Bab 3 Logika Predikat Lanjut

Transkripsi

1 Bab 3 Logika Predikat Lanjut 3.1 Skema Kalimat Valid - Valid Sentence Schemata Telah ada banyak contoh tentang kalimat-kalimat tertentu yang valid dan logika predikat seperti misalnya [not (for allx) p(x)] if and only if [ (for some x)(not p(x))]. Meskipun demikian, tidak boleh secara langsung dari kalimat di atas disimpulkan bahwa suatu kalimat yang berbeda dengan bentuk yang sama, seperti juga valid Akan lebih bermanfaat untuk membuktikan sekaligus bahwa keseluruhan kelas-kelas kalimat adalah valid Sebagai contoh, dalam suatu uraian tunggal bisa dibuktikan bahwa untuk setiap kalimat F, klosur universal dan kalimat adalah valid. Dari kenyataan ini, bisa dengan cepat disimpulkan bahwa dua kalimat di atas, yaitu dan adalah valid Dalam kasus pertama kita mengambil F sebagai p(x), sementara dalam kasus kedua, kita mengambil F sebagai (for some y)q(x,y). Sebagaimana dalam logika proposisional, kita akan menjuluki kalimat semacam mi, yang memuat simbol-simbol skrip F, G, H,... sebagai skema kalimat (sentence schema), dan terhadap instances (contoh-contoh) dan skema kita akan menjuluki dengan kalimat-kalimat khusus (particular sentences). Validitas Skema Kalimat - Validity of Sentence Schemata Untuk membuktikan validitas skema kalimat, bisa digunakan cara dan gaya (style) dalam memberikan alasan-alasan seperti yang kita gunakan untuk kalimat-kalimat khusus. Contoh 3.1 (validitas klosur universal) Seandainya kita ingin memperlihatkan validitas klosur universal dan skema kalimat [not (for all x)f] if and only if [(for some x)(not F)]. Maka yang perlu dilakukan adalah memperlihatkan bahwa F (for all) { [not (for all x) F] if and only if [(for some x) (notf)] } Universitas Gadjah Mada 1

2 adalah valid. Untuk itu cukup (dengan proposisi validitas-klosur) untuk memperlihatkan bahwa kalimat bagian E : [not (for all x)f] if and only If [(for some x)(not F)] adalah true di bawah setiap interpretasi. Untuk tujuan ini, dengan aturan If and-only-if diperlihatkan bahwa not (for all x)f dan (for some x)( not F) mempunyai nilai kebenaran sama di bawah setiap interpretasi, yaitu bahwa kalimat pertama bernilai true precisely when kalimat kedua bernilai true. Perhatikan sebarang interpretasi I untuk E. Selanjutnya diketahui bahwa not (for all x) F bernilai true di bawah I not (for all x)f bernilai true di bawah I precisely when (dengan aturan nol), (for all x)f bernilai false di bawah I precisely when (dengan aturan for-all, ada elemen domain d sedemikian hingga F bernilai false di bawah interpretasi <x d> o I precisey when (dengan aturan nol), ada elemen domain d sedemikian hingga (not F ) bernilai true di bawah interpretasi <x d> o I precisely when (dengan aturan for-some), ([or some x)( not F ) bernilai true di bawah interpretasi I, sebagaimana yang diinginkan. CataIog (Skema Kalimat Valid - Valid Sentence Schemata) Dengan metode-metode serupa, bisa dibuktikan validitas klosur universal dan skema-skema kalimat berikut. Pembalikan kuantifaier Dualitas kuantifaier Distribusi kuantifaier (ekuivalensi) Universitas Gadjah Mada 2

3 Distribusi kuantifaier (implikasi) Contob 3.2 (Pembalikan kuantifaier) Perhatikan implikasi f(for some y )(for all)f then (for all x)(for some y)f. Konversnya adalah skema kalimat jf ([or all x) (for some y) (F then (for some y) (for all x)f. Dalam contoh sebelumnya (contoh ibu-kita-semua, telah dibicarakan contoh khusus dan skema ini, f(for all x)(for some y)q(x,y) then (for some y) (for all x)q(x,y,). Kelihatan bahwa kalimat di depan tidak valid, yaitu kalimat tersebut bernilai false di bawah interpretasi atas domain himpunan semua orang di mana simbol predikat q diambil sebagai relasi ibu. Kalimat Valid (Logika Proposisional Proposional Logic) Suatu manfaat jika kelas kalimat-kalimat valid adalah klosur-klosur universal dan kalimatkalimat logika predikat yang merupakan contoh (instance) dan kalimat-kalimat logika proposisional yang valid. Contoh 3.3 (Kalimat logika proposisional valid) Perhatikan kalimat if P then (P or Q). Suatu instance dan kalimat ini dalam logika predikat diperoleh dengan menukar simbolsimbol proposisional P dan Q dengan sebarang kalimat-kalimat logika predikat. Sehingga, dengan mengambil P dan Q masing-masing dengan p(x) dan (for some y) q(x,y), selanjutnya diperoleh kalimat predikat If p(x) then p(x) or (for some y) q(x,y) Kalimat di atas tidak tertutup (karena mempunyai variable bebas, yaitu x), akan tetapi klosur universal (for all x)[if p(x) then (p(x) or (for some y)q(x,y))] Validitas kalimat-kalimat logika proposisional semacam ini dibuktikan dalam hasil berikut. Proposition (instances dari kalimat-kalimat logika proposisional yang valid) Jika suatu kalimat logika-proposisional E valid, maka instance dan klosur universal logika predikat dan E valid. Universitas Gadjah Mada 3

4 Bukti Ambil E adalah kalimat logika proposisional yang valid, dan E 0 adalah instance dan E yang diperoleh dengan mengganti siinbol-simbol proposisional P, Q R,... dan E dengan kalimat logika predikat masing-masing F 0, G 0, H 0. Untuk menunjukkan bahwa (for all x) E 0 adalah valid dalam logika predikat, cukup (dengan proposisi universal-closure) untuk memperlihatkan bahwa E 0 bernilai true di bawah setiap interpretasi logika predikat. Selanjutnya perhatikan sebarang interpretasi I untuk E0 kita ingin memperlihatkan bahwa E 0 bernilai true di bawah J,. Perhatikan nilai-nilai kebenaran dari kalimat-kalimat bagian F 0, G 0, H 0,... dan E 0 di bawah interpretasi I dan ambil I sebagai interpretsi logika proposisional yang memberi nilainilai kebenaran sama ke simbol-simbol proposisional yang bersesuaian P, Q R,... dan E; maka interpretasi I merupakan interpretasi untuk E. Di tambahan itu, nilai-nilai kebenaran dan E di bawah I adalah sama dengan nilai-nilai kebenaran untuk Eo di bawah I o, karena aturan-turan semantik untuk connectives logika not, and, or adalah sama dengan yang ada di logika proposisional dan logika predikat. Karena E valid berarti E bernilai true di bawah L sehingga E 0 juga true di bawah I, seperti yang ingin ditunjukkan. Validitas Dengan Persyaratan Tambahan Ada beberapa skema kalimat tertentu yang pada umumnya tidak valid akan tetapi mereka bisa valid jika memenuhi persyaratan-persyaratan khusus. Kiosur-kiosur universal dan skema kalimat berikut adalah valid di bawah persyaratan-persyaratan tambahan berikut: Variabel x tidak muncul bebas dalam kalimat G. Kuantifaier-kuantifaier Berlebth (redundant quantifier) Distribusi kuantifaier (Distribution of quantifiers) Universitas Gadjah Mada 4

5 Persyaratan tambahan bahwa x tidak muncul bebas dalam kalimat G, yang ditentukan dalam menyatakan validitas dan kalimat-kalimat di atas adalah sangat penting. Perhatikan ilustrasi ini untuk kalimat pertama dalam kuantifaier-berlebih. Contoh 3.4 (keperluan akan syarat tambahan) Klosur universal dari kalimat kuantifaier-berlebih, (for all x) G fand only if G dipaksakan bawah syarat tambahan bahwa variabel x tidak muncul bebas dalam kalimat C. Sehingga, mengambil G sebagai kalimat (for some y)q(z, y), di mana x tidak muncul bebas, bias disimpulkan bahwa klosur universal dari Adalah valid. Sebaliknya, dengan mengambil G sebagai kalimat p(x), di maa vaniabel x muncul bebas berarti menyalahi syarat tambahan, sehingga tidak bisa disimpulkan bahwa klosur universal [(for allx)p(x)] if and only if p(x) adalah valid, dan memang tidak valid. Untuk memperlihatkannya, cukup (dengan proposisi validitas-klosur) memperlihatkan interpretasi tunggal di mana kalimat bernilai false. Ambil I sebagai interpretasi atas domain berupa himpunan dengan dua elemen {A, B}, dengan Karena p I (B) false, maka p(x) bernilai false di bawah interpretasi <x B> o I, sehingga (dengan aturan for-all bahwa ([for all x)p(x) bernilai false di bawah I. Karena pi(a) bernilai true, dan x I nilainya, maka p(x) bernilai true di bawah I. Sehingga (dengan aturan if and-only if), [ (for all x)p(x) ] if and only f p(x) bernilai false di bawah I, sebagaimana yang ingin ditunjukkan. Perhatikan bahwa, untuk sebanang kalimat G, variabel x tidak muncul bebas dalam (for all x)g Oleh karena itu, dengan mengambil G sebagai (for all x)g dalam kalimat (kuantifaier-berlebih) di atas, kita dapatkan (sebagai kasus khusus), bahwa klosur universal dan skema kalimat [(forallx)(forallx)g ] if and only if [(for all x)g ] adalah valid, tanpa syarat tambahan. Berikut adalah gambaran bagaimana syarat-syarat tambahan memainkan peranan dalam memperlihatkan validitas kalimat-kalimat di atas. Contoh 3.5 (distribusi-kuantifaler) Misal akan diperlihatkan bahwa klosur universal dan ekuivalensi [(if or some x)(f and G)] if and only if [(for some x) F and G] Universitas Gadjah Mada 5

