Standar Kompetensi: Menggunakan aturan statistika, kaidah pencacahan, dan sifat-sifat peluang dalam pemecahan masalah.

Transkripsi

1 Mata Pelajaran : Matematika Kelas : XI/Semester 1 Penulis: Addin Grahaddin Affandi, S.Si. Standar Kompetensi: Menggunakan aturan statistika, kaidah pencacahan, dan sifat-sifat peluang dalam pemecahan masalah. Kompetensi Dasar: Menggunakan aturan perkalian, permutasi, dan kombinasi dalam pemecahan masalah Inspiratio Dalam kehidupan sehari-hari seringkali dihadapkan pada permasalahan menentukan banyaknya cara yang mungkin terjadi dari suatu percobaan. Perhatikan beberapa pernyataan berikut ini: 1. Berapa banyaknya susunan yang dapat terjadi apabila 5 orang siswa akan berbaris secara berderet? 2. Pada suatu acara rapat OSIS yang berlangsung di suatu ruangan dihadiri oleh 40 siswa. Apabila setiap peserta rapat berjabat tangan sebanyak satu kali dengan yang lainnya, berapa banyaknya jabat tangan yang terjadi di ruangan tersebut? 3. Dari 10 orang siswa di kelas XI akan dipilih 3 orang pelajar berprestasi. Ada berapa banyak kemungkinan susunan yang akan terpilih? Untuk menjawab pertanyaan-pertanyaan di atas, dapat digunakan kombinatorika, yaitu suatu cabang ilmu matematika yang mempelajari tentang menentukan banyaknya cara menyusun, memilih, atau mengkombinasikan obyek-obyek. 1 m a t h t h e e x p l o r e r

2 Eureka A. Aturan Pengisian Tempat Metode yang paling sederhana dalam kaidah pencacahan yaitu dengan aturan pengisian tempat. Aturan pengisian tempat dapat dilakukan dengan tiga cara, yaitu diagram pohon, tabel silang, dan pasangan terurut. Andi, Budi, dan Carli dicalonkan untuk menjadi ketua OSIS, sedangkan Citra dan Nita dicalonkan menjadi ketua MPK. Pembina OSIS akan mempertimbangkan banyaknya susunan pasangan yang dapat terjadi. a. Buatlah diagram pohon permasalahan di atas. b. Buatlah tabel silang permasalahan di atas. Wakil Ketua Ketua Citra Andi Budi Carli Nita c. Apabila M = {Andi, Budi, Carli} dan N = {Citra, Nita}, buatlah pasangan terurut permasalahan di atas. B. Prinsip Penjumlahan Pada suatu kejadian yang tidak berangkai (saling lepas), apabila kejadian I dapat dilakukan dengan m cara, dan kejadian II dapat dilakukan dengan n cara, maka keseluruhan kejadian tersebut dapat dilakukan dengan (m + n) cara. Abdullah akan melakukan perjalanan dari kota A ke kota B. Dia akan menentukan rute yang akan dipilihnya. Apabila melalui kota C perjalanan dapat ditempuh dengan 3 cara, sedangkan melalui kota D dapat ditempuh dengan 2 cara. a. Apakah kejadian memilih rute perjalanan dari Kota A ke Kota B melalui Kota C atau Kota D merupakan kejadian saling lepas? Catatan : Kejadian saling lepas adalah kejadian yang tidak dapat terjadi pada saat bersamaan. b. Berapa banyaknya pilihan rute perjalanan yang dimiliki Abdullah? 2 m a t h t h e e x p l o r e r

3 B. Prinsip Perkalian Pada suatu kejadian yang berangkai, apabila kejadian I dapat dilakukan dengan m cara, dan untuk setiap cara pada kejadian I, kejadian II dapat dilakukan dengan n cara, maka keseluruhan kejadian tersebut dapat dilakukan dengan (m n) cara. Perhatikan kembali permasalahan menentukan Ketua dan Wakil Ketua OSIS. a. Apakah kejadian pemilihan ketua dan wakil ketua OSIS merupakan kejadian berangkai? Catatan : Kejadian berangkai adalah kejadian yang terjadi dalam satu rangkaian kejadian (tidak bisa dipisahkan satu sama lain). b. Berapa banyaknya cara memilih ketua OSIS? c. Untuk setiap ketua yang terpilih, berapa banyaknya cara memilih wakil ketua? d. Berapa banyaknya cara memilih ketua dan wakil ketua? Eksplorasi Perhatikan diagram di bawah. Kota A, B, C, dan D adalah kota-kota di suatu daerah yang dihubungkan oleh beberapa jalan. Berapa banyak rute berbeda yang dapat ditempuh dari A ke B, apabila C a. melalui kota C A b. melalui kota D B c. melalui kota C atau D. D a. Banyaknya rute berbeda dari kota A ke B melalui kota C merupakan kejadian yang berangkai, sehingga memenuhi prinsip perkalian. 2 2 = 4 rute A C C B b. Banyaknya rute berbeda dari kota A ke B melalui kota D merupakan kejadian yang berangkai, sehingga memenuhi prinsip perkalian. 2 3 = 6 rute A D D B c. Banyaknya rute berbeda dari kota A ke B melalui kota C atau D merupakan kejadian yang tidak berangkai, sehingga memenuhi prinsip penjumlahan = 10 rute Tentukan banyaknya cara bilangan 3- angka yang dapat dibentuk dari angka-angka 0, 1, 3, 4, 5, 8, dan 9, apabila a. setiap angka hanya boleh digunakan sekali. b. merupakan bilangan berlainan yang genap. c. merupakan bilangan berlainan yang kurang dari m a t h t h e e x p l o r e r

4 Dalam berapa cara 5 orang laki-laki dapat duduk dalam sebuah baris sehingga dua orang tertentu tidak pernah berdampingan? Banyaknya cara 5 orang laki-laki dapat duduk dalam sebuah baris (tanpa ada syarat), = 120 cara Banyaknya cara 5 orang laki-laki dapat duduk dalam sebuah baris sehingga dua orang tertentu selalu duduk berdampingan, ( ) (2 1) = 48 cara Banyaknya cara 5 orang laki-laki dapat duduk dalam sebuah baris sehingga dua orang tertentu tidak pernah berdampingan, = 72 cara Dalam berapa cara 6 buku yang berbeda dapat disusun pada sebuah rak buku sehingga 3 buku selalu bersama-sama. 4 m a t h t h e e x p l o r e r

