Reliabilitas Stress-Strength dengan Distribusi Weibull Relibility Stress-Strength with Weibull Distribution

Transkripsi

1 Prosdg Statstka ISSN: Relabltas Stress-Stregth dega Dstrbus Webull Relblt Stress-Stregth wth Webull Dstrbuto Na Peratasar, Sutawar Darws, 3 Abdul Kudus,,3 Prod Statstka, Fakultas Mateatka da Ilu Pegetahua Ala, Uverstas Isla Badug, Jl. Taasar No. Badug 406 eal: peratasara9@gal.co, std.darws@gal.co, 3 akudus69@ahoo.co Abstract. Rado varable stress Y ad rado varable stregth X alog wth estate paraeter relablt. The odel whch s used order to dstrbuto odel Welbull wth the shape of paraeter sae that s α but have dfferet scale paraeter that s ad. Relablt paraeter R defto as a opportut fro stregth ore large fro stress, that s R = P X > Y). Based o dstrbuto of odel θ whch assupto resulted that relablt paraeter R =. Wth used all of the real data dd t θ +θ estato paraeter the ethod of au lkelhood. there s estate paraeter stages wth ethod of au lkelhood ad fored cofdece terval wth bootstrap-persetle. I ths thess applcato for the data fatgue wth spece daeter stregth) ad daeter 50 stress), whch s for stregth varable for estate paraeter α = 0,93308 ad estate paraeter scale = 0880 ad for varable stress for estate α = 0,8336 ad estate paraeter = 33536, ad estate value relablt R = 0, Ad cofdece terval bootstrap-persetle resultg uder value lt persetle gog 5 that s ad lt persetle upper gog to 975 that s Kewords: Relablt, Stress-Stregth, Mau Lkelhood Estato, Bootstrap-Percetl. Abstrak. Varabel acak stregth X da varabel acak stress Y beserta peaksra paraeter keadala relablt)-a. Model ag dguaka adalah odel dstrbus Webull dega paraeter betuk shape) ag saa ak α tetap elk paraeter skala scale) ag berbeda ak da. Paraeter keadala R ddefska sebaga peluag dar stregth lebh besar dar stress, ak R = P X > Y). Berdasarka odel dstrbus ag dasuska dperoleh bahwa paraeter keadala Dega R egguaka data rl aka dlakuka peaksra seua paraeter tersebut dega egguaka etode keugka aksu. Adapu tahapa peaksra paraeter dega etode keugka aksu da ebetuk selag kepercaaa dega bootstrap-persetl. Dala peelta daplkaska utuk data fatgue dega spece daeter stregth) da daeter 50 stress), daa utuk varabel stregth ebetuk taksra paraater betuk α = 0,93308 da taskra paraeter skala = 0880 da utuk varabel stress ebetuk taksra paraeter betuk α = 0,8336 da taskra paraeter skala = 33536, da la taksra relabltas R = da selag kepercaaa bootstrap-persetl eghaslka la batas bawah persetl ag ke 5 atu da batas atas persetl ag ke 975 atu Kata Kuc: Relabltas, Stress-Stregth, Mau Lkelhood Estato, Bootstrap-Persetl. 35