6 adalah valid, di mana x tidak muncul bebas dalam G. Dengan proposisi validitas-klosur, kita cukup memperlihatkan bahwa ekuivalensi itu sendiri bernilai true di bawah sebarang interpretasi I. Akan tetapi, sisi bagian-kini dan ekuivalensi, yaitu (for some x)(f and G), bernilai true di bawah I. precisely when (dengan aturan for-some), ada elemen domain d sedemikian hingga kalimat bagian (F and G) bernilai true di bawah interpretasi yang dipenluas <x d> o I. precisely when (dengan aturan and), ada elemen domain d sedemikian hingga F bernilai true di bawah interpretasi yang diperluas <x d> o I, dan G bernilai true di bawah interpretasi yang diperluas <x d> 01. precisely when (karena x tidak muncul bebas dalam C), ada elemen domain d sedemikian hingga F bernilai true di bawah interpretasi yang diperluas <x d> o I, dan G bernilai true di bawah I. precisely when (dengan aturan and (for some x)f and G, yaitu sisi bagian-kanan dan ekuivalensi, bernilai true di bawah I. Telah diperlihatkan bahwa sisi bagian-kiri dan ekuivalensi bernilai true di bawah I (precisely when) sisi bagian-kanan dan ekuivalensi bernilai true di bawah I; oleh karena itu (dengan aturan [if and only - ekuivalensi [ ([for some x)(f and G ) ] if and only if [ (for some x)f and G ] bernilai true di bawah J sebagaimana yang ingin kita tunjukkan. Perhatikan bahwa, di dalam memperlihatkan validitas kalimat di atas, kita telah menggunakan kenyataan bahwa G bernilai true di bawah interpretasi yang diperluas <x E d> o I precisely when G bernilai true di bawah I, yang mana berlaku karena telah diberikan syarat tambahan bahwa x tidak muncul bebas dalam G. 3.2 Equivalensi EquivaIence Definisi (impilkasi, ekuivalensi) Kalimat F implies kalimat G jika, untuk setiap interpretasi I untuk F dan untuk C, jika F bernilai true di bawah I, maka G juga bernilai true di bawah I. Dua kalimat F dan G adalah equivalent jika, di bawah setiap interpretasi I untuk F dan untuk G, F mempunyai nilai kebenaran sama dengan G. Implikasi, Ekuivalensi, dan Validitas Suatu hubungan sederhana antara implikasi dan validitas, dan antara ekuivalensi dan validitas dinyatakan dalam pengamatan-pengamatan berikut: Contoh 3.6 (Implikasi - validitas) Untuk setiap dua kahmat F dan G dalam logika predikat F implies G Universitas Gadjah Mada 6

7 Demikian juga F equivalent G Proposisi (implikasi dan validitas) Untuk setiap dua kalimat F dan G, Jika F implies G, maka jika (for all *)F valid maka(for all*)g valid. Proposisi (ekuivalensi dan validitas) Untuk setiap dua kalimat F dan G, Jika F equivalent G, maka (for all *)F valid precisely when (for all *) G valid. Kalimat-kalimat Logika proposisional yang Ekuivalen Kita telah mengamati bahwa klosur universal dan sebarang instance kalimat logika proposisional valid adalah valid dalam logika predikat. Di samping itu, juga benar bahwa contoh-contoh yang bersesuaian dan kalimat-kalimat logika proposisional ekuivalen adalah ekuivalen juga dalam logika predikat. Untuk lebih tepatnya, perhatikan pernyataan berikut. Proposisi (instances dan kaiimat logika proposisional ekuivalen) Jika dua kalimat logika proposisional F dan G ekuivalen, maka contoh-contoh logika yang bersesuaian dan F dan G adalah juga ekuivalen. Sebelum membuktikan proposisi di atas, sebaiknya kita perhatikan dahulu contoh berikut. Contoh 3.8 (ekuivalensi) Telah diperlihatkan bahwa kaliinat-kalimat if P then Q dan if not Q then not P adalah dua kalimat yang ekuivalen dalam logika proposisional, yang terakhir adalah kontrapositif dan yang pertama. Sehint, proposisi mengakibatkan bahwa contoh-contoh logika proposisional dan kalimat-kalimat ini, if p(x) then (for somey)q(x,j) dan if not (for some )q(x,j) then notp(x) (diperoleh dengan meugganti P dan Q masing-masing dengan p(x) dan (for somey) q(x,y), adalah ekuivalen dalam logika proposisional. Universitas Gadjah Mada 7

8 Bukti: Seandainya F dan G kalimat-kalimat logika proposional ekuivalen, dan misal F 0 dan G 0 contoh-contoh logika predikat yang bersesuaian dengan F dan G. Kita ingin memperlihatkan bahwa F 0 ekuivalen dengan G. Karena F dan G ekuivalen, kalimat logika proposisional F if and only if G adalah valid (dalam logika proposisional). Akibatnya, klosur universal dan instance logika predikatnya, F 0 if and only if G 0 adalah valid(dalam logika predikat). Oleh karena itu (dengan catatan sebelunmya), F 0 ekuivalen dengan G 0. Sifat-sifat (Klosur - Closure) Klosur-klosur universal dan eksistensial dari F memperlihatkan sifat dualitas berikut, yang mencerminkan dualitas antara kuantifaier-kuantifaier universal dan eksistensial. Proposisi (dualitas klosur) Untuk sebarang kalimat F, not (for all *)F ekuivalen dengan (for some *)( not F) dan izot (for some *,)F ekuivalen dengan (for all *)(not F ). Beberapa sifat lain dan kiosur-kiosur universal dan eksistensial mencerminkan sifatsifat kuantifaier-kuantifaier universal dan eksistensial yang bersesuaian. Proposisi (distribusi klosur) Untuk setiap kalimat F dan G, kalimat-kalimat berikut adalah valid Penggantian Kalimat-kalimat Ekuivalen Jika dua kalimat ekuivalen maka dua kalimat tersebut bisa digunakan secara bergantian, dalam beberapa hal bisa membuat tepat (precise) dalam proposisi berikut. Proposisi (penggantian kalimat-kalimat ekuivalen) Untuk setiap kalimat G, G, dan F, misal F merupakan hasil penggantian nol, satu, atau lebih pemunculan dan G dalam F dengan G. Sehingga, jika G dan G ekuivalen, maka F dan F ekuivalen. Universitas Gadjah Mada 8

9 Perhatikan ilustrasi untuk proposisi di atas dengan dua contoh berikut. Contoh 3.9 Perhatikan kalimat G :p(x) and p(x) dan G :p(x). Selanjutnya, karena G dan G merupakan contoh-contoh dan kalimat-kalimat logika proposisional. ekuivalen, yaitu (P and P), dan P, G dan G ekuivalen. Sekarang perhatikan kalimat F : (for all x)(for some y)[(p(x) and p(x)) or r(y, z] dan kalimat F: (for all x) (for some y) [p(x) or r(y,z)], yang diperoleh dengan mengganti satu pemunculan dari G dalam F dengan G. Maka sesuai dengan proposisi, F dan F ekuivalen. Penamaan Ulang - Renaming (variabel-variabel terikat) Konsekuensi dari aturan semantik untuk kuantifaier-kuantifaier adalah bahwa variable x dalam suatu kalimat ter-kuantifaier (quantified sentence), yaitu (for all x) F atau (for some x) F adalah suatu dummy dalam beberapa hal bahwa kita secara sistematik bisa menggantinya dengan variabel baru, variabel yang tidak muncul dalam F, tanpa merubah arti dan kalimat. Sebagai contoh, dua kalimat (for all x)p(x) dan for all y)p(y) adalah ekuivalen. Apakah akan dipilih x atau y tidak mempengaruhi arti kalimat. Karena variable x dan y terkuantifaier, nilai kebenaran dan kalimat di bawah suatu interpretasi tidak tergantung pada apa elemen domain nya, jika ada, interpretasi memberi nilai pada variable-variabel ini. Sebaliknya, untuk dua kalimat berikut p(x) dan p(y), dimana x dan y muncul bebas, tidak ekuivalen.jika dua variable x dan y diberi nilai dengan elemen-elemen domain yang berbeda di bawah suatu interpretasi, maka dua kalimat p(x) danp(y) bisa mempunyai nilainilai kebenaran yang berbeda di bawah interpretasi tersebut. Kita juga bisa melakukan penamaan kembali variable x dan kuantifaler (for all x) atau (for some) yang tidak muncul di tingkat atas kalimat. Berikut akan dijelaskan dengan suatu contoh. Contoh 3.11 (penamaan ulang variabel) Kalimat G : (for all x)(p(u) and r(x) ) ekuivalen dengan kalimat G : (for all y)(p(u) and r(y)), yang diperoleh dengan menamat kembali variable x dan kuantifaier (for all x) dengan nama baru y. Konsekuensinya, kalimat F : [(for all z) (p(z) and r(x) ] and [if p(u) then (for all x) (p(u) and r(x))] Ekuivalen dengan kalimat F : [(for all z) (p(z) and r(x) ] and [if p(u) then (for all y) (p(u) and r(y))] yang diperoleh dengan mengganti pemunculan dari G dalam F dengan kalimat yang ekuivalen, yaitu G. Universitas Gadjah Mada 9

