PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

Transkripsi

1 LUAS PADA GEOMETRI HIPERBOLIK Skripsi Diajukan untuk Memenuhi Salah Satu Syarat Memperoleh Gelar Sarjana Pendidikan Program Studi Pendidikan Matematika Oleh : Singgih Satriyo Wicaksono NIM : PROGRAM STUDI PENDIDIKAN MATEMATIKA JURUSAN PENDIDIKAN MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM FAKULTAS KEGURUAN DAN ILMU PENDIDIKAN UNIVERSITAS SANATA DHARMA YOGYAKARTA 2015 i

2 SKRIPSI LUAS PADA GEOMETRI HIPERBOLIK Oleh : Singgih Satriyo Wicaksono NIM : Telah disetujui oleh : Pembimbing, Drs. Sukardjono, M.Pd Tanggal : ii

3 SKRIPSI LUAS PADA GEOMETRI HIPERBOLIK Dipersiapkan dan ditulis oleh : Singgih Satriyo Wicaksono NIM : Telah dipertahankan di depan panitia penguji pada tanggal 29 Juli 2015 dan dinyatakan memenuhi syarat Susunan Panitia Penguji Nama Lengkap Tanda Tangan Ketua : Dr. Marcellinus Andy Rudhito, S.Pd.... Sekretaris : Ch. Enny Murwaningtyas, S.Si., M.Si... Anggota : 1. Drs. Sukardjono, M.Pd Ch. Enny Murwaningty as, S.Si., M.Si Veronika Fitri Rianasari, M.Sc.... Yogyakarta, 29 Juli 2015 Fakultas Keguruan dan Ilmu Pendidikan Universitas Sanata Dharma Dekan, Rohandi, Ph.D iii

4 PERSEMBAHAN Takut akan Tuhan adalah permulaan pengetahuan. Amsal 1 : 7 Skripsi ini untuk Ibuku dan adikku, almamaterku, dan setiap orang yang membacanya. iv

5 PERNYATAAN KEASLIAN KARYA Saya menyatakan dengan sesungguhnya bahwa skripsi yang saya tulis ini tidak memuat karya atau bagian orang lain, kecuali yang telah disebutkan dalam kutipan dan daft ar pustaka s eb agaiman a lay akny a kary a ilmi ah. Yogyakarta, 29 Juli 20I 5

6 LEMBAR PERNYATAAN PERSETUJUAN PUBLIKASI KARYA ILMIAH UNTUK KEPENTINGAN AKADEMIK Yang bertanda tangan di bawah ini, saya mahasiswa Universitas Sanata Dharma : Nama NIM : Singgih Satriyo Wicaksono : Demi pengembangan ilmu pengetahuan, saya memberikan kepada Perpustakaan Universitas Sanata Dharma sebuah karya ilmiah yang berjudul : LUAS PADA GEOMETRI HIPERBOLIK Dengan demikian saya memberikan kepada Perpustakaan Universitas Sanata Dharma untuk menyimpannya, mengalihkan dalam bentuk media lain, mengolahnya dalam bentuk pangkalan data, mendistribusikan secara terbatas, dan mempublikasikan di internet atau media lain demi kepentingan akademis tanpa meminta ijin dari saya maupun memberikan royalti kepada saya selama tetap mencantumkan nama saya sebagai penulis. Demikian pernyataan ini saya buat dengan sebenarnya. Yogyakarta,29 luh 2015 Yang menyatakan, VI

7 ABSTRAK Singgih Satriyo Wicaksono, Luas pada Geometri Hiperbolik. Skripsi. Program Studi Pendidikan Matematika, Jurusan Pendidikan dan Ilmu Pengetahuan Alam, Fakultas Keguruan dan Ilmu Pendidikan, Universitas Sanata Dharma, Yogyakarta. Geometri hiperbolik adalah geometri yang berdasarkan pada postulat kesejajaran Lobachevski. Postulat tersebut berisi, Diasumsikan suatu garis l dan suatu titik P yang tidak pada l, paling tidak ada dua garis l, l yang memuat P dan sejajar dengan l. Defek suatu segitiga didefinisikan sebagai 180 dikurang jumlah sudut dalam segitiga. Di dalam geometri hiperbolik jumlah sudut dalam segitiga adalah kurang dari 180. Dalam geometri hiperbolik, luas daerah segitiga (daerah triangular) didefinisikan sebagai defek dari segitiga yang bersesuaian. Suatu daerah segibanyak dapat diekspresikan sebagai gabungan daerah triangular yang terbatas jumlahnya. Luas dearah segibanyak didefinisikan sebagai total defek suatu daerah segibanyak, yaitu jumlah defek daerah triangular dari sembarang triangulasi terhadap daerah segibanyak tersebut. Kata kunci : Geometri Hiperbolik, Defek, Luas. vii

8 ABSTRACT Singgih Satriyo Wicaksono, Hyperbolic Geometry Area. Thesis. Mathematics Education Study Program, Mathematics and Science Education Deparment, Faculty of Teacher Training and Education, Sanata Dharma University, Yogyakarta. Hyperbolic geometry is geometry which depends on Lobachevski Parallel Postulate. That postulate states, Given a line l and a point P not on l, there are at least two lines l', l" which contain P and are parallel to l. The defect of triangle is defined as 180 minus the angle sum of a triangle. Under hyperbolic geometry the angle sum of a triangle is less than 180. In hyperbolic geometry, the area of triangle region is defined as the defect of the corresponding triangle. Polygon region can be expressed as the union of a finite number of triangular regions. The area of a polygon region is defined as total defect of a polygon region, that is the sum of the defect of the triangular region of any triangulation of that polygon region. Keyword : Hyperbolic Geometry, Defect, Area viii

9 KATA PENGANTAR Segala puji dan syukur penulis panjatkan kepada Tuhan Yang Maha Esa, karena atas berkat dan karunianya penulis dapat menyelesaikan skripsi yang berjudul Luas pada Geometri Hiperbolik ini. Banyak tantangan dan hambatan yang penulis temui selama proses menyelesaikan skripsi ini. Namun penulis bersyukur dapat melaluinya. Dukungan, bantuan, dan doa dari banyak pihak telah menjadikan penulis tetap bersemangat dalam menyelesaikan skripsi ini. Untuk itu pada kesempatan kali ini penulis dengan sepenuh hati ingin mengucapkan terima kasih kepada beberapa pihak, diantaranya: 1. Bapak Rohandi, Ph.D. selaku dekan Fakultas Keguruan dan Ilmu Pendidikan, Universitas Sanata Dharma. 2. Bapak Dr. M. Andy Rudhito, S.Pd. selaku kaprodi Pendidikan Matematika, Universitas Sanata Dharma. 3. Bapak Drs. Sukardjono, M.Pd. selaku dosen pembimbing yang telah banyak memberikan masukan dan nasihat kepada penulis selama menyusun skripsi. 4. Ibu V. Fitri Rianasari, S.Pd, M.Sc. selaku dosen pembimbing akademik yang telah banyak membimbing dan memberikan perhatian kepada penulis. ix

