4. BEBERAPA APLIKASI DETERMINAN 37 Dengan demikian akan diperoleh x n = det(a) Adjoint(A)b n. Jika komponen x dan b dituliskan secara lengkap akan diperoleh x b x 2 b 2 yakni akan diperoleh x x 2. x n. x n = det(a) Dengan demikian akan diperoleh = det(a) Adjoint(A). b n C C 2 C n C 2 C 22 C n2.... C n C 2n C nn b b 2. b n. x = det(a) (b C + b 2 C 2 + + b n C n ) x 2 = det(a) (b C 2 + b 2 C 22 + + b n C n2 )......... x n = (b det(a) C n + b 2 C 2n + + b n C nn ) Untuk mempermudah pemahaman digunakan notasi berikut : Dari ekspresi di atas nampak bahwa = b C + b 2 C 2 + + b n C n 2 = b C 2 + b 2 C 22 + + b n C n2....... vdots n = b C n + b 2 C 2n + + b n C nn = det A dengan A adalah matriks yang diperoleh dari matriks A dengan mengganti kolom ke- dengan b, yakni A = b a 2 a n b 2 a 22 a 2n.... b n a n2 a nn

38 BAB 2. DETERMINAN Secara analog 2 = det A 2 dengan A 2 adalah matriks yang diperoleh dari matriks A dengan mengganti kolom ke-2 dengan b, yakni dan A 2 = det A 2 = a b a n a 2 b 2 a 2n.... a n b n a nn n = det A n dengan A n adalah matriks yang diperoleh dari matriks A dengan mengganti kolom ke-n dengan b, yakni A n = a a 2 b a 2 a 22 b 2.... a n a n2 b n Dari penjelasan di atas, akan diperoleh proposisi berikut,. Proposisi 2.4.3 Jika A invertibel, maka sistem persamaan linear A n n x n = x n mempunyai penyelesaian tunggal x = det A det(a) x 2 = det A 2 det(a). x n. = det A n det(a) Contoh 2.4.4 Gunakan Aturan Cramer untuk menghitung solusi sistem persamaan linear 3x 2x 2 = 6 5x + 4x 2 = 8 Sistem persamaan linear di atas dapat dituliskan dengan dengan bentuk Ax = b, dengan [ ] 3 2 A = [ 5 ] 4 x x = [ x 2 ] 6 b = 8

2.5. PENILAIAN PENGUASAAN MATERI 39 Terlebih dahulu dihitung det(a), det A, dan det 2 sebagai berikut: [ ] 3 2 det A = det = 3.4 ( 2)( 5) = 2 = 2 [ 5 4 ] 6 2 det A = det = 6.4 ( 2)(8) = 25 + 6 = 2 [ 8 4 ] 3 6 det A 2 = det = 3.8 (6)( 5) = 24 + 3 = 27 5 8 sehingga dengan Aturan Cramer diperoleh: x = det A det(a) 2 x 2 = det A 2 det(a) 2 2.5 Penilaian Penguasaan Materi Kompetensi yang diharapkan dari mahasiswa setelah mengikuti perkuliahan dengan materi pada bab ini adalah:. Menjelaskan definisi determinan matriks; 2. Menjelaskan dan membuktikan sifat-sifat determinan matriks dalam kaitannya dengan OBE; 3. Menghitung determinan matriks menggunakan ekspansi kofaktor; 4. Menghitung invers matriks menggunakan determinan. Adapun contoh-contoh soal yang digunakan untuk menguji kompetensi mahasiswa adalah sebagai berikut:. Diberikan matriks berikut A = 8 2 3 4 3 2 4 2 2 3 3 (a.) Carilah semua minor matriks A. (b.) Carilah semua kofaktor matriks A.

4 BAB 2. DETERMINAN (c.) Hitunglah determinan matriks A. (d.) Hitunglah invers matriks A menggunakan determinannya. 2. Dengan Aturan Cramer, hitunglah penyelesaian sistem persamaan linear pada soal nomor 3b di Bab. 3. Buktikan matriks berikut B = cos θ sin θ sin θ cos θ mempunyai invers untuk semua nilai θ kemudian carilah B. 4. Buktikan jika det(a) = dan semua entri A adalah bilangan bulat, maka semua entri A juga bilangan bulat. 5. Diketahui determinan matriks berikut a b c det d e f g h i = 6. Tentukan (a.) (b.) det det d e f g h i a b c. 3a 3b 3c d e f g 4d h 4e i 4f 6. Tentukan nilai k sehingga matriks berikut tidak mempunyai invers: [ ] k 3 2 (a.) A =. 2 k 2 2 4 (b.) A = 3 6. k 3 2.

42 BIBLIOGRAFI

Bab 3 Ruang Vektor R 2 dan R 3 Dalam bab ini termuat dua Pokok Bahasan yaitu Ruang Euclid dan Vektor-vektor yang Membangun dan Bebas Linear, dengan masing-masing Sub-pokok Bahasan sebagai berikut :. Ruang Euclid: (a.) (b.) (c.) (d.) Definisi Ruang Euclid. Operasi-operasi vektor yang berlaku di Ruang Euclid. Hasil kali dalam pada Ruang Euclid. Proyeksi vektor. 2. Vektor-vektor yang Membangun dan Bebas Linear (a.) (b.) (c.) (d.) (e.) Pengertian kombinasi linear dan kaitannya dengan SPL. Himpunan pembangun dan kaitannya dengan SPL. Himpunan yang bebas linear dan kaitannya dengan SPL. Basis dalam Ruang Euclid. Definisi rank dan dimensi pada Ruang Euclid. Materi-materi dalam bab ini disampaikan dalam 5 minggu perkuliahan. 43

44 BAB 3. RUANG VEKTOR R 2 DAN R 3 3. Vektor dan Skalar Dalam matematika dikenal dua besaran pokok yaitu skalar dan vektor. Bab ini akan membahas besaran vektor dan sifat-sifatnya. Vektor mempunyai ciri khas selain mempunyai besar juga mempunyai arah. Di dalam ruang vektor R 2 suatu vektor a mempunyai dua komponen yang dinotasikan dengan a = [ a a 2 ] atau a = (a, a 2 ) t. Komponen-komponen tersebut menentukan arah vektor a. Adapun besar atau panjangnya dinyatakan dengan notasi a dan dicari dengan rumus a = a 2 + a 2 2. yang merupakan terapan Prinsip Phytagoras. Secara analog untuk vektor-vektor di R 3 dapat dinyatakan dengan a a = a 2 atau a = (a, a 2, a 3 ) t. a 3 dan rumus jarak yang berlaku adalah a = a 2 + a 2 2 + a 2 3. Contoh 3... Diberikan a = (, 2) t vektor di R 2. Panjang vektor itu adalah a = ( ) 2 + 2 2 = + 4 = 5. 2. Diberikan a = (2,, 3) t vektor di R 3. Panjang vektor itu adalah a = 2 2 + + ( 3) 2 = 4 + 9 = 3. Untuk pembahasan selanjutnya, definisi maupun sifat-sifat yang dipelajari adalah untuk vektor-vektor di R 3 dengan pengertian bahwa vektor-vektor di R 2 merupakan kejadian khusus.

3.. VEKTOR DAN SKALAR 45 Vektor-vektor dalam R 3 maupun R 2 dapat dioperasikan secara aljabar, yaitu dijumlahkan (dikurangkan) dan dikalikan dengan suatu bilangan real. Untuk sebarang dua vektor di R 3 yaitu a = (a, a 2, a 3 ) t dan b = (b, b 2, b 3 ) t hasil jumlah kedua vektor tersebut adalah a + b = a a 2 a 3 + b b 2 b 3 = a + b a 2 + b 2 a 3 + b 3 Jika α suatu bilangan real sebarang, maka hasil kali α dan a adalah a αa αa = α a 2 a 3 = αa 2 αa 3. Terkait dengan dua operasi tersebut, ada vektor-vektor khusus yang mempunyai sifat istimewa. Vektor-vektor tersebut adalah dan a = a a 2 a 3 = = a a 2 a 3 Sifat-sifat operasi-operasi tersebut yang bisa dibuktikan ditulis dalam proposisi berikut ini... Proposisi 3..2 Diberikan a, b dan c masing-masing vektor di R 3. berikut : Berlaku sifat-sifat (a.) a + b = b + a. (b.) a + ( a) =. (c.) a + = + a = a. (d.) a + = + a = a. (e.) (f.) α(a + b) = αa + αb. (α + β)a = αa + βa.

