GENERALISASI ATURAN CRAMER

Transkripsi

1 GENERALISASI ATURAN CRAMER Ferry Syhrindi, Thresye, Akhmd Yusuf Progrm Studi Mtemtik Fkults MIPA Universits Lmbung Mngkurt Jl. A. Yni Km. 36, Bnjrbru 70714, Klsel Emil : ferryexfresh@gmil.com ABSTRAK Sistem persmn linier Ax = b, x R n, b R m dn n m di mn A = ij m n dlh mtriks riil yng dpt mempunyi solusi tunggl, tk hingg bnykny solusi, tu tidk mempunyi solusi. Ketik n m, sistem mempunyi solusi tunggl dengn norm minimum yng diberikn oleh invers Moore-Penrose, dinotsikn dengn A + dn berbentuk A + b = A T (AA T ) 1 b dengn det(aa T ) 0. Tujun dri penelitin ini dlh membuktikn turn Crmer yng telh digenerlissi sehingg dpt digunkn untuk menentukn solusi sistem persmn linier yng demikin. Penelitin ini bersift studi litertur. Hsil penelitin yng diperoleh dengn menggunkn invers Moore-Penrose dn turn Crmer dlh turn Crmer yng digenerlissi. Rumus tersebut dpt digunkn untuk menentukn solusi sistem persmn linier Ax = b di mn A = ij m n dn n m. Kt kunci: Sistem persmn linier, turn Crmer, invers Moore-Penrose ABSTRACT Liner eqution system Ax = b, x R n, b R m nd n m where A = ij m n is rel mtrix tht cn hveone solution, infinitely mny solutions, or no solution.when n m, the system hve unique solution with minimum norm given by Moore-Penrose inverse, denote by A + nd hs forma + b = A T (AA T ) 1 bwith det(aa T ) 0.The purpose ofthis reserch is to prove Crmer s rule tht hve been generlized, so it cn be used to determine solution of liner eqution system. This reserch is study of literture. The result obtined using Moore-Penrose inverse nd Crmer s rule is Crmer s rule tht hve been generlized. This formul cn be used to determine solution of liner eqution system Ax = b nd n m where A = ij m n nd n m. Keywords: Liner eqution system, Crmer s rule, Moore-Penrose inverse 1. PENDAHULUAN Sistem persmn linier yng berbentuk Ax = bdptmempunyi solusi tunggl, tk hingg bnykny solusi, tu tidk mempunyi solusi [1].Sistem persmn linier Ax = b, x R n, b R m dn n m di mna = ij m n dlh mtriks riil yng mempunyi solusi tunggl ketik m = n dn det(a) 0, solusiny dpt dicri dengn menggunkn turn Crmer [5]. Burgsthler [2] menytkn sistem persmn linier Ax = b dengn mtriks A berbentuk bujur sngkr dpt dibentuk sebgi sutu kombinsi linier dri solusi sistem tersebut yng disebut dengn generlissi turn Crmer sederhn.dlm pengembngnny, generlissi turn Crmer sederhn digunkn untuk menentukn solusi dri sistem persmn linier Ax = b di mn A = ij m n yng rtiny tidk hny ketik mtriks A berbentuk bujur sngkr, nmun jug ketik mtriks A tidk berbentuk bujur sngkr, dlm ksus inin > m. Sistem tersebut memiliki solusi tunggl dengn norm minimum yng diberikn oleh invers Moore-Penrose dn dinotsikn dengn A +, dlm hl ini solusi yng diberikn dlh A + b = A T (AA T ) 1 b dengn det(aa T ) 0 [5].Berdsrkn urin mslh yng dikji, mk dibhs penyelesinsistem persmn linier Ax = b di mn mtriksa berukurn m n dengn n mmenggunkn turn Crmer. 19