10 5. Ibu Ch. Enny Murwaningtyas, S.Si., M.Sc. selaku dosen penguji yang telah banyak memberikan masukan dan kritik yang membangun sehingga skripsi ini menjadi lebih baik. 6. Seluruh dosen Pendidikan Matematika yang telah memberikan ilmu selama penulis berkuliah di Universitas Sanata Dharma. 7. Seluruh staf sekretariat JPMIPA, Ibu Tari, Bapak Sugeng, Mas Arif, dan Mas Made yang telah banyak membantu memberikan pelayanan kesekretariatan selama ini. 8. Ibuku dan adikku Cahyo yang selalu mendukung, memberikan semangat, serta selalu berdoa untukku. 9. Keluarga Pakde Mulyana yang telah memberi banyak bantuan dan dukungan selama penulis kuliah. Juga mas Ony dan mas Anto yang banyak memberi bimbingan dan bantuan. 10. Keluarga Bapak Mattew Warren dan Ibu Selvi Kastanya yang telah banyak sekali membantu dan membimbing penulis selama kuliah. 11. Teman seperjuangan Pilipus Neri Agustima, yang telah banyak membantu penulis. Teman bertukar pikiran, teman main dota, teman yang baik dan juga menginspirasi. 12. Teman-teman Pendidikan Matematika angkatan 2011 dan teman-teman bimbingan Bapak Sukardjono yang selalu memberikan semangat, juga sebagai tempat berbagi suka duka mengerjakan skripsi. 13. Teman-teman PMK Oikumene. Trimakasih atas kesaksian-kesaksian yang menguatkan. x

11 14. Teman-teman Youth GBI Bethesda atas segala canda tawa dan semangat yang diberikan kepada penulis. Juga buat Kak Eva, pendengar yang baik untuk cerita-cerita penulis. 15. Semua pihak yang telah membantu dan tidak dapat disebutkan satu persatu. Semoga tulisan ini dapat memberikan manfaat dan wawasan lebih kepada setiap pembaca. Tuhan memberkati. Yogyakarta, 29 Juli 2015 Singgih Satriyo Wicaksono xi

12 DAFTAR ISI HALAMAN JUDUL... i HALAMAN PERSETUJUAN PEMBIMBING... ii HALAMAN PENGESAHAN... iii HALAMAN PERSEMBAHAN... iv PERNYATAAN KEASLIAN KARYA... v PERNYATAAN PERSETUJUAN PUBLIKASI KARYA ILMIAH... vi ABSTRAK... vii ABSTRACT... viii KATA PENGANTAR... ix DAFTAR ISI... xii DAFTAR SIMBOL... xiv DAFTAR GAMBAR... xvi BAB I... 1 PENDAHULUAN Latar Belakang Rumusan Masalah Batasan Masalah Tujuan Penelitian Manfaat Penelitian Metode Penelitian Sistematika Penulisan... 4 BAB II... 6 LANDASAN TEORI Pengenalan Geometri Non-Euclid Geometri Insiden Fungsi Jarak Keantaraan Segmen, Sinar, Sudut, dan Segitiga xii

13 2.6 Kekonvekan dan Pemisahan Kekontinuan Ukuran Sudut Postulat Luas Sudut Luar Segitiga dan Konsekuensinya Segiempat Saccheri dan Jumlah Sudut dalam Segitiga Fungsi Kritis BAB III LUAS PADA GEOMETRI HIPERBOLIK Jumlah Sudut dalam Segitiga pada Geometri Hiperbolik Defek Segitiga Triangulasi dan Subdivisi Defek Daerah Segibanyak BAB IV PENUTUP Kesimpulan Saran DAFTAR PUSTAKA xiii

14 DAFTAR SIMBOL S L P R R A, B, C k, l, m AB AB AB AB A B C ABC m ABC ABC ABCD H 1, H 2 c(a) δ : himpunan semua titik : himpunan garis-garis : himpunan bidang-bidang : himpunan bilangan real : himpunan daerah segibanyak : titik-titik : garis-garis : ruas garis atau segmen garis dengan titik akhir A dan B : garis yang melalui titik A dan titik B : sinar garis dengan titik akhir A : panjang AB atau jarak A ke B : titik B diantara titik A dan titik C : sudut ABC : ukuran sudut ABC : segitiga ABC : segiempat ABCD : bidang setengah : bilangan kritis : defek : sejajar : asimtotik : tegak lurus xiv

15 ~ : sebangun sup inf : kongruen : gabungan : irisan : elemen atau anggota : tak hingga : supremum : infimum xv

16 DAFTAR GAMBAR Gambar Garis... 9 Gambar Segmen Garis... 9 Gambar Sinar Garis... 9 Gambar Garis Bilangan I Gambar Keantaraan I Gambar Keantaraan II Gambar Garis Bilangan II Gambar Ilustrasi Teorema Gambar Segmen Garis Gambar Sinar Garis Gambar Sudut Gambar Segitiga Gambar Sudut-sudut Berpotongan Gambar Ilustrasi Teorema Gambar Ilustrasi I Teorema Gambar Ilustrasi II Teorema Gambar Ilustrasi III Teorema Gambar Sudut Yang Sama Gambar Ilustrasi I Teorema Gambar Ilustrasi II Teorema Gambar Himpunan Konvek Gambar Himpunan Tidak Konvek Gambar Pemisahan Bidang Gambar Ilustrasi Teorema Gambar Ilustrasi Teorema Gambar Ilustrasi Teorema Gambar Sinar Yang Berlawanan xvi

17 Gambar Ilustrasi Teorema Gambar Interior dan Eksterior Sudut Gambar Ilustrasi Teorema Gambar Ilustrasi Teorema Gambar Ilustrasi Teorema Gambar Interior Segitiga Gambar Ilustrasi Teorema Gambar Ilustrasi Teorema Gambar Teorema Crossbar Gambar Ukuran Sudut I Gambar Ukuran Sudut II Gambar Pembentukan Sudut Gambar Pembentukan Sudut Gambar Dua Sudut Membentuk Pasangan Linear Gambar Dua Sudut Berpelurus Gambar Daerah Triangular Gambar Daerah Segibanyak Gambar Pembagian Daerah Jajargenjang Gambar Postulat Penjumlahan Gambar Triangulasi Gambar Ilustrasi I Teorema Gambar Ilustrasi II Teorema Gambar Ilustrasi Teorema Gambar Ilustrasi Teorema Gambar Ilustrasi I Teorema Gambar Ilustrasi II Teorema Gambar Ilustrasi Teorema Gambar Segiempat Saccheri I Gambar Segiempat Saccheri II Gambar Segiempat Saccheri III Gambar Ilustrasi Teorema xvii

18 Gambar Ilustrasi Teorema Gambar Supremum dan Infimum Gambar Garis Sejajar Pada Geometri Hiperbolik Gambar Fungsi Kritis Gambar Ilustrasi Teorema Gambar Ilustrasi Teorema Gambar Segitiga Terbuka Gambar Segitiga Asimtotik Gambar Ilustrasi Teorema Gambar Segiempat Saccheri IV Gambar Jumlah Sudut Dalam Segitiga Siku-siku Pada Geometri Hiperbolik Gambar Jumlah Sudut Dalam Segitiga Pada Geometri Hiperbolik Gambar Ilustrasi Teorema Gambar Segitiga Kongruen Pada Geometri Hiperbolik Gambar Ilustrasi I Teorema Gambar Ilustrasi II Teorema Gambar Ilustrasi I Teorema Gambar Ilustrasi II Teorema Gambar Segibanyak Konvek Gambar Triangulasi Bintang Gambar Ilustrasi Teorema Gambar Ilustrasi I Teorema Gambar Ilustrasi II Teorema Gambar Ilustrasi III Teorema Gambar Segibanyak Yang Ekuivalen Gambar Segitiga Gambar Jumlah Defek Triangulasi Bintang Gambar Triangulasi Bintang Daerah Segibanyak Gambar Triangulasi Batas Gambar Ilustrasi I Teorema xviii

