PENGANTAR DASAR MATEMATIKA (PDM)

Transkripsi

1 BAHAN AJAR PENGANAR DASAR MAEMAIKA (PDM) Disusun oleh Sugiarto, Isti Hidayah Jurusan Matematika MIPA UNNES 2011 PDM-Sugiarto-Isti Hidayah Page 1

2 PRAKAA egala puji hanya untuk Allah, uhan semesta alam, yang telah melimpahkan karunianya, sehingga Alhamdulillah bahan ajar yang berjudul Pengantar Dasar Matematika telah selesai disusun sesuai dengan rencana. Kompetensi yang dimiliki mahasiswa setelah menempuh matakuliah Pengantar Dasar Matematika bermanfaat bagi mahasiswa tidak saja sebagai bekal untuk menempuh semua matakuliah Keahlian Bidang Studi, akan tetapi bermanfaat pula bagi mahasiswa sebagai sarana berfikir mengembangkan penalaran dan meningkatkan kemampuan berpikir logis. Perkuliahan ini dimaksudkan membekali mahasiswa agar mampu menggunakan penalaran pada pola dan sifat, melakukan manipulasi matematika dalam membuat generalisasi, menyusun bukti, atau menjelaskan gagasan dan pernyataan matematika, disamping itu juga membekali mahasiswa untuk mengembangkan kemampuan berpikir logis, rasional, analitis, sistematis, objektif, dan kritis serta kreatif. Kompetensi yang diperoleh mahasiswa setelah menempuh matakuliah ini sangat bermanfaat sebagai bekal untuk menempuh matakuliah lain. Adapun materi yang dikembangkan pada matakuliah Pengantar Dasar Matematika meliputi: 1) Himpunan, relasi, fungsi dan kardinalitas 2) Logika : disjungsi, konjungsi, implikasi, biimplikasi, ekivalensi, argument, bukti kesahan argumen dan kwantifikasi Semarang, Agustus Penulis Sugiarto-Isti Hidayah PDM-Sugiarto-Isti Hidayah Page 2 ii

3 DAAR ISI HALAMAN JUDUL... i KAA PENGANAR... ii DAAR ISI... iii BAB I : PENDAHULUAN Deskripsi mata kuliah Prasyarat Petunjuk belajar Standar Kompetensi Kompetensi dasar Indikator... 2 BAB II: HIMPUNAN Pengertian Himpunan Keanggotaan Himpunan Cara Menyatakan Himpunan Latihan BAB III: MACAM HIMPUNAN DAN RELASI PADA HIMPUNAN Himpunan Kosong Himpunan Berhingga dan ak Berhingga Himpunan di Dalam Himpunan Himpunan Bagian sejati Dua Himpunan yang Sama Dua Himpunan yang Ekivalen Himpunan Kuasa... Latihan 3... BAB IV: OPERASI PADA HIMPUNAN Irisan Dua Himpunan Gabungan Dua Himpunan Selisih Dua Himpunan Komplemen Perkalian Dua Himpunan Sifat-sifat Operasi pada Himpunan Latihan BAB V: HIMPUNAN BILANGAN Himpunan Bilangan-bilangan Bilangan Nol dan Sifat-sifatnya Pecahan Biasa dan Pecahan Desimal Selang Latihan BAB VI: RELASI ANARA DUA HIMPUNAN Pengertian Relasi Antara Dua Himpunan Cara Menyatakan Relasi Antara Dua Himpunan Banyaknya ReIasi Antara Dua I limpunan Macam Relasi PDM-Sugiarto-Isti Hidayah Page 3 iii

4 5. Relasi Ekivalen dan Partisi Latihan BAB VII: UNGSI Pengertian ungsi Cara Menyatakan ungsi Banyaknya ungsi Jangkauan dari ungsi Jenis ungsi Latihan BAB VIII: LOGIKA MAEMAIK A Proposisi Proposisi Komposit Nilai Kebenaran Proposisi Komposit abel Kebenaran autologi, Kontradiksi, dan Kontingensi Implikasi Logis Ekivalensi Latihan 8A Hukum-hukum Aljabar Proposisi Argumen Kesahan Argumen Metode Deduksi Latihan 8B Aturan Bukti Bersyarat (ABB) Latihan 8C Reductio Ad Absordum (Bukti ak Langsung) Latihan 8D BAB IX: KUANIIKASI ungsi Proposisi dan Kuantor Melambangkan Proposisi Latihan 9A Bukti Kesahan clan Aturan Kuantifikasi Permulaan Latihan 9B BAB X: BILANGAN KARDINAL Himpunan Ekivalen Himpunan Berhingga clan ak Berhingga Himpunan erbilang clan ak erbilang Bilangan Kardinal Latihan DAAR PUSAKA PDM-Sugiarto-Isti Hidayah Page 4

5 PENDAHULUAN A. Diskripsi Perkuliahan Pengantar Dasar Matematika (PDM) bertujuan agar mahasiswa memiliki kecakapan untuk memahami : Konsep dasar himpunan, macam himpunan, relasi pada himpunan, operasi pada himpunan, himpunan bilangan-bilangan, ralasi, fungsi, bilangan kardinal, logika matematika dan kuantifikasi B. Prasyarat. Perkuliahan Pengantar Dasar Matematika (PDM) tidak memerlukan pengetahuan prasyarat secara khusus. Pengetahuan matematika yang telah didapat di Pendidikan Dasar dan pendidikan menengah sudah cukup sebagai dasar untuk mempelajari materi pokok pada perluliahan PDM. C. Petunjuk Belajar Strategi yang dikembangkan pada perkuliahan ini adalah startegi hiuristik dengan metode tanya jawab, demonstrasi dan diskusi dilanjutkan dengan presentasi hasil diskusi kelompok, serta pemberian tugas terstruktur () baik tugas individual maupun tugas kelompok. Strategi ini juga mengembangkan kemampuan mahasiswa untuk bereksplorasi dan berelaborasi dalam kegiatan mengonstruk pengetahuan yang berupa pemahaman konsep, prisnsip dan penerapannya dalam memecahkan masalah yang berkaitan dengan teori himpunan dan Pengantar logika matematika. Untuk memantapkan pengetahuan mahasiswa dan untuk menghindari miskonsepsi, maka perlu dilaksanakan kegiatan konfirmasi oleh dosen dan oleh mahasiswa. Adapun langkah pembelajaran yang dikembangkan meliputi: 1. ahap Kegiatan Pendahuluan. a. Menyiapkan kondisi fisik dan mental mahasiswa untuk belajar b. Menggali pengetahuan prasyarat dengan cara tanya jawab dan menggunakan media pembelajaran 2. ahap Kegiatan Inti a. Melakukan tanya jawab PDM-Sugiarto-Isti Hidayah Page 5

6 b. Melakukan inkuiri dengan menggunakan modeling c. Melakukan diskusi kelompok dan mempresentasikan hasilnya (dikembangkan secara eksplorasi, elaborasi dan konfirmasi) 3. ahap Kegiatan Penutup a. Pemberian kesempatan untuk membuat rangkuman b. Pemberian tuas terstruktur individual/kelompok c. indak lanjut, pada setiap akhir perkuliahan menugaskan kepada mabahsiswa untuk me,mpelajari materi berikutnya. D. Standar Kompetensi Penyelenggaraan mata kuliah PDM bertujuan agar mahasiswa mampu mengembangkan kecakapan untuk memahami konsep dan prinsip serta penerapannya dalam pemecahan masalah yang berkaitan dengan teori himpunan dan logika matematika, E. Kompetensi Dasar Perkuliahan ini dimaksudkan agar mahasiswa mampu mengembangkan kecakapan untuk memahami konsep dan prinsip serta penerapannya dalam pemecahan masalah berkaitan dengan teori himpunan dan logika matematika, yang meliputi: 1) pendahuluan, 2) Konsep dasar himpunan, 3) macam himpunan, 4) relasi pada himpunan, 5) operasi pada himpunan, 6) himpunan bilangan-bilangan, 7) ralasi dan fungsi, 8) logika matematika, dan 9) kuantifikasi. 10) bilangan kardinal.. Indikator Mahasiswa mampu: 1) Mendiskripsikan konsep dasar himpunan, meliputi : Pengertian Himpunan, keanggotaan Himpunan, Cara Menyatakan Himpunan. 2) Menyebutkan macam himpunan, meliputi : Himpunan Kosong, himpunan berhingga dan tak berhingga, himpunan di dalam himpunan. 3) Menyebutkan pengertian: himpunan Bagian sejati, dua himpunan sama, dua himpunan yang ekivalen, himpunan kuasa. 4) Menyebutkan pengertian: irisan dua himpunan, gabungan dua himpunan, selisih dua himpunan, komplemen, perkalian dua himpunan. PDM-Sugiarto-Isti Hidayah Page 6

7 5) Menemukan sifat-sifat operasi pada himpunan. 6) Menentukan himpunan bilangan, operasi hitung dengan bilangan nol dan sifatsifatnya, pecahan biasa dan pecahan desimal. 7) Menyebutkan pengertian relasi antara dua himpunan, menentukan cara menyatakan relasi antara dua himpunan, banyaknya reiasi antara dua I limpunan, macam relasi, relasi ekivalen dan partisi. 8) Menyebutkan pengertian fungsi, menentukan cara menyatakan fungsi, banyaknya ungsi, jangkauan dari ungsi, jenis ungsi. 9) Menyebutkan pengertian himpunan ekivalen, himpunan berhingga dan tak berhingga, himpunan terbilang dan tak terbilang, dan bilangan kardinal. 10) Menyebutkan pengertian proposisi, dan proposisi komposisi. 11) Menentukan nilai tebenaran proposisi komposit, tabel kebenaran, tautologi, kontradiksi, dan kontingensi, Implikasi Logis, ekivalensi, dan hukum-hukum Aljabar Proposisi. 12) Menentukan argumen, kesahan argumen, metode deduksi, aturan bukti bersyarat (ABB), reductio ad absordum (Bukti ak Langsung). 13) Menentukan argumen fungsi proposisi dan kuantor, melambangkan proposisi, kukti kesahan dan aturan kuantifikasi permulaan. PDM-Sugiarto-Isti Hidayah Page 7

8 HIMPUNAN 1. Pengertian Himpunan Dalam matematika konsep himpunan termasuk konsep yang tidak didefinisikan (konsep dasar). Konsep himpunan mendasari hampir semua cabang matematika. Perkataan himpunan digunakan di dalam matematika untuk menyatakan kumpulan benda benda atau objek-objek yang didefinisikan dengan jelas. lstilah didefinisikan dengan jelas dimaksudkan agar orang dapat menentukan apakah suatu benda merupakan anggota himpunan yang dimaksud tadi atau tidak. Benda-benda atau objek-objek yang termasuk dalam sebuah himpunan disebut anggota atau elemen himpunan tersebut. Contoh 1.1 Kumpulan yang bukan merupakan himpunan a. kumpulan makanan lezat b. kumpulan batu-batu besar c. kumpulan lukisan indah Ketiga contoh kumpulan di atas bukan merupakan himpunan sebab anggota-anggotanya tidak didefinisikan dengan jelas. Contoh 1.2 Kumpulan yang merupakan himpunan a. kumpulan negara-negara Asean b. kumpulan sungai-sungai di Indonesia c. kumpulan bilangan asli genap d. Penduduk Jawa engah 2. Keanggotaan Himpunan Himpunan selalu dinyatakan dengan huruf besar A, B, C, D, dan seterusnya. Jika A adalah himpunan yang anggotanya a, b, dan c, maka dapat ditulis A = {a, b, c}. Jelas bahwa c anggota himpunan A, dapat ditulis c A, demikian juga a A dan b A. etapi d bukan anggota himpunan A dan dapat ditulis d A. 3. Cara Menyatakan Himpunan Suatu himpunan dapat dinyatakan dengan a. menyebutkan anggota-anggotanya/ cara tabulasi/cara mendaftar; b. menyebutkan syarat anggota-anggotanya; atau c. notasi pembentuk himpunan. Contoh 1.3 a. Menyebutkan anggota-anggotanya/ cara tabulasi/cara mendaftar; A = {1,3,5,7) PDM-Sugiarto-Isti Hidayah Page 8

9 B = {0,2,4,6,8,...} C = {Senin, Selasa, Sabtu}. b. Menyebutkan syarat anggota-anggotanya; atau A = Himpunan empat bilangan ash ganjil yang pertama, B = Himpunan bilangan cacah genap, C = Himpunan nama-nama hari yang diawali huruf s. c. Notasi pembentuk himpunan. A = {x x < 8, x bilangan asli ganjil} B = {x x bilangan cacah genapl} C = {x nama-nama hari yang diawali huruf s} LAIHAN 2 1. a. Berilah tiga contoh kumpulan yang bukan merupakan himpunan. b. Berilah tiga contoh kumpulan yang merupakan himpunan. 2. Diketahui B = {p, q, r}. Katakanlah apakah keempat pernyataan berikut benar, kemudian berikan alasannya. a. p B b. {q} B, c. r B, d. s B. 3. ulislah himpunan berikut dengan tabulasi. a. A = {x 2 = 25} b. B = {x x + 3 = 3} c. A = {x x > 3, x bilangan asli ganjil} d. A = {x 0 < x < 5, x bilangan real} 4. ulislah dengan menyebutkan syarat-syarat anggotanya. a. E = {a,i,u,e,o} b. = {2,3,5,7,11} c. G = {3,6,9,12, } d. H = {123, 132, 213, 231, 312, 321}. 5. ulislah dengan notasi pembentuk himpunan untuk himpunan bilangan asli yang: a. kurang dari 5, b. Iebih dari atau sama dengan 3, c. kelipatan 5 kurang dari 50, dan d. prima. 6. Penulisan himpunan berikut manakah yang benar a. J= {x x > 0, x himpunan bilangan bulat} b. K = {x x < 20, x bilangan asli genap} c. L = {x x > 4, x bilangan cacah} PDM-Sugiarto-Isti Hidayah Page 9

10 MACAM HIMPUNAN DAN RELASI PADA HIMPUNAN elah dikemukakan pada bab I bahwa konsep himpunan merupakan konsep yang tidak didefinisikan. Dari konsep tersebut dapat dikembangkan konsep lain yang didefinisikan berkaitan dengan konsep himpunan. Berikut ini disajikan beberapa konsep yang didefinisikan berkaitan dengan konsep himpunan. 1. Himpunan Kosong Definisi 2.1 Himpunan kosong adalah himpunan yang tidak mempunyai Himpunan kosong dinyatakan dengan atau {}. Contoh 2.1 Himpunan di bawah ini manakah yang merupakan himpunan kosong. a. A = Himpunan bilangan prima genap b. B = Himpunan bilangan ganjil yang habis dibagi dua c. C = Himpunan segitiga samakaki yang tumpul d. D = Himpunan persegi panjang yang merupakan belah ketupat. e. E = {x x x} f. = {x x 2 +4 = 0, x bilangan real} Himpunan tersebut tersebut di atas yang merupakan himpunan kosong adalah B, E,, sedangkan himpunan A, C, dan D bukan himpunan kosong. 2. Himpunan Berhingga dan ak Berhingga Dilihat dari kardinalitasnya suatu himpunan ada yang merupakan himpunan berhingga dan himpunan tak berhingga. Suatu himpunan disebut himpunan berhingga bila banyak anggota himpunan menyatakan bilangan tertentu, atau dapat juga dikatakan suatu himpunan disebut berhingga bila anggota-anggota himpunan tersebut dihitung, maka proses penghitungannya dapat berakhir. Sebaliknya suatu himpunan disebut himpunan tak berhingga bila banyaknya anggota himpunan tersebut tidak dapat dinyatakan dengan bilangan tertentu. Atau dapat juga dikatakan suatu himpunan disebut himpunan tak berhingga bila anggota-anggota himpunan tersebut dihitung maka proses penghitungannya tidak dapat diakhiri. PDM-Sugiarto-Isti Hidayah Page 10

11 Contoh Himpunan berhingga a. K = Himpunan nama hari dalam seminggu b. L = {x x < 100, x bilangan cacah ganjil} c. P = {x x negara - negara Asean} d. Q = {x x penduduk Indonesia} 2. Himpunan tak berhingga a. R = Himpunan bilangan asli b. L = Himpunan bilangan cacah kelipatan 5 c. P = {x x > I00, x bilangan bulat} d. Q = {x x bilangan bulat genap} 3. Himpunan di Dalam Himpunan B A Definisi 2.2 Gambar 2.1 Pada gambar 2.1 semua anggota A ada di dalam himpunan B, maka A disebut himpunan bagian dari B, ditulis A B dibaca A himpunan bagian dari B. Himpunan A disebut himpunan bagian dari B ditulis A B jika dan hanya jika untuk setiap x anggota A maka x anggota B. Dapat ditulis A B jhj x A maka x B. Dari definisi 2.2 dapat dikatakan bahwa A disebut bukan himpunan bagian dari B jika dan hanya jika ada x anggota A dan x bukan anggota B. Dapat ditulis A B jhj x A dan x B. Contoh 2.3 Diketahui himpunan A = {1,2,3,4,5,6}, B = {1,3,5}, C = {2,4,6}, D = {3,4,5,6,1,2}, dan E = {5,6,7}. Manakah pernyataan di bawah ini yang benar. a. B A d. E A g. A A b. A C e. A D h. {} A PDM-Sugiarto-Isti Hidayah Page 11

12 c. D A f. E C i. B Jawab: Pernyataan yang benar adalah a, c, d, e, f, g, h, dan i. Dari contoh di atas dapat disimpulkan sebagai berikut. 1. Himpunan kosong merupakan himpunan bagian dari setiap himpunan. 2. Jika A himpunan maka A A. 4. Himpunan Bagian Sejati Definisi 2.3 A disebut himpunan bagian sejati dari B jika dan hanya jika A B dan B A. Contoh 2.4 Diketahui A={0,2,4,6}, B={0,2,4,6,8}, dan C={xl x bilangan cacah genap kurang dari 9}. Jelas bahwa: 1) A himpunan bagian sejati B 2) bukan himpunan bagian sejati C Dalam beberapa buku sebutan A himpunan bagian sejati B ditulis dengan A B dan sebutan C himpunan bagian sejati D dirulis dengan C D. 5. Dua Himpunan yang Sama Definisi 2.4 Himpunan A dan B disebut dua himpunan yang sama, ditulis A=B jika dan hanya jika anggota-anggota A tepat sama dengan anggotaanggota B artinya setiap anggota A ada di B dan setiap anggota B ada di A dan dapat ditulis: A=B jhj A B dan B A. Dari definisi 2.4 dapat disimpulkan bahwa: A B jhj A B atau B A. Contoh 2.5 Diketahui himpunan A = {1,3,5,7,9), B ={2,4,6,8,10), dan C = {7,3,9,1,5). Banyaknya anggota himpunan A ditulis dengan n(a), sehingga: a) A = C dan n(a) = n(c) 5, dan b) n(a) = n(b) = 5 tetapi A B. PDM-Sugiarto-Isti Hidayah Page 12

