BAB II LANDASAN TEORI

Transkripsi

1 BAB II LANDASAN TEORI 2.1. Tinjauan Pustaka Brecklin dan Chambers [2], memperkenalkan analisis Regresi M-kuantil yang merupakan suatu analisis regresi yang mempelajari cara mengetahui hubungan antara variabel bebas dan variabel tak bebas untuk nilai ekstrim, serta membentuk model dari variabel yang digunakan. Kemudian, Tzavidis dan Chambers [9] memperkenalkan pendekatan alternatif untuk mengestimasi wilayah kecil menggunakan Regresi M-kuantil efek random. Chambers dan Tzavidis [3], melakukan penelitian kembali mengenai Regresi M-kuantil pendekatan SAE dan memaparkan perbandingan Model Regresi M-kuantil model efek random pada estimasi wilayah kecil. Selanjutnya, Tzavidis et al. [10] mengembangkan penelitian mengenai Regresi M-kuantil pendekatan SAE untuk menggabarkan pemetaan kemiskinan suatu wilayah. Berdasarkan penelitian-penelitian mengenai Regresi M-kuantil yang telah dipublikasikan, penulis tertarik untuk menulis skripsi ini. Pada skripsi ini, dikaji ulang pembentukan model Regresi M-kuantil dan menggunakan metode Iterative Reweighted Least Square untuk mengestimasi parameternya Landasan Teori Pada penelitian ini terdapat beberapa teori-teori penunjang, antara lain pengertian konsep dasar regresi nonparametrik, teori dasar matriks, Small Area Estimation (SAE), Integral Riemann-Stieltjes, Regresi M-kuantil, metode IRLS, fungsi pembobot Huber, dan uji kebaikan model. 4

2 Regresi Nonparametrik Regresi nonparametrik merupakan analisis regresi yang digunakan untuk mengetahui hubungan antara variabel bebas dan variabel tak bebasnya tidak mengikuti salah satu distribusi tertentu. Analisis regresi nonparametrik tidak memerlukan data yang memenuhi asumsi normalitas. Menurut Yatchew dan Hardle [11], secara umum model regresi nonparametrik dapat dituliskan sebagai berikut. : variabel bebas ke-, : variabel tak bebas ke-, : fungsi smooth yang tidak diketahui, : residu yang saling bebas ke Teori Dasar Matriks Menurut Jain dan Gunawardena [4], teori dasar matriks sebagai berikut. Definisi Susunan bilangan-bilangan atau symbol dalam bentuk segi empat siku-siku disebut matriks. Susunan bilangan tersebut terdiri dari m baris dan n kolom. ( ) Definisi Matriks Diagonal adalah matriks yang memiliki nilai tidak sama 0 pada diagonalnya dan bernilai 0 pada elemen yang lain. ( ) 5

3 Definisi Jika A = adalah matriks maka tranpos A dinotasikan yang merupakan matriks dimana untuk semua i, j. ( ) Definisi Jika A merupakan matriks dan matriks B memiliki ukuran yang sama matriks A dan diperoleh AB =I= BA dimana I adalah matriks identitas, maka A disebut invertible dan B adalah invers dari A Small Area Estimation (SAE) Suatu area dikatakan kecil apabila sampel yang diambil dari area tersebut menghasilkan estimasi langsung yang tidak akurat. Metode SAE digunakan untuk meningkatkan ketepatan hasil estimasi langsung pada derah kecil. Menurut Rao [7], estimasi metode SAE dibedakan menjadi 2, yaitu Design Based Estimator dan Model Based Estimator. Design Based Estimator adalah metode pendugaan suatu daerah berdasarkan data pada daerah itu sendiri. Metode ini tidak dapat menduga daerah yang tidak tersurvei, sedangkan Model Based Estimator merupakan metode pendugaan suatu daerah menghubungkan informasi pada daerah tersebut daerah yang tidak tersurvei. Design Based Estimator terdiri dari beberapa teknik pendugaan, salah satunya yaitu General Regression Estimator(GREG). Metode GREG merupakan metode pendugaan yang dapat menggunakan informasi tambahan yang berkorelasi untuk meningkatkan ketepatan. Nilai dari pendugaan ini adalah ratarata variabel yang diamati dari setiap unit sampel pada setiap wilayah. Sebagaimana ditulis oleh Rao[7], persamaan metode GREG yaitu 4 5 : penduga GREG, 6

