Hitung Perataan Kuadrat Terkecil (Least Squares Adjustment) Metoda Kuadrat Terkecil adalah salah satu metoda yang paling populer dalam menyelesaikan masalah hitung perataan. Aplikasi pertama perataan kuadrat terkecil adalah dalam hitungan masalah astronomi oleh C. F. Gauss. Keunggulan dari sisi praktis makin nyata setelah berkembangnya komputer elektronik, formulasi teknik hitungan dalam notasi matriks, dan hubungannya dengan konsep kuadrat terkecil itu ke statistik. Model fungsional umum tentang sistem yang akan diamati harus ditentukan terlebih dahulu sebelum merencanakan pengukuran. Model fungsional ini ditentukan menggunakan sejumlah variabel (baik parameter Typeset by FoilTEX 1
maupun pengamatan) dan hubungan diantara mereka. Selalu ada jumlah minimum variabel bebas yang secara unik menentukan model tersebut. Sebuah model fisis, bisa saja memiliki beberapa model fungsional yang berlainan, tergantung dari tujuan pengukuran atau informasi yang diinginkan. Jumlah minimum variabel dapat ditentukan setelah tujuan pengukuran berhasil ditetapkan, tidak terikat pada jenis pengukuran yang perlu dilakukan. Sebagai contoh: 1. Bentuk sebuah segitiga pada bidang datar (sebuah model fungsional geometrik tertentu) dapat secara unik ditentukan dengan dua buah variabel (minimum). 2. Bentuk dan ukuran segitiga pada bidang datar membutuhkan minimum tiga buah variabel. Typeset by FoilTEX 2
3. Jika diperlukan juga posisi dan orientasi segitiga tersebut, maka perla ada tambahan tiga variabel lagi, sehingga diperlukan total enam variabel. Jumlah minimum variabel biasa disebut n 0. Jika jumlah pengamatan, n, lebih kecil daripada jumlah minimum yang diperlukan, maka akan muncul kondisi defisit. Jika n lebih besar daripada n 0 maka muncul redundancy, r, atau ukuran lebih atau derajat kebebasan (degree of freedom) dalam statistik dan perlu ada hitung perataan untuk mendapatkan satu set nilai estimasi yang unik. pdf2ps r = n n 0 dengan syarat n bebas linier satu sama lain. Typeset by FoilTEX 3
Prinsip Kuadrat Terkecil Karena sifat dasar stokastik pengamatan maka pengamatan lebih tidak selalu cocok dengan model fungsional. Setiap variabel bebas yang cukup dapat digunakan untuk memenuhi model fungsional yang dibuat. Dan karena sifat variabilitas yang acak, maka setiap variabel akan menghasilkan himpunan jawaban yang berlainan juga. Prinsip dasar adjustment adalah untuk menghasilkan suatu hasil estimasi yang unik untuk semua model variabel dengan suatu kriteria yang optimum. Kumpulan pengamatan original, l, beserta semua ukuran lebihnya, setelah hitung perataan akan diganti dengan ˆl yang sesuai dengan model. Selisih antara keduanya menghasilkan vektor koreksi atau residu, v v = ˆl l Typeset by FoilTEX 4
Nilai vaktor residu v ini yang menjadi objek analisi untuk melihat kesesuaian model dan pengambilan keputusan dalam membuang suatu pengamatan atau membuat model baru pengamatan (a.k.a optimisasi model). Karena adanya ukuran lebih, maka kemungkinan himpunan jawaban untuk v dan ˆl akan tak terhingga, tapi hanya akan ada satu yang konsisten dengan model yang dibuat, dan memenuhi kriteria prinsip kuadrat terkecil. Prinsip kuadrat terkecil menetapkan bahwa φ = v t Wv minimum Jika pengamatan diasumsikan sama sekali tidak berkorelasi satu sama lain, maka matriks berat/bobot W akan matriks diagonal, dan prinsip kuadrat terkecil menjadi φ = n (w i vi 2) minimum i=1 Typeset by FoilTEX 5
Lebih sederhana lagi apabila semua pengamatan dianggap memiliki presisi yang sama, maka φ = n (vi 2) minimum i=1 catatan: aplikasi prinsip kuadrat terkecil ini tidak memerlukan informasi awal tentang distribusi pengamatannya. Yang diperlukan hanya W atau Q yang terdefinisi dan diketahui. Kuadrat terkecil menjadi teknik yang paling banyak dipakai dalam berbagai bidang karena kemampuannya dalam membentuk suatu algoritma hitungan untuk jawaban yang unik meskipun untuk kasus yang sangat rumit. Typeset by FoilTEX 6
Model Fungsi Liniear dan Tidak Linier Penggunaan kuadrat terkecil pada umumnya menggunakan model fungsional yang linier karena model tidak linier lebih sulit dan lebih tidak praktis untuk diselesaikan (paling tidak sampai saat ini). Oleh karena itu, jika digunakan model yang tidak linier, maka perlu dilakukan kegiatan linierisasi. Perluasan deret dan deret Taylor biasa dipakai dalam kegiatan ini dengan hanya menggunakan orde ke nol dan orde ke satu dari deret tersebut. Bila perluasan deret digunakan, maka perlu ditentukan satu nilai pendekatan untuk variabel-variabel yang tidak diketahui (unknown) dalam persamaan tersebut. Linierisasi Typeset by FoilTEX 7
F (x) = 0 maka ekspansi deret orde nol dan orde pertama menjadi F (x 0 ) + F (c) x x=x 0 x = 0 Hasilnya adalah himpunan persamaan linier dalam bentuk U x = u m, p p, 1 m, 1 dengan u = F (x 0 ) Typeset by FoilTEX 8