2 36 Na Peratasar, et al A. Pedahulua Setap perstwa aka epua peluag asg-asg, da peluag terada perstwa tersebut aka epua peebara ag egkut suatu pola tertetu ag dsebut dega dstrbus. Dstrbus peluag utuk suatu varabel acak eggabarka pola peebaraa utuk setap la dar varabel acak tersebut. Ada dua es dstrbus peluag sesua dega varabel acaka atu dstrbus peluag dskrt da dstrbus peluag kotu. Jka varabel acaka berupa varabel dskrt, aka dstrbus peluaga adalah dstrbus peluag dskrt, sedagka ka varabel acaka berupa varabel kotu, aka dstrbus peluaga adalah dstrbus peluag kotu. Beberapa odel dstrbus peluag kotu ag dkeal dala lu peluag dataraa adalah dstrbus Noral, dstrbus Gaa, dstrbus Ekspoesal, da dstrbus Webull. Model dstrbus peluag Webull adalah odel dstrbus peluag ag elk peraa ag petg terutaa pada persoala keadala relablt) da aalss rawata ataabl). Dstrbus Webull pertaa kal dperkealka oleh Fskawa Sweda atu Wallod Webull pada tahu 936 dega tga paraeter, ag keuda terdapat dstrbus Webull dega dua da satu paraeter. Tgkat keadala suatu kopoe dtetapka pada asa peracaga. Agar keadala kopoe dapat dtetuka pada tahap peracaga aka dperluka suatu etodolog ag bersfat probablstk ag dkeal sebaga peracaga probablstk. Salah satua adalah dega eetuka keadala berdasarka stress Y) da stregth X), karea salah satu ag epegaruh lau kegagala suatu kopoe adalah stress atau tekaa. Kopoe aka tetap adal apabla kekuataa ash lebh besar darpada tekaaa. Dala hal dtetuka sebuah paraeter keadala R ag ddefska sebaga R=PX>Y) Aa baklz, 003). Keadala R suatu kopoe dartka sebaga peluag kopoe tersebut aka berfugs dega bak ka doperaska dala kods lgkuga tertetu. Paraeter R ecerka daa taha atau tgkat kekuata stregth) kopoe tersebut dala eghadap stress atu gaa tekaa ag terad dala suatu lgkuga tertetu sepert tekaa ag, tekaa ledaka, tekaa akbat keaka suhu, tekaa beba, da la sebagaa. Dala akalah aka dbahas egea keadala pada odel stressstregth, atu paraeter keadala R erupaka peluag dar stregth lebh besar dar stress atau R = P X > Y). Lebh laut lag varabel acak stregth X aupu varabel acak stress Y dasuska berdstrbus Webull ag salg bebas dega paraeter betuk shape) ag saa ak α tetap elk paraeter skala scale) ag berbeda ak da. Da aka daplkaska dala data fatgue ag terbuat dar ateral EN-GJS LT dega efek ukura bes cor ductle ag egguaka data dua set spece daeter Ø ) da set spece 50 Ø 50). Hal ag petg dala peodela statstka adalah cara utuk eaksr paraeter odela. Pada dasara, peaksra adalah suatu etode utuk egetahu taksra paraeter dar suatu populas dega egguaka la-la sapel. Terdapat beberapa etode peaksra paraeter odel statstka, dataraa etode Ordar Least Square OLS), da etode Maksu Lkelhood Estato MLE). Metode Maksu Lkelhood Estasto MLE) ag pertaa kal dkebagka oleh R.A Fsher tahu 90. Prsp dar MLE adalah eetuka peaksr paraeter ag eaksuka fugs Lkelhood. Volue, No., Tahu 06

3 Relabltas Stress-Stregth dega Dstrbus Webull 37 Berdasarka latar belakag ag telah duraka, aka peruusa asalah dala peelta sebaga berkut:. Bagaaa u kecocoka data dega dstrbus Webull. Bagaaa peaksra paraeter relabltas stress-stregth dega etode Maksu Lkelhood Estasto MLE) 3. Bagaaa pebetuka selag kepercaaa bag paraeter stress-stregth dega Bootstrap-percetl Selauta, tuua dala peelta dala pokok-pokok sbb.. Utuk eetuka kecocoka data dega dstrbus Webull. Utuk eetuka cara eaksr relabltas stress-stregth dega etode Mau Lkelhood Estato MLE) 3. Utuk eetuka cara ebetuk selag kepercaaa bag paraeter stressstregth dega Bootstrap-persetl B. Ladasa Teor Teor Keadala Keadala dala pegerta ag luas dapat dkataka sebaga ukura prestas. Seseorag ag apu eelesaka pekeraaa dega bak ada waktu ag telah dtetuka aka orag tersebutdkataka dapat dadalaka. Kosep keadala tdak haa dpaka dala kegata ausa tetap prestas fugsoal dar obek ag dbuat ausa sepert peralata ataupu kopoe elektrok, kopoe es, da sebagaa. Dstrbus Webull Jka sebuah varabel acak kotu X elk dstrbus Webull dega paraeter betuk α da paraeter skala daa α > 0 da 0, aka fugs kepadata probabltas dar X adalah : ; a; ) e ;...) f Melk fugs kuulatf dstrbus Webull X F ) e Melk epetas da varas dstrbus Webull E) da V ) U Kecocoka Dstrbus Aderso-Darlg U kecocoka dstrbus adalah suatu pegua hpotess statstk ag dguaka utuk egetahu apakah,,, adalah la dar sapel acak X, X,, X ag berdstrbus dega fugs dstrbus F ). U kecocoka dstrbus dapat dguaka utuk egu hpotess berkut: H 0 :,,, erupaka la dar sapel acak ag berdstrbus dega fugs dstrbus F ). H :,,, erupaka la dar sapel acak ag berdstrbus dega fugs dstrbus buka F ). Statstka, Gelobag, Tahu Akadek 05-06

