PENGENDALIAN KUALITAS X MENGGUNAKAN GRAFIK PENGENDALI HOTELLING T 2 UNIVARIAT DAN MULTIVARIAT

Transkripsi

1 PENGENDALIAN KUALITAS X MENGGUNAKAN GRAFIK PENGENDALI HOTELLING T UNIVARIAT DAN MULTIVARIAT Lellie Sulistyawati Darmawan, Adi Setiawan, Lilik Linawati Program Studi Matematika, Fakultas Sains dan Matematika Universitas Kristen Satya Wacana Salatiga Jl. Diponegoro 5-60 Salatiga 507 Abstrak Pengendalian kualitas memiliki peranan yang penting khususnya dalam meningkatkan volume penjualan produk. Salah satu metode statistik dalam mengendalikan produk adalah dengan grafik pengendali. Kualitas suatu produk biasanya ditentukan oleh lebih dari satu karakteristik. Grafik pengendali untuk beberapa karakteristik kualitas disebut grafik pengendali multivariat. Salah satu grafik pengendali multivariat yaitu grafik pengendali Hotelling T. Pada penelitian ini akan diaplikasikan grafik pengendali Hotelling T univariat dan multivariat untuk ketiga karakteristik data proses produksi X selama bulan Januari-Agustus 00. Pada grafik Hotelling T multivariat dihitung batas pengendali atas sebesar 4,6064. Dari batas tersebut, terdeteksi dua sampel yang berada di luar control yaitu sampel 50 dan 0. Selanjutnya, dari ketiga karakteristik kualitas tersebut akan dianalisis karakteristik yang paling dominan mempengaruhi sampel out of control dengan menggunakan boxplot untuk menganalisis sampel outliers dan diperoleh karakteristik yang paling dominan mempengaruhi adalah brix (kadar gula). Dari studi simulasi dapat dibangkitkan sampel dengan ukuran berbeda- beda dan diperoleh hasil proporsi sampel out-of-control mendekati nilai batas kesalahan (level of significance) α = 0, 007. Setelah sampel out-of-control terdeteksi, diasumsikan telah dilakukan penelusuran penyebab proses tidak terkontrol untuk selanjutnya dihitung nilai indeks kemampuan proses baik secara univariat maupun multivariat. Nilai indeks kemampuan proses menunjukkan nilai lebih besar dari sehingga dapat disimpulkan bahwa proses produksi telah berjalan dengan baik. Kata kunci : grafik pengendali, Hotelling T, indeks kemampuan proses. PENDAHULUAN Latar Belakang Di era globalisasi yang semakin kompetitif ini, para pelaku bisnis tentu menginginkan agar produknya diterima oleh konsumen dan mampu bersaing di pasaran. Salah satu faktor yang mempengaruhi keputusan konsumen dalam memilih suatu produk adalah kualitas produk tersebut. Konsumen akan merasa puas apabila kualitas produk yang mereka pilih sesuai dengan harapan mereka. Tingkat kepuasan konsumen dapat tercermin pada keputusan untuk membeli produk dan melakukan pembelian ulang terhadap produk tersebut. Selanjutnya, kepuasan konsumen terhadap produk diharapkan dapat meningkatkan volume penjualan produk dan akhirnya berpengaruh pada keuntungan perusahaan. Oleh sebab itu, masalah kualitas menjadi hal yang penting dan perlu mendapat perhatian perusahaan. Pengendalian kualitas produk dalam proses produksi perlu dilakukan secara terus menerus untuk dapat mendeteksi ketidaknormalan secara cepat sehingga dapat dilakukan tindakan perbaikan yang diperlukan sebelum timbul banyak produk yang tidak sesuai dengan spesifikasi perusahaan.

2 PT. Y merupakan salah satu perusahaan yang memproduksi minuman dalam kemasan dengan orientasi kualitas ekspor. Oleh sebab itu, kualitas produk menjadi perhatian utama perusahaan untuk menjaga loyalitas konsumen terhadap perusahaan dan dengan demikian meningkatkan dominasi pasar. Untuk menjaga kualitas produk, perusahaan secara terus menerus melakukan pengendalian kualitas terhadap produk yang dihasilkan. Sehubungan dengan efisiensi, maka pengamatan kualitas produk dilakukan dengan ukuran sampel satu. Pengamatan seperti ini disebut pengamatan individual. Salah satu produk yang dihasilkan oleh PT. Y adalah minuman teh dalam kemasan dengan merk X. Kualitas produk X ditentukan oleh pengukuran empat karakteristik antara lain temperatur (suhu), brix (kadar gula), ph (kadar keasaman), dan vacuum. Perusahaan telah menentukan batas spesifikasi untuk masing masing karakteristik kualitas tersebut. Produk dianggap cacat atau tidak memenuhi syarat jika terdapat setidaknya satu pengukuran karakteristik yang tidak berada dalam interval spesifikasi yang telah ditentukan perusahaan. Pada tugas akhir ini, akan diaplikasikan grafik pengendali Hotteling T untuk memonitor pergeseran mean proses. Selanjutnya akan dihitung indeks kemampuan proses (IKP) untuk mengetahui apakah proses produksi yang berlangsung telah memenuhi spesifikasi yang ditentukan perusahaan. Perumusan Masalah Berdasarkan latar belakang tersebut, maka dapat dirumuskan permasalahan :. Bagaimana mengaplikasikan grafik pengendali Hotelling T (Hotelling T Control Chart) untuk mengendalikan kualitas produk X yang terdiri dari beberapa karakteristik kualitas?. Berapakah nilai indeks kemampuan proses (IKP) pada proses produksi X? Tujuan Penelitian Tujuan dari penelitian ini adalah :. Mengaplikasikan metode Hotelling T pada produk X yang terdiri dari beberapa karakteristik.. Memperoleh nilai indeks kemampuan proses pada produksi X. Batasan Masalah Data yang digunakan dalam penelitian ini adalah data yang diperoleh dari PT. Y. Jenis produk yang akan dianalisis adalah produk X selama kurun waktu produksi bulan Januari 00 sampai Agustus 00. Uji distribusi normal untuk keempat karakteristik produk menunjukkan data tidak berdistribusi normal untuk karakteristik pertama (suhu) sehingga pada penelitian ini akan dianalisis tiga karakteristik antara lain : brix (kadar gula), kadar keasaman (ph), dan vacuum. Komputasi dilakukan dengan menggunakan bantuan software Matlab 6.5 dan Maple DASAR TEORI Pengendalian Kualitas Statistik (Statistical Quality Control) Tiap produk mempunyai sejumlah unsur yang menggambarkan kecocokan penggunaannya. Unsur unsur ini biasanya dinamakan ciri kualitas. Terdapat beberapa jenis ciri kualitas antara lain : fisik (panjang, berat, kekentalan), indera (rasa, warna), dan orientasi waktu

