Pemodelan Pertumbuhan Batang Tanaman Menggunakan Deterministic L-Systems

Transkripsi

1 Pemodela Pertumbua Batag Taama Megguaka Determstc L-Systems Juar 1 1 Jurusa Matematka, Uverstas Islam Neger Maulaa Malk Ibram Malag Emal: jo_alkader57@yaoo.co.d bstrak. L-Systems memlk fleksbltas dalam mesmulaska struktur da proses pegembaga pertumbua taama secara vsual da realstk. Peelta bertujua utuk memodelka pertumbua batag taama megguaka Determstc L-Systems da memvsualsaska model pertumbua batag taama. Betuk pertumbuaya aya megguaka segme gars. Peelta pertumbua batag taama megguaka Determstc L-systems dlakuka dalam tga taap yag dawal dar membagu peafsra grafs secara maual melalu gars sesua atura produksya. Taap kedua, membuat secara aalog peafsra grafs melalu ttk-ttkya. Taap ketga, membuat model dar ttk-ttk tersebut. Haslya ddapat model Determstc L-systems dar beberapa pertumbua batag taama. Masgmasg model mempresetaska satu macam pertumbua batag taama. Kata kuc: Determstc L-Systems, Pemodela, Batag taama 1. Pedaulua Stud karaterstk taama bersfat sagat komplek, aka sagat sukar ddekat megguaka pedekata persamaa matematka basa. Proses bologs pada usur pertumbua taama yag dkembagka secara atura grammar merupaka dasar dkembagkaya metoda Ldemayer System (L-System (Cua-ree, S,2000. Pemodela komputer da tekk vsualsas mampu memodelka proses secara realstk pertumbua taama. Peelta yag aka dkembagka adala memodelka pertumbua batag taama megguaka Determstc L-Systems pada beberapa taama yag ada d lgkuga Uverstas Islam Neger Maulaa Malk Ibram Malag. Peelta pertumbua batag taama megguaka Determstc L-systems dlakuka dalam tga taap yag dawal dar membagu peafsra grafs secara maual melalu gars sesua atura produksya. Taap kedua, membuat secara aalog peafsra grafs melalu ttk-ttkya. Taap ketga, membuat model dar ttk-ttk tersebut. Peelta bertujua utuk meyusu model da memvsualsas pertumbua batag taama megguaka Determstc L-Systems. 2. Tjaua Pustaka Ldemayer systems (L-systems Metoda L-System sebaga kepajaga dar Ldemayer System dkembagka pertama kal ole Ilmuwa bologs rstd Ldemayer. L-System merupaka atura formal yag dsusu sebaga grammar yag dkaraterstkka dalam betuk axoma, da smbol-smbol alpabet yag dguaka sebaga represetas pertumbua baga taama yag secara parallel terjad pergata pada masg-masg taap. (Pruskewcz P ad. Ldemayer, Ekstes dar L-system dyataka dalam Parametrk L-System (Cua-ree, S., Srpat, S. ad Lurssap, C., Framework dar L-System terdr dar tal structure da rewrtg rules. It pegembagaya adala peggata secara paralel megguaka rewrtg rules yag ada. Dmula dar tal structure, L-System meggatka setap baga dar struktur yag ada dega