5 LATIHAN MANDIRI 1 Soal Pemahaman 1. Sebuah dadu dan satu koin dilantunkan secara bersamaan. Buatlah tabel silang yang menyatakan seluruh kemungkinan yang dapat terjadi. 2. Sebuah keranjang berisi bola biru bernomor 1 sampai 3, bola hijau bernomor 1 sampai 2, dan bola merah bernomor 1 dan 2. Gambarkan diagram pohon yang menyatakan seluruh kemungkinan yang terjadi apabila diambil 2 bola dalam keranjang tersebut. 3. Dari kota A ke kota B dapat dilalui oleh 3 jalur berbeda dan dari B ke C dapat dilalui oleh 2 jalur yang berbeda. Gambarlah diagram pohon yang menyatakan seluruh jalur yang dapat ditempuh dari kota A ke kota C melalui kota B. 4. Buatlah pasangan terurut yang menyatakan seluruh kemungkinan yang dapat terjadi apabila dua buah koin dilantunkan secara bersamaan. 5. Tentukan banyaknya cara yang mungkin untuk memilih kaos olah raga ukuran S, M, L, dan XL dengan warnanya yaitu biru, hijau, dan kuning. a. Menggunakan diagram pohon. b. Menggunakan tabel silang. c. Menggunakan pasangan terurut. 6. Diantara kejadian berikut manakah yang merupakan kejadian yang saling lepas. a. Sebuah kesebelasan sepak bola yang kemasukan gol pada menit-menit terakhir dan memenangkan pertandingan. b. Seorang ibu yang melahirkan seorang bayi perempuan dan sepasang bayi kembar wanita pada hari yang sama. c. Jumlah mata dadu 8 pada hasil pelemparan dua buah dadu secara bersamaan 7. Sebuah toko pakaian memiliki lima model jaket dan setiap model memiliki tujuh jenis warna. Apabila Siti mau membeli sebuah jaket, tentukan banyaknya cara dia membeli? 8. Seorang siswa mempunyai pilihan 5 bahasa asing dan 4 ilmu pengetahuan. Dalam berapa cara ia dapat memilih 1 bahasa dan 1 ilmu pengetahuan? 9. Seorang guru memiliki tiga celana warna biru, coklat, dan hitam, serta empat kemeja berwarna kuning, merah, hijau, dan putih. Berapa banyaknya pasangan warna celana dan baju yang dapat dipakai? 10. Untuk mengisi ketua MPR, ketua DPR, dan presiden sebuah partai mengajukan 2 calon ketua MPR, 3 calon ketua DPR, dan 4 calon presiden. Berapa banyaknya cara mengisi ketiga posisi tersebut? 11. Tiga orang laki-laki dan dua orang perempuan duduk dalam sebuah baris dengan aturan perempuan mendapat tempat duduk yang genap. Berapa banyak pengaturan posisi duduk yang mungkin dilakukan? 12. Dalam berapa banyak urutan 5 gambar yang berbeda dapat diletakan dalam satu baris sehingga secara khusus diletakkan pada: a. tengah-tengah (pusat) b. salah satu ujung (tepi) 13. Dalam berapa cara dua hadiah dapat diberikan kepada 10 kontestan, apabila kedua hadiah tersebut a. tidak boleh diberikan kepada orang yang sama b. boleh diberikan kepada orang yang sama 14. Berapa banyaknya bilangan yang terdiri dari 3 angka berlainan yang dapat disusun dari angka-angka 0,1,2,3,4, dan 5? 5 m a t h t h e e x p l o r e r

6 15. Dari angka-angka 0, 2, 4, 6, dan 8 akan disusun suatu bilangan yang terdiri dari 3 angka yang nilainya lebih dari 103. Berapa banyak bilangan yang terjadi jika angka-angkanya tidak boleh berulang? Soal Pemantapan 16. Dalam berapa cara 7 orang laki-laki dapat duduk dalam sebuah baris sehingga dua orang tertentu tidak pernah berdampingan? 17. Sebuah sekolah akan melakukan pemilihan ketua dan wakil ketua panitia LDKS. Ada 2 orang calon dari kelas X, 4 calon dari kelas XI, dan 3 orang calon dari kelas XII. Tentukan banyaknya cara memilih ketua dan wakil ketua OSIS apabila ketua harus mempunyai kelas yang lebih tinggi dari wakil ketua dan dari kelas yang berbeda. 18. Ada 5 orang naik mobil sedan (2 di depan dan 3 di belakang). Jika diantara mereka ada 3 orang yang dapat mengemudikan mobil, berapa banyaknya cara mereka duduk? 19. Dari A ke B ada 5 jalur, dari B ke C ada 2 jalur, dan dari C ke D ada 3 jalur. Seseorang ingin bepergian dari A ke D melalui B dan C pulang pergi. Berapa banyaknya cara seseorang melakukan perjalanan pulang pergi jika tidak boleh melalui jalur yang sama. 20. Tentukan banyaknya cara: a. lima surat dapat dikirimkan ke tiga kotak surat. b. tiga orang dapat masuk melalui lima pintu berbeda, jika setiap orang boleh melewati pintu yang sama. 21. Berapa macam susunan huruf yang dapat dibentuk oleh huruf-huruf pada kata PELUANG tanpa ada pengulangan, jika a. huruf ketiga adalah vokal? b. huruf kelima adalah konsonan? c. huruf kedua, keempat, dan keenam adalah vocal? 22. Berapa banyak bilangan yang bernilai antara 250 dan 400 dapat disusun dari angka-angka 1, 2, 3, 4, 5, 6 dan 7 dimana angka-angka tersebut boleh berulang? 23. Dalam berapa cara 9 buku yang berbeda dapat disusun pada sebuah rak buku sehingga 3 buku selalu bersama-sama. 24. Enam buku biologi berbeda, 5 buku kimia yang berbeda dan 2 buku fisika yang berbeda disusun pada sebuah rak buku sehingga buku biologi bersama-sama, buku kimia bersamasama, buku fisika bersama-sama. Berapakah banyaknya penyusunan yang mungkin? 25. Hitung jumlah dari bilangan 4 angka yang dapat dibentuk oleh angka-angka 2, 5, 3, dan 8 apabila setiap angka hanya digunakan sekalai dalam setiap pengaturan? 6 m a t h t h e e x p l o r e r

