ANALISIS SURVIVAL DAN APLIKASINYA DALAM BIDANG PENDIDIKAN (STUDI KASUS DI JAKARTA SELATAN) ANWAR SYARIFUDDIN

Transkripsi

1 ANALISIS SURVIVAL DAN APLIKASINYA DALAM BIDANG PENDIDIKAN (STUDI KASUS DI JAKARTA SELATAN) ANWAR SYARIFUDDIN SEKOLAH PASCASARJANA INSTITUT PERTANIAN BOGOR BOGOR 2012

2

3 PERNYATAAN MENGENAI TESIS DAN SUMBER INFORMASI Dengan ini saya menyatakan bahwa tesis berjudul Analisis Survival dan Aplikasinya dalam Bidang Pendidikan: Studi Kasus di Jakarta Selatan adalah karya saya dengan arahan dari komisi pembimbing dan belum diajukan dalam bentuk apapun kepada perguruan tinggi manapun. Sumber informasi yang berasal atau dikutip dari karya yang diterbitkan maupun yang tidak diterbitkan dari penulis lain telah disebutkan dalam teks dan dicantumkan dalam Daftar Pustaka di bagian akhir tesis ini. Bogor, Agustus 2012 Anwar Syarifuddin NRP G

4

5 ABSTRACT ANWAR SYARIFUDDIN. Survival Analysis and its Application in Education. Case Study in South Jakarta. Supervised by HADI SUMARNO and RETNO BUDIARTI. Survival data are observational data measured in certain period until the occurrence of an event, i.e. death, response, or onset of symptoms. Cohort of grade 1 to 6 of elementary school students are examples of the survival data. Survival data can be analyzed using life table, Kaplan-Meier, or Cox proportional hazard methods. The aim of this study is to analyze conditions of education in Indonesia using survival models. The data are obtained from elementary schools in South Jakarta using purposive sampling. This study shows that survival analysis using life table and Kaplan-Meier methods give the same result. Meanwhile, Cox proportional hazard method can not be applied, because the hazard functions between characteristics are not proportional. Furthermore, some statistical tests show that gender, as well as status and type of school, do not significantly affect the length of study. Keywords: survival data, education data, survival analysis, purposive sampling

6

7 RINGKASAN ANWAR SYARIFUDDIN. Analisis Survival dan Aplikasinya dalam Bidang Pendidikan: Studi Kasus di Jakarta Selatan. Dibimbing oleh HADI SUMARNO dan RETNO BUDIARTI Salah satu upaya pemerintah dalam meningkatkan kuantitas dan kualitas pendidikan adalah menyelenggarakan Program Wajib Belajar (Wajar) 6 tahun mulai tahun 1984, Program Wajib Belajar 9 tahun mulai tahun 1994 dan rencananya Program Wajib Belajar 12 tahun akan dilakukan tahun Agar program pendidikan dasar tersebut dapat mencapai sasaran, maka dilaksanakan di tiap-tiap daerah. Kohort peserta didik kelas I sampai dengan kelas VI salah satu ukuran terlaksananya program wajib belajar merupakan contoh dari data survival. Data survival adalah data pengamatan jangka waktu dari awal pengamatan sampai terjadinya peristiwa. Data survival dapat dianalisa menggunakan metode Life Table, metode Kaplan-Meier dan metode hazard proporsional Cox. Analisis survival telah banyak digunakan pada bidang demografi, salah satunya untuk memprediksi jumlah penduduk di masa mendatang. Bidang aktuaria atau asuransi juga menggunakan analisis survival untuk menentukan besar premi yang akan dibayar oleh pemegang asuransi. Selain itu, analisis survival juga digunakan di bidang kesehatan dalam menentukan berapa peluang seseorang dapat bertahan hidup (survival time) dalam jangka waktu tertentu. Analisis survival dapat juga digunakan dalam bidang pendidikan. Analisis survival dalam bidang pendidikan telah dilakukan oleh Sariyanto (2011) yang berjudul Model Multi State Life Table dengan tujuan mengkaji, memodifikasi dan menyusun Life Table pendidikan dasar dan menengah Kabupaten Sintang. Berdasarkan hal tersebut di atas, maka penelitian ini bertujuan menganalisis menggunakan metode Life Table, metode Kaplan-Meier, metode hazard proporsional Cox, menerapkan metode Life Table, Kaplan-Meier, hazard proporsional Cox pada data pendidikan di Indonesia dan membandingkan lama belajar dan keberlanjutan studi menurut gender, status sekolah, jenis sekolah pada program wajib belajar 6 tahun di Jakarta Selatan. Penelitian ini menggunakan data sekunder yang diperoleh dari 2 Sekolah Dasar (SD) dan 2 Madrasah Ibtidaiyah (MI) regular di Jakarta Selatan pada tahun 2011 yang dipilih secara purposif. Data SD dan MI yang diambil dari bulan Juni 2002 hingga Juli Kemudian menganalisis data pendidikan dengan menggunakan metode Life Table, Kaplan-Meier, hazard proporsional Cox dan membandingkan lama belajar dan keberlanjutan studi menurut gender, status sekolah, dan jenis sekolah. Selanjutnya dilakukan uji statistik dengan menggunakan uji Kolmogorov Smirnov untuk melihat nyata atau tidak nyata datanya. Dari hasil penelitian ini dapat disimpulkan: 1) metode Life Table hanya dapat digunakan untuk data dengan selang sama, sedangkan metode Kaplan-Meier dapat digunakan untuk data dengan selang berbeda-beda dan untuk menganalisis data dengan kovariat yang besar lebih sesuai digunakan metode proposional hazard Cox, 2) Hasil analisis metode Life Table, dan metode Kaplan-Meier berbeda dengan metode proporsional hazard Cox. Perbedaan terjadi diduga karena fungsi hazard antar karakteristik tidak proporsional, sehingga asumsi proporsional

8 dalam model Cox gagal dipenuhi, 3) hasil analisis kelanjutan studi dengan menggunakan metode Life Table dan Kaplan-Meier menghasilkan kesimpulan yang sama. Karena di pendidikan secara umum tidak menentukan waktu siswa keluar/tidak naik maka lebih sesuai digunakan metode Life Table untuk menganalisis data keberlanjutan studi, 4) berdasarkan uji Kolmogorov-Smirnov pada metode Life Table dan Kaplan-Meier ternyata tidak ada perbedaan kelanjutan studi dan lama studi siswa perempuan dengan siswa laki-laki, siswa sekolah swasta dengan siswa sekolah negeri dan siswa sekolah umum dengan siswa madrasah. Kata-kata kunci: data survival, data pendidikan, analisis kelanjutan studi, sampel purposif.