2 meerapka rule secara sekuesal. Jad, dega grammarr yag spesfk utuk suatuu taama tertetu aka dapat megaslka pertumbua taama yag meyerupa taama sebearya d alam yata. Beberapa stla yag mejad kompoe utama pada L-systems adala: a. Huruf Huruf adala mpua gga V da smbol-smbol formal, msalya dalam betuk a, b, c, da seterusya, atau mugk beberapa uruf laya. b. ksoma ksoma (sator adala suatu strg w dar smbol-smbol padaa V. Hmpua strg dar V dotaska * V. Jka dberka V = { a, b, c}, maka beberapa coto strg yag dapat dbetuk yatu: a, b, cb, aabca, caab, bbc, da seterusya. Pajag w dar suatu strg w c. adala jumla smbol dalam strg. Produks * Produks (atura peulsa kembal adala suatu pemetaa smbol a V ke strg w V. I dber label da dtuls dega otas: p : a w. Jka suatu smbol a V tdak memlk atura produks, maka dapat dasumska bawa smbol tersebut dpetaka pada drya sedr segga a mejad kostata L-systems. (Msra da Msra, 2007 Peafsra grafs pada L-systems Padaa L-systems terdapat smbol-smbol yag dapat dtafsrka secara grafs. Jka dasumska suatu satua pajag da perputara sudut δ, maka perta-perta dar smbol-smbol pada L-systems adala sebaga berkut: F : meggambar ke depa satu satua sepajag ; G : bergerak ke depa satu satua sepajag tapa arus meggambar; + : berputar berlawaa ara jarum jam dega sudut δ ; - : berputar seara jarum jam dega sudut δ ; da : berputar 180 o atau berbalk ara Peafsrka L-systems secara grafs dapat dartka meggambar secara grafs barsa geeras yag daslka dar aksoma da atura produks yag dberka. Cotoya, jka dberka aksoma da atura produks dega V = { F, +, }, w = F da p : F F + F + F, makaa dmula dega aksoma F aka dperole produks geeras pertama g 1 dega strg: F + F + F Jka dasumska bawa satu satua sudut δ adala π / 3 rada, makaa peafsra grafs dar geeras pertama dapat dlat pada gambar berkut : Gambar 1. Peafsra grafs dar L-systems Peafsra garfs mula-mula megerjaka perta F yatu meggambar gars ke depa satu satua sepajag. Perta smbol + utuk memutar araya berlawaa ara jarum jam

3 sebesar δ. Perta berkutya meggambar F kembal sesua ara yag tela dtetuka sebelumya. Pada perta smbol utuk memutar kembal araya seara jarum jam sebayak dua kal besarya δ. Kemuda meggambar F kembal sesua dega ara yag baru. Perta smbol + utuk memutar kembal araya berlawaa ara jarum jam sebesar δ. Perta terakr meggambar F kembal sesua dega ara yag baru. Hal yag sama dapat dlakuka utuk meafsrka grafs dar geeras selajutya. lgortma peafsra grafs pada L-systems lgortma adala uruta lagka struks logs yag dsusu secara sstemats utuk meyelesaka suatu masala (Mur, Berkut merupaka algortma dar peafsra grafs pada L-systems: 1. Masukka la geeras ( k, sudut kemrga cabag (δ da pajag segme gars ( yag dgka; 2. Tetuka sudut awal ( a 0 da masukka la a 0 utuk medapatka ttk awal ( F 0, kemuda masukka F 0 pada atura produks ( P, da aslya dsebut P 0 ; 3. Iteraska utuk = 1,2,3,..., k ; segga medapatka la sudut selajutya ( a da dteruska utuk medapatka la ttk selajutya ( F ; Kemuda masukka F pada atura produks P 1 utuk medapatka P ; da 4. Plot 3. Metode Seubuga dega persoala yag dmaksud da utuk keperlua mecar solus permasalaa model batag taama megguaka Determstc L-Systems, pada baga aka djelaska secara sstemats megea metode yag dlakuka dalam memodelka pertumbua batag taama atara la: (1 meetuka kompoe utama dar L-systems da megasumska besar sudut δ. (2 membagu asl peafsra grafs beberapa geeras secara maual. (3 member ama ttk-ttk pada gars yag membagu peafsra grafs secara maual tersebut. (4 membuat model dar ttk-ttk tersebut secara matemats da membuat program dar model tersebut. 4. Hasl da Pembaasa Peafsra grafs secara maual Utuk membagu peafsra grafs secara maual dmsalka suatu L-systems dega kompoe-kompoeya adala V = { F,, +,[, ]}, w = F da p : F F[[ ][ + F]]. Beberapa geeras dar sstem dapat dlat pada tabel berkut :