7 Eureka Notasi faktorial digunakan untuk mempermudah perhitungan dan penulisan dalam ilmu peluang. Apabila n bilangan asli, maka n! (baca: n faktorial) adalah n! = n(n-1)(n-2) ! = 1 Selesaikanlah soal-soal berikut dengan kaidah pencacahan, kemudian tuliskan dalam notasi faktorial? a. Imam memiliki satu pensil dan satu pulpen. Berapa banyaknya cara menyimpan pensil dan pulpen di saku bajunya? b. Berapa banyaknya urutan yang dapat terjadi apabila 3 orang siswa akan mengantri tiket konser musik? c. Berapa banyaknya susunan huruf yang dapat dibentuk dari huruf-huruf SAMPEL. d. Berikan 3 contoh permasalahan lain yang berkaitan dengan faktorial! Eksplorasi Hitunglah nilai-nilai berikut: a. 4! d. 5! 2! b. 2! + 3! dan (2 + 3)! e. 9! 7!2! c. 2! 3! dan (2+3)! a. 4! = = 24 b. 2! + 3! = = = ! = 5! = = 120 c. 2! 3! = = 2 6 = ! = 6! = = 720 d. 5! = = = 60 2! 2 1 = 36 e. 9! = 9 8 7! 7!2! 7!2 Hitunglah nilai-nilai berikut: a. 1! 7! b. 12! 9!3! 7 m a t h t h e e x p l o r e r

8 Tuliskan setiap bentuk berikut dalam notasi faktorial: a b a = ! 1! b. 10! = 6! ! = 1! 6!3! = 13! 1! Tuliskan setiap bentuk berikut dalam notasi faktorial: a. 7 6 b c ) Tentukan nilai n yang memenuhi persamaan berikut: a. n;1! = 7 n;2! n! b. = 12 n;2! Tentukan nilai n yang memenuhi persamaan berikut: a. b. ;3! = 12 ;4! ;3! = 30 ;5! a. n;1! = 7 n;1 n;2! = 7 n;2! n;2! n 1 = 7 n = 8 b. n! = 12 n n;1 n;2! n;2! n;2! n n 1 = 12 = 12 n 2 n 12 = 0 n 4 n + 3 = 0 n = 4 atau n = 3 Nilai n yang memenuhi adalah n = 4. 8 m a t h t h e e x p l o r e r

9 LATIHAN MANDIRI 2 Soal Pemahaman 1. Buku Matematika, Fisika, Kimia, dan Biologi (masing-masing 1 buah) akan ditumpuk di atas meja. Tentukan seluruh kemungkinan susunan buku yang dapat terjadi. 2. Write solution of following problem in factorial notation. a. You received three trophies: one for soccer, one for baseball, and one for track. How many different ways could you arrange these three trophies on your dresser? b. You have four coins: one dime, one nickel, one penny, and one quarter. How many different ways can you arrange them in order on your desk? c. The digits 2, 4, 5, 8, and 9 are to be used in a 3-digit ID card. How many different cards are possible if repetitions are not permitted? How many different arrangements are there of the digits 5641? 3. Tentukan nilai-nilai dari setiap notasi faktorial berikut: a. 6! d. 11! 7!8! b. 7! : 3! dan (7:3)! e. 13!7! 1!8! c. 8!7! 11! 4. Tentukan apakah pernyataan berikut benar atau salah! a. 7! 8! = 15! d. 9! 6! = 3! b. 7! 7! = 0! e. 7! + 3! = 10! c. 8! 6!2! = Tuliskan setiap bentuk berikut dalam notasi faktorial: a d. a(a-1)(a-2) (a-5), a>5 b c. ;1 ;2 ; Sederhanakan bentuk berikut: e. ;1 ;2 ; : a. b. c.! ;1! :1! ;1! ; :2! ; :1! Tentukan nilai n yang memenuhi persamaan berikut: a. b. c. :2! :1! = 10 ;2! ;4! = 20 :1! ;1!2! =! ;2! 9 m a t h t h e e x p l o r e r

10 Eureka Permutasi merupakan susunan yang dibentuk dari obyekobyek suatu kumpulan obyek dengan memperhatikan urutannya. Abdullah, Kiki, dan Fajar dicalonkan oleh teman-temannya untuk menjadi ketua dan wakil ketua kelas. a. Buatlah pasangan terurut yang menyatakan semua kemungkinan pasangan ketua dan wakil ketua kelas yang dapat terjadi. b. Apabila yang terpilih adalah Abdullah dan Kiki, apakah pasangan {Abdullah,Kiki} sama dengan pasangan {Kiki,Abdullah}? c. Berikan penjelasan apa yang dimaksud dengan diperhatikan urutannya! A. Permutasi n-obyek dari n-obyek berbeda Situasi: Ada n-obyek berbeda. Masalah: Menentukan banyaknya susunan terurut dari n-obyek yang ada. Notasi: np n, P(n,n) atau P n n. Sebuah susunan huruf yang terdiri dari 5 huruf berbeda (tak ada huruf yang digunakan berulang dalam susunan) akan dibentuk dari kata BUNGA. a. Sebutkan obyek-obyek yang digunakan untuk menyusun huruf tersebut! b. Apakah susunan huruf yang terbentuk memperhatikan urutan? c. Tentukan banyaknya susunan huruf yang dapat terbentuk dengan aturan perkalian! = d. Tuliskan rumusan umum untuk menentukan P(n,n). Tempat ke n 2 n 1 n Banyaknya cara = P(n,n) = 10 m a t h t h e e x p l o r e r

