Penduga Selang / Interval Estimator (Bagian II) Dr. Kusman Sadik, M.Si Departemen Statistika IPB, Genap 018/019
Solusi X1,, Xn N(θ, θ), berarti E(X) = θ dan Var(X) = θ, maka X ~N(θ, θ ). n Diantara bentuk pivotnya (mengapa?) : X θ θ n = n(x θ) ~N(0,1) θ Selang kepercayaan (1 α) dapat ditentukan sebagai berikut: P a < n(x θ) θ < b = 1 α 3
P a < n(x θ) θ < b = 1 α Nilai a dan b yang menghasilkan selang terpendek adalah: P Zα < n(x θ) θ < Zα = 1 α P n(x θ) θ < Zα = 1 α P nx nxθ + nθ < θz α = 1 α P nθ nx + Z α θ + nx < 0 = 1 α 4
P nθ nx + Z α θ + nx < 0 = 1 α Selesaikan persamaan untuk θ sebagai fungsi kuadrat: P nθ nx + Z α θ + nx < 0 = 1 α nθ nx + Z α θ + nx = 0 θ 1, = θ 1, = nx + Z α nx + Z α ± nx + Z α 4 n (nx ) n 4 ± 4nXZ α + Z α n 5
θ 1, = nx + Z α 4 ± 4nXZ α + Z α n Jadi selang kepercayaan (1 α) bagi θ adalah a < θ < b dimana: a = dan nx + Z α 4 4nXZ α + Z α n b = nx + Z α 4 + 4nXZ α + Z α n 6
7
Solusi untuk (a) X Uniform(θ - ½, θ + ½), untuk mencari pivot bisa digunakan konsep umum pada Tabel 9..1, misalkan cek apakah Y = X - θ merupakan pivot? Untuk hal tersebut harus dicari dulu fungsi kepekatan peluang bagi peubah acak Y. 8
Perhatikan Teorema untuk transformasi peubah acak sebagai berikut: Misalkan X adalah p.a. dengan fkp f X (x) pada gugus S R, dan didefinisikan fungsi h : S T sebagai tranformasi satu-satu (oneto-one), sehingga inversnya x = h -1 (y), y T. Anggap bahwa untuk y T, turunan (dh -1 (y))/dy ada, kontinu dan tidak sama dengan 0. Maka fungsi kepekatan peluang bagi p.a. yang didefinisikan Y = h(x) adalah: f Y (y) = 1 f X ( h ( y)) dx dy, y T 9
f Y (y) = 1 f X ( h ( y)) dx dy, y T Karena X Uniform(θ - ½, θ + ½), maka: f X (x) = 1, θ - ½ < x < θ + ½ Kemudian didefinisikan Y = X θ, sehingga X = Y + θ. Fungsi kepekatan peluang bagi peubah acak Y: 1 dx 1 f Y (y) = f ( ( )) (1) 1 1, 1 X h y y dy atau (Y = X θ) Uniform(-½, ½) Karena f Y (y) tidak mengandung θ, maka Y = X θ merupakan pivot. 10
Berdasarkan pivot tersebut, selang kepercayaan (1 α) dapat ditentukan sebagai berikut: P a < Y < b = P a < X θ < b = 1 α a b f(x θ)dx b = 1dx a = b a = 1 α Tentukan nilai a dan b berdasarkan persamaan di atas dan merupakan selang terpendek, yaitu meminimumkan (b a). Karena Uniform, maka salah satu hubungan a dan b adalah a = -b, sehingga: b a = b b = 1 α 11
b a = b b = 1 α b = 1 α dan a = 1 + α Sehingga penduga selang bagi θ dengan koefisien kepercayaan (1 α) adalah: 1 + α < X θ < 1 α 1
1 + α < X θ < 1 α X 1 + α < θ < X + 1 α X + 1 α > θ > X 1 + α X 1 + α < θ < X + 1 α 13
Pada beberapa sebaran, selang kepercayaan bagi penduga parameternya sulit diselesaikan, karena transformasi sebarannya sulit diselesaikan. Salah satu caranya adalah dengan melakukan pendekatan terhadap koefisen kepercayaannya. 14
Pendekatan tersebut dapat dilakukan apabila jumlah contoh (n) cukup besar, yaitu melalui Teorema Limit Pusat (TLP). X n E(X n ) Var(X n ) ~ N(0,1) 15
Berdasarkan contoh acak X1, X,..., Xn dari suatu sebaran Binomial(1, p), tentukan selang kepercayaan bagi p dengan pendekatan koefisien kepercayaan 1 -. Untuk menentukan selang kepercayaan tersebut diperlukan mengetahui E X n dan Var(X n ), dengan n cukup besar. Karena X menyebar Binomial(1, p), maka dapat ditentukan bahwa E X n = p dan Var X n = p(1-p)/n. 16
E X n = p dan Var X n = p(1-p)/n. Berdasarkan TLP dapat ditentukan bahwa: X n E(X n ) Var(X n ) = X n p p(1 p)/n = n(x n p) p(1 p) ~ N(0,1) n(x n p) X n (1 X n ) N(0,1) 17
Selang kepercayaan bagi p dengan pendekatan koefisien kepercayaan 1 - adalah: P Zα < n X n p X n 1 X n < Zα 1 α Sehingga selang kepercayaan bagi p dengan pendekatan koefisien kepercayaan 1 - adalah: X n Zα. X n 1 X n n < p < X n + Zα. X n 1 X n n 18
Berdasarkan contoh acak X1, X,..., Xn dari suatu sebaran Poisson( ), tentukan selang kepercayaan bagi dengan pendekatan koefisien kepercayaan 1 -. Untuk menentukan selang kepercayaan tersebut diperlukan mengetahui E X n dan Var(X n ), dengan n cukup besar. Karena X menyebar Poisson( ), maka dapat ditentukan bahwa E X n = dan Var X n = /n. 19
Berdasarkan TLP dapat ditentukan bahwa: X n E(X n ) Var(X n ) = X n /n = n(x n ) ~ N(0,1) n(x n ) X n N(0,1) Selang kepercayaan bagi dengan pendekatan koefisien kepercayaan 1 - adalah: P Zα < n X n X n < Zα 1 α 0
P Zα < n X n X n < Zα 1 α Sehingga selang kepercayaan bagi dengan pendekatan koefisien kepercayaan 1 - adalah: X n Zα. X n n < < X n + Zα. X n n 1
1 3
4
3 5
4 6
1. Casella, B. and R.L. Berger. 00. Statistical Inference, nd Edition. Duxbury.. Hogg, R., Mc Kean, and Craig, A. 005. Introduction to Mathematical Statistics, 6 th Edition. Prentice Hall. 3. Pustaka lain yang relevan. 7
Bisa di-download di kusmansadik.wordpress.com 8
9