13 6. Dua Himpunan yang Ekivalen Definisi 2.5 Himpunan A dan B disebut dua himpunan yang ekivalen, ditulis A B jika dan hanya jika: 1. n(a) = n(b), untuk A dan B himpunan berhingga. 2. A dan B berkorespondensi satusatu, untuk A dan B himpunan tak berhingga. Contoh 2.6 Diketahui A = {3,6,9,12,15}, B = {12,9,6,3,15), dan C = {2,3,5,7,11}, maka: a) A=B dan A B b) n(a) = n(c) tetapi A C. Contoh 2.7 Diketahui N = {1,2,3,4,5 }, C = {0,1,2,3,4 }, N C sebab N dan C berkorespondensi satusatu. Hal ini dapat ditunjukkan sebagai berikut: N : 1, 2, 3, 4,, n, C : 0, 1, 2, 3,, (n-1), 7. Himpunan Kuasa Definisi 2.6 Himpunan kuasa dari himpunan A adalah himpunan yang anggotanya semua himpunan bagian dari himpunan A ditulis 2 A. Contoh 2.8 a. A = {2,4}, maka n(a) = 2 A = { {2}, {4}, {2,4}}, n(2 A )=4 b. B = {1}, maka n(b) = 1 2 B = {, {1}}, n(2 B ) = 2 c. C = {1,3,5), maka n(c) = 3 2 C = {, {1}, {3}, {5}, {1,3), {1,5}, {3,5}, {1,3,5}}, n(2 C ) = 8. Dari contoh 2.8 dapat disimpulkan Jika A adalah himpunan, n(a)=k, maka banyaknya anggota himpunan kuasa dari A ditulis n(2 A ) = 2 k. PDM-Sugiarto-Isti Hidayah Page 13

14 Latihan 3 1. Misalkan A = {a,b,c,d} a. ulislah semua himpunan bagian dari A b. Berapakah banyaknya himpunan bagian dari A. 2. Apakah setiap himpunan mempunyai himpunan bagian sejati? 3. Misalkan P adalah himpunan, Jika P, buktikanlah bahwa P=. 4. Misalkan A, B, dan C masing-masing adalah himpunan, jika A B dan B C, buktikan bahwa A C. 5. Misalkan A ={{3}, {4,5), {1,3}}, pernyataan-pernyataan manakah yang benar? Mengapa? a. {1,3} A c. {3} A b. {4,5} A d. {{1,3}} A 6. Yang manakah di antara himpunan-himpunan berikut yang sama? a. {a,b,c} b. {c,b,a,c} d. {b,c,b,a} d. {c,a,c,b} 7. Manakah dari himpunan-himpunan berikut yang sama? a. {x x 2-3x + 2 = 0, x bilangan real), b. {1,2,1,2}, c. {x x dua bilangan asli yang pertama}. 8. Yang manakah di antara himpunan-himpunan berikut yang himpunan kosong? a. {x I x bilangan, prima genap}, b. {x I x bilangan ganjil yang habis dibagi 2}, c. {x I x2 3x + 5 = 0, x bilangan real), d. {xix+ 8=8}, e. {x x + 4 1; X Miamian nen, f. {x x segitiga sama kaki tumpul}, g. {x Ix persegi panjang yang belah ketupat}, 9. Himpunann manakah yang berhingga dan takberhingga? a. {1,2,3,...,10.000), b. {x x bilangan genap}, c. {penduduk bumi}, d. {1,2,3,...}. 10. Diketahui B = {1,3,5,7}. Pernyataan di bawah ini manakah yang benar. a. {1,3} 2 B c. {} 2 B e. {3,7} 2 B b. B 2 B d. B 2 B f. {{5,7}} 2 B 11. Diketahui A = {1,2,3,4,5,...}, B =- {2,4,6,8,...}, dan C = {...,-3,-2,-1,0,1,2,3,...}. ujukkan bahwa: a. A B b. A C 12. Diketahui M = {x x bilangan asli genap kurang dari 100}, N = {x x bilangan cacah ganjil kurang dari 99}. Apakah MN? Jelaskanlah! 13. Diketahui A = himpunan segi empat; B = himpunan persegi panjang; C = himpunan PDM-Sugiarto-Isti Hidayah Page 14

15 PDM-Sugiarto-Isti Hidayah Page 15

16 OPERASI PADA HIMPUNAN Dalam ilmu-ilmu berhitung kita belajar menjumlahkan dan mengalikan yaitu kita menetapkan untuk setiap pasang bilangan-bilangan x dan y, suatu bilangan x+y yang disebut jumlah dari x dan y, dan xy yang disebut perkalian x dan v. Penetapan-penetapan ini disebut operasi-operasi penjumlahan dan perkalian. Operasi penjumlahan dan perkalian termasuk operasi biner. Di samping operasi biner ada jenis operasi yang lain yaitu operasi uner. Pada bab ini akan dibahas operasi operasi pada himpunan, yaitu: 1. Irisan Dua Himpunan Definisi 3.1 Misalkan A dan B adalah himpunan-himpunan. lrisan A dan B ditulis A B adalah himpunan semua anggota yang berada dalam A dan juga berada dalam B. Dapat ditulis A B = {x x A, x B.}. Contoh 3.1 a. Diketahui K = {a,b,c,d,e}, L = {b,d,f,g}, maka K L = {b,d}. b. Diketahui A = {x x bilangan asli ganjil}, B = {x x bilangan asli genap}, maka A B = c. Diketahui C = {2,4,6,8,...}, D = {4,8,12,...}, maka C D = {4,8,12,...} = D. Dari contoh 3.1 dapat disimpulkan secara umum 1. Jika A,B himpunan maka (A B) A dan (A B) B 2. Jika A B maka A B = A. PDM-Sugiarto-Isti Hidayah Page 16

17 Untuk lebih jelasnya dapat diiihat gambar 3.2 A B (A B) A dan (A B) B A B = A Gambar 3.2 Definisi 3.2 Himpunan berpotongan dan himpunan saling lepas. Misalkan A dan B adalah himpunanhimpunan. Himpunan A dan B dikatakan berpotongan ditulis A B jika dan hanya jika A B. Misalkan A dan B adalah himpunanhimpunan. Himpunan A dan B dikatakan saling lepas atau saling asing ditulis A//B jika dan hanya jika A B=. Contoh 3.2 Diketahui A: himpunan persegi panjang B: himpunan belah ketupat C: himpunan segitiga Maka: A A B Gambar 3.3 A Gambar 3.4 A// Gambar 3.5 B// A B = himpunan persegi A C = dan B C = 2. Gabungan Dua Himpunan Definisi 3.3 PDM-Sugiarto-Isti Hidayah Page 17

18 Misalkan A dan B adalah himpunanhimpunan. Gabungan A dan B ditulis A B adalah himpunan semua anggota yang berada dalam A atau B atau dalam A dan B. Dapat ditulis A B = {x x A atau x B} A B Gambar 3.6 A B Contoh 3.3 a. Diketahui K = {a,b,c,d,e}, L = {b,d,f,g}, maka K L= {a,b,c,d,e,f,g} b. Diketahui A = {x x bilangan asli ganjil}, B = {x x bilangan asli genap}, maka A B = {x x bilangan asli}. c. Diketahui C = {2,4,6,8,...}, D = {4,8,12,...},maka C D = {4,8,12,...) = C. Dari contoh 3.3 dapat disimpulkan secara umum: 1. Jika A,B himpunan maka A (AuB) dan B (AuB) Untuk 2. lebih Jika A jelasnya B maka dapat A B = B. dilihat gambar 3.7 A B A (A B) dan B (A B) A B = B Gambar 3.7 Contoh 3.4 Setiap siswa dalam suatu kelas diwajibkan memilih sekurang-kurangnya satu cabang olahraga. Setelah diadakan pencatatan terdapat data 21 anak memilih bulu tangkis, 26 anak memilih tenis meja, dan 8 anak memilih keduanya. Berapakah anak yang: a. Memilih tenis meja saja? b. Hanya memilih bulu tangkis saja? c. Ada dalam kelas tersebut? Penyelesaian: B PDM-Sugiarto-Isti Hidayah Page 18 Gambar 3.8

19 Dari gambar 3.8 jelas bahwa: a. siswa yang memilih tenis meja saja ada 13 anak, b. siswa yang memilih bulu tangkis saja ada 18 anak, dan c. banyaknya siswa dalam kelas = = 39 anak. 3. Selisih Dua Himpunan Definisi 3.4 Misalkan A dan B adalah himpunanhimpunan. Selisih himpunan A dan B ditulis A-B adalah himpunan semua anggota himpunan A yang bukan anggota B. Dapat ditulis A-B = {x x A, x B}. A A- Gambar B 3.9 Contoh 3.5 a. Diketahui A = {1,2,3,4,5}, B = {4,5,6,7,8,9}, maka: (1). A-B = {1,2,3}, B - A = {6,7,8,9}. (2). A B = {4,5} b. Diketahui C = {2,4,6), B = {2,4,6,8,10) c. Diketahui E = {1,3,5,7,9,...), = {2,4,6,8,...) maka: (1). E - = {1,3,5,7,9,...) = E. (2). - E = {2,4,6,8,...} =. Dari contoh 3.5 dapat disimpulkan secara umum: 1 Jika A B himpunan maka A-B =, 2. Jika A B himpunan maka A (B-A) = PDM-Sugiarto-Isti Hidayah Page 19

20 B, 3. Jika A, B himpunan maka (A-B) A, 4. Jika A, B himpunan maka A-B, A B, B-A saling asing. Untuk lebih jelasnya dapat dilihat gambar 3.10 A B A-B A B B-A A (B-A) = Gambar 3.10 B Misalkan A adalah himpunan dengan semesta U. Komplemen A ditulis A c atau A adalah himpunan semua anggota U yang bukan anggota himpunan A. Contoh 3.6 a. Diketahui U = {1,2,3,4,...,10}, A = {2,3,4,5}, dan B = {4,5,6,7}, maka (1). A' = {1,6,7,8,9,10} (2). B' = {1,2,3,8,9,10} (3). A B = {4,5} (4). (A B) = {1,2,3,6,7,8,9,10} (5). A' B' = {1,2,3,6,7,8,9,10} (6). A B = {2,3,4,5,6,7} (7). (A B)' = {1,8,9,10} (8). A B = {1,8,9,10}. ernyata dari (4) dan (5) serta (7) dan (8) (A B)' = A' B' (A B)' = A' B' b. Diketahui U = {1,2,3,4,...,10}, C = {3,4,5,6}, dan D = {2,3,4,5,6,7}, maka (1). Jelas C D, (2). C' = {1,2,7,8,9,10}, (3). D' = {1,8,9,10} ernyata D C. c. A-B = {x x A dan x B} PDM-Sugiarto-Isti Hidayah Page 20

21 = {x x A dan x B'} = A B'. Jadi A-B = A B'. 4. Perkalian Dua Himpunan (Produk Cartesius) Suatu perangkat yang diperlukan untuk membangun perkalian silang dua himpunan adalah pasangan berurutan. Pasangan berurutan yang memuat dua unsur a dan b dengan a sebagai unsur pertama dan b sebagai unsur kedua, ditulis dengan (a,b), (a,b) dan (c,d) dikatakan sama jika dan hanya jika a=c dan b=d. Definisi 3.6 Misalkan A dan B himpunanhimpunan. Perkalian silang dari A dan B ditulis AxB adalah himpunan semua pasangan terurut (a,b) dengan a A dan b B. Dapat ditulis AxB = {(a,b) a A, b B} Contoh 3.7 Diketahui A = {a,b} dan B = {1,2,3}, maka (1). AxB = {(a,1),(a,2),(a,3),(b,1),(b,2),(b,3)} (2). BxA = {(1,a),(1,b),(2,a),(2,b),(3,a),(3,b)} ernyata AxB BxA. 5. Sifat-sifat Operasi pada Himpunan 1. Idempoten a. A A = A b. A A = A 2. Asosiatif a. (A B) C = A (B C) b. (A B) C = A (B C) 3. Komutatif a. A B = B A b. A B = B A 4. Distributif a. A (B C)= (A B) (A C) b. A (B C)= (A B) (A C) 5. Identitas a. A = A b. A U = U PDM-Sugiarto-Isti Hidayah Page 21

22 De Morgan a. (A B) = A B b. (A B) = A B 8. Absorpsi a. A (A B)= A b. A (A B)= B 6. Penggunaan Sifat Operasi pada Himpunan. Contoh 3.8 Jika A B dan B C maka A C, buktikanlah! Penyelesaian: Diketahui A B dan B C. Akan dibuktikan A C. A B maka A B = A (1) B C maka B C = B (2) Pada (1) A B = A A (B C) = A' subtitusi (2) pada (1) (A B) C = A assosiatif A C = A subtitusi (1) A C. Contoh 3.9 Buktikan bahwa (D-E) dan (D E) saling asing. PDM-Sugiarto-Isti Hidayah Page 22

23 Penyelesaian: Diketahui D, E himpunan Akan dibuktikan (D-E) dan (D E) saling asing. (D-E) (D E) = (D E') (D E) = (D D) (E E) (Kom, Ass) = D (Idemp, Kompl) =. (Ident) ernyata (D-E) (D E) =. Jadi (D-E) dan (D E) saling asing. Contoh 3.10 Buktikan bahwa jika A B maka B A Penyelesaian: Diketahui A, B himpunan, A B Akan dibuktikan B A. A B maka A B = A (A B)' = A A B = A B' A'. erbukti. PDM-Sugiarto-Isti Hidayah Page 23

24 PDM-Sugiarto-Isti Hidayah Page 24

25 Latihan 4 1. Letakkanlah lambang " ", atau lambang = di antara sebanyak mungkin pasangan himpunan-himpunan di bawah ini:\ 2. Nyatakanlah apakah masing-masing pernyataan berikut ini benar atau salah. 3. Gambarlah diagram-diagram Venn untuk himpunan-himpunan itu dan jelaskan arti dari I K seperti yang terdapat dalam gambarmu. 4. X adalah himpunan bilangan kelipatan 6 yang kilning dari 35. Y adalah himpunan kelipatan 8 yang kurang dari 35. Sebutkanlah anggota-anggota X, Y, dan X Y. Dengan mengabaikan nol dalam X Y, kita peroleh kelipatan persekutuan terkecil dari 6 dan 8. Sebutkan KPK itu! 5. Dalam suatu kelas yang terdiri atas 20 murid, 15 murid memilih Matematika, 12 murid memilih Ilmu Pengetahuan Alam, dan 10 murid Matematika dan ilmu Pengetahuan Alam. unjukkanlah keterangan ini dalam diagram Venn. Berapakah murid yang tidak memilih Matematika maupun Ilmu Pengetahuan Alam. 6. Diadakan pencatatan tentang yang biasa diminum sehari-hari olen 180 murid. 100 anak minum teh, 92 anak minum kopi, dan 115 anak minum susu, sedang 25 anak minum ketiga-tiganya. PDM-Sugiarto-Isti Hidayah Page 25

26 U K S Gambar 3.11 a. Dengan menggunakan, K, dan S untuk himpunan peminum teh, kopi, dan susu, gambarlah keterangan ini dalam diagram Venn. unjukkanlah terlebih dahulu banyaknya anak yang minum baik teh maupun kopi dan susu. b. Berapakali banyaknya anak yang minum kopi, tetapi tidak minum teh maupun susu? c. Berapakah banyaknya anak yang hanya minum susu saja? d. Berapakah banyaknya anak yang hanya minum teh saja? 7. a. A = {0,1,2,3}, B = {1,3,5,7}, dan C = {2,3,5,8}. Nyatakanlah masing-masing himpunan di bawah ini dengan menyebutkan semua anggotanya. (1). A B (4). A A (2). A C (5). A B (3). B C b. Dengan menggunakan himpunan-himpunan pada soal 6.a nyatakanlah masing masing himpunan di bawah ini dengan menyebutkan semua anggota-anggotanya. (1). (A B) C (2). A (B C) Apakah yang kamu lihat pada jawabannya? 8. Gambarlah diagram Venn bagi tiap bentuk berikut ini, dan masukkanlah banyaknya elemen dalam daerah yang tergambar. Kemudian hitunglah banyaknya elemen yang ditanyakan. a. n(a)=50, n(b)=62, dan n(a B)=26. b. Hitunglah n(a B). c. n(x)=7, n(y)=11, X dan Y terpisah. d. Hitunglah n(x Y). c. n(p)=23, n(q)=25, dan P Q. d. Hitunglah n(p Q). 9. A dan B adalah himpunan sedemikian hingga n(a)= p+q, n(b)= q+r, dan n(a B)= q. a. Gambarlah himpunan-himpunan ini dalam diagram Venn dan masukkanlah banyaknya anggota dalam tiap daerah. Hitunglah: (1). n(a B), PDM-Sugiarto-Isti Hidayah Page 26

27 (2). n(a) + n(b) - n(a B), kemudian tunjukkan bahwa n(a B) = n(a) + n(b) - n(a B). b. Kalau A dan B saling asing, bagaimanakah hasil dalam b? 10. Misalkan A, B, dan C himpunan-himpunan. Buktikanlah: a. (A-B) A b. (A-B), A B, dan (B-A) saling lepas c. Jika A B maka A (B-A) = B d. (A-B) B =. 11. Misalkan U = {1,2,3,...,9}, A = { 1,2,3,4), B = {2,4,6,8}, dan C = {3,4,5,6). Carilah: a. A' c. C e. (A B) b. B' d. (A C)' f. (B-C)' 12. Andaikan A = {a,b}, B = {1,2), dan C = {3,4). Carilah: a. Ax(B C) d. Ax(B C) b. (AxB) (AxC) e. (AxB) (AxC) c. (AxB)xC 13. Pernyataan di bawah ini manakah yang benar: a. jika x (A B) maka x A b. jika x (A B) maka x B c. jika x (A B) rnaka x A d. jika x A, maka x (A B) e. jika x A maka x (A B) f. jika x (A-B) maka x A g. jika x A maka x A h. jika x A' maka x A 14. entukan syarat agar pernyataan di bawah ini benar. a. jika x (M N) maka x N b. jika x M maka x (M N) 15. Isilah titik-titik di bawah ini sehingga menjadi pernyataan yang benar. a. jika M N maka: (1). M N = (2). M N = (3). M-N =... (4). M (N-M) = b. jika M, N, M N, dan M-N =, maka M N = 16. Di dalam diagram venn pada gambar di bawah ini arsirlah: PDM-Sugiarto-Isti Hidayah Page 27

