EDISI REVISI 04 MATEMATIKA SMA/MA SMK/MAK Kelas X Semester
Hak Cipta 04 pada Kementerian Pendidikan dan Kebudayaan Dilindungi Undang-Undang MILIK NEGARA TIDAK DIPERDAGANGKAN Disklaimer: Buku ini merupakan buku siswa yang dipersiapkan Pemerintah dalam rangka implementasi Kurikulum 0. Buku siswa ini disusun dan ditelaah oleh berbagai pihak di bawah koordinasi Kementerian Pendidikan dan Kebudayaan, dan dipergunakan dalam tahap awal penerapan Kurikulum 0. Buku ini merupakan dokumen hidup yang senantiasa diperbaiki, diperbaharui, dan dimutakhirkan sesuai dengan dinamika kebutuhan dan perubahan zaman. Masukan dari berbagai kalangan diharapkan dapat meningkatkan kualitas buku ini. Katalog Dalam Terbitan (KDT) Indonesia. Kementerian Pendidikan dan Kebudayaan. Matematika/Kementerian Pendidikan dan Kebudayaan.-- Edisi Revisi. Jakarta: Kementerian Pendidikan dan Kebudayaan, 04. vi, hlm. : ilus. ; 5 cm. Untuk SMA/MA/SMK/MAK Kelas X Semester ISBN 978-60-8-49-6 (jilid lengkap) ISBN 978-60-8-49- (jilid a). Matematika Studi dan Pengajaran I. Judul II. Kementerian Pendidikan dan Kebudayaan 50 Kontributor Naskah Penelaah Penyelia Penerbitan : Bornok Sinaga, Pardomuan N.J.M. Sinambela, Andri Kristianto Sitanggang, Tri Andri Hutapea, Lasker Pangarapan Sinaga, Sudianto Manullang, Mangara Simanjorang, dan Yuza Terzalgi Bayuzetra. : Agung Lukito dan Sisworo. : Pusat Kurikulum dan Perbukuan, Balitbang, Kemdikbud. Cetakan Ke-, 0 Cetakan Ke-, 04 (Edisi Revisi) Disusun dengan huruf Times New Roman, pt. ii Kelas X SMA/MA/SMK/MAK Edisi Revisi
Matematika adalah bahasa universal untuk menyajikan gagasan atau pengetahuan secara formal dan presisi sehingga tidak memungkinkan terjadinya multi tafsir. Penyampaiannya adalah dengan membawa gagasan dan pengetahuan konkret ke bentuk abstrak melalui pendefinisian variabel dan parameter sesuai dengan yang ingin disajikan. Penyajian dalam bentuk abstrak melalui matematika akan mempermudah analisis dan evaluasi selanjutnya. Permasalahan terkait gagasan dan pengetahuan yang disampaikan secara matematis akan dapat diselesaikan dengan prosedur formal matematika yang langkahnya sangat presisi dan tidak terbantahkan. Karenanya matematika berperan sebagai alat komunikasi formal paling efisien. Perlu kemampuan berpikir kritis-kreatif untuk menggunakan matematika seperti uraian diatas: menentukan variabel dan parameter, mencari keterkaitan antar variabel dan dengan parameter, membuat dan membuktikan rumusan matematika suatu gagasan, membuktikan kesetaraan antar beberapa rumusan matematika, menyelesaikan model abstrak yang terbentuk, dan mengkonkretkan nilai abstrak yang diperoleh. Buku Matematika Kelas X untuk Pendidikan Menengah ini disusun dengan tujuan memberi pengalaman konkret-abstrak kepada peserta didik seperti uraian diatas. Pembelajaran matematika melalui buku ini akan membentuk kemampuan peserta didik dalam menyajikan gagasan dan pengetahuan konkret secara abstrak, menyelesaikan permasalahan abstrak yang terkait, dan berlatih berfikir rasional, kritis dan kreatif. Sebagai bagian dari Kurikulum 0 yang menekankan pentingnya keseimbangan kompetensi sikap, pengetahuan dan keterampilan, kemampuan matematika yang dituntut dibentuk melalui pembelajaran berkelanjutan: dimulai dengan meningkatkan pengetahuan tentang metode-metode matematika, dilanjutkan dengan keterampilan menyajikan suatu permasalahan secara matematis dan menyelesaikannya, dan bermuara pada pembentukan sikap jujur, kritis, kreatif, teliti, dan taat aturan. Buku ini menjabarkan usaha minimal yang harus dilakukan peserta didik untuk mencapai kompetensi yang diharapkan. Sesuai dengan pendekatan yang dipergunakan dalam Kurikulum 0, peserta didik diberanikan untuk mencari dari sumber belajar lain yang tersedia dan terbentang luas di sekitarnya. Peran guru sangat penting untuk meningkatkan dan menyesuaikan daya serap peserta didik dengan ketersedian kegiatan pada buku ini. Guru dapat memperkayanya dengan kreasi dalam bentuk kegiatan-kegiatan lain yang sesuai dan relevan yang bersumber dari lingkungan sosial dan alam. Implementasi terbatas pada tahun ajaran 0/04 telah mendapat tanggapan yang sangat positif dan masukan yang sangat berharga. Pengalaman tersebut dipergunakan semaksimal mungkin dalam menyiapkan buku untuk implementasi menyeluruh pada tahun ajaran 04/05 dan seterusnya. Buku ini merupakan edisi kedua sebagai penyempurnaan dari edisi pertama. Buku ini sangat terbuka dan terus dilakukan perbaikan dan penyempurnaan. Untuk itu, kami mengundang para pembaca memberikan kritik, saran dan masukan untuk perbaikan dan penyempurnaan pada edisi berikutnya. Atas kontribusi tersebut, kami ucapkan terima kasih. Mudah-mudahan kita dapat memberikan yang terbaik bagi kemajuan dunia pendidikan dalam rangka mempersiapkan generasi seratus tahun Indonesia Merdeka (045). Jakarta, Januari 04 Menteri Pendidikan dan Kebudayaan Mohammad Nuh Matematika iii
Kata Pengantar... Daftar Isi... Peta Konsep Matematika SMA Kelas X... Bab Eksponen dan Logaritma... A. Kompetensi Dasar dan Pengalaman Belajar... B. Peta Konsep... C. Materi Pembelajaran.... Menemukan konsep Eksponen.... Pangkat Bulat Negatif... 8. Pangkat Nol... 8 4. Sifat-Sifat Pangkat Bulat Positif... 9 5. Pangkat Pecahan... 4 Uji Kompetensi.... 6 6. Bentuk Akar... 8 7. Hubungan Bentuk Akar dan Bilangan Berpangkat... 9 8. Operasi Pada Bentuk Akar... 0 a. Operasi Penjumlahan dan Pengurangan Bentuk Akar... 0 b. Operasi Perkalian dan Pembagian Bentuk Akar... c. Merasionalkan Penyebut Berbentuk Akar... Uji Kompetensi.... 8 9. Menemukan Konsep Logaritma... 0 0. Sifat-sifat Logaritma... 5 Uji Kompetensi.... 4 D. Penutup... 4 Bab Persamaan dan Pertidaksamaan Linier... 45 A. Kompetensi Dasar dan Pengalaman Belajar... 45 B. Peta Konsep... 46 C. Materi Pembelajaran... 47. Memahami dan Menemukan konsep Nilai Mutlak... 47. Persamaan Linier... 5. Pertidaksamaan Linier... 59 Uji Kompetensi.... 6 4. Persamaan Linier yang Melibatkan Nilai Mutlak... 64 5. Pertidaksamaan Linier yang Melibatkan Nilai Mutlak... 65 Uji Kompetensi.... 74 D. Penutup... 76 Bab Sistem Persamaan dan Pertidaksamaan Linier... 79 A. Kompetensi Dasar dan Pengalaman Belajar... 79 B. Peta konsep... 80 C. Materi Pembelajaran... 8. Menemukan Konsep Sistem Persamaan Linear Dua Variabel... 8 Uji Kompetensi.... 9. Menemukan Konsep Sistem Persamaan Linear Tiga Variabel... 9 Uji Kompetensi.... 0 iii iv vi iv Kelas X SMA/MA/SMK/MAK Edisi Revisi
. Penyelesaian Sistem Persamaaan Linier... 0 a. Menentukan Himpunan Penyelesaian Sistem Persamaan Linear Dua Variabel... 0 b. Menentukan Himpunan Penyelesaian Sistem Persamaan Linear Tiga Variabel... 09 Uji Kompetensi.... 5 4. Sistem Pertidaksamaan Linear Dua Variabel... 8 Uji kompetensi.4... D. Penutup... 4 Bab 4 Matriks... 7 A. Kompetensi Dasar dan Pengalaman Belajar... 7 B. Peta Konsep... 8 C. Materi Pembelajaran... 9. Menemukan Konsep Matriks... 9. Jenis-Jenis Matriks... 6. Transpos Matriks... 9 4. Kesamaan Dua Matriks... 4 Uji Kompetensi 4.... 44 5. Memahami Operasi Sederhana Matriks serta Menerapkannya dalam Pemecahan Masalah... 46 a. Operasi Hitung pada Matriks... 46 Uji Kompetensi 4.... 57 D. Penutup... 59 Bab 5 Relasi dan Fungsi... 6 A. Kompetensi Dasar dan Pengalaman Belajar... 6 B. Peta Konsep... 6 C. Materi Pembelajaran... 6. Menemukan Konsep Relasi... 6. Sifat-Sifat Relasi... 6. Menemukan Konsep Fungsi... 76 Uji Kompetensi 5.... 84 D. Penutup... 87 Bab 6 Barisan dan Deret... 89 A. Kompetensi Dasar dan Pengalaman Belajar... 89 B. Peta Konsep... 90 C. Materi Pembelajaran... 9. Menemukan Pola Barisan dan Deret... 9. Menemukan Kosep Barisan dan Deret Aritmatika... 98 a. Barisan Aritmatika... 98 b. Deret Matematika... 04 Uji Kompetensi 6.... 09. Menemukan Konsep Barisan dan Deret Geometri... 0 a. Barisan Geometri... 0 b. Deret Geometri... Uji Kompetensi 6.... 8 D. Penutup... 0 Daftar Pustaka... Matematika v
vi Kelas X SMA/MA/SMK/MAK Edisi Revisi
Bab Eksponen dan Logaritma A. KOMPETENSI DASAR DAN PENGALAMAN BELAJAR Kompetensi Dasar Setelah mengikuti pembelajaran eksponen dan logaritma, siswa mampu:. Memiliki motivasi internal, kemampuan bekerjasama, konsisten, sikap disiplin, rasa percaya diri, dan sikap toleransi dalam perbedaan strategi berpikir dalam memilih dan menerapkan strategi menyelesaikan masalah.. Menunjukkan sikap bertanggung-jawab, rasa ingin tahu, jujur dan perilaku peduli lingkungan.. Memilih dan menerapkan aturan eksponen dan logaritma sesuai dengan karakteristik permasalahan yang akan diselesaikan dan memeriksa kebenaran langkah-langkahnya. 4. Menyelesaikan masalah nyata menggunakan operasi aljabar berupa eksponen dan logaritma serta menyelesaikannya menggunakan sifat sifat dan aturan yang telah terbukti kebenarannya. Bilangan Pokok (Basis) Perpangkatan Eksponen Logaritma Pengalaman Belajar Melalui pembelajaran materi eksponen dan logaritma, siswa memperoleh pengalaman belajar: mengkomunikasikan karakteristik masalah otentik yang pemecahannya terkait eksponen dan logaritma. merancang model matematika dari sebuah permasalahan otentik yang berkaitan dengan eksponen dan logaritma. menyelesaikan model matematika untuk memperoleh solusi permasalahan yang diberikan. menafsirkan hasil pemecahan masalah. menuliskan dengan kata-katanya sendiri konsep persamaan kuadrat.berdasarkan ciricirinya dituliskan sebelumnya. membuktikan berbagai sifat eksponen dan logaritma. menerapkan berbagai sifat eksponen dan logaritma dalam pemecahan masalah. berkolaborasi memecahkan masalah. berlatih berpikir kritis dan kreatif
B. PETA KONSEP Masalah Otentik Himpunan Fungsi Materi prasyarat Basis Fungsi Eksponen Fungsi Logaritma Basis Pangkat Unsur Bilangan Eksponen Bilangan Eksponen Unsur Pangkat Hasil Operasi Sifat-sifat Eksponen Sifat-sifat Logaritma Hasil Operasi Kelas X SMA/MA/SMK/MAK Edisi Revisi