11 Eksplorasi Tentukan banyaknya tumpukan yang dapat dibentuk dari 12 buku yang berbeda! Banyaknya tumpukan yang dapat dibentuk dari 12 buku yang berbeda adalah P = 12! Tentukan banyaknya cara 7 orang mengantri tiket untuk menonton konser musik! Suatu konferensi dihadiri oleh 7 negara. Bendera masing-masing negara akan dikibarkan pada tiang yang diatur dalam satu baris. Berapa banyaknya susunan bendera yang dapat terjadi agar bendera 2 negara tertentu terletak di kedua ujungnya? Banyaknya susunan bendera 2 negara tertentu yang harus terletak di kedua ujung adalah P 2 2 = 2! = 2 Banyaknya susunan bendera 5 negara lain adalah P 5 5 = 5! = 120 banyaknya susunan bendera yang dapat terjadi agar bendera 2 negara tertentu terletak di kedua ujungnya adalah P 2 2 P 5 5 = 240 cara Tentukan banyaknya cara, jika 7 orang dari kota Bandung, 5 orang dari kota Sumedang, dan 3 orang dari kota Cimahi, duduk dalam satu baris sehingga yang sekota selalu berdampingan. B. Permutasi r-obyek dari n-obyek berbeda (r < n) Situasi: Ada n-obyek berbeda. Masalah: Menentukan banyaknya susunan terurut yang terdiri dari r-obyek dari n-obyek yang ada (r < n). Notasi: np r, P(n,r) atau P r n. Andi, Budi, Cardi, Dandi, dan Erdi mencalonkan diri dalam pemilihan ketua, wakil ketua, dan sekretaris OSIS. a. Dari 5 orang calon pengurus, berapa orang yang akan dihasilkan dalam pemilihan? b. Apakah pengurus yang dihasilkan dalam pemilihan memperhatikan urutan? 11 m a t h t h e e x p l o r e r

12 c. Tentukan banyaknya susunan pengurus yang dapat dihasilkan dalam pemilihan dengan aturan perkalian! = d. Tuliskan rumusan umum untuk menentukan P(n,r). Tempat ke n 2 n 1 n Banyaknya cara n (r 1) n r + 1 ; ; ; ; ; ; = P(n,r) = Eksplorasi Hitunglah nilai-nilai berikut: a. P(7,3) c. 6! P 5 4 b. P(30,1) a. P 7 3 = 7! = ! = = 210 7;3! 4! b. P 30 1 = 3! = 30 c. 6! = 6! P 5 4 5! 1! = 3.29! 3 ;1! 29! = 6! = 6.5! 5! 5! = 6 Hitunglah nilai-nilai berikut: a b ! Tentukan nilai n yang memenuhi persamaan 10. P n 4 = P n 5 P n 4 = 10. P n 5 n! n;4! = 10. n! = 10. n;4! n 5 = 10 n! n;5! n! n;5 n;4! Tentukan nilai n yang memenuhi persamaan 5 = n = 15 Nilai n yang memenuhi adalah n = m a t h t h e e x p l o r e r

13 Berapa banyaknya nomor kendaraan yang terdiri dari 4-angka berbeda yang dapat dibentuk? Membuat nomor kendaraan yang terdiri dari 4-angka berbeda merupakan permasalahan permutasi karena memperhatikan urutan yaitu urutan yang berbeda memiliki makna yang berbeda pula. Karena angka pertama tidak boleh angka 0 maka banyaknya cara membentuk angka pertama adalah P 9 1 = 9! = 9.8! = 9 9;1! 8! Banyaknya cara membentuk tiga angka berikutnya adalah P 10 3 = 1! = ! = 720 cara 1 ;3! 7! Banyaknya nomor kendaraan yang terdiri dari 4-angka berbeda yang dapat dibentuk adalah P 9 1. P 10 3 = = cara Berapa banyaknya password yang terdiri dari 3-angka berbeda dapat dibuat oleh seorang programmer dari himpunan angka {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}? Terdapat 2 buku matematika, 3 buku fisika dan 4 buku kimia akan disusun ke dalam rak yang hanya dapat memuat 6 buku. Berapa banyaknya cara menyusun 6 buku ke dalam rak jika buku kimia selalu bersama-sama? Karena kapasitas rak sebanyak 6 buku dan 4 buku kimia selalu bersama-sama, maka buku kimia harus disimpan di dalam rak. Banyaknya cara menyusun buku kimia, P 4 4 = 4! = 24 cara Banyaknya cara memilih 2 buku lainnya, P 5 2 = 5! = 5.4.3! = 20 cara 5;2! 3! Banyaknya cara menyusun buku kimia dan 2 buku lainnya, P 3 3 = 3! = 6 cara Banyaknya cara menyusun 6 buku ke dalam rak jika buku kimia selalu bersamasama, P 4 4. P 5 2. P 3 3 = cara 8 pemuda dan 3 pemudi akan duduk berjajar pada 7 buah kursi. Berapa macam posisi duduk yang mungkin jika semua pemudi selalu duduk berdampingan? 13 m a t h t h e e x p l o r e r

14 LATIHAN MANDIRI 3 Soal Pemahaman 1. Diantara pernyataan berikut, manakah permasalahan yang memperhatikan urutan! a. Imam diminta memilih 5 lukisan dari 7 lukisan yang tersedia dan memasangnya di dinding secara berderet. b. Dari 8 siswa akan dipilih 3 orang siswa untuk menjadi utusan mengikuti jambore pramuka. c. Seorang siswa akan membuat diagonal dari segi-9 yang tersedia. d. Siti akan menyusun bilangan 3-angka dari angka-angka pada bilangan e. Fajar memiliki 6 kaos dan 2 celana jeans. Dia akan memilih 1 kaos dan 1 celana untuk dipakai hari ini. 2. Hitunglah nilai-nilai berikut: a. P(8,2) d. b. P(6,5) e ! 4 1 3! c. P(10,10) 3. Tentukan nilai n yang memenuhi persamaan berikut: a. 7.P(n-1,3) = P(n,4) b. P(n+1,3) = 7 P(n,2) c. 3 P(n,4) = P(n+1,5) 4. Berapa banyaknya susunan huruf yang terdiri dari 6 huruf dari huruf-huruf pada kata SECANT? 5. Berapa banyaknya bilangan 2-angka yang dapat disusun dari angka-angka pada bilangan ? 6. Berapa banyak bilangan yang diawali angka 5 dapat dibentuk dari angka-angka 4, 5, 6, dan Berapa banyaknya susunan huruf yang dapat dibentuk dari huruf-huruf pada kata KEYBOARD apabila kata KEY selalu bersama-sama? Soal Pemantapan 8. Terdapat 5 buku matematika, 4 buku fisika, dan 3 buku kimia akan disusun ke dalam rak. Berapa susunan yang dapat terbentuk apabila: a. buku yang sejenis saling berdampingan. b. buku-buku matematika saja yang saling berdampingan. 9. Dari 10 karyawan yang potensial akan dipromosikan dua karyawan untuk menempati jabatan direktur dan wakil direktur. Berapa macam komposisi karyawan yang mungkin untuk menempati jabatan tersebut? 10. Berapa banyaknya bilangan ribuan yang dapat dibentuk dari kumpulan angka {1,2,3,4,5} apabila a. boleh ada pengulangan b. tidak boleh ada pengulangan c. tidak boleh ada pengulangan dan dimulai dengan angka 4. d. tidak boleh ada pengulangan dan diakhiri dengan m a t h t h e e x p l o r e r

