IMPLEMENTASI DELAY DIFFERENTIAL EQUATION PADA SOLVER ORDINARY DIFFERENTIAL EQUATION MATLAB. Rully Soelaiman dan Yudhi Purwananto

Transkripsi

1 IMPLEMENTASI DELAY DIFFERENTIAL EQUATION PADA SOLVER ORDINARY DIFFERENTIAL EQUATION MATLAB Rull Soelama da Yudh Purwaato Fakulta Tekolog Iorma, Ittut Tekolog Sepuluh Nopember Kampu ITS, JlRaa ITS Sukollo, Surabaa 60, Idoea Telp (0) 5994, Fa (0) 5996 Emal: { rull, udh }@t-bedu ABSTRAK Ordar Deretal Equato (ODE) da Dela Deretal Equato (DDE) baak dguaka utuk meeragka kejada-kejada pada dua ata ODE melbatka dervat ag dpegaruh oleh peeleaa waktu ekarag dar varabel-varabel ag tdak bergatug pada waktu Semetara, DDE memlk tambaha dervat ag juga dpegaruh oleh peeleaa pada waktu ebeluma Peeleaa peroala DDE dega la tuda kota dokuka pada metode ekplt Ruge Kutta trple B,) ag dguaka juga oleh olver Matlab ot pada ode Utuk megmplemetaka permaalaha DDE dega waktu tuda kota dega megguaka metode Ruge-Kutta ekplt dbutuhka tga rumua atu rumua utuk meghtug la pada etap tahapa tegra, rumua utuk meghtug beara tep ze erta rumua utuk meghtug cotuou eteo Pada peelta, daplkaka metode Ruge Kutta ekplt dega rumua embedded dar Bogack-Shampe ag mempua order erta rumua cotuou eteo dega terpola Hermte kubk Kata kuc : Dela Deretal Equato, Ordar Deretal Equato, Ruge Kutta PENDAHULUAN Ordar Deretal Equato (ODE) da Dela Deretal Equato (DDE) baak dguaka utuk meeragka kejada-kejada pada dua ata ODE melbatka dervat ag dpegaruh oleh peeleaa waktu ekarag dar varabel-varabel ag tdak bergatug pada waktu Semetara, DDE memlk tambaha dervat ag juga dpegaruh oleh peeleaa pada waktu ebeluma Mekpu ODE da DDE memlk mlarta, olu ag dguaka pada ODE da DDE berbeda ecara gka DDE ag aka dbaha mempua betuk peramaa ebaga berkut : ( t) ( t, ( t), ( t ), ( t ),,( t )) k ag peeleaaa berada pada terval atb dega kod htor (t)=t) pada ta Nla tuda kota dataka dega =m (,, k )>0 DDE dega la tuda kota merupaka betuk umum DDE ag baak daplkaka utuk keperlua pemodela dua ata (Baker, Paul, Wlle) Peeleaa peroala DDE dega la tuda kota dokuka pada metode ekplt Ruge Kutta trple B,) ag dguaka juga oleh olver Matlab ot pada ode Stematka pembahaa melput pegatar DDE, perluaa metode B,) pada peroala DDE, aal koverge da tablta, mplemeta olver dde da uj coba pada beberapa peroala pemodela matematka PENGANTAR DELAY DIFFERENTIAL EQUATION Perbedaa utama atara DDE da ODE terletak pada data ala Peeleaa ODE etuka oleh la peramaa pada ttk al t-a Sedagka utuk megevalua DDE pada terval a t b, jka terdapat uku (t- j ) dapat merepreetaka la dar olu pada ttk-ttk ebelum ttk al Cotoha, olu pada t = a etuka oleh la pada a- j Sehgga jka terdapat T ag merupaka la tuda terbear, maka utuk meeleaka uatu peroala DDE perlu dedaka t) atara a- T t a Karea metode umerk pada ODE da DDE aka juga daplkaka pada peroala ag memlk beberapa dervat ag kotu, maka dkotu pada low-order dervat memerluka peagaa khuu Secara umum terjad dkotu pada olu dervat pertama d ttk al karea S ( a) ( a) ( a, a), a ),, a )) k IMPLEMENTASI DELAY DIFFERENTIAL EQUATION PADA SOLVER ORDINARY 79 DIFFERENTIAL EQUATION MATLAB Rull Soelama & Yudh Purwaato