10 Adalah sangat penting bahwa, dalam penamaan kembali variabel dan suatu kuantifaier, kita memilih variabel baru, yaitu variabel yang belum muncul dalam kalimat yang diganti. Alasan untuk ini akan diilustrasikan dalam dua contoh berikut. Contoh 3.12 Perhatikan kalimat F : ((for all x)p(x,y). Kalimat ini tidak ekuivalen dengan kalimat F : (for all y)p(y,y), yang diperoleh dengan menamai kembali variable x dari kuantifaier (for all x) dengan variable yang sudah muncul bebas dalam kalimat yang diganti. Khususnya, di bawah sebarang interpretasi atas domain dengan dua atau lebih elemen-elemen rang memasangkan ke p dengan relasi kesamaan, F diberi arti intuitif untuk setiap x, x = yang nilai false, sementara F diberarti intuitif untuk setiap y,y= y, yang bernilai true. Dalam contoh 3.12 di atas, dilakukan penamaan kembali variabel ter-kuantifaier dengan variabel yang sudah muncul dalam kalimat. Contoh 3.13 Perhatikan kalimat F: (for all x)(for all y)p(x,y), Kalimat ini tidak ekuivalen dengan kalimat F : ([for all y)(for all y,y)p(y,y), yang diperoleh dengan menamai kembali variable x dan kuantifaier (for all x) dengan variable y, yang sudah muncul terikat dalam kalimat bagian yang diganti. Khususnya, di bawah sebarang interpretasi atas domain dengan dua atau lebih elemen yang memasangkan ke p relasi kesamaan, F dibeni arti intuitif untuk setiap x dan y, x y, yang bernilai false, sementara F yang ekuivalen dengan (for all y)p(y,y), diberi arti intuitif untuk setiap y,y =3, yang bernilai true. Proposisi (penamaan ulang variable-variabel terikat, kasus khusus) Misal (for... x) G suatu kalimat, di mana (for... x) adalah kuantifaier, bisa berupa (for all x) atau ([for some x). Misal x adalah variabel yang tidak muncul dalam (for... x)g, dan G adalah hasil penggantian setiap pemunculan bebas dari x dalam G dengan x Misal F adalah kalimat dan F adalah hasil penggantian satu atau lebih pemunculanpemunculan dan (for... x)g dalam F dengan (for... x ) G. Maka F dan F ekuivalen. Sebelum dibuktikan proposisi di atas, perhatikan bahwa di dalam pasangan tanda kurung ada cacatan kasus khusus, karena benikuinya nanti akan disajikan versi proposisi yang lebih umum. Universitas Gadjah Mada 10

11 Bukti Pertama diperlihatkan bahwa, di bawah persyaratan proposisi, (for all x)g ekuivalen dengan (for all x )G. Akan tetapi untuk sebarang interpretasi / untuk dua kalimat ini, (for all x)g bernilai true di bawah I precisely when (dengan aturan for-all), untuk setiap elemen domain d, G bernilai true di bawah <x d>o I precisely when (karena x tidak muncul dalam G), untuk setiap elemen domain d, G bernilai true di bawah <x d> a <x d> 0 I precisey when (karena G diperoleh dari G dengan mengganti setiap pemunculan bebas dan x dengan x,untuk setiap elemen domain a, G bernilai true di bawah <x d> 0 <x d> oi. precisely when (karena x tidak muncul bebas dalam G), untuk setiap elemen domain d, G bernilai true dibawah<x d>o I precisely when (dengan aturan for-all), (for all x)g bernilai true di bawah interpretasi I. Jadi (for all x)g ekuivalen dengan (for all x )G. Hasil yang dikehendaki, bahwa F ekuivalen dengan F bisa diturunkan, karena F merupakan hasil dari penggantian satu atau lebih pemunculan dari (for all x)g dalam F dengan kalimat yang ekuivalen (for all x)g. Catatan - Remark (kuantifaier tersarang - nested quantifier) Sering kali membingungkan ketika suatu kalimat yang memuat kuantifaier tersarang atas variabel yang sama. Sebagai contoh, dalam kalimat F: (for allx)[p(x) and (for some x)q(x,y)], Kuantifaier kedua, yaitu (for some x), berada dalam Iingkup (scope) dan kuantifaier pertama, (for all x). Sebagai akibatnya, pemunculan variabel x dalamp(x) tenikat oleh kuantifaier pertama, (for all x). tetapi pemunculan x dalam q(x,y) terikat oleh kuantifaier kedua, (for some x). Dengan menggunakan proposisi penamaan-kembali-variabel-variabel-terikat, kita bisa menamai kembali variabel x dan kuantifaier kedua, (for some x) dengan x, menghasilkan kalimat yang ekuivalen, yaitu F : (for all x)[p(x) and (for some x )q(x,y)]. Meskipun F dan F ekuivalen, F mungkin lebih mudah dipahami, karena F lebih jelas dengan kuantifaier yang mengikat masing-masing variabel di dalamnya. 3.3 Substitusi Aman - Safe Substition Sekarang akan diperkenalkan tentang pengertian substitusi untuk logika predikat yang analog dengan substitusi yang digunakan dalam logika proposisional. Karena pengertian ini sangat kompleks, seperti akan dimulai dengan contoh-contoh yang Universitas Gadjah Mada 11

12 memperlihatkan bahwa semakin jelas definisi substitusi tidak memperlihatkan sifat-sifat yang dikehendaki. Ekspresi-ekspresi Bagian Terikat dan Bebas Dalam bab logika proposisional telah diamati bahwa hubungan ekuivalensi if andony-if mempunvai sifat substitusivitas (substitutivity). Untuk sebarang kalimat-kalimat logika proposisional G, H, dan F<G>, kalimat if(g if and only if H) then (F<G> if and only if F<H>) adalah valid, di mana F <H> merupakan hasil penggantian nol, satu, atau lebih pemunculan dan G dalam F <G> dengan H. Akan diperluas (extend) operator substitusi ke logika predikat sehingga kiosur universal dan kalimat logika predikat yang bersesuaian (*) if (G if and only if H) then (F <G> if and only if F <H>) adalah valid. Sayangnya, jika kita secara naif mengadopsi definisi substitusi logika proposisional, ini bukan masalah, sebagaimana diilustrasikan dalam dengan contoh-contoh berikut. Pengamatan pertama membawa kita untuk membedakan antara ekspresi-ekspresi bagian terikat (bound) dan bebas (free) dari ekapresi yang diberikan dan untuk mendefinisikan operator substitusi sehingga hanya ekspresi-ekspresi bagian yang diganti. Contoh 3.14 (penggantian ekspresi bagian terikat) Perhatikan kalimat-kalimat G : p(x), H: q(x), dan F <G>: (for all x)p(x). Seandainya didefinisikan operator substitusi logika predikat sehingga F <H> adalah (for all x)q(x), yaitu hasil penggantian pemunculan dan p(x) dalam (for all x)p(x) dengan q(x). Maka sesuai dengan sifat substitusi-ekuivalensi (*) di atas, kiosur universal darn implikasi If [p(x) if and only if q(x)] then [(for all x)p(x) if and only if (for all x)q(x)] seharusnya valid, tetapi ternyata tidak demikian keadaanya. Untuk memperlihatkannya, kita cukup dengan proposisi validitas-klosur, untuk memperlihatkan interpretasi tunggal sehingga iwplikasi nya bernilai false. Perhatikan interpretasi I atas domain {A, B} di mana x A p p sehingga p I (A) bernilai true, dan p I (B) juga bernilai true q q I sehingga qi(a) bernilai true, sementara qi(b) bernilai false Maka antecedent p(x) if and only if q(x) telah diberi arti intuitif true bila dan hanya bila A adalah A, yang bernilai true. Sementara consequent (for all x)p(x) if and only if (for all x)q(x) telah memberi arti intuitif true bila dan hanya bila setiap elemen domain adalah A. Karena domain nya mempunyai dua elemen A, dan B maka consequent di atas bernilai false. Universitas Gadjah Mada 12