28 a. B b. (A B) c. (B-A) d. A B A Gambar 3.12 PDM-Sugiarto-Isti Hidayah Page 28

29 HIMPUNAN BILANGAN 1. Himpunan Bilangan-bilangan a. Bilangan Asli Bilangan-bilangan 1,2,3,4,5,... disebut bilangan asli. Himpunan semua bilangan asli disebut himpunan bilangan asli dan ditulis N. Jadi N = {1,2,3,4,...}. b. Bilangan Cacah Bilangan-bilangan 0,1,2,3,4, disebut bilangan cacah. Himpunan semua bilangan cacah disebut himpunan bilangan cacah dan ditulis C. Jadi C = {0,1,2,3,4,...}. Jelas N C, C-N = {0}. c. Bilangan Bulat Bilangan-bilangan 0,-1,1,-2,2,-3,3,... disebut bilangan bulat. Himpunan semua bilangan bulat disebut himpunan bilangan bulat dan ditulis Z. Jadi Z = {...,-1,1,-2,2,-3,3,...}. Jelas bahwa N C Z. d. Bilangan Pecah Bilangan yang dapat dinyatakan dengan dengan a,b Z, b 0, a dan b koprima disebut bilangan pecah. merupakan bilangan pecah. Bilangan pecah dapat ditulis dengan: (1) pecahan... disebut pecahan biasa (2) pecahan 0,5; 0,500...; 0, disebut pecahan desimal (3) pecahan 50% disebut pecahan persen Pada bab ini perkataan pecahan menyatakan lambang bilangan, bilangan pecah, dan bilangan bulat. bisa dilambangkan dengan pecahan. Pada beberapa buku ada yang menyatakan pecahan sebagai bilangan dan lambang dari pecahan disebut bentuk pecahan. Bilangan bulat dua dapat dinyatakan dengan (1) pecahan biasa:,, (2) pecahan desimal: 2,00..., 1, (3) pecahan persen: 200%. Bilangan pecah seperempat dapat dinyatakan dengan PDM-Sugiarto-Isti Hidayah Page 29

30 (1) pecahan biasa:,, (2) pecahan desimal: 0,25; 0, , 0, (3) pecahan persen: 25%. Jika himpunan semua bilangan pecah dinyatakan dengan P maka Z P = Q, Z P, Z//P e. Himpunan Bilangan Rasional Bilangan yang dapat dinyatakan dengan pecahan dengan p,q Z, q 0, disebut bilangan rasional. Contohnya, dan seterusnya. Himpunan semua bilangan rasional disebut himpunan bilangan rasional, dan ditulis dengan Q. Jadi Q= {x x=, p,q Z, q 0}. f. Himpunan Bilangan Irasional Bilangan-bilangan seperti, dan seterusnya tidak dapat dengan pecahan dengan p,q Z, q 0. Bilangan tersebut disebut bilangan irasional. Himpunan semua bilangan irasional disebut himpunan bilangan irasional. Jika himpunan tersebut dinyatakan dengan I maka Q l = R, Z I, Q I, Q//I. g. Himpunan Bilangan Real Salah satu sifat penting dari bilangan-bilangan real adalah bahwa bilangan-bilangan tersebut dapat dinyatakan oleh titik-titik pada sebuah garis lurus sebagaimana pada gambar 4.1. Garis tersebut disebut garis real. Ada suatu cara yang lazim untuk membuat pasangan titik-titik pada garis itu dengan bilangan-bilangan real, yaitu setiap titik menyatakan suatu bilangan real dan setiap bilangan real dinyatakan dengan sebuah titik. Oleh karena itu kita dapat mempergunakan perkataan titik dan bilangan secara bertukaran Jika I: Himpunanbilangan irasional Q: Himpunan bilangan rasional Maka I Q = R, I R, Q R karena I//Q maka R-Q = I. h. Bilangan Imajiner Bilangan-bilangan seperti dan seterusnya disebut bilangan imajiner. Himpunan semua bilangan imajiner disebut himpunan PDM-Sugiarto-Isti Hidayah Page 30

31 bilangan imajiner. Jika himpunan tersebut dinyatakan dengan J maka R//J. ditulis. i = i, dengan i 2 = 1. Jadi = i, dan = i. dapat i. Himpunan Bilangan Kompleks Jika J : himpunan bilangan imajiner R: himpunan bilangan real K: himpunan bilangan kompleks Maka J R = K. Bilangan kompleks dapat dinyatakan dengan z = a+bi, dengan a,b R dan i 2 = 1, a disebut bagian real dan b disebut bagian imajiner. Contoh bilangan kompleks. Z 1 =2+3i dengan a -2 dan b = 3. Z 2 =5-4i dengan a = 5 dan b = -4. Z 3 = -6 dengan a = -6 dan b = O. Z 1 = 2i dengan a = 0 dan b = 2. j. Diagram Venn Jika N: himpunan bilangan asli C: himpunan bilangan cacah Z: himpunan bilangan bulat Q: himpunan bilangan rasional R: himpunan bilangan irasional K: himpunan bilangan kompleks Maka diagram venn-nya: Pada gambar 4.2 C N = {0} Z N = {x Lx bilangan bulat negatif} Q Z = {a- L bilangan pecah} = P R Q = (x Ir bilangan irasional} = I K R = {x bilangan imajiner} = J PDM-Sugiarto-Isti Hidayah Page 31

32 2. Bilangan Nol dan Sifat-sifatnya a. Pengertian Bilangan Nol Bilangan nol menyatakan banyaknya anggota himpunan kosong. Jadi jika A = {} maka n(a) = 0. b. Perkalian dengan Nol 0x4 = Untuk menjawab pertanyaan tersebut dapat dijelaskan dengan beberapa cara: (1) dengan pola bilangan. 3x4 = 12 2x4 = 8 1 x4 = 4 0x4 = (2) dengan sifat komutataif. 4x0 = = 0 4x2 = 2x4 3x6 = 6x3 5x1 = 1x5 Jadi 0x4 = 4x0 = 0 c. Pembagian dengan Nol (1) 4:0 =. Pertanyaan tersebut dapat dijelaskan dengan pengertian operasi pembagian. 10:2 = 5 sebab 5x2 = 10 0:4 = 0 sebab Ox4 = 0 Misalkan 4:0 = n maka nx0 = 4 Persamaan nx0 = 4 tidak mempunyai penyelesaian sehingga persamaan 4:0 = n juga tidak mempunyai penyelesaian. Jadi 4:0 hasilnya tidak didefinisikan. (2) 0:0 =. Pertanyaan tersebut dapat dijelaskan sebagai berikut. Misalkan 0:0 = n maka nxo = 0. Untuk n = -6 maka -6x0 = 0, untuk n = maka x0 = 0. ernyata untuk setiap bilangan real merupakan penyelesaian dari nx0 = 0. Sehingga penyelesaian 0:0 = n tidak tunggal. Jadi 0:0 dikatakan bentuk tak tentu. (3) 3 0 =. Pertanyaan tersebut dapat dijelaskan sebagai berikut. (a). Dengan pola bilangan: 3 3 = = =3 PDM-Sugiarto-Isti Hidayah Page 32

33 (b). Dengan sifat perpangkatan: 3 0 = 3 2 :3 2 = 1 Jadi 3 0 = 1. (4) 3-2 =. Pertanyaan,tersebut dapat dijelaskan sebagai berikut. (a). Dengan pola bilangan: 3 2 = =3 3-1 = 3-2 =. (b). Dengan sifat perpangkatan: 3-2 = = 3 1 : 3 3 = = Jadi 3-2 =. (5) 0 0 =. Pertanyaan tersebut dapat dijelaskan sebagai berikut. 0 0 = = 0 3 : 0 3 = Jadi 0 0 = merupakan bentuk tak tentu. 3. Pecahan Biasa dan Pecahan Desimal a. Pecahan Desimal Apakah 0,5 = 0,4999? Pertanyaan tersebut dapat dijelaskan sebaai berikut. Misalkan x=0,5 maka x= = Misalkan y = 0, y = 49,99 10y = 4,99 90y = 45 y = = Jadi, 0,5 = 0,4999 PDM-Sugiarto-Isti Hidayah Page 33

34 b Menyatakan Pecahan Biasa ke dalam Pecahan Desimal Pecahan Biasa 2,000 = 1,999 Dari tabel di atas pengertian baru tentang bilangan rasional, bahwa bilangan rasional adalah bilangan yang dapat dinyatakan dengan desimal berulang tak terbatas.. e. Menyatakan Pecahan Desimal ke dalam Pecahan Biasa Contoh 4.1 (1) Nyatakanlah pecahan decimal 0, kedalam pecahan biasa. Jawab: Misalkan x = 0, maka: 100x = 18, x = 0, x = 18 x =. (2) Nyatakanlah pecahan desimal 0, kedalam pecahan biasa. Jawab: Misalkan z = 0, maka: z = 3.749, z = 374, z = x =. Pecahan Desimal 0,5 = 0,500 = 0,499 0,25 = = 0, ,125 = 0, = 0, ,333 0,1666 1, PDM-Sugiarto-Isti Hidayah Page 34

35 4. Selang (Interval) Berikut ini disajikan beberapa himpunan yang merupakan selang. Himpunan A={x 1 x 3} B={x 1<x<3} C={x 1 x<3} D={x 1<x 3} E={x x 1} Notasi Selang A=[1,3] B=(1,3) C=[1,3) D=(1,3] E=[1, ={x x<1} =( 1] Grafik Latihan 5 1. Jika R, Q, I, J, P, Z, dan Z., berturta-turut. menyatakan himpunan bilangan real, rasional, irasional, imajiner, pecah, bulat, dan bulat negatif Nyatakanlah apakah yang masingmasing berikut ini benar atau salah. 2. Jika N, Z, Q, R, dan K, berturut-turut menyatakan himpunan bilangan asli, bulat, rasional, real, dan kompleks, dan p=, q=3, r=., s =., t= -4i, u=, v= -5. a. gambarkanlah himpunan N, Z, Q, R, dan K dalam diagram Venn. b. Letakkanlah p, q, r, s, t, u, dan v pada gambar a. 3. Hitunglah: a. 0:6 d. 6 0 g. 8 0 b. 9:0 e. 21 h c. 0:0 f. 0 0 i. 36:6x2 4. Sebutkan pengertian bilangan rasional dan bilangan irasional. 5. a. Nyatakan ke dalam lambing decimal. (1) (2) (3) (4) b. Nyatakan ke dalam lambing pecahan biasa. (1). 0, (2). 0, Misalkan A=[-4,2), B=[-1,6), C=(- a. Gambarlah selang-selang tersebut pada garis real b. Carilah dan tulislah dalam notasi selang. (1). A B (5). A-B (2). A B (6). B-A PDM-Sugiarto-Isti Hidayah Page 35

36 (3). A C (7). A-C (4). A C (8). B-C 7. Diketahui bilangan kompleks z 1 = 3+2i, z 2 = -4+I, z 3 = 5-2i, hitunglah: a. z 1 + z 2 d. z 1 x z 2 b. (z 1 + z 2 ) + z 3 e. z 3 x z 1 c. z 1 z 3 PDM-Sugiarto-Isti Hidayah Page 36

37 RELASI 1. Pengertian Relasi Antara Dua Himpunan Untuk memahami pengertian relasi antara dua himpunan perhatikatuah contoh berikut. Misalnya ada empat anak yaitu ajar, Dian, ono, dan Nani ditanya apakah mereka gemar bermain catur, voli, atau tenis meja. Jawaban mereka: ajar dan Dian gemar bermain catur, ono dan Nani gemar bermain voli, ajar dan ono gemar bermain tenis meja Perhatikanlah bahwa sebenarnya ada dua himpunan: 1. Himpunan anak A = {ajar, Dian, ono, Nani} 2. Himpunan permainan B = {catur, voli, tenis meja} A ajar Dian oni Nani Gemar Gambar B Catur Voli enis Kedua himpunan A dan B dihubungkan dengan hubungan gemar bermain. Hubungan gemar bermain dari himpunan A ke himpunan B dapat digambar sebagai berikut. Gambar 5.1 menunjukkan suatu cara untuk menyatakan hubungan atau relasi dari himpunan A ke himpunan B. Hubungan itu adalah gemar bermain. Gambar 4.1 disebut diagram panah. Perhatikanlah bahwa suatu relasi mempunyai arah pada diagram panah ditunjukkan dengan anak panah. Dari uraian di atas dapat disimpulkan bahwa: Suatu hubungan atau relasi dari himpunan A ke himpunan B adalah pemasangan anggotaanggota A dengan anggotaanggota B. PDM-Sugiarto-Isti Hidayah Page 37

38 2. Cara Menyatakan Relasi Antara Dua Himpunan Diketahui himpunan A = {2,3,4,5}, B = {4,5,6} dengan relasi faktor dari, dari himpunan A ke himpunan B maka kita dapat menyatakan relasi tersebut dergan tiga cara yaitu: 1). Dengan diagram panah Pada gambar 5.2, 2 dikawankan dengan 4 ditulis 2 4, ini berarti 2 faktor dari 4. A aktor dari B Gambar 2). Dengan himpunan pasangan berurutan Perhatikanlah gambar ini berarti 2 faktor dari 6 dan dapat ditulis dengan pasangan berurutan (2,6). Jika relasi faktor dari dari himpunan A ke himpunan B dinyatakan dengan R, maka jelas 2 berelasi R dengan 6 atau dapat ditulis dengan 2R6 atau (2,6) R. Dengan cara yang sama dapat dituliskan 2R4 atau (2,4) R, 3R6 atau (3,6) R, tetapi 2 tidak berelasi dengan 5 atau dapat ditulis 2 5 atau (2,5) R. Dengan demikian relasi R tersebut merupakan himpunan pasangan berurutan yaitu: R = {(2,4),(2,6),(3,6),(4,4),(5,5)} Dengan cara lain dapat dijelaskan pula bahwa jika ditentukan x A dan y B maka relasi faktor dari tersebut dapat dinyatakan (lettgan kalimat terbuka x faktor dari y. Pengganti "x" dengan "2" dan "y" dengan "6" didapat pernyataan yang benar, sehingga pasangan berurutan (2,6) merupakan penyelesaian dari kalimat terbuka x faktor dari y. etapi pengganti "x" dengan "2" dan "y" dengan "5" didapat pernyataan yang salah, sehingga (2,5) bukan penyelesaian dari kalimat terbuka x faktor dari y. Jika relasi faktor dari dari himpunan A ke himpunan B dinyatakan dengan R maka himpunan semua pasangan berurutan (x,y) yang menghasilkan pernyataan yang benar yaitu himpunan penyelesaian kalimat terbuka R = {(2,4),(2,6),(3,6),(4,4),(5,5)} PDM-Sugiarto-Isti Hidayah Page 38

39 3). Dengan grafik Cartesius Koordinat titik-titik pada gambar 5.3 menyatakan anggota-anggota pasangan berurutan dari relasi R (faktor dari). Contoh 4.1 Diketahui M = {0,2 4,6,8}, N = {0,1,2,3,4,5}. R = M N adalah relasi dari M ke N dinyatakan dengan kalimat terbuka x dua kali y dengan X M, y N. Nyatakanlah relasi tersebut: a. dengan diagram panah b. dengan himpunan pasangan berurutan c. dengan grafik Cartesius Penyelesaian: a. dengan diagram panah M R Gambar b. dengan himpunan pasangan berurutan R = {(0,0),(2,1),(4,2),(6,3),(8,4)} PDM-Sugiarto-Isti Hidayah Page 39

40 c dengan grafik Cartesius Gambar Banyaknya Relasi Antara Dua Himpunan Jika R: A B adalah relasi dari A ke B. n(a) = 3, dan n(b) = 2 maka banyaknya relasi R tersebut dapat dijelaskan sebagai berikut. Misalkan A = {1,3,5} maka n(a) = 3, B = {a,b} maka n(b) = 2 AxB = {(1,a),(1,b),(3,a),(3,b),(5,a),(5,b)) maka n(axb) = 6 = 3x2. Jika R 1 = {(1,a)} jelas R 1 (AxB) dan R 1 relasi dari A ke B. Jika R 2 = {(1,a).(2,b)} jelas R 2 (AxB) dan R2 relasi dari A ke B. jika R 0 = {} jelas R 0 (AxB) dan R 0 bukan relasi dari ke B. Jika R 6 = {(1,a),(1,b),(3,a),(3,b),(5,a),(5,b)} jelas R 6 (AxB) dan R6 relasi dari A ke B. Dari uraian di atas dapat dikatakan bahwa: 1. Jika R relasi dari A ke B maka R (AxB) 2. Jika R (AxB) dan R maka R relasi dari A ke B Kita tahu bahwa n(axb) = 6 jelas bahwa banyaknya anggota himpunan kuasa = 2 6 = 2 3x2 Karena untuk R= maka R relasi dari A ke B maka banyaknya relasi R dari A ke B ada Dengan demikian dapat kita katakan bahwa jika R: A B adalah relasi dari A ke B dan n(a) = 3, n(b) = 3 maka banyaknya relasi R sebanyak 2 3x2-1. Secara umum dapat dikatakan bahwa: Jika R: A B adalah relasi dari A ke B dan n(a) = k, n(b) =1 maka banyaknya relasi R = 2 kxl - 1. Contoh 5.2 Diketahui R: M N adalah relasi dari M ke N. Jika n(m)=4 dan n(n)=3, hitunglah banyaknya relasi R tersebut. Penyelesaian: n(m)=4 dan n(n)=3. PDM-Sugiarto-Isti Hidayah Page 40

41 Banyaknya relasi R ada = 2 4x3-1 = Macam Relasi (a). Relasi Refleksif Definisi 5.1 Misalkan R suatu relasi di dalam himpunan A maka R disebut relasi refleksif jika dan hanya jika a A, maka (a,a) R. Dari definisi 5.1 dapat disimpulkan suatu relasi R di dalam himpunan A disebut bukan relasi refleksif jika dan hanya jika a A, dan (a,a) R. Contoh 5.3 Diketahui R:A A adalah relasi di dalam himpunan A dengan A = {1,3,5} sedemikian sehingga: a. R1 = {(1,1),(1,3),(3,3)1 b. R2 = 1(1,1),(3,3),(5,5)) c.r3= {(1,1),(1",3),(3,3),(5,3),(5,5)} Apakah R 1, R 2, dan R 3 relasi refleksif atau bukan? Penyelesaian: a. R 1 bukan relasi refleksif sebab 5 A tetapi (5,5) R 1. b. R 2 relasi refleksif sebab a A maka (a,a) R 1. c. R 3 relasi refleksif sebab a A maka (a,a) R 1. Contoh 5.4 Diketahui A = {x x garis-garis sejajar dalam bidang datar} B = {x I x bangun-bangun segitiga dalam bidang datar} Jika R: A A adalah relasi di dalam himpunan A dengan R menyatakan "x sejajar y" maka R relasi refleksif. Jika R: B B adalah relasi di dalam himpunan B dengan R menyatakan "x sebangun y" maka R relasi refleksif. PDM-Sugiarto-Isti Hidayah Page 41