46 BAB 3. RUANG VEKTOR R 2 DAN R 3 Bukti. Bukti sifat-sifat ini menggunakan definisi operasi penjumlahan dan perkalian skalar. Akan diberikan satu contoh, sementara bukti selebihnya diserahkan kepada pembaca. a b a + b = a 2 a 3 + b 2 b 3 = = = a + b a 2 + b 2 a 3 + b 3 b + a b 2 + a 2 b 3 + a 3 b b 2 b 3 + a a 2 a 3. 3.2 Norma dan Jarak Selanjutnya akan dibahas sifat-sifat vektor lebih lanjut, terutama yang terkait dengan besar atau panjang vektor. Panjang suatu vektor, yang selanjutnya lebih dikenal dengan sebutan norm vektor, mempunyai peranan cukup penting dalam aljabar vektor karena bermula dari pengertian norm inilah diturunkan definisi jarak dan sudut. Jika ada dua vektor di R 3 misalnya a = (a, a 2, a 3 ) t dan b = (b, b 2, b 3 ) t, maka jarak dua vektor tersebut adalah : d(a, b) = a b = (a b ) 2 + (a 2 b 2 ) 2 + (a 3 b 3 ) 2. Dari definisi jarak ini bisa dilihat bahwa panjang suatu vektor pada dasarnya adalah jarak vektor tersebut dengan vektor nol, yaitu a = a = (a ) 2 + (a 2 ) 2 + (a 3 ) 2 = Beberapa sifat norm suatu vektor adalah sebagai berikut. a 2 + a 2 2 + a 2 3. Proposisi 3.2. Diberikan a, b dan c masing-masing vektor di R 3. Berlaku :

3.3. HASIL KALI TITIK DI R 2 DAN R 3 47 (a.) (b.) a + b a + b. a b + b c a c. 3.3 Hasil Kali Titik di R 2 dan R 3 Ada dua cara untuk mengalikan dua buah vektor, yaitu hasil kali titik (dot product) dan hasil kali silang (cross product). Pada subbab ini akan dibicarakan terlebih dahulu hasil kali titik, sementara untuk hasil kali silang akan dibicarakan kemudian. Definisi 3.3. Diberikan dua vektor di R 2 yaitu a = (a, a 2 ) t dan b = (b, b 2 ) t. Hasil kali titik (dot product)a dan b adalah a b = a b + a 2 b 2. Definisi 3.3. menyatakan hasil kali titik pada ruang vektor R 2. Sedangkan untuk definisi hasil kali titik pada ruang vektor R 3 diperoleh secara analog dengan menambahkan satu komponen lagi, sebagai berikut: a b = a b + a 2 b 2 + a 3 b 3, untuk setiap a = (a, a 2, a 3 ) t dan b = (b, b 2, b 3 ) t di R 3. Contoh 3.3.2. Diberikan a = (, 2) t dan b = ( 3, ) t. Hasil kali titik dari a dan b adalah a b =.( 3) + ( 2). = 3. 2. Diberikan a = ( 2, 7, 3) t dan b = (3,, 4) t. Hasil kali titik dari a dan b adalah a b = ( 2).3 + 7. + ( 3).4 =. Beberapa sifat yang dapat diturunkan dari definisi hasil kali titik di R 2 dan R 3, seperti tercantum dalam proposisi berikut.

48 BAB 3. RUANG VEKTOR R 2 DAN R 3 Proposisi 3.3.3 Diberikan dua vektor di R 2 (atau R 3 ) yaitu a = (a, a 2 ) t dan b = (b, b 2 ) t. Pernyataan-pernyataan berikut berlaku :. a b = b a. 2. a a dan a a = jika dan hanya jika a =. 3. (αa + βb) c = αa c + βb c. 4. a 2 = a a. Bukti. Bukti yang diberikan di bawah ini dilihat untuk vektor-vektor di R 3, adapun untuk R 2 merupakan kejadian khusus.. Ambil a, b R 3 dengan a = (a, a 2, a 3 ) t dan b = (b, b 2, b 3 ) t. a b = a b + a 2 b 2 + a 3 b 3 = b a + b 2 a 2 + b 3 a 3 = b a. 2. Ambil a R 3 dengan a = (a, a 2, a 3 ) t. a a = a a + a 2 a 2 + a 3 a 3 = a 2 + a 2 2 + a 2 3 Dari perhitungan tersebut dengan mudah dapat dibuktikan bahwa a a dan a a = jika dan hanya jika a =. Untuk pernyataan-pernyataan yang lain bukti diserahkan kepada pembaca. 3.4 Sudut Antara Dua Vektor Jika dua vektor a dan b dengan posisi masing-masing titik pangkalnya bertemu, maka akan terbentuk sudut θ di antara dua vektor tersebut dengan θ π. Kemudian dengan

3.4. SUDUT ANTARA DUA VEKTOR 49 menggunakan Aturan Cosinus diperoleh sifat berikut ini. Proposisi 3.4. Jika θ adalah sudut yang terbentuk dari dua vektor tak nol a dan b, maka a b = a b cos θ. Bukti. Akan dihitung terlebih dahulu a b 2 dengan dua cara kemudian hasilnya dibandingkan. Pertama akan dihitung menggunakan Aturan Cosinus pada sudut segitiga yang terbentuk dari dua vektor tersebut. a b 2 = a 2 + b 2 2 a b cos θ. Di pihak lain dapat juga dihitung a b 2 = (a b) (a b) = a a a b b a + b b = a 2 2a b + b 2. Dari kedua perhitungan tersebut diperoleh a 2 + b 2 2 a b cos θ = a 2 2a b + b 2 (3.) a b cos θ = a b. (3.2) Proposisi 3.4. menunjukkan kaitan antara sudut dua buah vektor dan hasil kali titik antara keduanya. Kalau ditinjau kembali persamaan 3.2 akan diperoleh cara untuk menghitung besar sudut yang terbentuk dari dua buah vektor sebagai berikut : cos θ = a b a b. (3.3) Contoh 3.4.2 Akan dicari sudut antara vektor-vektor berikut a = (, 2, ) t dan b = (2,, ) t. Menggunakan Proposisi 3.4. dapat dihitung sudut yang terbentuk sebagai berikut

5 BAB 3. RUANG VEKTOR R 2 DAN R 3 : cos θ = = = a b a b.2 + ( 2). +. + 4 + 4 + + 3 6 6 Untuk θ π diperoleh θ = 2π 3 = 2o. = 3 6 = 2. Selanjutnya untuk mengetahui jenis-jenis sudut yang terbentuk dari dua vektor dapat dicek dari syarat-syarat berikut : a b > θ sudut lancip a b = θ = π 2 a b < θ sudut tumpul Dua vektor dikatakan saling ortogonalatau saling tegak lurus jika sudut dua vektor tersebut sama dengan π. Secara mudah dapat dibuktikan akibat berikut. 2 Akibat 3.4.3 Diberikan a dan b masing-masing vektor tak nol di R 3. Vektor a dan b saling tegak lurus jika dan hanya jika a b =. Misalnya diberikan dua vektor a dan b dengan b. Dari kondisi tersebut vektor a dapat dinyatakan sebagai jumlahan dua vektor, yaitu a = c + c 2 (3.4) dengan c sejajar dengan vektor b dan c 2 tegak lurus dengan vektor b. Karena c sejajar dengan b, maka c bisa dinyatakan sebagai kelipatan dari b atau dengan kata lain terdapat skalar k sehingga c = kb.

3.5. HASIL KALI SILANG DI R 3 5 Dari persyaratan bahwa c 2 c 2 = a c, diperoleh tegak lurus dengan b dan dari persamaan 3.4 yang berarti Sehingga dapat diperoleh Akibatnya, = c 2 b = (a c ) b = (a kb) b = a b k(b b) = a b k b 2. k b 2 = a b atau k = a b b 2. c = kb = a b b 2 b dan vc 2 dapat dicari menggunakan hubungan c 2 = a c. Vektor c disebut proyeksi a pada b dan dinyatakan sebagai c = proy b a. Contoh 3.4.4 Akan ditentukan proyeksi vektor va = (3, ) t pada b = ( 2, 3) t. Misalnya c = proy b a, maka c = a b 3.( ) + ( 2).3 b = b 2 4 + 9 [ 2 3 ] = 9 3 [ 2 3 ] [ = 8 3 27 3 ]. 3.5 Hasil Kali Silang di R 3 Selain hasil kali titik dua buah vektor yang hasilnya berupa skalar, ada jenis perkalian vektor yang lain yang menghasilkan vektor pula. Hasil kali ini hanya bisa didefinisikan pada ruang vektor R 3. Diberikan vektor a = (a, a 2, a 3 ) t dan b = (b, b 2, b 3 ) t di R 3. Vektor a 2 b 3 b 2 a 3 a b = (a b 3 b a 3 ) (3.5) a b 2 b a 2 disebut hasil kali silang atau cross product vektor a dan b.