4 38 Na Peratasar, et al Msalka X, X,, X adalah la dar sapel acak berukura. Statstk u Aderso-Darlg adalah : daa F ) adalah taksra fugs dstrbus kuulatf utuk dstrbus ag dhpotesska. Nla krts utuk Aderso- Darlg utuk berbaga kasus da taraf ata, α=0% adalah,933, utuk taraf ata 5% adalah,493, utuk taraf ata % adalah 3,857. Sedagka krtera peguaa adalah tolak hpotess ol ka statstk u A lebh besar dar la krts pada taraf ata ag dtetapka. Relabltas Model Stress-Stregth Keadala pada odel stress-stregth ddefska sebaga probabltas kopoe berfugs dega bak atu apabla stregth X) kopoe lebh besar dar stress Y) ag ebea kopoe tersebut atau X>Y. Perbedaa dega pegerta keadala ag laz adalah bahwa keadala pada odel stress-stregth buka erupaka fugs waktu. Relabltas Stress-Stregth Utuk dstrbus Webull dega paraeter shape α ag saa tetap paraeter skala berbeda da ) Jka dketahu bahwa varabel acak stregth X) da stress Y) asg epua dstrbus Webull dega paraeter betuk ag saa sebesar ak α sedagka paraeter skalaa berbeda ak da Dega deka fugs relabltas stress-stregth-a adalah: R P X Y)...3) Metode pegguaa keugka aksu Jka,, ) da,, ) adalah sapel acak stregth Y) da sapel acak stress X) dasuska dstrbus Webull salg bebas dega fugs ~ W,, Y ~ W,, aka fugs keugkaa adalah destas X da A = ) [l F ))) + l F + ) ))] =,,,, ) L f Metode peaksr paraeter dega etode aksu lkelhood bag R Msalka X,, X adalah suatu sapel acak berukura dar varabel acak stregth X) ag egkut dstrbus Webull, da Y,, Y adalah suatu sapel acak berukura dar peubah acak stress Y) ag egkut dstrbus Webull,, fugs destas ddefska sebaga berkut:....) f ; a; ) e, 0 da f ; a; ) e, 0 Peduga keugka aksu bag R adalah R dega da adalah la dugaa ag dperoleh egguaka etode keugka aksu. Berkut peurua da. Volue, No., Tahu 06

5 Relabltas Stress-Stregth dega Dstrbus Webull 39 Statstka, Gelobag, Tahu Akadek Berkut logarta atural dar fugs keugka : l l ) l l )l Utuk eperoleh dugaa betuk paraeter betuk α, dperoleh : 0 l l l l L...5) Utuk eperoleh dugaa paraeter skala,da dperoleh : 0 L...6) 0 L...7) Utuk persaaa.6 da.7 aka eghaslka da ) ) Meletakka ) da ) pada persaaa.5 aka eghaslka pedugaa: 0 l l l l Utuk tu dapat eperoleh dar solus persaaa o-ler Daa hα) dcar dega cara sebaga berkut : h l l l l ) Dega deka dapat dperoleh dega egguaka prosedur teras sebaga berkut : h Daa adalah pada teras ke- dega eetapka 0 sebarag Prosedur teras harus dhetka ketka perbedaa la utlak atara da cukup kecl. Setelah eperoleh da skala paraeter R bsa ddapatka dar dar asg-asg da da dugaa bag R dega egguaka fugs keugka tersebut adalah R...8)...4) da

