PERBANDINGAN METODE KUADRAT TERKECIL DAN METODE KEMUNGKINAN MAKSIMUM DALAM PENDUGAAN PARAMETER DISTRIBUSI WEIBULL DENGAN DUA PARAMETER.

Transkripsi

1 PERBANDINGAN METODE KUADRAT TERKECIL DAN METODE KEMUNGKINAN MAKSIMUM DALAM PENDUGAAN PARAMETER DISTRIBUSI WEIBULL DENGAN DUA PARAMETER Skripsi Diajukan untuk Memenuhi Salah Satu Syarat Memperoleh Gelar Sarjana Program Studi Matematika Oleh: Roswita Putri Arcelia Hede NIM: PROGRAM STUDI MATEMATIKA JURUSAN MATEMATIKA FAKULTAS SAINS DAN TEKNOLOGI UNIVERSITAS SANATA DHARMA YOGYAKARTA 2016 i

2 COMPARISON OF LEAST SQUARE METHOD AND MAXIMUM LIKELIHOOD METHOD FOR ESTIMATING THE TWO PARAMETER WEIBULL DISTRIBUTION Thesis Presented as Partial Fulfillment of the Requirements to Obtain Sarjana Sains Degree in Mathematics By: Roswita Putri Arcelia Hede Student Number: MATHEMATICS STUDY PROGRAM, MATHEMATICS DEPARTEMENT FACULTY OF SCIENCE AND TECHNOLOGY SANATA DHARMA UNIVERSITY 2016 ii

3 ''' "1:;-.+' PERBAIIDINGAN METODE KUADRAT TERKECIL DAN METODE KEMT]NGKINAIY MAKSIMTIM DALAM PNIYDUGAAFI PARAMETER A}TDUAPARAMETER fl** m*{ d **@-gg "'%*fi***d Dgsen Pembimbing 6rrh^/./*'q (Ir. Ig.Aris Dwiatmoko, M. Sc. Tanggal: Juni 2016 lll

4 SKRIPSI PERBANDINGAI\I METODE KUADRAT TERKECIL DAN METODE KEMUNGKINAI{ NNA(SNVTUM DALAM PENDUGAAI\ PARAMETER DISTRIBUSI WEIBULL DENGAN DUA PARAMETER Disiapkan dan ditulis oleh: Roswita Putri Arcelia Hede NIM: Telah dipertahankan dihadapan Panitia Penguj i Pada tanggal 22 Juni 20 6 Nama lengkap Dan dinyatakan memenuhi syarat Susunan Panitia Penguji Ketua: Y. G. Hartono Ph.D. Sekretaris: Dr. rer. nat. Herry Pribawanto Suryawan Anggota: Ir. Ig. Aris Dwiatmoko, M.Se. Yg Yogyakarta, lj J u /i 2o 1 6 Fakultas Sains dan Teknoloei frtt^'{ 9A fr#,/'ol i Mungkasi, Ph.D. tv

5 HALAMAN PERSEMBAHAN Bagi Tuhan tak ada yang mustahil Lukas 1:37 Skripsi ini dipersembahkan untuk Tuhan Yesus Kristus dan Bunda Maria yang selalu menyertai dan memberkatiku dengan berkatnya yang melimpah Kedua orang tua Yohanes Hede dan Elisabet M. Adat Nenek Lusia D. Bunga Adik-adik tercinta Marry Grace Florensia Hede dan Alm. Hendrikus Alvian Hede Serta almamater yang kubanggakan v

6 PERNYATAAN KEASLIAN KARYA Saya menyatakan dengan sesungguhnya bahwa skripsi yang saya tulis ini tidak memuat karya atau bagian karya orang lain, kecuali yang telah disebutkan dalam kutipan dan daftar pustaka, sebagaimana layaknya karya ilmiah. Yogyakarta, 16 Mei 2016 Penulis Roswita Putri Arcelia Hede VI

7 ABSTRAK Distribusi Weibull adalah salah satu distribusi probabilitas kontinu. Sama seperti distribusi probabilitas lainnya, distribusi Weibull dicirikan oleh mean, variansi dan momen. Hal yang paling penting dalam mengkaji suatu distribusi adalah pendugaan parameter. Metode yang digunakan dalam menduga parameter distribusi Weibull dengan dua parameter adalah Metode Kuadrat Terkecil (Least Square Method dan Metode Kemungkinan Maksimum (Maximum Likelihood Method. Metode Kuadrat Terkecil menduga parameter distribusi Weibull yang meminimumkan Jumlah Kuadrat Galat (Sum of Square Error. Metode kemungkinan Maksimum adalah metode pendugaan yang memaksimumkan fungsi likelihood. Pemilihan metode terbaik diantara keduanya didasarkan pada perbandingan Rata-Rata Kuadrat Galat (Mean Square Error. Metode yang lebih baik adalah metode yang memiliki Rata-Rata Kuadrat Galat minimum. Perbandingan kedua metode diterapkan pada data rata-rata kecepatan angin per bulan di Enugu dan Sumenep. Kata kunci: distribusi Weibull, pendugaan parameter, Metode Kuadrat Terkecil, Metode Kemungkinan Maksimum, Rata-Rata Kuadrat Galat. vii

8 ABSTRACT Weibull distribution is one of the continuous probability density function. Similar to other continuous probability function, Weibull distribution characterized by mean, variance, and moment. The most important thing in analyzing a distribution is parameter estimation. The method used in estimation of the two Weibull distribution parameters is Least Square Method and Maximum Likelihood Method. Least Square Method estimate the Weibull parameter distribution that minimizes the Sum of Square Error. Maximum Likelihood Method is a estimation method that maximizes the likelihood function. Choosing the best method of the two is done by comparising the mean square error. The better method has the minimum Mean Square Error. The comparison of the two method is applied to the monthly average data of wind velocity in Enugu and Sumenep. Keyword: Weibull distribution, parameter estimation, Least Square Method, Maximum Likelihood Method, Mean Square Error viii

9 LEMBAR PERTANYAAN PERSETUJUAN PT]BLIKASI KARYA ILMIAII UNTTiK KEPENTINGAN AKADEMIS Yang bertanda tangan dibawah ini, saya mahasiswa Universitas Sanata Dharma: Nama : R0swita Putri Arcelia Hede Nomer Mahasiswa ; Demi pengembangan ilmu pengetahuan, saya memberikan kepada Perpustakaan Universitas Sanata Dharma karya ilmiah yang berjudul: PERBANDINGAN METODE KUADRAT TERKECIL DAN METODE KEMUNGKINAI\ MAKSIMUM DALAM PENDUGAAN PARAMETER DISTRIBUSI WEIBULL DENGAN DUA PARAMETER Beserta perangkat yang diperlukan (bila ada. Dengan demikian saya memberikan kepada Perpustakaan Universitas Sanata Dharma hak untuk menyimpan, mengalihkan dalam bentuk media lain, mengelolanya dalam bentuk pangkalan data, mendistribusikannya secara tetbatas, dan mempublikasikannya di intemet atau media lain untuk kepentingan akademis tanpa meminta ijin dari saya maupun memberikan royalti kepada saya selama tetap mencantumkan nama saya sebagai penulis. Demikian pernyataan ini saya buat dengan sebenarnya. Dibuat di Yogyakarta Padatanggal: 16 Mei 2016 Yang menyatakan (Roswita Putri Arcelia Hede lx