4 g 0 1 Tabel 1. Beberapa Geeras L-systems g F [[ F][ + F]] g F [[ F ][ + F ]][[ [[ ][ + F ]]][ + F[[ ][ + F ]]]] 2 g 3 F F [[ F ][ + F ]][[ [[ ][ + F ]]][ + F[[ ][ + F ]]]][[ [[ ][ + F ]][[ F [[ F][ + F]]][ + F[[ ][ + F]]]]][ + F[[ ][ + F]][[ [[ ][ + F]]] [ + F [[ ][ + F ]]]]]] Peafsra grafs secara matemats 1 Peamaa ttk Pada Gambar 2(a terdapat empat ttk yag membagu gars-garsya dega masg-masg ttk dber ama F 0, 0, F 0, 1, F 1, 1 da F 1, 2 sepert terlat pada Gambar 2(a. Pada Gambar 2(b terdapat empat gars tambaa dar Gambar 2(a segga ada empat ttk baru yatu F 2, 1, F 2, 2, F 2,3 da F 2, 4 sepert terlat pada Gambar 2(b. Pada gambar 2(c juga terdapat tambaa gars dar Gambar 2(b segga ada delapa ttk baru yatu F 3, 1, F 3, 2,..., da F 3, 8 sepert terlat pada Gambar 2(c. Maka dapat dsmpulka utuk geeras ( g terdapat tambaa ttk sebayak 2 dar geeras 1 ( g 1. F 1,2 (a F 0,1 F 0,0 F 1,1 F 2, 3 F 2,4 F 1,2 (b F 0,1 F 0,0 F 2,2 F 1,1 F 2,1 F 3,8 Gambar 2. Peamaa Ttk Peafsra Grafs F 3,7 F 3,6 F 2,4 F 2,3 F 3,5 F 1,2 (c F 3,4 F 0,1 F 2,2 F 1,1 F 0,0 F 3,3 F 2,1 F 3,2 F 3,1 2 Perumusa ttk Gambar 2(a yag dbagu secara maual melalu peafsra grafs dar g 1 dapat daalogka utuk membagu Gambar 2(a yag dbagu melalu ttk-ttkya. Dega megasumska P 1 sebaga barsa ttk-ttk yag membagu Gambar 2(a, maka dapat dtuls: P = F, ( F, ( F, ( F, ( F, ( (1 1 ( 0,0 0,1 1,1 0,1 1,2 F0, 1 Hal yag sama dapat dlakuka dalam membagu Gambar 2(b da Gambar 2(c yag dbagu melalu ttk-ttkya. Dega megasumska P 2 da P 3 masg-masg sebaga barsa ttkttk yag membagu Gambar 2(b da Gambar 2(c, maka dapat dperole barsa ttk-ttk yag membagu peafsra grafs secara umum, P + 1, dega medefska ( F, dar P, = k da = 2, sebaga berkut: = ( K,( F,( K,( F,( K (2 ( F,, + 1,2 1, + 1,2,

5 3 Perumusa sudut Msal ttk da B masg-masg mempuya koordat ( x 1, y1 da ( x 2, y2, gars O membetuk sudut θ dega sumbu x postf da gars B dbetuk dar perpajaga gars O yag dputar seara jarum jam membetuk sudut φ (Gambar 2. Jka dasumska d ( O, = d(, B = r, maka ubuga koordat ttk-ttk adala sebaga berkut: x y 2 2 = x 1 + r cos( θ φ = r cos( θ + r cos( θ φ = y 1 + r s( θ φ = r s( θ + r s( θ φ y (3 (4 y 2 y 1 r φ r B Gambar 3. Hubuga Koordat Ttk-ttk Gambar 2 dbuat dega asums ( K 0, 0 = (0,0, 0,1 = π / 2, 0,1 = cos( 0, 1, 0,1 = s( 0, 1 da ( F 0,1 = ( 0,1, 0, 1. Jka dberka, = cos(,,, = s(, da ( F, = (,,, utuk = 1, 2, 3,..., k da = 1, 2, 3,..., 2, maka la-la dar,, da, utuk k = 3 dapat dtuls secara umum:,2 1,2,2 1,2,2 1,2 = = = 1, = 1, 1, 1, 1, 1, + ( cos( + cos( + s( + s( ( 1 δ,2 1,2 1,2 δ,2 utuk = 1, 2, 3,..., k da = 1, 2, 3,..., 2. O θ x1 x2 1 x,, (5 Pembuata Program Pembuata program pemodela pertumbua batag taama megguaka L-systems dlakuka secara terkomputersas. Sedagka baasa program yag dguaka adala Maple 8. Berkut adala lagka-lagka peulsa program dar peafsra grafs pada Gambar 2: a. Masukka la geeras ( k, sudut kemrga cabag (δ da pajag segme gars ( ; b. Tetapka la-la dar 0,1 = π / 2, 0,1 = cos( 0, 1, 0,1 = s( 0, 1, K = (, da P = K, ( K,( F, ( K,( F, ( ; ( 0,1 0,1 0, 1 0 ( 0,0 0,1 1,1 0,1 1,2 K 0, 1