9 Hak Cipta milik IPB, tahun 2012 Hak Cipta dilindungi Undang-undang Dilarang mengutip sebagian atau seluruh karya tulis ini tanpa mencantumkan atau menyebutkan sumbernya. Pengutipan hanya untuk kepentingan pendidikan, penelitian, penulisan karya ilmiah, penyusunan laporan, penulisan kritik, atau tinjauan suatu masalah; dan pengutipan tersebut tidak merugikan kepentingan yang wajar IPB Dilarang mengumumkan dan memperbanyak sebagian atau seluruh karya tulis dalam bentuk apa pun tanpa izin IPB

10

11 ANALISIS SURVIVAL DAN APLIKASINYA DALAM BIDANG PENDIDIKAN (STUDI KASUS DI JAKARTA SELATAN) ANWAR SYARIFUDDIN Tesis sebagai salah satu syarat untuk memperoleh gelar Magister Sains pada Program Studi Matematika Terapan SEKOLAH PASCASARJANA INSTITUT PERTANIAN BOGOR BOGOR 2012

12 Penguji Luar Komisi pada Ujian Tesis: Dr. Ir. Endar H. Nugrahani, M.S.

13 Judul Tesis : Analisis Survival dan Aplikasinya dalam Bidang Pendidikan (Studi Kasus di Jakarta Selatan) Nama : Anwar Syarifuddin NRP : G Disetujui Komisi Pembimbing Dr. Ir. Hadi Sumarno, M.S. Ketua Ir. Retno Budiarti, M.S. Anggota Diketahui Ketua Program Studi Matematika Terapan Dekan Sekolah Pascasarjana Dr. Ir. Endar H. Nugrahani, M.S. Dr. Ir. Dahrul Syah, M.Sc.Agr. Tanggal Ujian: 29 Agustus 2012 Tanggal Lulus:

14

15 PRAKATA Puji dan syukur penulis panjatkan kepada Allah SWT atas segala karunia dan kasih-nya sehingga karya ilmiah ini berhasil diselesaikan. Tema yang dipilih dalam penelitian yang dilaksanakan sejak bulan Juli 2011 ini adalah Analisis Survival dan Aplikasinya dalam Bidang Pendidikan. Ungkapan terima kasih yang setulusnya penulis sampaikan kepada: 1. Kementerian Agama Republik Indonesia, selaku sponsor bea siswa; 2. Bapak Dr. Ir. Hadi Sumarno, M.S., sebagai ketua komisi pembimbing; 3. Ibu Ir. Retno Budiarti, M.S., sebagai anggota komisi pembimbing; 4. Ibu Dr. Ir. Endar H. Nugrahani, M.S., sebagai penguji luar komisi; 5. Kepala MTs Negeri 23 Jakarta, yang telah memberikan izin tugas belajar; 6. Kepala Dinas Pendidikan Pemerintah Provinsi DKI Jakarta; 7. Kepala Dinas Kementrian Agama Pemerintah Provinsi DKI Jakarta; 8. Alm ayahanda, almh ibunda, istriku, anakku, dan seluruh keluarga besarku; 9. Rekan-rekan guru dan karyawan MTs Negeri 23 Jakarta; 10. Rekan-rekan guru dan karyawan SMA SULUH Jakarta; 11. Rekan-rekan mahasiswa Matematika Terapan tahun Terima kasih atas bimbingan, motivasi, segala doa, serta kasih sayangnya. Tidak lupa ucapan terima kasih penulis sampaikan juga kepada semua pihak yang telah turut membantu dalam penulisan tesis ini. Penulis menyadari bahwa dalam tulisan ini masih jauh dari sempurna, oleh sebab itu mohon masukan dan kritikan yang membangun demi kesempurnaan di masa mendatang. Akhirnya, semoga karya ilmiah ini bermanfaat. Bogor, Agustus 2012 Anwar Syarifuddin

16

17 RIWAYAT HIDUP Penulis dilahirkan di Magelang pada tanggal 10 September 1969 dari ayah Aminuddin dan ibu Sudjimah. Penulis merupakan putra ketiga dari lima bersaudara. Tahun 1992 penulis melanjutkan ke FKIP IKIP Muhammadiyah Jakarta pada Program Studi Pendidikan Matematika S1 dan lulus pada tahun Sejak tahun 1995 sampai 2005 penulis bekerja sebagai guru matematika di MTs Negeri 12 Jakarta dan sejak tahun 2000 sampai sekarang mengajar di SMA SULUH Jakarta Selatan. Kemudian tahun 2005 penulis diterima menjadi Calon Pegawai Negeri Sipil (CPNS) di Departemen Agama Jakarta dan ditugaskan mengajar matematika di MTs Negeri 16 Jakarta Timur sampai tahun 2007 kemudian dimutasikan ke MTs Negeri 23 Jakarta Selatan sampai sekarang. Pada tahun 2009 penulis mengikuti seleksi beasiswa S-2 dari Kementerian Agama RI, dan alhamdulillah penulis berkesempatan mendapatkan beasiswa tersebut. Bulan Juli 2009, penulis mulai mengikuti perkuliahan S-2 pada Program Studi Matematika Terapan di IPB dan berhasil menyelesaikan studi pada bulan Agustus 2012.