C. MATERI PEMBELAJARAN Beberapa permasalahan dalam kehidupan sehari hari dapat diselesaikan dengan menggunakan konsep dan aturan matematika. Sebagai contoh, konsep eksponen dan logaritma berperan penting dalam menyelesaikan permasalahan yang berkaitan dengan aritmatika sosial, peluruhan zat kimia, perkembangan bakteri dan lain lain. Untuk itu perhatikan dan selesaikan dengan cermat permasalahan permasalahan yang diberikan pada bab ini. Di dalam proses pemecahan masalah-masalah yang diberikan, kamu diminta untuk mencermati objek-objek yang dilibatkan dalam permasalahan yang diberikan tersebut.. Menemukan Konsep Eksponen Pada subbab ini, konsep eksponen ditemukan dengan mengamati beberapa masalah nyata berikut dan mencermati beberapa alternatif penyelesaiannya. Tentu saja, kamu diminta untuk melakukan pemodelan matematika yang melibatkan eksponen. Dari beberapa model matematika yang diperoleh dari langkah-langkah penyelesaian masalah, kamu secara individu menuliskan ciri-ciri eksponen dan mendiskusikan hasilnya dengan temanmu. Berdasarkan ciri-ciri tersebut, kamu menuliskan konsep eksponen dengan pemahamanmu sendiri. Masalah-. Seorang peneliti di sebuah lembaga penelitian sedang mengamati pertumbuhan suatu bakteri di sebuah laboratorium mikrobiologi. Pada kultur bakteri tertentu, satu bakteri membelah menjadi r bakteri setiap jam. Hasil pengamatan menunjukkan bahwa jumlah bakteri pada akhir jam adalah 0.000 bakteri dan setelah jam kemudian, jumlah bakteri tersebut menjadi 40.000 bakteri. Peneliti tersebut ingin mengetahui banyak bakteri sebagai hasil pembelahan dan mencari tahu banyak bakteri pada akhir 8 jam. Alternatif Penyelesaian Diketahui: Satu bakteri membelah menjadi r bakteri untuk setiap jam. Jumlah bakteri pada akhir jam adalah 0.000 bakteri dan setelah jam kemudian, jumlahnya menjadi 40.000 bakteri. Ditanya: a. Berapa banyak bakteri sebagai hasil pembelahan. b. Berapa jumlah bakteri pada akhir 8 jam. Matematika
Sebagai langkah awal buat tabel laju pertumbuhan bakteri terhadap waktu setiap jam. Misalkan jumlah bakteri pada awalnya (t = 0) adalah x 0. Isilah tabel berikut! Pada akhir t jam 0............ Jumlah bakteri (x t ) x 0 rx 0............ Dari hasil pengamatan data pada tabel di atas, kita dapat membuat hubungan pertumbuhan jumlah bakteri (x t ) tersebut terhadap perubahan waktu (t). xt = r r r... r x0 atau secara ringkas ditulis t faktor x t = r t x 0... () dengan t menyatakan banyak jam, x 0 adalah jumlah bakteri saat t = 0 dan r adalah banyak bakteri setelah pembelahan terjadi pada setiap jam. Pada Masalah-. diketahui bahwa pada akhir jam terdapat 0.000 bakteri dan setelah 5 jam terdapat 40.000 bakteri. Kita substitusikan t = dan t = 5 ke formula () di atas, maka diperoleh x = r x 0 = 0.000 dan x 5 = r 5 x 0 = 40.000 x x 5 rx rx r 5 0 0 r = 40. 000 = 0. 000 = 4 = 4 Jadi, peneliti tersebut menemukan bahwa bakteri membelah menjadi bakteri setiap jam Untuk mendapatkan banyak bakteri pada awalnya atau t = 0, substitusi r = ke persamaan r x 0 = 0.000 sehingga 8x 0 = 0.000. Dengan demikian x 0 =.50. Subtitusikan x 0 =.50 ke persamaan (), pola pertumbuhan bakteri tersebut dinyatakan x x t 8 t = 50. 8 = ( )( 50) = 0. 000 Dalam Masalah-., ditemukan r = 4, dan kemudian r =. Apakah r = tidak berlaku? Berikan alasanmu! Jadi, pada akhir 8 jam, peneliti mendapatkan jumlah bakteri sudah mencapai 0.000 bakteri. 4 Kelas X SMA/MA/SMK/MAK Edisi Revisi
Masalah-. Diberikan selembar kertas berbentuk persegi panjang. Lipatlah kertas tersebut di tengah-tengah sehingga garis lipatan membagi bidang kertas menjadi dua bidang yang sama. Lipatlah lagi dengan cara yang sama kertas hasil lipatan tadi. Lakukan terus-menerus pelipatan ini. Temukanlah pola yang menyatakan hubungan banyak lipatan dengan banyak bidang kertas yang terbentuk. Alternatif Penyelesaian Sebagai langkah awal buat tabel keterkaitan antara banyak garis lipatan dengan banyak bidang kertas yang terbentuk. Banyak Lipatan Banyak Bidang Kertas Pola Perkalian = 4 4 = 8 8 = 4............... n k... Berdasarkan tabel di atas, misalkan k adalah banyak bidang kertas yang terbentuk sebagai hasil lipatan bidang kertas menjadi dua bagian yang sama, n adalah banyak lipatan. k dapat dinyatakan dalam n, yaitu k(n) = n... () Coba kamu uji kebenaran persamaan k(n) = n dengan mensubtitusikan nilai n ke persamaan tersebut. Berdasarkan persamaan () dan (), diperoleh Dari persamaan () x t = r t x 0, r adalah bilangan pokok dan t adalah eksponen dari r. Dari persamaan () k(n) = n, adalah bilangan pokok dan n adalah eksponen dari. Untuk menyederhanakan penulisan hasil kali bilangan yang sama, kita dapat menggunakan notasi pangkat. Bilangan berpangkat didefinisikan sebagai berikut. Matematika 5
Definisi. Misalkan a bilangan real dan n bilangan bulat positif. Notasi a n menyatakan n hasil kali bilangan a sebanyak n faktor, dapat ditulis a = a a a... a dengan a sebagai basis bilangan berpangkat dan n sebagai pangkat. Catatan:. Pada Definisi-. di atas, kita sepakati, a cukup ditulis a.. Hati-hati dengan bilangan pokok a = 0, tidak semua a 0 dengan a bilangan real menyatakan. Coba tanyakan pada gurumu, mengapa demikian?. Jika n adalah sebuah variabel sebagai eksponen dari a, maka perlu dicermati semesta variabel itu. Sebab a n = a a... a sebanyak n faktor, ini hanya berlaku ketika semesta n N. Perhatikan Masalah-. berikut! Masalah-. nfaktor Suatu zat yang disuntikkan ke dalam tubuh manusia akan dikeluarkan dari darah melalui ginjal. Setiap jam separuh zat itu dikeluarkan oleh ginjal. Bila 00 mg zat itu disuntikkan ke tubuh manusia, berapa miligram zat itu tersisa dalam darah setelah: ) jam? ) jam? ) jam? 4) Buatlah model matematika pengurangan zat tersebut dari tubuh melalui ginjal! 5) Gambar pasangan titik (waktu, jumlah zat) pada koordinat kartesius untuk 8 jam pengamatan. Alternatif Penyelesaian Langkah awal isilah tabel berikut: Waktu (t dalam jam) 4 5 6 7 8 Jumlah zat z(t) dalam mg 50 5,5............... Isilah secara lengkap data pada tabel dan coba gambarkan pasangan titik-titik tersebut pada sistem koordinat kartesius (coba sendiri)! 6 Kelas X SMA/MA/SMK/MAK Edisi Revisi
Selanjutnya perhatikan grafik fungsi (Gambar-.) di bawah ini. Isilah nilai-nilai fungsi tersebut dan sajikan nilai-nilai tersebut pada tabel yang diberikan. y f(x) = -x f(x) = -x f(x) = 6 x f(x) = x 4 4 0 4 x 4 Gambar-.: Grafik Fungsi Eksponensial f(x) = x f(x) = -x f(x) = x f(x) = x f(x) = -x 0 4 x Latihan. Amati grafik (Gambar-.) di atas. Tuliskan sedikitnya 5 (lima) sifat grafik fungsi tersebut dan disajikan hasilnya di depan kelas. Dalam paparan jelaskan mengapa kita perlu mengetahui sifat-sifat tersebut. Matematika 7
. Pangkat Bulat Negatif Definisi. Untuk a bilangan real dan a 0, m bilangan bulat positif, didefinisikan a m = a m Definisi di atas dijelaskan sebagai berikut: m m a = = a a a a... a = a a a... a = a m mfaktor Contoh. sebanyakm faktor Jika x = dan y =, tentukan nilai x - (y 4 ). Alternatif Penyelesaian y x ( y ) 4 4 4 6 = = = = x ( ) 8. Pangkat Nol Definisi. Untuk a bilangan real dan a 0, maka a 0 =. Untuk lebih memahami definisi di atas, perhatikan pola hasil pemangkatan bilangan-bilangan berikut. = 8 = 7 = 4 = 9 = = 0 = 0 = 8 Kelas X SMA/MA/SMK/MAK Edisi Revisi
Perhatikan hasil pemangkatan dengan 0, dan hasil pemangkatan dengan 0, hasil perpangkatannya adalah. 4. Sifat-sifat Pangkat Bulat Positif Coba cermati bukti sifat-sifat bilangan berpangkat bulat positif menggunakan definisi bilangan berpangkat yang telah kamu pelajari sebelumnya. Sifat- Jika a bilangan real, m dan n bilangan bulat positif maka a m a n = a m+n Bukti: m n a a = a a a... a a a a... a mfaktor n faktor m n = a a = a a a a a a m+ n = a m+n m Perhatikan a = a a a... a. mfaktor Diskusikan dalam kelompokmu, apakah benar perpangkatan adalah perkalian berulang? Bagaimana jika m dan n bukan bilangan bulat positif? Sifat- Jika a bilangan real dan a 0, m dan n bilangan bulat positif, maka m a m n = a. n a Bukti: a a m n a a a... a m faktor = a a a... a n faktor (sesuai Definisi.) Pada persyaratan Sifat-, mengapa a 0 dipersyaratkan? Bagaimana jika a = 0? Apa dampaknya pada hasil pembagian a a m n? Jika kamu tidak tahu bertanya ke guru! Matematika 9
Sifat- di atas hanya berkaitan dengan bilangan bulat positif m dan n. Ada (tiga) kemungkinan, yaitu (a) m > n, (b) m = n, dan (c) m < n. a) Kasus m > n Jika m dan n bilangan bulat positif dan m > n maka m n > 0. Dengan demikian a a a a a m... a a... a a m faktor = n a a a a... a = n faktor a a a... a a a a... a ( m n) faktor m n faktor n faktor = a a a... a = a m n ( m n) faktor Jadi a n = a m-n, dengan m, n bilangan bulat positif dan m > n a b) Kasus m = n Jika m = n, maka a n a = = a0 = a m n. Bukti: m m a a =, sebab m = n n m a a a a a... a m faktor = a a a... a = = a 0 m faktor m Latihan. Buktikan sendiri untuk kasus m < n. Jelaskan perbedaan hasilnya dengan kasus (a). Sifat- Jika a bilangan real dan a 0, m dan n bilangan bulat positif, maka (a m ) n = a mn 0 Kelas X SMA/MA/SMK/MAK Edisi Revisi
Bukti: ( ) = m a n m m m m a a a... a ( ) = n faktor = a a a... a a a a... a a a a... a a a a a...... m faktor m faktor m faktor m faktor = a a a... a m n faktor m a n m a n ( terbukti) nfaktor Diskusi Diskusikan dengan temanmu, apakah syarat bahwa m dan n bilangan positif diperlukan untuk Sifat- dan Sifat-4. Bagaimana jika m dan n adalah negatif atau kedua-duanya bilangan negatif. Contoh. (a) Buktikan bahwa jika a R, a > dan n > m, maka a n > a m. Bukti: Karena a > dan n > m maka n m > 0 dan a n > 0, a m > 0. Akibatnya, berlaku n a n m = a ( Lihat Sifat-di atas m ) a n n a a Lambang dibaca jika dan > ( Mengapa >?Berialasamu!) m m a a hanya jika. n a m m m a > a ( Karena a > 0) m a m n a > a ( terbukti) (b) Perlukah syarat a >? Misalkan kita ambil a bilangan real yang memenuhi a < dan n > m. Apakah yang terjadi? Pilih a =, dengan n > m, pilih n = dan m =. Apakah yang terjadi? ( ) = ( ) ( ) ( ) = 8 ( ) = ( ) ( ) = 4 Matematika
Dengan demikian, a n = 8 < 4 = a m atau a n < a m. Jadi, tidak benar bahwa a n > a m bila a < dan n > m. Jadi, syarat a adalah bilangan real, dengan a > dan n > m merupakan syarat cukup untuk membuktikan a n > a m. Diskusi Berdiskusilah dengan temanmu satu kelompok. Analisis pernyataan pada Contoh.! Apa akibatnya bila syarat a > tidak dipenuhi? Perlukah diperkuat dengan syarat n > m > 0? Jelaskan! Bolehkah syarat a > di atas diganti a? Jelaskan! Bagaimanakah bila 0 < a < dan a < 0? Buat aturan hubungan antara a n dan a m untuk bermacam-macam nilai a di atas! Buat laporan hasil diskusi kelompokmu. Contoh. Terapkan berbagai sifat bilangan berpangkat untuk menentukan hasil operasi bilangan pada soal yang disajikan pada contoh. Ujilah kebenaran hasilnya! 5. = 5. 5 faktor 5 faktor = = 7 = + 5 7 faktor = 0 = = 5 5 = 5 5 dengan menggunakan Sifat- dengan menggunakan Sifat- kasus b Kelas X SMA/MA/SMK/MAK Edisi Revisi