6 c. Iteras dar 1 sampa k da lakuka 1. Iteras dar 1 sampa lakuka persamaa (5; Iteras dar 1 sampa 2 lakuka K = (, ; da (,,, 3. Iteras dar 1 sampa 2 lakuka persamaa (2; kerjaka P = P 1; d. Iteras dar k sampa k lakuka k teras dar 1 sampa 2 lakuka F = ( K kerjaka P = P 1; da e. Plot P k. (,, Pembuata program dega kompoe L-systems yag la dapat dlakuka dega cara sama, yatu aya dega meggat Lagka b pada peulsa 0, 1 da P 0 ; Lagka c.1 pada peulsa persamaa (5; Lagka c.3 pada peulsa persamaa (2; da = 1, 2, 3,..., 2 dega = 1, 2, 3,..., m, dmaa m adala jumla ttk F yag aka dproduks. Hal petg laya yag dapat dmodfkas dar pemodela adala peetua la sudut δ da pajag segme gars. Peetua la sudut δ dapat dsesuaka dega keadaa percabaga batag pada taama yag aka dmodelka. Modfkas pajag segme gars dapat dlakuka dega medefska = / utuk = 1, 2, 3,..., k. Hasl pemodela Dalam memodelka pertumbua batag taama d alam, pertama-tama yag arus dlakuka adala detfkas kompoe L-systems yag membaguya da megukur besar sudut dar masg-masg cabag pada atura produksya. Kemuda memodelka peafsra grafs secara matemats melalu ttk-ttkya, yatu dega meggat persamaa (2 da persamaa (5 sesua dega atura produksya. Selajutya memasukka model tersebut ke dalam program. Pegukura besar sudut dar masg-masg cabag pada atura produksya dapat dlakuka dega dua cara. Pertama, la sudut dambl dar rata-rata besar sudut pada masg-masg cabag. Hal dkareaka gambar taama yag dambl d alam adala betuk dmes tga sedagka gambar yag aka dmodelka dalam betuk dmes dua. Kedua, la sudut dambl dar masg-masg cabag sesua dega besarya. Hal dsesuaka dega betuk percabaga dar taama yag bersagkuta, karea besar masg-masg cabag tdak dpegaru dmesya. Msal g memodelka poo buga kupu-kupu (Gambar 5a. Pertama, detfkas kompoe L-systems yag membagu, yatu V = { F, +,,[, ]}, w = F da p : F F[[ ] F[ ][ + F ]]. Kedua, tetuka sudut cabag dar masg-masg cabag pada atura produksya (Gambar 4b, yatu δ 1 = 35, δ 2 = 34, da δ 3 = 38 dega la sudut rata-rata δ = 36.