18

19 DAFTAR ISI DAFTAR TABEL... Halaman DAFTAR GAMBAR... xxiii DAFTAR LAMPIRAN... 1 PENDAHULUAN Latar Belakang Tujuan Penelitian Manfaat Penelitian TINJAUAN PUSTAKA Definisi Metode yang digunakan METODE PENELITIAN Sumber Data Langkah-langkah Penelitian Model dan Penyusunan Tabel HASIL DAN PEMBAHASAN Metode Life Table Metode Kaplan-Meier Membandingkan Dua Grup Metode Hazard Proporsional Cox Aplikasi Model Data Pendidikan SIMPULAN DAN SARAN Simpulan Saran xxi xxv DAFTAR PUSTAKA LAMPIRAN... 27

20

21 DAFTAR TABEL Halaman 1. Jumlah siswa berisiko dan melanjutkan studi pada waktu ke-j Hasil analisis metode hazard proporsional Cox... 18

22

23 DAFTAR GAMBAR Halaman 1. Keterkaitan kejadian aktif, mengulang, dan keluar Grafik fungsi kelanjutan studi SD/MI pada metode Life Table Grafik fungsi kelanjutan studi SD/MI pada metode Kaplan-Meier Grafik Life Table fungsi kelanjutan studi siswa laki-laki dan perempuan Grafik Life Table fungsi kelanjutan studi siswa negeri dan swasta Grafik Life Table fungsi kelanjutan studi siswa umum dan madrasah Grafik Kaplan-Meier fungsi kelanjutan studi siswa laki-laki dan perempuan Grafik Kaplan-Meier fungsi kelanjutan studi siswa negeri dan swasta Grafik Kaplan-Meier fungsi kelanjutan studi siswa umum dan madrasah 17

24

25 DAFTAR LAMPIRAN Halaman 1. Tabel Mutasi siswa SD dan MI Tabel Perhitungan Life Table Tabel Perhitungan Kaplan-Meier Tabel Dummy Variable Grafik Fungsi Hazard Metode Life Table Grafik Fungsi Hazard Metode Kaplan-Meier Surat Izin Penelitian dari Sekolah Pascasarjana IPB Surat Izin Penelitian dari Dinas Pendidikan DKI Jakarta... 44

26

27 BAB I PENDAHULUAN 1.1 Latar Belakang Salah satu upaya pemerintah dalam meningkatkan kuantitas dan kualitas pendidikan adalah menyelenggarakan Program Wajib Belajar (Wajar) 6 tahun mulai tahun 1984, Program Wajib Belajar 9 tahun mulai tahun 1994 dan rencananya Program Wajib Belajar 12 tahun akan dilakukan tahun Agar program pendidikan dasar tersebut dapat mencapai sasaran, maka dilaksanakan di tiap-tiap daerah. Arah dan tujuan utama perluasan pendidikan untuk meningkatkan angka partisipasi kasar (APK) dan menekan angka putus sekolah (APtS). Namun APK dan APtS hanya memberikan gambaran secara umum tentang besarnya peluang peserta didik yang sedang atau telah menerima pendidikan pada jenjang tertentu, sehingga kita akan mengalami kesulitan untuk mengetahui seberapa besar peserta didik dapat melanjutkan pendidikan atau seberapa besar peserta didik akan putus sekolah. Kohort peserta didik kelas I sampai dengan kelas VI salah satu ukuran terlaksananya program wajib belajar merupakan contoh dari data survival. Data survival adalah data pengamatan jangka waktu dari awal pengamatan sampai terjadinya peristiwa. Data survival dapat dianalisa menggunakan metode Life Table, metode Kaplan-Meier dan metode hazard proporsional Cox. Analisis data mortalitas menentukan jumlah penduduk dimasa mendatang. Bidang aktuaria atau asuransi juga menggunakan analisis survival untuk menentukan besar premi yang akan dibayar oleh pemegang asuransi. Selain itu, analisis survival juga digunakan di bidang kesehatan dalam menentukan berapa peluang seseorang dapat bertahan hidup (survival time) dalam jangka waktu tertentu. Analisis survival dalam bidang pendidikan telah dilakukan oleh Sariyanto (2011) dengan judul Model Multi State Life Table dengan tujuan mengkaji, memodifikasi dan menyusun Life Table pendidikan dasar dan menengah Kabupaten Sintang. Analisis survival dalam bidang pendidikan yang pada umumnya kita jumpai adalah masuk (input), naik kelas/lulus, tidak naik kelas/tidak lulus dan putus sekolah (drop out). Asumsi data survival pada data

28 2 pendidikan misalnya survival (kelanjutan studi); masuk/input (kondisi awal); naik kelas/lulus (berlanjut studi); tidak naik kelas/keluar (berisiko) dan mutasi/pindah sekolah (tersensor). Analisis survival yang akan digunakan yaitu metode Life Table, metode Kaplan-Meier dan metode hazard proporsional Cox. 1.2 Tujuan Penelitian Tujuan penelitian ini adalah : 1 Mempelajari metode Life Table, metode Kaplan-Meier dan metode hazard proporsional Cox. 2 Menerapkan metode Life Table, Kaplan Meier dan hazard proporsional Cox pada data pendidikan. 3 Membandingkan keberlanjutan dan lama studi menurut gender, status sekolah dan jenis sekolah pada wajib belajar 6 tahun. 1.3 Manfaat Penelitian Manfaat yang diharapkan dalam penelitian ini adalah: 1 Bagi keilmuan, dapat menyumbangkan bentuk analisis survival yang diaplikasikan dalam bidang pendidikan. 2 Bagi pengambil kebijakan seperti Kementerian Pendidikan Nasional dan Kementerian Agama, sebagai bahan pertimbangan dalam menentukan prioritas kebijakan yang akan diambil terutama kebijakan tentang pendidikan.

29 3 BAB II TINJAUAN PUSTAKA 2.1 Definisi Analisis Kelanjutan (Survival Analysis) Analisis kelanjutan adalah suatu analisis statistika yang memperhatikan waktu berlanjutnya sesuatu, yang disebut sebagai waktu kelanjutan (survival time). (Lee 1992) Waktu Kelanjutan (Survival Time) Waktu kelanjutan adalah jangka waktu dari awal pengamatan sampai terjadinya suatu peristiwa yang berupa kegagalan, kematian, timbulnya gejala, dan lain-lain. (Lee 1992) Fungsi Kelanjutan (Survival Function) Fungsi kelanjutan adalah fungsi yang menyatakan peluang suatu individu dapat melanjutkan hingga atau lebih dari waktu t (mengalami kejadian sesudah waktu t). Misal T adalah peubah acak, maka fungsi kelanjutan didefinisikan sebagai, S(t) = P(T t). Misalkan f fungsi kepekatan peluang, fungsi kelanjutan merupakan komplemen dari fungsi kumulatif F dengan, S(t) = = P(T > t) = 1 P(T t) = 1 F(t) (Collett 1994) Fungsi Hazard (The Hazard Function) Fungsi hazard adalah fungsi yang menyatakan peluang suatu individu mengalami kejadian pada waktu t dengan syarat bahwa individu itu telah melanjutkan hingga waktu t, fungsi diberikan sebagai berikut :