10 KATA PENGANTAR Puji syukur penulis haturkan ke hadirat Tuhan Yang Maha Kuasa atas segala berkat dan penyertaannya sehingga penulis dapat menyelesaikan skripsi dengan baik. Skripsi yang berjudul Perbandingan Metode Kuadrat Terkecil dan Metode Kemungkinan Maksimum Dalam Pendugaan Parameter Distribusi Weibull dengan Dua Parameter ini adalah salah satu syarat untuk memperoleh gelar sarjana Matematika pada Fakultas Sains dan Teknologi. Dalam penulisan skripsi ini, tentunya penulis telah menerima bantuan baik secara moril maupum materil dari berbagai pihak. Oleh karena itu penulis ingin menyampaikan ucapan trima kasih kepada: 1. Bapak Ir. Ig. Aris Dwiatmoko. M. Sc selaku dosen pembimbing yang dengan penuh kesabaran telah memberikan bimbingan nasihat dan arahan kepada penulis. 2. Bapak Hartono Ph. D, selaku Ketua Program Studi yang telah memberikan banyak bimbingan dalam hal akademik dan perkuliahan. 3. Serta bapak dan ibu dosen yang telah memberikan banyak ilmu pengetahuan kepada penulis selama menjalani perkuliahan di Universitas Sanata Dharma. 4. Mas Susilo selaku laboran yang telah banyak membantu penulis dalam perkuliahan terutama dalam penulisan skripsi ini. 5. Perpustakaan Universitas Sanata Dharma dan staf sekretariat Fakultas Sains dan Teknologi yang telah memberikan fasilitas dan kemudahan pembelajaran, serta administrasi bagi penulis selama masa perkuliahan. x

11 6. Bapa dan Mama yang penulis cintai dan banggakan, nenek Lusia D. Bunga, serta adik Marry Grace Florensia Hede yang telah banyak memberikan dukungan dan pengorbanan sehingga penulis dapat menyelesaikan studi dengan baik. 7. Teman-teman angkatan 2012 Program Studi Matematika yaitu Sila, Risma, Happy, Bobi, Tika, Ajeng, Oksi, Juli, Ferni, Arum, Ilga, Lia, Noni, Dewi, Manda, Anggun, Budi, Rian, Ega, yang telah memberikan dukungan dan semangat dalam perkuliahan terlebih dalam penyusunan skripsi ini. 8. Teman-Teman kos Cintia: Archa, Lisa, Nova, Tia, Mb. Ela, Mb. Ria, Mb Ketrin, Mb. Intan, Awang, Hera, Tanti dan juga Asri dan Digna yang selalu memberikan semangat dalam penyelesaian skripsi ini. 9. Semua pihak yang tidak dapat disebutkan satu persatu yang telah banyak memberikan bantuan, dorongan dan motivasi sehingga skripsi ini dapat terselesaikan. Penulis menyadari bahwa skripsi ini masih jauh dari kesempurnaan, maka saran dan kritik yang konstruktif dari semua pihak sangat diharapkan demi penyempurnaan selanjutnya. Semoga skripsi ini dapat bermanfaat bagi semua pihak, khususnya bagi penulis dan para pembaca pada umumnya. Yogyakarta, 16 Mei 2016 Penulis (Roswita Putri Arcelia Hede xi

12 DAFTAR ISI HALAMAN JUDUL... i HALAMAN JUDUL DALAM BAHASA INGGRIS... ii HALAMAN PERSETUJUAN PEMBIMBING... iii HALAMAN PENGESAHAN... iv HALAMAN PERSEMBAHAN... v HALAMAN PERNYATAAN KEASLIAN KARYA... vi HALAMAN ABSTRAK... vii HALAMAN ABSTRACT... viii LEMBAR PERNYATAAN PERSETUJUAN PUBLIKASI... ix KATA PENGANTAR... x DAFTAR ISI... xii DAFTAR TABEL... xv DAFTAR GAMBAR... xvi BAB I PENDAHULUAN... 1 Latar Belakang Masalah... 1 A. Rumusan Masalah... 3 B. Pembatasan Masalah... 4 C. Tujuan Penulisan... 4 D. Manfaat Penulisan... 4 E. Metode Penulisan... 5 F. Sistematika Penulisan... 5 BAB II LANDASAN TEORI... 9 A. Distribusi Probabilitas Variabel Random Fungsi Probabilitas... 9 a. Distribusi Probabilitas Diskrit... 9 b. Distribusi Probabilitas Kontinu xii

13 3. Fungsi Distribusi Kumulatif Karakteristik Distribusi Probabilitas a. Mean b. Variansi c. Momen d. Fungsi Pembangkit Momen B. Distribusi Gamma dan Sifat-Sifatnya Mean Variansi Fungsi Pembangkit Momen C. Distribusi Weibull dengan Dua Parameter Sifat-Sifat Statistis Distribusi Weibull dengan Dua Parameter a. Mean b. Variansi c. Momen Grafik Distribusi Weibull D. Pendugaan Parameter Penduga Titik Penduga Interval E. Bias dan Rata-Rata Galat Kuadrat dari Penduga Titik F. Metode Kuadrat Terkecil Sifat-Sifat Penduga Kuadrat Terkecil G. Uji Kolmogorov Smirnov H. Uji Distribusi Weibull Menggunakan Uji Kolmogorov Smirnov I. Metode Kemungkinan Maksimum J. Metode Kemungkinan Maksimum Dalam Regresi Linear Sederhana K. Metode Newton Raphson BAB III PENDUGAAN PARAMETER DISTRIBUSI WEIBULL DENGAN METODE KUADRAT TERKECIL DAN METODE KEMUNGKINAN MAKSIMUM xiii

14 A. Distribusi Weibull dengan Dua Parameter B. Penduga Parameter Distribusi Weibull dengan Metode Kuadrat Terkecil C. Pendugaan Parameter Distribusi Weibull dengan Metode Kemungkinan Maksimum BAB IV APLIKASI DISTRIBUSI WEIBULL DENGAN DUA PARAMETER A. Pendugaan Parameter Distribusi Weibull dengan Metode Kuadrat Terkecil Menggunakan Data Rata-Rata Kecepatan Angin Per Bulan di Enugu Transformasi Model Regresi Distribusi Weibull Estimasi Parameter B. Pendugaan Parameter Distribusi Weibull dengan Metode Kemungkinan Maksimum Menggunakan Data Rata-Rata Kecepatan Angin Per Bulan di Enugu C. Uji Distribusi Weibull D. Perbandingan Metode Kuadrat Terkecil dan Metode Kemungkinan Maksimum E. Pendugaan Parameter Distribusi Weibull dengan Metode Kuadrat Terkecil Menggunakan Data Rata-Rata Kecepatan Angin Per Bulan di Sumenep F. Pendugaan Parameter Distribusi Weibull dengan Metode Kemungkinan Maksimum Menggunakan Data Rata-Rata Kecepatan Angin Per Bulan di Sumenep G. Uji Distribusi Weibull H. Perbandingan Metode Kuadrat Terkecil dan Metode Kemungkinan Maksimum BAB V PENUTUP A. Kesimpulan B. Saran DAFTAR PUSTAKA LAMPIRAN xiv

15 DAFTAR TABEL Tabel 2.1 Data Hasil Audit dan Nilai Buku Tabel 2.2 Data Contoh Tabel 3.1 Data Rata-Rata Kecepatan Angin Per Bulan ( Di Kolkata Tabel 4.1 Data Rata-Rata Kecepatan Angin Per Bulan ( Di Enugu Tabel 4.2 Data Rata-Rata Kecepatan Angin Per Bulan Di Sumenep, Jawa Timur xv