15 Permutasi dengan beberapa obyek yang sama Eureka Situasi: Ada n-obyek yang beberapa diantaranya sama. Masalah: Menentukan banyaknya susunan terurut dari n-obyek yang ada. Notasi: P(n,(n 1,n 2,, n k)) Sebuah susunan huruf akan dibentuk dari kumpulan huruf {A,B,C,D,E}. a. Tentukan banyaknya susunan huruf yang dapat terbentuk! b. Apabila A=C=M, tentukan banyaknya susunan yang terbentuk! c. Apabila A=C=M dan B=D=E=N, tentukan banyaknya susunan yang terbentuk! d. Berdasarkan hasil dari a, b, dan c, tuliskan rumusan umum untuk menentukan P(n,(n 1,n 2,,n k )). P(n,(n 1,n 2,,n k )) = Eksplorasi Dari 3 buku yang berbeda masing-masing memiliki 2 salinan. Berapa banyaknya cara berbeda, buku-buku tersebut dapat diatur pada sebuah rak buku. Misalkan 3 buku berbeda adalah buku ABC. Karena setiap buku memiliki 2 salinan, maka buku-buku menjadi AABBCC. Banyaknya cara menyusun 6 buku adalah P = 6! = 72 = 90 susunan 2!2!2! 8 Berapa banyaknya susunan huruf berbeda yang dapat disusun dengan menggunakan huruf-huruf pada kata MATEMATIKA, jika a. masing-masing huruf tidak dibedakan. b. huruf terakhir selalu ditempati oleh huruf T. 15 m a t h t h e e x p l o r e r

16 D. Permutasi siklis Eureka Situasi: Ada n-obyek yang satu sama lain berbeda. Masalah: Menentukan banyaknya cara n-obyek berbeda disusun terurut secara melingkar. Notasi: P(n,siklis)) Huruf-huruf A, B, C, dan D akan disusun secara melingkar pada sebuah meja bundar. a. Pada bagan di bawah, posisi antar obyek pada kedua bagan sama. Apakah kedudukan setiap obyek dengan obyek yang lain berbeda? D A B C D A b. Karena pada permutasi siklis tidak memperhitungkan tempat kedudukan obyek pada lingkaran, tetapi yang diperhitungkan adalah posisi satu obyek terhadap obyek lainnya, bagaimana cara membuat susunan yang berbeda? C B c. Berapa banyaknya susunan yang berbeda apabila huruf-huruf A, B, C, dan D akan disusun secara melingkar pada sebuah meja bundar. d. Berdasarkan hasil dari a, b, dan c, tuliskan rumusan umum untuk menentukan P(n,siklis)! P(n,siklis) = Eksplorasi Enam orang akan duduk dengan posisi melingkar. Jika terdapat tiga sahabat yang selalu berdampingan, berapa macam posisi duduk mereka? Banyaknya posisi duduk tiga orang sahabat, P 3 3 = 3! = 6 macam Karena tiga orang sahabat tersebut selalu berdampingan, maka dapat dianggap menempati 1 posisi sehingga banyaknya posisi 4 orang yang disusun secara melingkar, P 4 siklis = 4 1! = 3! = 6 Banyaknya posisi duduk tiga orang sahabat dan 3 orang lainnya dengan posisi melingkar, P 3 3. P 4 siklis = 6.6 = 36 macam Sebanyak 5 pasang suami istri akan duduk pada suatu meja bundar. Tentukan banyaknya kemungkinan susunan yang dapat terjadi apabila a. pria dan wanita duduk berselang-seling. b. setiap wanita duduk berdampingan dengan suaminya. 16 m a t h t h e e x p l o r e r

17 LATIHAN MANDIRI 4 Soal Pemahaman 1. Berapa banyaknya permutasi yang dapat dibuat dari huruf-huruf pada kata KOSINUS, ALJABAR, DAN KURIKULUM. 2. Berapa banyak permutasi dari huruf-huruf pada kata STATISTIKA, jika a. masing-masing huruf tidak dibedakan. b. dimulai dari huruf S. c. diakhiri 3. Berapa banyak bilangan yang berbeda dapat disusun dari angka-angka pada bilangan berikut: a b Terdapat 5 bola merah, 4 bola putih, 3 bola biru, dan 2 bola hijau. Ada berapa cara bolabola itu dapat disusun secara berdampingan? 5. Kode morse adalah sebuah sistem yang terdiri dari titik, strip, dan spasi pada telegrap yang digunakan untuk mengirim pesan melalui kabel listrik. Berapa banyaknya kode yang dapat dibuat dengan menggunakan tiga titik, dua strip, dan dua spasi? 6. Berapa banyaknya cara enam orang dalam sebuah pesta dapat diatur tempat duduknya mengelilingi sebuah meja bundar? 7. Dengan mengikat 7 manik-manik yang berbeda warna bersama-sama, berapa banyaknya gelang berbeda yang dapat dibuat? Soal Pemantapan 8. Sebelas anggota KIR (Kelompok Ilmiah Remaja) berangkat ke lokasi penelitian dengan menggunakan 3 kendaraan mobil yang masing-masing berkapasitas 5 orang, 2 orang, dan 4 orang. a. Ada berapa cara yang dapat dilakukan untuk membagi anggota KIR ke dalam 3 mobil? b. Jika menjelang berangkat, satu orang di antara mereka tidak jadi berangkat, ada berapa cara untuk membagi ke dalam 3 mobil. 9. Apabila terdapat 5 anak laki-laki dan 2 anak perempuan duduk mengelilingi sebuah meja bundar, berapakah banyaknya cara mengatur posisi duduk mereka agar 2 anak perempuan selalu duduk berdampingan? 10. Delapan siswa suatu sekolah terdiri atas 2 siswa kelas X, 3 siswa kelas XI, dan 4 siswa kelas XII. Siswa-siswa itu duduk bersama-sama mengelilingi meja bundar. Dengan berapa cara mereka duduk, jika siswa dengan kelas yang sama selalu duduk bersama-sama. 17 m a t h t h e e x p l o r e r