6 40 Na Peratasar, et al Mebetuk selag kepercaaa dega etode bootstrap-persetl Secara uu lagkah-lagkah peetua taksra bootstrap persetl utuk dstrbus Webull atu :. Berdasarka data sapel asl,, 3,, da,, 3,,.. Megabl sapel acak dega pegebala dar data sapel asl utuk eghaslka sapel bootstrap,, 3 da,, Meghtug dega egguaka teras * l l Meghtug taksra R R * l l 4. Melakuka pegulaga pada lagkah ke- sapa lagkah ke-4 sebaak 000 kal. 5. Meghtug R utuk batas bawah. BOOT P P 6. Meghtug R utuk batas atas. BOOT C. Hasl Peelta da Pebahasa Hasl Pegua Kecocoka Dstrbus Data Dstrbus Webull Utuk ebuktka data fatgue utuk spece da 50, aka dlakuka u kecocoka secara foral egguaka u Aderso-Darlg. Peruusa hpotess atu:. Data fatgue utuk spece stregth) H 0 : Data fatgue utuk spece berasal dar populas ag berdstrbus Webull. H : Data data fatgue utuk spece buka berasal dar populas ag berdstrbus Webull.. Data fatgue utuk spece 50 stress) H 0 : Data fatgue utuk spece 50 berasal dar populas ag berdstrbus Webull. H : Data fatgue utuk spece 50 buka berasal dar populas ag berdstrbus Webull. Nla taksraa utuk data fatgue spece stregth) dhtug atu: da 0880sedagka la taksraa utuk data fatgue spece 50 stress) dhtug atu: da Dega batua hasl perhtuga ag ada pada Tabel. da Tabel., dapat dhtug statstk u Aderso-Darlg dega egguaka Persaaa.) atu: A =,3474) = 0,3474. A =,5073) = 0,5073. Volue, No., Tahu 06

7 Relabltas Stress-Stregth dega Dstrbus Webull 4 Tabel. Hasl Perhtuga utuk U Aderso-Darlg pada data Stregth ) X F X ) lf X ) l F X ) l F X + ) ) 7)[4) + 6)] ) ) 3) 4) 5) 6) 7) 8) , , ,0908-3,50 0, , , , ,006 -,5768 0,5 -, ,093 -,58-0,555 -,4948 0,4666 -, , , , ,9903 0, , , ,807-0, ,7539 0,75 -, , ,7444-0, , , , , , , ,64438, , ,589-0,638-0,7539-0,59094,5 -, , , ,9903-0,45645, , ,7757-0,5397 -,4948-0,555, , , ,079 -,5768-0,006,75-0, , ,0309-3,50-0,0908, ,33 Julah -,3474 Tabel. Hasl Perhtuga utuk U Aderso-Darlg pada data Stress 50) Y F Y ) lf Y ) l F Y ) l F Y + ) ) 7)[4) + 6)] ) ) 3) 4) 5) 6) 7) 8) ,5785 -,0738-0,3443-3,6783 0, , ,75 -, ,8779 -,369 0,5-0, ,7636 -,7353-0,940 -,78 0, , , ,788-0,954-0,8987 0, , ,407-0,9095-0,5537-0,6984 0,75 -, , , ,5707-0,6055 0, , ,454-0,789-0,6055-0,5707, , ,506-0,6879-0,6984-0,5537,5 -, ,599-0,573-0,8987-0,954, , , ,598 -,78-0,940, , , ,574 -,369-0,8779,75-0, , ,0693-3,6783-0,3443, ,3098 Julah -,5073 Statstka, Gelobag, Tahu Akadek 05-06

8 Frequec 4 Na Peratasar, et al Hasl Peaksra Paraeter Relabltas Stress-Stregth Dala perhtuga taksra relabltas stress-stregth ebutuhka la paraeter a dega egguaka teras sederhaa da hasl proses teras ag ke-0 daa proses teras tersebut sudah koverge dega la taksra paraeter, adalah a = Berkut perhtuga relabltas stress-stregth dega egguaka persaaa.8) aka dperoleh : R , , ,593 Dega deka, dapat dspulka bahwa taksra relabltas stress-stregth pada data fatgue utuk spece da 50 adalah 0, Hasl Pebetuka Selag Kepercaaa dega Bootstrap-Persetl * Berkut hasl betuk hstogra dar 000 la R bootstrap-persetl dlustraska dala Gabar. Hstogra of hasl R R Gabar. Hstogra Nla * R Bootstrap * Dar hasl perhtuga la u dar la R bootstrap adalah , sedagka la aksua adalah dega la batas * bawah utuk selag kepercaaa bootstrap-persetl utuk R dega taraf art = 5%, aka la uruta persetl ag ke- 0,05 0, atu Volue, No., Tahu 06