( ) = ( ) ( ). = ( ) ( ) faktor faktor ( ) = 6 faktor + = 6 = 4. ( ) = ( ) ( ) = 5. faktor faktor = = faktor = = faktor ( ) dengan menggunakan Sifat- dengan menggunakan Definisi. dengan menggunakan Definisi. Contoh.4 Buktikan bahwa jika a > dan n > m dengan n dan m bilangan bulat negatif, maka a n > a m. Bukti: Karena n > m dengan n dan m bilangan bulat negatif, maka n dan m adalah bilangan bulat positif dan m > n. Karena a > maka a m n a = > (Gunakan sifat a m = ). n m a a a m n a m > a n > a m (terbukti) a Matematika
Contoh.5 Berdasarkan sifat perkalian dengan bilangan 7, tentukan angka satuan dari 7 4 tanpa menghitung tuntas. Perhatikan angka satuan dari perpangkatan dari 7 berikut? Perpangkatan 7 Nilai Angka Satuan 7 7 7 7 49 9 7 4 7 4 40 7 5 6807 7 7 6 7649 9 7 7 854 7 8 576480 Coba lanjutkan langkah berikutnya untuk menemukan angka satuan 7 4. Cermati sifat satuan pada tabel di atas. Saat periode ke berapakah berulang? Selanjutnya manfaatkan sifat-sifat perpangkatan dan perkalian bilangan berpangkat. 5. Pangkat Pecahan Definisi.4 Misalkan a bilangan real dan a 0, m bilangan bulat positif, maka a m bilangan real positif, sehingga p m = a. = p adalah Selanjutnya kita akan analisis sifat perpangkatan bilangan real dengan pangkat pecahan. Misalkan a bilangan real dan a 0, m, n bilangan bulat positif didefinisikan a m n Definisi.5 m n = a. 4 Kelas X SMA/MA/SMK/MAK Edisi Revisi
Sifat-4 Misalkan a bilangan real dengan a > 0, p m dan adalah bilangan pecahan n 0, n n m p m p n n maka a a a n = ( ) +. Bukti: Berdasarkan Sifat-4, jika a bilangan real dan a 0, m, n adalah bilangan bulat positif, maka a m n n = a m p n n n a a a a = m m n m p n n n. Dengan demikian a a a a = m n p n n n n n n n n = a a a... a a a a a... m faktor p faktor = a n a n a n... a n m+ p faktor ( SesuaiSifat) m n n BerdasarkanDefinisi.5 a = a,sehingga diperoleh m+ p m p n n n a a a a = = ( ) m m+ p n ( terbukti) p Sifat-5 Jika a adalah bilangan real dengan a > 0, m n dan p q m p m p q, n 0, maka n q n q a a a = +. bilangan pecahan dengan Bukti Sifat-5 coba sendiri. Matematika 5
Uji Kompetensi.. Sederhanakanlah hasil operasi bilangan berpangkat berikut. a. 5 9 b. 5 6 4 6 c. 5 5 4 d. ( 5) 5 5 6 7 e. 7 ( 4). Dengan menggunakan sifat bilangan berpangkat, sederhanakanlah bentuk berikut. a. x 7x 4 (x) b. p ( q) p q 5 c. y 5 (x y) x y 4 d. (a b c) 4 ( b c) e. f. 5 4a b 8a b x 5 ( 4y) xy y x ( ) g. a b h. 4a 6a 8 5 b b b 7a 4 5 b a a b 4b a a 5 i. j. 6( x y) x y x y ( ) 9xy ( ) ( ) ( ) p q r pqr pq ( ) qr. Hitunglah hasil operasi bilangan berpangkat berikut. a. 4 6 b. ( ) 4 5 0 9 5 5 5 c. x y (y) ; untuk x = 4x dan y = d. e. f. x y 4 xy ( ) untuk x = dan y = ( ) ( ) p q 4 p ( q) p ; 4 untuk p = 4 dan q = 6 x + y x y x y x + y + y ( ) untuk x = dan y = 6 Kelas X SMA/MA/SMK/MAK Edisi Revisi
4. Hitunglah 4 4 4 4 + + + 4 +... 4 4 4 4 + + 5 + 7 +... 5. Sederhanakanlah 5 ab ab 7 6 ab ab 6. Tentukan nilai x yang memenuhi persamaan berikut a. x = 8 b. 4 x = 0,5 c. x 5 7. Tentukan hasil dari ( ) n+ n n n+ 8. Misalkan kamu diminta menghitung 7 64. Berapa banyak perkalian yang kamu lakukan untuk mendapatkan nilai akhirnya? Bandingkan jawabanmu dengan temanmu. Pemenang di antara kalian adalah yang dapat mencari hasilnya dengan. melakukan perkalian sesedikit mungkin. Coba tuliskan prosedur mengalikan yang paling sedikit perkaliannya untuk menghitung 7 64. Apakah prosedur tersebut dapat dipergunakan untuk pangkat positif berapapun? 9. Berdasarkan sifat bilangan 7, tentukan angka satuan dari 7 4 + 7 4 + 7 4 + 7 4 tanpa menghitung tuntas! (( ) ) 6 6 0. Tentukan angka satuan dari 6 berdasarkan sifat bilangan 6, tanpa menghitung tuntas.selanjutnya lakukan hal tersebut berdasarkan sifat bilangan,, 4, 5, 8, 9.. Tunjukkan bahwa 00 + 00 + 00 + + 00 00 adalah kelipatan.. Bagaimana cara termudah untuk mencari 008 0 0 5 0 0 ( + ) 0 00 009 008 5 6 + ( ). Projek Bilangan yang terlalu besar atau terlalu kecil sering dituliskan dalam notasi eksponen yang dituliskan sebagai a E b yang nilainya adalah a 0 b. Sehingga 0,00005 ditulis sebagai 5, E 5. Cari besaran-besaran fisika, kimia, astronomi, dan ekonomi yang nilainya dinyatakan dengan notasi eksponen. Misalkan kecepatan cahaya adalah 00.000 km/det, sehingga dalam notasi eksponen ditulis sebagai E 8 m/det. Matematika 7
6. Bentuk Akar Pengakaran (penarikan akar) suatu bilangan merupakan kebalikan dari pemangkatan suatu bilangan. Akar dilambangkan dengan notasi. Definisi.6 Misalkan a bilangan real dengan a > 0, p adalah bilangan pecahan dengan p q p q 0. q. a q q = c, sehingga c = a p atau a q q = a p Perhatikan permasalahan berikut. Masalah-.4 Seorang ahli ekonomi menemukan hubungan antara harga (h) dan banyak barang (b) yang dinyatakan dalam persamaan h= berapa nilai h? b. Jika nilai b = 8, maka Alternatif Penyelesaian h= b h = 8 h = 64 h = 4 4 4= 4 h = n Akar ke-n atau akar pangkat n dari suatu bilangan a dituliskan sebagai a, dengan a adalah bilangan pokok/basis dan n adalah indeks/eksponen akar. Bentuk akar dapat diubah menjadi bentuk pangkat dan sebaliknya. Sebelum mempelajari bentuk akar, kamu harus memahami konsep bilangan rasional dan irrasional terlebih dahulu. Bilangan rasional berbeda dengan bilangan irrasional. Bilangan rasional adalah a bilangan real yang dapat dinyatakan dalam bentuk, dengan a dan b bilangan bulat dan b b 0. Karena itu, bilangan rasional terdiri atas bilangan bulat, bilangan pecahan biasa, dan bilangan pecahan campuran. Sedangkan bilangan irasional adalah 8 Kelas X SMA/MA/SMK/MAK Edisi Revisi
bilangan real yang bukan bilangan rasional. Bilangan irasional merupakan bilangan yang mengandung pecahan desimal tak berhingga dan tak berpola. Contoh bilangan irasional, misalnya =,44567..., e =,78..., dan =,45965 Bilangan irasional yang menggunakan tanda akar ( ) dinamakan bentuk akar. Tetapi ingat, tidak semua bilangan yang berada dalam tanda akar merupakan bilangan irasional. Contoh: 5 dan 64 bukan bentuk akar, karena nilai 5 adalah 5 dan nilai 64 adalah 8, keduanya bukan bilangan irasional. Agar lebih jelas, perhatikan contoh berikut.. 0 adalah bentuk akar. 7 bukan bentuk akar, karena 7 = 7. Hubungan Bentuk Akar dan Bilangan Berpangkat Perlu diketahui bahwa bilangan berpangkat memiliki hubungan dengan bentuk akar. Berdasarkan Sifat-4, jika a adalah bilangan real dengan a > 0, p n dan m n adalah m p m p n n bilangan pecahan dengan n 0, maka a a a n =( ) +. + Dengan demikian p p = p = p dan perhatikan bahwa p p = p, sehingga dapat disimpulkan p = p. Perhatikan untuk kasus di bawah ini p p p = p + + = p = p dan perhatikan juga bahwa p p p = p, sehingga berdasarkan Definisi.6 disimpulkan p = p. Latihan. Cermatilah dan buktikan apakah berlaku secara umum bahwa p n = n p. Matematika 9
Perhatikan bahwa p p p = p, sehingga berdasarkan sifat perkalian bilangan berpangkat diperoleh: p = p Ingat, (p m ) n = p m n Diubah menjadi, p = p. n n m Secara umum dapat disimpulkan bahwa p p n p pada Definisi-.6. m m = =( ) sebagaimana diberikan 8. Operasi pada Bentuk Akar a. Operasi Penjumlahan dan Pengurangan Bentuk Akar Operasi penjumlahan dan pengurangan pada bentuk akar dapat dilakukan apabila bentuk akarnya senama. Bentuk akar senama adalah bentuk akar yang mempunyai eksponen dan basis sama. Untuk setiap p, q, dan r adalah bilangan real dan r 0 berlaku sifat-sifat berikut. n n n p r + q r = p+ q r ( ) ( ) n n n p r q r = p q r Perhatikan contoh berikut ini! Contoh.6 Tentukan hasil penjumlahan dan pengurangan berikut dalam bentuk yang sederhana!. 5+ 4 5 = + 4 5 ( ) = 7 5. 5+ (tidak dapat disederhanakan karena akarnya tidak senama) ( ). 4 4 = 4 = 4. x x = x = x 4 ( ) 0 Kelas X SMA/MA/SMK/MAK Edisi Revisi
b. Operasi Perkalian dan Pembagian Bentuk Akar q p Pada pangkat pecahan telah dinyatakan bahwa a = a. Sifat perkalian dan pembagian bentuk akar dapat dicermati pada beberapa contoh berikut. Contoh.7 ) 8 = = = = 6 ) 6 64 6 6 6 = = = = ) 4 5 7 = ( 4 ) ( 5 7)= 8 5 4) 5 7 5 7 5 5 5 5 = ( 5) 5 5 = 5 5 = 5 5 4 4 5) = 4 5 4 5 5 p q 6) 4 = 4 5 4 5 Latihan.4 ) Buktikan: jika a bilangan real dan a > 0, maka n a n = a. ) Buktikan: jika a, b, c, dan d bilangan real, c > 0 dan d > 0, maka n n n a c b d = ab cd. ) Buktikan: jika a, b, c, dan d bilangan real, c > 0 dan d > 0, maka a n c a c = n. n b d b d c. Merasionalkan Penyebut Bentuk Akar Kita tahu bahwa bentuk-bentuk akar seperti, 5, + 7, 6, dan seterusnya merupakan bilangan irasional. Jika bentuk akar tersebut menjadi penyebut pada suatu pecahan, maka dikatakan sebagai penyebut irasional. Matematika
Penyebut dalam bentuk akar dapat diubah menjadi bentuk pangkat rasional. Cara merasionalkan penyebut bentuk akar tergantung pada bentuk akar itu sendiri. Akan tetapi, prinsip dasarnya sama; yaitu mengalikan dengan bentuk akar sekawannya. Proses ini dinamakan merasionalkan penyebut. p ) Merasionalkan bentuk q Bentuk p q p p q = q q. q = dirasionalkan dengan cara mengalikannya dengan q p q q. q Diskusi Menurutmu mengapa penyebut bilangan pecahan berbentuk akar harus dirasionalkan? p Mengapa kita harus mengalikan q dengan q? q Karena q q selalu positif, maka =. Jadi perkalian p q q dengan q p q tidak akan mengubah nilai namun menyebabkan penyebut menjadi bilangan q rasional. r r r r ) Merasionalkan bentuk,,, dan p+ q p q p + q p q Sebelum kita merasionalkan bentuk-bentuk akar di atas, perlu kita pahami bentuk-bentuk campuran bilangan rasional dan bilangan irasional. a) Jika bilangan rasional dijumlahkan dengan bilangan irasional maka hasilnya bilangan irasional. Contoh + 7 = +,64575... = 4, 64575... (bilangan irasional). b) Jika bilangan irasional dijumlahkan dengan bilangan irasional maka hasilnya bilangan irasional atau rasional, Contoh () 5 + 7 =,6068... +,645575... = 4,8864... (bilangan irasional), () 5 + (- 5 ) = 0 (bilangan rasional). Jika dua bilangan irasional dikurangkan, bagaimana hasilnya? Kelas X SMA/MA/SMK/MAK Edisi Revisi
c) Jika bilangan rasional dikalikan dengan bilangan irrasional, maka hasilnya bilangan rasional atau irasional. Contoh. 0 = 0 (0 adalah bilangan rasional) atau 5 = 5 adalah bilangan irasional d) Jika bilangan irasional dikalikan dengan bilangan irasional, maka hasilnya dapat bilangan rasional atau bilangan irasional. Contoh: 5 5 = 5 5 5 = 5 (5 adalah bilangan rasional) 5 = 5 ( 5 adalah bilangan irasional) n e) a disebut bentuk akar apabila hasil akar pangkat n dari a adalah bilangan irasional. Untuk merasionalkan bentuk r r r r,,, dan. p+ q p q p + q p q dapat dilakukan dengan memperhatikan sifat perkalian (a + b) (a b) = a b, sehingga ( )( )= ( ) ( ) = ( p+ q) ( p q)= p ( q) = p q p + q p q p q p q ( ) dan bentuk ( p q) saling sekawan, bentuk ( p q) dan Bentuk p+ q + ( p q)juga saling sekawan. Jika perkalian bentuk sekawan tersebut dilakukan maka dapat merasionalkan bentuk akar. Untuk p, q dan r bilangan real. r r ( p q ( p+ q) = ). ( p+ q) p q r( p q ) dimana q 0 dan p q. p q ( ) = ( ) r r ( p q r p q ( p q) = + ) ( ( p q) ( p+ q) = + ). ( p q) r r ( p q r p q ( p + q) = ) ( ( p + q) ( p q) = ) ( p q) r r ( p q r p q ( p q) = + ) ( ( p q) ( p + q) = + ) ( p q) dimana q 0 dan p q.. dimana p 0, q 0 dan p q. dimana p 0, q 0 dan p q Matematika