16 DAFTAR GAMBAR Gambar 2.1 Grafik Distribusi Weibull dengan dan dan Gambar 3.1 Grafik Fungsi Probabilitas Distribusi Weibull dengan dan Gambar 3.2 Grafik ( dan ( Gambar 3.3 Grafik Fungsi Probabilitas Distribusi Weibull dengan dan Gambar 4.1 Grafik Fungsi Probabilitas Distribusi Weibull dengan dan Gambar 4.2 Grafik Fungsi Probabilitas Distribusi Weibull dengan dan Gambar 4.3 Grafik Fungsi Probabilitas Distribusi Weibull dengan dan Gambar 4.4 Grafik Fungsi Probabilitas Distribusi Weibull dengan dan xvi

17 BAB I PENDAHULUAN A. Latar Belakang Pendugaan adalah pokok bahasan dalam statistika yang berhubungan dengan pendugaan nilai-nilai parameter berdasarkan data yang diukur/data empiris yang berasal dari sampel acak. Tujuan dari statistik adalah menggunakan informasi yang terkandung dalam sampel untuk membuat kesimpulan tentang populasi dari mana sampel tersebut di ambil. Parameter adalah suatu konstanta yang mencirikan (merupakan karakteristik populasi. Penduga berupaya untuk mengaproksimasi parameter yang diketahui tersebut menggunakan pengukuran. Dalam mengkaji suatu distribusi hal yang paling penting adalah masalah menduga parameternya. Dalam teori probabilitas, distribusi Weibull adalah distribusi probabilitas kontinu dan merupakan satu dari distribusi yang digunakan pada praktek ilmu teknik. Distribusi ini pertama kali diperkenalkan oleh ilmuwan dari Swedia yang bernama Waloddi Weibull. Walodi Weibull menemukan distribusi Weibull pada tahun 1937 dan disampaikan pada jurnal Hallmark Amerika pada tahun 1950 meskipun pertama kali diidentifikasi oleh Fréchet (1927 dan pertama kali diterapkan oleh Rosin dan Rammler (1933 untuk menggambarkan distribusi ukuran partikel. Weibull mengklaim bahwa distribusi ini dapat diaplikasikan pada berbagai masalah. Distribusi ini pada awalnya mendapat tanggapan negatif dari para ahli. 1

18 2 Selama lebih dari setengah abad distribusi Weibull telah menarik perhatian para ahli statistika yang mempelajari teori dan metode dalam berbagai bidang penerapan statistika. Ditribusi Weibull akhirnya menjadi orientasi dari ahli statistika karena kelebihannya yakni dapat digunakan dalam berbagai bidang mulai dari uji hidup (life testing, peramalan cuaca, serta observasi antara lain dalam bidang ekonomi, administrasi bisnis, hidrologi, biologi, dan ilmu-ilmu rekayasa. Variable random dikatakan mempunyai distribusi Weibull bila fungsi probabilitasnya : { ( dengan adalah parameter bentuk (shape parameter dan adalah parameter skala (scale parameter. Distribusi Weibull termasuk dalam keluarga distribusi Eksponensial, hal itu dapat dilihat dari persamaan di atas. Jika maka fungsi densitas probabilitas tersebut menjadi : { ( Dalam menduga parameter distribusi Weibull dengan dua parameter, penulis menggunakan Metode Pendugaan Kuadrat Terkecil (Least Square Method dan Metode Kemungkinan Maksimum (Maximum Likelihood Method. Metode Kuadrat Terkecil adalah salah satu metode yang sering digunakan untuk mendapatkan nilai-nilai penduga dalam pemodelan regresi yang meminimumkan

19 3 jumlah kuadrat galat. Sedangkan Metode Kemungkinan Maksimum adalah metode pendugaan yang memaksimumkan fungsi likelihood. Sesuai dengan uraian diatas, maka penulis ingin mempelajari lebih jauh tentang distribusi Weibull dan sifat-sifatnya dan membandingkan pendugaan parameter distribusi Weibull dengan dua parameter menggunakan Metode Kuadrat Terkecil dan Metode Kemungkinan Maksimum. Dalam skripsi ini, penulis menggunakan Rata-Rata Kuadrat Galat (Mean Square Error untuk menentukan metode terbaik dalam menduga parameter distribusi Weibull dengan dua parameter. Rata-Rata Kuadrat Galat adalah ukuran keakuratan dari penduga. Metode yang terbaik dalam menduga parameter distribusi Weibull adalah metode yang memiliki Rata-Rata Kuadrat Galat minimum. B. Rumusan Masalah Adapun rumusan masalah dalam tulisan ini adalah 1. Bagaimana sifat-sifat statistis distribusi Weibull? 2. Bagaimana mengestimasi parameter distribusi Weibull dengan dua parameter menggunakan Metode Kuadrat Terkecil? 3. Bagaimana mengestimasi parameter distribusi Weibull dengan dua parameter menggunakan Metode Kemungkinan Maksimum? 4. Bagaimana membandingkan metode terbaik dalam mengestimasi parameter distribusi Weibull dengan dua parameter?

20 4 C. Pembatasan Masalah Adapun beberapa hal yang dibatasi penulis dalam tulisan ini adalah 1. Dalam mengestimasi parameter distribusi, penulis hanya akan membahas pendugaan parameter distribusi Weibull dengan dua parameter menggunakan Metode Kuadrat Terkecil dan Metode Kemungkinan Maksimum. 2. Penulis tidak membahas pendugaan interval dari distribusi Weibull dengan dua parameter. 3. Penulis tidak akan mengkaji generalisasi dan modifikasi dari distribusi Weibull. 4. Penulis tidak mencantumkan semua teori yang digunakan, tetapi hanya dibatasi oleh teori yang digunakan secara langsung. D. Tujuan Penulisan Tujuan yang ingin dicapai penulis dalam penulisan ini adalah ingin mengestimasi parameter distribusi Weibull dengan dua parameter dengan Metode Kuadrat Terkecil (Least Square Method dan Metode Kemungkinan Maksimum (Maximum Likelihood Method serta membandingkan kedua metode tersebut untuk menentukan metode terbaik dalam mengestimasi parameter distribusi Weibull dengan dua parameter. E. Manfaat Penelitian Manfaat yang diperoleh setelah mempelajari topik ini adalah dapat mempelajari sifat-sifat distribusi Weibull dan metode pendugaan distribusi

21 5 Weibull dengan dua parameter serta menentukan metode terbaik dalam menduga parameter distribusi Weibull dengan dua parameter. F. Metode Penelitian Metode yang digunakan penulis dalam penyusunan tugas akhir adalah studi pustaka, yaitu dengan mempelajari buku-buku atau jurnal yang berkaitan dengan estimasi parameter distribusi Weibull. G. Sistematika Penulisan BAB I. PENDAHULUAN A. Latar Belakang B. Perumusan Masalah C. Pembatasan Masalah D. Tujuan Penulisan E. Manfaat Penulisan F. Metode Penulisan G. Sistematika Penulisa BAB II. LANDASAN TEORI A. Distribusi Probabilitas 1. Variabel Random 2. Fungsi probabilitas a. Distribusi Probabilitas Diskret b. Distribusi Probabilitas Kontinu

22 6 3. Fungsi Distribusi Kumulatif 4. Karakteristik Distribusi Probabilitas a. Mean b. Variansi c. Momen d. Fungsi Pembangkit Momen B. Distribusi Gamma dan Sifat-Sifatnya 1. Mean 2. Variansi 3. Fungsi Pembangkit Momen C. Distribusi Weibull dengan Dua Parameter 1. Sifat-Sifat Statistis Distribusi Weibull dengan Dua Parameter a. Mean b. Variansi c. Momen 2. Grafik Distribusi D. Estimasi Parameter E. Bias dan Rata-Rata Galat Kuadrat Galat dari Penduga Titik F. Metode Kuadrat Terkecil 1. Sifat-Sifat Penduga Kuadrat Terkecil G. Uji Kolmogorov-Smirnov H. Uji Distribusi Weibull Menggunakan Uji Kolmogorov-Smirnov I. Metode Kemungkinan Maksimum

