MTRIKS INVERSI & SIFT-SIFTNY Bil, x, dlh sklr ilngn rel yng memenuhi x, mk x pil. Sekrng, untuk sistem persmn linier x pkh solusi x dpt diselesikn dengn x? Mtriks Identits Untuk sklr (rel numer dn ), mk. Untuk mtriks (n x n), pil mempunyi, mk I n Mtriks identits erikut: I n didefinisikn segi mtriks (n x n) segi I n : : : : I ; I
TEOREM Bil B dlh mtriks (m x n), mk I m B B dn BI n B. Demikin pul, il dlh mtriks (n x n), n mk In I n I pd dsrny dlh I [ l l... ln ] n l : l : ln : Mtriks Inversi Definisi Seuh mtriks jik memenuhi B (n x n) dlh invers dri mtriks (n x n) B B I. n
Contoh: 4 B Tunjukkn hw mtriks erikut ini tidk memiliki invers. 6 Jw: Ktknlh d c B + + + + 6 6 6 d c d c I d c B sehingg dn + c 6 + c tidk d solusi tidk d inversi
TEOREM Bil B dn C dlh invers dri mtriks, mk B C. Bil mtriks mempunyi invers, mk inversny dlh unik. Formul sederhn untuk menghitung invers mtriks (x): Mtriks segi erikut: c d il d c mk. jik, mk tidk mempunyi invers. jik, mk mempunyi invers segi erikut: d c c d d c d c d c
Contoh: 6 8 7 B 4 Jw: Mtriks : 4(6) (8) 4 4 Mtriks tidk mempunyi invers, se Mtriks B: () 7() 6, mk B mempunyi invers yitu: 7 B 6.
SIFT-SIFT INVERS MTRIKS TEOREM 4 dn B dlh mtriks (n x n) yng keduny mempunyi invers, mk:. mempunyi seuh invers, dn ( ) B B. B mempunyi invers, dn ( ). Bil k dlh sclr tk nol, mk k mempunyi seuh k k invers, dn ( ) 4. T mempunyi invers, dn ( T ) ( ) T Contoh: dn B dlh mtriks-mtriks (x) segi erikut: B 4. Gunkn formul sederhn untuk menghitung B ( B),,. Gunkn teorem 4 untuk menghitung ( B ) c. Perlihtkn hw ( B) B
INVERS MTRIKS DN SISTEM PERSMN LINIER TEOREM x dlh seuh sistem persmn linier (n x n), dn nggp mempunyi invers. Mk sistem terseut mempunyi solusi yng unik ykni: x Contoh: Tentukn solusi SPL segi erikut: x + x x + 4x Jw: Mtriks koefisien 4 ; mk: x x x dn x
Cttn: x mempunyi solusi x hny il merupkn mtriks ujur sngkr dn mempunyi invers. Meskipun demikin, meski mempunyi invers, mereduksi mtriks yng diperesr [ ] dindingkn dengn menghitung. dlh leih efisien Dri sudut pndng komputsi, metode eliminsi Guss leih disuki untuk memechkn sistem persmn linier x.
MENENTUKN INVERS DRI SEBUH MTRIKS TK SINGULR TEOREM 6 Bil (n x n) dlh seuh mtriks tk singulr, mk d seuh mtriks B (n x n) sedemikin rup sehingg B I. Contoh: Seuh mtriks ( x ) segi erikut: Perlihtkn hw tk singulr dn tentukn mtriks B ( x ) sedemikin rup sehingg B I. Jw: SPL homogen x θ mempunyi mtriks yng diperesr segi erikut:
[ ] θ, il direduksi ke dlm entuk eselon, diperoleh C SPL homogen terseut mempunyi solusi trivil, mk dlh mtriks tk singulr, sehingg x kn mempunyi solusi yng unik untuk setip vektor ( x ). Mtriks Identits I ( x ) [ ] l l l I mtriks [ ] x x x B Dengn demikin: l x, l x, l x kn jug mempunyi solusi yng unik.
Persmn linier l x mempunyi mtriks yng diperesr segi erikut: [ ] l Bentuk eselon: x,, x x mk, dengn cr yng sm diperoleh dn. Dengn demikin, mtriks B (invers dri mtriks ): [ ],, B check!