30 4 (Cox & Oakes 1984) Data Survival (Survival Data) Data survival adalah data tentang pengamatan jangka waktu dari awal pengamatan sampai terjadinya suatu peristiwa, peristiwa itu dapat berupa kematian, respon, timbulnya gejala, dan lain-lain. (Lee 1992) Data Tersensor (Censored Data) Data tersensor adalah data yang diperoleh dari amatan yang tidak secara utuh, karena adanya individu yang meninggal pada saat pengamatan atau adanya individu yang hilang ataupun dengan alas an lain, sehingga tidak dapat diambil datanya secara lengkap. (Lee 1992) 2.2 Metode yang digunakan Metode Life Table Metode Life Table adalah cara menganalisis data dengan mengelompokkan data dalam selang-selang yang panjangnya sama, dan selanjutnya data disusun dalam suatu tabel. (Lee 1992) Metode Kaplan-Meier Pada dasarnya metode Kaplan-Meier hampir sama dengan metode Life Table. Bedanya dalam metode Kaplan-Meier setiap selang memuat satu kejadian, kemudian data disusun dalam suatu tabel. (Lee 1992) Metode Hazard Proporsional Cox Metode hazard proporsional Cox menggunakan asumsi bahwa hazard tiap kelompok individu bersifat proporsional, dan secara umum fungsi hazard untuk individu ke-i dapat membandingkan beberapa kelompok sekaligus. (Cox & Oakes 1992)

31 5 BAB III METODE PENELITIAN 3.1 Sumber Data Penelitian ini menggunakan data sekunder yang diperoleh dari 2 Sekolah Dasar (SD) dan 2 Madrasah Ibtidaiyah (MI) regular di Jakarta Selatan pada tahun 2011 yang dipilih secara purposif. Data SD dan MI yang diambil dari bulan Juni 2002 hingga Juli Variabel yang akan dianalisis adalah: 1 Keberlanjutan studi siswa laki-laki dan perempuan. 2 Keberlanjutan studi siswa sekolah negeri dan sekolah swasta. 3 Keberlanjutan studi siswa sekolah umum dan madrasah. 3.2 Langkah-langkah Penelitian Langkah-langkah yang digunakan dalam penelitian ini adalah sebagai berikut : 1 Mempelajari proses analisis data survival dengan metode Life Table, Kaplan- Meier dan hazard proposional Cox. 2 Menganalisis data pendidikan dengan metode Life Table, Kaplan-Meier dan hazard proposional Cox. 3 Membandingkan data pendidikan menurut gender, jenis sekolah dan status sekolah. 3.3 Model dan Penyusunan Tabel Analisis kelanjutan studi (analisis survival) adalah suatu analisis statistika yang memperhatikan waktu berlanjutnya sesuatu yang disebut sebagai waktu kelanjutan. Dalam penelitian yang dimaksud dengan waktu kelanjutan studi (survival time) adalah waktu berlanjutnya studi siswa wajib belajar enam tahun (SD/MI). Waktu kelanjutan studi adalah jangka waktu dari awal pengamatan sampai terjadinya suatu peristiwa yang berupa kegagalan. Kegagalan yang dimaksud adalah siswa belajar kurang atau lebih dari 6 tahun. Apabila kegagalan yang diamati adalah terjadinya sesuatu pada diri siswa maka waktu kelanjutan yang dicatat antara lain sebagai berikut :

32 6 a. Selisih waktu mulai dilakukannya pengamatan sampai terjadinya kegagalan dan data tersebut termasuk data tidak terpotong (uncensored data). b. Jika waktu kegagalannya tidak diketahui, maka memakai selisih waktu mulai dilakukannya pengamatan sampai waktu terakhir penelitian dan data tersebut termasuk data terpotong (censored data). Riwayat pendidikan siswa selalu diikuti oleh atribut statusnya seperti: naik kelas, tidak naik kelas, lulus, tidak lulus, mengulang, keluar/masuk, berhenti, dan pindah. Oleh karena itu peneliti menggunakan data berupa selang tertutup, sehingga data siswa yang pindahan dari sekolah lain dan siswa tidak naik diabaikan. Dalam pendidikan kenyataan siswa tidak naik ada yang mengulang dan ada yang keluar. Aktif (Naik kelas) Mengulang (Tidak naik kelas) Keluar (Drop Out) Gambar 1 Keterkaitan kejadian aktif, mengulang, dan keluar. Untuk menyusun tabel, data siswa yang tidak naik diasumsikan keluar dapat dilihat pada Lampiran 1.

33 7 BAB IV HASIL DAN PEMBAHASAN Metode yang digunakan untuk menganalisis keberlanjutan studi dalam wajib belajar 6 tahun (SD/MI) adalah metode Life Table, Kaplan-Meier, dan hazard proporsional Cox. 4.1 Metode Life Table Metode Life Table digunakan jika data yang diperoleh berupa data dalam suatu selang yang sama, tanpa informasi yang lengkap tentang waktu kejadiannya dan data disusun tabel sebagai berikut : j m Nilai awal selang(t j ) d j c j n j Langkah-langkah untuk menyusun Life Table : (1) Pada kolom j dibuat m buah selang yang panjangnya sama, j = 1, 2,, m, (2) Pada kolom nilai awal selang dimulai dari tahun ke 0 artinya dimulai awal tahun pembelajaran kelas 1, (3) Pada kolom d j setiap selang j ditentukan banyaknya siswa tidak naik/keluar, (4) Pada kolom c j setiap selang j ditentukan banyaknya siswa pindah ke sekolah di wilayah/di luar Jakarta Selatan, (5) Pada kolom n j setiap selang j ditentukan banyaknya siswa yang berlanjut dan berisiko mengalami kejadian, untuk selang selanjutnya menggunakan n j = n j-1 d j-1 c j-1, (6) Pada kolom setiap selang j ditentukan banyaknya siswa yang berisiko tersensor, (7) Pada kolom setiap selang j peluang berlanjutnya siswa,

