IF4058 TopikKhususInformatikaI

Transkripsi

1 IF4058 TopikKhususInformatikaI (Topik: MetodeNumerik) Kuliah ke-1 (Pengantar Metode Numerik) Oleh; Rinaldi Munir(IF-STEI ITB) 1

2 ApaituMetodeNumerik? Numerik: berhubungan dengan angka Metode: cara yang sistematis untuk menyelesaikan persoalan guna mencapai tujuan yang ditentukan Metode numerik: cara sistematis untuk menyelesaikan persoalan matematika dengan operasiangka(+, -, *, /) 2

3 Contoh beberapa persoalan matematika: 1. Tentukan akar-akar persamaan polinom 23.4x x x x 3-120x 2 -x+ 100 = 0 2. Tentukan harga x yang memenuhi persamaan: e x 1 x = cos 1 2 (120 x 17x + 2x) Hitung nilai integral-tentu berikut: ( 7 e x ( ) + ) dx 2 x ( x + 1) 3

4 4. Diberikan persamaan differensial biasa(pdb) dengan sebuah nilai awal: ln(21t + 40) y 150y" + 2y' t = + 120; y(0) = 1 2 t Hitungnilaiypadat = Selesaikan sistem persamaaan lanjar(linear): 1.2a- 3b -12c + 12d + 4.8e-5.5f + 100g= a+ 3b - c + 16d+ 8e - 5f - 10g= a+ 3b - 6c - 2d+ 4e+ 6.5f - 13g= a- 3b + 8c - 7d+ 14e+ 8.4f + 16g= 6 2.2a+ 3b + 17c+ 6d+ 12e- 7.5f + 18g= 9 5.9a+ 3b + 11c+ 9d - 5e- 25f - 10g = 0 1.6a+ 3b + 1.8c + 12d- 7e+ 2.5f + g = -5 4

5 Cara penyelesaian persoalan matematika ada dua: 1. Secara analitik 2. Secara numerik Secara analitik: menggunakan rumus dan teorema yang sudah baku di dalam matematika metode analitik Contoh1: x 2 6x + 8 = 0 Carilahakar-akarnya! Metodeanalitik: faktorkanmenjadi (x 4)(x 2) = 0 x 4 = 0 x 1 = 4 x 2 = 0 x 2 = 2 5

6 Secara numerik: menggunakan pendekatan aproksimasi untuk mencari solusi hanya dengan operasi aritmetika biasa metode numerik. Contoh: carilahsebuahakarf(x) = x 2 6x + 8 = 0 Metode numerik: diketahui sebuah akar terletak di dalamselang[3, 6] mengapa??????? y= x 2 6x Sb-X 6

7 Pendekatan sederhana mencari akar adalah secara iteratif dengan metode titik tengah(bisection): 1. bagi selang[a,b] menjadi dua dengan titik tengah c = (a + b) / 2 2. adaduasub-selang: [a, c] dan[c, b]. Pilihselangiterasi yang baru dengan syarat nilai fungsi di ujung selang berbeda tanda. 3. ulangilangkah1 dan2 sampaiukuranselang< ε(epsilon adalah nilai yang sangat kecil yang menyatakan toleransi kesalahanakaryang diinginkan, misalnya ε= 0.001, , dsb 7

8 y = f(x) a c 0 c 1 b c 2 x 8

9 Contohmencariakarf(x) = x 2 6x + 8 = 0 didalam selang[3, 6] dengan ε= Iterasi a c b f(a) f(c) f(b) Selang baru Lebar [a,c] [c,b] [a,c] [c, b] [a,c] [c, b] [a, c] [c, b] [a, c] [c, b] [a,c] [c, b] [a, c] Stop Aproksimasi akar =

10 Contoh2: hitungintegral Metodeanalitik: Rumus: ax n 1 dx = ax n + 1 n ) (4 x dx + C (4 x ) dx = [4x x = [4(1) (1)] [4( 1) 3 3 ] x= 1 x= 1 1 ( 1)] 3 = 22/3 =

11 Metode numerik Nilai integral = luas daerah di bawah kurva y Rumus luas trapesium = (jumlah sisi sejajar x tinggi)/2 p q r s y = 4 - x /2 0 1/2 1 2 x ) (4 dx p + q + r + s x {[f(-1) + f(-1/2)] 0.5/2} + {[f(-1/2) + f(0)] 0.5/2} + {[f(0) + f(1/2)] 0.5/2} + {[f(1/2) +f(1)] 0.5/2} 0.5/2 {f(-1) + 2f(-1/2) + 2f(0) + 2f(1/2) + f(1)} 0.5/2 { }

12 Perbedaan solusi antara metode analitik dengan metode numerik: solusi dengan metode analitik: eksak(tepat tanpa ada kesalahan) solusi dengan metode numerik: hampiran atau aproksimasi(tidak tepat sama dengan solusi eksak, selalu ada kesalahan Kesalahan dalam solusi numerik disebut galat(error) Galat dapat diperkecil dengan mengubah parameter di dalammetodenumerik(misalnya ε, lebartrapesium, dsb) 12

