STRUKTUR ALJABAR 1 Winita Sulandari FMIPA UNS
Pengantar Struktur Aljabar Sistem Matematika terdiri dari Satu atau beberapa himpunan Satu atau beberapa operasi yg bekerja pada himpunan di atas Operasi-operasi di atas memenuhi ketentuan atau aksioma tertentu
Pengantar Struktur Aljabar Struktur aljabar dengan satu himpunan dan satu operasi grup, semi grup, monoid, grupoid
Sruktur aljabar dengan satu himpunan dan lebih dari satu operasi gelanggang, lapangan, daerah integral, dll
Struktur aljabar dengan dua himpunan dan beberapa operasi ruang vektor, modul, dll
GRUP dan SUBGRUP
Operasi Biner (def 1.4.1) Bila A suatu himpunan, maka suatu Operasi biner T : A x A A adalah pemetaan yang mengawankan setiap pasang (a,b) A x A dengan satu unsur c A Notasi: T(a,b) = c a T b = c a. b = c, di mana a, b, c A.
Operasi biner Dengan kata lain Terdapat operasi antara unsur-unsur dalam himpunan A yang bersifat tertutup, setiap dua unsur dalam A, bila dioperasikan menghasilkan unsur ketiga yang juga unsur dalam A kembali.
Operasi Biner Dalam bahasa matematika: ( a,b A ) ( c A) a * b = c dimungkinkan c = a atau c = b atau a dan c b. c
Contoh Operasi Biner Operasi (+) dan (.) pada himp bil bulat (Z) Coba cek! Operasi * pada Z + dengan n*m = n m. Apakah biner?
GRUPOID Definisi 2.1.1 Suatu himpunan tidak kosong G dengan operasi biner ( *) di dalamnya, disebut grupoid Notasi: (G, *)
Contoh Grupoid (Z,+) (G,*) dgn G = { x, y, z } dan * x y z x x y y y y x y z z y x
Grupoid Abel Grupoid dengan sifat komutatif Jika (G, *) maka x, y G berlaku x * y = y * x
Semi Grup Definisi 2.1.2 Suatu grupoid (G, * ) disebut semi-grup, apabila terhadap operasi biner dalam G berlaku sifat asosiatif sebagai berikut: x, y, z G berlaku (x * y) * z = x * (y * z)
Contoh Semi Grup (Q,.) berlaku (n. m). p = n.( m. p ), n,m,p Q.
LATIHAN Bila R =R {-1} himpunan bil riil tanpa -1 dan operasi dalam R ditentukan sbb: x*y = x + y + xy, dengan x, y R. Apakah operasi * merupakan operasi biner?
LATIHAN Manakah di antara struktur aljabar berikut mrpk grupoid, grupoid yang komutatif dan yang berupa semi-grup: a). Operasi biner * dalam Z dgn a* b = a - b b). Operasi biner * dalam Q dgn a * b = ab + 1 c). Operasi biner * dalam Z + dgn a * b = 2 a b
LATIHAN Bila S himpunan berhingga, A(S) = { f : S S / f pemetaan bijektif } maka A(S) merupakan semi-grup terhadap operasi komposisi, jelaskan!
Sifat-sifat istimewa dalam grupoid Idempoten Mempunyai unsur identitas Mempunyai unsur invers Sifat-sifat tersebut kadang terdapat pada grupoid
Sifat idempoten Suatu unsur a G disebut idempoten jika a* a = a Contoh: 1. Unsur 0 dalam semi-grup ( Z,+ ) 2. Unsur 1 dan 0 dalam Semi-grup ( Z,. ) Latihan : Tentukan unsur idempotent pada Z 4 dan Z 6
Unsur Identitas Suatu unsur e G disebut unsur identitas kiri jika berlaku sifat: x G maka berlaku e * x = x. unsur e disebut identitas kanan jika x G maka x * e = x. Identitas kiri = identitas kanan e tunggal
Contoh unsur Identitas Unsur 0 dalam ( Z, + ) Unsur 1 dalam (Z,. ) unsur 1 dalam Z 6 dengan operasi perkalian modulo 6
Unsur Invers Pada grupoid ( G, * ) dgn unsur identitas e, unsur a G dikatakan mempunyai invers jika terdapat unsur a -1 G yang memenuhi a -1 *a = e = a * a -1
Contoh unsur invers Setiap n dalam (Z,+) mempunyai invers yaitu (-n). G = { a, b, c } dengan operasi biner seperti pada tabel sebagai berikut: * a b c a b a c b a b c unsur identitas : b a -1 =a dan b -1 =b, c -1 =? c a c a
Perhatikan tabel berikut G = { a, b, c } dengan operasi biner seperti pada tabel sebagai berikut: tentukan unsur identitas dan unsur inversnya? * a b c a b a c b a b c c a c b
GRUP Semi grup yang memuat unsur identitas dan setiap unsurnya mempunyai invers merupakan struktur aljabar yang disebut grup.