3 (ketahanan, dapatnya dirawat). Kualitas adalah keadaan fisik, fungsi dan sifat suatu produk yang dapat memenuhi selera dan kebutuhan konsumen dengan memuaskan sesuai nilai uang yang dikeluarkan. Pengendalian kualitas adalah aktivitas keteknikan dan manajemen yang dengan aktivitas tersebut diukur ciri ciri kualitas produk, membandingkannya dengan spesifikasi dan mengambil tindakan penyehatan yang sesuai apabila ada perbedaan antara penampilan yang sebenarnya dengan yang standar (Montgomery, 990:3). Oleh karena itu, dalam pengendalian kualitas diupayakan sedini mungkin dapat mendeteksi adanya ketidakstabilan sehingga segera dapat dilakukan tindakan pembetulan sebelum timbul banyak unit yang tidak sesuai dengan spesifikasi yang perusahaan. Statistik adalah pengambilan keputusan tentang suatu proses atau populasi berdasarkan pada suatu analisis informasi yang terkandung dalam suatu sampel dari populasi tersebut. Metode statistik juga memainkan peranan penting dalam jaminan kualitas. Metode statistik memberikan cara cara pokok dalam pengambilan sampel produk, pengujian serta evaluasinya, dan informasi di dalam data itu digunakan untuk mengendalikan dan meningkatkan proses pembuatan (Montgomery, 990 : 7). Salah satu alat dalam pengendalian kualitas statistik yang digunakan untuk memonitor stabilitas proses adalah grafik pengendali (control chart). Grafik Pengendali Grafik pengendali adalah teknik pengendali proses pada jalur yang digunakan secara luas yang biasanya digunakan untuk menaksir parameter suatu proses produksi menentukan kemampuan dan memberikan informasi yang berguna dalam meningkatkan proses itu (Montgomery, 990 : 0). Grafik pengendali merupakan suatu grafik karakteristik kualitas yang dibentuk oleh data karakteristik kualitas sampel dan waktu sampel. Grafik pengendali terdiri dari nilai karakteristik kualitas sampel, garis batas pengendali atas (BPA) dan garis batas pengendali bawah (BPB). Berdasarkan banyaknya karakteristik kualitas yang diukur, grafik pengendali dibedakan menjadi jenis yaitu grafik pengendali univariat dan grafik pengendali multivariat. Grafik pengendali univariat digunakan jika hanya ada satu karakteristik kualitas yang diukur, sedangkan grafik pengendali multivariat digunakan jika diperlukan pengendalian dua atau lebih karakteristik kualitas yang berhubungan secara bersama sama. Secara umum, grafik pengendali dibedakan atas dua macam, yaitu grafik pengendali untuk variabel dan grafik pengendali untuk atribut. a. Grafik Pengendali Variabel Grafik pengendali dengan pemeriksaan secara variabel digunakan sebagai alat untuk mengontrol proses dengan mengumpulkan dan menganalisis data dari pemeriksaan kualitas suatu produk yang ditentukan satu atau lebih parameter karakteristik kualitas yang mempunyai harga ukur tertentu. Pengendalian rata rata proses biasanya dilakukan dengan menggunakan grafik pengendali x sedangkan pengendalian variabilitas (pemencaran) dilakukan dengan menggunakan grafik pengendali untuk deviasi standar (grafik S) atau grafik pengendali untuk rentang yaitu grafik R (Montgomery 990 : 04). b. Grafik Pengendali Atribut Seringkali karakteristik kualitas suatu produk tidak dapat dengan mudah dinyatakan secara numerik. Dalam kasus seperti itu, biasanya produk yang diperiksa diklasifikasikan sesuai dengan spesifikasi pada karakteristik kualitas tersebut. Istilah cacat dan tidak cacat sering digunakan untuk mengidentifikasi kedua klasifikasi produk tersebut. Karakteristik kualitas

4 seperti ini dinamakan sifat (atribut). Terdapat beberapa grafik pengendali sifat yang sering digunakan yaitu yang berhubungan dengan bagian yang tidak sesuai dan grafik pengendali untuk ketidaksesuaian. Grafik untuk bagian yang tidak sesuai dinamakan grafik p sedangkan grafik untuk ketidaksesuaian dinamakan grafik c atau u. Grafik Pengendali Hotelling T Univariat Salah satu pendekatan yang digunakan dalam memantau kualitas produk pada kasus multivariat adalah dengan menggunakan metode grafik pengendali Hotelling T. Grafik pengendali Hotelling T diperkenalkan oleh Harold Hotelling pada tahun 947 dengan menggunakan data pembidik bom selama Perang Dunia II. Hotelling T merupakan generalisasi dari distribusi-t. Jika x adalah mean dari sampel acak berukuran n dari suatu distribusi normal dengan mean μ dan variansi s maka x μ t = s / n akan mempunyai distribusi-t dengan derajat bebas n-. Selanjutnya nilai ( x μ) ( )( ) ( ) ' t = = n x μ s x μ (.) s / n akan mengikuti distribusi (.) nilai T pada sampel ke-j ( T ) dapat dinyatakan sebagai berikut : j ( x x) j T = s / n dengan batas pengendali atas χ dengan derajat bebas (Young, 999). Sejalan dengan persamaan = n j ( x x)( s ) ( x x) ' n χ n. n j Grafik Pengendali Hotelling T untuk Pengamatan Subgrup Diketahui sampel bedistribusi normal yang terdiri dari p-karakteristik kualitas, dengan m menggambarkan banyaknya sampel, dan masing masing sampel berukuran n. Didefinisikan vektor rataan sampel X j = [ X j X j K X pj ] j =,,..., m dengan X ij mewakili rataan sampel dari karakteristik mutu ke-i untuk sampel ke-j dan n X ijk k = X ij = n, i =,,..., p dan j =,,..., m. Selanjutnya, vektor rataan nominal untuk tiap tiap karakteristik mutu dinotasikan dengan X = [ X X K X p ] dengan X i merupakan vektor rataan nominal untuk karakteristik mutu ke i dan m X i = X ik i =,,..., p. m k= Variansi sampel untuk karakteristik mutu ke-i dalam sampel ke-j dihitung dari j (.)