52 BAB 3. RUANG VEKTOR R 2 DAN R 3 Perhatikan bahwa vektor a b merupakan vektor yang tegak lurus baik dengan a maupun b. Hal ini dapat dengan mudah dibuktikan. Selanjutnya perhatikan vektor-vektor di R 3 berikut ini: i =, j =, k = Setiap vektor di R 3 dapat dinyatakan sebagai a a 2 = a i + a 2 j + a 3 k. a 3 Dengan demikian hasil kali silang pada 3.5 dapat dinyatakan sebagai berikut : i j k a b = det a a 2 a 3 b b 2 b 3 [ ] [ ] [ ] a2 a = det 3 a a i + det 3 a a j + det 2. b 2 b 3 b b 3 b b 2. Contoh 3.5. Diberikan vektor-vektor di R 3 sebagai berikut a = (2,, ) t dan b = ( 3, 4, ) t. Hasil kali silang dua vektor tersebut adalah i j k a b = det 2 = 4i ( )j + 8k = 3 4 Dari hasil tersebut dapat dibuktikan bahwa a b tegak lurus dengan masing-masing a dan b. 4 8. Berikut ini akan dibahas beberapa sifat hasil kali silang. Proposisi 3.5.2 Diberikan vektor-vektor a, b, c di R 3. Berlaku sifat-sifat berikut : (a.) a (b c) = det[a, b, c]. (b.) a = = a. (c.) a b = (b a).

3.6. GENERALISASI KE R N 53 (d.) (e.) (f.) (ka) b = k(a b) = a (kb). a (b + c) = (a b) + (a c). (b + c) a = (b a) + (c a). Proposisi 3.5.3 Identitas Lagrange Jika a dan b dua vektor di R 3, maka a b 2 = a 2 b 2 (a b) 2. Bukti. Bukti dapat dilakukan dengan menggunakan definisi hasil kali titik dan hasil kali silang. Akibat dari Identitas Lagrange tersebut adalah sebagai berikut : a b 2 = a 2 b 2 (a b) 2 = a 2 b 2 ( a b cos θ) 2 = a 2 b 2 ( cos 2 θ) = ( a b sin θ) 2, sehingga a b = a b sin θ. Interpretasi geometris dari fakta ini adalah hasil kali silang dua buah vektor sama dengan luas jajarangenjang yang terbentuk dari dua vektor tersebut. 3.6 Generalisasi ke R n Pada bab terdahulu sudah dibahas bagaimana definisi yang berlaku di R 2 dapat diperluas ke R 3 dengan menambah satu komponen pada vektor-vektornya. Dengan pengertian yang analog, beberapa definisi di R 3 dapat pula diperumum ke R 4 dan seterusnya, sehingga secara umum dapat diperoleh perumuman definisi di R n.

54 BAB 3. RUANG VEKTOR R 2 DAN R 3 Sebelum membahas lebih lanjut tentang masalah ini terlebih dahulu diberikan definisi R n sebagai berikut : R n = { x x 2. x n x i R, i =, 2,..., n, n N}. Di dalam ruang vektor R n suatu vektor a mempunyai n komponen yang dinotasikan dengan a a 2 a =. atau a = (a, a 2,..., a n ) t. a n Komponen-komponen tersebut menentukan arah vektor a. Adapun besar atau panjangnya dinyatakan dengan notasi a dan dicari dengan rumus a = a 2 + a 2 2 + + a 2 n. Seperti halnya vektor-vektor di R 3 maupun R 2, vektor-vektor di R n pun dapat dioperasikan secara aljabar, yaitu dijumlahkan (dikurangkan) dan dikalikan dengan suatu bilangan real. Untuk sebarang dua vektor di R n yaitu a = (a, a 2,..., a n ) t dan b = (b, b 2,..., b n ) t hasil jumlah kedua vektor tersebut adalah a b a + b a 2 a + b =. + b 2. = a 2 + b 2.. a n a n + b n n Jika α suatu bilangan real sebarang, maka hasil kali α dan a adalah a αa a 2 αa = α. = αa 2.. αa n a n Sifat operasi-operasi tersebut yang bisa dibuktikan ditulis dalam proposisi berikut ini.

3.6. GENERALISASI KE R N 55 Proposisi 3.6. Diberikan a, b dan c masing-masing vektor di R n. Berlaku sifat-sifat berikut : (a.) a + b = b + a. (b.) a + ( a) =. (c.) a + = + a = a. (d.) a + = + a = a. (e.) (f.) α(a + b) = αa + αb. (α + β)a = αa + βa. Definisi 3.3. menyatakan hasil kali titik pada ruang vektor R 2. Sedangkan untuk definisi hasil kali titik pada ruang vektor R n diperoleh secara analog sebagai berikut: a b = a b + a 2 b 2 + + a n b n, untuk setiap a dan vb di R n. Contoh 3.6.2 Diberikan a = (, 2,,, ) t dan b = ( 2, 3, 2,, ) t vektor-vektor di R 5. Hasil kali titik dari a dan b adalah a b =.( 2) + ( 2)( 3) + + +. = 5. Beberapa sifat yang dapat diturunkan dari definisi hasil kali titik di R n tercantum dalam proposisi berikut. Proposisi 3.6.3 Diberikan dua vektor di R n a dan b. Pernyataan-pernyataan berikut berlaku :. a b = b a. 2. a a dan a a = jika dan hanya jika a =. 3. (αa + βb) c = αa c + βb c.

56 BAB 3. RUANG VEKTOR R 2 DAN R 3 4. a 2 = a a. Selanjutnya cara untuk menghitung besar sudut yang terbentuk dari dua buah vektor di R n analog dengan rumus 3.3 sebagai berikut : cos θ = a b a b. (3.6) 3.7 Basis dan Dimensi di R n Basis dan dimensi merupakan definisi yang penting dalam R n pada umumnya. Pengertian basis terkait erat dengan definisi-definisi berikut. Diberikan himpunan bagian tak kosong S = {s, s 2,..., s k } di R n. kombinasi linier vektor-vektor di S adalah Yang dimaksud α s + α 2 s 2 +... + α k s k untuk suatu α, α 2,..., α k di R. Suatu himpunan bagian di R n, misalnya S = {s, s 2,..., s k } dikatakan membangun R n jika untuk setiap a di R n dapat dinyatakan sebagai kombinasi linear vektor-vektor di S. Atau dengan kata lain terdapat skalar α i sehingga a = α s + α 2 s 2 +... + α k s k. Atau sering juga dinotasikan R n = span{s} = span{s, s 2,..., s k }. Himpunan S tersebut dikatakan bebas linier jika untuk setiap skalar α i yang memenuhi berakibat α i = untuk semua α i. α s + α 2 s 2 +... + α k s k = Jika ada himpunan yang bebas linier sekaligus membangun, maka himpunan tersebut disebut basis.

3.7. BASIS DAN DIMENSI DI R N 57 Untuk mengetahui apakah vektor-vektor dalam suatu himpunan bersifat bebas linier dapat dikembalikan ke masalah mencari solusi suatu sistem persamaan linier homogen. Selain itu, untuk mengetahui apakah himpunan vektor-vektor membangun ruang vektornya merupakan masalah mencari solusi dari suatu sistem persamaan linier. Untuk lebih jelasnya akan diberikan beberapa contoh berikut. Contoh 3.7. Dalam ruang vektor R 3 terdapat vektor-vektor i =, j =, k = yang merupakan basis di R 3. Dua sifat yang harus dipenuhi oleh suatu basis dapat dibuktikan sebagai berikut. (a.) (b.) Sebarang a = (a, a 2, a 3 ) di R 3 selalu dapat dinyatakan sebagai a a = a 2 = a + a 2 + a 3 = a i + a 2 j + a 3 k. a 3 Jika dibentuk kombinasi linear α + α 2 α i + α 2 j + α 3 k = + α 3 = maka sama artinya dengan pernyataan berikut : α α 2 = α 3. (3.7) Dengan memandang persamaan 3.7 sebagai sistem persamaan linear homogen dan dengan fakta bahwa matriks koefisiennya invertibel, maka sistem tersebut hanya mempunyai solusi trivial, yaitu α α 2 = α 3 Jadi terbukti vektor-vektor i, j, k bebas linier..