18 Mata Pelajaran : Matematika Kelas : IX/Semester 1 Penulis: Addin Grahaddin Affandi, S.Si. Definisi Kombinasi Eureka Situasi: Ada n-obyek yang satu sama lain berbeda. Masalah: Menentukan banyaknya susunan yang terdiri dari r- obyek dari n-obyek yang ada tanpa memperhatikan urutannya. Notasi: C(n,r) Misalkan kita memiliki 5 buah titik A, B, C, D, dan E. a. Apabila akan dibuat suatu vektor (ruas garis berarah), apakah vektor yang dihasilkan memperhatikan urutan ( = )? Sebutkan vektorvektor yang dapat dihasilkan! b. Apabila akan dibuat suatu garis, apakah garis yang dihasilkan memperhatikan urutan (AB = BA)? Sebutkan semua garis yang dapat dihasilkan! c. Apabila akan dibuat suatu segitiga, apakah segitiga yang dihasilkan memperhatikan urutan ( ABC= BCA)? Sebutkan semua segitiga yang dapat dihasilkan! d. Berdasarkan hasil dari a, b, dan c, tuliskan rumusan umum untuk menentukan C(n,r). C(n,r) = e. Berikan penjelasan bagaimana membedakan bahwa suatu permasalahan dapat diselesaikan menggunakan permutasi atau kombinasi? Eksplorasi Tentukan nilai dari setiap pernyataan berikut, a. C(12,10) b. C(6,6) a. C = 12! 12;1!1! = ! 2!1! = 66 b. C 6 6 = 6! 6;6!6! = 6!!6! = 1 Tentukan nilai dari setiap pernyataan berikut, kemudian berikan suatu kesimpulan! a. C(25,3) dan C(25,2) b. C(100,100) 18 m a t h t h e e x p l o r e r

19 Carilah nilai n yang memenuhi persamaan 4. C n 2 = C n C n 2 = C n n! = n:2! n;2!2! n:2;3!3! n! = n:2 n:1 n! n;2!2! n;1 n;2!3.2! 4 = n:2 n:1 3 n;1 12n 12 = n 2 + 3n + 2 Carilah nilai n yang memenuhi persamaan berikut: a. C(n,n-2) = 10 b. P(n,4) = 30 C(n,5) n 2 9n + 14 = 0 n 2 n 7 = 0 n = 2 atau n = 7 Jadi nilai n yang memenuhi adalah n = 2 atau n = 7. Dalam berapa cara 12 buku dapat dibagi antara A dan B sedemikian rupa sehingga salah satu bisa mendapatkan 9 buku dan yang lainnya 3 buku? Kemungkinan I : Banyaknya cara A memperoleh 9 buku dan B memperoleh 3 buku, C C 3 3 = 12!. 3! 12;9!9! 3;3!3! ! =. 1 = 220 cara 3!9! Kemungkinan II : Banyaknya cara A memperoleh 3 buku dan B memperoleh 9 buku, C C 9 9 = 12!. 9! 12;3!3! 9;9!9! ! =. 1 = 220 cara 9!3! Jadi banyaknya cara 12 buku dapat dibagi antara A dan B sedemikian rupa sehingga salah satu bisa mendapatkan 9 buku dan yang lainnya 3 buku adalah = 440 cara. Sebuah panitia akan dibentuk dari 7 pria dan 5 wanita. Jika panitia tersebut terdiri dari 3 pria dan 2 wanita, ada berapa susunan kepanitiaan yang dapat dibentuk? 19 m a t h t h e e x p l o r e r

20 LATIHAN MANDIRI 5 Soal Pemahaman 1. Tentukan apakah permasalahan berikut diselesaikan menggunakan permutasi atau kombinasi, kemudian tentukan penyelesaiannya. a. Membuat bilangan 2-angka tidak berulang dari angka-angka 0,3,5, dan 7. b. Menggambar semua diagonal dari segi-6. c. Memilih 3 siswa untuk mewakili sekolah dalam konferensi di Jakarta. d. Mengambil 3 kaos dari 7 kaos yang ada di lemari. e. Sebelas orang berbaris untuk membeli tiket konser. 2. Hitunglah: a. C(5,2) c. C(7,3).C(8,5) 5 2 b. C(4,3) + C(6,5) d Tentukan nilai n yang memenuhi persamaan berikut: a. C(5,3) = C(n+1,4) b. 3 P(2n+4,3) = 2 P(n+4,4) c. 10 P(n,2) = P(n+1,4) 4. Jika setiap orang dari 20 orang yang ada saling berjabat tangan, ada berapa kali jabat tangan dapat dilakukan? 5. Diketahui ada 13 titik dimana tidak ada tiga atau lebih titik yang segaris. Berapa garis yang dapat dibuat? 6. Dua belas orang harus melakukan piket. Apabila setiap piket dilakukan oleh 4 orang, berapa banyaknya susunan yang dapat terjadi? 7. Delapan belas kesebelasan bertanding dalam sebuah kompetisi penuh (home and away). Berapa banyaknya pertandingan yang dilakukan selama satu musim kompetisi? Soal Pemantapan 8. Berapa cara dari 9 orang dapat dibagi dalam 3 kelompok yang anggotanya 4 orang, 3 orang, dan 2 orang? 9. Dua belas buku yang berbeda akan akan dibagi rata kepada 4 anak. Berapa jenis buku yang berbeda dapat diterima oleh masing-masing anak. 10. Sebuah organisasi memiliki 25 anggota, 4 diantaranya dokter. Dalam berapa carakah sebuah panitia dapat dipilih yang beranggotakan 3 orang termasuk sekurang-kurangnya 1 dokter? 20 m a t h t h e e x p l o r e r