5 n Sij = ( X ijk X ij ) i =,,..., p dan j =,,..., m ( n ) k = sedangkan kovariansi antara karakteristik mutu i dan h dalam sampel ke-j adalah n Sihj = ( X ijk X ij )( X hjk X hj ) j =,,..., m dan i h. ( n ) k = Selanjutnya dihitung rata rata Sij dan Sihj meliputi seluruh m sampel untuk memperoleh dan S S m i = S ij m j= m ih = S ihj m j= i =,,..., p i h. Matriks kovarian S dapat disusun sebagai berikut S S L Sp = S L S p S. M M S p Nilai T untuk masing masing sampel adalah j ' T = n( X j X ) S ( X j X ) dengan j =,,..., m. (.3) dengan n adalah ukuran masing masing sampel dan S - merupakan invers dari matriks kovariansi S sedangkan batas grafik pengendali dapat ditentukan dari persamaan berikut : mnp mp np + p BPA = Fα, p,( mn m p+ ) (.4) mn m p + dengan m menggambarkan banyak sampel, masing masing berukuran n. Jika nilai T untuk sampel ke-j, yaitu T j > BPA, hal ini menunjukkan sampel ke -j di luar kendali (Young, 999). Grafik Pengendali Hotelling T Untuk Pengamatan Individual Diketahui sampel berukuran m yang terdiri dari p-karakteristik dengan matriks data digambarkan sebagai berikut : x x L x p x x L x X = M M O xm xm L Vektor rataan sampel didefinisikan sebagai X = X X K dengan x p M mp [ ] X p.

6 m j= X i = i =,,..., p. m Kovariansi dihitung dengan menggunakan persamaan S ik X m = m ji ( xij xi )( xkj xk ) j= dengan i =,,..p dan k =,,..p. Statistik Hotelling T dihitung dengan menggunakan persamaan ' T j = ( X j X ) S ( X j X ). (.6) Batas grafik pengendali dapat ditentukan dari persamaan berikut p( m + )( m ) BPA = Fα, p,( m p) m( m p) (.7) dengan m menggambarkan banyaknya sampel. Jika nilai T untuk sampel ke-j, yaitu T j > BPA, hal ini menunjukkan sampel ke-j di luar kendali (Young, 999). Indeks Kemampuan Proses Univariat Kemampuan / kapabilitas proses adalah alat ukur suatu proses, apakah proses produksi tersebut sudah memenuhi spesifikasi yang telah ditentukan oleh perusahaan. Analisis kemampuan proses dilakukan berdasarkan asumsi bahwa data karakteristik produk berdistribusi normal dan proses berada di bawah kendali. Analisis kemampuan proses dilakukan dengan membandingkan data proses yang berada di bawah kendali dengan batas spesifikasi yang telah ditentukan oleh perusahaan. Proses dikatakan capable apabila penyebaran proses aktual lebih kecil daripada sebaran yang diijinkan perusahaan. Perbandingan antara penyebaran spesifikasi produk dengan penyebaran proses sebenarnya disebut indeks kemampuan proses. Metode perhitungan indeks kemampuan proses yang banyak digunakan dalam dunia industri yaitu C p, C pk dan C pm. Kane (986) mengembangkan Indeks Kemampuan Proses C p dan C pk yang umum digunakan dalam dunia industri untuk mengevaluasi proses yang melibatkan satu karakteristik kualitas. Indeks kemampuan proses ini mengasumsikan data berdistribusi normal dan dapat ditulis dalam bentuk USL LSL C p = 6σ USL μ μ LSL C pk = min, 3σ 3σ dengan USL merupakan batas spesifikasi atas dan LSL batas spesifikasi bawah. Mean dan standar deviasi proses berturut turut ditunjukkan oleh μ dan σ. Selanjutnya, nilai estimasi sampel untuk masing masing indeks kemampuan proses tersebut adalah USL LSL Cˆ p =, (.8) 6s C ˆ USL x x LSL = min, pk 3s 3. (.9) s (.5)

7 Nilai indeks kemampuan proses C p dan C pk tidak memperhitungkan selisih antara mean proses dengan nilai mean target. Chan (988) mengembangkan nilai indeks kemampuan proses C pm yang dapat ditentukan dengan persamaan USL LSL C pm = 6 σ + ( μ T ) dengan T menunjukkan nilai mean target yang diharapkan perusahaan. Selanjutnya nilai estimasi sampel ditentukan dengan persamaan ˆ USL LSL C pm =. (.0) 6 s + ( x T ) Indeks Kemampuan Proses Multivariat ( Multivariate Capability Process ) Indeks Kemampuan Proses Multivariat (Multivariate Capability Process) adalah suatu indeks proses yang menunjukkan nilai rasio antara penyebaran (variabilitas) spesifikasi produk yang diijinkan dan penyebaran proses aktual yang melibatkan lebih dari satu variabel. Ada beberapa macam metode perhitungan indeks kemampuan proses, salah satunya adalah metode indeks kemampuan proses MC pm (Zahid, 008). Perhitungan nilai indeks kemampuan proses MC pm ini didefinisikan sebagai rasio dari dua volume yaitu vol( R ) MC pm = vol( R ) dengan R merupakan daerah toleransi modifikasi, sedangkan R merupakan daerah proses %. Jika data berdistribusi normal multivariat maka R berbentuk ellipsoid sedangkan R merupakan ellipsoid terbesar yang berada dalam daerah spesifikasi dan berpusat pada target dengan volume R adalah p Ti p / i= π vol( R ) = (.) p Γ( p / ) dengan T i merupakan nilai tengah spesifikasi ke-i (i=,,...p). Selanjutnya, indeks kemampuan proses multivariat dapat dituliskan sebagai Vol( R ) MC = pm T Vol ( x μ) T ( x μ) K( p) ) dengan K(p) merupakan kuantil % dari distribusi χ dengan derajat bebas p dan T MCˆ atau ' = E[( x T)( x T) ] pm. Bagian penyebut dapat dituliskan dalam bentuk ' [ Γ( p / + ) ] [ + ( x μ) ( x ] / / p / ) = ( πk ( p)) ) vol( R μ Nilai estimasi indeks MC pm ditentukan dengan rumus vol( R ) = / p / / S ( πk ( p)) [ Γ( p / + ) ] n T + ( x T ) S ( x T ) n Cˆ p MCˆ pm = (.) Dˆ.