2 2. TINJAUAN PUSTAKA 2.1 Sistem Persmn Linier Definisi 2.1 [1] Secr umum persmn linier dengnnvribelx 1, x 2,, x n dpt ditulis dlm bentuk: 1 x x n x n = b...(2.1) di mn 1, 2,, n dnbbilngn konstn sert i tidk semuny nol.dlm ksus khusus persmn (2.1) disebut persmn linier homogen jikb = 0.Kumpuln dri persmn linier disebut sistem persmn linier. Secr umum sistem persmn linier dengnmpersmn dnnvribelx 1, x 2,, x n dpt ditulis dlm bentuk: 11 x x n x n = b 1 21 x x n x n = b 2...(2.2) m1 x 1 + m2 x mn x n = b m Sistem persmn linier dpt mempunyi solusi tunggl, tk hingg bnykny solusi, tu tidk mempunyi solusi.dri persmn (2.2) dpt dijdikn sebuh perklin mtriks, dinotsikn dengn A, xdn b, mk dpt ditulis kembli persmn mtriks tunggl: Ax = b...(2.3) 2.2 Mtriks dn Opersi Mtriks Mtriks dlh susunn persegi pnjng dri bilngn-bilngn. Bilngnbilngn tersebut disebut entri tu elemen mtriks. Opersi-opersi ritmtik dlm mtriks yitu penjumlhn mtriks, pengurngn mtriks, perklin mtriks dengn sutu sklr, dn perklin mtriks dengn mtriks. Teorem 2.2 [1] Jik A mtriksn ndn dpt diblik, mk untuk setip mtriksbn 1dri sistem persmnax = bmempunyi solusi eksk tunggl yitux = A 1 b. 2.3 Determinn Ad beberp definisi yng dikembngkn dlm rngkin determinn, slh stu konteksny dlh untuk menyelesikn sistem persmn linier. Definisi 2.3[1] JikA mtriksn n, mk bilngn yng diperoleh dengn menglikn entri-entri dlm setip bris tu kolom driadengn kofktor yng sesui dn menmbhkn hsilny disebut determinna, dn jumlhn semuny disebut ekspnsi kofktora. det(a) = 1j C 1j + 2j C 2j + + nj C nj...(2.4) (ekspnsi kofktor sepnjng kolom ke-j) dn det(a) = i1 C i1 + i2 C i2 + + in C in...(2.5) (ekspnsi kofktor sepnjng bris ke-i). Teorem 2.4 [1] JikA dlh mtriks bujur sngkr dengn du bris mempunyi entri-entri yng identik tu du kolom mempunyi entri-entri yng identik, mkdet(a) = 0. Teorem 2.5 [1] Diberikn mtriksaberukurnn n i. JikBdlh mtriks yng dihsilkn dri bris tunggl tu kolom tunggl yng diklikn dengn sklrk, mkdet(b) = k det(a). 20

3 ii. JikB dlh mtriks yng dihsilkn dri du buh bris tu du buh kolom mtriksa yng sling ditukr, mkdet(b) = det(a). iii. JikBdlh mtriks yng dihsilkn dri penggndn sutu bris mtriksa ditmbhkn ke bris lin tu penggndn sutu kolom mtriks Aditmbhkn ke kolom linny, mkdet(b) = det(a). Teorem 2.6[1] DiberiknA, B,dnCdlh mtriks berukurnn nyng hny berbed pd slh stu brisny, ktkn bris ke-r, dn disumsikn bhw bris ke-r dri C dpt diperoleh dengn menmbhkn entri-entri yng bersesuin pd bris ke-rdri mtriks Adn B. Mk det(c) = det(a) + det(b)...(2.6) Hsilny jug sm untuk kolom ke-r. Teorem 2.7[1] Jik sistem persmn linierax = bdengna berukurnn nsedemikin sehinggdet(a) 0, mk sistem mempunyi solusi tunggl, yitu: x 1 = det(a 1) det(a), x 2 = det(a 2) det(a),, x n = det(a n)...(2.7) det(a) di mna j dlh mtriks yng diperoleh dengn menggntikn entri-entri pd kolom ke-j dri mtriksa dengn entri-entri pd mtriks b 1 b 2 b = b n Rumus di ts disebut turn Crmer. 2.4 Rung Vektor Rung vektor dengn sklr riil disebut rung vektor riil dn rung vektor dengn sklr kompleks disebut rung vektor kompleks. Definisi 2.8 [1] JikS = (v 1, v 2,, v r )bukn himpunn kosong di rung vektorv, mk persmn k 1 v 1 + k 2 v k r v r = 0...(2.8) pling tidk mempunyi stu solusi, yitu k 1 = 0, k 2 = 0,, k r = 0 yng disebut solusi trivil. Jik ini stu-stuny solusi, mks disebut bebs linier dn jik d solusi selin solusi trivil, mksdiktkn bergntung linier. 2.5 Rnk dn Nullits Definisi 2.9[1] Dimensi umum dri rung bris dn rung kolom mtriksa disebut rnkadn donotsikn dengnr(a);dimensi dri rung nulladisebut nullitsadn dinotsikn dengnn(a). Definisi 2.10[3] MtriksA berukurnn nnonsingulr jik dn hny jik r(a) = n.mtriksaberukurn n n yng mempunyi rnk kurng dri ndisebut singulr. Teorem 2.11[6] JikA dlh mtriks berukurnm n, mk r(a) = r(a T A) = r(aa T )...(2.9) 21