9 Relabltas Stress-Stregth dega Dstrbus Webull 43 Sedagka la batas atas utuk selag kepercaaa bootstrap-pesetl utuk R * dega taraf ata = 5%, aka la uruta persetl ag ke- 0,05 0, , atu D. Kespula Berdasarka pebahasa dala peelta, peelt epulka beberapa hasl peelta sebaga berkut:. Berdasarka u kecocoka Aderso-Darlg data fatgue utuk spece da spece 50, asg-asg data spece berasal dar data dstrbus Webull dega la taksra dar data fatgue utuk spece da 0880 da statstk u Aderso-Darlg 0,3474, da la taksra dar data fatgue utuk spece da 33536, statstk u Aderso-Darlg 0,5073 keduaa euukka bahwa data data fatgue berasal dar populas ag berdstrbus Webull.. Hasl peaksra pareeter relabltas stress-stergth dega etode au lkelhod estato MLE), sebelu dlakukaa perhtuga taksra relabltas stress-stregth, aka terlebh dahulu dlakuka taksra paraeter a dega teras sederhaa, da eghaslka hasl la taksra paraeter a = , ag erupaka proses teras ag sudah koverge pada teras ke-0 da hasl taksra relabltas stress-stregth pada data fatgue utuk spece da spece 50 adalah 0, arta bahwa peluag stregth elebh stress. 3. Selag kepercaaa bootstrap-persetl eghaslka persetl batas bawah ke-5 atu da persetl ke-975 batas atas atu dega taraf ata = 5%. E. Sara Sara Teorts Hedaka utuk peelta stress-stregth ag berdstrbus Webull harus elk paraeter betuk shape) ag berbeda da paraeter skala scale) ag berbeda uga. Daftar Pustaka A. Asgharzadeh,, Reza Valollah da M.Z. Raqab, Stress-stregth relablt of Webull dstrbuto based o progressvel cesored saples, pp 03-4, 0 B. Efro, The Jackkfe, the Bootstrap ad Other Re-Saplg Plas. Phladelpha, PA:SIAM, 98, vol.38, CBMS-NSFRegoal Coferece Seres Appled Matheatcs. Hogg, R.V. da Crag, A.T. 995, Itroducto to Matheatcal Statstcs, Fourth Edto, Maclla Publshg Co., Ic. New York. J. I. McCool, Iferece o PY < X ) the Webull case, Coucatos Statstcs Sulato ad Coputatos, vol. 0, pp. 9 48, 99. Johso R.A., 988) Stress-stregth odel for relalblt Hadbook of statstcs, P.R. Krshaah ad C.R. Rao, eds Elsever, Statstka, Gelobag, Tahu Akadek 05-06

10 44 Na Peratasar, et al Kudu D ad R. D. Gupta, Estato of P[ Y < X ] for Webull Dstrbuto IEEE Trasactos o Relablt, Vol. 55. No. Jue 006. M. G. Badar ad A. M. Prest, Statstcal aspects of fber ad budle stregth hbrd copostes, Progress Scece ad Egeerg Copostes, T. Haash, K. Kawata, ad S. Uekawa, Eds., Toko, 98, pp. 9 36, ICCM-IV. Sales Flho, R. L. M., López Droguett, E., Ls, I. D., Moura, M. C., Ar, M., ad Azevedo, R. V. 06) Stress-Stregth Relablt Aalss wth Etree Values based o q-epoetal Dstrbuto. Qual. Relab. Egg. It., do: 0.00/qre.00. Sauel Kotz, Ya luelsk, M. Pesk, The Stress-stregth Model ad ts Geeralzatos Theor ad aplcato PX<Y). Shra M, Härkegård G. Fatgue lfe dstrbuto ad sze effect ductle cast ro for wd turbe copoets. Egeerg Falure Aalss 0; 8: 4. Volue, No., Tahu 06