Kuliah #7 Pemodelan TK Lanjut S 2 (Tambahan) CONTOH RINGKAS: Solusi SPANL (Sistem Persamaan Aljabar Non Linear)

Transkripsi

1 Kuliah #7 Pemodelan TK Lanjut S 2 (Tambahan) CONTOH RINGKAS: Solusi SPANL (Sistem Persamaan Aljabar Non Linear) Prof. Dr. Ir. Setijo Bismo, DEA. Departemen Teknik Kimia FTUI, Oktober 2015 A. Sistem Persamaan Aljabar Non Linear dengan 2 Variabel: x dan y Diberikan SPANL dengan 2 buah variabel berikut ini: f ( x, y) x y 1 = 0, f ( x, y) y x = 0. 2 Carilah solusi SPANL di atas menggunakan Metode Newton-Raphson dengan harga-harga awal sebagai berikut: a. ( x0 = 0, y0 = 1) b. ( 1, 1 ) A.1. Solusi dengan menggunakan MS-Excel: Langkah #1: susunlah fungsi SPANL tersebut dalam bentuk vektorial, sebagai berikut: ( ) Fˆ x, y 2 x y 1 = 2 y x Langkah #2: susunlah matriks Jacobi dari fungsi SPANL di atas sebagai berikut: J x y (, ) f1 f1 x y 2x 1 = = f2 f 2 1 2y x y Langkah #3: jika kita susun-ulang dan gunakan formula rekursif Newton-Raphson menjadi: atau menjadi dengan x x Δx y = + y Δy n+ 1 n n Xˆ Xˆ Xˆ + = + Δ n 1 n n Δ Xˆ = J x y F x y 1 (, ) ˆ(, ) n n n n n Jika kita gunakan harga awal ( x 0, y 1) iterasinya, adalah sebagai berikut: 0 0 ; dengan n adalah iterasi yang ke.. = =, maka tahap demi tahap menjalankan #Property of Prof. Dr. Ir. Setijo Bismo, DEA. Departemen Teknik Kimia FTUI, Oktober 2015 [1]

2 [Iterasi yang ke-0]: Ini adalah awal dari iterasi atau n = 0, sehingga dapat dihitung Nilai dari matriks J( x, y ) kemudian 0 0 Nilai dari vektor ˆ (, ) F x y pada pada E28 = 2*D28 F28 = -1 = 0 1, E29 = -1 F 29 = 2*D G = D28^2-D29-1 = G 29 = D29^2-D28 0,000000E ,000000E + 00 Sehingga vektor Δ ˆX 0 dapat dihitung pada sel-sel H28 dan H29 atau H28 H29 dengan formula MS-Excel {=MMULT(MINVERSE(E28:F29);G28:G29)}, yang hasilnya adalah 1,000000E , E + 00 Hasilnya, untuk harga awal ( x 0, y 1) = =, dapat dilihat pada tabel berikut ini: 0 0 Kemudian, untuk pengisian sel-sel berikutnya, dilakukan pada iterasi yang ke-1 seperti di bawah ini. [Iterasi yang ke-1]: Pada tahap ini, harga n adalah 1 (satu), dapat dihitung Xˆ 1 = Xˆ ˆ 0 + Δ X0 pada sel-sel D30 atau lebih lengkapnya adalah x = D30 = D28-H28 1 dan hasilnya D31 adalah 1,0000 1, = D31 = D29-H29 y 1 Selanjutnya, begitu harga-harga x telah diketahui, dapat dihitung nilai dari y1 unsur-unsur matriks Jacobi J( x1, y1) pada E30 = 2*D30 F30 = -1 = E31 = -1 F 31 = 2*D31 2,0000 1,0000 1,0000 2,0000, kemudian dihitung juga... Nilai dari vektor ˆ (, ) F x y pada G = D30^2-D31-1 = G 31 = D31^2-D30 1,000000E ,000000E + 00 Sehingga vektor Δ ˆX 1 dapat dihitung pada sel-sel H30 dan H31 atau H30 H31 dengan formula MS-Excel {=MMULT(MINVERSE(E30:F31);G30:G31)}, 4,000000E 01 yang hasilnya adalah 2,000000E 01 #Property of Prof. Dr. Ir. Setijo Bismo, DEA. Departemen Teknik Kimia FTUI, Oktober 2015 [2]