4 perpustakaan.uns.ac.id : pembobot untuk rumah tangga ke-i, daerah kecil ke-j, dan individu ke-k, : variabel tak bebas untuk rumah tangga ke-i, daerah kecil ke-j, dan individu, ke-k : estimasi jumlah populasi seluruh rumah tangga ke-i pada daerah kecil kej, : estimasi parameter, : rata-rata sampel ke-i Integral Riemann-Stieltjes Menurut Muslich [6], Integral Riemann-Stieltjes merupakan bentuk perluasan dari Integral Reimann. Bentuk umum Integral Riemann-Stieltjes dapat dituliskan seperti berikut. merupakan integran dan merupakan integrator. Definisi Fungsi f:[a,b] R terbatas dan :[a,b] R naik monoton pada [a,b],dikatakan terintegral Riemann-Stieltjes terhadap pada [a,b] ditulis singkat [ ] jika nilai Infimum=Supremum. Teorema Jika pada[a,b] dan jika a<c<b maka pada [a,c] dan [c,b] dan berlaku. Teorema Jika kontinu pada imterval [a,b] dan merupakan fungsi monoton naik pada interval [a,b] maka 7

5 Integral Riemann-Stieltjes dapat direduksi menjadi Integral Riemann, apabila fungsi mempunyai turunan dan terbatas pada interval terbuka Sifat Integral Riemann-Stieltjes hampir sama Integral Riemann pada saat integratornya monoton naik Regresi M-kuantil Regresi Kuantil adalah metode pendekatan yang digunakan untuk membentuk suatu model berdasarkan data yang bernilai ekstrim [2]. Kelebihan dari metode ini yaitu dapat mengetahui perlakuan antara variabel bebas dan variabel tak bebas pada bagian awal, tengah, atau akhir dari data. Secara umum dapat dinyatakan sebagai berikut. : sampel ke-i, : daerah kecil ke-j, : variabel tambahan, : vektor efek random. Regresi M-kuantil merupakan bagian dari Regresi Kuantil, dimana perlakuan antara variabel bebas dan variabel tak bebas dapat dilihat pada setiap kuantil. Dalam metode ini, dapat dibentuk beberapa model untuk beberapa kuantil yang diinginkan. Sehingga diperoleh model terbaik dari beberapa model yang telah didapat sebelumnya. Model Regresi M-kuantil kuantil ke- ditulis sebagai berikut. (2.1) bernilai. Menurut Tzavidis et al. [10], jika M-kuantil digunakan untuk mengestimasi daerah kecil unit sampel ke-, maka persamaan (2.1) menjadi. 8

6 Iterative Reweighted Least Square Menurut Bjorck [1], metode IRLS merupakan metode pendekatan numerik menggunakan fungsi pembobot. Prosedur metode ini membutuhkan proses iterasi nilai pembobot yang berubah pada setiap iterasinya. Estimasi parameter dapat dituliskan sebagai, : kuantil ke q, : matriks variabel bebas, : matriks n variabel tak bebas, : matriks diagonal pembobot sampel Fungsi Pembobot Huber Fungsi Pembobot Huber merupakan salah satu fungsi pembobot yang dapat digunakan untuk mengestimasi parameter metode IRLS. Bjorck [1] menuliskan bahwa persamaan fungsi pembobot Huber sebagai berikut. { : skala residual, : fungsi pembobot Huber, : konstanta pembobot Huber bernilai 1,345. 9

7 Uji Kebaikan Model Setelah diperoleh model Regresi M-kuantil, dilakukan uji lanjut yaitu uji kebaikan model. Uji kebaikan model pada Regresi M-kuantil ini, diuji berdasarkan nilai Mean Square Error (MSE). Model nilai MSE paling kecil diantara yang lain, merupakan model Regresi M-kuantil yang terbaik. MSE pada Regresi M-kuantil pendekatan SAE,, dapat dituliskan sebagai berikut. ( ) { ( )} ( ) { } dan ( ) Kerangka Pemikiran Analisis regresi nonparametrik merupakan metode analisis untuk menangani data yang tidak memenuhi asumsi regresi parametrik. Regresi M-kuantil merupakan salah satu contoh regresi nonparametrik yang dapat melihat pengaruh variabel bebas terhadap variabel tak bebas pada bagian awal, tengah, dan akhir dari data sampel. Regresi M-kuantil juga dapat digunakan untuk mengestimasi suatu wilayah kecil. Oleh karena itu, diperkenalkan pendekatan Regresi M-kuantil yang didasarkan pendugaan wilayah kecil menggunakan metode GREG. Parameter dari model tersebut diestimasi menggunakan metode IRLS. Metode IRLS merupakan pengembangan dari metode Weighted Least Square (WLS). Dalam proses estimasi parameter metode IRLS, digunakan fungsi pembobot Huber. Kemudian, melakukan proses iterasi. Setelah diperoleh nilai parameter yang konvergen, dilakukan pembentukan model regresi M- kuantil. 10