23 7 J. Metode Kemungkinan Maksimum Dalam Regresi Linear Sederhana K. Metode Newton Raphson BAB III. ESTIMASI PARAMETER DISTRIBUSI WEIBULL DENGAN METODE KUADRAT TERKECIL A. Distribusi Weibull dengan Dua Parameter B. Pendugaan Parameter Distribusi Weibull dengan Metode Kuadrat Terkecil C. Pendugaan Parameter Distribusi Weibull dengan Metode Kemungkinan Maksimum BAB IV. APLIKASI DISTRIBUSI WEIBULL A. Pendugaan Parameter Distribusi Weibull dengan Metode Kuadrat Terkecil Menggunakan Data Rata-Rata Kecepatan Angin di Enugu 1. Transformasi Model Regresi Distribusi Weibull 2. Estimasi Parameter B. Pendugaan Parameter Distribusi Weibull dengan Metode Kemungkinan Maksimum Menggunakan Data Rata-Rata Kecepatan Angin di Enugu C. Uji Distribusi Weibull D. Perbandingan Metode Kuadrat Terkecil dan Metode Kemungkinan Maksimum

24 8 E. Pendugaan Parameter Distribusi Weibull dengan Metode Kuadrat Terkecil Menggunakan Data Rata-Rata Kecepatan Angin di Sumenep F. Pendugaan Parameter Distribusi Weibull dengan Metode Kemungkinan Maksimum Menggunakan Data Rata-Rata Kecepatan Angin di Sumenep G. Uji Distribusi Weibull H. Perbandingan Metode Kuadrat Terkecil dan Metode Kemungkinan Maksimum BAB V. PENUTUP A. Kesimpulan B. Saran

25 BAB II LANDASAN TEORI A. Distribusi Probabilitas 1. Variabel Random Definisi 2.1 Variabel random adalah fungsi yang bernilai real yang domainnya adalah ruang sampel. Dengan X adalah notasi untuk variabel random dan x menyatakan nilainya. Definisi 2.2 Sebuah variabel random dikatakan variabel random diskret jika himpunan dari kemungkinan hasilnya adalah terbilang. Jika tidak memenuhi definisi di atas maka variabel random di atas disebut variabel random kontinu. 2. Fungsi Probabilitas Fungsi probabilitas dibagi atas dua macam, yaitu distribusi probabilitas diskrit dan distribusi probabilitas kontinu. a. Distribusi Probabilitas Diskrit Definisi 2.3 Himpunan pasangan terurut adalah fungsi probabilitas dari variabel random diskrit jika 9

26 10 1 untuk setiap 2 b. Distribusi Probabilitas Kontinu Definisi 2.4 Fungsi adalah fungsi probabilitas (probability function untuk variabel random kontinu, jika Fungsi Ditribusi Kumulatif Definisi 2.5 Fungsi distribusi kumulatif (cumulative distribution function dari sebuah variabel random diskret dan kontinu didefinisikan sebagai berikut { 4. Karakteristik Distribusi Probabilitas a. Mean Definisi 2.6 Mean atau nilai harapan (expected value dari suatu variabel random dinotasikan sebagai atau didefinisikan sebagai

27 11 { b. Variansi Definisi 2.7 Jika adalah variabel random, maka variansi dari ditulis didefinisikan sebagai [ ] Teorema 2.1 Bukti ( [ ] ( c. Momen ( Definisi 2.8 Momen ke-k dari variabel random Y di sekitar titik asal dinotasikan dengan didefinisikan sebagai

28 12 d. Fungsi Pembangkit Momen (FPM Definisi 2.9 Fungsi pembangkit momen dari sebuah variabel random Y didefinisikan sebagai. Fungsi pembangkit moment dari Y dikatakan ada jika terdapat konstanta positif b sedemikian sehingga m(t berhingga untuk. Teorema 2.2 Diberikan dan adalah fungsi pembangkit momen dari variabel random dan. Jika maka dan mempunyai distribusi yang sama. Bukti Julie, H. (1999. Teorema Limit Pusat Lindenberg dan Terapannya. Skripsi Pada skripsi tersebut, teorema ketunggalan dibuktikan secara umum dengan menggunakan definisi fungsi karakteristik yaitu dengan adalah bilangan kompleks Perhatikan bahwa FPM adalah bentuk khusus dari fungsi karakteristik, bukti dilakukan dengan menunjukan bahwa bila dan adalah fungsi distribusi kumulatif dengan fungsi karakteristik yang sama yaitu

29 13 Maka (skripsi hal 54. Berdasarkan teorema ketunggalan terdapat korespondensi satu-satu antara fungsi pembangkit momen dengan fungsi probabilitas. B. Distribusi Gamma dan Sifat-Sifatnya Distribusi probabilitas (fungsi densitas merupakan representasi dari populasi yang dicirikan dengan suatu konstanta yang disebut parameter. Definisi 2.10 Parameter adalah suatu konstanta yang mencirikan atau yang merupakan karakteristik populasi. Definisi 2.11 Statistik adalah sebarang fungsi dari elemen pada sampel random yang tidak bergantung pada paremeter yang tidak diketahui. Contohnya Definisi 2.12 Fungsi Gamma didefinisikan sebagai

30 14 Fungsi Gamma adalah salah satu fungsi yang penting dalam statistik karena dapat digunakan untuk menyelesaikan integral yang rumit dalam mencari fungsi pembangkit momen, variansi, mean dan momen. Teorema 2.3 Fungsi Gamma memiliki sifat 1. untuk setiap Bukti Berdasarkan definisi 2.12 Misalkan maka dan maka [ ] [ ] [ ]. /

31 15 0 ( 1 [ ( ] { [ ( ]} 2. dengan n bilangan bulat positif Bukti Berdasarkan sifat Gamma Sehingga diperoleh Berdasarkan definisi 2.12 maka diperoleh [ ]

32 16 diperoleh 3. ( Bukti Akan di buktikan bahwa ( Berdasarkan definisi 2.12 Misalkan Ketika maka Sehingga diperoleh ( [ ( ] [ ( ] [ ( ]. /. /

33 17 Integral tersebut diselesaikan dengan mengubah integral kartesius menjadi integral polar. Misalkan maka [ ( ] (. / Misalkan (. / [ ] (

34 18 Definisi 2.13 Sebuah variabel random dikatakan berdistribusi Gamma dengan parameter jika dan hanya jika fungsi probabilitas adalah { dengan 1. Mean Jika berdistribusi Gamma dengan parameter, maka Bukti Berdasarkan definisi 2.6 Berdasarkan definisi fungsi probabilitas

35 19 (2.1 Persamaan terakhir diperoleh berdasarkan persamaan 2.1 Berdasarkan sifat fungsi Gamma maka, maka diperoleh 2. Variansi Jika Y berdistribusi Gamma dengan parameter, maka variansi dari distribusi Gamma adalah Bukti Berdasarkan teorema 2.1 (

36 20 Berdasarkan persamaan 2.1 dan teorema 2.3, maka diperoleh Maka ( 3. Fungsi Pembangkit Momen Berdasarkan definisi 2.9, maka

37 21 [ ] ( ( Berdasarkan definisi 2.12 dan persamaan 2.1, maka diperoleh ( C. Distribusi Weibull dengan Dua Parameter Definisi 2.14 Variabel random dikatakan mempunyai distribusi Weibull dengan dua parameter, bila fungsi probabilitasnya: { (