7 δ 3 δ 2 δ 1 0,1 (a (b Gambar 4. Poo Buga Kupu-Kupu Da Pembesaraya Ketga, memodelka peafsra grafs secara matemats dega asums δ = π / 5 segga persamaa (2 dapat dtuls sebaga berkut: ( F, = ( K,,( F+ 1,4 3,( K,,( F+ 1,4 2,( F+ 1,4 1, (6 ( K,( F,( K,( K utuk + 1, ,4 = k da = 4. Persamaa (5 dapat dtuls:,4 3,4 2,4 1,4 =,4 3,4 2,4 1 = = = 1, 1,,4 2,4 2 = = = 1, 1,,4 + ( 1 + ( ( 1 δ δ δ + cos( + cos( 2 + cos(,4 3,4 2,4 1 utuk = 1, 2, 3,..., k da = 1, 2, 3,..., ,4 2,4,4 3,4 2,4 1,4 Keempat, pembuata program dega meuls = /1. 8, 0,1 π, =,4 1, 1,,4, cos(,4 + s(,4 3 + s(, s(,4 1 + s(,4 P 0 = ( K 0,0,( K 0,1, ( F1,1,( K 0,1,( F1,2,( F1,3, ( K1,2,( F1,4, ( K1,2,( K 0, 1, meggat persamaa (5 dega persamaa (7, persamaa (2 dega persamaa (6, da = 1, 2, 3,..., 4. (7 = 1, 2, 3,..., 2 dega

8 p : F F [[ F ]F [ F ][+ F ]] (δ = π / 5 Gambar 6. Poo Buga Kupu-Kupu Da Model Poo Buga Kupu-Kupu Gambar 7. Poo Cemara Kpas Da Model Poo Cemara Kpas p : F F [[ F ]F [ F ][+ F ]] (δ = π / 9 Gambar 8. Poo Lamtoro Da Model Poo Lamtoro

9 p : F F[[ ][ + F]] ( δ = π / 9, δ 2 = Gambar 9. Poo Kecruta Da Model Poo Kecruta 1 π /18 p : F F[[ + F] F[ ] F] ( δ = π / 9 Gambar 10. Poo Trembes Da Model Poo Trembes Pemodela pertumbua batag taama megguaka Determstc L-systems dapat dlakuka mula-mula dega membagu peafsra grafs secara maual melalu gars sesua atura produksya. Kemuda membuat secara aalog peafsra grafs melalu ttk-ttkya. Selajutya membuat model dar ttk-ttk tersebut da membuat program sesua dega model. Model dar bermacam-macam atura produks dapat dlakuka dega cara yag sama segga pembuata model dar suatu atura produks tertetu dapat dlakuka aya dega meguba rumusa dar P 0, persamaa (2 da persamaa (5 sesua dega atura produks yag dgka. Pemodela semacam juga arus memeu suatu kods, yak atura produksya arus berbetuk p : F F[ q], dega q sembarag atura produks. Hasl pemodela dar beberapa taama d alam mugk kurag medekat kesamaa dar betuk aslya d alam, karea pemodela d s dalam betuk gambar dmes dua sedagka betuk aslya d alam adala dmes tga. Jad pemodela pada peelta aya merupaka aproksmas dar taama aslya d alam.

10 5. Kesmpula Berdasarka asl peelta da pembaasa dperole kesmpulka bawa Determstc L- systems dapat dguaka utuk memodelka pertumbua batag taama. Masg-masg model mempresetaska satu macam pertumbua batag taama. Dalam memodelka pertumbua batag taama megguaka Determstc L-systems, dua taama yag berbeda bsa dmodelka dega atura produks yag sama. Hal bsa terjad aya dega meetuka besar sudut pada masg-masg percabaga, ada tdakya gars sebelum percabaga yag pertama da pedefsa pajag gars yag berbeda-beda. Daftar Pustaka ffa Smulas Pertumbua Batag Taama Cemara Norfolk Megguaka L-sstem dega Delp. Malag: Jurusa Tekk Iformatka Cua-ree, S., Srpat, S., ad Lurssap, C matg Plat Growt L-System By Parametrc Fuctoal Symbols. Talad: Departmet of Matematcs. Krsto rtfcal Lfe Model Proses Fotostess dalam Pertumbua Batag Megguaka Metode Neural Network. Surabaya: Uverstas rlagga Msra, J., da Msra, S L-System Fractal. Neterlad: Elsever Mur, R lgortma da Pemrograma Baasa Pascal da C. Badug: CV. Iformatka. Pruskewcz, P. ad Ldemayer, Te lgortmc Beauty Of Plats. New ork: Sprger-Verlag