42 (b). Relasi Simetris Definisi 5.2 Misalkan R suatu relasi di dalam himpunan A maka R disebut relasi simetris jika (a,b) R, maka berarti (b,a) R. Dari definisi 5.2 dapat disimpulkan suatu realasi R di dalam himpunan A disebut bukan realsi simetris jika (a,b) R dan (b,a) R. Contoh 5.5 Diketahui R: A A adalah relasi di dalam himpunan A dengan A={1,3,5} sedemikian sehingga: R 1 = {(1,1),(1,3),(3,3),(3,1),(3,5)} R 2 = {(1,1),(3,3),(3,5),(5,5),(5,3)} R 3 = {(1,1),(3,3),(5,5)} Apakah R 1,R 2,R 3 relasi simetris atau bukan? Penyelesaian: R 1 bukan realsi simetris sebab (3,5) R 1 tetapi (5,3) R 1. R 2 relasi simetris. R 3 relasi simetris. Contoh 5.6 Untuk himpunan A dan B pada contoh 5.4. Jika R: A A adalah relasi di dalam himpunan A dengan R menyatakan "x sejajary" maka R relasi simetris. Jika R: B B adalah relasi di dalam himpunan B dengan R menyatakan "x sebangun y" maka R relasi simetris. (c). Relasi ransitif Definisi 5.3 Misalkan R suatu relasi di dalam himpunan A maka R disebut relasi transitif jika (a,b) R dan (b,c) R, maka berarti (a,c) R. Dari definisi 5.3 dapat disimpulkan suatu relasi R di dalam himpunan A disebut bukan relasi transitif jika (a,b) R dan (b,c) R tetapi (a,c) R PDM-Sugiarto-Isti Hidayah Page 42

43 Contoh 5.7 Diketahui R: A A adalah relasi di dalam himpunan A dengan A = {1,3,5} sedemikian sehingga: a.r 1 = {(1,1),(1,3),(3,1),(5,5)} b.r 2 = {(1,3),(1,1),(3,1),(3,3)} c.r 3 = {(1,1),(3,3),(5,5)} Apakah R 1, R 2, dan R 3 relasi transitif atau bukan? Penyelesaian: a. R 1 bukan relasi transitif sebab (3,1) R 1 dan (1,3) R, tetapi (3,3) R 1. b. R 2 relasi transitif sebab (1,3) R 2 dan (3,1) R 2 maka (1,1) R 2 ; (3,1) R 2 dan (1,3) R 2 maka (3,3) R 2 ; (1,1) R 2 dan (1,3) R 2 maka (1,3) R 2 ; (3,1) R 2 dan (1,I) R 2 maka (3,1) R 2 ; (1,3) R 2 dan (3,3) R 2 maka (1,3) R 2 ; c. R 3 relasi transitif. Contoh 5.8 Untuk himpunan A dan B pada contoh 5.4. Jika R: A A adalah relasi di dalam himpunan A dengan R menyatakan "x sejajar y" maka R relasi simetris. Jika R: B B adalah relasi di dalam himpunan B dengan R menyatakan "x sebangun y" maka R relasi simetris. (d). Relasi Ekivalen Definisi 5.4 Misalkan R suatu relasi di dalam himpuiran A maka R disebut relasi ekivalen jika berlaku syarat: a. Refleksif artinya a A, maka (a,a) R; b. Simetris artinya jika (a,b) R, maka berarti (b,a) R; dan c. ransitif artinya jika (a,b) R dan (b,c) R, maka berarti (a,c) R. PDM-Sugiarto-Isti Hidayah Page 43

44 Contoh 5.9. Diketahui himpunan A = {0,2,4}, relasi R di dalam himpunan A dengan R = {(0,0), (2,2), (4,4)} berlaku syarat refleksif, simetris, dan transitif. Oleh karena itu R merupakan relasi ekivalen. 5. Relasi Ekivalen dan Partisi (a). Partisi Himpunan Pengertian partisi himpunan dapat dijelaskan melalui contoh sebagai berikut. Misalkan A = {1,2,3,4,...,10}, A 1 = {1,2,3}, A 2 = {4,5,6,7}, A 3 = {8,9,10}. Koleksi himpunan A = {A 1,A 2,A 3 } mempunyai dua sifat yaitu: 1. A 1 A 2 A 3 = A 2. A 1 A 2 =, A 1 A 3 =, A 2 A 3 =. Koleksi himpunan tersebut disebut partisi A. Contoh 5.10 Diketahui N={xl x bilangan asli}. N 1 ={1,5,9,17,...}, N 2 ={2,6,10,14,...}, N 3 ={3,7,11,15,...), N 4 =(4,8,12,16,...). Apakah koleksi (N 1,N 2,N 3,N 4 ) partisi dari N. Penyelesaian: Koleksi {N 1,N 2,N 3,N 4 } mempunyai sifat: 1. N 1 N 2 N 3 N 4 = N 2. N 1 N 2 =, N 1 N 3 =, N 1 N 4 =. N 2 N 3 =, N 2 N 4 =, dan N 3 N 4 =. Jadi koleksi {N 1,N 2,N 3,N 4 } merupakan partisi dari N. (b). Hubungan Partisi dan Relasi Ekivalen Sebelum dibicarakan hubungan antara partisi dan relasi ekivalen, maka pada uraian berikut akan dibicarakan a kongruen b modulo m. Definisi 5.5 Misalkan a dan b bilangan asli, m bilangan asli, maka dikatakan a kongruen b modulo m ditulis a b (mod. m) jika a-b = km dengan k bilangan bulat. PDM-Sugiarto-Isti Hidayah Page 44

45 Contoh 5.11 Untuk m = 3, maka: 1 kongruen 4 modulo 3 ditulis 1 4 (mod. 3) sebab 1-4 = -1(3); 4 kongruen 1 modulo 3 ditulis 4 1 (mod. 3) sebab 4-1= 1(3); 5 kongruen 14 modulo 3 ditulis 5 14 (mod. 3) sebab 5-4 = -3(3); 20 kongruen 2 modulo 3 ditulis 2 2 (mod. 3) sebab 20-2 = 6(3); 2 tidak kongruen 7 modulo 3 ditulis 2 7 (mod. 3) sebab 2-7 k(3) dengan k bilangan bulat. Contoh 5.12 Diketahui N = himpunan bilangan asli. R:N N adalah relasi di dalam himpunan N yang didefinisikan dengan a kongruen b modulo m. Buktikan R relasi ekivalen. Bukti: 1. a A maka a a (mod.m) sebab a-a = 0(m). (sifat refleksif). 2. Jika a b (mod.m) maka: a-b = k(m) -b+a = k(m) b-a = -k(m) Jadi, b a(mod.m) (simetris) 3. Jika a b (mod.m) dan b c (mod. m) maka: a-b = k 1 (m) b-c = k 2 (m) a-c = (k 1 + k 2 )(m) a-c = k(m) Jadi a c (mod. m) (sifat transitif). Jadi R relasi ekivalen. Contoh 5.13 Diketahui N = himpunan bilangan asli. R relasi di dalam himpunan N yang didefinisikan dengan "a b (mod. 3)" dengan a,b N. unjukkan bahwa N dipecah menjadi partisi. PDM-Sugiarto-Isti Hidayah Page 45

46 Penyelesaian: Jika N 1 = {x x 1 (mod. 3)} maka N 1 = {1,4,7,...}, Jika N 2 = {x x 2 (mod. 3)} maka N 2 = {2,5,8,...}, Jika N 3 = {x x 3 (mod. 3)} maka N 3 = {3,6,9,...}, Jika N4 = {x x 4 (mod. 3)} maka N 4 = {4,1,7, }, Jika N 5 = {x x 5 (mod. 3)} maka N 5 = {5,2,8,...}, Jika N6 = {x x 6 (mod. 3)} maka N 6 = {6,3,9,...}. ernyata N 1 = N 4 = N 7 = N 2 = N 5 = N 8 = N 3 = N 6 = N 9 = Perhatikan koleksi (N 1,N 2,N 3 ). Jelas bahwa: 1. N 1 N 2 N 3 = N 2. N 1 N 2 =, N 1 N 3 =, N 2 N 3 =. Jadi N dipecah menjadi partisi. Contoh 5.14 Diketahui N = himpunan bilangan asli. N 1 = {1,3,5,7,...} dan N 2 = {2,4,6,8,...}. R relasi di dalam himpunan N. a. Apakah koleksi {N 1,N 2 } partisi dari N? b. entukan relasi R yang memecah N menjadi partisi {N 1,N 2 } Penyelesaian: a. N 1 N 2 = N dan N 1 N 2 =. Jadi koleksi {N 1,N 2 } partisi dari N. b. N 1 = {1,3,5,7, } = {x x 1 (mod. 2)} N 2 = (2,4,6.8,...) {x x 2 (mod. 2)} Jadi relasi R yang memecah N menjadi partisi {NI,N2} adalah "a b (mod. 2)" dengan a,b N. PDM-Sugiarto-Isti Hidayah Page 46

47 Dari contoh 5.13 dan 5.14 dapat disimpulkan: Jika diketahui R relasi di dalam himpunan N dan: I. Jika R relasi ekivalen maka himpunan N terpecah menjadi partisi; 2 Jika himpunan N dipecah menjadi partisi maka relasi R adalah relasi ekivalen. Latihan 6 1. Andaikan R suatu relasi dari A = {1,2,3,4} ke dalam B = {1,3,5} yang didefinisikan oleh kalimat terbuka "x kurang dari y". a. Carilah himpunan penyelesaian dari R. b. Nyatakan R di dalam diagram koordinat AxB. 2. Andaikan R suatu relasi dari E = {2,3,4,5} ke dalam = {3,6,7,10} yang didefinisikan oleh kalimat terbuka "x membagi y". Buatlah suatu sketsa dari R di dalam diagram koordinat Ex. 3. Bilamanakah suatu relasi R pada suatu himpunan A tidak refleksif? 4. Jika S = {1,2,3,4} dan R = {(1,1),(1,3),(2,2),(3,1),(4,4)}. Apakah R refleksif? Mengapa? 5. Bilamanakah suatu relasi R pada suatu himpunan A tidak simetris? 6. Jika V = {1,2,3,4} dan R = {(1,2),(3,4),(2,1), (3,3)}. Apakah R simetris? 7. Apakah suatu himpunan A di mana setiap relasi pada A simetris? 8. Bilamanakah suatu relasi R pada suatu himpunan M disebut relasi ekivalen? 9. Berikan 3 contoh relasi ekivalen? 10. Jika R relasi di dalam himpunan N dengan N = himpunan bilangan asli dan relasi R didefinisikan dengan "a b (mod. 4)". unjukkan bahwa R memecah himpunan N menjadi partisi. 11. Andaikan W = {1,2,3,4} dan R = {(2,2),(2,3),(1,4), (3,2)}. Apakah R transitif? Mengapa? 12. Andaikan E = {1,2,3}. Perhatikanlah relasi-relasi yang berikut pada E: R 1 = {(1,1),(2,1),(2,2), (3,2),(2,3)} R 2 = {(1,1)} R 3 = {(1,2)} R 4 = {(1,1),(2,3),(3,2)} R 5 = ExE. PDM-Sugiarto-Isti Hidayah Page 47

48 Di antara relasi R 1, R 2, R 3, R 4, dan R5 manakah yang: a. relasi refleksif? b. relasi simetris? c. relasi transitif? d. relasi ekivalen? PDM-Sugiarto-Isti Hidayah Page 48

49 1. Pengertian ungsi Untuk memahami pengertian fungsi, perhatikanlah gambar 6.1 di samping. Diagram panah pada gambar 6.1 menyatakan hubungan ukuran sepatunya dari himpunan A ke himpunan B dengan A = {ono, Desi, Rano, ini, Rosi} dan B = {37, 38, 39, 40} yang merupakan ukuran sepatu. P ono Desy Rano ini Rosi Ukuran sepatu Gambar 5.2 Q Setiap anak hanya mempunyai satu ukuran sepatu, sehingga dapat dikatakan setiap anggota P dipasangkan dengan tepat satu anggota Q. Relasi yang mempunyai sifat seperti ini disebut pemetaan atau fungsi. Perhatikan diagram panah dalam gambar 6.2. bukan pemetaan sebab b A dikawankan dengan 2 anggota B. 3 UNGSI dan (iii) adalah fungsi sebab setiap anggota A dikawankan dengan tepat satu anggota B. bukan fungsi sebab b A tidak dikawankan dengan satu anggota B. Dari uraian di atas dapat disimpulkan dengan: Definisi 6.1 Suatu fungsi dari himpunan A ke himpunan B adalah suatu reiasi yang khusus, yaitu relasi di mana setiap anggota A dikawankan dengan tepat satu anggota B. PDM-Sugiarto-Isti Hidayah Page 49

50 Misalkan f adalah fungsi dari A ke dalam B, maka dapat ditulis f A B dibaca "f adalah fungsi dari A ke dalam B". Himpunan A disebut daerah asal atau ranah atau domain dari fungsi f. Himpunan B disebut daerah kawan atau ko ranah atau co domain dari fungsi f. Jika x A maka bayangan dari x oleh fungsi f dinyatakan dengan f(x) dan dibaca "fx". Jika f: x y dengan x A dan y B maka y disebut bayangan dari x oleh fungsi dan dapat ditulis y = f(x). A B a b c A B a b c (i) (iii) p q r s p q r s Gambar A B a b c A B a b c (ii) (iv) p q r s p q r s Contoh 6.1 Diketahui A = {1,2,3,4} dan B = {3,4,5,6,7}. f: A B adalah fungsi dari A ke dalam B yang didefinisikan dengan f: x (2x+1). entukan bayangan dari 1,2, dan 3 oleh fungsi f. Penyelesaian: Bayangan dari 1 oleh fungsi f adalah f(1) = 2(1)+1=3 Bayangan dari 2 oleh fungsi f adalah f(2) = 2(2)+1=5 Bayangan dari 3 oleh fungsi f adalah f(3) = 2(3)+1=7 Secara umum bayangan dari a oleh fungsi f adalah f(a) = 2(a) Cara Menyatakan ungsi Diketahui f: A B adalah fungsi dari A ke dalam B dengan f: x (2x+1), A = {1,2,3,4,5} dan B = {1,3,5,79,11}, maka fungsi f dapat dinyatakan dengan: a. Rumus fungsi yaitu f(x) = 2x+1 b. Diagram panah PDM-Sugiarto-Isti Hidayah Page 50

51 A 1 B Gambar 6.4 c. Himpunan pasangan berurutan. Jika fungsi f dinyatakan dengan himpunan maka = {(1,3),(2,5),(3,7),(4,9),(5,11)} tampak pada himpunan setiap elemen A menjadi elemen pertama pada tepat satu pasangan raja. d. Grafik Cartesius Gambar 5.5 Contoh 6.2 Diketahui f: A R adalah fungsi dari A ke dalam R yang ditentukan oleh f: x (x 2 ), jika R = himpunan bilangan real, A = {x -2 x 2, x A}. Gambarlah grafik fungsi f f(-2)= (-2) 2 =4 f(-1)= (-1) 2 = 1 f(0) = (0) 2 = 0 f(1) = (1) 2 = 1 f(2) = (2) 2 = 4 rafik merupakan parabola f: x (x 2 ), dengan x bialangan real PDM-Sugiarto-Isti Hidayah Page 51

52 Contoh 6.3 I ii iii iv Gambar Contoh 6.3 Misalkan A = [-3,3] manakah grafik pada gambar 6.7 yang merupakan grafik fungsi dari A ke dalam B. Penyelesaian: Yang merupakan grafik fungsi adalah (i) dan (iii). 3. Banyaknya ungsi Misalkan f: A B adalah fungsi dad A ke dalam B dengan A = {1,3,5} dan B={a,b}. entukanlah semua fungsi f yang mungkin. Penyelesaian: Misalkan fungsi-fungsi tersebut dinyatakan dengan himpunan pasangan berurutan, maka: 1 = {(1,a),(3,a),(5,a)} 2 = {(1,a),(3,a),(5,b)} 3 = {(1,a),(3,b),(5,a)} 4 = {(l,b),(3,a),(5,a)} 5 = {(1,b),(3,b),(5,a)} 6 = {( 1,b),(3,a),(5,b)} 7 = {(1,a),(3,b),(5,b)} 8 = {(1,b),(3,b),(5,b)} ernyata untuk n(a) = 3, n(b) = 2 maka banyaknya fungsi fdari A ke dalam B = 2 3 = 8. Secara umum: Jika f:adalah fungsi dari A ke dalam B d gan n(a) = k dan n(b) = I, maka banyaknya fungsi dari A ke dalam B ada PDM-Sugiarto-Isti Hidayah Page 52

53 4. Jangkauan Dari ungsi Misalkan A = {a,b,c,d,e}; B = {1,2,3,4,5} f: A B adalah fungsi dari A ke dalam B yang didefinisikan oleh diagram panah pada gambar 6.8. ampak bahwa: a B 1 2 bayangan dari a dan b b 2 3 bayangan dari e dan d 3 4 bayangan dari c c 4 Himpunan semua bayangan dari A adalah {2,3,4}. Himpunan d tersebut 5 disebut jangkauan atau range atau daerah hasil dari fungsi f ditulis f(a). e 6 Contoh 6.4 Gambar 6.8 Diketahui f: A R adalah fungsi dari A ke dalam R yang ditentukan oleh f(x)= x 2-2x- 3. Jika R = himpunan bilangan real, A = {x -2 x 4, x R}. entukan range dari fungsi f(x). Penyelesaian: x f(x) Gambar 6.9 Lihat gambar A maka 5 f(a) -2 A maka 5 f(a) 1 A maka -4 f(a) Jadi: f(a) = {x -4 x<5, x R} PDM-Sugiarto-Isti Hidayah Page 53