Contoh.8 Rasionalkan penyebut pecahan-pecahan berikut. a. = + (kalikan penyebut dengan bentuk sekawannya) + ( + ) = ( )( + ) ( ) + = 9 6 = + 7 6 = + 7 7 7 b. 6 = 6+ 6 + 6 6 ( ) = 6+ 6 ( )( ) 8 = 6 8 = 6 = (kalikan penyebut dengan bentuk sekawannya) 4 Kelas X SMA/MA/SMK/MAK Edisi Revisi
c. 4 = 7 5 = 4 7 + 5 7 5 7 + 5 4 7 + 5 ( ) ( 7 5) ( 7 + 5) ( ) 4 7 + 5 = 7 5 ( ) 4 7 + 4 5 = = 7 + 5 (kalikan penyebut dengan bentuk sekawannya) Contoh.9 Pikirkan cara termudah untuk menghitung jumlah bilangan-bilangan berikut + + +... + =...? + + + 4 4 + 5 99 + 00 Permasalahan di atas dapat diselesaikan dengan cara merasionalkan penyebut tiap suku; yaitu, 4 = + + + + + + 4 4 4 + 5 4 5 4 5 +... + 99 + 00 99 00 99 00 = + + 4 + 4 5 +... + 99 00 = + + + 4 4 + 5... 99 + 00 = + 00 = + 0= 9. Matematika 5
Contoh.0 Tentukan nilai dari Alternatif Penyelesaian + + +... Perhatikan pola bilangan berikut. Misalkan, P = + atau P = + P + +... P P = 0 Dengan mengubah ke bentuk kuadrat sempurna diperoleh: ( P ) = 0 4 P = 6+ 4 Jadi, nilai + + +... = 6+ 4 = 4 6+ Dengan merasionalkan bentuk tersebut, maka 4 4 6 46 ( ) =. = 6+ 6+ 6 6 Jadi, = 6 = + + +... 6 6 Kelas X SMA/MA/SMK/MAK Edisi Revisi
) Menyederhanakan bentuk ( p+ q)± pq Sekarang kita akan menyederhanakan bentuk akar yang mempunyai bentuk khusus; yaitu, bentuk ( p+ q)± pq. Perhatikan proses berikut ini! Diskusikanlah masalah berikut dengan temanmu! ( )( + ) ( )( ) a. p + q p q b. p q p q Dari hasil kegiatan yang kamu lakukan, kamu akan memperoleh bentuk sederhananya menjadi ( p+ q)± pq. Selanjutnya, perhatikan contoh berikut! Contoh. Sederhanakan bentuk akar berikut ini! a. 8+ 5 = ( 5+ ) + 5 = 5+ 5 + = ( 5+ ) = 5+ ( ) = b. 9 4 5 = 5 4 5+ 4 = 5 5 Matematika 7
Uji Kompetensi.. Rasionalkan penyebut pecahanpecahan berikut ini! a. 5 5 b. c. 0 8 d. e. f. 6 4 48 a. Rasionalkan penyebut pecahanpecahan berikut ini! a. b. c. d. e. f. 5 4 4+ a a + 5 5 0 xy x + y 4 + 54 50 96 a. Sederhanakanlah bentuk berikut ini! a. b. c. d. 5 75 7 + + 8 8 4 + 0 + 5+ 6 5 + + 6 + 7 4 7 + 8 4. Jika = a+ b 6, tentukan + nilai a + b! 5. Sederhanakan bentuk akar berikut ini! a. 9 + 8 b. 5+ 6 c. 4 + 7 d. 4 5 e. 8 + 8 + 6 f. 4+ 6 5 + 8 Kelas X SMA/MA/SMK/MAK Edisi Revisi
SOAL TANTANGAN. Tentukanlah nilai dari: a.... b. + + + + +... c. + + +.... Jika a, b bilangan asli dengan a b dan + a adalah 4 + b bilangan rasional, tentukan pasangan (a,b). (OSN 005/006). Nyatakan b dalam a dan c dari persamaan b c c a = abc. 4 4. Sederhanakan bentuk 49 0 6. 5. Tentukan nilai a dan b dari + + +... + + + 4 4+ 5 = a b. 000. 000 +. 000. 00 6. Hitunglah 54 + 4 5 + 5 + 0 7 = 7. Jika(+4)( +4 )( 4 +4 4 )( 8 +4 8 ) ( 6 +4 6 ) ( +4 ) = (4 x y ), tentukan nilai x y. Projek Tidak semua bilangan pecahan desimal tak hingga adalah bilangan irrasional. Sebagai contoh 0,... bukanlah bilangan irrasional, karena dapat dinyatakan sebagai pecahan. Kenyataannya, bilangan pecahan desimal tak hingga dengan desimal berulang seperti 0,... dapat dinyatakan dalam bentuk pecahan. a. Rancang sebuah prosedur untuk mengkonversi bilangan pecahan desimal tak hingga dengan desimal berulang menjadi bilangan pecahan. Beri contoh penerapan prosedur yang kamu rancang. b. Berdasarkan penjelasan di atas, karena bilangan irasional π tidak mungkin sama dengan, karena hanyalah pendekatan untuk nilai 7 7 π sebenarnya. Matematika 9
) Berapakah kesalahan terhadap nilai π? 7 ) Dengan menggunakan prosedur yang kamu rancang di atas tentukan pecahan yang lebih mendekati nilai π daripada 7 (kesalahannya lebih kecil). ) Apakah lebih baik menggunakan angka yang kamu peroleh daripada menggunakan 7 4) Buat laporan projek ini dan paparkan di depan kelas. 9. Menemukan Konsep Logaritma Telinga manusia dapat mendengar suara dengan intensitas yang rentangnya luar biasa. Suara paling keras yang dapat didengar oleh orang yang sehat tanpa merusak gendang telinga memiliki intensitas triliun (.000.000.000.000) kali lebih kuat dari pada suara paling rendah yang bisa didengar. Menghitung intensitas bunyi dengan rentang begitu besar tentu sangat tidak nyaman. Namun, dengan logaritma perhitungan ini akan menjadi lebih sederhana. Alexander Graham Bell (847 9) menggunakan logaritma untuk menghitung I skala bunyi. Skala ini dinamakan decibel, dan didefinisikan sebagai D =0log I0, dengan D adalah skala decibel bunyi, I adalah intensitas bunyi dengan satuan Watt per meter persegi W m ( ), dan I 0 adalah intensitas bunyi paling minimum yang bisa didengar orang yang sehat, yaitu,0 0. Sebagai gambaran, berikut ini adalah tabel intensitas bunyi beberapa objek. Tabel. Intensitas bunyi beberapa suara Intensitas Bunyi W m Intensitas Bunyi,0 0 Ambang batas bawah pendengaran 5, 0 0 Suara bisik-bisik, 0 6 Percakapan normal 8,5 0 4 Lalu lintas padat 8, 0 Pesawat jet lepas landas 0 Kelas X SMA/MA/SMK/MAK Edisi Revisi
Banyak masalah kehidupan yang penyelesaiannya melibatkan berbagai aturan dan sifat logaritma. Cermatilah masalah berikut. Masalah-.5 Yusuf adalah seorang pelajar kelas X di kota Kupang. Ia senang berhemat dan menabung uang. Selama ini dia berhasil menabung uangnya sejumlah Rp.000.000,00 di dalam sebuah celengan yang terbuat dari tanah liat. Agar uangnya lebih aman, ia menabung uangnya di sebuah bank dengan bunga 0% per tahun. Berapa lama Yusuf menyimpan uang tersebut agar menjadi Rp.464.00,00. Pahami masalah dan tuliskan informasi yang diketahui pada soal. Buat tabel keterkaitan antara jumlah uang Yusuf dengan waktu penyimpanan. Selanjutnya temukan model matematika yang menyatakan hubungan total uang simpanan dengan waktu menyimpan dan bunga uang. Diketahui: Modal awal (M 0 ) =.000.000 dan besar uang tabungan setelah sekian tahun (M t ) =.464.00, besar bunga yang disediakan bank untuk satu tahun adalah 0% = 0,. Ditanya: Berapa tahun (t) Yusuf menabung agar uangnya menjadi (M t ) =.464.00.- Alternatif Penyelesaian Perhatikan pola pertambahan jumlah uang Yusuf setiap akhir tahun pada tabel berikut. Tabel. Perhitungan besar suku bunga pada setiap akhir tahun t Akhir Tahun Bunga uang (0% Total Uang) Total = Modal + Bunga Pola Total Uang pada saat t 0 0 Rp.000.000,00.000.000 (+0,) 0 Rp00.000,00 Rp.00.000,00.000.000 (+0,) Rp0.000,00 Rp.0.000,00.000.000 (+0,) Rp.000,00 Rp..000,00.000.000 (+0,) 4 Rp.00,00 Rp.464.00,00.000.000 (+0,) 4 Dari tabel di atas, jelas kita lihat bahwa Yusuf harus menabung selama 4 tahun agar uangnya menjadi Rp.464.00,00. Selanjutnya, kita akan menyelesaikan permasalahan di atas dengan menggunakan logaritma, setelah kita mengenal sifatsifat logaritma. Matematika
Dalam pembahasan sebelumnya, kita telah membahas tentang pemangkatan suatu bilangan. Kita tahu bahwa hasilnya adalah 8 yang dapat ditulis = 8. Sehingga bila ada persamaan x = 8, maka nilai x yang memenuhi persamaan tersebut adalah x =. Perhatikan Tabel-., kita peroleh.464.00 =.000.000 (+0,) 4. Jika 4 = t, maka persamaan tersebut menjadi.464.00 =.000.000 ( + 0,) t. Hal ini dapat dikaitkan dengan bentuk eksponen yang sudah dipelajari sebelumnya, yaitu a c = b, dengan memisalkan a = ( + 0,), b =, 46400, dan c = t. Bagaimana cara menentukan nilai c = t = 4? Permasalahan ini dapat diselesaikan menggunakan invers dari eksponen, yaitu logaritma. Logaritma, dituliskan sebagai log, didefinisikan sebagai berikut. Definisi.7 Misalkan a, b R, a > 0, a, b > 0, dan c rasional maka a log b = c jika dan hanya jika a c = b. dimana: a disebut basis (0 < a < atau a > ) b disebut numerus (b > 0) c disebut hasil logaritma Diskusi Mengapa ada syarat a > 0 dan a dalam definisi di atas? Diskusikan dengan temanmu atau guru. Demikian juga dengan b > 0. Berdasarkan definisi di atas, kita dapatkan bentuk-bentuk berikut. x = 5 x = log 5 (notasi dibaca jika dan hanya jika) y = 8 y = log 8 5 z = z = 5 log Catatan: Jika logaritma dengan basis e (yaitu e,78, e adalah bilangan Euler), maka e log b ditulis ln b. Bilangan pokok (basis) 0 tidak ditulis, sehingga 0 log a = log a. Kelas X SMA/MA/SMK/MAK Edisi Revisi
Masalah-.6 Di tahun 0 jumlah penduduk Negara X adalah 00 juta orang. Bila pertambahan penduduk % per tahun, berapa jumlah penduduk negara itu pada akhir tahun 07 dan tahun 08? Pada tahun berapa jumlah penduduk negara itu menjadi dua kali lipat? Diketahui: Jumlah penduduk Negara X pada tahun 0 adalah 00 juta jiwa. Persentase pertambahan penduduk per tahun adalah % Ditanya: a) Jumlah penduduk pada tahun 07 dan tahun 08 b) Pada tahun berapa, jumlah penduduk menjadi dua kali lipat. Alternatif Penyelesaian Jumlah penduduk di awal (P 0 ) = 00 juta Misalkan: P t adalah jumlah penduduk pada tahun t r adalah persentase pertambahan penduduk. Tabel. Perhitungan jumlah penduduk Negara X untuk setiap tahun Akhir Tahun Pertambahan penduduk (% total penduduk) (juta) Total = Jumlah Penduduk awal + Pertambahan (juta) Pola Total Penduduk pada saat t 0 0 00 00 (+0,0) 0 04 0 00 (+0,0) 05,0 0,0 00 (+0,0) 06,00 0,00 00 (+0,0) 07,000 04,06040 00 (+0,0) 4 Dari tabel di atas, jelas kita lihat bahwa total penduduk pada akhir tahun 07 adalah 04.060.40. Selanjutnya, kita akan menyelesaikan permasalahan di atas dengan menggunakan logaritma, setelah kita mengenal sifat-sifat logaritma. Perhatikan Tabel-. di atas, kita peroleh 04.060.40 = 00 (+0,0) 4. Jika 4 = t, maka persamaan tersebut menjadi 04.060.40 = 00 (+0,0) t. Hal ini dapat dikaitkan dengan bentuk eksponen yang sudah dipelajari sebelumnya, yaitu a c = b, dengan memisalkan a = ( + 0,0), b = 04.060.40, dan c = t. Bagaimana cara menentukan nilai c = t = 4? Selanjutnya bagaimana menentukan jumlah penduduk pada akhir tahun 08 dan tahun berapa jumlah penduduk Negara X menjadi dua kali lipat. Matematika
Selanjutnya cermati grafik fungsi y = f(x) = log x, f(x) = log x, f(x) = log x dan f(x) = log x yang disajikan berikut. y y = log x y = log x y = log x y = log x x Gambar. Grafik Fungsi Logaritma Perhatikan grafik fungsi di atas. Isilah tabel berikut. Tabel. Perhitungan Nilai Fungsi Logaritma x / / /4 4 8 9 f(x) = log x 0 f(x) = log x 0 f(x) = log x 0 f(x) = log x Coba temukan sifat-sifat grafik fungsi logaritma pada Gambar. di atas. 0 4 Kelas X SMA/MA/SMK/MAK Edisi Revisi