19 Gambar Ilustrasi II Teorema Gambar Ilustrasi I Teorema Gambar Ilustrasi II Teorema Gambar Ilustrasi III Teorema xix

20 BAB I PENDAHULUAN 1.1 Latar Belakang Kata geometri berasal dari kata Yunani geometrein (geo = bumi, dan metrein = ukuran) yang berarti ilmu pengukuran bumi. Pada mulanya, geometri adalah ilmu yang digunakan untuk mengukur lahan pertanian. Sejarahwan Yunani, Herodotus (5 tahun sebelum masehi), mengatakan orang-orang Mesir lah yang pertama kali menggunakan subjek geometri, tetapi negara-negara kuno lain (Babylonia, India, Cina) juga mempunyai beberapa informasi geometri (Greenberg, 1980 : 5). Selama lebih dari 2000 tahun, Elements buku yang ditulis oleh Euclid sekitar 300 tahun sebelum masehi dianggap sebagai model dari penalaran matematika. Sampai abad ke-20, buku Euclid ini masih menjadi dasar pembelajaran geometri di sekolah-sekolah. Geometri Euclid ini mengandung postulat kesejajaran (parallel postulate) yang merupakan postulat terakhir dari lima postulat yang ada dalam geometri Euclid. Beberapa matematikawan menganggap postulat kesejajaran ini tidak sederhana dan mencoba membuktikannya. Beberapa matematikawan yang mencoba membuktikan postulat kesejajaran Euclid adalah Proclus ( ), John Wallis ( ), dan Girolamo Saccheri ( ). Namun usaha ini tidak berhasil. Kegagalan dalam 20 abad akhirnya memicu sebuah pencetusan keraguan pemikiran matematikawan sehingga 1

21 2 pada 1830 J. Bolyai ( ), seorang staf angkatan darat Hungaria, N.I. Lobachevsky ( ), seorang Profesor matematika Rusia pada Universitas Kazan, dan sang agung Gauss sendiri telah mengembangkan secara independen teori geometri berdasarkan kontradiksi postulat kesejajaran Euclid (Prenowitz & Jordan, 1965: 53). Kemudian geometri ini dinamakan geometri hiperbolik. Area atau luas dalam geometri Euclid dinyatakan dalam banyaknya persegi satuan yang tepat menimpa suatu bangun. Prosedur ini tidak dapat diterapkan dalam geometri hiperbolik karena dalam geometri hiperbolik tidak terdapat persegi. Lalu bagaimana menyatakan ukuran luas dalam geometri hiperbolik? Selama ini geometri yang telah dipelajari oleh penulis merupakan geometri Euclid. Oleh karena itu penulis ingin mengetahui geometri Non-Euclid terutama luas pada geometri hiperbolik. 1.2 Rumusan Masalah 1. Apa yang dimaksud geometri hiperbolik? 2. Bagaimana nilai defek segitiga dan segibanyak pada geometri hiperbolik? 3. Bagaimana luas segitiga dan segibanyak pada geometri hiperbolik?

22 3 1.3 Batasan Masalah Luas yang dibahas dalam skripsi ini adalah luas dalam geometri hiperbolik. 1.4 Tujuan Penelitian Penelitian ini bertujuan untuk : 1. Untuk mengetahui definisi geometri hiperbolik. 2. Untuk mengetahui nilai defek segitiga dan segibanyak pada geometri hiperbolik. 3. Untuk mengetahui luas segitiga dan segibanyak pada geometri hiperbolik. 1.5 Manfaat Penelitian Manfaat yang dapat diambil dari penelitian ini adalah sebagai berikut : 1. Bagi Pembaca Pembaca dapat menambah pengetahuan mengenai geometri hiperbolik dan luas pada geometri hiperbolik. 2. Bagi Penulis Penulis dapat menambah pengetahuan mengenai geometri hiperbolik dan luas pada geometri hiperbolik. 3. Bagi Universitas Universitas dapat menambah koleksi skripsi dalam bidang geometri.

23 4 1.6 Metode Penelitian Metode penelitian yang digunakan dalam skripsi ini adalah metode studi pustaka, yaitu dengan membaca referensi-referensi mengenai geometri hiperbolik. Pembahasan dalam skripsi ini banyak mengacu pada buku Elementary Geometry from an Advanced Standpoint Third Edition, karangan Edwin E. Moise (1990) dan buku Geometry : A Metric Approach with Model Second Edition, karangan Richard S. Milman dan George D. Parker (1991). Langkah-Langkah yang dilakukan dalam penelitian ini adalah: 1. Membaca berbagai referensi mengenai topik geometri hiperbolik. 2. Menyajikan kembali definisi-definisi serta teorema-teorema yang menjadi dasar dalam mempelajari geometri hiperbolik, khususnya dalam skripsi ini mengenai luas dalam geometri hiperbolik. 3. Menyusun seluruh materi yang telah dikumpulkan secara runtut agar memudahkan pembaca dalam memahaminya. 1.7 Sistematika Penulisan Bab pertama berupa pendahuluan. Pendahuluan ini berisi tentang latar belakang, rumusan masalah, batasan masalah, tujuan, manfaat, metode penelitian, dan sistematika penulisan. Bab dua berisi tentang dasar-dasar yang akan digunakan dalam membahas defek dan luas pada geometri hiperbolik. Pertama disajikan

24 5 postulat-postulat dan definisi-definisi dasar dalam geometri yang terangkum dalam materi geometri insiden, fungsi jarak, segmen, sinar, sudut, dan segitiga, ukuran sudut, dan postulat luas. Kemudian dibahas mengenai keantaraan, kekonvekkan dan pemisahan, serta kekontinuan yang akan banyak digunakan dalam membahas materi selanjutnya. Selanjutnya diberikan materi mengenai jumlah sudut dalam segitiga pada geometri hiperbolik yang terangkum dalam materi sudut luar segitiga dan konsekuensinya, segiempat Saccheri dan jumlah sudut dalam segitiga, dan fungsi kritis. Bab tiga membahas mengenai luas pada geometri hiperbolik. Materi-materi yang disajikan adalah jumlah sudut dalam segitiga pada geometri hiperbolik, defek segitiga, triangulasi dan subdivisi, dan defek segibanyak. Bab empat berisi kesimpulan dari pembahsan pada bab tiga serta saran yang diberikan penulis kepada pembaca yang ingin melanjutkan penelitian ini.

25 BAB II LANDASAN TEORI 2.1 Pengenalan Geometri Non-Euclid Sub bab ini berisi sejarah singkat penemuan geometri hiperbolik (geometri Lobachevsky) dan geometri Eliptik (geometri Riemann) yang termasuk dalam geometri non-euclid. Selama lebih dari 2000 tahun, Elements buku yang ditulis oleh Euclid sekitar 300 tahun sebelum masehi dianggap sebagai model dari penalaran matematika. Buku yang ditulis Euclid ini mengandung lima postulat. Postulat yang kelima disebut postulat kesejajaran (kemudian disebut postulat kesejajaran Euclid). Dalam kurun waktu yang lama matematikawan percaya bahwa geometri Euclid merupakan satu-satunya teori ruang yang mungkin dan mendeskripsikan secara tepat dunia nyata. Tetapi ketika posisi dari geometri Euclid dikritisi oleh penemuan geometri non-euclid pada abad sembilan belas, para matematikawan mulai tergoncang. Sebuah revolusi pada matematika terjadi, sebanding dengan revolusi Copernicus pada astronomi dan revolusi Darwin pada biologi. Sebelum ditemukannya geometri non-euclid, ada beberapa matematikawan yang menganggap bahwa postulat kesejajaran Euclid tidak sederhana dan mencoba membuktikannya. Beberapa matematikawan yang mencoba membuktikan postulat kesejajaran Euclid adalah Proclus ( ), John Wallis ( ), dan Girolamo Saccheri ( ). 6