21 Penjabaran Binomial Newton Eureka Perhatikan penjabaran binomial newton berikut ini: (a+b) 0 = 1 (a+b) 1 = 1 a + 1 b (a+b) 2 = 1 a ab + 1 b 2 (a+b) 3 = 1 a a 2 b + 3 ab b 3 a. Berapakah jumlah pangkat pada setiap sukunya? b. Bagaimana pola pangkat a dan b pada penjabaran binomial newton? c. Berapa banyaknya suku pada setiap penjabaran newton? d. Jika a dan b positif, maka semua suku positif. Berikan penjelasan bagaimana kalau b negatif? Bentuk umum penjabaran binomial Newton: a + b n = n i< C n i a n;i b i Perhatikan penjabaran binomial newton berikut ini: (a+b) 3 = (a+b)(a+b)(a+b) = 1 a a 2 b + 3 ab b 3 a. Untuk memperoleh suku a 2 b, komponen a 2 berasal dari hasil memilih 2 faktor dan komponen b berasal dari memilih 1 faktor. Berapa banyaknya cara memilih 3 obyek yang terdiri dari 2 obyek a dan 1 obyek b? b. Berdasarkan hasil pada a, tuliskan rumusan untuk menentukan koefisien a n-i b i? c. Tuliskan penjabaran binomial newton dari (x+2) 5! 21 m a t h t h e e x p l o r e r

22 Eksplorasi Tentukan suku ke-5 pada penjabaran x 2y 7. Binomial x 2y 7 dapat dituliskan dalam bentuk standar sebagai x + 2y 7 a = x; b = 2y; n = 7 Suku ke-5 pada penjabaran x 2y 7 adalah C 7 4 x 7;4 2y 4 7! 7;4!4! x3 2 4 y ! 3!4! 560x 3 y x 3. y 4 Tentukan suku ke-3 pada penjabaran Tentukan suku yang tidak memuat x pada penjabaran 2x x Binomial 2x dapat dituliskan x dalam bentuk standar sebagai 2x 2 + x ;1 9 a = 2x 2 ; b = x ;1 ; n = 9 Misalkan suku yang tidak memuat x adalah suku ke-p, maka C 9 p 2x 2 9;p x ;1 p 9!. 9;p!p! 29;p. x 18;2p. x ;p 9!. 9;p!p! 29;p. x 18;3p..1) Supaya tidak memuat x, maka pangkat variabel x sama dengan 0, 18 3p = 0 3p = 18 p = 6.2) Substitusi persamaan 2) ke 1), diperoleh 9! 9;6!6!. 29;6. x 18; ! 3!6! x = 672 Jadi suku yang tidak memuat x pada penjabaran 2x adalah 672. x Tentukan suku yang tidak memuat penjabaran pada 22 m a t h t h e e x p l o r e r

23 Tentukan koefisien x 6 pada penjabaran x Binomial x dapat dituliskan dalam bentuk standar sebagai x a = x 3 ; b = 2; n = 6 Misalkan suku yang memuat x 6 pada penjabaran x adalah C 6 p x 3 6;p 2 p..1) Agar memuat x 6, maka 3 6 p = 6 6 p = 2 p = 4.2) Substitusi persamaan 2) ke 1), diperoleh C 6 4 x 3 6; ! 6;4!4! x ! 2!4!. 16. x 6 = 240x 6 Tentukan koefisier 1 5 pada penjabaran Jadi, koefisien x 6 pada penjabaran x adalah 240. B. Himpunan Bagian Eureka a. Diketahui himpunan = = {1} = {1 2} dan {1 2 3}. Tuliskan semua himpunan bagian dari A dan tentukan rumus untuk menentukan banyaknya himpunan bagian. b. Misalkan suatu himpunan terdiri dari n anggota. Berapa banyaknya himpunan bagian yang terdiri dari 1 anggota, 2 anggota, dan r anggota. c. Apabila a=1 dan b=1, tentukan ekspansi binomial newton dari (a+b) n. d. Berdasarkan hasil pada a dan b, tuliskan rumusan untuk menentukan himpunan bagian. Eksplorasi Misalkan himpunan A = { }, tentukan banyaknya himpunan bagian yang terdiri dari paling banyak 6 anggota. Karena banyak himpunan bagian A adalah 2 7 = 128, maka banyaknya himpunan bagian yang terdiri dari paling banyak 5 anggota adalah 128 C C 7 7 = = 120 Dalam berapa carakah 2 dari atau lebih dapat dipilih dari 8 dasi. 23 m a t h t h e e x p l o r e r

24 LATIHAN MANDIRI 6 Soal Pemahaman 1. Tentukan penjabaran binomial newton dari: a d. 1 3 b. 2 5 e. 2 6 c Tuliskan suku yang ditunjukkan pada tiap-tiap penjabaran binomial newton berikut: a. suku ke-5 dari 7 b. suku ke-7 dari c. suku ke d. suku tengah Tentukan koefisien suku yang memuat a. 5 pada b. 6 pada c. 1 pada Tentukan suku yang tidak mengandung x pada penjabaran binomial newton Dengan menggunakan penjabaran binomial newton, hitunglah: a b c Tentukan jumlah koefisen-koefisien dari penjabaran binomial newton berikut: a. + 1 b c Tentukan: a. nilai n bulat positif, jika koefisien x 2 pada 1 + adalah 36. b. nilai n bulat positif, jika koefisien y 4 pada + 2 adalah 16. c. k dan n, jika 1 + = Tentukan banyaknya cara seseorang dapat memilih 1 atau lebih dari 4 peralatan listrik! 9. Berapakah banyaknya cara 8 wanita dapat membentuk sebuah panitia apabila sekurangkurangnya 3 wanita berada dalam panitia? 10. Tersedia 5 cat hijau yang berbeda, 4 cat biru yang berbeda, dan 3 cat merah yang berbeda. Berapa banyaknya pemilihan cat yang dapat dilakukan, untuk mengambil sekurangkurangnya 1 cat hijau dan 1 cat biru? 24 m a t h t h e e x p l o r e r