4 2.6 Rung Hsil Kli Dlm Hsil kli dlm merupkn opersi yng mengitkn ntr rung vektor dengn bilngn riil. Definisi 2.12[1] Hsil kli dlm pd rung vektor riilv dlh fungsi yng menghubungkn bilngn riil u, v dengn setip psng dri vektor-vektor div yng memenuhi ksiom berikut untuk setipu, v, w Vdn sklrk: i. u, v = v, u ii. u + v, w = u, w + v, w iii. ku, v = k u, v iv. v, v 0 dn v, v = 0jik dn hny jikv = 0 Rung vektor yng dilengkpi dengn hsil kli dlm disebut rung hsil kli dlm. Definisi 2.13[1] JikV dlh rung hsil kli dlm riil, mk norm (pnjng) dri vektorvdivdinotsikn dengn v dn didefinisikn oleh v = v, v...(2.10) Definisi 2.14[1] Du buh vektoru dn v dlm rung hsil kli dlm disebut ortogonl jik u, v = 0. Lngkh-lngkh konstruksi dri bsis ortogonl tu ortonorml disebut proses Grm-Schmidt. i. v 1 = u 1 ii. v 2 = u 2 u 2,v 1 v iii. v 3 = u 3 u 3,v 1 v u 3,v 2 v iv. v 4 = u 4 u 4,v 1 v 1 2 v 1 u 4,v 2 v 2 2 v 2 u 4,v 3 v 3 2 v 3 dn seterusny Definisi 2.15 [4] Rung Hilbert dlh rung hsil kli dlm lengkp. Lemm 2.16 [5] Diberikn V dn W dlh rung Hilbert, G L(V, W) dn G L(W, V) dlh djoint opertor, mk pernytn berikut berlku i. Rnge(G) = W γ > 0 G w V γ w W, w W. ii. Rnge(G) = W Ker(G ) = {0}W G stu-stu. 2.7 Invers Moore-Penrose Definisi 2.17[7] Diberikn mtriksaberukurnm n. MtriksXdiktkn pseudo-invers tu invers tergenerlissi dri mtriksajik dn hny jikxmemenuhi stu tu lebih sift-sift berikut: i. AXA = A ii. XAX = X iii. (AX) = AX 22