8 dengan dan Cˆ p = S / ( πk ( p)) vol( R ) p / [ ] Γ( p / + ) ' ( x T ) S ( x T ) / (.3) ˆ n D = + n. (.4) Jika nilai indeks lebih dari maka proses mempunyai variasi lebih kecil dibandingkan dengan batas spesifikasi sehingga dapat dikatakan proses produksi telah berjalan dengan baik. Sebaliknya, jika indeks bernilai kurang dari hal tersebut menunjukkan variasi proses lebih besar daripada batas spesifikasi perusahaan. Artinya proses tersebut banyak menghasilkan produk yang tidak sesuai dengan spesifikasi. Untuk memperjelas konsep IKP multivariat, akan dihitung IKP untuk data produk keramik Can-cup S-9 (Zahid, 008) pada contoh berikut. Diambil 500 data produk keramik yang terdiri dari dua karakteristik yaitu panjang dan berat. Spesifikasi untuk masing masing karakteristik didefinisikan sebagai interval panjang 4 6 cm dan berat pada kisaran 90 4 gr. Batas batas spesifikasi tersebut membentuk daerah toleransi (persegi panjang). Pusat spesifikasi tersebut, yaitu 5 dan 6, diasumsikan sebagai target spesifikasi. Nilai mean sampel untuk tiap karakteristik berturut turut yaitu 5,55 dan 9,73. Matriks kovariansi diperoleh 0,45 0,46 S =. 0,46 6,70 Selanjutnya, akan ditunjukkan daerah toleransi spesifikasi, ellips terbesar yang memenuhi daerah tersebut dan daerah proses dalam Gambar.. Gambar.. Gambaran geometris untuk perbandingan antara daerah toleransi spesifikasi dan daerah proses yang sebenarnya

9 Dari Gambar.. dapat dilihat bahwa sebagian daerah ellips proses berada di luar spesifikasi yang telah ditentukan. Selain itu, ellips proses yang sebenarnya lebih besar dari ellips toleransi spesifikasi sehingga volume R lebih besar daripada volume R. Akibatnya nilai IKP akan lebih kecil dari sehingga kita dapat memprediksi bahwa nilai IKP data produksi keramik tersebut lebih kecil dari. Secara matematis, nilai Indeks Kemampuan Proses diperoleh sebagai berikut ˆ Cˆ p 0,7 MC pm = = 0,39 ˆ,87 =. D Nilai IKP menunjukkan nilai kurang dari, maka dapat dikatakan proses produksi banyak menghasilkan produk yang berada di luar spesifikasi. Hasil tersebut analog dengan gambaran yang diperoleh dari Gambar. yang menunjukkan banyak titik sampel yang diproduksi berada di luar persegi panjang merah sebagai area spesifikasi perusahaan. Dari nilai tersebut, dapat disimpulkan bahwa proses produksi belum berjalan dengan baik. 3. METODE PENELITIAN Sumber Data Penelitian Data yang digunakan dalam penelitian ini adalah data sekunder pada proses produksi X kemasan botol. Produk X kemasan botol merupakan salah satu produk minuman yang diproduksi oleh PT. Y. Data yang akan diteliti merupakan data produksi minuman X kemasan botol selama periode bulan Januari 00 sampai Agustus 00. Namun, proses produksi tidak dilakukan setiap hari sepanjang bulan tersebut. Proses produksi dilakukan sesuai jadwal dan persediaan produk. Adapun karakteristik kualitas produk X kemasan botol yang digunakan dalam penelitian ini antara lain : a. Brix atau kadar gula dalam larutan minuman, dengan batas spesifikasi yang ditetapkan oleh perusahaan 8,5 8,55. b. Ph atau kadar keasaman larutan minuman X, dengan batas spesifikasi 6, 7,. c. Vacuum, atau tekanan pada saat penyegelan kemasan, dengan batas spesifikasi 5 45 (batas yang dianjurkan). Metode Analisis Data Langkah langkah dalam analisis data dijabarkan sebagai berikut :. Pengujian data berdistribusi normal multivariat. Pengujian distribusi normal multivariat dilakukan dengan menggunakan metode Chi-Square plot.. Membuat program grafik pengendali Hotelling T pengamatan individual dengan menggunakan software Matlab 6.5 untuk kasus univariat dan multivariat. 3. Penerapan grafik pengendali Hotelling T individual untuk ketiga karakteristik produk X. 4. Jika grafik pengendali sudah menunjukkan bahwa semua sampel berada di bawah kendali maka dapat dilanjutkan dengan menghitung indeks kemampuan proses. Jika tidak, maka harus dilakukan penelusuran faktor penyebab ketidakstabilan proses. Setelah faktor penyebab diketahui, dilanjutkan dengan melakukan pengontrolan sampai semua data berada di bawah kendali. Pada penelitian ini, untuk tiap sampel yang terdeteksi out of control diasumsikan telah dilakukan penelusuran penyebab

10 ketidakstabilan proses sehingga dapat dihilangkan untuk menghitung indeks kemampuan proses. 5. Menghitung indeks kemampuan proses dari data yang sudah terkontrol. Mulai Pengumpulan data karakteristik produk X di PT. Y Uji distribusi normal data karakteristik produk X Penerapan Grafik Pengendali Hotelling T pada data karakteristik kualitas produk X Out of control? ya Penelusuran penyebab ketidakstabilan tidak Hitung IKP Proses telah berjalan dengan baik tidak IKP <? ya Proses belum berjalan dengan baik Selesai Gambar 3.. Diagram alir penelitian