25 LATIHAN UJI KOMPETENSI Pilihlah Salah Satu Jawaban Yang Paling Tepat. 1. Dalam pemilihan murid teladan, tersedia calon yang terdiri atas 5 orang putra dan 4 orang putri. Apabila akan dipilih pasangan murid teladan yang terdiri atas seorang putra dan seorang putri, maka banyak pasangan yang dapat terpilih adalah a. 9 d. 20 b. 16 e. 36 c Seseorang ingin melakukan pembicaraan melalui telepon. Ada 5 pesawat telepon dan 6 nomor sambungnya yang berbeda. Banyaknya cara melakukan sambungan pembicaraan yang berbeda adalah a. 6 d. 56 b. 11 e. 65 c Banyaknya susunan huruf yang dapat dibentuk dari huruf-huruf pada kata KENARI, jika huruf pertama adalah huruf hidup dan boleh berulang adalah a. 80 d. 360 b. 120 e. 450 c Banyaknya susunan huruf berbeda yang dapat dibentuk dari huruf-huruf MALAKA adalah a. 24 d. 360 b. 48 e. 720 c Bentuk perkalian dapat disederhanakan menjadi a. 9! 4! b. 9! 3! d. 8! 3! e. 8 2! c. 8! 4! 6. Nilai dari dapat dituliskan sebagai a. 3(4!) d. 3 4 (4!) b. 3 2 (4!) e. 3 5 (4!) c. 3 3 (4!) 7. Nilai dari P(6,2) adalah a. 30 d. 10 b. 20 e. 5 c Diketahui ;1! ;2! = 9, maka nilai n adalah a. 8 d. 11 b. 9 e. 12 c Nilai x yang memenuhi persamaan P(x+2,5) = ½ P(x+1,6) adalah a. 5 d. 8 b. 6 e. 9 c Banyak permutasi 3 unsur yang diambil dari 10 unsur yang tersedia adalah a. 720 d. 360 b. 640 e. 60 c Dari angka-angka 0,1,2,3,4,5,6, dan 7 disusun bilangan tidak berulang yang terdiri dari 3 angka. Jika masingmasing bilangan itu lebih dari 430, maka banyaknya bilangan yang dapat disusun adalah a. 126 d. 149 b. 131 e. 151 c Banyak bilangan yang terdiri atas 4 angka tidak berulang yang disusun dari angka-angka 2,3,4,5,7, dan 9 adalah a. 6! d. 6! 4! b. 6! 2! e. 6! 5! c. 6! 5! 13. Ali, Bagong, Candra dan Darso hendak bekerja secara bergilir. Banyak urutan bekerja yang dapat disusun kalau Ali selalu pada giliran yang terakhir adalah a. 3 d. 18 b. 6 e. 24 c m a t h t h e e x p l o r e r

26 14. Dari 7 tangkai bunga yang berbedabeda warnanya, akan dibentuk rangkaian bunga yang terdiri dari 3 warna yang berbeda. Banyaknya cara menyusun rangkaian bunga tersebut adalah a. 30 d. 70 b. 35 e. 210 c Dari 10 orang calon, akan dipilih sebagai ketua, wakil, dan bendahara. Banyaknya susunan yang dapat terbentuk adalah a. 720 d. 10 b. 120 e. 7 c Suatu kompetisi olah raga diikuti 7 tim, yaitu A,B,C,D,E,F, dan G. Bendera tiap tim itu akan dikibarkan pada 7 tiang yang diatur dalam satu baris. Ada berapa cara untuk mengatur benderabendera itu agar bendera tim A dan tim B berada di ujung? a. 5! 2 d. 2 (5!) b. 5! e. 2(6!) c. 7! Nomor pegawai pada suatu perusahaan terdiri atas 3 angka dengan angka nol di depan tidak termasuk. Banyaknya cara untuk menyusun nomor pegawai yang genap adalah a. 500 d. 425 b. 475 e. 400 c Jika P(n+3,3)=P(n+2,4) untuk n>0, maka nilai n adalah a. 1 d. 4 b. 2 e. 5 c Jika diketahui C(5,3)=C(n+1,n) maka nilai n sama dengan a. 7 d. 10 b. 8 e. 11 c Diketahui himpunan H={a,b,c,d,e,f}. Banyak himpunan bagian dari H yang terdiri atas 3 unsur adalah a. 6 d. 20 b. 10 e. 25 c Himpunan A memiliki 10 anggota. Banyak himpunan bagian dari A yang mempunyai banyak anggota ganjil adalah a. 256 d. 564 b. 282 e c Dari kota A ke kota B ada 3 jalan. Dari kota B ke kota C ada 5 jalan dan dari kota C ke kota D ada 8 jalan. Banyaknya cara perjalanan dari kota A ke kota D lewat dan C pulang pergi dengan tidak melewati jalan yang sama adalah a d. 32 b e. 19 c Dari suatu kelompok kecil terdiri atas 9 orang akan dibentuk panitia yang terdiri atas 4 orang. Susunan panitia yang dapat terjadi adalah a. 36 d. 150 b. 72 e. 175 e Suatu kelompok belajar terdiri dari 30 siswa. Perbandingan banyak siswa putra dan putri adalah 2 : 1. Jika dalam kelompok belajar itu terdiri atas 3 orang, maka banyaknya susunan kelompok belajar yang terdiri dari siswa putra saja adalah a d b e c Seorang saudagar akan membeli 3 ekor kambing dengan 4 ekor kerbau dari seorang peternak yang memiliki 5 ekor kambing dan 5 ekor kerbau. Saudagar itu dapat memilihnya dengan cara a. 15 d. 50 b. 25 e. 120 c m a t h t h e e x p l o r e r

27 Soal Essai 26. Suatu kecamatan memerlukan 3 orang kepala desa untuk menempati tiga desa yang berbeda. Calon yang memenuhi kriteria ada 10 orang. Berapakah banyaknya formasi berbeda yang dapat terbentuk? 27. Dari angka-angka 0 sampai dengan 9 akan dibentuk bilangan 5-angka boleh berulang. Tentukan banyaknya bilangan yang terbentuk, apabila a. dimulai dengan angka 40 b. merupakan bilangan genap 28. Untuk x 0, suku tengah pada penjabaran (1 + x) 8 sama dengan ratarata hitung dari suku-suku yang berdampingan dengan suku tengah itu. Tentukan nilai x yang memenuhi. 29. A photographer is taking pictures of a bride and groom and their 6 attendants. If she takes photographs of 3 people in a group, how many different groups can she photograph? 30. A school librarian would like to buy subscriptions to 7 new magazines. His budget, however, will allow him to buy only 4 new subscriptions. How many different groups of 4 magazines can he choose? 27 m a t h t h e e x p l o r e r