MATRIKS INVERS MOORE PENROSE ATAS DAERAH INTEGRAL. Titi Udjiani SRRM Jurusan Matematika FMIPA UNDIP Jl. Prof. H. Soedarto, S.

Ukuran: px

Mulai penontonan dengan halaman:

Download "MATRIKS INVERS MOORE PENROSE ATAS DAERAH INTEGRAL. Titi Udjiani SRRM Jurusan Matematika FMIPA UNDIP Jl. Prof. H. Soedarto, S."

Yuliani Setiabudi
7 tahun lalu
Tontonan:

1 MTRIKS INVERS MOORE PENROSE TS DERH INTEGRL Titi Udini SRRM Jurusn Mtemtik FMIP UNDIP Jl Prof H Soedrto, SH, Semrng 5075 bstrct The Inverse Moore Penrose mtrix hs been pplied in vrious res, for exmple in sttistic nd optimiztion In this pper we study Inverse Moore Penrose mtrix which is pplied to Integrl Domin We wl first discuss the chrcteriztion of ll mtrices over Integrl Domin which dmits Moore Penrose Inverse With this chrcteriztion we wl derive necessry nd sufficient conditions for mtrix to hve Moore Penrose Inverse We lso show the reltions between Moore Penrose Inverse mtrix nd Compound mtrix The im of this pper is to obtin n explicit formul for the Moore Penrose Inverse when it exist nd gives necessry nd sufficient condition for mtrix to hve Moore Penrose Inverse under the ssumption tht mtrix hs rnk fctoriztion Key words: Integrl Domin, rnk, minor 1 PENDHULUN Jik dlh sutu mtriks dengn rnk r dn elemen elemenny merupkn ring komuttif, mk syrt perlu dn cukup gr mempunyi invers Moore Penrose dlh ik umlhn dri semu minor berukurn rxr dri mempunyi invers Moore Penrose St ini mtriks invers Moore Penrose semkin bnyk penggunnny dlm berbgi cbng mu mtemtik, mislny dlm sttistik dn opersi riset Oleh krenny tulisn ini kn membhs mengeni mtriks Invers Moore Penrose pd Derh Integrl Seperti telh dikethui bhw Derh Integrl dlh Ring komuttif dengn elemen stun yng tidk sm dengn nol dn tidk mempunyi pembgi nol seti mengcu pd [] Selnutny untuk dpt memhmi tulisn ini, pemhmn mengeni Derh Integrl sngt diperlukn MTRIKS INVERS MOORE PENROSE PD DERH INTEGRL Berikut ini dlh definisi mengeni mtriks Invers Moore Penrose Definisi 1 [3] Dikethui dlh mtriks berukurn mxn ts Derh Integrl R Sutu mtriks G berukurn nxm ts R diktkn mtriks invers Moore Penrose dri ik: 1 G GG G 3 (G) T G 4 (G) T G Lemm 1 [3] Dikethui dlh mtriks tidk nol berukurn nx1 ts R Mtriks diktkn mempunyi Invers Moore Penrose ik dn hny ik T invertible di R Bukti Dikethui bhw mempunyi invers Moore Penrose, kn ditunukkn bhw T invertible di R Misl G dlh invers Moore Penrose dri, mk G Kren 0 dn berukurn nx1 mk G dlh I 1 Selnutny kren (G) T G mk G T T (G) T G Sehingg (GG T )( T ) G(G T T ) G I 1 60