11 4. ANALISIS DATA DAN PEMBAHASAN Pada bab ini akan dianalisis data karakteristik kualitas produk X kemasan botol selama proses produksi bulan Januari sampai Agustus 00 (Lampiran ). Sebelum data tersebut dianalisis dengan menggunakan Grafik Pengendali Hotelling T individual, terlebih dahulu dilakukan pengujian distribusi normal multivariat. Pengujian distribusi normal multivariat ini dengan menggunakan metode chi-square dan QQ-plot. Hasil pengujian distribusi normal multivariat terhadap ketiga karakteristik produk X menunjukkan bahwa data tersebut mengikuti distribusi normal multivariat. Setelah asumsi distribusi normal multivariat dipenuhi maka analisis data dengan menggunakan grafik pengendali Hotelling T dapat dilakukan. Spesifikasi Perusahaan Perusahaan telah menetapkan standar spesifikasi atau batasan nilai untuk masing masing karakteristik kualitas produk. Produk dianggap cacat jika tidak memenuhi batas spesifikasi yang telah ditentukan oleh perusahaan sehingga dapat dilihat apakah ada data yang tidak memenuhi batas spesifikasi. Dari data diperoleh satu sampel yang tidak memenuhi spesifikasi yang telah ditentukan perusahaan khususnya pada pengukuran variabel pertama yaitu kadar gula (Brix). Sampel tersebut yaitu sampel ke 0 yang menunjukkan nilai 8,. Nilai tersebut tidak memenuhi batas bawah variabel pertama yaitu 8,5. Selanjutnya, data produksi X disajikan pada Gambar 4. dengan batas spesifikasi untuk masing masing karakteristik yang telah ditentukan perusahaan. Penerapan Grafik Pengendali Hotelling T Univariat Data produksi X akan diaplikasikan pada grafik pengendali Hotteling univariat untuk masing masing karakteristik kualitas produk. Brix (Kadar Gula) Rataan untuk data brix (kadar gula) adalah 8,3767 dengan variansi s = 0, 003. Untuk masing masing sampel dihitung nilai T dengan persamaan (.) sedangkan nilai BPA diperoleh 9,090. Selanjutnya, nilai T untuk tiap sampel disajikan dalam grafik pengendali Hotelling univariat pada Gambar 4.. Dari Gambar 4.. diperoleh dua sampel yang berada di luar batas pengendali yaitu sampel ke 50 dan 0. Nilai T untuk masing masing sampel tersebut adalah,43 dan,5. Jika dibandingkan dengan batas spesifikasi perusahaan, sampel ke 0 juga berada di luar batasan yang telah ditetapkan perusahaan. Pada grafik spesifikasi perusahaan, sampel ke 50 tidak teridentifikasi sebagai sampel out of control, melainkan berada tepat pada batas bawah spesifikasi perusahaan sebesar 8,5. ph (Kadar Keasaman) Data kadar keasaman mempunyai rataan x = 6,563 dengan variansi s = 0, 03. Nilai T untuk masing masing sampel dihitung dengan persamaan (.) lalu dibandingkan dengan batas pengendali atas. Dari ke 309 sampel diperoleh tidak ada satupun sampel yang berada di luar BPA. Gambar 4.3. menunjukkan nilai T untuk tiap sampel dalam grafik pengendali Hotelling univariat.

12 Gambar 4.. Grafik tiap karakteristik kualitas produk X dibandingkan dengan spesifikasi perusahaan.

13 Gambar 4.. Grafik pengendali Hotelling T univariat untuk karakteristik brix (kadar gula). Gambar 4.3. Grafik pengendali Hotelling T univariat untuk karakteristik ph (kadar keasaman).

14 Vacuum Nilai rataan data vacuum yaitu x = 34,654 dengan variansi s = 4, Untuk masing masing sampel dihitung nilai T dengan persamaan.. Dari 309 sampel diperoleh sampel yang berada di luar BPA yaitu sampel ke 57. Nilai T untuk sampel tersebut menunjukkan nilai 9,0346 yang nilainya lebih besar dari BPA = 9,090. Jika dibandingkan dengan batas spesifikasi perusahaan sampel ke 57 berada di dalam batas spesifikasi. Namun, jika dibandingkan dengan sampel yang lain, sampel ke-57 menunjukkan nilai paling minimum diantara semua sampel lainnya. Untuk lebih jelasnya, ditunjukkan grafik pengendali Hotelling univariat pada Gambar 4.4. Gambar 4.4. Grafik pengendali Hotelling T univariat untuk karakteristik vacuum.

15 Penerapan Grafik Pengendali Hotelling T Multivariat Setelah syarat data berdistribusi normal multivariat dipenuhi, data dianalisis dengan grafik pengendali Hotelling T berdasarkan teori yang telah diuraikan pada bab II. Rataan untuk masing masing karakteristik kualitas produk adalah X = [ 8,3767 6,563 34,654]. Nilai matriks kovariansi dihitung dengan menggunakan persamaan.5.sehingga diperoleh nilai 0,003 0,0006 0,005 S = 0,0006 0,03 0, ,005 0,0048 4,3449 Selanjutnya dihitung nilai T untuk 309 sampel dengan menggunakan persamaan.6. Sebagai contoh, akan dihitung nilai T untuk sampel pertama. Data karakteristik produk untuk X 8,36 6,5 30 sehingga nilai sampel pertama dinyatakan dalam = [ ] X X = [ 8,36 6,5 30] [ 8,3767 6,563 34,654] = [ 0,067 0,33 4,654]. Dengan menggunakan persamaan.6 dihitung nilai ' T = ( X X ) S ( X X ) 0,003 0,0006 = [ 0,067 0,33 4,654] 0,0006 0,03 0,005 0,0048 = 8,676 0,005 0,0048 4,3449 0,067 0,33 4,654 sehingga diperoleh nilai T = 8, 676. Masing masing nilai T kemudian dibandingkan dengan nilai BPA sebesar 4,6064. Grafik pengendali Hotelling T disajikan dalam Gambar 4.5. Gambar 4.5. menunjukkan bahwa dari data karakteristrik produk X terdeteksi sebanyak dua sampel yang out of control yaitu sampel ke 50 dan 0. Nilai T kedua sampel tersebut berturut turut adalah 7,4784 dan,7456. Hasil ini bersesuaian dengan hasil yang diperoleh pada grafik Hotelling univariat untuk karakteristik brix dan ph. Gambar 4.5. Grafik pengendali Hotelling T multivariat untuk 3 karakteristik.