34 8 (8) Pada kolom setiap selang j peluang setiap siswa berlanjut hingga selang ke- k dapat diduga dengan fungsi kelanjutan sebagai berikut :. (4.1) Untuk t k t t k+1, k = 1, 2,, m. untuk t t 1, untuk t t m + 1. (9) Pada kolom setiap selang j peluang setiap siswa tidak naik kelas hingga selang ke-k dapat diduga dengan fungsi hazard Life Table sebagai berikut : (4.2) dengan = t j+1 -t j adalah panjang selang j. 4.2 Metode Kaplan-Meier Pada metode Kaplan-Meier setiap selang memuat satu kejadian, sehingga setiap siswa keluar (tidak melanjutkan sekolah)/tidak naik kelas dibuat selang data dan data disusun tabel sebagai berikut : n j t j j d j c j j... Langkah-langkah untuk menyusun tabel Kaplan-Meier : (1) Pada kolom n j setiap selang j baris pertama ditentukan banyaknya siswa pada awal tahun pelajaran kelas 1 dan berisiko mengalami kejadian, untuk selang selanjutnya (n j = n j-1 d j-1 c j-1 ), (2) Pada kolom t j setiap selang j ditentukan waktu (bulan) kejadian setiap siswa keluar (tidak melanjutkan sekolah)/tidak naik kelas (t j ), (3) Pada kolom τ j setiap selang j ditentukan panjang selang yang bergantung waktu (bulan) kejadian (τ j = t j+1 - t j ), (4) Pada kolom d j setiap selang j ditentukan banyaknya siswa tidak naik/keluar,

35 9 (5) Pada kolom c j setiap selang j ditentukan banyaknya siswa pindah sekolah di wilayah Jakarta Selatan atau di luar Jakarta. (6) Pada kolom setiap selang j peluang berlanjutnya siswa dengan, (7) Pada kolom setiap selang j peluang setiap siswa berlanjut hingga selang ke-k dapat diduga dengan fungsi kelanjutan sebagai berikut :. (4.3) untuk t k t t k+1, k = 1, 2,, m. untuk t t 1, untuk t t m + 1. (8) Pada kolom setiap selang j peluang setiap siswa keluar/tidak naik hingga selang ke-k dapat diduga dengan fungsi hazard sebagai berikut : (4.4) untuk t j t t j+1, j = 1, 2,, m. 4.3 Membandingkan Dua Grup dalam Data Survival Dalam dua grup data survival ada dua kemungkinan penjelasan yang mungkin untuk perbedaan fungsi kelanjutan yang diduga. Salah satu penjelasan mengatakan bahwa ada perbedaan yang nyata antara waktu kelanjutan studi dari kedua kelompok individu, sehingga kemampuan kelanjutan studinya juga berbeda. Penjelasan lain mengatakan bahwa perbedaan keduanya tidaklah nyata, kalau ada mungkin hanya faktor kebetulan. Untuk membedakan kedua pernyataan dapat digunakan uji hipotesis dua sampel bebas menggunakan uji Kolmogorov- Smirnov. Hipotesis yang digunakan adalah H 0 : S 1 (t) = S 2 (t) H 1 : S 1 (t) S 2 (t) Daerah penolakan H 0 jika probabilitas < 0,05. Uji Kolmogorov-Smirnov disusun dengan memisahkan waktu kejadian dalam dua kelompok data survival, masing-masing kelompok diberi nama grup1

36 10 dan grup 2. Misalkan ada r bulan waktu kejadian yang berbeda, t 1 < t 2 < <t r pada kedua kelompok tersebut, dan pada waktu t j terjadi resiko sebanyak d 1j untuk grup 1 dan d 2j untuk grup 2, j = 1, 2,., r. Misalkan pula ada sebanyak n 1j individu siswa yang melanjutkan dalam grup 1 dan n 2j untuk grup 2 pada waktu t j, maka ada d j = d 1j + d 2j siswa yang berisiko tidak melanjutkan sekolah dari sebanyak n j = n 1j + n 2j individu. Sebagai ilustrasi ditampilkan dalam Tabel 1. Tabel 1 Jumlah siswa berisiko dan melanjutkan studi pada waktu ke-j Grup Jumlah siswa berisiko pada waktu t j Jumlah individu yang berlanjut hingga waktu t j Jumlah individu yang berisiko sebelum waktu t j 1 d 1j n 1j d 1j n 1j 2 d 2j n 2j d 2j n 2j Total d j n j - d j n j 4.4 Metode hazard proposional Cox Penduga parameter Metode hazard proposional Cox dapat menjelaskan pengaruh karakteristikkarakteristik peubah respon secara simultan. Asumsi untuk model ini adalah menganalisis dengan jumlah secara individu sehingga fungsi hazard individu tersebut dapat dinyatakan dengan (4.5) Persamaan (4.1) adalah model hazard proposional Cox untuk membandingkan dua populasi. Model tersebut dapat dibuat lebih umum yaitu resiko siswa sekolah individu ke-i bergantung pada pada nilai x 1i, x 2i,, x pi dari p peubah penjelas x 1, x 2,,x p. Himpunan nilai peubah penjelas pada model hazard proporsional Cox dinyatakan oleh vektor x i = (x 1i, x 2i,, x pi ). Misalkan h o (t) adalah fungsi hazard dari individu yang nilai peubah penjelasnya membuat vektor x i sama dengan 0, maka h o (t) disebut baseline fungsi hazard. Fungsi hazard untuk individu ke-i dapat dinyatakan dengan, dengan adalah nilai fungsi dari vektor peubah penjelas untuk individu ke-i. Nilai > 0 sehingga dapat