38 22 dengan adalah parameter bentuk (shape parameter dan adalah parameter skala (scale parameter. Akan ditunjukkan berdasarkan definisi 2.4 bahwa persamaan di atas merupakan fungsi probabilitas. Jelas bahwa untuk setiap. Selanjutnya akan ditunjukkan bahwa Misalkan ( maka ( [ ] Jadi terbukti bahwa adalah fungsi probabilitas Definisi 2.15 Bila telah diketahui fungsi probabilitas dari distribusi Weibull seperti yang diberikan pada definisi 2.14 maka fungsi distribusi kumulatif dari distribusi Weibull dapat ditentukan. Berdasarkan definisi 2.5 maka

39 23 [ ] Misalkan ( [ ] [ ( ] ( ( Jadi fungsi distribusi kumulatif dari distribusi Weibull adalah ( ( 1. Sifat-Sifat Statistis Distribusi Weibull dengan Dua Parameter Sifat-sifat statistis dari distribusi Weibull antara lain adalah rata-rata (mean, variansi dan fungsi pembangkit momen (moment generating function

40 24 a. Mean Berdasarkan definisi 2.6 ( Misalkan ( maka dan berdasarkan fungsi Gamma pada definisi 2.12 maka akan diperoleh ( b. Variansi Berdasarkan teorema 2.1 ( (

41 25 ( Misalkan ( maka ( Berdasarkan subsitusi fungsi Gamma pada definisi 2.12 maka akan diperoleh ( ( ( [ ( ] ( ( 0 ( ( 1 c. Momen (Moment Berdasarkan definisi 2.8 momen ke- didefinisikan sebagai Maka, momen ke- dari distribusi Weibull dengan dua parameter adalah

42 26 ( Misalkan ( maka dan ( Berdasarkan definisi 2.12, maka diperoleh ( 2. Grafik Distribusi Weibull Grafik dari distribusi Weibull sangat beragam. Grafik distribusi Weibull bergantung pada nilai parameter dan yang dipilih, sehingga grafik akan memiliki berbagai macam bentuk. Jika parameter yang akan diubah-ubah adalah parameter skala dengan menganggap parameter bentuk konstan, maka akan diperoleh grafik fungsi probabilitas. Hal ini juga terjadi ketika

43 f(x parameter yang diubah adalah parameter bentuk dan mengganggap parameter skala konstan. grafik fungsi distribusi Weibull a=0.5 a=1 a=1.5 a= Gambar 2.1 Grafik Distribusi Weibull dengan dan Pada Gambar 2.1 dapat dilihat bahwa nilai membentuk grafik yang berbeda-beda pula. Ketika yang berbeda-beda akan maka akan diperoleh grafik dari distribusi Eksponensial. Gambar 2.1 diproduksi dari program R pada lampiran A.1. Teorema 2.4 Misalkan, jika maka berdistribusi Chi Squre dengan derajat bebas. Bukti Fungsi probabilitas dari adalah

44 28 ( ( ( ( [ ( ( ] ( ( ( ( Sehingga diperoleh ( adalah fungsi probabilitas dari distribusi Gamma dengan dan dan juga adalah fungsi probabilitas distribusi Chi Square dengan derajat bebas. Maka fungsi pembangkit momen dari adalah

45 29 Teorema 2.6 Misalkan variabel random independen berdistribusi Normal dengan dan untuk dan misalkan adalah konstanta. Jika maka variabel random berdistribusi Normal dengan dan Bukti Karena berdistribusi Normal dengan dan, fungsi pembangkit momen adalah. / Maka fungsi pembangkit momen dari adalah. / Karena variabel random independen, maka variabel random juga independen untuk, maka

46 30. /. /. / ( merupakan FPM dari distribusi Normal dengan rata-rata rata-rata dan variansi Maka berdasarkan teorema ketunggalan berdistribusi Normal dengan rata-rata dan variansi Teorema 2.6 Misalkan adalah variabel random independen dengan. Jika, maka berdistribusi Chi Square dengan derajat bebas Bukti Berdasarkan teorema 2.4 fungsi pembangkit momen dari adalah Karena independen, maka

47 31 adalah fungsi pembangkit momen dari distribusi Gamma dengan dan atau ( dan juga fungsi pembangkit momen dari distribusi Chi Square dengan derajat bebas. Sehingga menurut teorema ketunggalan Teorema 2.7 Jika dan adalah matriks simetri idempoten dengan rank maka Bukti Karena simetri maka dapat didiagonalkan dengan matriks ortogonal maka diperoleh [ ] Selanjutnya, karena idempoten maka nilai akar karakteristiknya adalah dan, maka dapat dipilih sedemikian sehingga * + Dimensi dari matriks identitas akan sama dengan rank dari, karena banyaknya akar tak nol adalah rank dari matriks dan karena trace dari matriks adalah jumlah dari akar, maka dimensi juga sama dengan trace dari. Misalkan

48 32 Maka berdasarkan teorema 2.5 Misalkan distribusi dari menggunakan transformasi dari. Karena matriks ortogonal, maka invers dari sama dengan transpose dari Maka diperoleh * + ( ( adalah jumlah kuadrat dari variabel normal standar. Berdasarkan teorema 2.6 maka berdistribusi Chi-Square dengan derajat bebas D. Pendugaan Parameter Pendugaan adalah pokok bahasan dalam statistika yang berhubungan dengan pendugaan nilai-nilai parameter berdasarkan data yang diukur/data empiris yang

49 33 berasal dari sampel random. Pendugaan parameter adalah suatu metode untuk menduga nilai parameter populasi dengan menggunakan nilai-nilai sampel. Definisi 2.16 Penduga (estimator adalah suatu aturan, yang dinyatakan dalam bentuk rumus yang memberitahukan bagaimana cara menghitung nilai suatu penduga berdasarkan pengukuran yang termuat di dalam sampel. Pendugaan dibagi menjadi dua yaitu penduga titik (point estimation dan penduga selang (interval estimation. 1. Penduga Titik (Point Estimator Penduga titik adalah penentuan suatu nilai tunggal yang dengan sebaik-baiknya menduga parameter yang sebenarnya. 2. Penduga Interval (Interval Estimator Penduga selang adalah suatu penentuan selang nilai yang memiliki peluang yang besar akan memuat parameter yang sebenarnya. E. Bias dan Rata-Rata Galat Kuadrat dari Penduga Titik Definisi 2.17 Misalkan adalah penduga titik dari parameter, maka adalah penduga tak bias jika (.

50 34 Definisi 2.18 Bias dari penduga titik didefinisikan sebagai ( ( Definisi 2.19 Rata-Rata Kuadrat Galat (Mean Square Error dari penduga titik adalah ( *( + Rata-rata kuadrat galat dari sebuah penduga adalah fungsi dari variansi dan biasnya. Teorema 2.8 Bukti ( ( * ( + ( ( ( ( ( *( ( ( ( + ( ( ( ( ( ( ( ( ( *( + [( ( ] * ( ( ( + [ ( ] *( + ( [ ( ]

51 35 F. Metode Kuadrat Terkecil Regresi linier adalah metode statistika yang digunakan untuk mengetahui hubungan antara variabel terikat (dependen; dengan satu atau lebih variabel bebas (independen;. Definisi 2.20 Model regresi linear sederhana didefinisikan sebagai dengan pengamatan ke- variabel dependen = intersep (intercept = parameter regresi (slope = pengamatan ke- variabel independen = galat (error dari pengamatan ke- Metode Kuadrat Terkecil (Least Square Method merupakan salah satu metode yang sering digunakan untuk mendapatkan nilai-nilai penduga parameter dalam pemodelan regresi. Misalkan sampel random berukuran n dari sebuah populasi, berdasarkan definisi 2.20 maka persamaan garis regresinya adalah Metode Kuadrat Terkecil bertujuan menentukan penduga dari yaitu. Dengan asumsi persamaan regresi akan di duga oleh

52 36. Tujuan dari Metode Kuadrat Terkecil adalah menemukan penduga dari yang akan meminimumkan Jumlah Kuadrat Galat (Sum of Square Error. Definisi 2.21 Jumlah kuadrat galat (Sum of Squares Error didefinisikan sebagai [ ( ] Jumlah Kuadrat Galat minimum diperoleh dengan menggunakan turunan parsial terhadap maka, [ ( ] - [ ( ] ( (2.2

53 37, [ ( ] - {[ ( ] } ( (2.3 Dengan menggunakan metode eliminasi pada persamaan 2.2 dan persamaan 2.3 maka diperoleh (2.4 (2.5 Penduga dan pada persamaan 2.4 dan persamaan 2.5 adalah penduga yang memiliki jumlah kuadrat galat paling minimum, karena dan dan dan maka dan adalah titik minimum.