16 Analisis Penyebab Proses di Luar Kendali Pada bagian ini akan diselidiki dari ketiga karakteristik produk tersebut, apakah ada variabel dominan yang mempengaruhi sehingga proses berada di luar kendali. Analisis dilakukan dengan menyusun boxplot data yang telah distandardisasi dengan menggunakan persamaan x ji xi z ji = dengan i =,,...,p dan j =,,...,m (4.) si Selanjutnya dari boxplot untuk masing masing karakteristik dapat dianalisis apakah sampel outliers bersesuaian dengan sampel yang teridentifikasi sebagai sampel out of control pada Gambar 4.5. Jika sampel outliers bersesuaian dengan sampel out of control maka karakteristik tersebut merupakan karakteristik dominan yang menyebabkan sampel out of control pada grafik pengendali. Sebaliknya, jika sampel out of control bukan sampel outliers maka dapat disimpulkan bahwa faktor yang menyebabkan sampel out of control merupakan akumulasi dari nilai ketiga karakteristik kualitas tersebut. Gambar 4.6 menunjukkan boxplot dari data proses produksi yang telah distandarisasi dengan menggunakan persamaan 4.. Selanjutnya diselidiki apakah sampel ke 50 dan 0 yang teridentifikasi sebagai sampel out of control pada grafik pengendali Hotelling T multivariat merupakan salah satu sampel outliers pada boxplot tersebut. Diperoleh bahwa kedua sampel tersebut merupakan outliers untuk karakteristik pertama, sedangkan untuk karakteristik lain, kedua sampel tersebut bukan merupakan sampel outliers. Dengan demikian dapat disimpulkan bahwa karakteristik pertama yaitu brix (kadar gula) merupakan faktor penyebab dominan yang mempengaruhi out of control pada produk. Hal ini juga didukung hasil pengamatan grafik pengendali univariat untuk karakteristik pertama (Gambar 4.). Dari grafik univariat tersebut teridentifikasi dua sampel out of control yaitu sampel ke 50 dan 0 yang juga merupakan out of control pada pengamatan multivariat. Gambar 4.6 Boxplot data terstandardisasi untuk masing masing karakteristik kualitas produk.

17 Studi Simulasi Dengan menggunakan nilai rata rata X = [ 8,3767 6,563 34,654] dan kovariansi sampel 0,003 0,0006 0,005 S = 0,0006 0,03 0,0048, 0,005 0,0048 4,3449 akan dibangkitkan data acak berdistribusi normal multivariat. Dari data acak tersebut akan diaplikasikan grafik pengendali Hotelling T multivariat. Simulasi dilakukan beberapa kali dengan menggunakan jumlah sampel yang berbeda beda. Diambil contoh untuk banyak sampel 000 dan dihitung nilai batas pengendali atas 4,99. Gambar 4.6 menunjukkan grafik Hotelling untuk banyak sampel 000, dideteksi tiga sampel yang berada di luar batas yaitu sampel ke-49, ke-584 dan ke-667. Hasil tersebut mendekati nilai teoritis untuk nilai α = 0,007 untuk 000 sampel maka akan diperoleh sampel out-of-control sebanyak 0, =,7 3. Gambar 4.7. Grafik pengendali Hotelling T multivariat untuk data simulasi berukuran 000 Ringkasan banyaknya sampel (n), nilai batas pengendali atas, serta sampel yang out-ofcontrol disajikan dalam tabel 4.. Dari tabel tersebut kita dapat membandingkan proporsi out of control dengan jumlah teoritis untuk α = 0, 007.

18 Jumlah observasi di n BPA Proporsi out of control luar BPA 000 4, = 0, ,43 6 = 0, ,06 7 = 0, ,834 5 = 0,003 Tabel 4.. Simulasi untuk n sampel, BPA, dan jumlah observasi di luar BPA Indeks Kemampuan Proses Univariat Indeks kemampuan proses merupakan indeks yang dapat menggambarkan apakah proses memenuhi spesifikasi atau tidak. Oleh karena itu, data yang digunakan harus terkontrol. Dalam hal ini terkontrolnya data adalah karena telah dilakukan penelusuran penyebab ketidakstabilan proses dan penyebab tersebut telah diperbaiki sehingga dapat diperoleh data yang telah terkontrol baik. Selanjutnya akan dilakukan perhitungan indeks kemampuan proses univariat untuk masing masing karakteristik produk. Sebagai contoh untuk variabel pertama yaitu kadar gula, ditemukan dua sampel yang berada di luar BPA yaitu sampel ke 50 dan 0. Sampel ini selanjutnya dihilangkan dengan asumsi sudah ditelusuri penyebab ketidakstabilan proses. Proses penghilangan sampel out-of-control tersebut diulang hingga semua sampel berada di bawah kendali seperti pada Gambar 4.8. Diperoleh 300 sampel yang berada di bawah batas pengendali atas yang baru sebesar 9,099. Nilai mean dan standar deviasi sampel berturut turut x = 8,3766 dan s = 0,036. Selanjutnya akan dihitung indeks kemampuan proses masing masing untuk C p, C pk dan C pm. ˆ USL LSL C p = 6s = = ˆ C pk USL x x LSL = min, 3s 3s 8,55 8,3770 8,3770 8,5 = min, 3 0,03 3 0,03 ( ) =, 3588 = min,8460;,3588 ˆ C pm = 6 USL LSL s + ( x T ) = 6 (0,036 ) 8,55 8,5 + (8,3770 8,4) =,897