Contoh.. Tulislah bentuk logaritma dari: a. 5 = maka log = 5 b. 4 = 64 maka 4 log 64 = c. = maka log =. Tulislah bentuk pangkat dari: a. log = maka = b. log 8 = 4 maka 4 = 8 c. log 000 = maka 0 = 000. Hitunglah nilai logaritma berikut. a. log = karena = b. log = 0 karena 0 = c. log 8 = 7 karena 7 = 8 0. Sifat-sifat Logaritma Dari Definisi.7, logaritma merupakan invers dari perpangkatan. Oleh karena itu terdapat sifat dasar logaritma, yaitu: Sifat-6. Sifat Dasar Logaritma Misalkan a dan n bilangan real, a > 0 dan a, maka. a log a =. a log = 0. a log a n = n Contoh.. a log a = x a x = a sehingga x = atau a log a =. a log = y a y =. Karena a 0 =, maka y = 0. a log a n = z a x = a n sehingga z = n serta a log a n = n Matematika 5
BEBERAPA SIFAT OPERASI LOGARITMA Sifat-7 Untuk a, b, dan c bilangan real positif, a, dan b > 0, berlaku a a a log b c logb logc ( ) = + Bukti: Berdasarkan Definisi.7 maka diperoleh: a x logb= x b= a a logc= y c= a y Dengan mengalikan nilai b dengan c, maka: b c = a x a y b c = a x+y a log (b c) = x + y Substitusi x dan y a log (b c) = a log b + a log c (terbukti) Sifat-8 Untuk a, b, dan c bilangan real dengan a > 0, a, dan b > 0, berlaku a b a a log logb logc c = Bukti: Berdasarkan Definisi.7, diperoleh: a log b = x b = a x a log c = y c = a y Dengan membagi b dengan c, maka diperoleh x b a = b y c a c = ax y a a a b log c = a log a x y b log c = x y Substitusi x dan y b log c = a log b a log c (terbukti) 6 Kelas X SMA/MA/SMK/MAK Edisi Revisi
Sifat-9 Untuk a, b, dan n bilangan asli, a > 0, b > 0, a, berlaku a n a logb = n logb Bukti: a n a logb = log b b b... b m ingat, a = a a a a nfaktor... a n a a a logb = logb+ log b+... + logb a n a nfaktor logb = n logb (terbukti) ingat, Sifat-8 mfaktor Sifat-0 Untuk a, b, dan c bilangan real positif, a, b, dan c, berlaku c a logb logb = = c b loga log a Bukti: Berdasarkan Definisi.7, diperoleh: a log b = x b = a x Ambil sembarang c bilangan real dan c sedemikian sehingga: c log b = c log a x c log b = x c log a b x = log c log a a c c logb logb = (terbukti) c log a ingat, Sifat-9 substitusi nilai x Karena c bilangan real dan c sembarang dengan ketentuan di atas dapat dipenuhi c = b sehingga diperoleh a a b logb logb = b log a ingat, Sifat pokok logb = b log a (terbukti) Matematika 7
Sifat- Untuk a, b, dan c bilangan real positif dengan a dan b, berlaku a b a logb logc= logc Bukti: Berdasarkan Definisi.7 maka diperoleh: a log b = x b = a x b log c = y c = b y a log b b log c = a log a x b log b y a log b b log c = a log b b log b y ingat, c = b y a log b b log c = y a log b b log b ingat, Sifat pokok a log b b log c = y a log b ingat, Sifat 6 a log b b log c = a log b y ingat, c = b y a log b b log c = a log c (terbukti) Sifat- Untuk a dan b bilangan real positif dengan a, berlaku m a n n log b = ( a log b), dengan m, n bilangan rasional dan m 0. m Bukti: (Silahkan coba sendiri) Sifat- Untuk a dan b bilangan real positif a, berlaku a a log b = Bukti: (coba sendiri) Logaritma saling invers dengan eksponen. Misalkan a log b = c. Kita subtitusikan a log b = c ke a c = a a b ( ) log, sehingga diperoleh a c = b Untuk mendalami sifat-sifat di atas, perhatikan beberapa contoh berikut. Contoh.4 Mari kita tinjau kembali Masalah-.5. Kita akan menyelesaikan masalah tersebut dengan menggunakan konsep logaritma. Cermatilah kembali Tabel.. Kita dapat menyatakan hubungan total jumlah uang untuk t tahun sebagai berikut: b 8 Kelas X SMA/MA/SMK/MAK Edisi Revisi
M t = M 0 (+i) t dimana M t : total jumlah uang diakhir tahun t t : periode waktu i : bunga uang Dengan menggunakan notasi di atas, maka soal tersebut dapat dituliskan sebagai berikut: Diketahui : M 0 =.000.000, M t =.464.00, i = 0, Ditanya : t Alternatif Penyelesaian.464.00 =.000.000 (+0,) t log.464.00 = log [.000.000 (,) t ] log.464.00 = log.000.000 + log (,) t log.464.00 log.000.000 = t log,. 464. 00 log = t log,. 000. 000 4. 64 log = t log, 0. 000 log 0 4 = t log, 4 log (,) = t log, t = 4 Jadi, Yusuf harus menabung selama 4 tahun agar mendapatkan uang sebesar Rp.464.00,00. Contoh.5 Misalkan log a adalah notasi untuk (log a). Tentukan nilai a yang memenuhi log a + log a = 6! Matematika 9
Alternatif Penyelesaian Misalkan P = log a log a + log a = 6 (log a) + (log a) = 6 P + P 6 = 0 (P + )(P ) = 0 P = atau P = log a = atau log a = a = 0 atau a =0 Jadi, nilai a yang memenuhi persamaan di atas adalah a = 0,00 atau a = 00. Contoh.6 Nyatakan b dalam a supaya berlaku a log b b log a =. Alternatif Penyelesaian a log b b log a = Ingat, b log a = a logb a logb = 0 Misalkan: P = a log b a logb P = 0 P P P = 0 (P + )(P ) = 0 P = atau P = a log b = atau a log b = Sekarang akan kita nyatakan b dalam a, yaitu, a log b = a a logb = a atau a log b = a a logb b = a b = a = a b = a Jadi, b = a atau b = a. 40 Kelas X SMA/MA/SMK/MAK Edisi Revisi
Uji Kompetensi.. Tuliskan dalam bentuk logaritma dari: a. 5 = 5 c. 4 = 64 b. 0 = 00 d. 6 = 6. Tuliskan dalam bentuk pangkat: a. log 0,0 = b. 05, log 0, 065 = 4 c. log = d. log = 9. Hitunglah nilai setiap bentuk; a. log 0 4 d. log 0,5 b. 5 log 5 e. 4 log 4 0 c. log 7 f. 5 log 4. Diketahui log = 0,00; log = 0,477 dan log 7 = 0,845 tentukan: a. log 8 c. log 0,5 b. log d. log 7 5. Sederhanakan a. log 64 log 6 b. ( ) logx+ log x log y a a a a x c. a a log log ax d. log a + log b log ab 6. Jika log = a dan log 5 = b, nyatakan bentuk berikut dalam a dan b! a. log 5 d. log 5 b. 4 log 75 e. 0 log 50 c. 5 log 6 f. 00 log 50 7. Jika b = a 4, a dan b bilangan real positif, a, b tentukan nilai a log b b log a! 8. Jika a log b = 4, c log b = 4 dan a, b, c bilangan positif, a, c, tentukan nilai a 4 log( bc )! 9. Buktikan log = 0 dan log 0=! 0. Buktikan bahwa untuk a > b > 0, a log b < 0 dan sebaliknya untuk 0 < a < b, a log b > 0!. log a adalah notasi untuk (log a). Berapakah nilai a yang memenuhi log a + log a = 6?. Nyatakan p dalam q supaya berlaku p log q 6 q log p =!. log a adalah notasi untuk ( log a). Jika a adalah bilangan bulat positif, maka berapakah nilai a yang memenuhi log (a a) + log (a 6a) = 8. 4. Untuk a > 0, a, nyatakan b dalam a yang memenuhi persamaan a log (b a + a) a log (b a + a) + = 0 5. Pada awal tahun, Rony menabung uang di bank sebesar Rp5.000,00. Ia menyimpan uang tersebut selama Matematika 4
8 tahun. Berapa jumlah uang Rony pada akhir tahun ke delapan jika bank memberi suku bunga majemuk 6% setahun? 6. Pak Thomas menabung Rp..000.000,00 selama 5 tahun dengan bunga % per tahun. Jika perhitungan bunga tiga bulanan, berapakah besar bunga yang diterima Pak Thomas? 7. Tentukan skala decibel suara berikut. a. Percakapan normal yang memiliki intensitas, 0 6 Watt per meter kuadrat. b. Pesawat jet yang baru lepas landas yang memiliki intensitas 8, 0 Watt per meter kuadrat. 8. Gemuruh suara Air terjun Niagara memiliki skala decibel 90. Tentukan intensitas bunyi dari air terjun tersebut. Apakah intensitas tersebut masih aman untuk telinga manusia? SOAL TANTANGAN 9. Jika 4 log a = p dan 8 log b = q maka tentukanlah 5 5 5 a b a b a b dalam p dan q.... Projek Skala logaritma dipergunakan untuk banyak keperluan selain menyatakan intensitas bunyi. Cari informasi tentang besaran lain yang menggunakan skala logaritma. Untuk membedakan analisis menggunakan logaritma bahkan digambarkan grafik dalam skala logaritma. Cari informasi ada berapa macam skala logaritma biasa dipergunakan dan beri contoh penelitian penggunaan skala logaritma. Buat laporan hasil pengamatan dan sajikan di depan kelas. 4 Kelas X SMA/MA/SMK/MAK Edisi Revisi
D. PENUTUP Berdasarkan sajian materi terkait berbagai konsep dan sifat eksponen dan logaritma di atas, beberapa hal penting dapat kita rangkum sebagai berikut.. Konsep eksponen dan logaritma dapat ditemukan kembali dari berbagai pemecahan masalah nyata di sekitar kehidupan kita.. Operasi eksponen adalah perluasan dari operasi perpangkatan yang sudah dipelajari di Sekolah Dasar dan SMP. Operasi perpangkatan pasti merupakan eksponen. Pada operasi perpangkatan, kita menggunakan bilangan bulat, tetapi pada eksponen tergantung variabel bilangan real sebagai eksponen dari basisnya. Misalnya p x = q, x sebagai eksponen dari p, dimana x raional dan p bilangan real, tetapi = 8, adalah sebuah bilangan pangkat dari.. Sifat-sifat perpangkatan dapat digunakan untuk menurunkan sifat-sifat penarikan akar. 4. Jika grafik fungsi eksponen dicerminkan terhadap sumbu y = x, maka diperoleh grafik fungsi logaritma. 5. Penguasaan berbagai konsep dan sifat-sifat eksponen dan logaritma adalah prasyarat untuk mempelajari fungsi eksponen dan fungsi logaritma. Secara mendalam, berbagai sifat-sifat dari fungsi eksponen dan logaritma serta penerapannya akan dibahas dipokok bahasan peminatan. Pada Bahasan (Bab ), kita akan mempelajari persamaan dan pertidaksamaan linier yang melibatkan variabel berpangkat satu. Sama halnya dengan penemuan kembali konsep eksponen dan logaritma melalui pemecahan masalah nyata, akan kita temukan konsep dan sifat-sifat persamaan dan pertidaksamaan linier dari berbagai situasi nyata kehidupan disekitar kita. Penguasaan kamu pada materi eksponen dan logaritma akan berguna untuk mempelajari materi pada bab berikutnya. Perlu kami tekankan bahwa mempelajari materi matematika mulai bahasan sampai, harus dipelajari secara terurut, jangan melompat-lompat, sebab sangat dimungkinkan penguasaan materi pada bahasan berikutnya didasari penguasaan materi pada bahasan sebelumnya. Matematika 4
Catatan: 44 Kelas X SMA/MA/SMK/MAK Edisi Revisi