5 iv. (XA) = XA di mnb dlh konjugt trnspos dri mtriksbyng secr umum entri-entri mtriksbdlh bilngn kompleks. Apbil entri-entri mtriksbdlh bilngn riil mkb = B T.Jik X memenuhi sift (i) mk disebut one-inverse. Definisi 2.18[7] X diktkn invers Moore-Penrose dri mtriksajik dn hny jikx memenuhi semu sift yng diberikn oleh Definisi 2.16 dn dinotsikn dengna +. Teorem 2.19[7] Untuk sebrng sistem persmn linierax = bdengnaberukurnm ndnr(a) = m, x = A + 2 bdlh solusi tunggl dengn x 2 minimum. 3. METODE PENELITIAN Metode penelitin yng digunkn dlm penelitin ini dlh studi litertur. Prosedurny dimuli dengn mengumpulkn bhn tentng generlissi Aturn Crmr. Kemudin membuktikn teorem yng menytkn sistem persmn Ax = b mempunyi solusi jik dn hny jik det(aa T ) 0 menggunkn turn Crmer dn invers Moore-Penrose. Selnjutny mendefinisikn sutu sistem persmn linier l i, x = b i di mn i = 1,2,, m yng dibentuk dri vektor-vektor bris mtriks Abesrt solusiny. Kemudin membuktikn teorem yng menytkn sistem Ax = b mempunyi solusi jik dn hny jik vektor-vektor brisny bebs linier menggunkn proses Grm-Schmidt. 4. HASIL DAN PEMBAHASAN 4.1 Generlissi Aturn Crmer Didefinisikn sutu sistem persmn linier Ax = b, x R n, b R m, n m...(4.1) Ketik m = n dn det(a) 0,menurut Teorem 2.2 sistem tersebut mempunyi solusi tunggl yitu x = A 1 b. Berdsrkn Teorem 2.7, solusi persmn (4.2)jug dpt dicri menggunkn turn Crmer.Ad sebuh teorem yng menytkn bhw solusi dri persmn (4.2) dpt berup sutu kombinsi linier yng mn teorem ini disebut jug sebgi turn Crmer Sederhn sesui dengn teorem berikut: Teorem 4.1 Sistem persmn (4.1) dengn m = nmempunyi solusi tungglx 1, x 2,, x n, mk jumlhn dri solusi sistem k i R di mni = 1,2,, nmemenuhi: k 1 x 1 + k 2 x k n x n 11 + k 1 b k 2 b 1 1n + k n b k 1 b k 2 b 2 2n + k n b 2 = n1 + k 1 b n n2 + k 2 b n nn + k n b n (4.2) n n2 1n 2n nn Bukti: Diberikn N dlh mtriks koefisien konstn sistem yng entri-entriny ditmbhkn dengn konstnt bpd bris yng bersesuin dn terdpt sutu sklr k i R di mn i = 1,2,, n sedemikin sehingg determinnny dlh 23

6 11 + k 1 b k 2 b 1 1n + k n b 1 det(n) = 21 + k 1 b k 2 b 2 2n + k n b 2 n1 + k 1 b n n2 + k 2 b n nn + k n b n berdsrkn Teorem 2.6,2.5 (i), dnteorem 2.4mk n b n 11 b 1 1n n b det(n) = + k n + k 2 21 b 2 2n n1 n2 nn b n n2 nn n1 b n nn b k n b 2 n1 n2 b n Jik kedu rus dibgi dengn determinn dri mtriks A mk dengn menggunkn Teorem 2.7 tu turn Crmer diperoleh k 1 x 1 + k 2 x k n x n = det(n) det(a) k 1 b k 2 b 1 1n + k n b k 1 b k 2 b 2 2n + k n b 2 k 1 x 1 + k 2 x k n x n = n1 + k 1 b n n2 + k 2 b n nn + k n b n n n2 1n 2n nn Dlm ksus lin, persmn (4.1) kn memiliki solusi di mn mtriksa berukurnm n dengn n m sesui dengn teorem berikut. Teorem 4.2 Untuk setip b R m,persmn(4.1) mempunyi solusi jik dn hny jikdet(aa T ) 0. Bukti: Mtriks A dipndng sebgi opertor linier A: R n R m dn djoint opertor A T dlh trnspos mtriks A di mn A T : R m R n. Persmn (4.2) mempunyi solusi jik dn hny jik opertor A surjektif. Oleh kren itu, dri Lemm 2.16 γ > 0 A T z R n γ z R m, z R m sehingg AA T z, z γ 2 z 2 R m, z R m kibtny AA T stu-stu. Kren AA T mtriks m m, mk det(aa T ) 0. Jik dikethui det(aa T ) 0, mk berdsrkn Definisi 2.11r(A) = m. Dri Teorem 2.19 dpt diliht jik r(a) = m mk x = A T (AA T ) 1 b dlh solusi dri Ax = bdn merupkn solusi dengn norm minimum. Jikw = (AA T ) 1 b dlh stu-stuny solusi dri persmn(aa T )w = b, mk dri Teorem 2.7diperoleh w 1 = det((aat ) 1 ) det(aa T ), w 2 = det((aat ) 2 ) det(aa T ),, w m = det((aat ) m ) det(aa T ) 24