13 Sehingga, implikasi if[p(x) if and only if q(x) J then [(for all x)p(x) if and only if (for allx)q(x)] bernilai false di bawah interpretasi I, seperti yang ingin diperlihatkan. Dalam contoh 3.14 di atas, permasalahannya adalah bahwa variabel x, yang bebas dalam p(x), terikat dalam (for all x)p(x) sehingga mempunyai perbedaan arti p(x) dalam (for allx)p(x). Definisi (ekspresi-ekspresi bagian terikat) Perhatikan suatu pemunculan dari suatu ekspresi bagian t dalam suatu ekspresi E. Pemunculan dari t dikatakan terikat dalam E jika suatu pemunculan dan variabel x bebas dalam pemunculan dan 4 akan tetapi pemunculan yang sama dari x terikat dalam E. Dengan kata lain, pemunculan x tidak berada dalam lingkup (scope) dan kuantifaier (for... x) apapun dalam 4 tetapi pemunculan dari t berada dalam lingkup dari suatu kuantifaier (for... x) dalam E. Contoh 3.15 Perhatikan kalimat bagian t :p(x) dari kalimat E: (for all x)p(x). Pemunculan p(x) terikat dalam (for all x)p(x), karena p(x) mempunyai satu pemunculan bebas dan x yang terikat dalam (for allx)p(x). Suatu kalimat bisa mempunyai pemunculan-pemunculan terikat dalam suatu term jika term tersebut memuat konetif kondisional if then-else. Contoh 3.16 Perhatikan kalimat bagian t :p(x) dan kalimat E : if [for all x)p(x) then a else f(x). Pemunculan p(x) adalah tenikat dalam E, kanena pemunculan bebas dan x dalam p(x) terikat dalam E, oleh kuantifaier (for all x). Definisi (ekspresi-ekspresi bagian bebas - free subexpressions) Perhatikan suatu pemunculan dari sebuah ekspresi bagian t dalam suatu ekspresi E. Pemunculan t bebas dalam E, jika dalam pemunculan t tersebut, setiap pemunculan bebas dari variabel juga bebas dalam E. Dengan kata lain, jika pemunculan dari x tidak berada dalam scope dan kuantifaier (for... x) apapun dalam pemunculan dari x maka pemunculan dari x juga tidak berada dalam scope dan kuantifaier (for... x) apapun dalam E. Contoh 3.17 Universitas Gadjah Mada 13

14 Perhatikan kalimat bagian t: q(y,z) dan kalimat E: q(y,z) and (for all y)q(u,y). Pemunculan dan q(y, z) bebas dalam E, karena pemunculan-pemunculan bebas dari y dan z dalam q(y, 7) juga bebas dalam E. Suatu ekspresi bagian bisa mempunyai baik pemunculan bebas maupun tenikat dalam satu ekspresi. Contoh 3.18 Perhatikan term-bagian t:f(y) dan kalimat E: (for some y)p(f[y)) or q(f(y)). Pemunculan pertama dan term f(y), dalam p(f(y)) terikat dalam E, karena pemunculan bebas dari y dalam pemunculan f(y) terikat dalam E, oleh kuantifaier (for some y). Pemunculan kedua dan term f(y), dalam q[y) bebas dalam E, karena pemunculan bebas danij dalam pemunculanjjji) juga bebas dalam E, dan tidak ada pemunculanpemunculan bebas lain dani variabel-variabel dalam term. Catatan - Remark Jika I adalah interpretasi untuk suatu ekspresi E, dan jika ekspresi t mempunyai suatu pemunculan bebas dalam E, maka I juga merupakan suatu interpretasi untuk t. Sebagai contoh, term f(y) mempunyai suatu pemunculan bebas dalam kalimat p(f(y)). Oleh kanena itu, setiap interpretasi untuk p(f(y)) juga merupakan interpretasi untuk f(y), karena I hanus memberi nilai-nilai ke f dan y. Sebaliknya, jika I adalah interpretasi untuk suatu ekspresi E, dan jika ekspnesi bagian t hanya mempunyai pemunculan-pemunculan terikat dalam E, maka tidak perlu merupakan interpretasi untuk t. Sebagai contoh, kalimat bagian p(f(7)) hanya mempunyai pemunculanpemunculan terikat dalam kalimat (for all y)p(f(y)). Oleh karena itu suatu interpretasi untuk (for all y)p(f(y)) tidak perlu sebagai interpretasi untuk p(fy, kanena mungkin tidak memberi nilai apapun ke y. Penangkapan Capturing Meskipun sudah didefinisikan substitusi sedemikian rupa sehingga hanya pemunculanpemunculan bebas dan ekspresi-ekspresi bagian saja yang bisa diganti, akan tetapi permasalahanpermasalahan lain muncul. Contoh 3.19 (penangkapan) Perhatikan kalimat-kalimat G :p(x), H: q(y) dan F <G> : (for all y)p(x). Misal didefinisikan operator substitusi sedemikian hingga F <H> adalah (for all y)q(y), yaitu hasil penggantian pemunculan bebas darip(x) dalam (for allx)p(x) dengan q(y). Maka sesuai dengan sifat (*) substitutitivitas-ekuivalensi di atas, klosur universal dan implikasi Universitas Gadjah Mada 14

15 If [p(x) if and only if q(y)] then [(for all y)p(x) if and only if(if or all y)q(y)] seharusnya valid, akan tetapi yang terjadi tidak demikian atau dengan kata lain, tidak valid. Untuk memperlihatkannya, kita cukup dengan proposisi validitas-klosur, untuk menunjukkan adanya suatu interpretasi di mana implikasi bernilai false. Perhatikan interpretasi I atas domain {A, B} di mana x A y A p p I sehingga p I (A) bernilai true, dan p I (B) juga bernilai true q q I sehingga q I (A) bernilai true, sementara q I (B) bernilai false maka antecedent p(x) if and only if q(y) teiah diberi anti intuitif true jika dan hanya jika A adalah A, yang bernilai true, sementara consequent all y p(x) if and only if (for all y)q(y) telah diberi arti intuitif true jika dan hanya jika setiap elemen domain adalah A, yang sebaliknya bernilai false. Oleh karena itu, implikasi if [p(x) if and only if q(y) then [(for all y p(x) if and only if (for all y)q(y)] bernilai false di bawah I, seperti yang ingin diperlihatkan. Dalam contoh di atas, meskipun kalimat bagian p(x) bebas dalam Iingkungan kalimat (for all y,(x), pemunculan baru dan q(y) dalam (for all y)q(y) terikat. Pemunculan y, yang bebas dalam q(y), tetapi terikat dalam (for all y)q(y); sehingga artinya telah dirubah oleh operasi substitusi. Selanjutnya, dikatakan bahwaj telah tertangkap (captured) oleh kuantifaier (for allj). Definisi substitusi untuk logika predikat akan dirumuskan lagi sebingga vanabelvariabel ter-kuantifaier (quant/id variables), jika diperlukan, untuk menghindani capturin<g. Substitusi Aman - Safe Substitution Sekarang siap disajikan operator substitusi anian untuk ekspresi-ekspresi logika predikat, yang menghindani kedua mishaps (semacam kecalakaan) di atas, yaitu penggantian ekspresi-ekspresi terikat dan penangkapan vaniabel-variabel bebas. Alan dibedakan antara substitusi total aman, di mana semua pemunculan dari ekspresi bagian diganti, dan substitusi parsialaman, di mana nol, saiu atau lebih, tetapi tidak perlu semua pemunculan bebas diganti. Definisi (substitusi total aman total safe substitution) Misal F, G, dan H adalah ekspresi-ekspresi, di mana G dan H bisa keduanya term atau keduanya kalimat. Notasi F {G H } merupakan ekspresi yang diperoleh dengan cara: Mengganti setiap pemunculan bebas dari G dalam F dengan H, tetapi Jika ada sebarang vaniabelj dalam H yang hampir tertangkap (is about to be captured) oleh suatu kuantifaier (for...y) dalam F sebagai hasil penggantian di atas, maka beri Universitas Gadjah Mada 15

16 nama kembali variabel y dari kuantifaier ini dengan variabel baru y sebelum melakukan proses penggantian; y diambil sebagai variabel yang belum muncul dalam F, G, dan H. Kita katakan bahwa F {G H} merupakan hasil dari penggantian secara aman (safety replacing) setiap pemunculan bebas dari G dalam F dengan H. Contoh 3.20 Hasil dari penggantian aman total Adalah kalimat Perhatikan bahwa pemunculan pertama dari p(x), yang terikat tidak diganti oleh substitusi; dua pemunculan yang lain dan p(x), yang bebas, harus diganti. Perhatikan juga bahwa variabelj dan kuantifaier (for ally) telah dibeni nama ulang dengan variabel baru y, untuk menghindani penangkapan variabel bebas j dalam q(y). Pemunculan pertama dan y, dalam kalimat bagian r(y), tidak dinamai ulang, karena tidak berada dalam Iingkup kuantifaier (for all y). Hasil penerapan substitusi F {G H) tidak tunggal, karena untuk menghindari penangkapan variabel bebas, kita bisa menamai ulang variable y dan kuantifaier (for...y) dengan variabel baru y Akan tetapi, sebarang dua hasil penerapan substitusi adalah ekuivalen, karena yang satu bisa diperoleh dan yang lain dengan penamaan ulang terhadap variabel-variabel terikat. Operator substitusi parsial yang bersesuaian, yang digambarkan benikut analog dengan operator substitusi total. Definisi (substitusi parsial aman) Misal F, G, dan H adalah ekspresi-ekspresi, di mana G dan H bisa keduanya term atau keduanya kalimat. Notasi F { G H } merupakan ekspresi yang diperoleh dengan cara: Mengganti nol, satu, atau lebih pemunculan-pemunculan bebas dari G dalam F dengan H, tetapi Jika ada sebarang variable y dalam H yang hampir tertangkap (is about to be captured) oleh suatu kuantifaier (for...y) dalam F sebagai hasi penggantian di atas, maka beti nama kembali variable y dan kuantifaier ini dengan variabel baru y sebelum melakukan proses penggantian. Dikatakan bahwa F {G H} merupakan hasil dari penggantian secara aman (safety replacing) setiap pemunculan bebas dan G dalam F dengan H. Universitas Gadjah Mada 16

