2. Deret Fourier Pada bab i kita akan membahas deret Fourier dari fungsi periodik. Pendekatan yang dipilih dalam diktat i sama dengan pendekatan dalam buku Fourier Analysis and Its Applications karangan G.B. Folland (Wadsworth 992). Untuk kemudahan kita akan lebih banyak bekerja dengan fungsi eksponensial kompleks e iθ daripada fungsi trigonometri cos θ dan s θ. Ingat bahwa fungsi-fungsi i terkait oleh rumus e iθ = cos θ + i s θ cos θ = 2 (eiθ + e iθ ) dan s θ = 2i (eiθ e iθ ). Kelebihan fungsi cosus dan sus adalah bahwa mereka bernilai real dan mempunyai sifat simetri, sementara kelebihan fungsi eksponensial adalah rumus turunan (e iθ ) = ie iθ dan rumus jumlah e i(θ+ϕ) = e iθ e iϕ yang relatif lebih sederhana. 2. Deret Fourier dari fungsi periodik Misalkan f(θ) adalah sebuah fungsi bernilai kompleks yang terdefisi pada R sedemikian sehgga f(θ + 2π) = f(θ) θ R, yakni f periodik dengan periode 2π. Asumsikan pula bahwa f tertegralkan Riemann pada sebarang terval terbatas (i dipenuhi bila, misalnya, f terbatas dan kontu kecuali di sejumlah terhgga titik pada sebarang terval terbatas). Kita g mengetahui kapankah f dapat diuraikan sebagai deret f(θ) = 2 a 0 + (a n cos nθ + b n s nθ). Di si 2 a 0 merupakan koefisien fungsi konstan = cos 0θ, dan faktor 2 sengaja diikutsertakan untuk kemudahan yang akan kita lihat nanti. Tidak ada b 0 karena s 0θ = 0.
dengan atau Menggunakan rumus di atas, persamaan tadi dapat dituliskan sebagai f(θ) = c n e θ c 0 = 2 a 0; c n = 2 (a n ib n ) dan c n = 2 (a n + ib n ), n N a 0 = 2c 0 ; a n = c n + c n dan b n = i(c n c n ), n N. Untuk menjawab pertanyaan di atas, kita mencoba terlebih dahulu mencari syarat perlunya. Jika kita mempunyai persamaan di atas, bagaimana koefisien c n dapat dihitung dalam f? Dengan mengalikan kedua ruas dengan e ikθ (k Z, kemudian tegralkan dari sampai π, kita peroleh (dengan menganggap bahwa tegral deret sama dengan deret tegral) Tetapi untuk n k sementara untuk n = k f(θ)e ikθ = e i(n k)θ dθ = e i(n k)θ = c n i(n k) ei(n k)θ π e i(n k)θ dθ. dθ = 2π. = 0, Jadi satu-satunya suku yang bertahan dalam deret tadi adalah suku ke-k, sehgga kita dapatkan f(θ)e ikθ dθ = 2πc k. Dengan menamai kembali k sebagai n, kita peroleh rumus untuk koefisien c n, yakni c n = f(θ)e θ dθ, n Z. 2π Dari si kita peroleh a 0 = 2c 0 = π f(θ)dθ 2
dan untuk n =, 2, 3,... a n = c n + c n = π b n = i(c n c n ) = π f(θ) cos nθdθ f(θ) s nθdθ. Perhatikan bahwa rumus untuk a n berlaku pula untuk n = 0 karena faktor 2 telah kita ikutsertakan sejak awal. yang sengaja Defisi. Misalkan f periodik dengan periode 2π dan tertegralkan pada [, π]. Bilangan c n, atau a n dan b n, sebagaimana dirumuskan di atas, disebut sebagai koefisien Fourier dari f, sementara deret c n e θ atau disebut sebagai deret Fourier dari f. 2 a 0 + (a n cos nθ + b n s nθ) Catat bahwa yang telah kita dapatkan saat i baru syarat perlunya saja, belum syarat cukup. Yakni, jika kita mempunyai sebuah fungsi f yang periodik dengan periode 2π dan tertegralkan pada [, π], maka kita dapat menghitung koefisien-koefisien Fourier dan deret Fourier dari fungsi tersebut. Namun pertanyaan apakah f sama dengan deret Fouriernya, atau apakah deret Fourier dari f konvergen (titik demi titik) ke f, sama sekali belum terjawab. 