7 di mn (AA T ) i dlh mtriks yng diperoleh dengn menggnti entri-entri pd kolom ke-i dri mtriks AA T dengn mtriks b 2 b m Solusi x = A T (AA T ) 1 bdri persmn (4.1) dpt dituliskn sebgi berikut: m det((aa T ) i ) i1 det(aa T ) i=1 x 1 m x det((aa T ) i ) 2 = i2 det(aa T ) i=1 x n m det((aa T ) i ) in det(aa T ) i=1 Benr bhw untuk setipb R m,persmn(4.2)mempunyi solusi jik dn hny jikdet(aa T ) 0. Jik persmn (4.2) didefinisikn sebgi vektor-vektor berikut m1 x 1 b m2 x 2 b l 1 =, l 2 =,, l m =, x = dn b = 2 1n 2n mn x n b m mk persmnny dpt ditulis dlm bentuk l i, x = b i, i = 1,2,, m...(4.3) Persmn (4.3) dpt dicri solusiny, sesui teorem berikut. Teorem 4.3 Solusi dri persmn(4.3) yng diberikn oleh invers Moore-Penrosex = A T (AA T ) 1 bdpt ditulis sebgi berikut: l j b 1 l 1, l 2 + 2j b 1 l 1, l m + mj b 1 l 2, l 1 + 1j b 2 l j b 2 l 2, l m + mj b 2 l m, l 1 + 1j b m l m, l 2 + 2j b 2 l m 2 + mj b m x j = l (4.4) l 1, l 2 l 1, l m l 2, l 1 l 2 2 l 2, l m l m, l 1 l m, l 2 l m 2 dengnj = 1,2,, n. Bukti: Solusi persmn (2.2) diberikn oleh invers Moore-Penrose dengn bentuk x = A T (AA T ) 1 b. Dikethui{l 1, l 2,, l m } dlh vektor-vektor bris mtriks A, mk b 1 25

8 x m1 x l 1 2 l 1, l 2 l 1, l m m2 = l 2, l 1 l 2 2 l 2, l m x n 1n 2n mn l m, l 1 l m, l 2 l m 2 l l 1, l 2 l 1, l m b Jik w = l 2, l 1 l l 2, l m l m, l 1 l m, l 2 l m 2 persmn (AA T )w = b yng dpt dituliskn sebgi berikut 1 b 1 b 2 b m b 2 b m merupkn sutu solusi untuk w 2 w m Solusi tersebut dpt disubstitusikn ke persmn sebelumny menjdi x 1 11 w w m1 w m x 2 = 12 w w m2 w m x n 1n w 1 + 2n w mn w m x j = 1j w 1 + 2j w mj w m dengn j = 1,2,, n Sesui dengn Teorem 4.1,solusi di ts dpt diubh menjdi l j b 1 l 1, l 2 + 2j b 1 l 1, l m + mj b 1 w 1 l 2, l 1 + 1j b 2 l j b 2 l 2, l m + mj b 2 l m, l 1 + 1j b m l m, l 2 + 2j b m l m 2 + mj b m x j = l l 1, l 2 l 1, l m l 2, l 1 l 2 2 l 2, l m l m, l 1 l m, l 2 l m 2 Teorem 4.4 Persmn(4.1)mempunyi solusi jik dn hny jik himpunn vektorvektor{l 1, l 2,, l m }bebs linier dir n. Bukti: Asumsikn persmn (4.1) mempunyi solusi b R m. Disumsikn bilngn c i, i = 1,2,, m d, sedemikin sehingg c 1 l 1 + c 2 l c m l m = 0 mk, x R n d sedemikin sehingg 11 x x n x n = c 1 21 x x n x n = c 2 m1 x 1 + m2 x mn x n = c m dengn kt lin l i, x = c i i = 1,2,, m oleh kren itu 2 c i l i, x = c i i = 1,2,, m Jdi c 1 l 1 + c 2 l c m l m, x = c c c 2 n = 0 26