54 5. Jenis ungsi Lihat diagram panah pada gambar 6.10 (i) bukan fungsi sebab a A mempunyai dua kawan di B. (ii), (iv) disebut fungsi satu-satu sebab setiap pasang anggota berbeda pada domain mempunyai kawan yang berbeda pada co domain. (iii) disebut fungsi kepada sebab range = co domain. (v) disebut fungsi satuan sebab x A, x x. (vi) disebut fungsi konstan sebab f(a) mempunyai satu anggota. a. ungsi Satu-satu Definisi 6.2 Misalkan f: A B adalah fungsi dari A ke dalam B maka f disebut fungsi satu-satu jika dan hanya jika x 1,x 2 A, x 1 x 2 maka f(x 1 ) f(x 2 ). Dari definisi 6.2 dapat dikatakan bahwa f bukan fungsi satu-satu jika dan hanya jika x 1,x 2 A, x 1 x 2 tetapi f(x 1 )=f(x 2 ). ungsi satu-satu sering disebut fungsi injection. Contoh 6.5 PDM-Sugiarto-Isti Hidayah Page 54

55 Misalkan fungsi f: R R didefinisikan dengan rumus f(x) = x 2 maka f bukan fungsi satu-satu (mengapa?). Misalkan fungsi g: R R didefinisikan dengan rumus f(x) = 2x+1 maka g merupakan fungsi satu-satu (mengapa?). b. ungsi Kepada Definisi 6.3 Misalkan A B adalah fungsi dari A ke dalam B maka f disebut fungsi kepada jika dan hanya jika range f = atau f(a) = B. Dengan demikian jika f(a) B maka fungsi f bukan fungsi kepada. ungsi kepada sering disebut fungsi surjection. Contoh 6.6 ungsi pada contoh 6.5(1) bukan fungsi kepada (mengapa?) ungsi pada contoh 6.5(2) adalah fungsi kepada (mengapa?) Jika suatu fungsi merupakan fungsi satu-satu dan juga fungsi kepada maka fungsi itu disebut fungsi satusatu kepada Contoh 6.5(2) merupakan fungsi byjection (mengapa?). c. ungsi Satuan Definisi 6.4 Misalkan f: A A adalah fungsi di dalam A maka fungsi f yang didefinisikan oleh f(x) = x disebut fungsi satuan atau fungsi identitas. Contoh 6.7 Diketahui f: R R adalah fungsi di dalam R, dengan R=himpunan bilangan real dan f(x)=x. PDM-Sugiarto-Isti Hidayah Page 55

56 1) Apakah f fungsi satuan? 2) Gambarlah grafik fungsi f? 3) Apakah f fungsi satu-satu? Mengapa? 4) Apakah f fungsi kepada? Mengapa? Penyelesaian: 1) f fungsi satuan x 0 2 f(x) 0 2 2) grafik fungsi f melalui titik (0,0) dan (2,2). 3) f fungsi satu-satu sebab x 1,x 2 R, x 1 x 2 maka f(x 1 ) f(x 2 ). 4) f fungsi kepada sebab f(r) = R. d. ungsi Konstan D e finisi 6.5 Misalkan f: A B adalah fungsi dari A ke dalam B maka fungsi f disebut fungsi konstan jika dan hanya jika jangkauan dari f hanya terdiri dari satu anggota. Contoh 6.8 Diketahui f: R R didefinsikan oleh f(x) = 3 dengan R = himpunan bilangan real. 1) Apakah f fungsi konstan? 2) Gambarlah grafiknya? Penyelesaian: 1) f fungsi konstan 0 2 f(x) 3 3 2) grafik fungsi f melalui titik (0,3) dan (2,3). Gambar 6.12 PDM-Sugiarto-Isti Hidayah Page 56

57 6. Invers Suatu ungsi dan ungsi Invers A B a b c A B a (i) A B a b c (ii) b 2 c 3 (iii) Gambar 6.13 Diagram panah pada gambar 6.13 merupakan fungsi. a. f: A B fungsi kepada inversnya f : B A bukan fungsi sebab 3 E B mempunyai dua kawan. b. g: A C fungsi satu-satu inversnya g - ': C A bukan fungsi sebab 4c-C tidak mempunyai kawan. c. h: A D fungsi satu-satu kepada inversnya h': D A. merupakan fungsi lagi, fungsi tersebut disebut fungsi invers. Apa yang dapat saudara simpulkan dari contoh di atas? Bilamana suatu fungsi mempunyai fungsi invers? Latihan 7 1. Diketahui R: A B adalah relasi dari A ke dalam B. Jika A = {2,3,4,5}; B = {3,4,5}. Relasi R didefinisikan "x faktor y" a. Nyatakan R dengan diagram panah. b. Apakah relasi r fungsi? Mengapa? PDM-Sugiarto-Isti Hidayah Page 57

58 2. Misalkan A = {1,2,3,4,5} Katakan apakah masing-masing dari himpunan pasangan terurut yang berikut merupakan fungsi dari A ke dalam A. a. f 1 = {(2,3),(1,4),(2,1),(3,2),(4,4)} b. f 2 = {(3,1),(4,2),(1,1)} c. f 3 = {(2,3),(3,6),(4,2),(3,2)} 3. Misalkan f(x) x 2 mendefinisikan suatu fungsi pada selang tertutup -2 x 5, carilah: a. f(0) b. f(3) c. f(-4) d. f(t-2) 4. Misalkan A = {a,b,c} dan B = {1,0}. Berapakah banyaknya fungsi yang berbeda dari B ke dalam A, dan apa saja? 5. Ambilah A = (-1,0,1,2,3). Misalkan fungsi g: A R didefinisikan oleh f(x)= x Carilah jangkauan dari g. 6. Carilah jangkauan dari fungsi di bawah ini jika fungsi-fungsi tersebut dari R ke dalam R didefinisikan oleh: a. f(x) = x 2 +2 b. g(x) = x 2 +4x+4 7. a. Apakah fungsi pada soal 6.a fungsi satu-satu? Mengapa? b. Apakah fungsi pada soal 6.a fungsi kepada? Mengapa? 8. Gambarlah diagram panah untuk menunjukkan: a. ungsi satu-satu yang bukan fungsi kepada b. ungsi kepada yang bukan fungsi satu-satu. 9. Grafik di bawah ini manakah yang merupakan grafik fungsi dari A ke dalam B. 10. Diketahui f: A R dengan R = himpunan bilangan real, A ={x -1 x 5} didefinisikan dengan f(x)= x entukanlah range dari f. 11. ulislah 4 contoh fungsi konstan, kemudian gambarlah grafiknya. PDM-Sugiarto-Isti Hidayah Page 58

59 LOGIKA MEAMEIKA 1. Proposisi (Pernyataan) Elementer Perhatikan kalimat pada contoh 8.1 di bawah ini. 1) Semarang Ibu Kota Jawa engah 2) a faktor dari 6 3) Dua adalah bilangan ganjil 4) Mudah-mudahan lulus ujian 5) 2+ 6 = 8 6) x faktor dari 5 7) < 7 8) Selesaikan soal di bawah 9) x + 5 = 9 10) x - 2 < 7 Kalimat pada contoh 8.1 yang merupakan pernyataan adalah 1, 3, 5, dan 7 sebab kalimat tersebut sudah dapat ditentukan nilai kebenarannya (benar atau salah). Nilai kebenaran pernyataan di atas berturut-turut: benar, salah, dan salah. Definisi 8.1 Pernyataan adalah kalimat yang sudah dapat ditentukan nilai kebenarannya (benar atau salah). Pernyataan pada contoh 8.1 sering disebut pernyataan elementer dan selanjutnya dinyatakan dengan simbol p, q, r, s, dan seterusnya. 2. Proposisi Komposit Misalkan p, q masing-masing proposisi PDM-Sugiarto-Isti Hidayah Page 59

60 elementer, maka proposisi berikut ini merupakan proposisi komposit. Jadi dapat disimpulkan bahwa Definisi 8.2 Proposisi komposit adalah proposisi yang memuat perangkai Ada lima perangkai, yaitu: dan. Propo- Dibaca Disebut sisi p q p bil q Konjungsi p v q p atau q Disjungsi p q jika p maka q Implikasi p q p jika dan hanya jika q Biiinplikasi ingkaran p Negasi 3. Nilai Kebenaran Proposisi Komposit p q p q p q p q p q - Contoh 8.2 Diketahui proposisi elementer: p : idak ada segitiga sama kaki yang tumpul q : ungsi identitas merupakan fungsi satu-satu r : Ada belch ketupat yang merupakan persegi panjang. entukan nilai kebenaran dari proposisi di bawah ini: a. p, q, dan r g. (p q) r b. q r h. c. q r i. q ( ) d. p r j. e. q p k. (p q) r f. p q l. (p q) r Penyelesaian: a.,, dan e. i. b. f. j. c. g. k. d. h. l. Catatan: PDM-Sugiarto-Isti Hidayah Page 60

61 Proposisi komposit dapat dibentuk dari tiga proposisi elementer p, q, dan q atau dari n buah proposisi elementer p 1, p 2, p 3,, p n. 4. abel Kebenaran Ada dua cara untuk membuat tabel kebenaran dari proposisi komposit. Contoh 8.3 Buatlah tabel kebenaran proposisi di bawah ini. a. p (p q) c. p ( ) b. ( p q) p d. (p q) r Penyelesaian: a. cara I p q p q p (p q) cara II cara II b. Cara I p (p q) langka h p q p q (p q) p Cara II c. cara I langka h p q p q ( ) p ( ) (P q) P langka h PDM-Sugiarto-Isti Hidayah Page 61

62 Cara II d. Cara I p (p q) langka h cara II p q r p q (p q) r Cara II (p q) r Catatan: Hubungan antara banyaknya proposisi elementer dengan banyaknya baris pada tabel kebenaran proposisi komposit adalah sebagai berikut. PDM-Sugiarto-Isti Hidayah Page 62

63 Banyaknya proposisi elementer Banyaknya baris pada tabel 2 4 = = = n 2 n 5. autologi, Kontradiksi, dan Kontingensi Perhatikan contoh 8.3 b. Proposisi (p q) p selalu bernilai benar untuk setiap nilai kebenaran dari proposisi elementernya. Proposisi tersebut disebut tautologi. Definisi 8.3 autologi adalah proposisi komposit yang selalu bernilai benar untuk setiap nilai kebenaran dari proposisi elementernya. Perhatikan contoh 8.3 c. Proposisi p (p q) selalu bernilai salah untuk setiap nilai kebenaran dari proposisi elementernya. Proposisi tersebut disebut kontradiksi. Definisi 8.4 Kontradiksi adalah proposisi komposit yang selalu bernilai salah untuk setiap nilai kebenaran dari proposisi elementernya. Perhatikan contoh 8.3 a dan d. Proposisi p (p q) dan (p q) r masing-masing bukan tautologi dan kontradiksi. Proposisi tersebut disebut kontingensi. Definisi 8.5 Kontingensi adalah proposisi komposit yang bukan tautologi dan kontradiksi. 6. Implikasi Logis Perhatikan implikasi di bawah ini! PDM-Sugiarto-Isti Hidayah Page 63

64 a. p (p q) b. (p q) p c. p (p q) ernyata : Proposisi a. kontingensi (contoh 8.3 a. Proposisi b. tautologi (contoh 8.3 b. Proposisi c. diselidiki sebagai berikut. ernyata proporsi p (p q) tautologi. Proporsi b. dan c. adalah implikasi yang merupakan tautologi, dan implikasi tersebut disebut implikasi logis. Sehingga dapat ditulis dengan (p q) p p (p q) Definisi 8.6 Misalkan P, Q masing-masing proposisi komposit, maka proposisi P Q disebut implikasi logis jika P Q tautologi, dan dapat ditulis P Q. p (p q) Contoh 8.4 Selidiki dengan tabel kebenaran, manakah yang merupakan implikasi logis. a. [( ) p] q b. [( ) p] p c. [( ) p] Penyelesaian: a. [( ) p] q langka h PDM-Sugiarto-Isti Hidayah Page 64

65 b. [( ) p] p c. [( ) p] [( p q) q] p ernyata: Proposisi a. tautologi maka implikasi logis Proposisi b. kontingensi maka bukan implikasi logis Proposisi c. tautologi maka implikasi logis 7. Ekivalensi Perhatikanlah proposisi komposit dan. Selidikilah apakah kedua proposisi tersebut bernilai sama? Penyelesaian: p q -p p q -p v q ernyata dan mempunyai nilai kebenaran yang sama, maka dikatakan bahwa ekivalen, ditulis: ek.. Definisi 8.7 Misalkan P, Q masing-masing proposisi komposit, maka P dikatakan ekivalen Q ditulis P ek Q jika P dan Q mempunyai nilai kebenaran yang sama. Contoh 8.5 Selidiki apakah a. p q ek b. p p ek p c. p ek d. p ek PDM-Sugiarto-Isti Hidayah Page 65

66 PDM-Sugiarto-Isti Hidayah Page 66 Penyelesaian: ernyata : a. p q ek b. p p ek p c. p ek, artinya p selalu bernilai salah atau kontradiksi. d. p ek, artinya p selalu bernilai benar atau tautologi. p q -p -q p q p p p p

67 PDM-Sugiarto-Isti Hidayah Page 67

68 Latihan 8A 1. Buatlah contoh a. 5 pernyataan yang bernilai benar b. 5 pernyataan yang bernilai salah c. 5 kalimat terbuka d. 5 kalimat yang bukan pernyataan dare bukan kalimat terbuka 2. Diketahui proposisi elementer: p: relasi kesamaan pada himpunan bilangan asli adalah relasi ekivalen q: ada bilangan x sehingga x + 4 = 3 r: tidak ada garis horizontal yang saling tegak lurus. entukan nilai kebenaran dari: a. p, q, dan r d. [(p q) r] b. p r e. (-p q) r c. (p q) r f. (p q) r 3. Buatlah table kebenaran dari proporsi di bawah ini, kemudian tentukanlan manakah yang kontradiksi, tautologi, dan kontingensi. a. b. [(p q) p] q c. (p q) r d. (p q) (p q) e. [(p q) (q r)] (p r) f. ( ) q 4. Selidiki apakah proporsi di bawah ini implikasi logis. a. [(p q) ] q b. (p q) (p q) c. (p q) PDM-Sugiarto-Isti Hidayah Page 68

69 5. Selidiki apakah a. -(p q) ek -p -q b. p q ek q p c. (p q) r ek p (q r) d. p q ek (p q) (q p) PDM-Sugiarto-Isti Hidayah Page 69

70 8. Hukum-h ukum Aljahar Proposisi (Aturan Penggantian) Setiap proposisi yang saling ekivalen dapat dipertukarkan atau diganti antara satu dengan yang lainnya. Di bawah ini disajikan daftar aturan penggantian untuk keperluan deduksi. 1. Hukum Idempoten (Idem) a. p p ek p b. p p ek p 2. Hukum Asosiatif (As) a. (p q) r ek p (q r) b. (p q) r ek p (q r) 3. Hukum Komutatif (Kom) a. p q ek q p b. p q ek q p 4. Hukum Distributi f (Dist) a. p (q r) ek (p q) (p r) b. p (q r) ek (p q) (p r) 5. Hukum Identitas (Id) a. p ek p c. p ek b. p ek d. p ek p 6. Hukum Komplemen (Komp) a. p -p ek b. p -p ek c. -(-p) ek p d. - ek 7. Hukum ransposisi (rans) p q ek 8. Hukum Implikasi (Imp) p q ek 9. Hukum Ekivalensi (Eki) a. p q ek (p q) (q p) b. p q ek (p q) (-q -p) 10. Hukum Eksportasi (Eksp) (p q) r ek p (q r) 11. Hukum De Morgan (DM) a. ek PDM-Sugiarto-Isti Hidayah Page 70

71 b. ek Contoh 8.6 Buktikanlah bahwa: a. ek p b. (p q) p ek c. -[p (p q)] adalah kontradiksi Penyelesaian: a. ek ek ek b. (p q) p ek p ek ( ) p ek ( ) ek ek c. -[p (p q)] ek -[ (p q)] ek -[( p) q)] ek ( q) ek ek Catatan: Untuk membuktikan: a. apakah dua proposisi ekivalen b. suatu proposisi tautologi/kontradiksi dapat dilakukan dengan dua cara: 1) dengan menggunakan tabel kebenaran 2) dengan menggunakan aturan penggantian (bukti formal). Contoh 8.6 di atas merupakan contoh pembuktian dengan dua proposisi ekivalen, sebuah proposisi tautologi/kontradiksi dengan menggunakan aturan penggantian. Contoh 8.7 Buktikanlah bahwa implikasi [( q) ( r)] ( r) implikasi logis dengan bukti formal. Penyelesaian: [( q) ( v r)] ( r) ek [ ] ( r) (Imp) PDM-Sugiarto-Isti Hidayah Page 71

72 ek [ ] ( r) (DM) ek [ ( )] ( r) (DM) ek [{( ) } {( ) }] ( r) (Dist) ek [{( ) } {( ) }] ( r) (Dist, Komp) ek [( ) {( ) }] ( r) (Id) ek {( ) ( r)} [{( ) } ( r)] (Dist) ek {( ) ( r)} [{( ) } ( r)] (Ass) ek { ( r)} [{( ) } ( r)] (Komp) ek [{( ) } ( r)] (Id) ek {( ) } ( r) (Id) ek ( ) { ( r)} (Ass) ek ( ) ( ) (Ass, Komp) ek ( ) (Id) ek (Id) 9. Argumen Perhatikanlah sekumpulan proposisi pada contoh berikut. Contoh 8.8 1) (a). Jika seseorang orang Indonesia maka is belum pernah ke bulan (b). Habibie orang Indonesia (c). Habibie belum pernah ke bulan Pada sekumpulan proposisi 1), proposisi (c) ditegaskan dari proposisi (a) dan (b). Oleh karena itu sekumpulan proposisi 1) disebut argumen. Selanjutnya proposisi (c) disebut konklusi dari argumen dan proposisi (a) dan (b) disebut premis dari argumen. Argumen tersebut dapat dinyatakan dengan benta spesifik sebagai berikut. p q p premis q konklusi Perhatikanlah sekumpulan proposisi berikut. 3) (a). Jawa engah beribu kota di Semarang (b). Lima adalah hilangan ganjil (c). Segitiga sama kaki sudut alasnya sama besar. Sekumpulan proposisi 2) bukan merupakan argumen. Mengapa? Definisi 8.8 Argumen (dalil) adalah sekumpulan proposisi sedemikian hingga salah satu dari proposisinya ditegaskan atas dasar proposisi lainnya. Proposisi yang ditegaskan tersebut disebut konklusi, sedang yang menegaskan disebut premis. PDM-Sugiarto-Isti Hidayah Page 72