26 7 Namun usaha ini tidak berhasil. Kegagalan dalam setiap usaha pembuktian postulat kesejajaran Euclid pada akhirnya menuntun pada kesadaran bahwa postulat kesejajaran tersebut tidak pasti, dan dimungkinkan adanya teori lain dari geometri. Teori yang lain tersebut dinamakan geometri non- Euclid, yaitu teori yang tidak berdasarkan pada posulat kesejajaran Euclid. Kegagalan dalam 20 abad akhirnya memicu sebuah pencetusan keraguan pemikiran matematikawan sehingga pada 1830 J. Bolyai ( ), seorang staf angkatan darat Hungaria, N.I. Lobachevsky ( ), seorang Profesor matematika Rusia pada Universitas Kazan, dan sang agung Gauss sendiri telah mengembangkan secara independen teori geometri berdasarkan kontradiksi postulat kesejajaran Euclid (Prenowitz & Jordan, 1965: 53). Kemudian geometri ini dinamakan geometri hiperbolik. Bolyai dan Lobachevsky berhasil menyaingi postulat kesejajaran Euclid. Kemudian matematikawan meniru untuk membangun teori geometri non-euclid lainnya. Selanjutnya, pada 1854, seorang matematikawan Jerman B. Riemann memperkenalkan teori non-euclid yang berbeda dari geometri hiperbolik berdasarkan pada asumsi bahwa tidak ada garis yang sejajar. Kemudian geometri Riemann ini dinamakan geometri eliptik. Geometri Euclid, geometri hiperbolik, dan geometri eliptik merupakan teori-teori geometri yang berbeda. Ketiga geometri ini berdasar pada postulat kesejajarannya masing-masing. Geometri hiperbolik dan

27 8 geometri eliptik termasuk dalam geometri non-euclid karena postulat kesejajarannya tidak berdasarkan pada postulat kesejajaran Euclid. 2.2 Geometri Insiden Menurut Prenowitz dan Jordan (1965: 119), insiden merupakan suatu relasi geometri yang paling dasar. Sebagai contoh diberikan relasi insiden dengan pernyataan berikut, Sebuah titik terletak pada sebuah garis, yang ekuivalen dengan Sebuah garis melalui suatu titik. Pernyataan lain yang mengekspresikan relasi insiden adalah, Sebuah titik pada sebuah bidang, Sebuah garis pada sebuah bidang, Dua garis berpotongan. Jadi relasi insiden mengekpresikan keterkaitan posisi antara titik, garis, dan bidang. Ruang (space) akan dianggap sebagai himpunan S, adalah himpunan semua titik pada ruang. Selanjutnya diberikan himpunan bagian dari S, yang disebut garis-garis (lines) dinyatakan dengan L, dan himpunan bagian dari S yang disebut bidang-bidang (planes) dinyatakan dengan P. Maka anggota dari S, L, dan P berturut-turut disebut titik-titik, garis-garis, dan bidang-bidang. Titik, garis, dan bidang tidak didefinisikan. Suatu garis akan memanjang sampai tak hingga pada kedua arahnya seperti berikut :

28 9 Gambar Garis Tanda panah mengindikasikan bahwa walaupun garis digambar terbatas dengan panjang tertentu, namun garis tetap memanjang sampai tak hingga. Selanjutnya akan dibahas tentang segmen atau ruas garis, yang dapat digambarkan sebagai berikut : P Gambar Segmen Garis Q Suatu Segmen dengan titik pangkal P dan Q, seperti Gambar dilambangkan dengan PQ. Suatu segmen diperpanjang sampai tak hingga hanya pada salah satu arah disebut sinar, dan dapat digambarkan seperti berikut : P Q Gambar Sinar Garis Suatu sinar dengan titik pangkal P dan melalui PQ, seperti Gambar dilambangkan dengan PQ. Segmen dan sinar akan dibahas lebih lanjut pada sub bab 2.5. Berikut akan dijelaskan postulat geometri insiden (Moise, 1990: 44).

29 10 I-0 Semua garis dan bidang adalah himpunan dari titik-titik. Jika suatu garis l adalah himpunan bagian dari suatu bidang E, maka dikatakan l berada pada E. Jika titik P himpunan bagian dari suatu garis l, maka dikatakan P pada l atau l melalui P. Jika P himpunan bagian dari E, maka dikatakan P pada E atau E melalui P. Definisi (Moise, 1990: 44) Titik-titik yang berada pada satu garis disebut kolinear, dan titik-titik yang berada pada satu bidang disebut koplanar. I-1 Diberikan sembarang dua titik berbeda, ada tepat satu garis yang memuat dua titik tersebut. Jika titik-titik tersebut adalah P dan Q, maka garis yang memuat titik-titik tersebut dilambangkan dengan PQ. I-2 Diberikan sembarang tiga titik non kolinear berbeda, ada tepat satu bidang yang memuat titik-titik tersebut. I-3 Jika dua titik berada pada suatu bidang, maka garis yang memuat titik-titik tersebut berada pada bidang yang sama. I-4 Jika dua bidang berpotongan, maka perpotongannya adalah suatu garis.

30 Fungsi Jarak Setiap pasang titik akan berkorespodensi dengan suatu bilangan real yang disebut jarak antara kedua titik tersebut. Diperlukan suatu fungsi jarak d, yang tergantung pada postulat berikut (Moise, 1990: 56): D-0 d adalah suatu fungsi d :S S R. D-1 Untuk setiap P, Q, d(p, Q) 0. D-2 d(p, Q) = 0 jika dan hanya jika P = Q. D-3 d(p, Q) = d(q, P) untuk setiap P dan Q. Selanjutnya agar lebih ringkas d(p, Q) akan ditulis dengan PQ. Penandaan titik pada suatu garis dengan bilangan-bilangan dapat diterapkan seperti penandaan titik pada sumbu-x dalam geometri analitik. T x 2 P R Q x 1 Gambar Garis Bilangan I Jika ini dilakukan, akan didapat korespodensi satu-satu f: l R

31 12 diantara titik-titik pada l dan bilangan real. Jika x = f(p), maka x disebut sebagai koordinat titik P. Pada Gambar koordinat P, Q, R, dan T adalah 0, x 1, 1, dan x 2. Selanjutnya akan dijelaskan jarak antara dua titik. Definisi (Moise, 1990: 58) Diberikan f: l R adalah korespondensi satu-satu diantara suatu garis l dan bilangan real. Untuk semua titik-titik A, B pada l, didapat AB = f(a) f(b), Kemudian f adalah suatu sistem koordinat untuk l. Untuk setiap titik A pada l, bilangan x = f(a) disebut koordinat titik A. Sebagai contoh diberikan titik A dan B, sehingga f(a) = 5 dan f(b) = 7. Tentukan AB! Jawab : AB = x 2 x 1

32 13 = 5 ( 7) = 12 = 12 D-4 Postulat aturan (The Ruler Postulate). Setiap garis memiliki sistem koordinat. 2.4 Keantaraan Titik B dikatakan berada diantara A dan C pada garis l jika titiktitik tersebut pada kondisi seperti ini : A B C l Gambar Keantaraan I atau seperti ini : C B A l Gambar Keantaraan II

33 14 Definisi (Moise, 1990: 60) Diberikan A, B, dan C adalah tiga titik berbeda yang kolinear. Jika AB + BC = AC, maka B diantara A dan C. Kemudian ini dilambangkan dengan A-B-C. Teorema (Moise, 1990: 60) Jika A-B-C, maka C-B-A. Bukti : CB + BA = BA + CB = AB + BC = AC = CA Didapat bahwa CB + BA = CA. Jika AB + BC = AC, maka CB + BA = CA. Sehingga jika A-B-C, maka C-B-A.