2 Dkotu dapat terjad juga pada aat ebelum da eudah ttk al Dkotu dapat megalam propaga Jka terjad dkotu pada ebuah dervat, maka aka terjad perulaga dkotu pada terval-terval elajuta dega jarak etuka oleh la tudaa Propaga dapat ddekrpka ecara ormal ebaga berkut : jka terjad dkotu d t* pada derajat k atau dega kata la terjad lompata pada (k) d t*, maka aka terjad dkotu d t*+ j pada derajat ekurag-kuraga k+, aka terjad juga dkotu d t*+ j pada derajat ekurag-kuraga k+ da eterua Berkut merupaka cotoh dkotu pada DDE Terdapat peramaa (t)= -(t-) () pada 0 t dega ug htor t)= utuk t 0 Maka aka ddapatka hal ebaga berkut (, utuk 0 ( ) (, utuk! ( ) ( ) (,!! utuk Gambar Grak olu peramaa () PENDEKATAN EKSPLISIT RUNGE KUTTA Pada pembahaa berkut aka dguaka metode Ruge Kutta Trple ag umum dguaka pada olver ode utuk meeleaka permaalaha =(,) pada terval [a,b] dega (a) dketahu Sebuah trple pada tage aka melbatka tga buah rumua Mala, dketahu aprokma ug () pada atu da aka dhtug aprokma pada + = +h Utuk =,,, tage, ) ddeka dega uku ( ch da h j Peramaa aprokma ag dguaka utuk meetuka la tegra elajuta adalah a j j h b Peramaa terebut dapat ulka juga dega megguaka ug cremet (, ) Utuk memeuh peeleaa ug ambahka uatu la redu ag debut local trucato error ehgga peramaa mejad ( ) ( ) h (, ( )) lte Beara error pada peramaa terebut adalah p O( h ) Rumua la pada trple ulka dega peramaa ebaga berkut * * * h b h (, Bear local trucato error dar peramaa terebut adalah O( p ) h Rumua terebut haa dguaka utuk meetuka beara tep ze Rumua ketga ulka ebaga berkut h b b ( ) h (,, ) Rumua terebut merupaka cotuou eteo dar rumua pertama Dega kata la, rumua pertama merupaka kod khuu dar cotuou eteo dega = Agar metode Ruge-Kutta trple dapat daplkaka utuk peeleaa DDE, maka dbutuhka trateg utuk meaga uku htor ) pada peramaa ( j (,, ( ), ( k) Terdapat dua keadaa ag haru dbedaka atu : h da h > j pada beberapa j Dmalka dketahu ug aprokma pada ( utuk etap Jka h, maka j da (,, ), k) merupaka rumua ekplt Fug merupaka htor al pada a Setelah dlakuka peghtuga pada lagkah, elajuta dega megguaka cotuou eteo ddeka pada retag, ] dega rumua [ S h ) ( Dega data htor ag ) 80, Volume, Nomor, Jul 00 : 79 84

3 telah ddeka terebut dapat dlakuka peghtuga lagkah berkuta Jka h > j pada beberapa j, maka uku htor aka devalua pada pa dar curret tep da emua rumua aka ddeka ecara mplt Lagkah ag empuh utuk meeleaaka kod terebut adalah ebaga berkut ; aat tercapa, ddeka utuk Selajuta de terebut dperlua hgga retag, h ] Hal terebut dataka ebaga ( S 0 ( ug ) Tahapa tera elajuta dmula dega melakuka peghtuga terhadap aprokma hal S m ( Itera elajuta dhtug dega rumua ekplt ebaga berkut ( m) S ( h ) ( m) h (,, ; S ( ) Rumua terebut meujukka kotrak da terde pada terval 4 KARAKTERISTIK SOLVER DDE DDE dmplemetaka dega megacu pada olver ODE, ag merupaka mplemeta dar paaga ekplt Ruge-Kutta (,) Bogack da Shampe ag debut BS Kogura Arra Butcher utuk BS adalah ebaga berkut 0 ½ ½ ¾ 0 ¾ /9 / 4/9 /9 / 4/9 0 ^ -5/7 / /9 -/8 Metode BS memeuh olu order dega kod ebaga berkut b +b +b = pada arra Butcher BS : /9+/+4/9= b c +b c =/ pada BS : /*/+4/9*/4=/6 b c +b c =/ pada BS : /*/4+4/9*9/6=/ 4 b c a =/6 pada BS : 4/9*/*/4=/6 Pada DDE, lagkah awal ag dlakuka adalah memberka predk S 0 ( ) dega la kota 0 Selajuta, erapka propert cotuou eteo pada lagkah ebeluma utuk mejad S 0 ( pada lagkah ekarag Pada DDE dguaka terpola cubc Hermte ebaga ug polomal pada cotuou eteo Predk terebut ecara kuattat dapat dukur dega peramaa local trucato error tk h dar metode BS ag dajuka Dormad ebaga berkut A 88 (4) 4 ( ) ( ) dega Beara rao error atara haru lebh kecl atau ama dega utuk harga Peeuaa (adjutmet) tep ze ag dguaka pada DDE ama dega ag dguaka pada ODE Utuk meguj koverge, dlakuka dega tera utuk meghtug harga m m ag tdak lebh bear dar /0 akura ag dbutuhka 5 ANALISIS KONVERGENSI DAN STABILITAS Utuk dapat megaal apek koverge da tablta terhadap metode ag daplkaka dega BS, maka perlu etuka terlebh dahulu model permaalaha ag aka dguaka Model terebut merupaka betuk kalar dega rumua ebaga berkut ( L( M( ) 5 Apek Koverge Apek koverge dapat daal dega pembukta berkut Jka tep ze h memeuh h m, ( L M ) maka tera aka koverge utuk emua la ag relat kecl Jumlah tage mplt ag dkerjaka aka bergatug dega perbadga bear h dega Pada pembukta daumka terdapat h >>, ehgga BS meghalka tage mplt ag makmal Perama terpola polomal cotuou eteo ag dguaka adalah Hermte kubk, ehgga olver juga mecatat lope pada ttk ebaga tambaha pada olu Pada uatu lagkah tera mecapa h la, da ) adalah ed Nla cotuou eteo aka etuka oleh la-la ed terebut da vektor (m) T v (, ) Jka meataka curret appromato, maka dega batua tool Maple dapat etuka matrk tera J ag memeuh v IMPLEMENTASI DELAY DIFFERENTIAL EQUATION PADA SOLVER ORDINARY 8 DIFFERENTIAL EQUATION MATLAB Rull Soelama & Yudh Purwaato