17 Seperti dalam logika proposisional, operator substitusi pansial F {G H} bias menunjukkan salah satu dari beberapa kalimat. Lebih dari itu, dua hasil yang berbeda dari penerapan operator substitusi partial (sebagai kebalikan dengan operator substitusi total) tidak perlu ekuivalen. Contoh 3.21 Substitusi parsial aman bisa menunjukkan (atau menghasilkan) suatu kalimat dan empat kalimat-kalimat berikut yang mungkin: Perhatikan bahwa ada dua pemunculan f(x) dalam kalimat asal (original sentence), keduanya bebas. Dalam hasil pertama, bahkan sama sekali tidak dilakukan penggantian pemunculan dari f(x). Kemudian dalam hasil kedua, kita mengganti pemunculan pertama danif(x); dalam hasil ke-tiga, kita mengganti pemunculan kedua dari f(x); dalam hasil keempat, kita mengganti kedua pemunculan dan f(x);. Di samping itu, dalam basil ke-tiga dan ke-empat, kita dipaksa untuk menamai kembali variabel z dalam kuantifaier (for some z) dengan variabel baru z, untuk menghindari penangkapan terhadap variabel bebas yang baru diperkenalkan, yaitu z. Seperti biasa, kita bisa memperluas notasi substitusi ringkas kita dari logika proposisional untuk menerapkan substitusi aman dalam ekspresi-ekspresi logika predikat. Misal G dan H adalah ekspresi-ekspresi yang keduanya bisa berupa term atau keduanya berupa kalimat. Substitusi total aman Jika F [G] adalah suatu ekspresi, maka F[H] menunjukkan ekspresi-ekspresi yang diperoleh dengan mengganti secara aman setiap pemunculan bebas dan ekspresi G dalam FIG] dengan ekspresi H. Substitusi parsial aman Jika F<G> adalah suatu ekspresi, maka F<H> menunjukkan ekspresi-ekspresi yang diperoleh dengan mengganti secara aman nol, satu, atau lebih pemunculan bebas dan ekspresi G dalam F<G> dengan ekspresi H. Supaya hati-hati tentang penggunaan notasi substitusi, kadang-kadang digunakan notasi substitusi nngkas meskipun G tidak muncul bebas FIG] dan F<G>.dalam F[G] atau F<G>; dalam kasus ini, F/H] dan F<H> masing-masing identik dengan F[G] dan F<G>. Universitas Gadjah Mada 17

18 Catatan - Remark Misal G dan H merupakan ekspresi yang bisa keduanya term atau keduanya kalimat. Maka jika G paling sedikit mempunyai satu pemunculan bebas dalam ekspresi F[G], pemunculan-pemunculan baru dan H bebas dalam F[H]. Secara serupa, jika paling sedikit sam pemunculan bebas dan G dalam ekspresi F<G> diganti oleh H, pemunculanpemunculan baru H bebas dalam F<H>. Kejadian diatas benar, karena dalarn penerapan operator-operator substitusi, kita menamai ulang variabel dan sebarang kuantifaier yang jika tidak akan terjadi penangkqpan variabel-variabel bebas dan ekspresi H yang baru diperkenalkan. Substitusi Multi Aman - Multiple Sale Substitution Pengertian-pengertian di atas bisa diperluas untuk memungkinkan penggantian banyak secara bersamaan (simultan) dalam ekspresi-ekspresi logika predikat adalah sebagai berikut: Definisi (substitusi multi aman) Jika F, G1, G2,..., Gm dan H1, H2,..., H merupakan ekspresi-ekspresi, di mana G1, G2, Gm semuanya berbeda dan, untuk masing-masing i, G dan H 1 keduanya bisa merupakan term atau keduanya kalimat. Substitusi (multi) total aman Untuk menunjukkan digunakan notasi merupakan ekspresi yang dthasilkan dengan can secara sebagai berikut: mengganti secara bersamaan setiap pemunculan bebas dan masing-masing ekspresi bagian G dalam F dengan ekspresi yang bersesuaian H1., tetapi jika ada sebarang vanabel bebasj dalam H1, H2,... atau, Hm hampir terrangkap oleh suatu kuantifaier (for... j) dalam F sebagai hasil dan salah sam penggantianpenggantian di atas, beri nama ulang variable y dan kuantifaier ini dengan variabel baru y sebelum melakukan penggantian. Universitas Gadjah Mada 18

19 Selanjutnya dikatakan bahwa adalah hasil dari pergantian secara aman setiap pemunculan bebas dan masing-masing G1 dalam F dengan ekspresi yang bersesuaian H. Substitusi (multi) Parsial aman Untuk menunjukkan digunakan notasi merupakan Salah Satu ekspresi dari beberapa ekspresi yang dthasilkan dengan cara sebagai berikut: mengganti secara bersamaan nol, satu, atau lebih pemunculan-pemunculan bebas dan beberapa ekspresi-ekspresi bagian G dalam F dengan ekspresi yang bersesuaian H I., tetapi jika ada sebarang variabel bebas y dalam H 1, H 2,... atau, H m hampir tertangkap oleh suam kuantifaier (for...y) dalam F sebagai hasil dari salah satu penggantianpenggantian di atas, beri nama ulang variable y dan kuantifaier ini dengan variabel baru y sebelum melakukan penggantian. Selanjutnya kita akan mengatakan bahwa adalah hasil dari penggantian secara aman nol, satu, atau lebih pemunculan-pemunculan bebas dari beberapa ekspresi-ekspresi bagian G1 dalam F dengan ekspresi yang bersesuaian H. Substitusi tunggal dalam notasi ringkas (consice notation) bisa juga diperluas menjadi substitusi multi (aman) dalam notasi ringkas dari ekspresi-ekspresi logika predikat. Universitas Gadjah Mada 19

20 Substitusi (multi) total aman Jika F[G 1, G 2,..., G n ] adalah suatu ekspresi, maka F[H 1, H 2,..., H n ] menunjukkan kalimat yang diperoleh dengan mengganti secara aman setiap pemunculan bebas dan masing-masing ekspresi bagian G 1 dalam F[G 1, G 2,..., G n ] dengan ekspresi H 1 yang bersesuaian. Substitusi aman (multi) Parsial Jika F<G 1, G 2,..., G n > adalah suatu ekspresi, maka F<H 1, H 2,..., H n > menunjukkan kalimat yang diperoleh dengan mengganti secara aman nol, satu, atau lebih pemunculanpemunculan bebas dari beberapa ekspresi bagian G 1 dalam F<G 1, G 2,..., G n > dengan ekspresi H 1 yang bersesuaian. Contoh 3.22 Hasil dari substitusi (multi) total aman adalah Perhatikan bahwa, sebagaimana dalam logika proposisional, substitusi multi dikerjakan secara bersamaan dalam satu tahap. Sehingga meskipun pemunculan pertama dan p(x) diganti dengan q(a, f(y)), pemunculan dari f(y) yang baru diperkenalkan tidak secana sekuensial diganti dengan z. Di samping itu, jika ada konflik antara dua ekspresi, maka ekspresi paling luar lah yang selalu diganti. Sehingga pemunculan pertama dari f(y) dalam kalimat yang diberikan tidak diganti dengan z, karena terjadi dalam kalimat bagian p(f(y)), yang diganti dengan nilai konstan false sebagai hasil substitusi. Sebagaimana yang juga terjadi dalam substitusi tunggal, kita tidak mengganti pemunculan kedua dan p(x), karena terikat. Kita juga terpaksa menamai ulang variabel dan kuantifaier (for some z) menjadi z, untuk menghindari penangkapan pemunculan bebas dan diperkenalkan dengan mengganti pemunculan dari f(y) dalam q(fy), z] dengan. Dalam notasi ringkas (untuk contoh soal di atas), jika kalimat yang diberikan adalah F [p(x), f(y), p(f(y))], maka kalimat hasil substitusinya adalah F [q(a,f(y)),, false]. Universitas Gadjah Mada 20

21 Contoh 3.23 Substitusi (multi) parsial aman menunjukkan suatu dari beberapa kalimat, termasuk (for all y)[(if false then q(y)] and [if(not p(f(x))) then r(y,f(y))], yang diperoleh dengan mengganti pemunculan pertama dari p(f(x)) dengan false; yang diperoleh dengan mengganti pemunculan pertama danif(x) dengan q(y) dan pemunculan kedua dan p(f(x)) dengan false, dan yang diperoleh dengan menanti kedua pemunculan dari f(x) dengan g(y). Mengingat kembali bahwa kita tidak perlu mengerjakan semua penggantian dalam substitusi (multi) parsial; sebingga di hasil pertama kita tidak mengganti apapun pemunculan-pemunculan dari f(x); dan di hasil akhir kita tidak mengganti apapun pemunculan danp(j x)). Perhatikan bahwa, dalam dua kasus terakhir kita terpaksa menamai ulang variable y dan kuantifaier (for all y) dengan y, untuk menghindari penangkapan pemunculan-pemunculan bebas dari y dalam g(y) yang baru diperkenalkan. Dalam notasi ringkas, dikatakan bahwa, jika kalimat yang diberikan adalah F<f(x), p(f(x))> maka tiga kalimat hasil di antara mereka ditunjukkan dengan F <g(y),false>. 3.4 Sifat Nilai - Value Propety Operator substitusi memperlihatkan suatu sifat bahwa, di bawah interpretasi yang diberikan nilai dan ekspresi keseluruhan tidak berubah jika ekspresi diganti dengan ekspresi lain yang nilamya sama. Kejadian mi dinyatakan secara lebih tepat (precisely) dengan hasil berikut. Sifat Umum general property umumnya. Pertama kali yang akan disajikan adalah bahasan tentang sifat dan dalam bentuk Proposisi (nilai - value) Misal G dan H adalah dua terms atau dua kalimat. Universitas Gadjah Mada 21