34 15 Lema (Moise, 1990: 61) Diberikan suatu garis l dengan sistem koordinat f dan tiga titik berbeda A, B, dan C pada l dengan koordinat berturut-turut x, y, dan z. Jika x-y-z, maka A-B-C. Bukti : (1) Jika x < y < z, maka AB = y x = y x Karena y x > 0. Untuk alasan yang sama BC = z y = z y dan AC = z x = z x. Oleh karena itu AB + BC = (y x) + (z y) = z x = z x = AC Sehingga A-B-C (2) Jika z < y < x. Dengan cara yang sama seperti (1) didapat C-B-A. Dengan Teorema didapat A-B-C.

35 16 Teorema (Moise, 1990: 61) Sembarang tiga titik berbeda pada suatu garis, ada tepat satu titik berada diantara dua titik yang lain. Bukti : (1) Diberikan f sistem koordinat untuk suatu garis dan x, y, z adalah koordinat titik-titik A, B, dan C. Satu dari bilangan x, y, dan z berada diantara dua yang lain. Dengan Lema 2.4.2, ini berarti titik A, B, atau C berada diantara dua titik yang lain. (2) Akan dibuktikan bahwa jika A-B-C, maka tidak ada diantara dua kondisi B-A-C dan A-C-B yang terpenuhi. Jika B-A-C, maka BA + AC = BC. Telah diberikan AB + BC = AC. Dengan menjumlahkannya didapat BA + AC + AB + BC = AC + BC atau 2AB = 0. Sehingga AB = 0. Ini tidak mungkin, sebab A B. Pembuktian untuk A-C-B tidak terpenuhi sama seperti langkahlangkah diatas.

36 17 Teorema (Moise, 1990: 63) Jika A dan B sembarang dua titik, A B, maka (1) ada titik C sehingga A- B-C dan (2) ada titik D sehingga A-D-B. Bukti : Ambil suatu sistem koordinat f untuk suatu garis AB B. yang memuat A dan A D B C x x + y 2 y y + 1 Gambar Garis Bilangan II Andaikan x, y koordinat titik A dan B, dengan x < y. Diberikan C = f 1 (y + 1). Maka A-B-C, karena x < y < y + 1. Selanjutnya, diberikan D = f 1 x + y ( 2 ) Sebab x < y, maka 2x < x + y < 2y sehingga

37 18 x < x + y 2 < y Jadi A-D-B. Teorema (Moise, 1990: 63) Jika A-B-C, maka A, B, dan C adalah tiga titik berbeda pada garis yang sama. Bukti : Berdasarkan Definisi 2.4.1, titik A, B, dan C adalah tiga titik berbeda. Teorema Jika A-B-C dan A-C-D, maka A-B-D. Bukti : Ambil a, b, c, d berturut-turut sebagai koordinat titik A, B, C, dan D. Karena A-B-C maka a < b < c atau c < b < a. Karena A-C-D, maka a < c < d atau d < c < a. Dari A-B-C dapat dipilih salah satu dari kondisi a < b < c atau c < b < a. Ambil a < b < c, didapat a < c. Dari A-C-D, kondisi d < c < a akan kontrdiksi dengan a < c, sehingga diambil a < c < d.

38 19 A B C D Gambar Ilustrasi Teorema Telah diambil a < b < c dan a < c < d, sehingga didapat a < b < c < d. Akibatnya a < b < d. Berdasarkan Lema karena a-b-d, maka A-B-D. 2.5 Segmen, Sinar, Sudut, dan Segitiga Definisi (Moise, 1990: 64) Jika A dan B adalah dua titik, maka segmen AB adalah himpunan yang memuat A dan B, bersama dengan semua titik diantara A dan B. AB AB A Gambar Segmen Garis B Definisi (Moise, 1990: 65) Sinar AB didefinisikan sebagai himpunan semua titik C pada garis AB sehingga A tidak diantara B dan C. Sinar AB juga dapat didefinisikan

39 20 sebagai gabungan dari (1) segmen AB dan (2) himpunan semua titik C sehingga A-B-C. Titik A disebut titik pangkal dari sinar AB. AB A B Gambar Sinar Garis Definisi (Moise, 1990: 65) Sudut adalah gabungan dari dua sinar yang memiliki titik pangkal yang sama, tetapi dua sinar tersebut tidak pada garis yang sama. Jika suatu sudut adalah gabungan dari AB dan AC, maka sinar-sinar tersebut disebut sisi dari sudut. Titik A disebut titik sudut. Sudut tersebut disimbolkan dengan BAC. Catatan BAC = CAB. B A C Gambar Sudut

40 21 Definisi (Moise, 1990: 65) Jika A, B, dan C adalah tiga titik yang tidak segaris, maka himpunan AB BC AC disebut segitiga. C AC BC A AB Gambar Segitiga B Segmen AB, BC, dan AC disebut sisi. Titik A, B, dan C disebut titik sudut. Segitiga dengan titik sudut A, B, dan C dilambangkan dengan ABC. Sudut-sudut ABC adalah BAC, ACB, dan ABC. Tetapi ABC tidak memuat ketiga sudut tersebut, karena sisi suatu sudut adalah sinar dan sisi segitiga adalah segmen. Jika semua sudut digambar, maka gambarnya akan terlihat seperti gambar berikut.

41 22 C A Gambar Sudut-sudut Berpotongan B Teorema (Moise, 1990: 66) Diberikan titik A dan titik B sembarang titik yang berbeda, maka AB = BA. Bukti : Diketahui A dan B sembarang titik berbeda. Dari Definisi 2.5.1, segmen AB adalah himpunan titik A dan titik B, bersama dengan semua titik X, sehingga A-X-B. Dapat ditulis AB = {A B X X adalah himpunan semua titik X sehingga A-X-B} Segmen BA adalah himpunan titik B dan titik A, bersama dengan semua titik X, sehingga B-X-A. Dapat ditulis BA = {B A X X adalah himpunan semua titik X sehingga B-X-A} Teorema menjamin bahwa untuk setiap titik X, jika A-X-B maka B- X-A. Sehingga, BA = {B A X X adalah himpunan semua titik X sehingga B-X-A}

42 23 = {A B X X adalah himpunan semua titik X sehingga A-X-B} = AB Teorema Jika A-B-C, maka AB BC = AC. Bukti : Dari Definisi 2.5.1, AC adalah himpunan titik A dan C, bersama dengan semua titik di antara A dan C. Dapat ditulis AC = { A C Z Z adalah himpunan semua titik Z sehingga A-Z-C}. Diketahui A-B-C. Dari Definisi 2.4.1, A, B, dan C adalah titik-titik yang kolinear. Dari Teorema dapat diambil titik X dan Y sehingga A-X-B dan B-Y-C. X Y A B C Gambar Ilustrasi Teorema AB = {A B X X adalah himpunan semua titik X sehingga A-X-B} BC = {B C Y Y adalah himpunan semua titik Y sehingga B-Y-C} Diketahui A-B-C dan A-X-B, sehingga berdasarkan pada Teorema didapat A-X-C untuk setiap X.