TEOREM 7 Bil dn B dlh mtriks (n x n) sedemikin rup sehingg B I, mk B I. Dlm hl ini B TEOREM 8 Seuh mtriks (n x n) mempunyi invers, jik dn hny jik tk singulr. TEOREM 9 dlh mtriks (n x n). Berikut ini erlku:. tk singulr, yitu x θ hny merupkn solusi x θ. Vektor-vektor kolom mtriks tk ergntungn linier.. x sellu mempunyi solusi x yng unik. 4. mempunyi invers.
Cr lin menghitung invers mtriks Segi ilustrsi, mislkn (x) seuh mtriks tk singulr yng seelumny telh dijelskn. segi mtriks [ ] B. Dlm hl ini,, dlh solusi tunggl dri SPL erikut: l l l Dri kli melkukn reduksi mementuk mtriks eselon, sekrng cukup stu kli: [ l l l] mtriks (x6) [ I ] [ I B] [ I ]
Contoh: 4 [ ] [ ] I 4 l l l, R R R R 7 R R + entuk eselon 7, R R R R + 7 7 6 9 R R [ ] B I 7 7 6 7 4 7 7 6 7 4 B
DETERMINN Didefinisikn hny untuk mtriks ujur sngkr Definisi ( ij ) dlh mtriks (x). Determinn dlh: det( ) notsi: det( ) Contoh: Tentukn determinn mtriks-mtriks segi erikut: 4 B 6 8 Jw: det( ) + 4 det( B ) 4 4 6 8
Definisi dlh mtriks (x). Determinn dlh det( ) + Definisi M rs ( ij ) dlh mtriks (n x n). dlh mtriks (n-)x(n-) yng diperoleh dengn menghilngkn ris ke-r dn kolom ke-s. Mtriks M diktkn segi mtriks minor dri mtriks. rs Selnjutny: i+ j ij ) det( M ) yng diktkn segi kofktor. ( ij Contoh: M M Tentukn minor mtriks-mtriks, dn untuk M mtriks segi erikut: 4 Hitung pul kofktor, dn
Jw: M diperoleh dengn menghilngkn ris dn kolom pd mtriks : diperoleh M, 4 dengn cr yng sm: diperoleh M 4 4 diperoleh M 4 Kofktor: + ( ) det M.+. 8 + ( ) det M (. +.4) 9 + ( ) det M ( 4) 7
Definisi ( ij ) dlh mtriks (n x n). Determinn dlh: det( + ) +... n n dimn dlh kofktor, ij ij j n. Contoh: Hitung determinn mtriks segi erikut: 4 Jw: det( ) + + + 4 4 () (4) + ( 4) 9
Contoh: Hitung determinn mtriks segi erikut: Jw: 4 4 4 ) det( + + + + + + 8 4 6 6 ) det( 4 + +
Sol: Hitung determinn mtriks segitig wh segi erikut: T 4 solusi: det( T ) t T + t T + t T + t kren t t t, mk 4 det( T ) t T 4 4 T 4
TEOREM T ( t ij ) dlh mtriks segitig wh (n x n). Mk, det( T ) t t t... t nn Contoh: In dlh mtriks identits (n x n). Hitung determinn I n. Jw: Kren I dpt diktkn segi mtriks segitig wh dengn elemen-elemen digonl, mk: det( I )...
OPERSI ELEMENTER DN DETERMINN TEOREM Bil dlh mtriks (n x n), mk det( T ) det( ). TEOREM [ n ]... dlh mtriks (n x n). Bil B diperoleh dri mellui pertukrn kolom tu ris, mk: det( B) det( )
Contoh: Tentukn determinn dri mtriks-mtriks segi erikut: 4 B 4 C 4 F 4 Dlm hl ini [ ] B [ ] C [ ] F [ ] det( ) det( B ) det( C) det( ) + [ ] F [ ] G mk, det( G) det( ) dn det( F) det( G), selnjutny [ det( ) ] det( ) det( F ) det( G)
TEOREM 4 Bil dlh mtriks (n x n), dn il B dlh mtriks (n x n) yng diperoleh dengn menglikn kolom ke-j (tu ris ke-j) mtriks dengn seuh sklr c, mk: det( B ) c det( ) contoh: c ' c '' c c ' det( ) c c c( ) c det( ) '' det( ) c c c( ) c det( )
TEOREM 4. dlh mtriks (n x n) dn c dlh seuh sklr, mk: det( c) c n det( ) Contoh: Hitung determinn () 4 Jw: det( ) 7 det( c ) 7 6 check: 6 det( ) 9 7 6 Microsoft Eqution.