22 Nilai total (total value) Misal F[G] adalah suatu ekspresi. Ambil I sebagai interpretasi untuk G dan F[G], dan ambil J sebagai interpretasi untuk H dan F[H], sedemikian hingga nilai G di bawah I sama dengan nilai H di bawah J, selanjutnya I dan J agree on setiap simbol bebas yang muncul dalam F [G] di suatu tempat selain di pemunculan-pemunculan dan G yang diganti. nilai F [G] di bawah I sama dengan nilai F[H] di bawah J. Nilai parsial (partial value) Misal F<G> adalah suatu ekspresi. Ambil I sebagai interpretasi untuk G dan F <G>, dan ambil J sebagai interpretasi untuk H dan F <H>, sedemikian hingga nilai G di bawah I sama dengan nilai H di bawah J, dan 1 dan J agree on setiap simbol bebas yang muncul dalam F <G> di suatu tempat selain di pemunculan-pemunculan dan G yang diganti. Maka nilai F <G> di bawah I sama dengan nilai F <H> di bawah J. Perhatikan bahwa yang kita perlukan adalah I dan J agree on simbol-simbol bebas yang muncul dalam F <G> di suatu tempat di luar pemunculan-pemunculan dan G yang diganti. Tm berarti bahwa, jika tidak semua pemunculan dan G diganti dalam penerapan substitusi parsial, maka I atau J juga harus agree on simbol-simbol bebas dan G. Contoh 3.24 Misal I adalah interpretasi untuk F [x] :p(x) dan I adalah interpretasi untuk F [a] :p(a) sedemilcian hingga nilai dan x di bawah I sama dengan nilai dan a di bawah J, kemudian I dan J agree on p. Maka dengan sifat nilai total, nilai danp(x) di bawah I sania dengan nilai darip(a) di bawah J. Contoh 3.25 Misal I adalah suatu interpretasi untuk F <x> :p(x, x), danj adalah suatu interpretasi untuk F <a> :p(x, a), sedemikian hingga nilai x di bawah I sama dengan nilai a di bawahj, kemudian I dan J agree on p. Maka tidak bisa disimpulkan dengan sifat nilai parsial bahwa nilai p(x, x) di bawah I sama dengan nilai p(x, a) di bawah J. Permasalahan di sini adalah bahwa tidak semua pemunculan bebas dan x dalam p(x, x) diganti untuk menghasilkan p(x, a), dan kita tidak dibenitahu bahwa I dan J agree on x. Dalam kenyataan, perhatikan dna interpretasi I danj atas bilangan-bilangan bulat (integers). Di bawah interpretasi pertama, Universitas Gadjah Mada 22

23 Sementara, di bawah interpretasi kedua, Perhatikan bahwa nilai x di bawah interpretasi 1 sama dengan nilai dan a di bawah J, sehingga I dan J hanya agree on p. Akan tetapi, nilai-nilai kebenaran dan p(x, x) di bawah I dan p(x, a) di bawah J adalah berbeda; di bawah I arti intuitif dari p(x, x) adalah 1 = 1, sementara di bawah J arti intuitif dan p(x, a) adalah 2 = 1. Sehingga sampai di sini kita telah memperlihatkan interpretasiinterpretasi yang melanggar (violate) persyaratan agreement untuk sifat nilai dan untuk mana kesimpulan dan sifat adalah salah. Contoh 3.26 Misal K adalah suatu interpretasi atas suatu domain, sehingga d adalah elemen domain tersebut, dan k adalah fungsi inner (unay function fungsi argumen tunggal) atas domain. Maka nilai dari f(y) di bawah adalah (dengan aturanaturan semantik) k(d), dari nilai dan z di bawah adalah (dengan aturan-aturan semantik) k(d). Jadi nilai dari f(y) di bawah I adalah sama dengan nilai dan di bawah J. Perhatikan kalimat-kalimat hasil penggantian f(y) dengan dalam F [f(y)]. Misal K memberi suatu nilai ke q. Kemudian, karena I dan J agree on simbol-simbol q dan j, yang merupakan simbol-simbol bebas yang muncul dalam F [f(y)] di suatu tempat selain di dalam ekspresi-ekspresi bagianf(y) yang diganti, maka (dengan sifat nilai total) kita dapatkan bahwa nilai dan q(f(y,)) di bawah I adalah sama dengan nilai dan q(y, ) di bawah J. Kasus-kasus khusus Special Cases Jarang diperlukan versi paling umum tentang sifat nilai, yang diperlukan biasanya hanya kasus-kasus khusus, seperti berikut ini. Akibat (contoh instance) Misal x adalah suatu vaniabel, F[x] adalah ekspresi, dan t term. Misal J adalah interpretasi untuk F[x] dan 4 dan ambil d adalah nilai dan t di bawah. Maka nilai dan F [x] di bawah I: <x - d> o J adalah sama seperti nilai dan F [t] di bawah J. Dikatakan bahwa F[t] adalah suatu instance dari F[x] (atau secara umum, bahwa F[t 1, t 2,..., t n ] adalah suatu instance dari F[x 1, x 2,..., x n ]). Universitas Gadjah Mada 23

24 Contoh 3.27 Misal F<x> adalah kalimat p(x, x), t adalah konstan a, dan F<t> adalah kalimat p(x, a), di mana hanya ada satu pemunculan dan x yang telah diganti. Misal J adalah interpretasi untuk p(x, x) dan a, dan ambil d sebagai nilai dan a di bawah J. Maka nilai p(x, x) di bawah I: <x d> o I tidak perlu sama dengan nilai p(x, a) di bawah J. Sebagai contoh, ambil J sebagai interpretasi atas (over) domain dengan dua elemen yang berbeda, yaitu {A, B}. Sehingga Kemudian d adalah A dan nilai dan p(x, x) di bawah I: <x A> o I, yaitu A = A, berarti true, tetapi nilai dari p(x, a) di bawah J adalah B A, yaitu false. Sifat nilai parsial tidak diterapkan karena tidak semua pemunculan bebas dan x diganti, sehingga l dan J tidak agree on x. Akibat (variabel - variables) Misal x adalah variabel, F[x] adalah suatu ekspresi, dan j adalah variabel yang tidak muncul bebas dalam F[x]. Misal K adalah suatu interpretasi untuk F[x] dan ambil d sebagai sebarang elemen domain. Maka nilai dan F [x] di bawah interpretasi I: <x d> ok adalah sama dengan nilai dari F[y] dibawah interpretasi J: <y d> ok. Akibat (interpretasi sama) Misal G dan H adalah dua terms atau dua kalimat. Misal I adalah suatu interpretasi untuk G dan untuk H sedemikian hingga, nilai G di bawah I sama dengan nilai H di bawah I. Nilal total total value Jika l adalah interpretasi untuk suatu ekspresi F[G] (demikian juga untuk F<H>) maka nilai dan F[G] di bawah I sama dengan nilai dan F[H] di bawah I. Nilai parsial - partial value Jika I adalah interpretasi untuk suatu eksprsi F<G> (demikian juga untuk F<H>), maka nilai dan F<G> di bawah I saina dengan nilai dan F<H> di bawah I. Buktinya jelas sekali karena I agree dengan I sendiri pada setiap simbol. Sifat nilai total dan akibat-akibatnya bisa diperluas menjadi substitusi multi aman (multiple safe substitutions) dalam cana langsung dan jelas. Universitas Gadjah Mada 24

25 3.5 Skema Valid Dengan Substitusi Sampai disini kita telah memperkenalkan operator substitusi aman, dan membuktikan sifat nilai untuk logika predikat, selanjutnya kita bisa menyajikan substitutivitas ekuivalensi (substitutiviy of equivalence) dan penamaan ulang umum dan variabel-variabel terikat dan memperbanyak katalog skema kalimat valid kita. Substitutivitas Ekuivalensi - Equivalence Substitutivity Operator substitusi aman telah didefinisikan secana hati-hati sebingga sifat-sifat tertentu, termasuk analog substitutivitas ekuivalensi dan logika proposisional, berlaku juga dalam logika predikat. Proposisi (substitutivitas ekuivalensi) Untuk sebarang kalimat-kalimat G, H, dan F<G>, klosur universal dan adalah valid. Contoh 3.28 Perhatikan kalimat F<p(x) >: (for all y)[if p(x) then r(x,j)]. Hasil penggantian pemunculan bebas darip(x) dalam F <p(x)> dengan q(y) adalah kalimat Maka dengan proposisi subdtitutivitas-ekuivalensi, kita bisa menyimpulkan bahwa klosur universal dari Sebagaimana kasus khusus penting dan proposisi, dipunyai bahwa klosur universal dari adalah valid. Hal ini terjadi karena hasil substitusi total adalah salah satu dan hasil-hasil yang mungkin dan substitusi parsial. Penamaan Ulang Variabel-variabel Terikat Telah dibuktikan suatu kasus khusus dan proposisi penamaan-kembah-variabelvaniabelterikat, selanjutnya akan disaajikan hasil-hasil yang lebih umum. Versi ini dinyatakan dalam istilah operator substitusi aman. Universitas Gadjah Mada 25