43 24 Diketahui A-B-C dan B-Y-C, sehingga berdasarkan pada Teorema didapat A-Y-C untuk setiap Y. Oleh karena itu setiap anggota dari X dan Y berada diantara A dan C, sehingga X dan Y merupakan anggota dari Z. Sehingga Z = {X Y B X adalah himpunan semua titik X sehingga A-X-B, Y adalah himpunan semua titik Y sehingga B-Y-C }. AB BC = { A B C X Y X adalah himpunan semua titik X sehingga A-X-B, Y adalah himpunan semua titik Y sehingga B-Y-C } = { A C Z Z adalah himpunan semua titik Z sehingga A- Z-C} = AC Teorema (Moise, 1990: 66) Jika C adalah titik pada AB, C A, maka AB = AC. Bukti : Dari Definisi 2.5.2, sinar AB adalah gabungan dari segmen AB dan himpunan semua titik Q sehingga A-B-Q. Dapat ditulis AB = {AB Q Q adalah himpunan semua titik Q sehingga A-B-Q}.

44 25 A B Q Gambar Ilustrasi I Teorema Jika B = C, maka AB dan AC adalah himpunan yang sama, sehingga AB = AC. Selanjutnya akan diambil B C. Dari Teorema dapat diambil titik C sehingga A-C-B dan A-B-C. A C B Gambar Ilustrasi II Teorema Untuk kondisi A-C-B, dari Teorema didapat AC CB = AB. Sinar AC adalah gabungan dari segmen AC dan himpunan semua titik R sehingga A-C-R. Dapat ditulis AC = {AC R R adalah himpunan semua titik R sehingga A-C-R}. Ambil titik S sembarang titik pada CB C. Setiap titik S memenuhi A-C- S, sehingga CB C AC. Untuk setiap Q Q, A-C-B dan A-B-Q, maka A-C-Q (Teorema 2.4.6), sehingga Q AC. AC (CB C) dan AC CB merupakan himpunan yang sama, sehingga AC (CB C) = AC CB = AB.

45 26 Sehingga AC = {AC CB Q Q adalah himpunan semua titik Q sehingga A-B-Q} = {AB Q Q adalah himpunan semua titik Q sehingga A- B-Q} = AB Untuk kondisi A-B-C, dengan Teorema didapat AB BC = AC. Sinar AC = {AC T T adalah himpunan semua titik T sehingga A-C-T}. A B C T Gambar Ilustrasi III Teorema Ambil U sembarang titik pada BC B. Setiap titik U memenuhi A-B-U, maka setiap titik U Q. Setiap titik T memenuhi A-B-T, maka setiap titik T Q. AB (BC B) dan AB BC merupakan himpunan yang sama, sehingga AB (BC B) = AB BC = AC. Sehingga AB = {AB BC T T adalah himpunan semua titik T sehingga A-C-T} = {AC T T adalah himpunan semua titik T sehingga A-C-T}

46 27 = AC Telah ditunjukan bahwa dimanapun letak C pada AB, dengan A C, maka AB = AC. Teorema (Moise, 1990: 66) Jika B 1 dan C 1 adalah titik-titik pada AB dan AC, dengan B 1, C 1 A, maka BAC = B 1 AC 1. B 1 B A C 1 C Gambar Sudut Yang Sama Bukti : B 1 pada AB dan B 1 A, maka berdasarkan Teorema didapat AB = AB 1. C 1 pada AC dan C 1 A, maka berdasarkan Teorema didapat AC = AC 1.

47 28 Berdasarkan Definisi 2.5.3, sudut adalah gabungan dari dua sinar yang memiliki titik pangkal yang sama, tetapi dua sinar tersebut tidak pada garis yang sama. Dapat ditulis BAC = {AB AC AB AC = A} = {AB 1 AC 1 AB 1 AC 1 = A} = B 1 AC 1 Teorema (Moise, 1990: 66) Jika AB = CD, maka titik A, B sama dengan titik C, D. Bukti : Andaikan A, B tidak sama dengan titik C, D. Ambil a dan b sebagai koordinat titik A dan B, sehingga a < b. Ambil c dan d sebagai koordinat titik C dan D, sehingga c < d. Andaikan A, B, C dan D terletak pada garis l. Berikut akan diberikan kemungkinan letak a, b, c, dan d. (1) a < b < c < d (2) a < c < b < d (3) a < c < d < b (4) c < a < d < b

48 29 (5) c < d < a < b Gambar berikut merepresentasikan kemungkinan-kemungkinan di atas. l a b c d a c b d l (1) (2) l a c d b c a d b l (3) (4) c d a b l (5) Gambar Ilustrasi I Teorema Dari kemungkinan (1), (2), (3), (4), dan (5) terlihat bahwa anggota himpunan segmen AB dan CD tidak sama. Sebagai contoh pada kondisi (3) a < c < d < b. Berdasarkan Teorema ada titik X dengan koordinat x sehingga A-X-C. Karena a < c maka a < x < c. Dari Definisi segmen AB adalah himpunan titik A dan B bersama dengan semua titik di antara titik A dan B. Titik X berada di antara A dan B karena a < x < b, sehingga X AB. Titik X CD karena x < c < d, yang berarti X tidak di antara C dan D. Karena ada titik X sehingga X AB dan X CD, maka AB CD. Hal ini kontradiksi dengan pernyataan AB = CD, sehingga A, B sama dengan titik C, D.

49 30 Untuk kasus A, B pada garis l dan C, D pada garis k, dengan l k. Ada tiga kemungkinan posisi segmen AB terhadap segmen CD yang akan dipaparkan sebagai berikut : (1) l dan k sejajar, sehingga segmen AB sejajar dengan segmen CD. (2) L dan k berpotongan, segmen AB tidak memotong segmen CD. (3) L dan k berpotongan, segmen AB memotong segmen CD. A B A B C (1) D C (2) D A B C D (3) Gambar Ilustrasi II Teorema Untuk kasus (1) dan (2), A, B tidak kolinear dengan C, D sehingga setiap titik di antara A dan B tidak di antara C dan D. Jadi AB CD. Untuk kasus (3) AB dan CD berpotongan disuatu titik. Andaikan titik potong tersebut adalah titik X. Maka A-X-B dan C-X-D. Berdasarkan Teorema ada titik Y sehingga A-Y-X. Telah didapat A-Y-X dan A-

50 31 X-B, berdasarkan Teorema 2.4.6, maka didapat A-Y-B. Titik Y di antara A dan B, tetapi titik Y tidak di antara C dan D karena C, D, dan Y tidak kolinear. Ada titik Y sehingga Y AB dan Y CD, maka AB CD. Telah ditunjukan bahwa untuk kasus (1), (2), dan (3) didapat AB CD. Hal ini kontradiksi dengan pernyataan AB = CD, sehingga A, B tidak sama dengan C, D. 2.6 Kekonvekan dan Pemisahan Definisi (Moise, 1990: 72) Suatu himpunan A dikatakan konvek jika untuk setiap dua titik P, Q A, setiap segmen PQ berada di dalam A. Sebagai contoh diberikan tiga bangun yang konvek. P P Q Q A B Q P C Gambar Himpunan Konvek Himpunan A, B, dan C adalah daerah bidang. Sebagai contoh, A adalah gabungan segitiga dan himpunan semua titik yang ada di dalam

51 32 segitiga. Pada Gambar terlihat bahwa setiap segmen PQ selalu berada di dalam A, B, dan C. Selanjutnya akan diberikan contoh bangun yang tidak konvek. P P P Q D Q Q E Gambar Himpunan Tidak Konvek F Himpunan D, E, dan F adalah contoh bangun yang tidak konvek. Untuk menunjukan suatu bangun tidak konvek, misal bangun D, cukup ditunjukan bahwa ada dua titik P, Q D sehingga segmen PQ tidak berada di dalam D. Suatu himpunan konvek bisa saja tipis dan kecil. Sebagai contoh, setiap segmen PQ adalah himpunan konvek. Himpunan yang beranggotakan satu titik juga konvek. Suatu himpunan konvek juga bisa sangat besar. Sebagai contoh, himpunan ruang S adalah suatu himpunan konvek. Semua garis dan bidang juga konvek, karena tidak dapat ditemukan suatu segmen PQ dimana P,Q anggota suatu garis atau bidang sehingga segmen PQ tidak di dalam himpunan suatu garis atau bidang tersebut.