Bab Persamaan dan Pertidaksamaan Linear A. KOMPETENSI DASAR DAN PENGALAMAN BELAJAR Kompetensi Dasar Setelah mengikuti pembelajaran persamaan dan pertidaksamaan linear, siswa mampu:. Menghayati dan mengamalkan ajaran agama yang dianutnya.. Memiliki motivasi internal, kemampuan bekerjasama, konsisten, sikap disiplin, rasa percaya diri, dan sikap toleransi dalam perbedaan strategi berpikir dalam memilih dan menerapkan strategi menyelesaikan masalah.. Mampu mentransformasi diri dalam berperilaku jujur, tangguh, menghadapi masalah, kritis, dan disiplin dalam melakukan tugas belajar matematika. 4. Mendeskripsikan dan menganalisis konsep nilai mutlak dalam persamaan dan pertidaksamaan serta menerapkannya dalam pemecahan masalah nyata. 5. Menerapkan konsep nilai mutlak dalam persamaan dan pertidaksamaan linier dalam memecahkan masalah nyata. 6. Membuat model matematika berupa persamaan dan pertidaksamaan linear dua variabel yang melibatkan nilai mutlak dari situasi nyata dan matematika, serta menentukan jawab dan menganalisis model sekaligus jawabnya. Pengalaman Belajar Melalui pembelajaran materi persamaan dan pertidaksamaan linear, siswa memperoleh pengalaman belajar: menghadapi permasalahan yang aktual terkait nilai nilai mutlak menghadapi permasalahan pada kasus persamaan dan pertidaksamaan linear di kehidupan sehari-hari. berpikir kreatif dalam membangun konsep dan sifat permasalahan persamaan dan pertidaksamaan linear dan menerapkannya dalam kehidupan nyata membangun model matematika permasalahan nyata terkait dengan persamaan dan pertidaksamaan linear nilai mutlak. berpikir kritis dalam mengamati permasalahan. mengajak untuk melakukan penelitian dasar dalam membangun konsep persamaan dan pertidaksamaan linear nilai mutlak dan menerapkannya dalam kehidupan sehari hari. mengajak kerjasama tim dalam menemukan solusi suatu permasalahan. Persamaan linear Pertidaksamaan linear Lebih dari Kurang dari Nilai mutlak
B. PETA KONSEP Masalah Otentik Kalimat Terbuka Nilai Mutlak Dihubungkan ' ', ' ',' ','<','>' Pertidaksamaan Dihubungkan '=' Persamaan Pertidaksamaan Linear Persamaan Linear Himpunan penyelesaian Tidak Ada Solusi Tepat Satu Solusi Banyak Solusi Grafik 46 Kelas X SMA/MA/SMK/MAK Edisi Revisi
C. MATERI PEMBELAJARAN Pada bab ini, kita akan mempelajari persamaan dan pertidaksamaan linear yang berkaitan dengan nilai mutlak. Kamu harus mengingat kembali pelajaran tentang persamaan linear dan pertidaksamaan linear yang telah kamu pelajari di kelas VIII. Jadi, pertama kali, kita akan mempelajari konsep nilai mutlak, persamaan linear, pertidaksamaan linear dan kemudian kita akan melibatkan nilai mutlak dalam persamaan dan pertidaksamaan linear tersebut. Nah, kamu perhatikan dan amati ilustrasi dan masalah berikut.. Memahami dan Menemukan Konsep Nilai Mutlak Ilustrasi: Kegiatan pramuka adalah salah satu kegiatan ekstrakurikuler yang diadakan di sebuah sekolah. Sebuah grup pramuka sedang belajar baris berbaris di lapangan sekolah pada hari Sabtu. Sebuah perintah dari pimpinan pasukan: Maju 4 langkah, jalan!, hal ini berarti jarak pergerakan barisan adalah 4 langkah ke depan. Jika perintah pimpinan pasukan: Mundur langkah, jalan!, hal ini berarti bahwa pasukan akan bergerak melawan arah sejauh langkah. Demikian seterusnya. Besar pergerakan langkah pasukan tersebut merupakan nilai mutlak, tidak ditentukan arah. Maju 4 langkah, berarti mutlak 4 langkah dari posisi diam dan mundur Gambar. Anak Pramuka langkah, berarti mutlak langkah dari posisi diam. Dalam hal ini, yang dilihat adalah nilainya, bukan arahnya. Lebih jelasnya, mari bersama-sama mempelajari kasus-kasus di bawah ini. Masalah-. Seorang anak bermain lompat-lompatan di lapangan. Dari posisi diam, si anak melompat ke depan langkah, kemudian langkah ke belakang, dilanjutkan langkah ke depan, kemudian langkah ke belakang, dan akhirnya langkah lagi ke belakang. Permasalahan: a. Dapatkah kamu membuat sketsa lompatan anak tersebut? b. Tentukanlah berapa langkah posisi akhir anak tersebut dari posisi semula! c. Tentukanlah berapa langkah yang dijalani anak tersebut! Matematika 47
Alternatif Penyelesaian Kita mendefinisikan lompatan ke depan adalah searah dengan sumbu x positif, sebaliknya lompatan ke belakang adalah searah dengan sumbu x negatif. Perhatikan sketsa berikut: Ke belakang langkah Ke depan langkah Ke depan langkah Gambar. Sketsa lompatan Ke belakang langkah -4 - - - 0 4 Ke belakang langkah Dari gambar di atas, kita misalkan bahwa x = 0 adalah posisi awal si anak. Anak panah yang pertama di atas garis bilangan menunjukkan langkah pertama si anak sejauh langkah ke depan (mengarah ke sumbu x positif atau +), anak panah kedua menunjukkan langkah si anak ke belakang (mengarah ke sumbu x negatif atau -) dari posisi akhir langkah pertama, demikianlah seterusnya sampai akhirnya si anak berhenti pada langkah ke 5. Jadi, kita dapat melihat pergerakan akhir si anak dari posisi awal adalah langkah saja ke belakang (x = (+) + (-) + (+) + (-) + (-) = ). Banyak langkah yang dijalani si anak merupakan konsep nilai mutlak, karena kita hanya menghitung banyak langkah, bukan arahnya. Banyak langkah selalu dinyatakan dengan bilangan bulat positif walaupun arahnya ke arah sumbu x negatif. Banyak langkah dapat dinyatakan dengan nilai mutlak dari sebuah bilangan bulat. Misalnya mundur langkah dinyatakan dengan nilai mutlak negatif (atau - ), sehingga banyak langkah anak tersebut adalah + - + + - + - = 9 (9 langkah). Perhatikan Tabel. berikut. Tabel. Nilai Mutlak Nilai Nilai Mutlak 5 5 0 0 4 4 5 5 48 Kelas X SMA/MA/SMK/MAK Edisi Revisi
Dari ilustrasi dan tabel di atas, dapatkah kamu menarik sebuah kesimpulan tentang pengertian nilai? Jika x adalah variabel pengganti semua bilangan real, dapatkah kamu menentukan nilai mutlak x tersebut? Perhatikan, x bilangan real, dituliskan dengan x R. Dari contoh pada tabel tersebut, kita melihat bahwa nilai mutlak akan bernilai positif atau nol (nonnegatif). Nilai mutlak adalah jarak antara bilangan itu dengan nol pada garis bilangan real. Perhatikan garis bilangan berikut! Kita melakukan beberapa percobaan perpindahan posisi pada garis bilangan sebagai berikut. = 0 4 x = x x... 0... x = 0 4 x = x x... 0... x = 0 4 0 0 Gambar. Selang Nilai Mutlak x... 0... x Berdasarkan masalah masalah di atas, dapat kita definisikan konsep nilai mutlak, sebagai berikut. Definisi. Misalkan x bilangan real, nilai mutlak x, dituliskan x, didefinisikan x jika x 0 x = x jika x< 0 Berikut ini, kita akan mencoba menggambar grafik f x x x jika x 0 ( )= = x jika x< 0. Perhatikan beberapa titik yang mewakili grafik fungsi di atas. Tabel. Beberapa Pasangan Koordinat Titik pada gafik f( x)= x x... 4 0 4... y = f(x)... 4 0 4... (x,y)... ( 4,4) (,) (,) (0,0) (,) (,) (4,4)... Matematika 49
Titik-titik yang kita peroleh pada tabel ini, disajikan dalam koordinat kartesius sebagai berikut. Gambar.4: Grafik y = f(x)= x Berdasarkan definisi dan gambar grafik di atas dapat kita simpulkan bahwa nilai x pada dasarnya menyatakan besar simpangan dari titik x = 0. Contoh. Gambarkan grafik f( x)= x dengan memanfaatkan Definisi.. Alternatif Penyelesaian Mari amati langkah langkah berikut. Langkah. Buatlah tabel untuk menunjukkan pasangan beberapa titik yang mewakili grafik tersebut. Tentukan pertama kali nilai x yang membuat nilai fungsi tersebut nol. Tentu x =, bukan? Jadi, koordinat awal kita adalah (,0) Tabel. Beberapa pasangan koordinat pada grafik f( x)= x x... -4 - - - 0 4... y...... 5......... 0...... (x,y)...... (-,5)...... (0,)... (,0)... (4,)... Lengkapilah tabel di atas dan kamu akan menemukan beberapa koordinat titik yang memenuhi fungsi f( x)= x tersebut! Langkah. Letakkanlah titik titik yang kamu peroleh pada tabel di atas koordinat kartesius. 50 Kelas X SMA/MA/SMK/MAK Edisi Revisi
y (-,5) 5 4 (0,) (4,) -5-4 - - - 0 4 x Gambar.5: Titik pada kurva f (x) = x Langkah. Buatlah garis lurus yang menghubungkan titik titik yang sudah kamu letakkan di bidang koordinat tersebut sesuai dengan urutan nilai x. Kamu akan mendapat grafik seperti pada gambar berikut. y (-,5) 5 4 (0,) (4,) -5-4 - - - 0 4 x Gambar.6: Grafik f (x) = x f ( x) = x Gambar.6 Grafik Matematika 5
Latihan. Perhatikan grafik f( x)= x pada Gambar.6. Lihatlah penyimpangan grafik terhadap sumbu x. Dapatkah kamu tarik kesimpulan? Bagaimana penyimpangan grafik f( x)= x p terhadap sumbu x, untuk p bilangan real? Berikutnya, mari kita amati hubungan antara x dengan x? Mari kita lakukan percobaan sederhana dengan mengamati nilai kedua fungsi tersebut. Untuk memudahkan pengamatan, kita sajikan data data pada tabel berikut. Tabel.4 Hubungan x dan x x 0 x 9 4 0 4 9 x 0 x 0 Apakah hasil pengamatanmu? Tentu saja, kamu dapat melihat bahwa nilai kedua fungsi sama, bukan? Dengan demikian, kamu mendapatkan hubungan kedua fungsi : yaitu x = x. Latihan. Dari definisi nilai mutlak yang kita pelajari, dapatkah kamu berikan definisi fungsi nilai mutlak berikut....... jika............ ax ax+ + bb= =...... jika...... < <...... Coba diskusikan dengan temanmu! 5 Kelas X SMA/MA/SMK/MAK Edisi Revisi
. Persamaan Linear Masalah-. Andi dalam tiga hari berturut-turut membelanjakan uangnya untuk membeli keperluan sekolah. Pada hari Minggu dia menghabiskan dari uang yang 4 4 dimilikinya. Pada hari Senin, dia membelanjakan uangnya Rp4.000,00 lebih sedikit dari uang yang dia belanjakan hari Minggu. Sementara uang yang dibelanjakan pada hari Selasa hanya dari belanja hari Senin. Sekarang dia masih memiliki 4 4 uang sisa belanja sebanyak Rp.000,00. Dapatkah kamu membuat model dari permasalahan tersebut? Buatlah model matematika dari masalah tersebut! Tentukan uang Andi sebelum dibelanjakan? Alternatif Penyelesaian Diketahui: 4 Belanja hari Minggu = jumlah uangnya. 5 6 4 4 Belanja hari Senin = Rp4.000,00 lebih sedikit dari belanja hari Minggu. Belanja hari Selasa = 5 6 4 belanja 4 4 hari Senin. Sisa uang belanja = Rp.000,00 Ditanya: Buatlah model matematika dari permasalahan di atas. Tentukan banyak uang Andi sebelum dibelanjakan. Marilah kita bersama-sama menyelesaikan permasalahan ini. Misalkan banyak uang Andi sebelum dibelanjakan = x rupiah Dari yang diketahui diperoleh Belanja hari Minggu = x 5 6 4 4 Belanja hari Senin = x 4000 5 6 4 4 Belanja hari Selasa = x 4. 000 4 4 Matematika 5
Kita buat sebuah persamaan dari kasus ini, yaitu: Uang Andi = jumlah uang yang dibelanjakan + sisa uang uang belanja sehingga penyelesaian permasalahan ini, adalah: x x x x = 4 000 4 000 000 + +.. +....() x x x = Jika persamaan x 4 000 4 000 x () diselesaikan x 4. 000 maka = + + 4.000 + +.. +. 000 +. x x 6 x = + 4.000 + x 4 000 6. +. 000 6x = x + x 4.000 + x 8.000 + 6.000 6x = 7x 6.000 x = 6.000 Dengan demikian uang Andi mula-mula adalah Rp6.000,00. Masalah-. Di sebuah desa, terdapat sepasang manula yang tinggal di rumah tua. Pada saat sensus penduduk awal tahun 0, kakek dan nenek tersebut belum memiliki KTP. Untuk pembuatan KTP, kakek dan nenek tersebut diminta data tanggal lahir mereka, tetapi mereka tidak pernah mengetahui tahun lahir mereka. Mereka hanya mengingat bahwa saat menikah, selisih umur mereka tahun. Saat itu nenek berusia 0 tahun, yaitu tahun setelah proklamasi. Dapatkah kamu membuat persamaan linear dari persoalan di atas? Dapatkah kita ketahui tahun lahir mereka? Alternatif Penyelesaian Misalkan: Umur kakek = K tahun Umur nenek = N tahun Tahun lahir kakek = TK Tahun lahir nenek = TN Pemodelan Selisih umur kakek dan nenek adalah tahun sehingga K N = Nenek berusia 0 tahun, yaitu tahun sesudah proklamasi 945. Jika sekarang awal tahun 0 maka usia nenek adalah: N = (0 ) + (0 945) atau N = 77 sehingga dengan K N = diperoleh K = 80. Selanjutnya kita mendapatkan dugaan tahun lahir mereka dengan: Tahun lahir + Usia = Tahun sekarang sehingga dugaan tahun lahir mereka adalah: 54 Kelas X SMA/MA/SMK/MAK Edisi Revisi