3 Hasilnya, secara lengkap, dapat dilihat pada tabel berikut ini: Kemudian, untuk selanjutnya, sebenarnya pekerjaan kita sudah lebih mudah. Karena kita akan dapat memanfaatkan protokol dan atau prosedur-prosedur rutin dari MS-EXCEL yang akan dapat memudahkan pekerjaan kita, seperti di bawah ini. [Iterasi yang ke-2]: Pada tahap ini, yaitu pada harga n adalah 2 (dua), lakukanlah pembiruan sel-sel (cell block): D30 sampai H31 seperti ilustrasi di bawah ini: KLIK tetikus kiri dan tahan DI SINI Perhatikan tanda panah merah pada ilustrasi di atas: KLIK tombol tetikus (mouse) kiri pada titik tersebut, tetap tahan terus sambil diseret ke bawah..., sampai sel H33! Hasilnya adalah sebagai berikut: Dapat dilihat, bahwa semua sel-sel sudah terisi semuanya (yang diblok BIRU seperti di atas). Perlu diketahui, pengisian kolom n (iterasi) adalah manual. Dalam aksi seperti di atas, penting untuk diperhatikan adalah isi dari pasangan sel-sel G32 & G33 (= harga vektor fungsi SPANL) dan atau H32 & H33 (harga selisih x lama dan baru, atau Δ ˆX ): jika harga-harga pasangan sel tersebut lebih kecil dari pasangan homolog di atasnya, maka berarti prosedur yang kita lakukan sudah benar! Artinya, prosedur komputasi yang kita lakukan sudah menuju jalur konvergen! #Property of Prof. Dr. Ir. Setijo Bismo, DEA. Departemen Teknik Kimia FTUI, Oktober 2015 [3]

4 [Iterasi yang ke-3]...dan seterusnya... Dalam hal ini, jika prosedur komputasi yang kita lakukan sudah dalam jalur konvergen, maka langkah-langkah pembiruan sel-sel (cell block) dapat diteruskan kembali, yaitu dari: D32 sampai H33 kemudian seretlah KLIK tetikus kita sampai didapatkan pasangan-pasangan sel G34 & G35 dan atau H34 & H35 pada harga yang terkecil (sesuai kriteria penghentian iterasi), seperti ilustrasi di bawah ini: Atau hasil akhirnya adalah sebagai berikut: Dari ilustrasi di atas, dapat kita lihat, bahwa: sesungguhnya penghentian iterasi sudah dapat dikatakan memenuhi syarat pada saat sampai pada iterasi yang ke- 4 ( n = 4), yaitu pada saat: ( y ) Fˆ x, 4 4 ˆX 1,311636E-06 = 1,820782E-05-6,468290E-06-8,101816E-06 Δ 4 = dan atau Secara konkret, dapat dikatakan: bila kita hentikan iterasi (perhitungan) pada: n = 4: bila kriteria atau ε = 1, #Property of Prof. Dr. Ir. Setijo Bismo, DEA. Departemen Teknik Kimia FTUI, Oktober 2015 [4]