4 v Jv ( m ) ( m ) c Dapat dketahu juga bahwa emua eleme matrk J merupaka betuk polomal kubk dar Dmalka J 0 meataka matrk ag devalua pada aat = 0 Jka D dag {, h}, maka dapat etuka M (9 Lh) / 7 M (5 6Lh) /44 DJ 0D h L M 0 Selajuta jka h memeuh, maka radu pektral J 0 aka memeuh peramaa ( J 0 ) DJ D Dega radu pektral J o elalu lebh kecl dar, maka tera aka meuju koverge dega h, L, M da ag relat kecl 5 Apek Stablta Berdaarka hal pegamata Harer etal utuk L da M real, ucet coo utuk mejaga tablta pada DDE adalah L 0 da M L Dtujukka pula bahwa la dela pada M 0 dguaka utuk metablka ebuah ODE pada kod utable debabka L 0 Berdaarka pegamata ddapat bahwa perlaku BS aka mlar dega metode oe-tep pada aat 0 Dmalka proe tegra telah mecapa dega tep ze h Dega la ag relat kecl, atu-atua argume ag tdak berada pada pa dar curret tep adalah Argume terebut aka berada pada pada daerah h, Dketahu pula bahwa 0 merupaka ug terpola Hermte kubk dega argume Dega megguaka Maple la S ) dapat,,, ( dataka dalam betuk terpola ebaga berkut ) O( ) () Haa melalu la S ) terebut ( peghtuga la dapat dpegaruh oleh, la Berdaarka kod terebut, aal tablta pada lmt 0 dapat dlakuka pada curret tep Sehgga tegra Nla dataka tabl jka ddeka ecara mplt berdaarka peramaa L M ) () dega megguaka peramaa () ddapatka peramaa () L M M O( ) Peramaa terebut mlar utuk Selajuta ddeka parameter z = hl da Z = hm Dega megguaka Maple pula ddapatka olu utuk tet equato dega ebaga berkut P( z) z z z Polomal P (z) merupaka polomal tablta dar metode ODE Peramaa dereal dkataka tabl jka Re( z ) 0, da metode dkataka tabl jka P ( z) Metode dkataka damped jka P ( z) 6 EKSPERIMEN 6 Aplka Pemodela Peakt Meular Berkut adalah aplka pemodela matematka utuk peebara wabah peakt meular Model klak ag aka dbaha, dajuka oleh Kermack- McKedrck (97) Pada model terebut terdapat tga buah ug atu ( ag meujukka baga dar popula ag reta utuk terjagkt wabah peakt, ( ag meujukka baga dar popula ag terjagkt wabah peakt da ( ag meujukka baga dar popula ag kebal terhadap wabah peakt Selajuta daumka bahwa jumlah dvdu ag terjagkt wabah peakt tap atua waktu aka proporoal terhadap ( ), epert pada reak kma ( bmolekular Jka daumka juga bahwa jumlah dvdu ag kebal terhadap wabah peakt aka proporoal terhadap jumlah dvdu ag terjagkt peakt maka model terebut dapat ulka ebaga berkut Setelah wabah peakt berjagkt, eluruh dvdu akhra aka mejad kebal terhadap wabah terebut Jka daumka dvdu ag telah kebal terhadap peakt dapat kembal mejad reta etelah kuru waktu tertetu mala = 0, maka aka terjad lag terjagkta wabah peakt pada maa tertetu Jka dberka maa kuba berla =, maka model matematkaa aka mejad 6 8, Volume, Nomor, Jul 00 : 79 84