TN + 77 = 0 dan TK + 80 = 0...() Bila persamaan () diselesaikan maka TN = 96 dan TK = 9 Dengan demikian, tahun lahir nenek dan kakek adalah 96 dan 9. Masalah-.4 Umur ayah 4 tahun yang lalu adalah / kali umur ayah pada c tahun yang akan datang, (c adalah bilangan bulat positif). Sekarang, umur ayah adalah 7 tahun lebihnya dari /5 umurnya pada 7 tahun yang lalu. Apakah kamu dapat menentukan umur ayah saat ini? Tentukanlah nilai c pada kasus tersebut! Alternatif Penyelesaian. Misalkan umur ayah sekarang adalah x tahun.. Berdasarkan informasi masalah di atas, dapat dituliskan Umur ayah 4 tahun yang lalu adalah / kali umur ayah pada c tahun yang akan datang, atau x 4 = x+ c ( )...(). Umur ayah sekarang 7 tahun lebihnya dari /5 kali umurnya pada 7 tahun yang lalu atau x= ( x 7) + 7...(4) 5 4. Model yang telah diperoleh, kita selesaikan sebagai berikut: x 4 = (x + c) x = c + 4 4 x = (x 7) + 7 4x 8= 0 5 x = Subsitusikan x = ke x = c + diperoleh = c + atau c = 0. Jadi, umur ayah saat ini adalah tahun. Matematika 55
Diskusi Coba kamu teliti kasus berikut. Berikan jawaban atau komentarmu, apakah kasus berikut logis? Umur Ayah 5 tahun yang lalu adalah / kali umurnya pada c tahun yang akan datang. Sekarang, umur ayah adalah 6 tahun lebihnya dari / kali umurnya 7 tahun yang lalu. Coba kamu analisis nilai c yang kamu peroleh. Ketiga permasalahan di atas menjadi dasar ide tentang bentuk persamaan linear satu variabel dan dua variabel. Perhatikan persamaan (), (), (), dan (4). Keempat persamaan tersebut disebut persamaan linear. Secara induktif, bentuk umum persamaan linear satu variabel dan dua variabel adalah sebagai berikut. Definisi. Persamaan linear satu variabel adalah persamaan berbentuk ax + b = 0 dengan a, b R dan a 0, dan x : variabel real a : koefisien x b : konstanta Definisi. Persamaan linear dua variabel adalah persamaan berbentuk ax + by + c = 0 dengan a, b, c R, a dan b tidak keduanya nol, dimana x,y: variabel real a : koefisien x b : koefisien y c : konstanta Sifat-. Misal l adalah persamaan linear, maka: a. Penambahan dan pengurangan bilangan di kedua ruas persamaan l, tidak mengubah solusi persamaan tersebut. b. Perkalian bilangan tidak nol di kedua ruas pada persamaan l, tidak mengubah solusi persamaan tersebut. 56 Kelas X SMA/MA/SMK/MAK Edisi Revisi
Contoh. Jika x 0, tentukan pasangan titik (x, y) yang memenuhi persamaan linear x 4y =, untuk x, y R, kemudian gambarkan grafiknya! Alernatif Penyelesaian Pertama-tama kita tentukan nilai x dan y yang memenuhi persamaan x 4y = dan kita buat pada tabel berikut. Tabel.5 Pasangan titik (x,y) pada grafik x 4y = untuk x 0 x 0 y -/4-0/4-9/4 (x,y) (0, ) (,-/4) (,-0/4) (,-9/4) Dari data Tabel.5 dapat dinyatakan bahwa terdapat tak hingga banyaknya pasangan titik (x, y) yang memenuhi persamaan x 4y =, yaitu: HP = {( 0, ),(, 0 9 9 ),(, ),(, ),( 4, ),...} 4 4 4 4 Grafik x 4y = ini memotong sumbu x di titik (, 0) dan memotong sumbu y di titik (0, -). Selanjutnya dengan menggunakan titik pada tabel di atas, kita dapat menggambarkan grafik x 4y = untuk x 0 pada bidang koordinat. y 4 x 4y = pada x 0, x R - - 0 0-4 5 6 7 8 9 0 4 5 6 7 8 x - - -4-5 Gambar.7 Grafik x 4y = untuk x 0 Matematika 57
Contoh. Diberikan persamaan linear y = x 4, untuk setiap x R. Gambarlah grafik persamaan linear tersebut! Alernatif Penyelesaian Pertama-tama kita tentukan nilai x dan y yang memenuhi persamaan y = x 4 dan kita buat tabel berikut. Tabel.6 Pasangan titik (x,y) untuk grafik y = x 4 untuk x R x... 4 0 y... 6 0 7 4 0... (x, y)... ( 4, 6) (, ) (, 0) (, 7) (0, 4) 4... 4, 0... Dari data Tabel.6 dapat dinyatakan bahwa terdapat tak hingga pasangan (x, y) yang memenuhi persamaan y = x 4 adalah tak hingga banyaknya, yaitu HP = {..., ( 4, 6),(, ),(, 0),(,-7),(0, 4),( 4,0).}. Dari data pasangan titik sebagai anggota himpunan penyelesaian, dapat dikatakan bahwa grafik y = x 4 memotong sumbu x pada titik ( 4,0) dan memotong sumbu y pada titik (0, 4). Selanjutnya kita gambarkan grafik y = x 4 pada bidang koordinat kartesius dengan menggunakan pasangan (x, y) tersebut. 58 Kelas X SMA/MA/SMK/MAK Edisi Revisi
y 0 9 8 7 6 5 4-4 - - - - 0 4 5 6 - - -4-5 -6-7 -8-9 -0 - - - -4-5 -6 y = x 4 x Gambar.8 Grafik y = x 4 Definisi.4 Misalkan a, b, dan c bilangan real dan a, b keduanya tidak nol. Himpunan penyelesaian persamaan linear ax + by = c adalah himpunan semua pasangan (x, y) yang memenuhi persamaan linear tersebut. Diskusi Berdasarkan Definisi.4, diskusikanlah dengan temanmu satu kelompok untuk menjawab beberapa pertanyaan berikut.. Dapatkah sebuah persamaan linear dua variabel memiliki anggota himpunan penyelesaian adalah tepat satu atau penyelesaian tunggal? Jika dapat, berikan contoh persamaanya!. Dapatkah sebuah persamaan linear dua variabel tidak memiliki anggota himpunan penyelesaian? Jika dapat, beri contoh persamaannya!. Pertidaksamaan Linier Dalam kehidupan sehari-hari, banyak kita jumpai kasus yang melibatkan pembatasan suatu hal. Contohnya, lowongan kerja mensyaratkan pelamar dengan Matematika 59
batas usia tertentu, batas nilai cukup seorang pelajar agar dinyatakan lulus dari ujian, dan batas berat bersih suatu kendaraan yang diperbolehkan oleh dinas angkutan umum. Perhatikan masalah berikut! Masalah-.5 Ayah Budi lebih muda dibanding pamannya tetapi lebih tua dari ibunya. Sementara umur bibinya hanya satu tahun lebih tua dari umur ibunya tetapi satu tahun lebih muda dari umur ayahnya. Budi berencana mengurutkan umur antara ayah, ibu, paman, dan bibinya berdasarkan umur mereka yang lebih tua. Dapatkah kamu membantu Budi dalam mengatasi permasalahan tersebut? Pertama sekali didefinisikan variabel-variabelnya sebagai berikut: Umur ayah = A tahun Umur ibu = I tahun Umur paman = P tahun Umur bibi = B tahun Dari penjelasan permasalahan di atas, diperoleh informasi sebagai berikut. a. Ayah lebih muda dibanding paman A < P atau A P < 0...(5) b. Ayah lebih tua dari ibu A > I atau I < A...(6) c. Umur bibi hanya satu tahun lebih tua dari umur ibu B = I atau B > I...(7) d. Umur bibi satu tahun lebih muda dari ayah B + = A atau B < A...(8) Dengan mengamati pola di atas, yaitu A < P, I < A, I < B, dan B < A. Urutan umur mereka mulai dari tertua ke termuda adalah P > A > B > I. Jadi, kesimpulannya adalah paman lebih tua dibanding ayah, ayah lebih tua dibanding bibi, dan bibi lebih tua dibanding ibu. 60 Kelas X SMA/MA/SMK/MAK Edisi Revisi
Diskusi Diskusikan masalah urutan berikut dengan menggunakan metodemu sendiri! Pak Anto, Pak Yusuf, dan Pak Doni gemar memancing. Mereka selalu memancing ikan di sungai setiap Sabtu. Suatu hari, setelah mereka selesai memancing, mereka menghitung banyak ikan mereka masing-masing. Banyak ikan yang ditangkap Pak Anto ternyata lebih daripada banyak ikan yang ditangkap Pak Yusuf. Walaupun banyak ikan yang ditangkap Pak Anto dikali dua, juga masih lebih sedikit dibanding dengan tangkapan Pak Yusuf dan Pak Doni. Berdasarkan cerita di atas, dapatkah kamu menentukan urutan mereka berdasarkan banyak ikan yang mereka tangkap? Masalah-.6 Santi berbelanja di toko peralatan sekolah dengan uang yang tersedia Rp50.000,00. Harga setiap barang di toko tersebut telah tersedia di daftar harga barang sehingga Santi dapat memperkirakan peralatan sekolah apa saja yang sanggup dia beli dengan uang yang dia miliki. Berdasarkan daftar harga, jika Santi membeli seragam sekolah dan buku maka dia masih mendapatkan uang kembalian. Dapatkah kamu memodelkan harga belanjaan Santi tersebut? Dengan memisalkan harga seragam sekolah = x rupiah dan harga buku = y rupiah maka permasalahan di atas dapat dimodelkan sebagai berikut: Santi membeli seragam sekolah dan buku dan mendapatkan uang kembalian mempunyai arti x + y < 50.000...(9) Dari masalah di atas, pertidaksamaan (5), (6), (7), (8) dan (9) disebut pertidaksamaan linear. Berikut definisi pertidaksamaan linear. Definisi.5 Pertidaksamaan linear satu variabel adalah persamaan yang berbentuk ax + b < 0 dengan a : koefisien x, a 0, a R ax + b 0 ax + b > 0 ax + b 0 b : konstanta (b R) x : variabel real Matematika 6
Definisi.6 Pertidaksamaan linear dua variabel adalah persamaan yang berbentuk ax + by + c < 0 dengan a,b : koefisien ( a 0, b 0, a, b R) ax + by + c 0 ax + by + c > 0 ax + by + c 0 c : konstanta (c R) x,y : variabel real Sifat-. Misal k adalah pertidaksamaan linear, maka: a. Penambahan dan pengurangan bilangan di kedua ruas pertidaksamaan k, tidak mengubah solusi persamaan tersebut. b. Perkalian bilangan tidak nol di kedua ruas pada pertidaksamaan k, tidak mengubah solusi persamaan tersebut. Uji Kompetensi.. Salah satu penyakit sosial remaja sekarang ini adalah merokok. Ahli kesehatan merilis informasi bahwa, menghisap satu batang rokok akan mengurangi waktu hidup seseorang selama 5,5 menit. Seorang remaja mulai merokok (satu) batang rokok perhari sejak umur 5 tahun. Berapa waktu hidup remaja tersebut berkurang sampai dia berumur 40 tahun?. Perhatikan grafik di bawah ini! Dari pasangan titik-titik yang diberikan, tentukanlah persamaan linear yang memenuhi pasangan titik-titik tersebut. 6 Kelas X SMA/MA/SMK/MAK Edisi Revisi
. Tentukanlah himpunan penyelesaian untuk setiap persamaan linear berikut ini! a. 5x y = 7 b. y 4x = 0 4 4 c. y = 5x 4 4 4. Untuk dapat diterima sebagai suster di RS.SEHAT, seorang calon suster akan menjalani tes sebanyak 4 kali, yaitu tes tertulis, psikotes, tes ketrampilan, dan wawancara dengan perbandingan hasil tes berturut-turut adalah 4 : : :. Total nilai tes tidak boleh kurang dari 79. Windy adalah seorang calon suster yang telah mengikuti tes dengan hasil sebagai berikut: Tes Tertulis= 75, Psikotes =78, dan Tes Wawancara=85. Tentukan nilai terendah Tes Keterampilannya agar ia dapat diterima di rumah sakit tersebut. 5. Berat astronot dan pesawatnya ketika mendarat di bulan tidak boleh melebihi 00 kg. Berat pesawat di bumi 900 kg dan berat benda di bulan /6 dari berat benda di bumi. Tentukan berat maksimum astronot di bumi! 6. Seorang penderita diabetes sedang mengontrol berat badannya. Ia menggunakan indeks berat badannya dengan rumus I = W/h², dengan W adalah berat badan (kg), dan h adalah tinggi badan (meter). Nilai I yang dimiliki setiap orang memiliki arti sebagai berikut. I < 5 berarti berat badan normal 5 < I 0 berarti kelebihan berat badan 0 < I 5 berarti obesitas ringan 5 < I 40 berarti obesitas sedang I 40 berarti obesitas kronis a. Jika tinggi badan orang tersebut 75 cm, berapa berat badan maksimal supaya tergolong berat badan normal? b. Jika orang tersebut sudah memiliki berat badan 80 kg dan yang akan dikontrol adalah tinggi badan dengan melakukan suatu terapi tertentu, tentukan batas tinggi badan agar digolongkan dalam katagori kelebihan berat badan. 7. Gambarkanlah grafik g(x) = x untuk < x < 0! Matematika 6