37 11 dinyatakan dengan, dimana merupakan kombinasi linear dari p peubah penjelas pada x i, yaitu = Selanjutnya bentuk umum hazard proposional Cox menjadi = (4.6) Parameter dalam model hazard proposional Cox merupakan parameter yang belum diketahui nilainya dan akan diduga menggunakan metode maksimum likelihood. Pendugaan dengan metode maksimum likelihood adalah nilai yang memaksimumkan fungsi likelihood. Fungsi likelihood adalah peluang bersama dari data pengamatan yang dianggap sebagai fungsi dari parameter yang tidak diketahui nilainya dalam asumsi model. Misalkan data n siswa wajib belajar 6 tahun terdiri dari r siswa telah melanjutkan belajar dan n-r siswa tersensor, data r siswa diurutkan menjadi t 1 < t 2 < < t r. Jika kejadian A adalah siswa wajib belajar 6 tahun dengan nilai peubah penjelas x ji melanjutkan sekolah pada waktu t j dan kejadian B adalah siswa melanjutkan sekolah pada waktu t j, maka = (4.7) Pembilang pada (4.4) di atas adalah bentuk sederhana dari resiko sekolah tahun pertama individu ke-i pada waktu t j sehingga fungsi hazardnya dapat dinyatakan sebagai h i (t j ). Penyebutnya merupakan jumlah dari resiko sekolah tahun pertama pada waktu t j (dinotasikan h l (t j )) untuk semua individu yang mempunyai risiko

38 12 sekolah tahun pertama pada waktu t j dan dapat dinyatakan dengan. adalah himpunan risiko pada waktu t j yang terdiri dari individu-individu yang melanjutkan hingga t j. Ekspresi (4.4) dapat dinyatakan dengan dan menggunakan persamaan (4.2) menjadi Fungsi likelihoodnya menjadi (4.8) Misalkan waktu kejadian dan waktu sensor dari data n pengamatan dinyatakan dalam notasi pasangan peubah acak, dan merupakan indikator yang menunjukkan apakah waktu survival tidak tersensor atau tersensor, maka persamaan (4.5) dapat ditulis menjadi Jika persamaan di atas di ln-kan maka diperoleh (4.9) Penduga dapat diperoleh dengan memaksimumkan fungsi ln-likelihood yaitu dengan menentukan solusi dari persamaan

39 13 (4.10) Persamaan (4.6) sulit diselesaikan secara analitis tetapi mudah diselesaikan secara numerik. 4.5 Aplikasi Model Pada Pendidikan Metode Life Table Untuk menggambarkan penghitungan penduga fungsi kelanjutan metode Life Table wajib belajar 6 tahun siswa SD/MI dengan panjang selang 1 tahun dapat dilihat pada Lampiran 2. Penyajian dalam bentuk grafik hasil penghitungan tersebut adalah sebagai berikut: Gambar 2 Grafik fungsi kelanjutan studi siswa SD/MI dengan metode Life Table Fungsi Kelanjutan Waktu (tahun) Ŝ(t) Dari Gambar 2 dapat dilihat bahwa dari tahun ke-1 sampai dengan tahun ke-5 fungsi kelanjutan studi siswa mengalami penurunan artinya setiap tahun ada siswa yang tidak melanjutkan sekolah dan menginjak tahun ke-6 fungsi kelanjutan studi siswa konstan artinya siswa yang lulus kelas 6 ada 100% Membandingkan dua kelompok data survival dengan metode Life Table Hasil analisis menggunakan Life Table untuk peubah bebas gender (laki-laki, perempuan), status sekolah (negeri, swasta), dan jenis sekolah (umum, islam). Lampiran 2 (Hasil perhitungan Life Table)

40 14 a. Hasil analisis kelanjutan studi siswa laki-laki dan perempuan Fungsi Kelanjutan Ŝ(t)P Ŝ(t)L Waktu (tahun) Gambar 3 Grafik fungsi kelanjutan studi siswa laki-laki dan perempuan Pada Gambar 3 di atas menunjukkan bahwa siswa perempuan kelanjutan studinya lebih baik dibandingkan dengan siswa laki-laki (89% vs 73%). Artinya dari 100 siswa perempuan masuk SD/MI yang lulus tepat waktu 6 tahun ada 89 siswa dan yang mutasi, keluar dan tidak naik kelas ada 11 siswa. Namun demikian, berdasarkan uji Kolmogorov-Smirnov tidak ada perbedaan signifikan kelanjutan studi siswa laki-laki dan perempuan (p-value=0,203). b. Hasil analisis kelanjutan studi siswa sekolsh negeri dan swasta Fungsi Kelanjutan Ŝ(t)N Ŝ(t)S Waktu (tahun) Gambar 4 Grafik fungsi kelanjutan siswa sekolah negeri dan swasta Pada Gambar 4 menunjukkan bahwa siswa sekolah swasta kelanjutan studinya lebih baik dibandingkan dengan siswa sekolah negeri (87% vs 82%).

41 15 Berdasarkan uji Kolmogorov-Smirnov menyatakan tidak ada perbedaan signifikan kelanjutan studi siswa sekolah negeri dan sekolah swasta (p-value=0,541). c. Hasil analisis kelanjutan siswa sekolah umum dan madrasah Fungsi Kelanjutan Waktu (tahun) Ŝ(t)M Ŝ(t)U Gambar 5 Grafik fungsi kelanjutan studi siswa sekolah umum dan madrasah. Pada Gambar 5 menunjukkan bahwa, kelanjutan studi siswa madrasah lebih baik dibandingkan dengan siswa sekolah umum (88% vs 80%). Namun demikian, berdasarkan uji Kolmogorov-Smirnov menyatakan tidak ada perbedaan signifikan kelanjutan studi siswa sekolah umum dan madrasah (p-value=0,541) Metode Kaplan-Meier Untuk menggambarkan penghitungan penduga fungsi kelanjutan siswa tidak sama, dapat dilihat pada Lampiran 3. Penyajian dalam bentuk grafik hasil penghitungan tersebut adalah sebagai berikut: Fungsi Kelanjutan Waktu (bulan) Ŝ(t) Gambar 6 Grafik fungsi kelanjutan metode Kaplan-Meier