58 BAB 3. RUANG VEKTOR R 2 DAN R 3 Untuk selanjutnya notasi yang akan digunakan di R 3 adalah e = i, e 2 = j, e 3 = k. Dalam kasus umum, notasi vektor kolom e i di R n mempunyai arti suatu vektor yang entrinya semua kecuali entri ke-i. Contoh 3.7.2 Dalam ruang vektor R 4 akan dilihat apakah vektor-vektor berikut bebas linier. S = { 2 3, 2, Pertama dibentuk kombinasi linier berikut : 2 α 2 3 + α 2 + α 3 yang sama artinya dengan kondisi berikut : 2 3 2 2 3 2 2 2 2, + α 4 α α 2 α 3 α 4 = 3 2 2 3 2 2 }. = Bentuk eselon baris terseduksi dari matriks koefisien sistem persamaan linier tersebut adalah Dari matriks tersebut terlihat bahwa tidak semua kolomnya memuat utama, sehingga kolom keempat dapat dinyatakan sebagai kombinasi linear dari kolom-kolom yang lain. Jadi vektor-vektor penyusun matriks tersebut tidak bebas linier. Contoh 3.7.3 Perhatikan kembali himpunan S dalam Contoh 3.7.2. Akan diselidiki apakah a = 4 3 span{s}. 5

3.7. BASIS DAN DIMENSI DI R N 59 Untuk menyelesaikan masalah ini sama dengan mencari skalar-skalar α, α 2, α 3, α 4 yang memenuhi α Sehingga diperoleh 2 3 + α 2 2 + α 3 2 3 2 2 3 2 2 2 + α 4 α α 2 α 3 α 4 = 3 2 2 4 3 5 = Sudah disebutkan pada Contoh 3.7.2 bahwa bentuk eselon baris terseduksi dari matriks koefisien sistem persamaan linier tersebut adalah. Akibatnya terhadap sistem persamaan linier yang terkait adalah sistem tersebut mempunyai solusi yang tak hingga banyak. Kesimpulannya a span{s}.. 4 3 5. Pengertian membangun dan bebas linier juga bisa diterapkan pada suatu himpunan bagian R n yang disebut ruang bagian. Definisinya adalah sebagai berikut. Definisi 3.7.4 Himpunan bagian tak kosong T di R n disebut ruang bagian jika memenuhi: (a.) untuk setiap t, s T berlaku t + s T ; (b.) untuk setiap t T dan α R berlaku αt T. Contoh 3.7.5 Diberikan himpunan bagian di R 3 berikut S = {(s,, ) t s R}. Dapat dengan mudah ditunjukkan bahwa S merupakan ruang bagian R 3. Terhadap sebarang ruang bagian T di R n pengertian basis analog dengan pengertian basis pada ruang vektor R n.

6 BAB 3. RUANG VEKTOR R 2 DAN R 3 3.8 Penilaian Penguasaan Materi Kompetensi yang diharapkan dari mahasiswa setelah mengikuti perkuliahan dengan materi pada bab ini adalah:. Menjelaskan pengertian Ruang Euclid sebagai perumuman ruang geometri berdimensi 2 dan 3. 2. Menjelaskan dan menggunakan operasi-operasi vektor dalam Ruang Euclid; 3. Membuktikan sifat-sifat operasi vektor dalam Ruang Euclid; 4. Menjelaskan dan menghitung hasil kali dalam pada Ruang Euclid; 5. Membuktikan sifat-sifat hasil kali dalam pada Ruang Euclid. 6. Menghitung dan menggunakan proyeksi suatu vektor pada vector lain; 7. Menjelaskan pengertian kombinasi linear vektor-vektor dalam suatu Ruang Euclid; 8. Menjelaskan dan membuktikan sifat-sifat kombinasi linear vektor-vektor dalam suatu Ruang Euclid; 9. Menjelaskan pengertian vektor-vektor pembangun dalam suatu Ruang Euclid;. Menjelaskan dan membuktikan sifat-sifat vektor-vektor pembangun dalam suatu Ruang Euclid;. Menjelaskan pengertian vektor-vektor bebas linear dalam suatu Ruang Euclid; 2. Menjelaskan dan membuktikan sifat-sifat vektor-vektor bebas linear dalam suatu Ruang Euclid; 3. Menjelaskan pengertian basis dan dimensi dalam Ruang Euclid; 4. Menjelaskan dan membuktikan sifat-sifat basis dalam suatu Ruang Euclid. Adapun contoh-contoh soal yang digunakan untuk menguji kompetensi mahasiswa adalah sebagai berikut:

3.8. PENILAIAN PENGUASAAN MATERI 6. Diberikan vektor-vektor di R 4 berikut ini : u = 2, v = (a.) Hitunglah besar vektor u. (b.) Hitunglah jarak vektor v dan w. (c.) Hitunglah u w. 2 3 4, w = 2. Buktikan jika u, v, w masing-masing adalah vektor di R n dan k sebarang skalar, maka 3 7 4 2 (a.) u (kv) = k(u v). (b.) u (v + w) = u v + u w. 3. Tentukan apakah vektor-vektor di R 3 berikut u = 2, v = 2 3 3 (a.) membangun R 3 ;, w = 5 (b.) bebas linear. 4. Dalam ruang vektor R 5 didefinisikan himpunan bagian : Selidiki apakah T subruang di R 3. T := {u R 5 u = u u + u 2 2u 2 5. Diberikan vektor-vektor u = ( 3,, 2), v = (4,, 8) dan w = (6,, 4). (a.) Tentukan komponen-komponen 6u + 2v. }. (b.) (c.) 3v 2w + 5u. Tentukan skalar-skalar c, c 2 dan c 3 sehingga c u + c 2 v + c 3 w = (2,, 4). 6. Buktikan bahwa jika v ortogonal dengan w dan w 2, maka v ortogonal dengan k w + k 2 w 2 untuk setiap skalar k dan k 2.

62 BAB 3. RUANG VEKTOR R 2 DAN R 3 7. Diketahui S adalah himpunan semua kombinasi linear vektor-vektor v, v 2,..., v k di ruang Euclid R n dan T adalah himpunan semua kombinasi linear vektor-vektor v, v 2,..., cv k dengan c R skalar tak nol. Buktikan S = T. 8. Diketahui S = {v, v 2,..., v n } adalah himpunan vektor-vektor tak nol di R n yang saling tegak lurus. Buktikan vektor-vektor tersebut bebas linear. 9. Diberikan S dan T himpunan-himpunan bagian tak kosong di R n. Didefinisikan S + T = {s + t s S, t T }. Jika S = Span(u, u 2,..., u k ) dan T = Span(v, v 2,..., v t ), buktikan S + T = Span(u, u 2,..., u k, v, v 2,..., v t ).