2 Titi Udini SRRM (Mtriks Invers Moore Penrose ts Derh Integrl) Smpi disini terbukti bhw T invertible di R, dengn inversny GG T Seblikny dikethui bhw T invertible di R, kn dibuktikn bhw mempunyi mtriks invers Moore Penrose Untuk membuktikn bhw mempunyi mtriks invers Moore Penrose, kn ditunukkn bhw ( T ) 1 T dlh invers Moore Penrose dri T () ( ( T ) 1 T )(( T ) 1 T ) ( T ) 1 ( T )( T ) 1 T ) Kren T invertible, rtiny ( T ) 1 d, mk ( T ) 1 ( T )( T ) 1 T ) I( T ) 1 T ( T ) 1 T (b) (( T ) 1 T ) (( T ) 1 T ) Kren T invertible di R, mk (( T ) 1 T ) (c) ((( T ) 1 T )) T (( T ) 1 ) T T ( 1 ( T ) 1 ) T T ( 1 ( 1 ) T ) T T 1 ( 1 ) T T 1 ( T ) 1 T ( T ) 1 T (d) ((( T ) 1 T )) T T (( T ) 1 ) T ( 1 T ( 1 ) T ) T T ( 1 ) T T (( T ) 1 T ) T T (( T ) 1 ) T T ( 1 ( T ) 1 ) T T ( 1 ( 1 ) T ) T T ( 1 ( 1 ) T ) T ( T ) 1 ( T ) 1 ( T ) Dengn cr yng sm ug dpt ditunukkn untuk mtriks tk nol yng berukurn 1xm ts R Pd pembicrn selnutny kn dibhs untuk mtriks ts R yng full rnk Definisi [3] Dikethui (( i )), dlh mtriks berukurn mxn ts derh integrl R, ( i1,,ir ) dengn1 i1 ir m,,, ) dengn n ( 1 r 1 1 r dlh submtriks yng ditentukn oleh bris sesui dengn dn kolom sesui dengn Jik ( i1,,im ) mk cukup ditulis dengn, dn ik ( 1 n,, ) mk cukup ditulis dengn Teorem 1 [3] Dikethui dlh mtriks berukurn mxn ts R dengn rnk n Pernytn di bwh ini ekivlen 1 mempunyi mtriks invers Moore Penrose T invertible di R 3 invertible di R Dengn berln sepnng n elemen subset dri {1,,,m} Selnutny ik Invers Moore Penrose dri d, mk (( T ) 1 ) T dlh invers Moore Penrose dri Bukti 1 Dikethui mempunyi invers Moore Penrose kn ditunukkn bhw T invertible di R Misl G dlh invers Moore Penrose dri, mk GG T T G(G) T GG G Misl full coulomb rnk, mk menurut [1] rnk dlh n Sehingg GG T T I n Terbukti bhw T invertible di R 1 Selnutny dikethui T invertible di R Untuk menunukkn bhw mempunyi invers Moore Penrose yitu dengn menunukkn bhw (( T ) 1 ) T dlh invers Moore Penrose dri yng sudh ditunukkn pd lemm 61

3 Jurnl Mtemtik Vol 8, No, gustus 005: Kren mempunyi rnk n dn dengn menggunkn formulsi Cuchy Binet, diperoleh: T T Dengn berln sepnng n elemen subset dri {1,,,m} Kren sutu mtriks buur sngkr ts R invertible ik dn hny ik determinnny invertible di R dn T invertible, mk terbukti bhw invertible Teorem dits ug berlku ik mempunyi rnk m ( full row rnk ) Teorem [3] Jik dlh mtriks berukurn mxn di R dengn rnk r, dn BC dlh fktorissi rnk dri ts R, mk kondisi dibwh ini ekivlen 1 mempunyi invers Moore Penrose B T B dn CC T invertible di R 3, invertible di R, dengn {1,, m}; dn {1,,,n} Selnutny ik invers Moore Penrose dri d mk B T dlh invers Moore Penrose dri Bukti 1 Misl G dlh mtriks invers Moore Penrose dri, sehingg BCGG T T BC BCG(G) T BC BCGGBC BCGBC BC rtiny CGG T T B CGG T (BC) T B CGG T C T B T B I Terbukti bhw B T B invertible di R Dengn cr yng sm diperoleh ug bhw CC T invertible di R 1 kn ditunukkn bhw C T (CC T ) 1 (B T B) 1 B T dlh mtriks invers Moore Penrose dri () B T C T (C T ) 1 B T B 1 (BC) 1 1 (b) B T C T (CC T ) 1 ( B T B) 1 B T C T (C T ) 1 B T B 1 B T B 1 B T (BC) 1 B T 1 B T (c)kren C T (C T ) 1 B 1 (BC) 1 1 I, mk ( B T ) T B T (d)dengn cr yng sm kren I mk ( B T ) T B T 3 Kren BC dlh fktorissi rnk dri ts R, mk dengn menggunkn formulsi Cuchy Binet diperoleh bhw B C untuk sutu berln sepnng r elemen subset di {1,,,m} dn berln sepnng r elemen subset di {1,,,n} Sehingg,, B C B C Dengn menggunkn Teorem Terbukti bhw, invertible kibt 1 Dikethui dlh mtriks berukurn mxn ts R dengn rnk r Jik d fktorissi rnk BC dri ts R mk kn mempunyi mtriks Invers Moore Penrose ik dn hny ik C r () mempunyi invers Moore Penrose Bukti ( )Kren d fktorissi rnk BC mk C r () C r (B) C r (C) Sehingg 6