42 16 Dari Gambar 6 terlihat bahwa fungsi keberlanjutan siswa SD/MI semakin menurun artinya pada bulan-bulan tertentu ada siswa yang keluar/tidak naik kelas. Hasil perhitungan dengan metode Kaplan-Meier terlihat waktu kejadian lebih banyak dibandingkan dengan metode Life Table Membandingkan dua kelompok data survival dengan metode Kaplan- Meier Hasil analisis kelanjutan studi menggunakan metode Kaplan-Meier untuk peubah bebas gender (laki-laki, perempuan), status sekolah (negeri, swasta), dan jenis sekolah (Umum/Madrasah). Hasil perhitungan Kaplan-Meier ada pada Lampiran 3. a. Hasil analisis kelanjutan studi siswa laki-laki dan perempuan Fungsi Kelanjutan Ŝ(t)P Ŝ(t)L Waktu (bulan) Gambar 7 Grafik fungsi kelanjutan studi siswa laki-laki dan perempuan Pada Gambar 7 di atas menunjukkan bahwa siswa perempuan kelanjutan studinya lebih baik dibandingkan dengan siswa laki-laki (87% vs 72%). Dengan menggunakan uji Kolmogorov-Smirnov, menyatakan tidak ada perbedaan signifikan kelanjutan studi siswa laki-laki dan perempuan (p-value=0,164).

43 17 b. Hasil analisis kelanjutan studi siswa sekolah negeri dan swasta Fungsi Kelanjutan Waktu(bulan) Ŝ(t)N Ŝ(t)S Gambar 8 Grafik fungsi kelanjutan studi siswa sekolah negeri dan swasta Pada Gambar 8 menunjukkan bahwa siswa sekolah swasta kelanjutan studinya lebih baik dibandingkan dengan siswa sekolah negeri (85% vs 82%). Namun demikian, berdasarkan uji Kolmogorov-Smirnov menyatakan tidak ada perbedaan signifikan kelanjutan studi siswa sekolah negeri dan swasta (pvalue=0,808). c. Hasil analisis kelanjutan studi siswa sekolah umum dan madrasah Fungsi Kelanjutan Waktu (bulan) Ŝ(t)M Ŝ(t)U Gambar 9 Grafik fungsi kelanjutan siswa sekolah umum dan madrasah Pada Gambar 9 menunjukkan bahwa, siswa madrasah kelanjutan studinya lebih baik dibandingkan dengan siswa sekolah umum (88% vs 80%). Dengan

44 18 menggunakan uji Kolmogorov-Smirnov, menyatakan tidak ada perbedaan signifikan kelanjutan studi siswa umum dan madrasah (p-value=0,206). Dari hasil perbandingan kelompok dengan metode Kaplan-Meier hasil analisis kelanjutan studinya sama dengan metode Life Table. Jika data survival yang akan dibandingkan lebih dari dua kelompok individu dengan menggunakan metode Life Table dan Kaplan-Meier menjadi tidak praktis. Hal ini dikarenakan dalam metode Life Table dan Kaplan-Meier setiap dua kelompok harus diuji secara tersendiri, sehingga jika ada beberapa kelompok maka akan lebih efisien menggunakan metode hazard proposional Cox Metode Hazard Proporsional Cox Hasil analisis data survival wajib belajar 6 tahun untuk peubah bebas x 1 siswa laki-laki (1)/perempuan(0), x 2 siswa sekolah negeri (1)/swasta (0), dan x 3 siswa sekolah umum (1)/madrasah (0) dapat dilihat pada Tabel 2. Tabel 2 Hasil analisis metode hazard proposional Cox Peubah bebas SE df Sig Exp( ) x 1 x 2 x 3-0,222 0, ,382 0,801 0,869 0, ,018 2,383-0,778 0, ,029 0,459 Untuk taraf nyata α = 0,05, diperoleh nilai p (sig) < α sehingga kesimpulannya tolak. Dari hasil analisis metode hazard proposional Cox dapat disimpulkan bahwa: 1 Tidak terdapat perbedaan yang signifikan kelanjutan studi siswa laki-laki dan perempuan. 2 Terdapat perbedaan yang signifikan kelanjutan studi siswa sekolah negeri dan swasta. 3 Terdapat perbedaan yang signifikan kelanjutan studi siswa sekolah umum dan madrasah.

45 19 Hasil analisis metode Life Table, dan metode Kaplan-Meier berbeda dengan metode proporsional hazard Cox. Perbedaan terjadi diduga karena kegagalan asumsi dalam memenuhi kondisi proporsional hazard Cox yaitu keterangan antar karakteristik tidak proporsional, bahkan dapat dilihat grafiknya berpotongan seperti pada Lampiran 5 dan Lampiran 6. Hal ini menunjukkan bahwa kondisi perbandingan dengan gender, status dan jenis sekolah tidak proporsional sehingga metode proporsional hazard Cox tidak sesuai untuk digunakan.

46 20

47 21 BAB V SIMPULAN DAN SARAN 5.1 SIMPULAN Dari uraian dalam pembahasan penelitian ini dapat disimpulkan beberapa hal yaitu : 1 Metode Life Table hanya dapat digunakan untuk data dengan selang sama, sedangkan metode Kaplan-Meier dapat digunakan untuk data dengan selang berbeda-beda. Untuk menganalisis data dengan kovariat yang besar lebih sesuai digunakan metode proposional hazard Cox. 2 Hasil analisis metode Life Table, dan metode Kaplan-Meier berbeda dengan metode proporsional hazard Cox. Perbedaan terjadi diduga karena fungsi hazard antar karakteristik tidak proporsional, sehingga asumsi proporsional dalam model Cox gagal dipenuhi. 3 Hasil analisis kelanjutan studi dengan menggunakan metode Life Table dan Kaplan-Meier menghasilkan kesimpulan yang sama. Karena di pendidikan secara umum tidak menentukan waktu siswa keluar/tidak naik maka metode Life Table lebih sesuai digunakan untuk data pendidikan. 4 Berdasarkan uji Kolomogorov-Smirnov pada metode Life Table dan metode Kaplan-Meier tidak ada perbedaan signifikan keberlanjutan studi siswa perempuan dan laki-laki, siswa sekolah swasta dan negeri, dan siswa sekolah umum dan madrasah. 5.2 SARAN Disarankan untuk diadakan penelitian lebih lanjut untuk wajib belajar 9 tahun atau wajib belajar 12 tahun.