5 n = 5: bila kriteria atau ε = 1, n = 6: bila kriteria atau ε = mendekati eps - machine Artinya, kriteria berpengaruh pada saat mana kita harus menghentikan komputasi seperti di atas. Untuk harga awal ( x 1, y 1) = =, hasil akhirnya dapat dilihat pada tabel di bawah ini: 0 0 A.2. Solusi dengan menggunakan Bahasa Pemrogram: Misalkan, kita hendak menggunakan Program EZY Pascal, maka Listing (coding) programnya dapat ditulis sebagai berikut: Program SPANL2Pers; Const NEQ = 4; Type Real = Extended; SubsEl = 1..NEQ; IVektor = Array[SubsEl] of Integer; RVektor = Array[SubsEl] of Real; RMatriks = Array[SubsEl] of RVektor; Procedure PivotGauss(A : RMatriks; Var X : RVektor; B : RVektor; N : SubsEl); { PROGRAM : SOLUSI PERSAMAAN LINIER DENGAN STRATEGI PIVOTING DALAM ELEMINASI GAUSSIAN (L.Atkinson, p ) VERSI : Presisi ganda A [I] : Matrik-segi dari sistem linier B [I] : Vector parameter/harga dari persamaan linier X [O] : Vector variabel/jawab yang diinginkan N [I] : Jumlah persamaan ======> A x X = B } #Property of Prof. Dr. Ir. Setijo Bismo, DEA. Departemen Teknik Kimia FTUI, Oktober 2015 [5]

6 Var P : IVektor; I,J,K,PI,PIVI : Integer; ABSA,FMUL,GMAX,PIVOT : Real; If (N > NEQ) then Write('(PivotGauss : Problem dimensi (MAKS. ',NEQ); Halt For I:=1 to N do P[I] := I; For J:=1 to N-1 do { --- Mencari Pivot sepanjang baris J --- } K := J; GMAX := ABS(A[P[K],J]); For I:=J+1 to N do ABSA := ABS(A[P[I],J]); If (ABSA > GMAX) then GMAX := ABSA; K := I End PIVI := P[K]; If (K <> J) then { --- Menukar P(J) dengan P(K) --- } I := P[J]; P[J] := P[K]; P[K] := I { --- Akhir pencarian Pivot --- } PIVOT := A[PIVI,J]; For I:=J+1 to N do PI := P[I]; FMUL := A[PI,J]/PIVOT; A[PI,J] := 0.0; If (ABS(FMUL) > 0.0) then { - Mengurangi baris A(PI) dengan A(PIVI) - } For K:=J+1 to N do A[PI,K] := A[PI,K] - FMUL*A[PIVI,K]; B[PI] := B[PI] - FMUL*B[PIVI] { --- Akhir dari pengurangan --- } PI := P[N]; X[N] := B[PI]/A[PI,N]; For I:=N-1 downto 1 do PI := P[I]; { -- Calculate the DOT PRODUCT -- } For K:=I+1 to N do B[PI] := B[PI] - A[PI,K]*X[K]; #Property of Prof. Dr. Ir. Setijo Bismo, DEA. Departemen Teknik Kimia FTUI, Oktober 2015 [6]

7 X[I] := B[PI]/A[PI,I] Procedure FSPANL(x : RVektor; var f : RVektor; n : SubsEl); {Fungsi vektorial dari SPANL} Var i : SubsEl; fx : RVektor; fx[1] := x[1]*x[1] - x[2] - 1; fx[2] := -x[1] + x[2]*x[2]; For i := 1 to n do f[i] := -fx[i]; Procedure JACSPANL(x : RVektor; var A : RMatriks; n : SubsEl); {Matriks JACOBI dari Fungsi SPANL} Var i,j,k : SubsEl; fk,fk1 : RVektor; dx : Real; A[1,1] := 2*x[1]; A[1,2] := -1.0; A[2,1] := -1.0; A[2,2] := 2*x[2]; Function NormVect(x : RVektor; n : SubsEl) : Real; Var Sum : Real; i : SubsEl; Sum := 0.0; For i := 1 to n do Sum := Sum + Sqr(x[i]); NormVect := Sum Var ITER,ITMAX : Integer; I,N : SubsEl; Aij : RMatriks; FB,DX,X : RVektor; Solved,Converged,ItMaxReached : Boolean; FTOL,TOL,NV : Real; Write('Jumlah persamaan/variabel: '); Readln(N); Writeln('Harga Awal untuk X (X0):'); For I := 1 to N do Write('X0[',I,']= '); Readln(X[I]); Write('ITMAX: '); Readln(ITMAX); Write(' FTOL: '); Readln(FTOL); Write(' TOL: '); Readln(TOL); {Menghitung harga norma fungsi SPANL} FSPANL(X,FB,N); #Property of Prof. Dr. Ir. Setijo Bismo, DEA. Departemen Teknik Kimia FTUI, Oktober 2015 [7]