73 Setiap argumen mempunyai premis dan konklusi. Yang dimaksud konklusi auatu agumen adalah proposisi yang ditegaskan berdasarkan proposisiproposisi yang lainnya dari argumen tersebut. Sedangkan proposisi-proposisi yang menegaskan yang memberikan alasan untuk diterimanya konklusi disebut premis. Predikat untuk suatu argumen bukan benar atau salah tetapi salt atau tidak salt. Benar atau salah adalah predikat untuk proposisi. 10. Kesahan Argumen Definisi 8.9 Suatu argumen dikatakan sah jika argumen tersebut dinyatakan dalam suatu implikasi sedemikian sehingga premis-premisnya merupakan anteseden, konklusinya merupakan konsekuen, dan implikasi tersebut merupakan implikasi logis. Contoh Penyelesaian: Argumen tersebut dinyatakan dalam implikasi: [(p q) p] q. Selanjutnya dibuktikan apakah implikasi tersebut implikasi logis? Untuk pembuktian tersebut ada dua cara yaitu: 1. Dengan tabel kebenaran 2. Dengan aturan penggantian Cara I: [(p q) p] q 1 2 I I Cara II: [(p q) p] q ek [ ] q (Imp) ek [(p ) ] q (DM) PDM-Sugiarto-Isti Hidayah Page 73

74 ek [(p ) ( )] q (Dist) ek [ ( )] q (Komp) ek ( ) q (Id) ek ( ) (Ass) ek (Komp) ek (Id) Kesimpulan: argumen p q p q adalah argument yang sah. Contoh Selidiki dengan table kebenaran apakah argument berikut sah. p q q p Penyelesaian: [(p q) q] p ernyata [(p q) q] p kontingensi. Maka argument tersebut tidak sah. 11. Metode Deduksi (Bukti ormal Kesahan Argumen) Pada pasal 10 sudah dikategorikan bahwa untuk membuktikan kesahan argumen dapat dilakukan dengan mengunakan tabel atau dengan bukti formal. Kita maklumi bahwa pembuktian kesahan suatu argumen yang mengandung banyak proposisi elementer dengan tabel kurang praktis. Apalagi cara tersebut tidak mengembangkan pandangan kita tentang hubungan antara argumen-argumen dan hukum-hukum penggantian. Di samping PDM-Sugiarto-Isti Hidayah Page 74

75 itu cara tersebut tidak menambah pengetahuan karena hanya bekerja secara mekanik. Cara lain untuk membuktikan kesahan argumen yang lebih baik dan lebih singkat dengan bukti formal adalah dengan menggunakan hukum-hukum penggantian dan juga aturan penyimpulan seperti yang tercantum berikut ini. Aturan Penyimpulan 1. Modus Pones (MP) p q p q 2. Modus olens (M) p q 3. Silogisme (Sil) p q q r p r 4. Destruktif Silogisme (DS) p q q 5. Konstruktif Delema (KD) (p q) (r s) p r q s 6. Destruktif Delema (DD) (p q) (r s) 7. Simplifikasi (Simp) p q p 8. Adisi (Ad) P p q 9. Konjungsi (Konj) PDM-Sugiarto-Isti Hidayah Page 75

76 p q p q Contoh 8.11 Buktikan kesahan argument berikut. 1. p (q s) 2. (s t) 3. p r 4. / q t Penyelesaian: 1. p (q s) 2. (s t) 3. p r 4. / q t 5. s t (2,4 MP) 6. (3,4 M) 7. q s (1,6 DS) 8. q t (7,5 Sil) Jadi argument tersebut sah (terbukti). Contoh 8.12 Susunlah bukti formal kesahan argument berikut. 1. a b 2. c d 3. ( ) ( ) / Penyelesaian: 1. a b 2. c d 3. ( ) ( ) / 4. (3 Simp) 5. b (4 Imp) 6. (3 Simp) 7. a (6 Imp) 8. a (1,5 Sil) PDM-Sugiarto-Isti Hidayah Page 76

77 9. d (8 tran) 10. c (2,9 Sil) 11. (10 Imp) 12. (11 Kom) Contoh 8.13 Susunlah bukti formal kesahan argumen berikut dengan memakai lambang-lambang proposisi yang diberikan. Jika banyak mahasiswa yang memilih matematika maka geometri diharuskan dan trigonometri diharuskan. Jika geometri diharuskan atau aljabar diharuskan maka aritmetika diharuskan. Banyak mahasiswa yang memilih matematika. Oleh karena itu aritmetika diharuskan atau aljabar diharuskan (m,g,t,j,u). Penyelesaian: Argumen tersebut dapat dinyatakan dengan simbol sebagai berkut. 1. m (q t) 2. (q j) a 3. m / a j Bukti kesahannya sebagai berikut. 1. m (q t) 2. (q j) a 3. m / a j 4. (q t) (1,3 Imp) 5. q (4 Simp) 6. (q j) (5 Add) 7. A (2,6 MP) 8. a j (7 Add) Argumen sah. Catatan: Cara pembuktian seperti contoh 8.11, 8.12, dan 8.13 disebut Bukti Langsung (BL). PDM-Sugiarto-Isti Hidayah Page 77

78 PDM-Sugiarto-Isti Hidayah Page 78

79 Latihan 8B 1. Gunakanlah tabel untuk membuktikan kebenaran hukum penggantian nomor: (a). 10; (b). 11; dan (c). 5a&5c. 2. Gunakanlah tabel untuk membuktikan kebenaran aturan penyimpulan nomor: (a). 3; (b). 7; dan (c) Gunakanlah hukum penggantian untuk membuktikan dengan bukti formal kesahan aturan penyimpulan nomor: (a). 7; (b). 8; dan (c) Buktikan dengan bukti formal kesahan argumen berikut (gunakan aturan penyimpulan dan hukum penggantian). a. 1. [(a c) ] [(d c) f] 2. b 3. / (d c) f b. 1. e (f ) 2. (f g) h 3. e / h c. 1. e f 2. e g / e (f g) d. 1. ( v) (u v) 2. / e (f g) e. 1. e f 2. g f / (e g) f f. 1. (s t) (u v) 2. w (s u) / w (t v) 5. Susunlah bukti formal kesahan argumen di bawah ini dengan memakai lambang-lambang proposisi sebagaimana yang disediakan. PDM-Sugiarto-Isti Hidayah Page 79

80 a. Jika saya belajar maka saya mendapat nilai baik, jika saya tidak belajar maka dapat bersenang-senang. Oleh karena itu saya akan mendapat baik atau saya akan bersenang-senang (b,n,s). b. Jika persediaan perak tetap dan penggunaan perak meningkat maka harga perak akan naik. Jika peningkatan penggunaan perak membawakan bahwa harga porak meningkat maka akan bermunculan spekulan-spekulan. Persediaan perak tetap. Oleh karena itu spekulan spekulan akan bermunculan (p,t,n,k, ) c. Jika harga jatuh atau upah naik maka dagang eceran dan kesibukan iklan akan meningkat. Jika dagang eceran meningkat maka pedagam2, kecil akan mendapat uang banyak. etapi pedagang kecil mendapat uang banyak. Oleh karena itu harga tidak akan turun (h,u,a,i,k). d. Adam akan menumpang bus atau kereta api. Jika dia menumpang bus atau mengendarai mobil sendiri maka is akan terlambat dan kehilangan bagian pertama. Dia tidak datang terlambat. Oleh karena itu dia akan menumpang kereta api (b,k,m,l,h). e. Pajak dinaikkan atau jika pengeluaran naik maka plafon hutang akan naik. Jika pajak dinaikkkan maka biaya pungutan pajak juga naik. Jika kenaikan pengeluaran membawakan bahwa pemerintah akan meminjam uang lebih banyak maka jika plafon hutang dinaikkan maka bunga uang akan naik pula. Jika pajak tidak dinaikkan maka biaya pungutan pajak tidak akan naik. Jika plafon hutang dinaikkan maka pemerintah akan meminjam uarig lebih banyak. Biaya pungutan pajak tidak naik. Bunga uang tidak naik atau pemerintah tidak akan meminjam uang lebih banyak. Oleh karena itu plafon hutang tidak akan naik atau pengeluaran tidak akan naik (p,n,h,b,u,r). PDM-Sugiarto-Isti Hidayah Page 80

81 PDM-Sugiarto-Isti Hidayah Page 81

82 12 Aturan Bukti Bersyarat (ABB) Pada pasal 11 telah diketengahkan bagaimana cara membuktikan kesahan argumen dengan bukti formal. Salah satu cara yang digunakan dikenal dengan bukti formal dengan cara langsung dan disingkat dengan Bukti Langsung (BL). Akan tetapi tidak semua argumen dapat dibuktikan dengan bukti langsung. Cara lain untuk membuktikan kesahan argumen dengan bukti formal yaitu dengan Aturan Bukti Bersyarat (ABB). Catatan yang perlu diingat bahwa: 1. ABB dapat digunakan apabila konklusi argumen tersebut merupakan implikasi. 2. Prosedur pembuktian ABB yaitu menarik anteseden dari konklusi menjadi premis barn (premis tambahan) dan konsektiennya merupakan konklusi dari argumen. Prosedur ABB dapat dilakukan karena didasarkan pada prinsip eksportasi bahwa p (q r) ek (p q) r. Kita ingat bahwa ada hubungan yang erat antara argumen sah dengan implikasi logis sehingga kebenaran prosedur ABB mudah kita terima dengan penjelasan berikut. Langkah Argumen Implikasi Logis 1 P / A C P (A C) 2 P A / C (P A) C Penjelasan di atas menunjukan bahwa karena P (A C) ek (P A) C maka argument P / A C sah dan argument P, A / C juga sah. Keterangan di atas akan lebih mudah diterima dengan memperhatikan contoh berikut. Contoh 8.14 Buktikan kesahan argumen berikut dengan ABB. 1. (a b) (c d) PDM-Sugiarto-Isti Hidayah Page 82

83 2. (d e) f / a f Penyelesaian: Perhatikan bahwa konklusinya berbentuk implikasi a konsekuen f sehingga ABB dapat digunakan. 1. (a b) (c d) 2. (d e) f / a f 3. a / f asumsi 4. a b (3 Add) 5. c d (1,4 MP) 6. d (5 Simp) 7. d e (6 Add) 8. f (2,7 MP) 9. a f (3 s.d. 8 ABB) (erbukti). f dengan anteseden a dan Catatan: 1. Baris 9 di dapat bukan didasarkan dari baris 4 s.d. 8 akan tetapi merupakan penjelasan bahwa asumsi no 3 yaitu a dengan menggunakan proposisi 1,2,4,5,6, dan 7 didapat no 8 yaitu f. Oleh karena itu nomor 9 yaitu a > f di luar skup dan proposisi tersebut merupakan konklusi. 2. Dengan ABB argumen tersebut dapat dibuktikan hanya dengan 9 Iangkah. Bandingkan dengan cara Bukti Langsung. Berikut ini disajikan dengan Bukti Langsung. 1. (a b) (c d) 2. (d e) f / a f 3. ( ) (c d) 1 Imp 4. [( ) c] [( ) d] 3 Dist 5. ( ) d 4 Simp 6. ( ) d 5 DM 7. ( ) ( d) 6 Dist 8. 7 Simp 9. a d 8 Imp 10. ( ) f 2 Imp 11. ( ) f 10 DM 12. ( ) ( f) 11 Dist Simp 14. d f 13 Imp 15. a f 9,14 Sil (erbukti) PDM-Sugiarto-Isti Hidayah Page 83

84 ernyata BL memerlukan 15 langkah. Jadi untuk contoh 14 ABB lebih singkat dibandingkan dengan BL. Contoh 8.15 Buktikan dengan ABB kesahan argument berikut. 1. (a b) [(c d) e] / 2. a / asumsi 3. a b (2 Add) 4. (1, 3 MP) 5. / (asumsi) 6. e (4, 5 MP) 7. ) (5 6 ABB) 8. a (2 7 ABB) (erbukti) PDM-Sugiarto-Isti Hidayah Page 84

85 Latihan 8C Buktikan dengan ABB kesahan argument-argumen di bawah ini. a. 1. a b 2. b [(c ) d] / a d b. 1. q ( ) 2. [ ( )] (t u) 3. ( ) ( ) / q v c. 1. ( ) ( ) 2 (l n)[ ( ) ( ) ] / k m PDM-Sugiarto-Isti Hidayah Page 85

86 PDM-Sugiarto-Isti Hidayah Page 86

87 13. Reductio Ad Absordum (Bukti ak Langsung) Pada pasal 11 sudah diketengahkan bahwa untuk membuktikan kesahan argumen dengan bukti formal dapat dilakukan dengan beberapa cara yaitu: 1) dengan Bukti Langsung 2) dengan Aturan Bukti Bersyarat. Di samping kedua cara di atas masih ada cara lain yaitu dengan Bukti ak Langsung (BL). Adapun langkah-langkahnya adalah sebagai berikut. 1) Menarik ingkaran dari konklusi menjadi premis baru (premis tambahan). 2) Dengan menggunakan aturan penyirnpulan dan hokum penggantian ditunjukkan adanya kontradiksi. 3) Setelah ditemukan kontradiksi kita tinggal menggunakan prinsip Adisi dan Distributif Silogisme. Untuk lebih jelasnya ikutilah contoh berikut ini. Contoh 8.16 Buktikan kesahan argumen berikut dengan BL. 1. ( ) 2. ( ) 3. / e bukti: 1. ( ) 2. ( ) 3. / e PDM-Sugiarto-Isti Hidayah Page 87

88 4. asumsi 5. 2,4 M 6. 5 DM 7. 6 Simp 8. 6 Simp 9. 3 Imp 10. a 9,8 MP 11. 1,10 MP 12. b 11 Simp 13. 7,12 Konj Add 15. e 14,7 DS (erbukti) Catatan: 1) Langakh ke 13 menunjukkan adanya kontradiksi sebab b b ek. 2) Setelah ditemukan adanya kontradiksi langkah berikutnya Adisi dan terakhir Distributif Silogisme. PDM-Sugiarto-Isti Hidayah Page 88

89 Latihan 8D Buktikan kesahan argumen-argumen di bawah ini dengan BL. ( 1 ). 1. ( ) 2. / c ( 2 ). 1. (h i) (j k) 2. ( k) 3. / ( j) ( 3 ). 1. ( e) (f g) 2. ( h) ( ) / g ( 4 ). 1. ( n) ( ) 2. ( g) ( ) 3. ( t) ( u) / ( 5 ). 1. (v ) (x y) 2. ( ) (y ) 3. (a ) ( c) 4. / c PDM-Sugiarto-Isti Hidayah Page 89

90 KUANIIKASI 1. ungsi Proposisi dan Kuantor Pada bab sebelumnya kita telah belajar teknik logika yang berlaku bagi argumen-argumen yang keabsahannya bergantung dari cara mengkombinasikan proposisi-proposisi elementer menjadi suatu proposisi komposit, yaitu yang benar secara fungsi. eknik ini tidak dapat lagi dipakai terhadap suatu argumen, misalnya seperti berikut: 1. Setiap manusia fana 2. Socrates seorang manusia, 3. Oleh karena itu, Socrates fana. Keabsahan argumen seperti ini bergantung pada struktur logis-dalam dari proposisiproposisi elementer yang membentuknya. Untuk menilai argumen-argumen yang demikian kita harus kembangkan cara-cara untuk menganalisis proposisi-proposisi komposit dan juga melambangkan struktur dalamnya. Premis ke dua pada argumen di atas adalah suatu proposisi elementer. la menyatakan bahwa individu Socrates mempunyai sifat kemanusiaan. "Socrates" kita sebut term subjek, sedangkan manusia disebut term predikat. Setiap proposisi elementer menyatakan bahwa individu yang ditunjuk oleh term subjeknya mempunyai sifat yang dinyatakan oleh term predikatnya. Selaku individu tidak hanya kita anggap pribadipribadi, akan tetapi sembarang objek, seperti hewan, kota, bangsa, planet, dan lain sebagainya, sedemikian sehingga dapat dilekatkan sifatsifat yang bermakna berkaitan dengan objek tersebut. Sifat-sifat tidak hanya dinyatakan oleh kata-kata sifat, melainkan juga oleh kata benda, juga kata kerja. Misalnya "Siti seorang pemberani" atau "Achmad sedang tidur". Dalam melambangkan proposisi-proposisi elementer, dipakai huruf-huruf keell a,b,c,..., x, y, z. untuk menyatakan individu. Oleh karena itu symbol-simbol ini disebut "konstantakonstanta individu". Untuk menyatakan suatu sifat dipakai huruf besar, seperti A, B, C,..., X, Y, Z. Sebagai contoh, untuk "Socrates adalah fana" ditul is (s). Jika diperhatikan lambang proposisi-proposisi elementer, jelas tampak oleh kita bahwa semua mempunyai pola yang sama. Misalnya, "Socrates adalah fana", "Descartes pandai" "Semarang sejuk", "Jakarta ramai", 5 suatu bilangan prima", clan lain sebagainya dapat dilambangkan sebagai S(a), S(b), S(c), Lambang S(x) dipakai untuk menyatakan proposisiproposisi yang mempunyai suatu pola yang sama. Huruf kecil "x" disebut peubah PDM-Sugiarto-Isti Hidayah Page 90

91 individu, tidak lain adalah suatu "pemegang tempat" belaka yang lazim juga disebut "huruf boneka". la menyatakan tempat di mana suatu konstanta individu dapat disthstitusikan. S(a), S(b), S(c), dan lain-lain adalah suatu proposisi, sehingga mempunyai suatu nilai kebenarpn. etapi S(x), S(y) S(:...), dan lain-lain bukanlah suatu proposisi, sehingga tidak dapat disebut "benar" atau "salah". S(x) kita sebut suatu bentuk proposisi, yang menjadi suatu proposisi setelah disubstitusikan suatu konstanta individu bagi x. Selanjutnya akan dipelajari mengenai kuantor dan fungsi proposisi serta cara menggunakaanya. Perhatikanlah ke empat proposisi berikut ini. Dalam bentuk LIMUM, bagi suatu predikat didapat. 1. x, (x) 2. x, (x) 3. x, 4. x, Relasi ke empat proposisi tersebut dapat dilihat pada skema di bawah (1) x, φ(x) Contratries (3) x, φ (2) x, φ(x) Sub-contraries (4) x, φ (1) dan (3) disebut contraries, (2) dan (4) sub-contraries, (1) dan (4) contradictories, dan demikian juga dengan (2) dan (3). Negasi dari (1) adalah (4), dan negasi (2) adalah (3). Itulah sebabnya keduanya dikatakan saling bertentangan. Sedangkan (1) dan (3) serta (2) dan (4) disebut sating berlawanan. (di dalam bahasa Indonesia kedua istilah ini diartikan sama, namun secara logis berbeda secara berarti). Dari uraian di atas dapat di simpulkan bahwa: a. ek x, b. ek x, Demikian pula: c. ek x, d. ek x, Aturan Ingkaran: Untuk mengingkari suatu proposisi yang mengandung kuantor, pertukarkanlah kedua jenis kuantor tersebut sambil mengingkari bentuk proposisi yang bersangkutan. PDM-Sugiarto-Isti Hidayah Page 91