64 BIBLIOGRAFI

Bab 4 Transformasi Linear Dalam bab ini termuat Pokok Bahasan Transformasi Linear dengan Sub-pokok Bahasan sebagai berikut : (a.) (b.) (c.) Definisi transformasi linear dan contoh-contohnya. Beberapa sifat transformasi linear. Matriks yang mewakili transformasi linear. Materi-materi dalam bab ini disampaikan dalam sekali perkuliahan. 4. Latar Belakang Jika A adalah matriks berukuran 2 3 dengan komponen-komponen bilangan real, maka untuk setiap x di R 3 hasil perkalian A dengan x yaitu Ax akan berada di R 3. Jadi dapat disimpulkan bahwa untuk setiap x R 3, terdapat dengan tunggal b R 2 sedemikian hingga b 2 = A 2 3 x 3. Dari kenyataan tersebut disimpulkan bahwa dari matriks A 2 3 dapat didefinisikan fungsi atau pemetaan berikut T : R 3 R 2 dengan defisini T (x) = A 2 3 x 3, untuk setiap x 3 R 3. 65

66 BAB 4. TRANSFORMASI LINEAR dan Selain itu mengingat A(x + y) = Ax + Ay A(αx) = αa(x) x, y R 3 dan α R. Sifat tersebut dapat ditulis dengan fungsi T sebagai berikut: x, y R 3 dan α R berlaku T (x + y) = T (x) + T (y) dan T (αx) = αt (x). Sifat itu dapat diinterpretasikan bahwa T mempunyai sifat:. Peta dari jumlah dua buah vektor di R 3 sama dengan jumlah dari masing-masing petanya. 2. Peta dari hasil kali sebarang skalar dengan sebarang vektor di R 3 sama dengan skalar kali peta vektor tersebut. Artinya T mengawetkan hasil operasi penjumlahan pada R 3 ke penjumlahan pada R 2 dan T mengawetkan hasil operasi pergandaan skalar dengan vektor pada R 3 ke pergandaan skalar dengan vektor di R 2. Pada bab ini akan dibahas suatu fungsi atau pemetaan yang mempunyai sifat-sifat tersebut. 4.2 Transformasi Linear dari R n ke R m Definisi 4.2. Fungsi T : R n R m disebut transformasi linear jika x, y R 3 dan α R berlaku. T (x + y) = T (x) + T (y)

4.2. TRANSFORMASI LINEAR DARI R N KE R M 67 2. T (αx) = αt (x). Dari definisi tersebut dan uraian pada latar belakang di atas, dapat disimpulkan bahwa setiap matriks A m n = [a ij ] dengan komponen-komponen bilangan real akan mendefinisikan transformasi linear T dari ruang vektor R n ke ruang vektor R m : T : R n R m dengan definisi untuk semua x R n. T (x) = Ax 3 Contoh 4.2.2 Misalkan A = 3 5 7 dan didefinisikan transformasi linear, u = [ 2 ], b = 3 2 5, dan c = 3 2 5, T : R 2 R 3 dengan definisi T (x) = Ax = 3 3 5 7 [ x x 2 ] = x 3x 2 3x + 5x 2 x + 7x 2 untuk semua x R 2.. Tentukan nilai dari T (u) 2. Tentukan x R 2 yang petanya oleh T sama dengan vektor b 3. Apakah ada lebih dari satu x yang petanya oleh T samadengan b? 4. Apakah c berada dalam Im(T )?

68 BAB 4. TRANSFORMASI LINEAR Contoh 4.2.3 Tunjukkan bahwa pemetaan T : R 4 R 2, dengan definisi x [ ] T x 2 x 3 = x + x 2 x 3 x x 2 + x 4 x 4 x untuk setiap x 2 x 3 R4 merupakan transformasi linear. x 4 Pada proposisi berikut akan ditunjukkan bahwa jika T merupakan transformasi linear dari R n ke ruang vektor R m, maka T tidak hanya mengawetkan operasi penjumlahan dan perkalian skalar dengan vektor, tetapi juga mengawetkan vektor nol, mengawetkan negatif dari vektor, serta mengawetkan kombinasi linear. Proposisi 4.2.4 Jika pemetaan T : R n R m merupakan transformasi linear, maka. T (O R n) = O R m 2. T ( x) = T (x) 3. T (αx + βy) = αt (x) + βt (y) untuk semua x, y R n dan α, β R. Selanjutnya dapat dibuat himpunan semua elemen dalam x R n yang oleh T dipetakan ke O R m, yang disebut dengan kernelt yaitu Ker(T ) = {x R n T (x) = O R m}. Selain itu juga dapat dibentuk Im(T ) yakni himpunan semua elemen y R m yang mempunyai kawan di R n, yakni Im(T ) = {y R m ( x R n )T (x) = y}. Dari sifat T (O R n) = O R m jelas bahwa Ker(T ) sebab O R n Ker(T ) dan Im(T ) sebab O R m Im(T ).

4.3. RUANG NOL, RUANG BARIS DAN RUANG KOLOM 69 Proposisi 4.2.5 Jika pemetaan T : R n R m merupakan transformasi linear, maka. Ker(T ) merupakan subruang di R n ; 2. Im(T ) merupakan subruang di R m. 4.3 Ruang Nol, Ruang Baris dan Ruang Kolom Perhatikan bahwa jika A m n = [a ij ] dengan komponen-komponen bilangan real dan didefinisikan transformasi linear T dari ruang vektor R n ke ruang vektor R m sebagai berikut T : R n R m dengan definisi T (x) = Ax untuk semua x R n, maka (a.) Kernel(T ) tidak lain adalah himpunan semua x R n yang memenuhi Ax = (b.), jadi Kernel(T ) merupakan himpunan semua penyelesaian sistem persamaan linear homogen Ax =. Selanjutnya KernelT disebut Ruang Nol A. Ax = Image(T ) tidak lain adalah himpunan semua Ax dengan x R n. Mengingat a a 2 a 3 x a 2 a 22 a 23 x 2 sehingga akan diperoleh Ax = Ax = = x.... a m a m2 a mn a x + a 2 x 2 + + a 3 x n a 2 x + a 22 x 2 + + a 23 x n. x n. a m x + a m2 x 2 + + a mn x n a a 2 a 2 a 22. a m + x 2. a m2 + + x n = x K (A) + x 2 K 2 (A) + + x n K n (A) a n a 2n. a mn

7 BAB 4. TRANSFORMASI LINEAR dimana K i menotasikan kolom ke-i dari matriks A. Jadi nampak bahwa Image(A) tidak lain adalah himpunan semua kombinasi linear dari kolom-kolom matriks A, sehingga sering disebut sebagai Ruang Kolom matriks A yang dinotasikan dengan RK(A) yang tidak lain adalah himpunan RK(A) = {x K (A) + x 2 K 2 (A) + + x n K n (A) x, x 2,, x n R} (c.) Dengan cara yang sama kita dapat menghimpun semua kombinasi linear dari semua baris-baris matriks A yakni himpunan RB(A) = {y B (A) + y 2 B 2 (A) + + y n B m (A) y, y 2,, y m R} yang tidak lain adalah himpunan semua y m A m n dengan y T m R m Berikut akan dibicarakan basis dari masing-masing subruang di atas dan teknik menghitung basis dan dimensinya. Salah satu hal penting dari ruang kolom dan ruang baris suatu matriks adalah mereka tidak berubah pada saat dilakukan operasi kolom atau operasi baris. Hal tersebut dituangkapkan dalam lemma berikut: Lemma 4.3. Misalkan A adalah suatu matriks berukuran m n atas R.. Jika dengan menggunakan serangkaian operasi baris elementer A B maka RB(A) = RB(B). 2. Jika dengan menggunakan serangkaian operasi kolom elementer A C maka RK(A) = RK(C). Dengan Lemma 4.3. dapat disimpulkan basis dari RB(A) sama dengan basis dari RB(B) dan basis dari RK(A) sama dengan basis dari RK(B). Dengan demikian dimensi dari RB(A) sama dengan dimensi dari RB(B), dan dimensi dari RK(A) sama dengan dimensi dari RK(B). Contoh 4.3.2 Tentukan basis dari ruang U = span{[ 2 4], [2 5 4 2], [ 7 4 6]}

4.3. RUANG NOL, RUANG BARIS DAN RUANG KOLOM 7 Nampak bahwa U tidak lain adalah RB(A) dengan matiks A adalah matriks 2 4 2 5 4 2. 7 4 6 Dengan menggunakan operasi baris elementer akan diperoleh 2 4 2 4 2 5 4 2 3 8 7 4 6 6 6 2 2 4 3 8 dari sini akan diperoleh bahwa himpunan 2 4 8 3 3 merupakan basis dari RB(A) = U. {[ 2 4], [ 8 3 3 ] Contoh 4.3.3 Hitung basis dan dimensi ruang nol matriks berikut 2 A = 2. 2 4 Jika X berada di ruang nol A maka X adalah solusi Sistem Persamaan Linear Homogem AX =, dengan demikian X dapat diperoleh dengan menyelesaikan sistem persamaam linear homogem AX = yakni dengan menggunakan eliminasi Gauss. A = Dengan demikian akan diperoleh 2 2 2 4 2 2 2 2 2 x 2x 2 + x 3 x 4 = x + x 2 + x 3 + 2x 4 =