13 Kelebihan metode numerik: dapat menyelesaikan persoalan matematika yang tidak dapat diselesaikan dengan metode analitik. Contoh: metode analitik apakah yang mampu mencari akar persamaan di bawah ini: e x 1 x = cos 1 2 (120 x + 2x) 17 x 65 atau mencari nilai integral berikut ini: ( 7 e x ( ) + ) dx 2 x ( x + 1) Metode numerik mampu menyelesaikan persoalan di atas! 13

14 Metode numerik membutuhkan banyak operasi aritmetika yang berulang Oleh karena itu, komputer berguna untuk membantu perhitungan. Komputer menjadi kebutuhan yang penting dalam metode numerik. Metode numerik pada dasarnya adalah suatu algoritmasehinggadapatdiprogram. Peranan orang Informatika adalah pada fase pemrogramannumerik. 14

15 Tahapan penyelesaian persoalan secara numerik: 1. Pemodelan 2. Penyederhanaan model 3. Formulasi numerik - menentukan metode nuemrik yang dipakai - membuat algoritma penyelesaian 4. Pemrograman -coding 5. Pengujian -tesdengandata uji 6. Evaluasi - menganalisis hasil numerik Tahap1 dan2 adalahpekerjaanahliyang sesuaidenganbidangnya; Tahap 3 dan 4 adalah tugas informatikawan; Tahap 5 dan 6 melibatkan informatikawan dan ahli yang sesuai dengan bidangnya 15

16 Contoh 4: Sebuah bola logam dipanaskan sampai pada suhu 100 C. Kemudian, padasaatt = 0, bola itudimasukkanke dalamair yang bersuhu30 C. Setelah3 menit, suhubola berkurangmenjadi70 C. Tentukansuhubola setelah22.78 menit menit. Diketahui tetapan pendinginan bola logam itu adalah Pemodelan oleh ahli fisika: Dengan menggunakan hukum pendinginan Newton, laju pendinginan bola setiap detiknya adalah Ditanya: T(22.78) =? dt/dt= -k(t 30); T(0)=100 Formulasinumerik: menggunakanmetoderunge-kutta9salah satu metode numerik untuk penyelesaian PDB) 16

17 Apayang Dipelajarididalam MetodeNumerik 1. Solusi persamaan nirlanjar Temukanx sehinggaf(x) = 0 y y = f(x) akar x 17

18 2. Solusi sistem persamaan lanjar Selesaikan sistem persamaan lanjar seperti a 11 x 1 + a 12 x 2 = c 1 a 21 x 1 + a 22 x 2 = c 2 untukharga-hargax 1 danx 2. x 1 x 2 18

19 3. Interpolasipolinom Diberikantitik-titik(x 0,y 0 ), (x 1,y 1 ),, (x n,y n ). Tentukanpolinomp n (x) yang melaluisemuatitik tersebut y y = p n (x) x 19

20 4. Turunannumerik Misalkandiberikantitik(x i, y i ) dantitik(x i+1, y i+1 ). Tentukanf'(x i ). y i+1 y = f(x) y i h x i x i+1 x 20

21 5. Integrasinumerik Hitung integral = b I f ( x) dx a y y = f(x) b I = f ( x) a a b x 21

22 6. Solusi persamaan diferensial biasa dengan nilai awal Diberikandy/dx= f(x,y) dannilaiawaly 0 = y(x 0 ) Tentukannilaiy(x t ) untukx t R y gradien = f(x i, y i ) y i x x i x i+1 x 22

23 TujuanKuliahIF Mempelajari berbagai metode penyelesaian persoalan matematika secara numerik. 2. Mengimplementasikan metode numerik ke dalam program komputer untuk persoalan di bidang sains dan rekayasa 23

24 PrasyaratKuliah 1. Kalukulus I dan II 2. Algoritma dan Pemrograma/ Strukyur Data 24

25 PenilaianKuliah 1. Kehadiran 2. UTS (closed book) 3. UAS (open book) 4. PR 5. Tugas pemrograman(menggunakan Bahasa C#, Bahasa FORTRAN, dan Matlab) 6. Makalahperorangan 25

26 BukuTeks 1. Rinaldi Munir, Diktat Kuliah Metode Numerik untuk Teknik Informatika Edisi Kedua(Revisi), Depratemen Teknik Informatika ITB, Curtis F. Gerald danpattricko. Wheatley, Applied Numerical Analysis, 5rd Edition, Addison-Wesley Publishing Company, Steven C. ChapradanRaymond P. Canale, Numerical Methods for Engineers with Personal Computer Applications, MacGraw-Hill Book Company, 1991 Buku1, 2, dan3 diatassebaiknyadimiliki. Buku tambahan: 1. John. H. Mathews, Numerical Methods for Mathematics, Science and Engineering, 2nd Edition, Prentice-Hall International, ShoichiroNakamura, Applied NumericakMethods in C, Prentice-Hall Int. Series, Samuel D Conte dancarl De Boor, Elementary Numerical Analysis, An Algorithmic Approach, 3rd Edition, MacGraw-Hills, Inc, RinaldiMunir-IF4058 TopikKhususIF I 26