54 38 1. Sifat-Sifat Penduga Kuadrat Terkecil Sifat dari penduga Metode Kuadrat Terkecil dalam Regresi Linear Sederhana adalah a. Penduga dan tak bias, yaitu ( untuk. Bukti Sebuah penduga dikatakan merupakan penduga tak bias jika (. Dan mengunakan fakta bahwa. Berdasarkan persamaan 2.4 (

55 39 Maka adalah penduga tak bias bagi. Berdasarkan persamaan 2.5 Maka adalah penduga tak bias bagi.

56 40 b. ( dengan diketahui. Bukti dan adalah parameter yang tidak Persamaan 2.5 dapat ditulis dalam bentuk seperti dibawah ini Berdasarkan lampiran A.2, bentuk alternatif dari adalah Jika, maka diperoleh

57 41. /. / (. / c. ( dengan tidak diketahui. Bukti Berdasarkan persamaan 2.3 dan adalah parameter yang (2.6 ( ( (

58 42 ( ( ( Karena dan independen dimana, maka ( dari persamaan 2.6 diperoleh ( (

59 43 d. ( dengan tidak diketahui. dan adalah parameter yang Bukti Berdasarkan persamaan 2.6, diperoleh ( ( maka ( [ ] [( ( ] * ( ( + karena [ ] * ( + (

60 44 e. Penduga tak bias dari adalah dengan [ ( ]. Bukti Akan dibuktikan adalah penduga tak bias dari [( ] ( [ [ ( ] ] [ [ ] ] [ ( ] [ ] karena, maka diperoleh [ ] [ ] karena, maka diperoleh

61 45 Untuk sebarang variabel random berlaku [ ], maka diperoleh [ [ ] ] [ [ ] ] * ( [ ( ] + [ ] [ ] 0 1

62 46 Karena, maka diperoleh [ ] Maka adalah penduga tak bias dari. Jika untuk berdistribusi Normal, maka f. dan berdistribusi Normal. Bukti Pada model regresi linear sederhana, bentuk galat tidak bergantung pada dengan rata-rata dan variansi. Bentuk dari distribusi sampling untuk dan bergantung pada distribusi dari galat. Maka jika berdistribusi Normal, maka berdistribusi Normal dengan rata-rata dan variansi, karena dan adalah fungsi linear dari, maka berdistribusi Normal dengan rata-rata

63 47 dan variansi dan berdistribusi Normal dengan rata-rata dan variansi. g. Variabel random berdistribusi Chi Square dengan derajat bebas. Bukti Model regresi linear sederhana didefinisikan sebagai Jika ditulis ke dalam bentuk matriks, maka model regresi linear sederhana dapat ditulis sebagai [ ] [ ] [ ] [ ] Bentuk lain dari model regresi linear sederhana adalah dengan [ ] [ ] [ ] dan [ ] Penduga kuadrat terkecil dari yaitu, dapat dinotasikan dengan notasi matriks Penduga dari regresi linear sederhana adalah

64 48 Galat dari model regresi linear sederhana adalah dengan adalah matriks simetri idempoten. Akan dibuktikan adalah matriks simetri dan idempoten Bukti [ ] Jadi adalah matriks simetri.

65 49 Jadi adalah matriks idempoten. Akan dibuktikan Akan dibuktikan Statistik didefinisikan sebagai

66 50 Akan dibuktikan berdistribusi Chi Square dengan derajat bebas 0 1 * + Variabel random * + berdistribusi normal standar dengan rata-rata nol dan variansi. Karena matriks berdasarkan teorema 2.7 * + adalah matriks simetri dan idempoten, maka * + berdistribusi Chi Square dengan derajat bebas. Jadi berdistribusi Chi Square dengan derajat bebas h. Statistik tidak bergantung pada dan Bukti

67 51 [ ( ] [ ( ] [ ] [ ] karena, maka diperoleh Jadi, tidak bergantung pada dan Contoh 2.1 Auditor sering diminta untuk membandingkan hasil audit dari item penyimpanan buku (atau terdaftar. Jika sebuah perusahaan selalu memperbaharui penyimpanannya

68 52 dan buku up to date, maka pasti terdapat hubungan linear antara nilai audit dan nilai buku. Sebuah perusahaan mengambil sampel sepuluh item inventori dan memperoleh nilai audit dan buku yang diberikan pada tabel di bawah ini. Tabel 2.1 Data Hasil Audit dan Nilai Buku Item Nilai Audit Nilai Buku ( ( Gunakan model untuk data di dalam tabel tersebut. Jawab Berdasarkan persamaan 2.4 dan persamaan 2.5 diperoleh

69 53 Jadi, penduga kuadrat terkecil dari dan adalah dan Sehingga diperoleh model persamaan regresi Penyelesaian contoh 2.1 dengan program R dapat dilihat pada lampiran A.3. G. Uji Kolmogorov Smirnov Hal yang sangat penting dalam prosedur statistik adalah menentukan distribusi yang mendasari suatu kumpulan data (atau variabel random. Uji kecocokan (goodness of fit test biasanya mengkaji sebuah variabel random dari beberapa distribusi yang tidak diketahui untuk menguji hipotesis nol bahwa fungsi distribusi yang tidak diketahui sebenarnya dikenal atau diketahui, yaitu suatu fungsi tertentu. Kecocokan (goodness of fit dapat di uji dengan berbagai metode, diantaranya uji Kolmogorov Smirnov, uji Chi Square dan uji Anderson Darling. Pada tugas akhir ini, hanya akan dibahas uji kecocokan dengan menggunakan uji Kolmogorov Smirnov. Pada dasarnya uji kecocokan berdasarkan pada salah satu dari dua elemen distribusi, yaitu fungsi distribusi kumulatif (Cumulative Ditribution Function atau

70 54 fungsi probabilitas (Probability Density Function. Uji Chi Square berdasarkan pada fungsi probabilitas sedangkan uji Kolmogorov Simirnov dan uji Anderson Darling berdasarkan pada fungsi distribusi kumulatif. Uji Kolmogorov Smirnov disarankan pertama kali oleh Kolmogorov pada tahun Misalkan variabel random berasal dari distribusi yang tidak diketahui, dan misalkan adalah statistik terurut. akan diuji hipotesis bahwa adalah sama dengan suatu distribusi tertentu. Definisi 2.22 Statistik uji Kolmogorov Smirnov didefinisikan sebagai (2.7 [ ( ] [ ( ] dengan, adalah fungsi distribusi empiris. Fungsi distribusi empiris berguna sebagai penduga dari fungsi distribusi yang tidak diketahui. Definisi 2.23 Misalkan adalah variabel random. Fungsi distribusi empiris di definisikan sebagai