72 BAB 4. TRANSFORMASI LINEAR dengan mendefinisikan parameter-parameter x 2 = s dan x 4 = t, maka akan diperoleh x = 2s + t dan dengan demikian akan diperoleh X = 2s + t s 2t t x 3 = 2t = s Jadi X berada pada span{x, X 2 } dengan X = 2 + t 2 2. dan X 2 = 2. Dan dapat ditunjukkan bahwa {X, X 2 } bebas linear, jadi {X, X 2 } adalah basis dari Ruang Nol (A), sehingga sekaligus dapat disimpulkan bahawa dimensi dari Ruang Nol A adalah 2. Secara umum dapat ditunjukan teorema berikut yang menunjukkan hubungan antara dimensi image A dan dimensi ruang nol A. Proposisi 4.3.4 Jika A adalah matriks berukuran m n maka dimensi (imagea) + dimensi (RuangN ola) = n 4.4 Matriks Representasi Transformasi Linear Sudah dibahas bahwa setiap transformasi linear A m n akan mendefinikasn transformasi linear dari R n R m. Pertanyaan adalah apakah sebaliknya juga berlaku, yakni apakah setiap transformasi linear dari R n R m menentukan sutau matriks berukuran m n atas R? Untuk menjawab pertanyaan itu, mari kita lihat pertanyaan berikut pada contoh berikut:

4.4. MATRIKS REPRESENTASI TRANSFORMASI LINEAR 73 [ ] [ Contoh 4.4. Sudah diketahui bahwa B = {e =, e 2 = dari R 2. Pertanyaannya adalah bisakah dibuat transformasi linear sedemikian hingga T (e ) = 5 7 2 T : R 2 R 3 3, T (e 2 ) = 8. ] } merupakan basis Mengingat setiap x = [ x x 2 ] R 2 dapat dinyatakan dengan x = x e + x 2 e 2 Selanjutnya, mengingat T transformasi linear maka dia mengawetkan kombinasi linear, sehingga diperoleh T (x) = T (x e + x 2 e 2 ) = x T (e ) + x 2 T (e 2 ) 5 = x 7 + x 2 2 = 5x 3x 2 7x + 8x 2 2x + x 2 Nampak bahwa T (x) dapat diekspresikan dalam bentuk matriks sebagai berikut: 5 3 [ ] T (x) = 7 8 x = Ax x 2 2 Kolom pertama dari matriks A adalah T (e ) dan kolom kedua dari matriks A adalah T (e 2 ). Sehingga ekspresi di atas dapat dinyatakan sebagai berikut:. 3 8 T (x) = [ T (e ) T (e 2 ) ] [ x x 2 ] = Ax Pembahasan pada contoh diatas menunjukkan sifat yang dinyatakan pada proposisi berikut: Proposisi 4.4.2 Jika T : R n tunggal matriks A sedemikian hingga R m adalah transformasi linear, maka terdapat dengan T (x) = Ax, x R n

74 BAB 4. TRANSFORMASI LINEAR Ambil sebarang x di R n R n, maka x dapat dinyatakan secara tunggal x = x e + x 2 e 2 + + x n e n dengan B = {e =., e 2 =.,, e n =. }. kelinearan transformasi linear T diperoleh: T (x) = T (x e + x 2 e 2 + + x n e n ) = x T (e ) + x 2 T (e 2 ) + + x n T (e n ) x = [ T (e ) T (e 2 ) T (e n ) ] x 2. = Ax x n Dengan sifat mengawetkan Pembaca diminta untuk membuktikan ketunggalan matriks tersebut. Selanjutnya matriks A = [ T (e ) T (e 2 ) T (e n ) ] disebut Matriks Standar Transformasi Linaer T. Contoh 4.4.3 Tentukan matriks standar transformasi linear T : R 2 R 2 dengan definisi T (x) = 3x, x R 2. Terlebih dahulu dihitung T (e ) dan T (e 2 ) [ ] 3 T (e ) = 3e = [ ] T (e 2 ) = 3e 2 = 3 dengan demikian diperoleh A = [ T (e ) T (e 2 ) ] = [ 3 3 ] Contoh 4.4.4 Tentukan matriks standar transformasi linear T : R 2 R 3 dengan definisi [ ] 3x + x 2 x T = 5x x + 7x 2 2 x + 3x 2 [ ] x R x 2. 2

4.5. BEBERAPA JENIS TRANSFORMASI LINEAR 75 Matriks standar transformasi linear T tidak lain adalah matriks berukuran 3 2 dengan kolom-kolomnya adalah T (e ) dan T (e 2 ), yakni A = [ T (e ) T (e 2 ) ] = nampak jelas bahwa T (x) = Ax untuk semua x R 2. 3 5 7 3 4.5 Beberapa Jenis Transformasi Linear Pada bagian ini akan dibicarakan beberapa jenis transformasi linear dan ciri-ciri yang terkait dengan matriks standarnya. Seperti diketahui bahwa jika T : R n R m adalah suatu pemetaan maka tidak harus semua elemen di R m punya kawan di R n. Jika y R m mempunyai kawan di R m maka kawannya tunggal. Dari hal tersebut dapat didefinisikan pengertian transformasi linear onto (pada atau surjektif) dan transformasi linear satu-satu (injektif) seperti disajikan dalam definisi sebagai berikut: Definisi 4.5. Misalkan T : R n R m adalah suatu transformasi linear. T disebut transformasi linear pada (onto atau surjektif) jika untuk setiap eleman di R m mempunyai kawan di R n, yakni ( y R m )( x R n )T (x) = y 2. T disebut transformasi linear satu-satu (injektif) jika untuk setiap eleman di R m bilaman mempunyai kawan di R n, maka kawannya tunggal, yakni ( x, x 2 R n )(T (x ) = T (x 2 ) x = x 2 ) Berikut ini adalah suatu sifat yang memberikan ciri-ciiri transformasi linear bersifat onto, dan transformasi linear bersifat satu-satu.

76 BAB 4. TRANSFORMASI LINEAR Proposisi 4.5.2 Misalkan T : R n R m transformasi linear dan A adalah matriks standar transformasi linear T maka. T merupakan pemetaan surjektif jika dan hanya jika kolom-kolom A membangun R n, yakni RK(A) = R n. 2. T merupakan pemetaan surjektif jika dan hanya jika setiap y R m dapat dinyatakan sebagai kombinasi linear kolom-kolom A. 3. T merupakan pemetaan injektif jika dan hanya jika T (x) = hanya mempunyai penyelesaian trivial 4. T merupakan pemetaan injektif jika dan hanya jika kolom-kolom dari A bebas linear. 4.6 Penilaian Penguasaan Materi Kompetensi yang diharapkan dari mahasiswa setelah mengikuti perkuliahan dengan materi pada bab ini adalah:. Menjelaskan definisi transformasi linear; 2. Menjelaskan dan membuktikan sifat-sifat transformasi linear; 3. Menghitung matriks representasi suatu transformasi linear. Adapun contoh-contoh soal yang digunakan untuk menguji kompetensi mahasiswa adalah sebagai berikut:. Diberikan basis dalam R 3 sebagai berikut {u =, v =, w = Kemudian diketahui T : R 3 R 3 adalah transformasi linear yang memenuhi 2 3 T (u) =, T (v) =, T (u) = 5. 4 }.

4.6. PENILAIAN PENGUASAAN MATERI 77 (a.) Tentukan rumus umum untuk T ( x x 2 x 3 (b.) Gunakan hasil pada (a) untuk menentukan T ( ) untuk sebarang 3 2 4 2. Diberikan transformasi linear T : R 3 R 3 yang diwakili oleh matriks 3 4 3 4 7. 2 2 (a.) Carilah KerT. (b.) Carilah ImT. 3. Diberikan transformasi linear T yang diwakili oleh matriks 4 5 9 3 2. 2 3 5 8 Carilah rank dan nulitas T. ). x x 2 x 3 R 3. 4. Diberikan transformasi linear T : R n R m dan {v, v 2,..., v n } adalah basis di R n. Jika T merupakan pemetaan yang surjektif, buktikan {T (v ), T (v 2 ),..., T (v n )} adalah basis di R m. 5. Diberikan transformasi linear berikut x T y = z x y + 2z 2x + 3y z x + 2y 2z (a.) Tentukan vektor-vektor di R 3 yang dipetakan ke vektor oleh T.. (b.) Diberikan vektor w = 7 6 9. Tentukan apakah ada vektor v R 3 sehingga T (v) = w. 6. Diberikan matriks A berukuran m n atas lapangan F. Selanjutnya didefinisikan transformasi linear berikut τ A : F n F m dengan aturan perkawanan τ A (x) = Ax untuk setiap x F n. Buktikan:

78 BAB 4. TRANSFORMASI LINEAR (a.) τ A injektif jika dan hanya jika rk(a) = n; (b.) τ A surjektif jika dan hanya jika rk(a) = m. 7. Diberikan matriks A berukuran m n dan matriks B berukuran m k. Selanjutnya R(A) dan R(B) berturut-turut menyatakan range A dan range B. Sementara N(A) dan N(B) berturut-turut menyatakan ruang null A dan ruang null B. Jelaskan mengapa dim N(A B) = dim N(A) + dim N(B) + dim (R(A) R(B)).