9 Jurnl Mtemtik Murni dn Terpn εpsilon Sehingg c 1 = c 2 = = c m = 0 yng menunjukkn bhw vektor-vektor {l 1, l 2,, l m } bebs linier sesui Definisi 2.8. Disumsikn vektor-vektor {l 1, l 2,, l m } bebs linier di R n. Menggunkn proses Grm-Schmidt dpt dicri vektor-vektor {υ 1, υ 2,, υ m } yng ortogonl di R n mk persmn (4.1) kn ekuivlen dengn sistem berikut υ i, x = c i, i = 1,2,, m...(4.5) di mn c 1 = b 1 c 2 = b 2 l 2, υ 1 υ 1 2 c 1 c 3 = b 3 l 3, υ 1 υ 1 2 c 1 l 3, υ 2 υ 2 2 c 2 m 1 c m = b m l m, υ i υ i 2 c i i=1 Jik vektor-vektor υ i dengn υ i1 υ i2 υ i = i = 1,2,, m υ in dn mtriks Υ berukurn m n dengn υ 1 υ 11 υ 12 υ 1n υ 21 υ 22 υ 2n υ 2 Υ = = υ m υ m1 υ m2 υ mn mk berdsrkn Teorem 4.2dpt diperoleh bhw persmn (4.5) mempunyi solusi c R m jik dn hny jik det(υυ T ) 0. Kren {υ 1, υ 2,, υ m } dlh vektor-vektor yng ortogonl, mk x j m = υ ij c i υ i 2 i=1 dengn j = 1,2,, m Benr bhw persmn(2.2)mempunyi solusi jik dn hny jik himpunn vektor-vektor{l 1, l 2,, l m }bebs linier dir n. 5. KESIMPULAN Untuk menyelesikn sistem persmn linier Ax = bdi mn A = ij m n dn n m dengn mendefinisikn l 1, l 2,, l m yng merupkn vektor-vektor bris dri mtriks A, mk dpt digunkn turn Crmer yng telh generlissi sebgi berikut: 27

10 l j b 1 l 1, l 2 + 2j b 1 l 1, l m + mj b 1 l 2, l 1 + 1j b 2 l j b 2 l 2, l m + mj b 2 l m, l 1 + 1j b m l m, l 2 + 2j b 2 l m 2 + mj b m x j = l l 1, l 2 l 1, l m l 2, l 1 l 2 2 l 2, l m l m, l 1 l m, l 2 l m 2 dengn j = 1,2,, n. 6. DAFTAR PUSTAKA [1] Anton, H. & Rorres, C Elementry Liner Algebr. Edisi ke-10. New York: John Wiley & Sons. [2] Burgsthler, S A Generliztion of Crmer s Rule. The Two-Yer College Mthemtics Journl. 14 (3): [3] Hrville, D. A Mtrix Algebr from Sttisticin s Perspective. New York: Springer. [4] Kreyszig, E Introductory Functionl Anlysis with Applictions.New York: John Wiley & Sons. [5] Leiv, H A Generliztion of Crmer s Rule. Advnces in Liner Algebr & Mtrix Theory. 5: [6] Rohde, C. A Liner Algebr nd Mtrices.Mc Grw-Hill. New York. [7] Usmni, R. A Applied Liner Algebr. New York: Mrcel Dekker. 28