19 Dari ketiga metode perhitungan indeks kemampuan proses univariat tersebut diperoleh hasil indeks kemampuan proses lebih dari menunjukkan bahwa secara univariat kadar gula masih berada di dalam batas spesifikasi yang telah ditentukan perusahaan. Selanjutnya, dilakukan prosedur serupa untuk karakteristik kualitas yang lain. Ringkasan nilai indeks kemampuan proses untuk ketiga karakteristik dapat dilihat pada Tabel 4.. Karakteristik kualitas C p C pk C pm Kadar gula (brix) Kadar keasaman (Ph) Vacuum Tabel 4.. Indeks Kemampuan proses univariat untuk ketiga karakteristik produk Gambar 4.8. Grafik pengendali Hotelling T untuk karakteristik kadar gula setelah sampel out of control dihilangkan Indeks Kemampuan Proses Bivariat Pada bagian ini akan ditunjukkan gambaran geometris indeks kemampuan proses untuk tiap pasangan karakteristik dan dihitung nilai indeks kemampuan proses bivariat. Sebelumnya dilakukan uji korelasi untuk mengetahui apakah masing masing karakteristik saling independen satu sama lain. Uji korelasi menunjukkan hasil yang signifikan untuk karakteristik pertama dan ketiga sehingga dapat disimpulkan kedua karakteristik tersebut saling berkorelasi. Sebaliknya, untuk pasangan karakteristik yang lain tidak berkorelasi sehingga diasumsikan nilai kovariansi s = 0. Selanjutnya, akan dianalisis untuk karakteristik pertama (Brix) dan kedua (ph). Batas spesifikasi yang telah ditentukan perusahaan untuk kedua karakteristik tersebut berturut turut

20 adalah 8,5 8,55 dan 6, 7,. Ellips terbesar yang memenuhi batas spesifikasi tersebut adalah ellips dengan persamaan ( x 8,4) ( y 6,6) R + =. 0,05 0,5 Daerah R merupakan ellips dengan persamaan R [ ( ) ( ) ] s x x + s x x = T. (4.) s s Persamaan 4.. dapat diubah ke dalam bentuk ( x x ) ( x x ) + = T (4.) s s dengan x, x merupakan rata rata dan s, s variansi berturut turut untuk variabel pertama dan kedua. Persamaan ellips R untuk karakteristik pertama dan kedua adalah ( x 8,38) ( x 6,5605) + =, ,00 0,09 Nilai T ditentukan dengan menggunakan persamaan p( m + )( m ) T = Fα, p,( m p) m( m p) dengan p banyaknya karakteristik dan m banyaknya sampel yang diobservasi sedangkan α dipilih 0,007. Gambar 4.9 menunjukkan indeks kemampuan proses tersebut secara geometris. Pada gambar 4.9 persegi panjang merah menunjukkan batas spesifikasi yang telah ditentukan perusahaan sedangkan daerah R merupakan ellips berwarna biru yang merupakan ellips terbesar yang dibatasi batas spesifikasi untuk kedua karakteristik.titik pusat ellips tersebut merupakan nilai target (titik tengah batas spesifikasi). R merupakan daerah yang dibatasi ellips berwarna hijau menunjukkan daerah proses yang sebenarnya. Dari Gambar 4.9 kita dapat memperkirakan bahwa nilai indeks kemampuan proses lebih besar dari. Hal ini diindikasikan dari R yang hampir seluruh daerahnya berada dalam R. Selain itu, semua sampel jatuh di dalam daerah R yang menunjukkan bahwa semua sampel memenuhi spesifikasi perusahaan. Secara matematis, nilai indeks kemampuan proses bivariat dihitung dengan menggunakan persamaan (.) dengan C ˆ p =,785 dan D ˆ =,3 ˆ Cˆ p,785 MC pm = =,0385 ˆ,3 =. D Nilai IKP untuk kedua karakteristik tersebut menunjukkan nilai lebih besar dari sehingga dapat disimpulkan bahwa dilihat dari kedua karakteristik tersebut proses sudah berjalan dengan baik.

21 Gambar 4.9. Gambaran geometris untuk perbandingan antara daerah toleransi spesifikasi dan daerah proses yang sebenarnya untuk karakteristik pertama dan kedua Selanjutnya akan dihitung nilai IKP untuk karakteristik ph dan vacuum dengan spesifikasi perusahaan masing masing 6, 7, dan Ellips terbesar yang memenuhi batas spesifikasi tersebut adalah ellips dengan persamaan ( x 6,6) ( y 35) + =. 0,5 00 Dengan menggunakan persamaan (4.) kita dapat menentukan daerah R yaitu ellips dengan persamaan ( x 6,5605) ( y 34,39) + =, ,09 4,96 Gambar 4.0. menunjukkan area yang dibatasi oleh spesifikasi perusahaan dan daerah proses yang sebenarnya. Dari gambar 4.0 kita dapat memperkirakan bahwa nilai indeks kemampuan proses lebih besar dari. Hal ini diindikasikan dari R yang hampir seluruh daerahnya berada dalam R. Selain itu, semua sampel jatuh di dalam daerah R yang menunjukkan bahwa semua sampel memenuhi spesifikasi perusahaan. Secara matematis, nilai indeks kemampuan proses bivariat dihitung dengan menggunakan persamaan. dengan C ˆ p =,3950 dan D ˆ =,0840.

22 Gambar 4.0. Gambaran geometris untuk perbandingan antara daerah toleransi spesifikasi dan daerah proses yang sebenarnya untuk karakteristik kedua dan ketiga. ˆ Cˆ p,3950 MC pm = =,870 ˆ,0840 = D Selanjutnya akan dihitung nilai IKP untuk karakteristik brix dan vacuum dengan spesifikasi perusahaan masing masing 8,5 8,55 dan Ellips terbesar yang memenuhi batas spesifikasi tersebut adalah ellips dengan persamaan ( x 8,4) ( y 35) + =. 0,05 00 Daerah R merupakan ellips dengan persamaan s ( x x) + s ( y x ) s ( x x)( y x ) = T (4.3) s s s sehingga R untuk karakteristik brix dan vacuum dapat ditentukan sebagai berikut 4,96( x 8,38) + 0,00( x 34,3) 0,06( x 8,38)( x 34,3) = 0, 03. Dengan cara serupa diperoleh nilai ˆ Cˆ p,637 MC pm = =,0390 ˆ,06 =. D Dari nilai IKP tersebut kita dapat menyimpulkan bahwa untuk karakteristik brix dan vacuum proses berada dalam spesifikasi perusahaan. Ketiga hasil IKP bivariat tersebut menunjukkan nilai lebih besar dari sehingga dapat disimpulkan bahwa proses telah berjalan dengan baik.