5 Dketahu la ae al 5, ( 0, ( ; utuk 0 ( ( ( ( ( ) ( ) ( 0) ( 0) ( Solu permaalaha terebut dapat dlhat pada gambar Suku terebut meataka akta bahwa pembetuka el plama aka megalam peurua blamaa uatu orgama edag tererag ek Karaktertk eraga ek m(t) dberka oleh peramaa keempat atu dm h6v h7m Jka dketahu parameter-parameter model adalah ebaga berkut 4,50 h, h,80 h 0, h4 07, h5,50 h7 0, h8 8 Selajuta la ae al utuk model terebut adalah ebaga berkut 6 V ( t) ma(0,0 t) jka t 0 C(0) ; F( t) jka m(0) 0 t 0 Parameter h6 dberka la 0 da 00 Solu permaalaha terebut dapat dlhat pada gambar Gambar Grak olu pemodela peakt meular 6 Model Matematka pada Immuolog Pada cotoh berkut aka dbaha model Marchuk ag medekrpka perlaku vru V(t), atbod F(t) da el plama pada orgama ag tererag peakt ag debabka oleh vru dv ( h hf ) V dc ( m) hf ( t ) V ( t ) h5 ( C ) df h4 ( C F) h8 FV Peramaa pertama adalah peramaa predator-pre Volterra-Lotk Peramaa kedua medekrpka pembetuka el plama baru dega waktu tuda dakbatka oleh terjada ek Dega adaa uku kedua pada peramaa terebut aka megakbatka keetmbaga terjad pada aat C= Peramaa ketga meataka pembetuka atbod dar el plama (h 4 C), peguragaa karea umur ( -h 4 F) da peggabugaa dega atge ( -h 8 FV) Suku (m) ddeka ebaga berkut ; jka m 0 ( m) ( m) ; 0 0 jka m 9 Gambar Grak olu pemodela muolog 7 KESIMPULAN Berdaarka hal mplemeta da aal ujcoba ag telah dlakuka, dapat dambl kempula ebaga berkut : Utuk megmplemetaka permaalaha DDE dega waktu tuda kota dega megguaka metode Ruge-Kutta ekplt dbutuhka tga rumua atu rumua utuk meghtug la pada etap tahapa tegra, rumua utuk meghtug beara tep ze erta rumua utuk meghtug cotuou eteo Pada peelta, daplkaka metode Ruge Kutta ekplt dega rumua embedded dar Bogack-Shampe ag mempua order IMPLEMENTASI DELAY DIFFERENTIAL EQUATION PADA SOLVER ORDINARY 8 DIFFERENTIAL EQUATION MATLAB Rull Soelama & Yudh Purwaato

6 erta rumua cotuou eteo dega terpola Hermte kubk Dega megguaka model peramaa kalar ( L( M( ) dapat dlakuka aal terhadap apek koverge da tablta ebaga berkut: Jka tep ze h memeuh h m, ( L M ) maka tera aka koverge utuk emua la ag relat kecl Ddapatka olu utuk tet equato dega ebaga berkut P( z) z z z 6 Polomal P (z) merupaka polomal tablta dar metode ODE 8 DAFTAR PUSTAKA [] EHarer, SPNrett, GWaer, Solvg Ordar Deretal Equato I : Not Problem, Sprger-Verlag, 987 [] JDLambert, Numercal Method or Ordar Deretal Stem, Joh Wle & So Ltd, Eglad, 99 [] LF Shampe, MW Rechlet, The MATLAB ODE Sute, SIAM JSc Comput, 8, 997 [4] Steve C Chapra, Ramod P Caale, Numercal Method or Egeer rd Eo, McGraw-Hll, 998 [5] Ur MAcher, Lda R Petzold, Computer Method or Ordar Deretal Equato ad Deretal-Algebrac Equato, Socet or Idutral ad Appled Mathematc, 998 [6] LF Shampe, S Thompo, Solvg DDE MATLAB, Maucrpt, Maret 000 [7] LF Shampe, S Thompo, Evet Locato or Ordar Deretal Equato, Comp& Math Wth Appl, to appear 84, Volume, Nomor, Jul 00 : 79 84