26 Proposisi (penamaan ulang variabel-variabel terikat) Misal (for... x)g[x] adalah kalimat, dan misal x adalah sebarang vaniabel yang tidak muncul bebas dalam (for... x)g[x]. Misal F merupakan kalimat dan F merupakan hasil penggantian satu atau lebih pemunculan dan (for... x)g[x] dalam F dengan (for... x )G[x. Maka F dan F ekuivalen. Kasus khusus dari proposisi ini, yang sudah kita tangani sebelumya mensyaratkan bahwa x tidak muncul di semua kalimat bagian yang diganti (for... x) G [x]. Versi ini hanya memerlukan bahwa x tidak muncul bebas dalam bagian kalimat yang diganti. Masalahnya jika x benar-benar muncul terikat dalam bagian kalimat yang diganti G[x], pemunculanpemunculan tersebut akan dinamai kembali secara otomatis dalam xl tileh aksi operator substitusi aman, jika dipenlukan untuk menghindari capturing. Contoh 3.29 Perhatikan kalimat F : (for ally)[p(x y) and (for some x)q(y, x)] dan kalimat bagiannya (for... x)g[x]: (for some x)q(y, x). Variabel x tidak muncul bebas dalam (for... x) G[x]. (Kenyataannya sama sekali tidak muncul dalam (for... x) G[x], meskipun x muncul bebas dalam F.) Selanjutnya, menurut proposisi, pemunculan dan kalimat bagian (for... x)g[x] dalam F bisa diganti dengan (for... x)g[x7 : (for some x)q(y, x ), diperoleh kalimat yang ekuivalen dengan F. Dalam contoh berikut, akan dilakukan penamaan kembali vaniabel terikat dengan variable yang sebenarnya muncul tenikat dalam kalimat bagian yang diganti. Contoh 3.30 Perhatikan kalimat dan kalimat bagiannya. Variabel x tidak muncul bebas dalam (for... x)g[x], meskipun x muncul terikat dalam dalam kalimat bagian ini. Kemudian, menunut proposisi, kita bisa mengganti pemunculan dan (for... x)g[x] dalam F dengan (for... xg[x7: (for some x )[f qy, x ) then (for allx )q(x, x )], diperoleh kalimat yang ekuivalen dengan F. Perhatikan bahwa variabel x dan kuantifaier (for all x dalam G[x] dinamai kembali dengan variabel baru x dalam G[x], dengan aksi operator substitusi aman. Universitas Gadjah Mada 26

27 Larangan terhadap pemunculan-pemunculan bebas dan x dalam kalimat bagian yang diganti (for... x)g[x] adalah sangat penting, sebagaimana yang digambarkan dalam contoh berikut. Contoh 3.31 Perhatikan kalimat F : (for some x)q(x, x) dan ambil kalimat bagian (for... x)g[x] sebagai kalimat F ini sendiri. Perhatikan bahwa x muncul benar-benar muncul bebas dalam (for... x)g[x], yang bertentangan dengan batasan yang ditentukan oleh proposisi. Kenyataannya memang benar bahwa, jika kita lakukan pennan terbadap pemunculan dan (for... x)g[x] dengan (for... x)g[x, kita akan peroleh kalimat F : (for some x )q(x, x ) yang tidak ekuivalen dengan F. Pemunculan x dalam (for... x)g[x] tidak dinamai kembali dengan menggunakan operator substitusi aman, karena bebas dan tidak terikat. Instansiasi Kuantifaier Quantifier Instantiation Kelas-kelas skema kalimat valid berikut digambarkan dalam istilah-istilah operator substitusi total aman. Proposisi (Instansiasi Kuantifaier) Untuk setiap variabel x kalimat F [x], dan term 1 maka kiosur-kiosur universal dan kalimat-kalimat: Contob 3.32 Perhatikan kalimat F[x] :p(x, a). Hasil penggantian pernunculan bebas dan x dalam F[x] dengan term a adalah kalimat F [a] :p(a, a). Menurut proposisi bagian universal, dengan mengambil t sebagai a, maka dua kalimat f(for allx)f [x] then F [a : f(for allx)p(x, a) then p(a, a) adalah valid. Dan lain pihak, sesuai dengan proposisi bagian eksistensial, kalimat jf F [a] then (for some x)f [x] : fp(a, a) then (for some x)p(x, a) juga valid. Berikut gambaran proposisi dengan suatu contoh yang memerlukan penainaan kembali dalam penerapan operator substitusi aman. Contoh 3.33 Perhatikan kalimat F[x] : [(for allj)p(x,j)] and [p(y, x)]. Universitas Gadjah Mada 27

28 Hasil dan penggantian secara aman dua pemunculan bebas dan x dalam F[x] dengan term g(y) adalah kalimat F[g(y)]: [(for allj )p(g(y),j9] and [p(y,g(y)]. Perhatikan bahwa vaniabel j dan kuaniifaier (for allj) dinamai kembali dengan j untuk menghindani penangkapan vaniabel bebasj dalam sebuah pemunculan g(y) yang barn diperkenalkan. Pemunculan bebas danj dalamp(y, x), tidak dinamai kembali. Menunut proposisi bagian universal, kiosur universal dan kalimat f(for allx) F[x] then F Fjg(y)] : f(for all x)[ (for ally)p(x,jy) and p( y, x)] then [(for all pv,),y ) and p5,, th))] adalah valid. Penamaan kembali yang diperlukan oleh operator substitusi aman adalah sangat penting untuk mernastikan kebenaran proposisi, seperti yang digambarkan dalam contoh berikut. Contoh 3.34 (pentingnya penamaan ulang) Perhatikan kalimat F[x]: (for some y,)p(x,)). Hasil penggantian secara aman pemunculan (bebas) dari x dalam F[x] dengan term y adalah kalimat di mana variable y dari kuantifaier (for some y) dinamai kembali dengan y. Menurut proposisi bagian universal, klosur universal dari kalimat!f (for all x) F[x] then F[y] : if (for all x) (for some y)p(x,y) then (for somejp(y,ji ) adalah valid Akan tetapi, apabila kita mengabaikan penamaan ulang variable y selama substitusi, maka akan memperoleh kalimat if (for all x)(for some y) then (for some y)p(y, y), yang tidak valid. Khususnya, perhatikan interpretasi atas domain himpunan bilangan-bilangan bulat, di mana Di bawah interpretasi ini, kalimat mempunyai arti intuitif Jika untuk setiap bilangan bulat x ada suatu bilangan bulat y sedemikian hingga x<y, maka ada suatu bilangan bulat y sedemikian hinga y < y yang benilai false, karena antecedent nya benilai true dan consequent nya bernilai false. Sekarang akan didiskusikan satu permasalahan yang bisa membingungkan dalam penerapan proposisi bagian eksistensial. Contoh tab 3.35 (instansiasi kuantifaier eksistensial) Universitas Gadjah Mada 28

29 Dalam contoh sebelumnya diambil kalimat F [x] :p(x, a) dan instance nya F [a] :p(a, a) dan dengan proposisi bagian eksistensial, disimpulkan bahwa if(a, a) then (for some x)p(x, a) adalah valid. Misal sekarang diambil kalimat F [x] : p(a, x), dan instance yang bersesuaian masih kalimat F[a] : p(a, a). Menurut proposisi bagian eksistensial, kita bisa menyimpulkan bahwa kalimat adalah valid. Akhirnya, jika diambil kalimat F [x] : p(x, x), sekali lagi instance yang bersesuaian adalah kalimat F [a] : p(a, a), dan dengan proposisi bagian eksistensial, bisa disimpulkan bahwa kalimat adalah valid Singkatnya, proposisi bagian eksistensial mengijinkan untuk menyimpulkan bahwa semua kalimat berikut adalah va/id: Dengan kata lain, kalimat p(a, a) implies masing-masing dan tiga kalimat (for some x)p(x, a), (for some x)p(a, x), dan (for some x)p(x, x). Proposisi instansiasi-kuantifaier bisa diperumum (generalized) untuk diterapkan pada lebih dari satu variabel. Secara lebih tepatnya, kita mempunyai hasil berikut. Proposisi (instansiasi kuantifaier, multi) Untuk sebarang variabel-variabel yang berbeda x1, x2,..., xn, kalimat F[xl, x2,..., xn], dan terms t1, t2,..., tn, klosur universal dari kalimat-kalimat Perhatikan bahwa tidak disyaratkan bahwa variabel-variabel x1, x2,..., xn benar-benar muncul dalam F [x1, x2,..., xn], demikian juga mereka tidak harus memuat semua variabelvariabel bebas dalam F [x1,x2,...,xn]. Instansiasi Klosur ~ Closure Instantiation Versi lain dan proposisi instansiasi-kuantifaier berlaku untuk klosur-klosur universal dan eksistensial dari kalimat yang diberikan. Universitas Gadjah Mada 29