23 Indeks Kemampuan Proses Multivariat Pada penelitian ini, data yang digunakan untuk menghitung indeks kemampuan proses diperoleh dengan menghilangkan sampel yang terdeteksi out of control. Hal ini dilakukan dengan asumsi sudah dilakukan penelusuran penyebab ketidakstabilan proses dan prosesnya telah diperbaiki. Dari Gambar 4.5 terdeteksi adanya sinyal out of control sebanyak sampel yaitu sampel ke 50 dan 0. Kemudian sampel out of control tersebut dihilangkan dan selanjutnya dilakukan pengontrolan yang baru menggunakan grafik pengendali Hotelling T. Proses ini diulang hingga diperoleh semua nilai sampel berada di dalam batas pengendali grafik. Proses pengendalian, data sampel out of control dan batas pengendali yang baru dapat dilihat pada Tabel 4.3. Pengontrolan ke Banyaknya out of Nomor sampel out of control control BPA 50,0 4, , 43 4, , ,640 Tabel 4.3. Proses penghilangan sampel out of control Setelah dilakukan pengontrolan keempat kalinya, diperoleh 304 sampel yang berada di bawah grafik pengendali. Dari ke 304 data sampel tersebut akan dilakukan perhitungan indeks kemampuan proses multivariat. Ellipsoid terbesar yang memenuhi daerah spesifikasi adalah ellipsoid dengan persamaan ( x 8,4) ( y 6,6) ( z 35) R + + = 0,05 0,5 00 sedangkan ellipsoid proses yang sebenarnya ditentukan oleh persamaan ( x 8,38) ( y 6,5605) ( z 34,3) + + = 4, ,00 0,09 4,96 Gambar 4.0 menunjukkan dua ellipsoid yang mewakili daerah batas spesifikasi dan daerah 99,73 % proses. Daerah R (batas spesifikasi) ditunjukkan oleh ellipsoid wiregrid berwarna sedangkan daerah proses R ditunjukkan oleh ellipsoid patch berwarna abu abu. Dari Gambar 4.0 terlihat daerah R hampir seluruhnya berada di dalam ellipsoid R. Melihat fakta tersebut, kita dapat memperkirakan nilai indeks kemampuan proses lebih besar dari. Secara matematis, dengan menggunakan persamaan (.) diperoleh nilai vol( R ) = p i= p T i π Γ p / ( p / ) = 3 / 0,75 π 3 0,886 Selanjutnya nilai = 3,46. Ĉ p dihitung sebagai berikut

24 Cˆ p = S / ( πk ( p)) vol( R ) p / [ Γ( p / + ) ] = 0,00 3,46 ( π 4,563) 3 / 0,753 3,46 = =,3935,544 Dengan menggunakan persamaan (.) dihitung nilai indeks kemampuan proses ˆ Cˆ p,3935 MC pm = =,066 ˆ,593 =. D Terlihat bahwa nilai indeks kemampuan proses diperoleh lebih dari. Hal ini menunjukkan variasi proses lebih kecil daripada batas spesifikasi perusahaan sehingga dapat disimpulkan bahwa proses produksi X sudah dalam keadaan baik. Gambar 4.0. Gambaran geometris untuk perbandingan antara daerah toleransi spesifikasi dan daerah proses yang sebenarnya untuk ketiga karakteristik kualitas. 5. SIMPULAN DAN SARAN SIMPULAN. Aplikasi grafik pengendali univariat untuk masing masing karakteristik, menunjukkan proses terkendali untuk karakteristik ph, sedangkan untuk karakteristik brix terdapat dua sampel yang di luar kendali yaitu sampel ke 50 dan 0. Grafik univariat untuk karakteristik vacuum menunjukkan satu sampel yang di luar kendali yaitu sampel ke 57.

25 . Penerapan grafik pengendali Hotelling T Multivariat untuk proses produksi X selama bulan Januari 00 Agustus 00 menunjukkan terdapat sampel yang berada di luar kontrol dengan batas pengendali atas 4, Dengan menggunakan rata-rata dan matriks kovariansi data produksi, dapat dibangkitkan data acak berdistribusi normal multivariat untuk ukuran sampel yang berbeda dan diperoleh proporsi banyaknya sampel out of control mendekati nilai α = 0, Analisis sinyal out of control dilakukan dengan membuat boxplot untuk tiap karakteristik, selanjutnya dari analisis sampel outliers diperoleh karakteristik yang secara dominan mempengaruhi ketidaknormalan proses adalah karakteristik brix (kadar gula). 5. Nilai indeks kemampuan proses univariat menunjukkan nilai IKP > sehingga secara univariat proses produksi telah berjalan dengan baik. Demikian pula, untuk pengamatan multivariat, nilai indeks kemampuan proses multivariat MC pm untuk proses produksi X adalah sebesar,06. Hal ini menunjukkan proses telah memenuhi spesifikasi perusahaan dengan asumsi telah dilakukan penyelidikan terhadap penyebab ketidakstabilan proses dan dilakukan perbaikan. SARAN Dalam menghitung nilai indeks kemampuan proses sebaiknya benar benar dilakukan penelusuran terhadap penyebab ketidakstabilan proses selanjutnya diperbaiki sehingga nilai indeks kemampuan proses yang diperoleh lebih mencerminkan keadaan proses yang sebenarnya, bukan sekedar menghilangkan sampel-sampel yang out of control. 6. DAFTAR PUSTAKA Johnson, Richard. Dean Wichern Applied Multivariate Statistical Analysis, 6th ed. New Jersey : Prentice Hall. Linn, Richard Supplier Selection Based on Process Capability and Price Analysis. Quality Engineering Vol 8 : 3 9. M. Abdolshah Overall Processes Capability Index for Assembly Production Lines. Journal of Applied Science 9 (0) : Montgomery, D.C Pengantar Pengendalian Kualitas Statitik. Alih bahasa : Zanzawi Soejoeti. Yogyakarta : Universitas Gadjah Mada. Young, Timothy Multivariate Control Charts of MDF and OSB Vertical Density Profile Attributes. Forest Products Journal.Vol 49 : Zahid, Abu. Arifa Sultana Assesment and Comparison of Multivariate Process Capability Indices in Ceramic Industry. Journal of Mechanical Engineering Vol. ME39 : 8 5. Web : Hotelling Control Charts. diakses tanggal 5 Oktober 00. Web : What is Process Capability?. diakses tanggal 9 Desember 00.