71 55 { Hipotesis uji Kolmogorov Smirnov adalah untuk setiap dengan adalah fungsi distribusi kumulatif yang diketahui, dan Jika lebih dari yang diberikan oleh tabel Kolmogorov Smirnov maka ditolak pada tingkat signifikansi. H. Uji Distribusi Weibull Menggunakan Uji Kolmogorov Smirnov Uji Kolmogorov Smirnov dapat juga digunakan untuk menguji suatu data berdistribusi Weibull atau tidak. Uji distribusi Weibull dengan Kolmogorov Smirnov dilakukan setelah pendugaan parameter distribusi Weibull. Langkah-langkah uji Kolmogorov Smirnov untuk distribusi Weibull adalah sebagai berikut Tentukan tingkat signifikansi 3. Statistik uji

72 56 4. Data diurutkan dari yang terkecil sampai yang terbesar 5. Hitunglah berdasarkan fungsi distribusi kumulatif dari distribusi Weibull 6. Berdasarkan definisi 2.23 hitunglah fungsi distribusi empiris 7. Berdasarkan definisi 2.23 hitunglah nilai dan, dan tentukan maksimum dari ( 8. Daerah keputusan : ditolak jika 9. Kesimpulan Contoh 2.2 Diberikan data dalam tabel 2.2 di bawah ini. Ujilah apakah data tersebut berdistribusi Weibull dengan. Tabel 2.2 Data Contoh 2.2 No Jawab Statistik uji

73 57 4. Berdasarkan definisi 2.15 fungsi distribusi kumulatif dari distribusi Weibull adalah ( ( 5. Daerah keputusan : di tolak jika 6. Perhitungan Maksimum Kesimpulan Karena maka diterima. Data tersebut berdistribusi

74 58 I. Metode Kemungkinan Maksimum (Maximum Likelihood Estimation Method Dasar pemikiran dari Metode Kemungkinan Maksimum diilustrasikan dalam suatu contoh berikut. Misalkan terdapat sebuah kotak yang memuat tiga bola. Diketahui bahwa setiap bola mungkin berwarna merah atau putih, tetapi tidak diketahui banyaknya bola untuk setiap warna. Dipilih sampel secara random dua bola tanpa pengembalian. Jika sampel random menghasilkan dua bola merah. Dapat disimpulkan bahwa jumlah bola merah pada kotak haruslah dua atau tiga (jika terdapat nol atau satu bola merah pada kotak, maka tidak mungkin untuk memperoleh dua bola merah ketika mengambil sampel tanpa pengembalian. Jika terdapat dua bola merah dan satu bola putih pada kotak, peluang terpilihnya dua bola merah secara acak adalah ( ( ( Jika terdapat tiga bola merah pada kotak, peluang terpilihnya tiga bola merah secara acak adalah ( ( Oleh karena itu dipilih tiga sebagai penduga dari banyaknya bola merah pada kotak karena tiga merupakan penduga yang memaksimumkan probabilitas dari sampel yang diamati bandingkan dengan dua yang probabilitasnya (lebih kecil.

75 59 Kemungkinan terdapat dua bola merah pada kotak juga benar, tetapi hasil yang diamati memberikan kepercayaan lebih untuk tiga bola merah dalam kotak. Contoh ini mengilustrasikan sebuah metode untuk menemukan sebuah penduga yang dapat diaplikasikan pada berbagai situasi. Secara teknis, metode ini disebut Metode Kemungkinan Maksimum (Maximum Likelihood Method. Metode Kemungkinan Maksimum pertama kali diperkenalkan oleh R.A Fisher pada tahun Metode ini menghasilkan penduga yang sangat baik bagi untuk sampel yang sangat besar. Definisi 2.24 Misalkan adalah variabel random kontinu berukuran dengan fungsi probabilitas dan adalah parameter yang tidak diketahui, fungsi likelihood dari sampel random adalah densitas bersama dari variabel random dan adalah fungsi dari parameter yang tidak diketahui. Fungsi likelihood dinotasikan dengan dan didefinisikan sebagai Definisi 2.25 Penduga Kemungkinan Maksimum (Maximum Likelihood Estimator dari memaksimumkan likelihood atau ekuivalen dengan memaksimumkan loglikelihood dengan.

76 60 Selain itu, karena biasanya sulit untuk mencari turunan fungsi likelihood, maka yang dilakukan adalah menentukan nilai maksimum dari logaritma natural fungsi likelihood tersebut atau disebut dengan fungsi log-likelihood. Fungsi log-likelihood dapat ditulis dalam bentuk : Nilai parameter dapat diperoleh dengan memaksimumkan fungsi loglikelihood. Hal tersebut dilakukan dengan mencari turunan parsial pertama dari fungsi log-likelihood-nya terhadap setiap parameternya. Sehingga, MLE merupakan penyelesaian dari persamaan berikut : Misalkan terdapat parameter yang tidak diketahui, maka pendugaan parameter dengan Metode Kemungkinan Maksimum dengan Contoh 2.3 Misalkan adalah sampel random berdistribusi Normal dengan mean dan variansi. Temukan dan dengan menggunakan Metode Kemungkinan Maksimum.

77 61 Jawab adalah variabel random kontinu berdistribusi Normal dengan mean dan variansi maka fungsi probabilitasnya didefinisikan sebagai [( ] berdasarkan definisi 2.24 maka diperoleh 0. /1. / ( [ ] Fungsi log-likelihood dari persamaan diatas adalah [ ] {( [ ]} [ ( ] Penduga kemungkinan maksimum dari dan adalah penduga yang memaksimumkan [ ], dengan mencari nilai turunan parsial terhadap dan, maka diperoleh

78 62 [ ] [ ] Jika turunan parsial terhadap dan disamakan dengan nol, maka akan diperoleh dengan subsitusi ke persamaan maka diperoleh

79 63 Jadi penduga kemungkinan maksimum untuk dan adalah dan. J. Metode Kemungkinan Maksimum Dalam Regresi Linear Sederhana Model regresi linear sederhana didefinisikan sebagai Tujuan dari Metode Kemungkinan Maksimum dari regresi linear sederhana adalah untuk menduga vektor parameter [ ] Untuk mencari Penduga Kemungkinan Maksimum dari, dan dengan menggunakan asumsi bahwa galat ( independen dan berdistribusi Normal (. Misalkan variabel random independen dan berdistribusi Normal untuk. Fungsi probabilitas dari distribusi Normal dengan mean dan variansi adalah [ ] Berdasarkan definisi 2.24 diperoleh [ ]

80 64 ( [ ] ( [ ] Maka diperoleh fungsi log-likelihood sebagai berikut [ ] {( [ ]} ( Penduga Kemungkinan Maksimum dari, dan dapat diperoleh dengan mencari turunan parsial [ ] terhadap, dan dan menyamakan dengan nol, maka diperoleh [ ] (2.9

81 65 [ ] ( (2.10 [ ] (2.11 Berdasarkan persamaan 2.9 diperoleh (2.12 Berdasarkan persamaan 2.10 diperoleh

82 66 (2.13 Dengan menggunakan metode eliminasi pada persamaan 2.12 dan 2.13, maka diperoleh (2.14 (2.15 Berdasarkan persamaan 2.11 diperoleh (2.16 Persamaan 2.14 dan 2.15 menunjukkan bahwa Pendugaan Kemungkinan Maksimum dari regresi linear sederhana menghasilkan penduga (estimator yang sama dengan penduga yang dihasilkan dengan Metode Kuadrat Terkecil. Penduga Kemungkinan