Projek Perhatikan bahwa persamaan linear dua variabel dapat dibuat grafiknya asal diketahui dua titik yang dilaluinya. Persamaan linear dua variabel memiliki dua koefisien dan satu konstanta. Selidiki apa implikasi dari kenyataan ini. Selidiki apakah hanya ada satu persamaan linear dua variabel yang melalui dua titik yang sama. Apakah ini berarti ada beberapa persamaan linear dua variabel berbeda yang melalui dua titik yang sama. Ataukah walaupun banyak, semua persamaan linear dua variabel melalui dua titik yang sama sebenarnya adalah sama. Buat laporan hasil kegiatanmu dan paparkan di depan kelas. 4. Persamaan Linear Yang Melibatkan Nilai Mutlak Kita telah memahami lewat pengamatan terhadap beberapa kasus pada nilai mutlak dan persamaan linear satu atau dua variabel. Selanjutnya kita akan mempelajari persamaan linear nilai mutlak. Kamu diharapkan mampu memahami aplikasi kedua konsep tersebut. Perhatikan dan pahami masalah berikut. Masalah-.7 Sungai Bengawan Solo sering meluap pada musim hujan dan kering di musim kemarau. Debit air sungai tersebut adalah p liter/detik pada cuaca normal. Perubahan debit pada cuaca tidak normal adalah sebesar q liter/detik. Tunjukkanlah sketsa penurunan minimum dan peningkatan maksimum debit air sungai tersebut! Gambar.9 Sungai Alternatif Penyelesaian Kamu telah mengetahui penyimpangan suatu nilai tertentu dapat dinyatakan dengan nilai mutlak. Nilai mutlak peningkatan dan penurunan debit air tersebut dengan perubahan sebanyak q liter/detik dapat dimodelkan dengan persamaan: x p = q dimana, x: debit air sungai. 64 Kelas X SMA/MA/SMK/MAK Edisi Revisi
Dengan pemahaman yang telah kita miliki, kita dapat menggambarkan grafiknya sebagai berikut. q q p - q... p - p - p + p +... p + q Misalkan debit air sungai = x liter/detik Simpangan x terhadap nilai pada cuaca normal adalah x p. Jika perubahan debit air tersebut bernilai q maka x p = q, sehingga diperoleh x = p + q atau x = p q. Dari grafik di atas, tampak jelas bahwa penurunan minimum debit air adalah (p q) liter/detik dan peningkatan maksimum debit air adalah (p + q) liter/detik. Contoh.4 Tentukan nilai x yang memenuhi persamaan x + x 8 = 5. Alternatif Penyelesaian Dengan menggunakan Definisi. maka diperoleh, x jika x x = x + jika x< dan 8 x 8 jika x 4 x = sehingga x + 8 jika x< 4 a. Untuk x < maka x + x + 8 = 5 x + = 5 x = 6 x = (memenuhi karena x = berada pada domain x < ) b. Untuk x < 4 maka x x + 8 = 5 x + 5 = 5 x = 0 x = 0 (tidak memenuhi karena x = 0 tidak berada pada domain x < 4) c. Untuk x 4 maka x + x 8 = 5 x = 5 x = 6 x = 6/ (memenuhi karena x = 6/ berada pada domain x 4 ) Jadi, penyelesaian x + x 8 = 5 adalah HP = {(,6/)} 5. Pertidaksamaan Linear Yang Melibatkan Nilai Mutlak Selanjutnya kita akan mengaplikasikan konsep nilai mutlak ke pertidaksamaan linier, dengan memahami dan meneliti kasus-kasus berikut. Matematika 65
Masalah-.8 Seorang bayi lahir prematur di sebuah Rumah Sakit Ibu dan Anak dengan berat badan.00 gram. Untuk mengatur suhu tubuh bayi tetap stabil, maka harus dirawat di dalam inkubator selama beberapa hari. Suhu inkubator harus dipertahankan berkisar antara O C hingga 5 O C selama hari. Ternyata jika berat badan berada pada interval BB:.00.500 gram, maka suhu inkubator yang harus dipertahankan adalah 4 O C. Gambar.0 Inkubator Jika pengaruh suhu ruangan membuat suhu inkubator menyimpang sebesar 0. O C maka hitunglah interval perubahan suhu inkubator! Alternatif Penyelesaian Pada kasus bayi ini, kita sudah mendapatkan data dan suhu inkubator yang harus dipertahankan selama hari sejak kelahiran adalah 4 o C. Misalkan T adalah segala kemungkinan perubahan suhu inkubator akibat pengaruh suhu ruangan, dengan perubahan yang diharapkan sebesar 0. o C, maka nilai mutlak suhu tersebut dapat kita modelkan, sebagai berikut: T 4 o C 0, o C Kasus ini dapat kita selesaikan melalui cara berikut. Cara I. (Dengan mengamati sketsa) 0, C 0, C...,8 C...,9 C... 4 C... 4, C... 4, C... Gambar. Interval perubahan suhu sehingga interval kenaikan suhu inkubator adalah interval {T,8 o C T 4, o C}. Cara II. (Dengan memanfaatkan Definisi.) Bagian ini diserahkan kepada siswa. Kamu tentu dapat menyelesaikannya dengan bantuan petunjuk berikut.. Pelajari kembali Definisi., kemudian ubahlah bentuk T 4 o C yaitu: 0... jika...... T 4 C =... jika... <... 66 Kelas X SMA/MA/SMK/MAK Edisi Revisi
. Kamu telah mempartisi bentuk nilai mutlak tersebut pada langkah, dengan demikian kamu harus menyelesaikan pertidaksamaan pada masing - masing partisi tersebut. Ingat, hasil yang kamu dapatkan harus diiriskan kembali pada domainnya (daerah asal) masing masing sehingga kamu memiliki dua interval jawaban.. Gabungkan jawaban yang kamu peroleh pada langkah. (Kamu diskusikan dengan temanmu, kenapa jawaban digabungkan? Kenapa jawaban tidak diiriskan? Cara III (dengan memanfaatkan x Kamu dapat lihat pada Contoh.6 = x ) Masalah-.9 Beberapa tentara melakukan latihan menembak di sebuah daerah kosong warga sipil. Salah satu dari mereka berencana menembak obyek yang telah ditentukan di sebuah perbukitan. Jika x = 0 adalah posisi awal tentara tersebut, maka pola lintasan peluru yang mengarah ke objek diperkirakan memenuhi persamaan y x 0,66 = 0 dengan x adalah jarak penembak dengan sasaran dan y Gambar. Tentara menembak adalah ketinggian peluru dari permukaan tanah. Kecepatan angin dan hentakan senjata akan mempengaruhi pergerakan peluru sehingga kemungkinan lintasan peluru dapat berubah menjadi y 0,475x 0,5 = 0. Pada jarak berapakah lintasan peluru akan menyimpang 0,05 m oleh pengaruh-pengaruh perubahan arah tersebut? Alternatif Penyelesaian Cara I (Dengan memanfaatkan Definisi.) Karena x = 0 adalah posisi awal peluru, maka lintasan peluru haruslah pada interval x 0 sehingga model yang diperoleh adalah (0,5x + 0,) (0,475x + 0,5) 0.05 atau 0,05x 0,0 0.05. Dengan Definisi. maka 0, 05x 00, 0, 05x 00, = 0, 05x + 00, jika x 08, jika 0 x < 0, 8 Matematika 67
sehingga 0, 05x 00, 0, 05 0, 05x 00, 0, 05 0, 05x + 00, 0, 05 jika x 08, jika 0 x < 0, 8 Dengan menyelesaikan kedua pertidaksamaan maka: a. Untuk x 0,8 maka 0,05x 0,0 0.05 atau x,8 Dengan mengiris x 0,8 dan x,8 maka solusi yang diperoleh adalah 0,8 x,8. b. Untuk 0 x < 0,8 maka 0,05x + 0,0 0.05 atau x, Dengan mengiris 0 x < 0,8 dan x, maka solusi yang diperoleh adalah 0 x < 0,8. Jika jawaban (a) dan (b) digabung maka penyelesaian yang diperoleh adalah 0 x,8. Artinya penyimpangan lintasan peluru akibat pengaruh kecepatan angin dan hentakan senjata sebesar 0,05 m terjadi sejauh,8 m dari posisi awal. Permasalah di atas dapat dinyatakan dengan grafik sebagai berikut. y Ketinggian Prediksi lintasan y = 0,5x+0, Lintasan peluru peluru y = 0,475x+0,5 Jarak 0,8 Gambar. Lintasan Peluru x Dari Gambar., jelas kita lihat bahwa grafik lintasan peluru yang diprediksi mengalami penyimpangan. Penyimpangan sejauh 0,05 m akan terjadi sampai x =,8 m. 68 Kelas X SMA/MA/SMK/MAK Edisi Revisi
Secara umum, pertidaksamaan linear nilai mutlak dapat disajikan dalam bentuk: x a untuk a 0, a R x a untuk a 0, a R. Ingat pada pelajaran sebelumnya bahwa fungsi nilai mutlak tidak pernah bernilai negatif. Jika demikian, menurut pendapatmu, apa yang akan terjadi dalam bentuk umum di atas jika a < 0? Berikutnya, mari kita temukan penyelesaian pertidaksamaan linear nilai mutlak x a dan x a untuk a 0, a R. Kasus. x a untuk a 0, a R Dengan menggunakan Definisi. maka: Untuk x 0 maka x = x sehingga x a. untuk x < 0 maka x = x sehingga x a atau x a. Dengan demikian, solusi pertidaksamaan x a untuk a 0, a R adalah x a dan x a (atau sering dituliskan dengan a x a ). Kasus x a untuk a 0, a R Dengan menggunakan Definisi. maka: Untuk x 0 maka x = x sehingga x a Untuk x < 0 maka x = x sehingga x a atau x a Dengan demikian, solusi pertidaksamaan x a untuk a 0, a R adalah x a atau x a. Matematika 69
Diskusi Diskusikan dengan teman temanmu, apa yang menjadi penyelesaian umum pertidaksamaan linear nilai mutlak dengan bentuk umum: ax + b c untuk c 0, a, b, c, R ax + b c untuk c 0, a, b, c, R ax + b cx + d untuk a, b, c, R Kasus dan kasus dapat juga diselesaikan dengan memanfaatkan sifat x = x (lihat kembali Latihan.). Tentu saja, kita membutuhkan konsep persamaan kuadrat. Konsep persamaan kuadrat akan kamu pelajari pada Bab VII. Namun, mari kita pelajari sekilas penyelesaian pertidaksamaan kuadrat sebagai alternatif penyelesaian Masalah.8 dan.9 dengan memperhatikan contoh berikut: Contoh.5 Selesaikanlah pertidaksamaan berikut dengan metode umum x + x! Alternatif Penyelesaian Pertidaksamaan di atas dapat diselesaikan dengan memanfaatkan x = x x jika x 0 x = serta grafik. Perhaatikan langkah penyelesaian berikut! x jika x< 0 dan Langkah : Ingat bahwa x = x sehingga: Langkah : Menentukan pembuat nol. x= atau x= 4 Langkah : Letakkan pembuat nol dan tanda pada garis bilangan 70 Kelas X SMA/MA/SMK/MAK Edisi Revisi
Langkah 4: Menentukan interval penyelesaian. Dalam hal ini, interval penyelesaian merupakan selang nilai x yang membuat pertidaksamaan bernilai positif, sesuai dengan tanda pertidaksamaan pada soal di atas. Dengan demikian arsiran pada interval di bawah ini adalah interval penyelesaian pertidaksamaan tersebut. Langkah 5: Menuliskan kembali interval penyelesaian HP = xx 4 atau x Permasalahan di atas dapat diselidiki dengan memperlihatkan grafik y = x + dan grafik y = x +, untuk setiap x R. Berdasarkan grafik pada Gambar.4, kita memperoleh grafik sebagai berikut. Pertidaksamaan x + x dapat dilihat sebagai grafik fungsi f(x) = x + berada di atas grafik f(x) = x. Dari Gambar. terlihat bahwa pernyataan itu benar untuk nilai x dalam himpunan x x 4 atau x, x R. Matematika 7