92 2. Melambangkan Proposisi "Diberikan suatu x, jika x manusia, maka x fana" dilambangkan sebagai: ; dan "diberikan suatu x, jika x manusia, maka x tidak fana" dilambangkan sebagai: "Ada suatu individu yang manusia dan fana" dilambangkan sebagai: dan "ada suatu individu yang manusia dan fana" dilambangkan sebagai: ( ) Latihan 9A erjemahkan masing-masing proposisi di bawah ini ke dalam notasi logika dengan menggunakan singkatan yang diberikan. Setiap perlambangan dimulai dengan suatu kuantor, tidak dengan tanda negasi. 1. Ular adalah reptil 2. idak semua reptil berbisa 3. Semua direktur mempunyai sekretaris 4. Hanya direktur yang mempunyai sekretaris 5. Para karyawan hanya boleh memakai elevator dinas 6. Ada madasiswa yang cerdik dan kuat bekerja 7. Ada obat yang berbahaya, hanya jika dipakai dalam dosis berlebihan 8. Semua buah-buahan dan sayuran adalah sehat clan bergizi 9. Seorang profesor adalah pengajar yang balk, jika dan hanya jika ia mempunyai banyak pengetahuan dan juga mengasyikkan. 10. Setiap kuda adalah jinak, jika clan hanya jika ia tcrlati h bai k. PDM-Sugiarto-Isti Hidayah Page 92

93 3 Bukti Keabsahan dan Aturan Kuantifikasi Perm u la a n Untuk menyusun suatu bukti keabsahan bagi argumen-argumen yang mengandung kuantorkuantor, maka aturan-aturan penyimpulan hares dilengkapi dengan aturan lain. Ada 4 aturan tambahan yaitu: Instansiasi Umum (IU), Generalisasi Umum (GU), Generalisasi Khusus (GK), dan Instansiasi Khusu (IK). a. Instansiasi Umum (IU) Suatu kuantifikasi umum dari suatu fungsi proposisi benar jika dan hanya jika setiap hal substitusinya benar. Oleh karena itu setiap hal substitusi suatu fungsi proposisi dapat diturunkan secara sal) dari kuantifikasi umumnya. Secara lambang hal ini dapat dinyatakan sebagai berikut. dimana adalah sebarang lambang individu. Sebagai contoh kita ambil argument: Setiap manusia fana; Socrates seorarg manusia. Oleh Karena itu, Socrates fana. Setelah dilambangkan, berbentuk b. Generalisasi Umum (GU) Di dalam Ilmu Ukur, jika kita akan membuktikan bahwa jumlah ketiga sudut suatu segitiga adalah 180 o, maka kita ambil sebarang segitiga, dan bukanlah suatu segitiga yang khusus (misalnya yang samakaki atau siku-siku). Demikian pula jika kita hendak membuktikan bahwa setiap objek x mempunyai sifat, maka kita ambil sebarang objek dan tunjukkan bahwa objek tersebut mempunyai sifat. Hal ini membawa kita pada aturan berikut. Kuantifikasi umum suatu fungsi proposisi dapat secara sah diturunkan dari suatu hal substitusinya terhadap suatu simbol 'y'. Ini kita lambangkan sebagai berikut. dimana 'y' menyatakan sebarang individu yang (lipilih. Sebagai contoh kita ambil argument: PDM-Sugiarto-Isti Hidayah Page 93

94 iada insan yang sempurna; setiap manusia adalah insan. Oleh karena itu, tidak ada manusia yang sempurna. Argumen ini dapat dilambangkan sebagai berikut. 1. ( ) 2. ( ) ( ) c. Generalisasi Khusus (GK) Oleh karena kuantifikasi khusus suatu fungsi proposisi adalah benar jika dan hanya jika fungsi tersebut setidak-tidaknya mempunyai suatu hal substitusi yang benar, maka kita peroleh aturan, sebagai berikut. Kuantifikasi khusus suatu fungsi fungsi proposisi dapat secara sah diturunkan dari sebarang hal substitusinya. Aturan ini memungkinkan bagi kita untuk menurunkan proposisi-proposisi umum yang dikuantifikasi secara khusus. Secara simbol formulanya adalah sebagai berikut. dimana adalah sebarang lambang individu. d. Instansiasi Khusu (IK) Kita perlukan suatu aturan kuantifikasi lagi. Suatu k u a n t i f i k a s i k h u s u s s u a t u p r o p o s i s i menyatakan bahwa sekurang-kw angnya ada suatu individu dimana substitusi dari namanya bagi peubah 'x' ke dalam fungsi proposisi tersebut akan menghasilkan suatu hal substitusi dari padanya. Sudah barang tentu kita samasekali tidak mengetahui apa-apa mengenai individu tersebut. etapi kita dapat mengambil sebarang konstanta individu yang berlainan dari 'y', misalnya, yang belum hadir sebelumnya di dalam konteks dan menggunakannya untuk menyatakan individu tersehut, atau individu yang eksistensinya ditegaskan oleh kuantifikasi khusus semula. Setelah kita ketahui bahwa ada individu yang demikian, dan telah - disepakati pula untuk menyatakannya dengan, maka kita dapat menurunkan dari kuantifikasi khusus suatu fungsi proposisi hal substitusi fungsi proposisi tersebut terhadap lambang individu. Jadi PDM-Sugiarto-Isti Hidayah Page 94

95 dari suatu kuantifikasi khusus suatu fungsi proposisi dapat diturunkan secara sah kebenaran suatu hal substitusinya terhadap suatu konstanta individu yang tidak hadir sebelumnya di dalam konteks. Aturan ini dapat kita lambangkan sebagai berikut. dimana suatu konstanta individu, lain dari 'y', yang tidak hadir sebelumnya di dalam konteks. Jika kita pakai kedua aturan kuantifikasi terakhir dalam menyusun suatu bukti formal keabsahan suatu argumen: Semua anjing pemakan daging; ada hewan yang anjing: Oleh karena itu ada hewan yang pemakan daging. (A(x), D(x), H(x)) Bukti: ( ) Jika kita adakan pembatasan pada 1K bahwa hal substitusi yang diturunkan olehnya hanya dapat mengandung suatu konstanta individu yang tidak Nadir sebelumnya di dalam konteks argumen, maka mungkin saja kita akan memberikan suatu pembuktian sebagai berikut 3 Simp 4 Simp 5, 6 Konj 9 KG PDM-Sugiarto-Isti Hidayah Page 95

96 Kesalahan yang diperbuat dalam hal ini terdapat pada baris yang ke-4. Premis ke-2 menjamin bahwl. setidak-tidaknya ada suatu individu yang sekaligus anjing dan hewan. Akan tetapi kita tidak dibenarkan u n t u k m e m i l i h b a g i i n d i v i d u i n i, o l e h karma 'w' telah dipakai (dalam baris ke-3) untuk menyatakan individu yang disebut dalam premis pertama, dimana disebut bahwa ada individu yang sekaligus kucing dan hewan. Untuk mencegali hal-hal seperti ini kita hams tunduk pada pembatasan yang telah diberikan dalam penggunaan IK. Haruslah _Has bahwa, jika kita hares memakai IU clan IK di dalam suatu bukti dalam mensubstitusikan terhadap suatu konstanta individu yang sama, maka haruslah kita berikan prioritas kepada IK. Sebarang asumsi dengan skop terbatas dapat dimasukkan ke.dalam suatu Bukti Bersyarat keabsahan suatu argumen, sebagai contoh perhatikan argumen berikut Semua mahasiswa tahun pertama dan tahun kedua diundang dan akan diterima balk. Oleh karena itu, sentua.tahun pertama diundang. Bukti: 1. ( ) ( ) 2. ( ) 3. ( ) ( ) PDM-Sugiarto-Isti Hidayah Page 96

97 Latihan 9B Susunlah suatu bukti formal keabsahan argumen-argumen berikut, apabila diperlukan gunakan Aturan Bukti Bersyarat. 1. V x, (x) --> B(x) B(t) /:. A(t) 2. Vx, (C(x) > D(x)) Vx, (E(x) --> D(x)) / Vx, (E(x) > C(x)) 3. Vx,((x ) > G(x)) x,(h(x) G(x)) / lx, (H(x) (x)) 4. Vx,(K(x)--> L(4) Vx,(K(x) L(x))--> M(x) / Vx,(14x)----> M(x)) 5. Vx, Mx) > 0(x)) Vx,(P(x)--> 0(x)) / Vx,(GV(x)v P(x)) > 0(x)) 6. Semua atlit berotot. Adi tidak berotot. Oleh karena itu Adi bukan atlit. (A(x),0(x),a) 7. idak ada kontraktor yang bergantung. Ada kontraktor yang insinyur. Oleh karena itu ada insinyur yang tidak bergantung. (K(x), B(x),/(x)) 8. Semua pemain bola riang. Ada pemburu yang tidak riang. Oleh karena itu, ada pemburu yang bukan pemain bola. (B(x), R(x), P(x)) 9. Semua pendusta tidak jujur. Ada pembohong yang wartawan. Oleh karena itu ada wartawan yang tidak jujur. (P(x),J(x), W(x)) 10. idak ada seragam yang tidak dapat dicuci. idak ada sutera yang boleh dicuci. Oleh karena itu tidak ada seragam yang sutera. (R(x),C(x),S(x)) PDM-Sugiarto-Isti Hidayah Page 97

98 BILANGAN KARDINAL 1. Himpunan Ekivalen Untuk dua himpunan berhingga sebarang, kita dapat menentukan apakah dua himpunan tersebut mempunyai elemen yang sama banyak atau tidak, dengan cara menghitung banyaknya elemen dalam setiap himpunan. Untuk himpunan tak hingga perlu didefinisikan dua himpunan dikatakan mempunyai elemen yang sama banyaknya supaya kedua himpunan disebut ekivalen, yakni seperti yang akan dibicarakan pada bab ini. Definisi 7.1 Misalkan A dan B dua himpunan, dikatakan korespondensi satu-satu antara A dan B atau dikatakan A ekivalen dengan B ditulis A B, jika terdapat sebuah fungsi f: A B dengan f fungsi satu-satu kepada. Contoh 7.1 Misalkan A = {1,2,3,4} dan B = {2,4,6,8} dan misalkan f: A B adalah fungsi yang didefinisikan oleh f(x)= 2x maka f adalah fungsi satu-satu kepada. Misalkan P = {0, 1} dan Q={3, 5} dan misalkan f: P Q adalah fungsi yang didefinisikan oleh f (x) = 2x +3 maka f adalah fungsi satu-satu kepada. PDM-Sugiarto-Isti Hidayah Page 98

99 2. Himpunan ak Hingga Biasa dan ak Hingga Dedekind Definisi 7.2 Misalkan S suatu, himpunan, maka S disebut himpunan berhingga, jika dan hanya jika ada suatu bilangan asli k, sehingga S ek Datum hal ini S dikatakan mempunyai k buah unsur. Dalam hal yang lain dikatakan bahwa S suatu himpunan tak hingga. Catatan Nk = {1, 2, 3,...,k} Menurut definisi 7.2, himpunan N himpunan tak hingga. Definisi 7.3 Misalkan S suatu himpunan, maka S disebut himpunan tak hingga jika S mempunyai suatu himpunan bagian murni S* sedemikian hingga S.ek S*. Dalam hal yang lain S disebut himpunan berhingga. Catatan: ak hingga menurut definisi 7.2 disebut "tak hingga biasa". ak hingga menurut definisi 7.3 disebut "tak hingga Dedekind". Menurut definisi 7.3, himpunan semua bilangan asli N adalah himpunan tak hingga, sebab: N-{1} N (subset murni dari N), dan N ek N - {1}. Hal ini dapat ditunjukkan sebagai berikut: N : N {1} : Himpunan erbilang dan Himpunan ak erbilang a. Himpunan erbilang PDM-Sugiarto-Isti Hidayah Page 99

100 Definisi 7.4 Suatu himpunan S disebut terbilang jika dan hanya jika S ekivalen dengan N himpunan semua bilangan asli. Contoh 7.2 1) Selidikilah apakah himpunan semua bilangan bulat adalah himpunan terbilang? Penyelesaian: N: Z : ernyata Z ekivalen dengan N, jadi Z himpunan terbilang. 2) Misalkan K adalah himpunan semua bilangan kelipatan k, Selidikilah apakah K himpunan terbilang? Penyelesaian: N : K : 0 -k k -2k 2k -3k 3k... ernyata K ekivalen dengan N, jadi K himpunan terbilang. Contoh 7.3 Misalkan Q himpunan semua bilangan rasional, tunjukanlah bahwa Q himpunan terbilang! Penyelesaian: Disefinisikan dahulu bahwa bilangan rasional adalah suatu bilangan yang berbentuk p/q dengan p dan q bilangan bulat, q>0, serta p dan q koprima (tidak mempunyai faktor persekutuan). Untuk semua bilangan bulat a/1 ditulis dengan a, dan 0 ditulis dengan 0/1. Bilangan-bilangan rasional tersebut dapat dikelompokkan menurut indeks yang didefinisikan sebagai berikut: Indeks dari p/q = p + q, dengan demikian didapat: Indeks 1 memuat: 0, sebab p = 0, q = 1, p + q = 1. Indeks 2 memuat: -1, 1, Indeks 3 memuat: -1/2, 1/2, -2, 2, PDM-Sugiarto-Isti Hidayah Page 100

101 Indeks 4 memuat: -1/3, 1/3, -3, 3, Indeks 5 memuat: -1/4, 1/4, -2/3, 2/3, - 3/2, 3/2, -4,.4. dan seterusnya. ampak bahwa setiap indeks memuat bilangan-bilangan yang terhingga banyaknya. Sebaliknya setiap bilangan rasional mempunyai indeks tertentu. Urutan penulisan bilangan-bilangan di dalam kelompok adalah sedemikian hingga bilanganbilangan yang nilai mutlaknya lebih kecil mendahului bilangan yang nilai mutlaknya lebih besar. Untuk sepasang bilangan rasional yang nilai mutlaknya sama, maka bilangan negatif mendahului bilangan positif. Dengan cara demikian diperoleh barisan panjang sebagai berikut. 0, -1, 1, -1/2, 1/2, -2, 2, -1/3, 1/3, -3, 3, -1/4, 1/4, -2/3, 2/3, -3/2, 3/2, -4, 4,... Unsur-unsur barisan tersebut dapat dinomori sehingga bariszin tersebut ekivalen dengan N. Jadi himpunan semua bilangan rasional Q adalah himpunan terbilang. Contoh 7.4 Misalkan Q adalah himpunan semua bilangan rasional, buktikanlah bahwa Q adalah himpunan terbilang. Bukti: Disefinisikan dahulu bahwa bilangan rasional adalah suatu bilangan yang. berbentuk p/q dengan p dan q bilangan bulat, q > 0, serta p dan q koprima (tidak mempunyai faktor persekutuan). Untuk semua bilangan bulat a/1 ditulis dengan a, dan 0 ditulis dengan 0/1. Bilangan-bilangan rasional tersebut dapat dikelompokkan menurut indeks yang didefinisikan sebagai berikut: Indeks Persamaan Akar Ket 2 x = 0 0 ya 3 x+1=0, x-1=0-1,1 ya 2x = 0 0 tdk X 2 = 0 0 tdk 4 3x = 0 0 tdk 2x +1 = 0, 2x - 1 = 0-1/2, 1/2 ya x 2 - i = 0-1,1 tdk x 3 = 0 0 x+2=0, x-2 = 0-2,2 ya 5 4x = 0 0 tdk 3x+I = 0, 3x-1 = 0-1/3, 1/3 ya x 2-2 = 0 -, ya 2x+2 = 0, 2x-2 = 0-2, 2 tdk dan seterusnya. PDM-Sugiarto-Isti Hidayah Page 101

102 Dapat dikatakan bahwa setiap persamaan aljabar mempunyai indeks tertentu clan sebaliknya setiap indeks menunjuk beberapa persamaan yang banyaknya berhingga. Akar-akar persamaan aljabar tersebut diurutkan sedemikian hingga didapat barisan Sebagai berikut: 0, -1, 1, -1/2, 1/2, -1/3, 1/3. Barisan tersebut dapat dikorespondensikan satu-satu dengan himpunan N. Ini berarti bahwa himpunan semua bilangan aljabar real terbilang. Catatan: Himpunan semua bilangan aljabar kompleks (real dan imajiner) juga terbilang. eorema 7.1 Jika A dan B himpunan berhingga maka A B suatu himpunan berhingga. Bukti: Misalkan A = {a 1, a 2, a 3,, a n }, B= {b 1, b 2, b 3,..., b m } A B = {a 1, a 2, a 3,, a n, b 2, b 3,, b m } Jika b, diganti a n+1, maka didapat: A B {a 1, a 2, a 3,, a n, a n+1, a n+2, a n+3,, a n+m }. ernyata A B ekivalen dengan N n+m jadi A B himpunan berhingga. eorema 7.2 Jika A himpunan terbilang dan B himpunan berhingga maka A B himpunan terbilang. Bukti: Misalkan A = {a 1, a 2, a 3,..., a n, }, B = { b 1, b 2, b 3,..., b k } Jika a 1 pada A diganti dengan b k+1, maka didapat: A B = { b 1, b 2, b 3,, b k, b k+1, b k+2,, b k+n, } Maka A B ekivalen dengan N, jadi A B himpunan terbilang. PDM-Sugiarto-Isti Hidayah Page 102