2.2 Contoh dan Ketaksamaan Bessel Sebelum kita menjawab pertanyaan pentg tadi, kita tjau terlebih dahulu dua buah contoh berikut. Contoh. Misalkan f periodik dengan periode 2π dan f(θ) = θ, θ π. Maka, dengan menggat bahwa f merupakan fungsi genap, kita peroleh a 0 = π, a n = 2 ( ) n π n 2 dan b n = 0 untuk setiap n N. Perhatikan bahwa ( ) n = 0 bila n genap, dan ( ) n = 2 bila n ganjil. Dengan demikian deret Fourier dari f adalah π 2 4 cos nθ. π n2,3,5,... 3
Contoh 2. Misalkan g periodik dengan periode 2π dan g(θ) = θ, < θ π. Maka c 0 = 0 dan c n = ( )n+ untuk setiap n 0. Jadi deret Fourier dari g adalah ( ) n+ n 0 e θ atau, menggat ( ) n = ( ) n dan eθ 2 + e θ = 2 n ( ) n+ s nθ. n s nθ, Mari kita lihat apakah deret Fourier dari masg-masg fungsi tersebut konvergen titik demi titik ke fungsi semula, dengan mengamati kecenderungan beberapa jumlah parsial pertamanya. [Gambar 2.2a: Fungsi f dan deret Fouriernya] [Gambar 2.2b: Fungsi g dan deret Fouriernya] Ketaksamaan berikut memberikan suatu hampiran untuk koefisien Fourier, yang kelak diperlukan dalam pembahasan kekonvergenan deret Fourier. Ketaksamaan Bessel. Jika f periodik dengan periode 2π dan tertegralkan Riemann pada [, π], maka koefisien Fourier c n yang ditentukan oleh rumus di atas memenuhi ketaksamaan c n 2 f(θ) 2 dθ. 2π Catatan. Menggat a 0 2 = 4 c 0 2 dan a n 2 + b n 2 = 2( c n 2 + c n 2 ) untuk n, kita peroleh 4 a 0 2 + 2 ( a n 2 + b n 2 ) = 4 c n 2 f(θ) 2 dθ. 2π
Bukti. Karena z 2 = z z, maka untuk setiap θ [, π] dan N N berlaku f(θ) c n e θ 2 = f(θ) 2 [c n f(θ)e θ c n f(θ)e θ ] + m, c m c n e i(m n)θ. Bagi kedua ruas dengan 2π dan tegralkan pada [, π], dengan menggat rumus koefisien c n pada 2.: π f(θ) 2π c n e θ 2 dθ = f(θ) 2 dθ 2π Karena tegral di ruas kiri tak mungk negatif, maka π f(θ) 2 dθ 2π dan i berlaku untuk setiap n N. [QED] c n 2, c n 2. Akibat (Lemma Riemann-Lebesgue). Koefisien Fourier c n menuju 0 bila n. Koefisien Fourier a n dan b n menuju 0 bila n. Bukti. a n 2, b n 2, dan c n 2 merupakan suku ke-n deret yang konvergen, dan karenanya mereka menuju 0 dan demikian pula halnya dengan a n, b n, dan c n. [QED] 2.3 Soal Latihan. Verifikasi hubungan antara a n, b n, dan c n yang dibahas pada 2.. 2. (a) Verifikasi perhitungan koefisien a n dan b n pada Contoh. (b) Verifikasi perhitungan koefisien c n pada Contoh 2. 3. Verifikasi hubungan antara a n, b n, dan c n yang dyatakan sebagai Catatan pada 2.2. 5