83 67 Maksimum dari yang ditulis dalam persamaan 2.16 adalah rata-rata kuadrat galat sampel. K. Metode Newton Raphson Metode Newton Raphson adalah salah satu metode yang digunakan untuk menyelesaikan persamaan non linear. Dalam menduga parameter menggunakan Metode Kemungkinan Maksimum menghasilkan fungsi log-likelihood yang non linier, maka penyelesaian dari fungsi tersebut diselesaikan dengan menggunakan metode Newton Raphson. Metode Newton Raphson merupakan penerapan dari deret Taylor. Misalkan mempunyai akar pada suatu interval real dan akan dicari nilai pendekatan akarnya. Deret Taylor disekitar adalah Untuk yang cukup dekat dengan maka suku-suku nonlinear dapat diabaikan, maka akan diperoleh pendekatan Jika adalah akar dari maka

84 68 Oleh karena itu diperoleh skema iterasi ke metode Newton Raphson adalah Contoh 2.34 Tentukan akar persamaan nonlinear dengan metode Newton Raphson jika diketahui nilai awal dengan toleransi Jawab Diketahui maka Diketahui skema iterasi metode Newton Raphson adalah Ketika maka diperoleh Ketika maka diperoleh

85 69 Ketika maka diperoleh Ketika maka diperoleh Ketika maka diperoleh

86 70 Karena, maka akar persamaan fungsi adalah Di bawah ini adalah program menghitung akar persamaan menggunakan R. > newton<-function(f,tol=1e-7, x0 = 1, N = 100{ + h <-1e-7 + i = 1; x1 = x0 + p = numeric(n + while (i <= N { + df.dx = (f(x0 + h - f(x0/h + x1 = (x0 - (f(x0 / df.dx + p[i] = x1 + i = i if (abs(x1 - x0 < tol break + x0 = x1 + } + return(p[1 : (i-1] + } > f <- function(x{x^2-3}

87 71 > h <-1e-7 > df.dx <- function(x{(f(x + h - f(x / h} > df.dx(1;df.dx(2 [1] 2 [1] 4 > app <- newton(f, x0 = 1 > app [1] > f(app[length(app] [1] e-16

88 BAB III PENDUGAAN PARAMETER DISTRIBUSI WEIBULL DENGAN METODE KUADRAT TERKECIL DAN METODE KEMUNGKINAN MAKSIMUM A. Distribusi Weibull dengan Dua Parameter Definisi 3.1 Variable random dikatakan mempunyai distribusi Weibull dengan dua parameter bila fungsi probabilitasnya { (,, selainnya dengan adalah parameter bentuk (shape parameter dan adalah parameter skala (scale parameter B. Penduga Parameter Distribusi Weibull dengan Metode Kuadrat Terkecil Pendugaan parameter distribusi Weibull dapat dilakukan dengan berbagai metode, diantaranya adalah Metode Kuadrat Terkecil (Least Square Method. Metode Kuadrat Terkecil merupakan salah satu metode yang sering digunakan untuk mendapatkan nilai-nilai penduga parameter dalam pemodelan regresi linear. Model regresi linear didefinisikan sebagai (3.1 72

89 73 dengan pengamatan ke- variabel dependen = intersep (intercept = gradien (slope = pengamatan ke- variabel independen galat (error dari observasi ke- di mana memuat setiap faktor selain yang mempengaruhi Metode kuadrat terkecil akan menentukan penduga dari yang akan meminimumkan jumlah kuadrat galat. Misalkan adalah sampel random dengan ukuran dari distribusi dan misalkan adalah nilai dari sebuah sampel random. Untuk menduga parameter distribusi Weibull, perlu diketahui fungsi distribusi kumulatifnya. Berdasarkan definisi 2.15 fungsi distribusi kumulatif dari distribusi Weibull dengan dua parameter adalah ( ( Fungsi distribusi kumulatif dari distribusi Weibull merupakan fungsi non linear. Transformasi logaritma dilakukan untuk mendekati Metode Kuadrat Terkecil. ( (

90 74 ( ( [ ( ] ( [ (( ] ( ( [ ( ] [( ] [ ( ] (3.2 Persamaan 3.2 dapat dinyatakan dalam bentuk regresi linear sederhana yaitu: dengan * ( +,, (3.3 Diasumsikan bahwa nilai harapan galat dari populasi sama dengan nol sehingga diperoleh penduga regresi linear sederhana adalah (3.4 dengan = penduga model (estimator = penduga dari = penduga dari

91 75 Misalkan adalah statistik terurut dari dan misalkan adalah observasi terurut. pada persamaan 3.2 tidak diketahui, maka menurut Ivana Pobocikova (Pobocikova, I., and Sedliackova, Z. (2014. Comparison of Four Methods For Estimating The Weibull distribution Parameters. Applied Mathematical Science. 8(83: , nilai dari di estimasi dengan mean rank yaitu ( (3.5 dengan adalah x urutan ke-i. Berdasarkan persamaan 2.4 dan persamaan 2.5 penduga dari dan dari parameter regresi dan adalah Selanjutnya nilai * ( + dan disubsitusikan ke persamaan 2.4 dan persamaan 2.5.

92 ( ( ( (3.6 Karena adalah penduga ( ( maka (3.7 (3.8 Karena adalah penduga dari maka penduga dari adalah ( ( ( [ ] 76

93 [ ( ( ( ] [ ] ( ( ( [ ( ( ] [ ( ( ( ] ( ( [ [ ( ( ( ] ] ( ( Misalkan ( ( 77

94 [ ( ( ( ( ] [ ( [ ] ( ( ( ] ( ( ( ( [ 78

95 ( ( ( ( ( ( [ [ ( ( ] (3.9 Dengan diduga dengan dari persamaan 3.5 Sehingga diperoleh fungsi probabilitas distribusi Weibull ( ( 79

96 80 Contoh 3.1 Tabel di bawah ini adalah data rata-rata kecepatan angin per bulan dalam satuan pada daerah Kolkata. Data ini di ambil mulai pada tanggal 1 Maret 2009 sampai 31 Maret 2009 (Bhattacharya, P. (2010. A Study On Weibull Distribution For Estimating The Parameters. Journal Of Applied Quantitative Methods. 5(2:234:241. Dugalah parameter distribusi Weibull dan ujilah apakah data tersebut berdistribusi Weibull dengan uji Kolmogorov-Smirnov Tabel 3.1 Data Rata-Rata Kecepatan Angin Per Bulan (m/s di Kolkata Maret, 2009 Kecepatan angin Kecepatan angin Maret, 2009 (m/s (m/s

97 81 Jawab Berdasarkan persamaan 3.8 dan persamaan 3.9 a. ( ( [ ( ] ( Sehingga diperoleh fungsi probabilitas distribusi Weibull [ ( ] Penyelesaian Contoh 3.1 dengan program R pada lampiran A.4. Grafik fungsi probabilitas distribusi Weibull dengan dan

98 82 Gambar 3.1 Grafik fungsi probabilitas distribusi Weibull dengan dan (diproduksi dengan program R pada lampiran A.5 b. Akan di uji apakah data kecepatan angin tersebut berdistribusi Weibull dengan menggunakan uji Kolmogorov-Smirnov. Langkah- langkah pengujian 1. dengan dan 2.

99 83 3. Statistik uji 4. Berdasarkan definisi 2.15 fungsi distribusi kumulatif dari distribusi Weibull adalah ( ( 5. Daerah keputusan : ditolak jika 6. Perhitungan

100 F maksimum grafik F0(xi grafik Fn(xi xi Gambar 3.2 grafik dan (diproduksi dengan program R dilampirkan pada lampiran A.6 7. Kesimpulan Karena maka diterima. Data tersebut berdistribusi dengan dan