48 22

49 23 DAFTAR PUSTAKA Collett D Modelling Survival Data in Medical Research. 3 th ed. London- Glasgow-Wienheim-New York-Tokyo-Melbourne. Madrass: Chapman and Hall. Cox DR, Oakes Analysis of Survival Data. Cambridge: University Press. Grimmett GR, Stirzaker DR Probability and Random Processes (Second Edition). Oxford: Clarendon Press. Hogg VR, Craig TA Introduction to Mathematical Statistics. 5 th ed. New Jersey: Printice Hall, Englewood Cliff Publisher. Klein J, Moeschberger M Survival Analysis. Springer Publication. Second ed. New York: Lee ET Statistical Methods for Survival Data Analysis. Second ed. New York: A Wiley Interscience Publication. Santoso, S Aplikasi SPSS pada Statistik Nonparametrik, Penerbit PT Elex Media Komputindo. Trihendradi, C SPSS 16 Step by Step Analisis Data Statistik, Penerbit ANDI. Harnanto Analisis Ketahanan dan Aplikasinya untuk Pemodelan Interval Kelahiran Anak Pertama [Tesis]. Bogor:Program Pascasarjana, IPB.

50 24

51 LAMPIRAN 25

52 26

53 27 Lampiran 1 Data Mutasi Siswa SD dan MI Jakarta Selatan Bulan KLS TP 2002/ / / / / /2008 L P JML L P JML L P JML L P JML L P JML L P JML L P JML L P JML L P JML L P JML L P JML L P JML L P JML TP KLS : Laki-laki :Perempuan : Jumlah : Tahun Pelajaran : Kelas : Siswa pindah ke sekolah lain (data tersensor) : Siswa keluar/tidak naik kelas

54 28 Lampiran 2 Tabel Perhitungan Life Table Siswa SD dan MI j Nilai awal selang (tahun) d j c j n j n' j (n' j -c j ):n' j Ŝ(t) ĥ(t) Siswa perempuan Nilai awal selang j (tahun) d j c j n j n' j (n' j -c j ):n' j Ŝ(t) ĥ(t) Siswa laki-laki Nilai awal selang j (tahun) d j c j n j n' j (n' j -c j ):n' j Ŝ(t) ĥ(t)

55 29 Lampiran 2 Tabel Perhitungan Life Table (lanjutan) Siswa Negeri Nilai awal selang j (tahun) d j c j n j n' j (n' j -c j ):n' j Ŝ(t) ĥ(t) Siswa Swasta Nilai awal selang j (tahun) d j c j n j n' j (n' j -c j ):n' j Ŝ(t) ĥ(t) Siswa Madrasah Nilai awal selang j (tahun) d j c j n j n' j (n' j -c j ):n' j Ŝ(t) ĥ(t)

56 30 Lampiran 2 Tabel Perhitungan Life Table (lanjutan) Siswa Umum Nilai awal selang j (tahun) d j c j n j n' j (n' j -c j ):n' j Ŝ(t) ĥ(t) Lampiran 3 Tabel Perhitungan Kaplan-Meier Siswa SD dan MI n j t j (bulan) τ j d j c j p j Ŝ(t) ĥ(t)

57 31 Lampiran 3 Tabel Perhitungan Kaplan-Meier (lanjutan) Laki-laki n j t j (bulan) τ j d j c j p j Ŝ(t) ĥ(t) Perempuan n j t j (bulan) τ j d j c j p j Ŝ(t) ĥ(t) Negeri n j t j (bulan) τ j d j c j p j Ŝ(t) ĥ(t)

58 32 Lampiran 3 Tabel Perhitungan Kaplan-Meier (lanjutan) Swasta n j t j (bulan) τ j d j c j p j Ŝ(t) ĥ(t) Umum n j t j (bulan) τ j d j c j p j Ŝ(t) ĥ(t) Madrasah n j t j (bulan) τ j d j c j p j Ŝ(t) ĥ(t)

59 33 Lampiran 4 Dummy Variable * NO Waktu Data L/P N/S U/M (bulan) Sensor x1 x2 x

60 34 Lampiran 4 Dummy Variable * (lanjutan) NO Waktu Data L/P N/S U/M (bulan) Sensor x1 x2 x

61 35 Lampiran 4 Dummy Variable * (lanjutan) NO Waktu Data L/P N/S U/M (bulan) Sensor x1 x2 x

62 36 Lampiran 4 Dummy Variable * (lanjutan) NO Waktu Data L/P N/S U/M (bulan) Sensor x1 x2 x

63 37 Lampiran 4 Dummy Variable * (lanjutan) NO Waktu Data L/P N/S U/M (bulan) Sensor x1 x2 x

64 38 Lampiran 4 Dummy Variable * (lanjutan) NO Waktu Data L/P N/S U/M (bulan) Sensor x1 x2 x

65 39 Lampiran 4 Dummy Variable * (lanjutan) NO Waktu Data L/P N/S U/M (bulan) Sensor x1 x2 x Jumlah L/P : Laki-laki/Perempuan N/S : Negeri/Swasta U/M: Umum/Madrasah *dijabarkan dari data Lampiran 1

66 40 Lampiran 5 Grafik fungsi hazard metode Life Table Siswa perempuan dan laki-laki Fungsi Hazard Waktu (tahun) ĥ(t)p ĥ(t)l Siswa negeri dan swasta Fungsi Hazard ĥ(t)n ĥ(t)s Waktu (tahun)

67 41 Lampiran 5 Grafik fungsi hazard metode Life Table (lanjutan) Siswa madrasah dan umum Fungsi Hazard Waktu (tahun) ĥ(t)m ĥ(t)u Lampiran 6 Grafik fungsi hazard metode Kaplan-Meier Siswa perempuan dan laki-laki Fungsi Hazard Waktu (bulan) ĥ(t)p ĥ(t)l

68 42 Lampiran 6 Grafik fungsi hazard metode Kaplan-Meier (lanjutan) Siswa negeri dan swasta Fungsi Hazard ĥ(t)n ĥ(t)s Waktu (bulan) Siswa madrasah dan umum Fungsi Hazard Waktu (bulan) ĥ(t)m ĥ(t)u

69 Lampiran 7 Surat Ijin Penelitian dari Sekolah Pascasarjana IPB 43

70 44 Lampiran 8 Surat Ijin Penelitian dari Dinas Pendidikan DKI Jakarta