8 NV := NormVect(FB,N); ITER := 0; If (NV > FTOL) then {Memeriksa harga norma fungsi SPANL} Repeat Inc(ITER); JACSPANL(X,Aij,N); PivotGauss(Aij,DX,FB,N); For I := 1 to N do X[I] := X[I] + DX[I]; FSPANL(X,FB,N); Solved := NormVect(FB,N) < FTOL; If not Solved then FSPANL(X,FB,N); Converged := NormVect(DX,N) < TOL; ItMaxReached := ITER >= ITMAX; Until Solved or Converged or ItMaxReached; If not ItMaxReached then Writeln('Hasil Komputasi dari Vektor Jawab [X] adalah:'); For I := 1 to N do writeln('x[',i,'] = ',X[I]); Writeln('Jumlah Iterasi: ',ITER); End else Writeln('Jumlah Iterasi terlampaui (>=',ITMAX,')'); Readln End. Hasilnya, setelah eksekusi program di atas maka hasilnya adalah sebagai berikut: Perhatikan: bahwa program EZY Pascal seperti di atas sangat lah panjang sehingga tidak praktis untuk perhitungan-perhitungan (komputasi) yang bersifat segera dan ringkas. #Property of Prof. Dr. Ir. Setijo Bismo, DEA. Departemen Teknik Kimia FTUI, Oktober 2015 [8]

9 B. Sistem Persamaan Aljabar Non Linear dengan 2 Variabel: x, y, dan z Di bawah ini diberikan sebuah SPANL dengan 3 buah variabel berikut ini: f ( xyz,, ) 3xy+ 2yz 1 f2( x, y, z) e + yz f ( xyz,, ) xz+ ycos( z) 3 x Sekarng, agar saudara dapat berlatih sendiri menyelesaikan SPANL 3 persamaan seperti di atas dengan menggunakan Metode Newton-Raphson, maka carilah solusi SPANL di atas dalam x = 0, y = 1, z = 2. spreadsheet MS-EXCEL dengan harga-harga awal ( ) #Solusi dengan menggunakan MS-Excel: Langkah #1: susunlah fungsi SPANL tersebut dalam bentuk vektorial, sebagai berikut: 3xy + 2yz ˆ x F( x, y) = e + yz xz + ycos( z) Langkah #2: susunlah matriks Jacobi dari fungsi SPANL di atas sebagai berikut: f1 f1 f1 x y z 3y ( 3x + 2z) 2y f2 f2 f 2 x J( x, y, z) = = e z y x y z z cos( z) x ysin( z) f3 f3 f 3 y y z Langkah #3: jika kita susun-ulang dan gunakan formula rekursif Newton-Raphson menjadi: Jika kita gunakan harga awal( x0 = 0, y0 = 1, z0 = 2), maka hasil spreadsheet dalam MS-EXCEL yang dimaksudkan adalah sebagai berikut: #Property of Prof. Dr. Ir. Setijo Bismo, DEA. Departemen Teknik Kimia FTUI, Oktober 2015 [9]

10 Tugas buat saudara: Coba kerjakan sendiri sampai dapat hasilnya seperti pada tabel di atas! Selamat belajar dan sampai jumpa lagi di lain waktu #Property of Prof. Dr. Ir. Setijo Bismo, DEA. Departemen Teknik Kimia FTUI, Oktober 2015 [10]