4 Titi Udini SRRM (Mtriks Invers Moore Penrose ts Derh Integrl) kren C r () mempunyi invers Moore Penrose dn dengn menggunkn teorem 3 [1) 3)], diperoleh bhw umlhn dri semu elemen di C r () yitu, invertible, dengn {1,, m}; dn {1,,,n} kibtny dengn menggunkn teorem 3 [3) 1)] diperoleh mempunyi invers Moore Penrose ( )Misl G dlh invers Moore Penrose dri, sehingg G Dengn menggunkn sift mtriks Compound diperoleh bhw C r (G) dlh invers dri C r () Lemm Dikethui mtriks berukurn mxn ts R yng mempunyi rnk 1 diktkn mempunyi invers Moore Penrose ik dn hny ik i, Bukti ( )Dikethui u i, i, invertible di R i, invertible di R kn ditunukkn bhw T dlh invers Moore Penrose dri Kren mempunyi rnk 1 mk setip minor berukurn x dri mempunyi determinn nol Untuk sutu i,,l diperoleh i, k, i, l k, l Sehingg untuk sutu i,l diperoleh: g i k i 1 ( ( ) ) k, (*) Terbukti bhw G g g u 1 i lk i u 1 1 ( ) g k Terbukti bhw GG G Selnutny (G) T ( T ) T (u 1 ) T T T G (G) T ( T ) T T (u T ) 1 T u 1 T G ( )Misl G dlh invers Moore Penrose dri ; r i dlh bris ke i dri dengn i 1,,,m dn c dlh kolom ke dri G dengn 1,,,n Selnutny dibentuk mtriks B 1 xmn (r 1, T T T r,,r m ); H mnx 1 (c 1,c,,cm ) dn kn ditunukkn bhw H dlh invers Moore Penrose dri B Dengn menggunkn (*) diperoleh 1; 1; g k 1; BH 1 Sehingg HBH H; BHB B dn (BH) T BH c1r1 c1rm Selnutny HB cr1 crm cmr1 cmrm Untuk menunukkn bhw (HB) T HB, kn ditunukkn dengn (c r ) T i Dits sudh ditunukkn bhw T dlh invers Moore Penrose dri Kren sift tunggl dri invers mk g i i, untuk setip i, Sehingg untuk sutu i,,l diperoleh g ki l ik l l ik g l ik Jdi (c i r ) T c r i, untuk setip i, Sehingg (HB) T HB Kemudin dengn menggunkn Lemm 1 diperoleh i, invertible di R i, Teorem 3 Dikethui mtriks berukurn mxn ts R dengn rnk r Pernytn pernytn di bwh ini ekivlen : 1 mempunyi invers Moore Penrose 63

5 Jurnl Mtemtik Vol 8, No, gustus 005: C r () mempunyi invers Moore Penrose 3 invertible di R, dengn {1,, m}; dn {1,,,n} Selnutny ik G invers Moore Penrose dri, mk G ((g i )) dengn g i, : i : u, i dn Bukti 1 Misl G dlh invers Moore Penrose dri Dengnmenggunkn sift mtriks Compound yng diberikn oleh Prosolov mk C r (G) dlh invers Moore Penrose dri C r () 3 Dengn menggunkn teorem 3 diperoleh mempunyi invers Moore Penrose 3 PENUTUP Jik dlh mtriks ts Derh Integrl yng mempunyi fktorissi rnk, mk: 1 Invers Moore Penrose dri dpt diperoleh mellui fktorissi rnkny mempunyi Invers Moore Penrose ik dn hny ik mtriks Compoundny ug mempunyi invers Moore Penrose 4 DFTR PUSTK [1] yres F, Liner lgebr, Mc Grw Hl,Inc,United Stte of meric [] Bpt, RB, Bhskr Ro, KPS, Myunt, K (1990), Generlized Over Integrl Domin, Elsevier Science Publishing CoInc, New York [3] Brown WC (1993), Mtrices Over Commuttive Rings,Mrcel Dekker, Inc New York [4] Frleigh JB(1994), First course in bstrct lgebr, Fourth edition, ddison Wesley CoInc,New York 64

dokumen-dokumen yang mirip

DETERMINAN DAN INVERS MATRIKS BLOK 2 2

Buletin Ilmih Mth. Stt. dn Terpnny (Bimster) Volume 06, No. 3(2017), hl 193 202. DETERMINAN DAN INVERS MATRIKS BLOK 2 2 Ilhmsyh, Helmi, Frnsiskus Frn INTISARI Mtriks blok merupkn mtriks persegi yng diblok