103 eorema 7.3 ika A himpunan terbilang dan B himpunan terbilang maka B himpunan terbilang. Bukti: Misalkan A = {a 1, a 2, a 3,...}, B = {b 1, b 2, b 3,...} Maka A B = { a 1, b 1, a 2, b 2, a 3, b 3,...}. Himpunan A B ekivalen dengan N. Jadi A B himpunan terbilang. eorema 7.4 Setiap himpunan tak hingga mempunyai suatu subset yang terbilang. Bukti: Misalkan S himpunan tak hingga, jadi tak kosong. Maka ada a 1 S demikian juga S - {a 1 } tak kosong, sebab sekiranya kosong maka S = {a 1 } dan ekivalen dengan N 1 yang berarti S himpunan berhingga, hal ini tidak benar. Jadi haruslah ada a 2 S - {a 1 } juga S - {a 1 } tidak kosong. Proses ini dapat diteruskan tanpa akhir. Jika unsur-unsur a 1, a 2, a 3,, a n telah terpilih, maka masih ada suatu a n+1 S - {a 1, a 2, a 3,, a n } sehingga S - {a 1, a 2, a 3,, a n } tak kosong dan seterusnya. Misalkan S*= {a 1, a 2, a 3,, a n, } jelaslah bahwa S* suatu subset dari S yang terbilang (S - S* mungkin saja kosong). Dengan ini teorema 7.4 terbukti. eorema 7.5 Jika A 1, A 2,, A n masing-masing himpunan terbilang maka A 1 A 2 A n himpunan terbilang. Bukti: Kita nyatakan unsur-unsur A i sebagai a il, a i2, a i3, untuk i = 1, 2, 3,..., n. Didefinisikan indeks p untuk unsur sebagai suatu bilangan bulat positif p = i + k. Dengan demikian p 2, sehingga didapat: Indeks 2 memuat a 11. Indeks 2 memuat a 12, a 21. PDM-Sugiarto-Isti Hidayah Page 103

104 Indeks 2 memuat a 13, a 22, a 31. Indeks 2 memuat a 14, a 23, a 32, a 41. dan seterusnya. Setiap dari gabungan mempunyai indeks tertentu dan sebaliknya pada setiap indeks p 2 terdapat sejumlah unsur yang berhingga banyaknya. Jadi setiap indeks menentukan suatu kelompok unsur-unsur yang sama indeksnya, dan unsur-unsur di dalam masing-masing kelompok juga diurutkan. Pada indeks p=i+k terdapat (p-1) atau (i+k-1) buah unsur yang kita urutkan sebagai berikut: a 1,i+k-1, a 2,i+k-2,, a i+k-1,1, Perhatikanlah indeks dari a, indeks pertama naik dari 1 sampai dengan sedangkan indeks ke dua turun dari (i+k-1) sampai 1, namun jumlah kedua indeks tetap p=i+k. Jika semua unsur gabungan dari n buah himpunan A tersebut dibariskan didapat barisan sebagai berikut. a 11, a 12, a 21, a 13, a 22, a 31, a 14, a 23, a 32, a 41, Jelas bahwa semua unsur dari A 1 A 2... A n tersebut di atas ekivalen dengan semua unsur dari N. Jadi A 1 A 2 A n adalah himpunan terbilang. eorema 7.6 Misalkan A suatu koleksi terbilang dari himpunan-himpunan terbilang, maka gabungan semua unsur koleksi tersebut adalah himpunan terbilang. eorema 7.7 Jika S suatu himpunan tak hingga dan S' suatu himpunan terbilang, maka ada korespondensi satu-satu antara S dan S S'. Bukti: Diketahui S adalah himpunan tak hingga, dan S' himpunan terbilang. Menurut teorema 7.8 S mengandung subset terbilang S. Misalkan M = S-S* maka S* dan M saling asing dan S = M S*. S S' = (M S*) S' = M (S* S') PDM-Sugiarto-Isti Hidayah Page 104

105 S' dan S* masing-masing himpunan terbilang, maka menurut teorema 7.6 S* S' himpunan terbilang. Bandingkan kedua himpunan S=M S * d an S S '= M (S S ' ). Ada korespondensi satu-satu 1 : M M dan 2: S* (S* u S'). Gabungan kedua korespondensi ini memberikan korespondensi satu-satu antara M S* dan M (S* S'). Ini berarti ada korespondensi satu-satu antara S dan S S'. Dengan ini teorema terbukti. b. Himpunan ak erbilang Definisi 7.5 Jika S suatu himpunan tak hingga dan tidak ada korespondensi. satu-satu antara S dan N, maka dikatakan S suatu himpunan tak terbilang. Contoh 7.5 Misalkan R himpunan semua hilangan real, maka R adalah himpunan tak terbilang, buktikanlah: Bukti: Misalkan R adalah himpunan yang dapat ditulis dengan pecahan desimal tanpa akhir, sedemikian hingga tidak terdapat digit c 0 yang diikuti oleh berhingga banyaknya digit nol. Jadi 0,5 atau diganti 0, , dan 7 diganti 6, Misalkan r menyatakan bilangan real, maka: r =k 1 k 2 k 3 k n, a 1 a 2 a 3 a n bagian bulat bagian desimal Umpamakan R adalah himpunan terbilang, yang berarti ekivalen N. Jadi R dapat dibariskan sebagai berikut: r 1 = B 1, a 11 a 12 a 13 a 14 a 15 r 2 = B 2, a 21 a 22 a 23 a 24 a 25 r 3 = B 3, a 31 a 32 a 33 a 34 a 35 r 4 =B 4, a 41 a 42 a 13 a 44 a 45 r 5 = B 5, a 51 a 52 a a 55 Perhatikanlah digit-digit yang terletak pada diagonal utama matriks di atas. Dibentuk suatu bilangan real r* sebagai berikut. r* = B*, b 1 b 2 b 3 b 4 b 5 dengan bi = 1 jika a ii 1 bi = 2 jika a ii = 1 Ini berarti bahwa b i = a i; i N. PDM-Sugiarto-Isti Hidayah Page 105

106 Juga r* r i i N. Kita lihat bahwa: a. r* suatu bilangan real yang berarti r* terdapat pada matriks tersebut di atas, atau r* = r i untuk i tertentu. b. Dilain pihak r* berbeda dengan setiap r, dari matriks. Ini berarti r* tidak terdapat. dalam matriks. Hal di atas adalah suatu kontradiksi yang tidak dapat diterima. Hal ini muncul karena kita misalkan R terbilang. Kesimpulan R haruslah himpunan tak terbilang. (cara ini disebut metode Diagonal Cantor). Contoh 7.6 Misalkan I adalah himpunan semua bilangan irasional, maka I adalah himpunan tak terbilang, buktikanlah! Bukti: Misalkan R adalah himpunan semua bilangan real, Q himpunan semua bilangan rasional, dan I himpunan semua bilangan rrasional, maka R = Q I. Jelas bahwa Q dan I dua himpunan yang saling lepas. Misalkan I himpunan terbilang. Menurut contoh 7.3, Q himpunan terbilang, oleh karena itu menurut teorema 7.6, Q I himpunan terbilang. Ini berarti R himpunan terbilang, hal ini suatu kontradiksi dengan contoh 7.5. Jadi haruslah I himpunan tak terbilang. 4. Bilangan Kardinal Definisi 7.6 Jika A dan B dua himpunan sedemikian hingga A ekivalen B maka dikatakan bahwa A dan B mempunyai bilangan kardinal yang sama atau mempunyai kardinalitas yang sama. Definisi 7.7 Bilangan kardinal dari setiap himpunan {}, {1}, {1,2}, {1,2,3}, {1,2,3,4},... berturutturut dinyatakan oleh 0, 1, 2, 3, 4,... dan dinamakan bilangan kardinal berhingga (finite Cardinal). PDM-Sugiarto-Isti Hidayah Page 106

107 Bilangan kardinal dari himpunan-himpunan hingga sering disebut juga banyaknya unsur. a. Bilangan Kardinal ransfinit Definisi 7.8 Bilangan kardinal dari himpunan terbilang dinyatakan dengan N 0 yang dibaca alef nol, dan dinamakan bilangan kardinal tak hingga atau bilangan kardinal transfinit. Dari definisi 7.6 dan definisi 7.7 didapat: Bilangan kardinal dari N atau ditulis kard. (N) dan semua himpunan yang ekivalen dengan N sama dengan 0, dengan demikian kard. (Q) = kard. (A) kard. (N) = 0, dengan Q dan A berturut-turut himpunan semua bilangan rasional dan semua bilangan aljabar. elah kita ketahui bahwa himpunan semua bilangan real R tak terbilang. Bilangan kardinal dari R. disebut c. Jadi kard. (R) = c, juga disebut bilangan kardinal transfinit. Bilangan real yang bukan bilangan aljabar disebut bilangan transeden. Contoh bilangar transeden antara lain: π, e, log 2, sin Jika adalah himpunan semua bilangan transeden, maka R = A. Seperti contoh 7.6 dapat dibuktikan himpunan tak terbilang. Dengan demikian dapat disimpilkan bahwa kard. (1) = kard. () = kard. (R) = c. b. eorema Schroder Bernstein Definisi 7.9 Jika A dan B dua himpunan sedemikian hingga ada korespondensi satu-satu antara A dan suatu subset B 1 dari B dan sebaliknya terdapat korespondensi satu-satu antara B dan subset A I dari A maka kard. (A) = kard. (B). PDM-Sugiarto-Isti Hidayah Page 107

108 Definisi 7.10 Misalkan A dan B dua himpunan, a. Jika A ekivalen dengan suatu subset dari B maka dikatakan kard. (A) kard. (B). b. Jika A ekivalen dengan suatu subset dari B, tetapi tidak berkiku sebaliknya maka dikatakan kard. (A) = kard. (B). Contoh 7.7 Di antara pernyataan berikut manakah yang benar: a. kard. (R) < kard. (N) b. kard. (R) = kard. (N) c. kard. (R) > kard. (N) Penyelesaian: N himpunan terbilang dan R himpunan tak terbilang, N ekivalen Q padahal Q subset dari R, tetapi tidak ada subset N 1 dari N sehingga R ekivalen N 1. jadi menurut definisi 7.18(b) maka dapat disimpulkan kard.(n) < kard.(r) atau 0 < c. eorema 7.8 Jika S himpunan tak terbilang maka kard. (S) < kard. (P(S)). Bukti: Andaikan S himpunan tak kosong, = {0, 1}. S' suatu subset dari S. Didefinisikan suatu fungsi f: S, sebagai berikut: Jika x S' maka f(x) = 1, dan Jika x S' maka f(x) = 0. Ini dapat dilakukan dengan subset lain dari S. Dari definisi ini jelaslah bahwa setiap subset S' dari S menentukan fungsi f dari S ke dalam. ungsi ini disebut fungsi karakteristik. Menurut definisi di atas S sendiri dikaitkan dengan I sebab S S, sedangkan himpunan {} dikaitkan dengan 0 sebab {} S. Sebaliknya setiap fungsi karakteristik menentukan subset S' dari S yang unsur-unsurnya dikaitkan dengan 1. Oleh karena itu ada korespondensi satu-satu antara himpunan kuasa (S) dan E himpunan semua fungsi karakteristik dari S ke dalam. Jadi dapat dikatakan (S) ekivalen. PDM-Sugiarto-Isti Hidayah Page 108

109 Selanjutnya akan dibuktikan kard. (S) < kard. ( (S)). Langkah 1 Akan dibuktikan kard. (S) kard. ( (S)). Umpamakan bahwa kard. (S) = kard. ( (S)), maka ada korespondensi satu-satu x S x, jadi ada ekivalensi antara S dan ( (S)). Disefinisikan subset S* dari S sebagai berikut: a S* jhj a S a, a S, artinya jika a=s a maka a S*. Karena S* juga suatu subset dari S maka ada korespondensi satu-satu: x S x. Jadi S* = S r untuk suatu r S, koresp. (1,1): r S r, maka berlaku r S* jhj r S, atau r S r jhj r S, (karena S* = S r ). Ini suatu kontradiksi. Jadi haruslah kard.(s) < kard.( (S)) Langkah 2 Dibuktikan kard.(s) < kard.( (S)). Ada koresp. (1,1): x* {x}, yaitu koresp. (1,1) antara S dan koleksi subset-subset dari S yang hanya mempunyai satu unsur. Ini berarti ada koresp. (1,1) antara S dan subset murni (S). Jadi menurut teorema 7.8 kard.(s) < kard.( (S)). c. Ketidaksamaan Bilangan Kardinal ransfinit Pada contoh 7.7 telah dibahas bahwa 0 < c. Jika kard.(-(r)) = f, dengan R adalah himpunan semua bilangan real, maka menurut teorema 7.18 kard.(r) < kard.( (R)). Ini berarti bahwa C < f. Proses ini dapat diteruskan tanpa berhenti. Setiap pada suatu bilangan kardinal, dapat diperoleh suatu bilangan kardinal yang lebih besar. Sebagaimana juga halnya dengan himpunan N, sebab setiap n ada suatu (n + 1) yang lebih besar. Maka diperoleh suatu ketidaksamaan sebagai berikut: c < 0 < c < f < Pada bilangan kardinal berhingga berlaku bahwa n N maka < 2 n. eorema 7.9 Bagi setiap bilangan kardinal berlaku bahwa < : Bukti: Misalkan fungsi karakteristik f: S = {0, 1}. Himpunan semua fungsi karakteristik dilambangkan dengan {0,1} S disingkat dengan 2 S. S' suatu subset dari S. Kard. ( ) = kard. (2 S ), ditulis dengan 2 kard.s. Jika kard. (S) = sedangkan menurut teorema 7.15 kard. (S) < kard. ( (S)), kard. ( (s)) = kard. ( ). PDM-Sugiarto-Isti Hidayah Page 109

110 Jika kard. (S) < kard. ( ) atau kard. (S) < 2 kard.s. Ini berarti bahwa <. d. Relasi Antara c dan 2, f dan 2 2 Pada pembahasan ini akan ditunjukkan bahwa e=. Misalkan E = {x 0<x 1, x R}, maka kard. (E) = kard. (R). Jika setiap bilangan real dalam E dinyatakan dalam pecahan biner, maka dapat ditunjukkan bahwa setiap bilangan 0, a 1, a 2, a 3,,a n yang mengandung bilangan asli n, jhj a n = 1. Sebagai contoh 0, E {1,3,4,8,...} N sebaliknya pula setiap subset dari N menunjuk kepada bilangan real 0, a 1, a 2, a 3,..., di mana a n = 1 jhj n terkandung dalam subset tersebut. Jadi ada korespondensi 1-1 antara E dan himpunan semua pecahan-pecahan biner yang tanpa akhir. Catatan: Pecahan 0, a 1, a 2, a 3,..., a n... mengandung digit-digit yang tak berakhir dan digit-digit yang berakhir. Suatu bilangan rasional 0, 1 dan E dapat dinyatakan sebagai 0, yang menyatakan bilangan ½. Oleh karena himpunan bilangan rasional dalam E terbilang, sedangkan himpunan bilangan real dari E adalah tak terbilang maka pecahan-pecahan biner yang berakhir ini tidak akan mempengaruhi kard(e). Jadi ada korespondensi 1-1 antara E dan (N). Jadi dapat ditulis: c =, dan juga f = 2 kard(r) = 2 c =. Jadi didapat relasi sebagai berikut. 0 < c < f < atau 0 < < <. e. Proplema Continum Masalah yang timbul, apakah ada suatu bilangan kardinal transfinit antara 0 dan? Pertanyaan ini disebut proplema Continum. Sampai saat ini pertanyaan tersebut belum dapat dijawab. etapi keras sekali dugaan dari para ahli bahwa pertanyaan tersebut harus dijawab secara negatif, yaitu: idak ada bilangan transfinit antara 0 dan. Hipotesa ini disebut hipotesa Continum. Ada dua alasan untuk berpendirian demikian: 1. Saat ini belum ada yang memecahkan problema Continum. (alasan lemah) 2. Jika hipotesa Continum ditambah sebagai aksioma tambahan ke dalam sistem aksioma yang telah ada (sistematika dari Zarmeloraenkel), maka hal ini tidak akan menyebabkan kontradiksi. PDM-Sugiarto-Isti Hidayah Page 110

111 Dikatakan bahwa hipotesa Continum sejalan (konsisten) dalam sistem aksioma teori Himpunan. Pertanyaan lain adalah apakah ada bilangan kardinal transfinit yang terbesar? idak ada artinya untuk menyebut himpunan dari semua himpunan, atau bilangan kardinal yang terbesar, hal ini disebabkan kedua konsep tersebut menimbulkan kontradiksi. Andaikan himpunan semua himpunan dan kard.( ). Setiap himpunan dalam adalah unsur dari Sehingga ( ). Ini berarti bahwa kard.( ( )) kard.( ) atau Sedangkan menurut teorema 7.9 <. Jadi < < atau <. Hal ini suatu kontradiksi. Demikian juga tidak ada artinya kita menyebut bilangan kardinal terbesar sebab: Andaikan bilangan terbesar, maka menurut teorema 7.9 <, sehingga bukanlahl bilangan kardinal yang terbesar. Hal ini tidak ubahnya juga pada himpunan N semua bilangan asli, di mana tidak ada bilangan asli yang terbesar. Latihan Buktikan bahwa selang-selang berikut ekivalen: a. (0,1] ekivalen [0,1] b. [0,1] ekivalen [0,1] 2. Jika adalah himpunan semua bilangan real yang bukan bilangan aljabar (bilangan transeden) maka buktikan bahwa: a. I dengan I himpunan semua bilangan irasional, dan b. himpunan tak terbilang. 3. Misalkan A = [0,1] buktikan bahwa A hi mpunan tak terbilang. 4. Misalkan N himpunan semua bilangan asli, buktikan bahwa N x N himpunan terbilang. 5. Misalkan G = [0,1] dan H = [3,7] buktikanlah bahwa G ekivalen H. 6. Misalkan A, B, dan C himpunan-himpunan yang saling lepas dan kard.(a) = a, kard.(b) = b, dan kard.(c) = c, buktikanlah. a. (a + b) + c = a + (b + c) b. a + b = b + c c. a b = b a d. (ab)c = a(b c) e. a(b+c) = ab ac 7. Yang manakah di antara bilangan-bilangan kardinal berikut yang sama? PDM-Sugiarto-Isti Hidayah Page 111

112 , +n, c,, c+, 2, c+ +, c. 8. Jika S suatu himpunan tak hingga dan suatu himpunan terbilang, buktikanlah kard.(s) = kard.(s)? 9. Apakah kardinalitas semua himpunan terbilang sama? Bagaimanakah halnya dengan kardinalitas semua himpunan yang tak terbilang? PDM-Sugiarto-Isti Hidayah Page 112

113 DAAR PUSAKA Bahtiar Sjarif, Pengantar Dasar Matematika. akultas MIPA IB, Bandung. Patrick Suppes, Introduction to Logic. Mac Milian Publishing Co. Inc. New York, Pantur Silaban, eori Himpunan. Erlangga, Jakarta. PDM-Sugiarto-Isti Hidayah Page 113