Grup (def 2.1.4) Suatu himpunan tidak kosong G merupakan suatu grup jika di dalam G terdapat operasi biner, misalkan. yang memenuhi sifat - sifat a,b,c G berlaku : a). Assosiatif : a. ( b. c ) = ( a. b ). c b). e G a. e = e. a = a c). a G a -1 G a. a -1 = a -1. a = e
Grup (def 2.1.4 ) Suatu himpunan tidak kosong G merupakan suatu grup jika di dalam G terdapat operasi * dan unsur-unsur dalam G memenuhi sifat a) tertutup: a,b G maka a *b = c dengan c G b) Assosiatif : a,b,c G berlaku a*(b*c ) = (a*b) *c c). e G a * e = e * a = a, a G d). a G a -1 G a * a -1 = a -1 * a = e
Contoh Grup A(S) = { f : S S / f pemetaan bijektif, S } dengan operasi komposisi (Z, +) (Z 6, +) Bagaimana dengan (Z,.) dan (Z 6,.), apakah keduanya Grup?
LATIHAN Apabila G = { 1, -1, i, -i } di mana i 2 = -1 dengan operasi dalam G adalah perkalian bilangan kompleks, Selidiki apakah ( G,. ) merupakan suatu grup.
LATIHAN Apakah struktur aljabar brkt mrpk suatu grup, bila jawab ya, buktikan dan bila jawab bukan, syarat grup mana yang tidak dipenuhi a). Himpunannya Z dengan operasi yang ditentukan a * b = ab b). Pada 2Z = { 2n / n Z } dengan operasi sebagai berikut: a * b = a + b
LATIHAN Selidiki manakah struktur aljabar berikut membentuk grup: a). Z = { 2n + 1 / n Z } dengan operasi + b). Z dengan operasi yang ditentukan a * b = a + b + 1
LATIHAN Buktikan dengan menggunakan tabel bahwa Z 4 merupakan grup terhadap penjumlahan modulo 4.
LATIHAN Himpunan H = { 1, 2, 3 } dengan operasi perkalian modulo 4, apakah merupakan grup? Bila bukan, syarat mana yang tidak dipenuhi. Bagaimana dengan himpunan K={1, 2, 3, 4} terhadap operasi perkalian modulo 5, jelaskan dengan bukti.
Grup Komutatif Apabila dalam grup G juga dipenuhi sifat a b = b a untuk setiap a,b G, maka grup G disebut sebagai grup komutatif Contoh : (Z, +)
Grup Komutatif Bagaimana dengan (Z,.)? Bukan merupakan grup karena tidak setiap unsur Z mempunyai invers
Grup Komutatif Jika M 2 (R) adalah semua matriks bertipe 2 x 2 dengan elemen-elemennya diambil dari himpunan bilangan riil, apakah merupakan suatu grup komutatif terhadap operasi perkalian matriks?
Jika M 2 (R) adalah semua matriks bertipe 2 x 2 dengan elemen-elemennya diambil dari himpunan bilangan riil, bukanlah suatu grup terhadap operasi pergandaan matriks. Jawab: Pandang 0 0 1 M 0 2 (R ), jelas bahwa 0 0 1 0 tidak mempunyai invers di dalam M 2 (R) Jadi M 2 (R) bukan grup terhadap pergandaan matriks. 38