8 BIBLIOGRAFI

Bab 5 Nilai Eigen dan Vektor Eigen Dalam bab ini termuat Pokok Bahasan Transformasi Linear dengan Sub-pokok Bahasan vektor karakteristik, nilai karakteristik dan diagonalisasi. Materi dalam bab ini disampaikan dalam sekali pertemuan. 5. Latar Belakang Sudah diketahui bahwa jika A adalah matriks bujur sangkar bertipe n n dengan komponenkomponennya adalah bilangan real dan adalah vektor nol pada ruang Euclid R n, maka akan berlaku A() = yakni terdapat skalar sedemikian hingga A() =.. Hal itu berakibat bahwa A() dapat dinyatakan sebagai kelipatan dari. Hal ini menimbulkan pertanyaan apakah hal tersebut berlaku juga untuk sebarang vektor tak nol di R n? Hal ini jelas tidak berlaku, sebagai contoh, jika diambil matriks A berikut A = ( 6 5 2 8 )

82 BAB 5. NILAI EIGEN DAN VEKTOR EIGEN ( ) 3 maka untuk vektor v = tidak ada skalar λ yang memenuhi A(v) = λ.v, sebab ( ) ( ) 2 9 3 Av = λ 2 ( ) 6 Sementara itu untuk vektor u = untuk λ = 4 akan diperoleh Au = 4u 5 Dari kenyataan tersebut berikut ini akan didefinisikan pengertian nilai eigen, vektor eigen dan ruang eigen serta beberapa contoh manfaatnya. 5.2 Nilai Eigen, Vektor Eigen dan Ruang Eigen Definisi 5.2. Misalkan A adalah suatu matriks bujur sangkar bertipe n n. (a.) (b.) Skalar λ disebut nilai eigen matriks A jika terdapat vektor tak nol v di R n yang memenuhi A(v) = λ.v. Selanjutnya, jika λ merpakan nilai eigen matriks A, maka vektor v di R n yang memenuhi A(v) = λ.v. dsebut Vektor Eigen matriks A yang berkorespondensi dengan nilai eigen λ. Dari definisi di atas dapat disimpulkan beberapa hal berikut. Syarat agar skalar λ merupakan nilai eigen matriks A adalah terdapat vektor tak nol v di R n yang memenuhi A(v) = λ.v. Hal ini ekuivalen dengan mengatakan bahwa skalar λ merupakan nilai eigen matriks A jika ada vektor tak nol v di R n yang memenuhi A(v) = λ.i.v. atau ada vektor tak nol v di R n yang memenuhi A(v) λ.i.v. =

5.2. NILAI EIGEN, VEKTOR EIGEN DAN RUANG EIGEN 83 yang ekivalen dengan mengatakan bahwa λ merupakan nilai eigen matriks A jika ada vektor tak nol v di R n yang memenuhi λ merupakan nilai eigen matriks A jika ada vektor tak nol v di R n yang memenuhi (A λ.i).v. = hal ini bermakna bahwa syarat perlu dan cukup agar λ merupakan nilai eigen matriks A adalah Sistem Persamaan Linear Homogen pada persamaan terakhir di atas mempunyai solusi Non Trivial. Dari pembahasan pada Bab I, diperoleh sifat sebagai berikut: Proposisi 5.2.2 Skalar λ merupakan nilai eigen matriks A jika dan hanya jika det(a λi) =. Mengingat det(a λi) merupakan polinomial berderajat n maka dapat disimpulkan bahwa λ merupakan nilai eigen matriks A jika dan hanya jika λ merupakan akar dari persamaan det(a λi) =. Selanjutnya sukubanyak det(a λi) disebut sukubanyak karakteristik matriks A dan dituliskan dengan notasi c A (λ). Untuk suatu nilai eigen λ dari matriks A, dapat dihimpun semua vektor eigen dari matriks A yang dinotasikan dengan E(λ) = {v R n A(v) = λ.i.v.}. Jadi E(λ) tidak lain adalah himpunan solusi sistem persamaan linear homogen A λ.i).v. =, dengan menggunakan syarat perlu dan cukup suatu subruang, dapat ditunjukan bahwa E(λ) merupakan subruang dalam R n. Contoh 5.2.3 Untuk matriks A = ( 5 2 4 ) dapat dihitung nilai eigen dari matriks A dengan langkah sebagai berikut:

84 BAB 5. NILAI EIGEN DAN VEKTOR EIGEN (a.) Hitung polinomial karakteristik matriks A yakni c A (λ) = det(a λi) ( ) 5 λ 2 = det( ) 4 λ = (5 λ)( λ) ( 2)(4). Sehingga diperoleh c A (λ) = λ 2 4λ + 3. (b.) Hitung akar-akar dari polinomial karakteristik matriks A, yakni λ yang memenuhi c A (λ) = λ 2 4λ + 3 =. Diperoleh dua nilai karakteristik A yakni λ = 3 dan λ 2 =. Selanjutnya untuk nilai-nilai karakteristik tersebut akan dapat dihitung vektor-vektor karakteristiknya, sebagai berikut: (a.) Untuk λ = 3, akan diperoleh E(λ ) = {v R 2 A(v) = λ.i.v.}. (b.) Sedangkan λ 2 = akan diperoleh Contoh 5.2.4 Dapat ditunjukan bahwa matriks A 3 3 berikut 4 6 A = 2 6 2 8 mempunyai λ = 2 sebagai salah satu nilai eigennya. Dan dapat dihitung bahwa penyelesaian umum sistem persamaan homogen (A 2I)v = dapat dinyatakan sebagai 3 v = t 2 + s dengan demikian Ruang Eigen Matriks A yang berkorespondensi dengan λ = 2 dapat dinyatakan dengan E(λ ) = {t 2 + s 3 t, s R}.

5.3. CONTOH KEGUNAAN NILAI EIGEN, VEKTOR EIGEN DAN RUANG EIGEN85 Pada teorema berikut disajikan sifat-sifat yang dapat dipakai untuk menghitung nilai eigen dari suatu matriks dengan lebih mudah, dan njuga suatub teorema yang akan dipakai untuk menunjukkan salah satu kegunaan dari nilai eigen dan vektor eigen. Proposisi 5.2.5 Nilai eigen dari matriks diagonal adalah elemen-elemen dari diagonal utamanya. Bukti Tanpa mengurangi keumuman bukti, untuk menyederhanakan akan dibuktikan untuk matriks diagonal berukuran 3 3. Jika A adalah matriks diagonal berukuran 3 3, maka A λi mempunyai bentuk A λi = a a 2 a 3 a 22 a 23 a 33 λ λ λ sehingga akan diperoleh det(a λi) = det( a λ a 2 a 3 a 22 λ a 23 a 33 λ = (a λ)(a 22 λ)(a 33 λ) dengan demikian diperleh nilai eigen dari A adalah λ = a, λ 2 = a 2 2, dan λ 3 = a 3 3 Proposisi 5.2.6 Jika v, v 2,, v r adalah vektor eigen-vektor eigen dari nilai eigen - nilai eigen yang berbeda λ, λ 2,, λ r, maka himpunan {v, v 2,, v r } bebas linear. 5.3 Contoh Kegunaan Nilai Eigen, Vektor Eigen dan Ruang Eigen Jika D = ( 5 3 ), maka dengan mudah dapat dihitung D 2 = ( 5 3 ) ( 5 3 ) = ( 5 2 3 2 )