30 Proposisi (instansiasi kiosur) Untuk setiap variabel-variabel yang berbeda x1, x2,..., xn, kalimat F [x1, x2,..., xn], dan terms t1, t2,, tn kalirnat-kalirnat Perhatikan bahwa tidak disyaratkan bahwa variabel-variabel x1, x2,..., xn benarbenar muncul dalam F [xl, x2,..., xn], demikian juga kita tidak mengasumsikan bahwa mereka memuat semua variabel-vaniabel bebas dalam F [x1, x2,..., xn]. Kita tidak perlu merujuk ke klosur-klosur universal dari dua kalimat, karena mereka sudah tertutup. Untuk proposisi ini, akan digambarkan dengan satu contoh. Contob 3.36 Perhatikan kalimat F[x1, x2] : (for all y,)p(x1,y) and p(x1, z). Maka hasil penggantian secara aman pemunculan-pemunculan bebas x1 dan x2 masingmasing dengan term g(y) dan z, dalam F [x1, x2] adalah kalimat F [g(y), ] : (for all y )p(g(y),y ) and p(z, z). Menurut proposisi bagian universal, maka kalimat 3.6 Fungsi Pengenalan dan Penghapusan Di bagian ini akan dilengkapi pembahasan tentang logika predikat dengan suatu sifat yang akan sangat bermanfaat kemudian yang bisa untuk mendefinisikan fungsi baru. Akan diperlihatkan bahwa, meskipun dua skema kalimat F : (for all x)(for some y)h[x,y] dan G : (for all x) H[x, g(x)] tidak ekuivalen, akan tetapi mereka (F dan G) bemilai true untuk interpretasi yang hampir sama. Sehingga bisa dianggap sebagai hampir ekuivalen (almost equivalent). Sebelum sifat ini dibuat tepat (precise), terlebih dahulu harus diperkenalkan hasil berikut sehubungan dengan fungsi dan relasi. Lemma (fungsi-relasi) Misal D adalah suatu himpunan dan R(d,e) adalah relasi antara elemen-elemen dan D. Maka untuk setiap elemen d D, ada suatu elemen e D sedemikian hingga R(d,e) bernilai true. precisely when Universitas Gadjah Mada 30

31 ada suatu fungsi uner (unary function) k atas domain sedemikian hingga, untuk setiap elemen d D, maka R(d k(d)) bemilai true. Perhatikan bahwa ini adalah suatu sifat, bukan dari kalimat-kalimat logika predikat, tetapi dari fungsi-fungsi dan relasi-relasi aktual (sebenarnya) atas suatu himpunan. Khususnya, R(d,e) bukan suatu kalimat melainkan suatu relasi aktual; k bukan simbol fungsi melainkan suatu fungsi aktual. Contob 3.37 Misal D adalah himpunan bilangan-bilangan bulat, dan misal R(d,e) sebagai relasi kurang-dari (<),yang berlaku precisely when d < e. Maka menurut lemma, persyaratan, yaitu (dalam kasus ini), untuk setiap bilangan bulat d, ada suatu bilangan bulat e sedemikian hingga d < e, bemilai true precisely when persyaratan, yaitu ada suatu fungsi uner k sedemikian hingga untuk setiap bilangan bulat d, maka d < k(d), bernilai true. Kenyataannya, dalam kasus ini kedua persyaratan bernilai true, dengan mengambil k dalam sebagai, sebut saja fungsi successor k(d) = d+1. Sekarang pembuktian lemma. Bukti : Pembuktian dilakukan untuk masing-masing arah secara terpisah. Diketahui berlaku, kemudian kita definisikan suatu fungsi uner k sebagai berikut. Perhatikan suatu sebarang elemen d D. Ambil e sebagai elemen dan D sedemikian hingga R(d, e) bernilai true. (Adanya elemen semacam ini dijamin oleh.) Selanjutnya ambil k(d) sebagai e. Sehingga untuk setiap elemen d D, relasi R(d, k(d)) benilai true, yaitu berlaku. Diketahui berlaku, selanjutnya ambil k sebagai fungsi uner atas D sedemikian hingga untuk setiap elemen d D, relasi R(d, k(d)) benilai true. (Adanya fungsi semacam ini dijamin oleh Untuk sebarang elemen d D, ambil e sebagai k(d); maka R(d, e) bernilai true, yaitu berlaku Hasil utama dari bagian ini menerapkan lemma terhadap kalimat-kalimat logika predikat. Proposisi (pengenalan dan eliminasi fungsi) Ambil F: (for all x)(for some y) H[x,y] sebagai kalimat, di mana x dan y merupakan variable-variabel berbeda. Kemudian ambil G : (for all x) H[x,y] sebagai kalimat yang diperoleh dengan menghilangkan kuantifaier (for some y) dari F dan mengganti semua pemunculan bebas dari y dalam H[x,y] dengan term g(x), di mana g adalah simbol fungsi uner yang tidak muncul dalam F. Universitas Gadjah Mada 31

32 Maka, jika F benilai true di bawah suatu interpretasi I untuk F, maka G bemilai true di bawah suatu interpretasi I g untuk G, di mana I dan I g agree on semua simbol kecuali mungkin g, dan bawah J. Jika G benilai true di bawah suatu interpretasi J untuk G, maka F juga bernilai true di Contoh 3.38 Perhatikan kalimat F : (for all x)(for some y)p(x, y) dan perhatikan suatu interpretasi I atas bilangan-bilangan bulat di mana p relasi kurang-dari (<), yaitu pl(d, e) adalah d < e. Kemudian anti intuitif dan F di bawah I adalah untuk setiap bilangan bulat x, ada suatu bilangan bulat y sedemikian hingga x < y, bernilai true. Untuk simbol fungsi uner g, kalimat yang bersesuaian adalah G: (for allx)p(x,g(x)). Selanjutnya, menurut proposisi pengenalan-fungsi, G bernilai true di bawah suatu interpretasi I g untuk G yang agree dengan I pada semua simbol kecuali mungkin g. Dalam kenyataannya, perhatikan interpretasi yang diperluas I g : <g k> o I, di mana k adalah fungsi successor, yaitu k(d) = d+1. Maka benar-benar agree dengan I pada semua simbol kecuali mungkin g. Demikian juga, arti intuitif dari G di bawah I g adalah untuk setiap bilangan bulat x, x <x + 1, yang bernilai true. Sebaliknya, perhatikan interpretasi J atas domain bilangan-bilangan bulat di mana p relasi kurang-dari (<) g fungsi successor. Maka arti intuitif dati G di bawah J adalah untuk setiap bilangan bulat x, x <x+ 1, yang bernilai true. Sesuai dengan proposisi eliminasi-fungsi, sehingga F juga bernilai true di bawah interpretasi yang sama J. Dalam kenyataannya, arti intuitif dari F di bawah J adalah untuk setiap bilangan buiat x, ada suatu bilangan bulatj sedemikian hingga x yang bernilai true. Catatan Remark ( hampir ekuivalen ) Jika proposisi menerangkan bahwa F dan G bernilai true di bawah interpretasi yang persis (tepat _precisely) sama, maka kita telah memperlihatkan bahwa F dan G ekuivalen. Universitas Gadjah Mada 32

33 Karena proposisi menerangkan bahwa F dan G bernilai true di bawah interpretasiinterpretasi yang mungkin berbeda hanya pada g, maka kita katakan bahwa F dan G hampir sama. Kenyataannya, F dan G tidak perlu ekuivalen. Untuk Iebih jelasnya, perhatikan kalimat-kalimat yang digunakan dalam contoh sebelumnya, yaitu F : (for all x) (for some y)p(x,y) dan G : (for all x)p(x,,g(x)). Ambil K sebagai interpretasi atas himpunan bilangan-bilangan bulat di mana p relasi kurang-dari (<) g fungsi predecessor (yaitu, gk (d) = d - 1). Maka arti intuitif dan F di bawah K adalah untuk setiap bilangan bukit x, ada suatu bilangan bulatj sedemikian hin<gga x <j, yang bernilai true. Akan tetapi arti intuitif dan G di bawah K adalah untuk setiap bi/angan bulat x, x <x 1, yang bernilai false. Karena kita bisa menemukan suatu intepretasi di mana F dan G mempunyai nilai-nilai kebenaran berbeda, kita bisa menyimpulkan bahwa mereka tidak ekuivalen. Soal-soal problems Soal 3.1 (validitas skema kalimat) Perlihatkan bahwa klosur universal dari kalimat-kalimat berikut adalah valid untuk setiap kalimat F dan G. Untuk kalimat-kalimat yang bentuknya implikasi (implications), perlihatkan bahwa klosur dan konvers (converses) mereka tidak valid untuk beberapa kalimat F dan G. Soal 3.2 (validitas dengan syarat-syarat tambahan) Perlihatkan bahwa klosur universal dari kalimat-kalimat berikut adalah valid untuk setiap kalimat F dan G seandainya bahwa x tidak bebas dalam G. Perlihatkan bahwa klosur universal dari kalimat-kalimat ini tidak valid untuk beberapa kalimat F dan G seandainya x benar-benar muncul bebas dalam G. Soal 3.3 (implikasi, ekuivalensi, dan validitas) Perlihatkan bahwa untuk setiap dua kalimat F dan G, Universitas Gadjah Mada 33

34 Soal 3,4 (distribusi klosur) Perlihatkan validitas kalimat-kalimat Soal 3.5 (sifat nilai) Perlihatkan bahwa akibat variable terhadap proposisi nilai tidak berlaku untuk operator substitusi parsial. Dengan kata lain, tidak perlu bahwa untuk suatu variable x, suatu ekspresi F <x>, suatu variable y yang tidak muncul bebas dalam F <x>, suatu interpretasi K untuk F <x>, dan sebarang elemen domain d, Soal 3.6 (instansiasi dan substitusi parsial) Jika kita mengganti operator substitusi total dengan operator substitusi parsial, maka proposisi instansiasi-kuantifaier dan instansiasi-klosur yang bersesuaian tidak perlu berlaku. a) untuk masing-masing kalimat berikut, cari suatu kalimat bagian F <x>, suatu term t, dan suatu interpretasi di mana kalimat keseluruhan bernilai false. b) Untuk masing-masing kalimat berikut, cari suatu kalimat bagian (subsentence) F<x1, x2, xn>, terms t1, t2,..., tn, dan suatu interpretasi di mana keseluruhan kalimat bernilai false. Universitas Gadjah Mada 34