52 33 Definisi Diberikan sembarang garis l pada bidang E, himpunan bagian dari E yang tidak pada l membentuk dua himpunan yang disebut bidang setengah dan garis l disebut batas dari bidang setengah. H 1 P l P Q P Q H 2 Q Gambar Pemisahan Bidang Sebagai contoh pada Gambar H 1 adalah bagian dari bidang pada sebelah kiri atas garis l dan H 2 adalah bagian dari bidang pada sebelah kanan bawah garis l. Himpunan H 1 dan H 2 disebut bidang setengah. Seperti telah dijelaskan sebelumnya, dengan menunjukan beberapa contoh segmen PQ, H 1 dan H 2 merupakan himpunan konvek.

53 34 Postulat Pemisahan Bidang atau Plane Separation Axiom (PSA) (Moise, 1990: 74) Diberikan suatu garis dan bidang yang memuat garis tersebut. Himpunan semua titik pada bidang yang tidak pada garis adalah gabungan dua himpunan berbeda sehingga : (1) Kedua himpunan tersebut konvek (2) Jika titik P pada salah satu himpunan dan titik Q pada himpunan yang lain, maka segmen PQ memotong garis. Teorema (Moise, 1990: 74) Diberikan ABC dan garis l. Jika l memuat titik E, dengan A-E-C, maka l memotong AB atau BC. B A C E l Gambar Ilustrasi Teorema 2.6.1

54 35 Bukti : Andaikan l tidak memotong AB atau BC. Maka A dan B pada pihak yang sama terhadap l dan B dan C pada pihak yang sama terhadap l. Oleh karena itu A dan C pada pihak yang sama terhadap l. Ini tidak mungkin karena A-E-C. Teorema (Moise, 1990: 75) Jika A dan B adalah himpunan konvek, maka A B juga konvek. Bukti : Teorema ini akan dibuktikan dengan kontradiksi. Andaikan A B tidak konvek. Ambil titik-titik P, Q A B, maka P, Q A dan P, Q B. PQ A dan PQ B karena A dan B konvek dan ada titik R dimana P-R-Q sehingga R A B. Ini tidak mungkin karena A dan B konvek. Kontradiksi. Definisi (Moise, 1990: 76) Andaikan E suatu bidang. Jika E l = H 1 H 2

55 36 seperti pada postulat pemisahan bidang, maka H 1 dan H 2 disebut pihak yang berlawanan terhadap l. Teorema (Moise, 1990: 76) Jika A dan B pada pihak yang berlawanan terhadap garis l dan B dan C pada pihak yang berlawanan terhadap garis l, maka A dan C pada pihak yang sama terhadap l. Bukti : A H 1 C l H 2 B Gambar Ilustrasi Teorema Ambil suatu bidang E dan garis l pada E. l membagi E kedalam dua bidang setengah H 1 dan H 2. Andaikan A pada H 1, maka B pada H 2 karena A dan B pada pihak yang berlawanan terhadap l. B pada H 2, maka C pada H 1 karena B dan C pada pihak yang berlawanan terhadap l. Didapat A dan C pada H 1, sehingga A dan C berada pada pihak yang sama terhadap l.

56 37 Teorema (Moise, 1990: 76) Jika A dan B pada pihak yang berlawanan terhadap garis l dan B dan C pada pihak yang sama terhada l, maka A dan C pada pihak yang berlawanan terhadap l. A H 1 H 2 B C l Gambar Ilustrasi Teorema Bukti : Ambil suatu bidang E dan garis l pada E. l membagi E kedalam dua bidang setengah H 1 dan H 2. Andaikan A pada H 1, maka B pada H 2 karena A dan B pada pihak yang berlawanan terhadap l. B pada H 2, maka C pada H 2 karena B dan C pada pihak yang sama terhadap l. Jadi A dan C pada pihak yang berlawanan terhadap garis l. Definisi (Moise, 1990: 76) Jika A-B-C, maka sinar BA dan BC disebut sinar yang berlawanan.

57 38 A B C Gambar Sinar Yang Berlawanan Teorema (Moise, 1990: 76) Diberikan sebuah garis dan sinar yang memiliki titik pangkal pada garis yang diberikan, tetapi tidak berhimpit dengan garis tersebut. Kemudian semua titik pada sinar, kecuali titik pangkal, berada pada pihak yang sama terhadap garis tersebut. Bukti : Diberikan garis l dan sinar AB dengan A l. Akan dibuktikan AB A berada pada pihak yang sama terhadap garis tersebut. B A l C? Gambar Ilustrasi Teorema Andaikan AB memuat titik C sehingga B dan C berada pada pihak yang berlawanan terhadap l. Maka BC memotong l disuatu titik, dan titik ini harus A, karena BC terletak pada AB, dan AB memotong l hanya di A.

58 39 Oleh karena itu C-A-B. Tetapi ini tidak mungkin. Dengan Definisi 2.5.2, sinar AB adalah himpunan titik C dari garis AB sehingga A tidak diantara B dan C. Oleh sebab itu semua titik pada sinar, selain A, berada pada pihak yang sama terhadap l. Teorema (Moise, 1990: 77) Diberikan garis l dan A titik pada l, dan B titik yang tidak pada l. Maka semua titik dari AB A berada pada pihak yang sama terhadap l. Bukti : Berdasarkan Teorema AB A berada pada pihak yang sama terhadap l. Karena AB A berada pada AB A, maka AB A juga berada pada pihak yang sama terhadap l. Definisi (Moise, 1990: 77) Diberikan BAC. Interior BAC adalah irisan pihak AC yang memuat B dan pihak AB yang memuat C. Maka suatu titik D interior BAC jika D dan B berada pada pihak yang sama dari AC dan jika D dan C berada pada pihak yang sama dari AB. Jadi, interior suatu sudut adalah irisan dua bidang setengah. Eksterior BAC adalah himpunan semua titik yang tidak pada BAC dan interior BAC.

59 40 B Eksterior Interior A Eksterior C D Gambar Interior dan Eksterior Sudut Teorema (Moise, 1990: 78) Setiap sisi segitiga, kecuali titik sudutnya berada di dalam interior sudut di hadapannya. Diberikan ABC, A = BAC merupakan sudut dihadapan sisi BC. B A C Gambar Ilustrasi Teorema Bukti : (1) Pertama gunakan Teorema pada garis AC dan segmen BC. Didapat BC C berada pada pihak yang memuat B. (2) Selanjutnya gunakan Teorema pada garis AB dan segmen BC. Didapat BC B berada pada pihak AB yang memuat C. (3) Dari (1) dan (2), BC {B, C} berada pada interior BAC.

60 41 Teorema (Moise, 1990: 78) Jika F berada di dalam interior BAC, maka AF A berada di dalam interior BAC. B F A C Gambar Ilustrasi Teorema Bukti : (1) Dari Definisi 2.6.5, F dan B pada pihak yang sama terhadap AC. Dengan Teorema 2.6.5, AF A berada pada pihak yang sama terhadap AC yang memuat F. Oleh karena itu AF A terletak pada pihak yang memuat B. (2) Dari Definisi 2.6.5, F dan C pada pihak yang sama terhadap AB. Dengan Teorema 2.6.5, AF A berada pada pihak yang sama terhadap AB yang memuat F. Oleh karena itu AF A terletak pada pihak yang memuat C. Dari (1) dan (2) memenuhi bahwa AF A berada di dalam interior BAC.