86 BAB 5. NILAI EIGEN DAN VEKTOR EIGEN dan D 3 = secara umum akan diperoleh ( 5 3 ) ( 5 2 3 2 D k = untuk sebarang bilangan bulat positif k. ( 5 k 3 k ) = ) ( 5 3 3 3 Jika A = P DP dengan P matriks invertibel dan D matriks diagonal akan diperoleh ) A 2 = (P DP )(P DP ) = P D(P P )DP = P D(I)DP ) = P DDP ) = P D 2 P ) secara umum akan diperoleh A k = P D k P nampak bahwa jika A = P DP maka penghitungan A k juga akan mudah. Matriks A dengan sifat A = P DP untuk suatu matriks invertibel P disebut dengan matriks yang dapat didiagonalkan (diagonalizable matrix). Pada bagian berikut akan ditunjukkan salah satu manfaatn dari vektor eigen suatu matriks untuk mengidentifikasi apakah suatu matriks dapat didiagonalkan atau tidak. Proposisi 5.3. (i) Matriks bertipe n n dapat didiagonalkan jika dan hanya jika A mempunyai n vektor eigen yang bebas linear. (ii) Matriks A = P DP dengan D matriks diagonal jika dan hanya jika kolom-kolom P adalah vektor eigen vektor eigen yang bebas linaer dari A. (iii) Matriks A dapat didiagonalkan jika dan hanya jika terdapat basis R n yang anggotaanggotanya merupakan vektor-vektor eigen A. Bukti. Misalkan P adalah matriks yang kolom-kolomnya adalah {v, v 2,, v n }, dan misalkan λ, λ 2,, λ n adalah unsur-unsur diagonal matriks D, maka AP = A[v, v 2,, v n ] = [Av, Av 2,, Av n ]

5.3. CONTOH KEGUNAAN NILAI EIGEN, VEKTOR EIGEN DAN RUANG EIGEN87 sementara itu akan dipunyai P D = P λ λ... λ = [λ v, λ 2 v 2,, λ n v n ] Jika A = P DP yang ekuivalen dengan mangatakan AP = P D, maka akan diperolah persamaan yang berarti [Av, Av 2,, Av n ] = [λ v, λ 2 v 2,, λ n v n ] Av = λ v, Av 2 = λ 2 v 2,, Av n = λ n v n Selanjutnya, mengingat P invertibel maka diperoleh vektor kolom nya yakni v, v 2,, v n bebas linear, dan mengingat kolom-kolom tersebut tak nol maka diperoleh masing-masing v, v 2,, v n merupakan vektor eigen dari berkorespondensi dengan nilai eigen λ, λ 2,, λ n. Contoh 5.3.2 Diagonalkan matriks berikut, jika mungkin A = 3 3 3 5 3 3 3. Untuk melakukan perintah tersebut, akan dilakukan 4 (empat) langkah berikut: (a.) Tentukan nilai eigen matriks A. Dengan perhitungan yang sederhana akan diperoleh suku banyak karakteristik A adalah c A (λ) = det(a λi) = λ 3 + 3λ 2 + 4 = (λ )(λ + 2) 2 dengan demikian diperolah nilai eigen λ =, dan λ 2 = λ 3 = 2. (b.) Menentukan 3 vektor eigen yang bebas linear dari A. Diperlukan 3 vektor eigen sebab matriks A bertipe 3 3. Dengan perhitungan-perhitungan terkait dengan

88 BAB 5. NILAI EIGEN DAN VEKTOR EIGEN pencarian solusi sistem persamaan linear homogen (A λi)v = untuk masingmasing nilai eigen tersebut akan diperoleh, vektor eigen yang berkorespondensi dengan λ = adalah v = sedangkan untuk nilai eigen λ 2 = λ 3 = 2 akan diperoleh vektor eigen v 2 =, v 3 = dan dapat dicek bahwa {v, v 2, v 3 } bebas linear. (c.) (d.) Bentuk matriks P yang kolom-kolomnya adalah {v, v 2, v 3 }, yakni P = [v, v 2, v 3 ] =. Bentuk matriks D yang komponen diagonalnya adalah nilai eigen dari matriks A, yaitu D = 2 2. Setelah ke empat langkah selesai, maka ada baiknya dilakukan pengecekan apakah benar A = P DP. Namun untuk menghindari perhitungan P pengecekan dapat dilakukan dengan menghitung apakah AP = P D. Dengan perhitungan sederhana dapat dicek bahwa 3 3 2 2 AP = 3 5 3 = 2 3 3 2 dan P D = 2 2 = 2 2 2 2 Contoh 5.3.3 Diagonalkan matriks berikut, jika mungkian. 2 4 3 A = 4 6 3. 3 3

5.3. CONTOH KEGUNAAN NILAI EIGEN, VEKTOR EIGEN DAN RUANG EIGEN89 Suku banyak karakteristik A adalah c A (λ) = det(a λi) = λ 3 + 3λ 2 + 4 = (λ )(λ + 2) 2 dengan demikian diperolah nilai eigen λ =, dan λ 2 = λ 3 = 2. Namun demikian vektor eigen dari A untuk λ = adalah v = sedangkan untuk nilai eigen λ 2 = λ 3 = 2 akan diperoleh vektor eigen v 2 = dan tidak ada lagi nilai eigen yang lain yang bebas linear dengan {v, v 2 } sehingga tidak mungkin kita mendapatkan basis R 3 yang merupakan vektor eigen - vektor eigen matriks A. Disimpulkan bahwa A tidak dapat didiagonalkan. Berikut ini dikemukakan proposisi yang memebrikan syarat cukup agar suatu matriks A dapat didiagonalkan. Proposisi 5.3.4 Jika matriks A n n mempunyai n nilai eigen yang berbeda, maka A dapat didiagonalkan. Bukti. Misalakn A n n mempunyai n nilai eigen yang berbeda, sebut λ, λ 2,, λ n dan misalkan v, v 2,, v n masing-masing adalah vektor eigen yang berkorespondensi dengan nilai eigen tersebut. Maka menurut Proposisi 5.3. {v, v 2,, v n } bebas linear di R n. Dengan demikian {v, v 2,, v n } membentuk basis dalam {v, v 2,, v n }R n. Hal ini berakibat bahwa A dapat didiagonalkan. Contoh 5.3.5 Tunjukkan bahwa matriks 5 8 A = 7. 2 Mengingat A merupakan matriks segitiga atas, dengan mudah diperoleh nilai eigennya adalah unsur-unsur diagonalnya yakni λ = 5, λ 2 =, dan λ 3 = 2 yang semuanya berbeda. Dengan demikian menggunakan Proposisi 5.3.4, A dapat didiagonalkan.

9 BAB 5. NILAI EIGEN DAN VEKTOR EIGEN 5.4 Penilaian Penguasaan Materi Kompetensi yang diharapkan dari mahasiswa setelah mengikuti perkuliahan dengan materi pada bab ini adalah:. Menjelaskan definisi vektor karakteristik dan nilai karakteristik suatu matriks; 2. Menjelaskan dan membuktikan sifat-sifat vektor karakteristik dan nilai karakteristik suatu matriks; 3. Melakukan diagonalisasi pada matriks yang dapat didiagonalkan; 4. Menjelaskan dan membuktikan sifat-sifat matriks yang dapat didiagonalkan. Adapun contoh-contoh soal yang digunakan untuk menguji kompetensi mahasiswa adalah sebagai berikut:. Hitunglah nilai karakteristik dan vektor karakteristik matriks berikut ini 2 2 A = 2. 2. Tunjukkan bahwa persamaan karakteristik matriks A yang berukuran 2 2 dapat dinyatakan sebagai dengan tr(a) menyatakan trace A. λ 2 tr(a)λ + det(a) =, 3. Carilah matriks invertibel P yang mendiagonalkan matriks berikut 4 2 B = 3 4. 3 3 4. Hitunglah C n jika C = 3 2 3 5. Diketahui matriks persegi A yang berukuran n n merupakan matriks invertibel. Jika λ adalah nilai karakteristik matriks A, buktikan:.

5.4. PENILAIAN PENGUASAAN MATERI 9 (a.) λ, (b.) /λ adalah nilai karakteristik untuk A. 6. Diberikan matriks persegi A yang berukuran n n. Jika matriks invertibel P merupakan matriks yang mendiagonalkan A, tentukan matriks yang mendiagonalkan A t.

92 BAB 5. NILAI EIGEN DAN VEKTOR EIGEN