61 42 Teorema (Moise, 1990: 79) Diberikan ABC dan titik F,D,G sehingga B-F-C, A-C-D, dan A-F-G. Maka G di dalam interior BCD. B F G A Gambar Ilustrasi Teorema C D Bukti : (1) Karena A-F-G, G berada pada AF, dan A tidak di antara G dan F. Oleh karena itu G pada AF. Karena G A, G pada AF A. (2) Dengan Teorema 2.6.7, titik F di dalam interior BAC. Dari Teorema 2.6.8, AF A berada pada interior BAC. Oleh karena itu G dan B pada pihak yang sama terhadap AC (=CD ). (3) A dan G pada pihak yang berlawanan terhadap BC, dan A dan D pada pihak yang berlawanan terhadap BC. Oleh karena itu G dan D pada pihak yang sama terhadap BC. Dari (2) dan (3), G di dalam interior BCD.

62 43 Selanjutnya akan didefinisikan interior suatu segitiga. Definisi (Moise, 1990: 80) Interior ABC didefinisikan sebagai irisan tiga himpunan berikut : (1) Pihak AB (2) Pihak AC (3) Pihak BC yang memuat C yang memuat B yang memuat A B A C Gambar Interior Segitiga Teorema (Moise, 1990: 80) Interior segitiga adalah himpunan konvek. Bukti : Diberikan sembarang ABC. H AB sebagai bidang setengah yang memuat C, H AC sebagai bidang setengah yang memuat B dan H BC sebagai bidang setengah yang memuat A. Dari Definisi 2.6.6, interior ABC adalah

63 44 H AB H AC H BC. H AB, H AC, dan H BC konvek. Sehingga H AB H AC H BC juga konvek (lihat Teorema 2.6.2). 2.7 Kekontinuan Teorema (Moise, 1990: 81) Diberikan garis l, titik-titik A dan B pada l, A B, dan F dan G titik pada pihak yang berlawanan terhadap l. Maka AF tidak memotong BG. F A B Gambar Ilustrasi Teorema G Bukti : (1) Dari Teorema 2.6.6, AF A berada pada pihak yang memuat F. (2) Dari Teorema 2.6.5, BG B berada pada pihak yang memuat G. Dari (1) dan (2) didapat bahwa BG G tidak memotong AF A. Oleh karena itu BG dan AF tidak berpotongan.

64 45 Teorema (Moise, 1990: 81) Dalam ABC diberikan F titik diantara A dan C, dan D suatu titik sehingga D dan B pada pihak yang sama terhadap FC. Maka FD memotong AB atau BC. B D E? A F C G Gambar Ilustrasi Teorema Bukti : (1) Diberikan G suatu titik sehingga G-F-D. Maka G dan D berada pada pihak yang berlawanan terhadap AC, jadi G dan B pada pihak yang berlawanan terhadap AC. Terlihat FD = FD FG (2) Gunakan Teorema pada garis AC, segmen AB, dan sinar FG. Ini berlaku bahwa FG tidak memotong AB. (3) Dengan cara yang sama, didapat FG tidak memotong BC.

65 46 (4) Dengan Teorema Pasch didapat bahwa FD memotong AB atau BC. Telah ditunjukan bahwa FG tidak memotong AB atau BC, maka pastilah FD memotong AB atau BC. Teorema The Crossbar Theorem (Moise, 1990: 82) Jika D di dalam interior BAC, maka AD memotong BC, pada titik di antara B dan C. B F A D E? C Gambar Teorema Crossbar Bukti : (1) Diberikan F suatu titik sehingga F-A-C. Maka FC pada pihak yang berlawanan terhadap AB. = AC, dan F dan C (2) Karena D di dalam interior BAC, maka B dan D pada pihak yang sama terhadap AC atau BC. (= FC ). Dengan Teorema 2.7.2, AD memotong FB

66 47 (3) Karena F dan C pada pihak yang berlawanan terhadap AB, dan C dan D pada pihak yang sama terhadap AB, maka F dan D pada pihak yang berlawanan terhadap AB. (4) Gunakan Teorema pada garis AB, segmen FB, dan sinar AD. Didapat AD tidak memotong FB. Dari (2) dan (4) memenuhi bahwa AD memotong BC, di titik E yang berbeda dengan B. Jika E = C, maka A, D, dan C kolinear, dan ini tidak benar. Oleh karena itu B-E-C. 2.8 Ukuran Sudut Definisi (Moise, 1990: 93) Diberikan suatu fungsi m A R, dengan A adalah himpunan semua sudut dan R adalah himpunan bilangan real. Tulis m( ABC) untuk menyimbolkan ukuran dari ABC. Agar lebih ringkas, selanjutnya m( ABC) akan ditulis dengan m ABC. A D 45 o B C Gambar Ukuran Sudut I

67 48 Ukuran ABC dan DBC dapat ditulis m ABC = 90 dan m DBC = 45. Ukuran ABC tidak ditulis m ABC = 90 o, karena nilai dari fungsi m adalah bilangan real. Pada sisi yang lain, penandaan sudut pada gambar menggunakan tanda derajat untuk mengindikasikan bahwa huruf atau angka dengan tanda derajat berarti ukuran suatu sudut. A 45 o P r o B C Q R Gambar Ukuran Sudut II Gambar menunjukan bahwa m ABC = 45 dan m PQR = r. Berikut akan diberikan beberapa postulat ukuran sudut. (Moise, 1990: 95) M-1 m adalah fungsi A R, dimana A adalah himpunan semua sudut dan R adalah himpunan bilangan real. M-2 Untuk setiap A, m A adalah antara 0 dan 180.

68 49 M-3 Postulat Pembentukan Sudut (The Angle Construction Postulate). Diberikan AB suatu sinar pada batas bidang setengah H. untuk setiap bilangan r diantara 0 dan 180, ada tepat satu sinar AP, dengan P pada H, sehingga m PAB = r. H P r o Q R Gambar Pembentukan Sudut M-4 Postulat Penjumlahan Sudut (The Angle Addition Postulate). Jika D di dalam interior BAC, maka m BAC = m BAD + m DAC C (r + s) o s o r o D A Gambar Pembentukan Sudut B Dua sudut membentuk suatu pasangan linear jika sudut-sudut tersebut terlihat seperti berikut :

69 50 D C A B Gambar Dua Sudut Membentuk Pasangan Linear Jika AB dan AC sinar yang berlawanan, dan AD suatu sinar yang tidak pada AB, maka DAB dan DAC membentuk pasangan linear. Definisi (Moise, 1990: 96) Jika m ABC + m DEF = 180, maka kedua sudut tersebut dikatakan berpelurus. Definisi ini tidak tergantung pada letak sudut, tetapi hanya tergantung pada ukuran sudutnya. Artinya kedua sudut yang dimaksud tidak harus bersisian. M-5 Postulat Pelurus (The Supplement Postulate). Jika dua sudut membentuk pasangan linear, maka kedua sudut tersebut berpelurus. D s 0 r 0 A B Gambar Dua Sudut Berpelurus C

70 Postulat Luas Definisi (Moise, 1990: 184) Suatu daerah triangular adalah bangun yang terbentuk dari gabungan segitiga beserta interiornya, seperti gambar berikut : Gambar Daerah Triangular Sisi segitiga disebut batas daerah, dan titik sudut segitiga disebut titik sudut daerah. Suatu daerah segibanyak adalah bangun seperti salah satu di bawah ini : Gambar Daerah Segibanyak