MODUL 5: Nondeterministic Finite Automata dengan

Transkripsi

1 MODUL 5: Nondeterministic Finite Automata dengan Transisi-L (NFA-L) Slide dari 4

2 Dengan konsep nondeterministisme dari suatu ekspresi regular suatu NFA yang dapat menerima bahasa ybs dapat langsung dilakukan. Namun, masih terdapat kasus-kasus dimana hal ini tidak dapat dilakukan secara sederhana. Slide 2 dari 4

3 Contoh: * () * dapat dipandang sebagai sebagai konkatenasi dua ekspresi regular * dan () *. Bahasa-bahasa dari ekspresi-ekspresi tsb diterima oleh FA-FA sebagai berikut., q r, q q 2 r 2 Slide 3 dari 4

4 Bahasa dari ekspresi regular * () * dapat dikenal oleh NFA yang dibentuk dari kedua FA di atas sebagai berikut ini. Transisi dari q ke q diperlukan untuk q menerima * q q 2 sementara transisi dari q ke q 2 diperlukan untuk r r 2 menerima () *.,, Slide 4 dari 4

5 Aturan penambahan transisi yang melengkapi konkatenasi kedua FA semula tidaklah bisa dengan sederhama dijelaskan. Dalam konkatenasi lain bahkan bisa lebih rumit apabila status menerima FA pertama berjumlah cukup banyak. Slide 5 dari 4

6 Seandainya NFA bisa memiliki transisi tanpa simbol masukan (kita sebut transisi-l) maka kontatenasi tersebut dapat dilakukan hanya seperti pada diagram berikut ini. Modul 5: NFA- q q q 2, r, r 2 Slide 6 dari 4

7 Diagram ini bukanlah NFA, tetapi NFA-. NFA- ini dapat mengenali bahasa yang sama dengan bahasa yang dikenali oleh NFA sebelumnya struktur yang lebih sederhana dan lebih mencerminkan konkatenasi kedua FA asal melalui transisi. Juga operasi Kleene-* dan gabungan. Slide 7 dari 4

8 Definisi: suatu NFA dengan transisi- (disingkat NFA-) merupakan 5-tuple (Q, Σ, q, A, δ) dimana Q dan Σ merupakan himpunanhimpunana terbatas, q o Q dan A Q, serta δ terdefinisi sebagai pemetaan sbb. δ: Q (Σ ) 2 Q Perhatikan: domain dari δ adalah Σ dan. NFA δ: Q Σ 2 Q FA δ: Q Σ Q Slide 8 dari 4

9 Fungsi perluasan transisi d * Karena adanya transisi-, jumlah transisi yang diaplikasikan pada δ * bisa lebih besar dari panjang string. Contoh: string akan dikenali sebagai seolah sejumlah simbol palsu disisipkan pada string. q r s t u f Slide 9 dari 4

10 L-closure dari Himpunan Status S atau L(S) Untuk memahami definisi δ * akan diperkenalkan konsep -closure (lingkupan-) sbb. (S) adalah seluruh status dalam S tersebut beserta status-status lain yang dapat tercapai oleh masing-masing status dalam S melalui satu atau beberapa transisi (Jadi S (S)). Slide dari 4

11 Definisi L(S) Pada suatu NFA- M = (Q, Σ, q, A, δ) dan S Q, suatu fungsi (S) didefinisikan sebagai berikut: Setiap anggota S merupakan anggota (S). Untuk setiap q (S), setiap anggota δ(q, ) adalah anggota (S). Tidak ada anggota lain dari Q yang anggota (S) kecuali berdasar kedua pernyataan di atas. Slide dari 4

12 Algoritma Pencarian L(S) Inisialisasi T = S. Lakukan iterasi dari i =, 2, 3,, dan pada iterasi ke-i: T i+ = T i Untuk setiap q T i, gabungkan δ(q, ) ke dalam T i+. Iterasi berhenti saat T i+ = T i (artinya tidak ada status baru yang bergabung dalam T). Slide 2 dari 4

13 S (S) Slide 3 dari 4

14 Definisi d * untuk NFA-L Pada setiap NFA- M = (Q, Σ, q, A, δ) fungsi δ * : Q (Σ * ) 2 Q didefinisikan sbb. Untuk setiap q Q maka δ * (q, ) = ({q}). Dan untuk setiap y Σ *, a Σ, dan q Q δ * ( q, ya) = p δ U * ( q δ( p, a), y) Slide 4 dari 4

15 Algoritma untuk mendapatkan δ * (q, ya): menentukan δ * (q, y) mendapatkan himpunan gabungan dari setiap δ(p, a) untuk setiap p δ * (q, y) menentukan ( ) dari himpunan gabungan tersebut. Selanjutnya δ * (q, y) dicari dengan cara yang sama dengan di atas dimana y = xb. Apabila y =, δ * (q, y) = δ * (q, ) = ({q}). Slide 5 dari 4

16 q δ * (q,y) a a a a δ * (q,ya) y ya Slide 6 dari 4

17 NFA-L M Sebagai Mesin Pengenal Bahasa Untuk suatu NFA- M = (Q, Σ, q, A, δ) String x diterima oleh M bila δ * (q, x) A Bahasa yang dikenali oleh M adalah L(M) yaitu semua string yang diterima oleh M. Slide 7 dari 4

18 Contoh: suatu NFA- ditunjukkan pada gambar berikut ini. q p r s t u v w Slide 8 dari 4

19 Mencari ({s}): Mula-mula T = {s}, setelah iterasi pertama, T = {s, w}, setelah iterasi kedua menjadi{s, w, q }, setelah iterasi ketiga menjadi {s, w, q, p, t}, setelah iterasi keempat berhenti karena T tidak berubah lagi. Modul 5: NFA- Slide 9 dari 4

20 Mencari δ * (q, ): Untuk mencari δ * (q, ) perlu diketahui δ * (q, ), lalu untuk mencari δ * (q, ) perlu diketahui δ * (q, ), dan untuk mencari δ * (q, ) perlu diketahui δ * (q, ), sbb. δ * (q, ) = ({q }) = {q, p, t} δ * (q, ) = (δ(q,) δ(p,) δ(t,)) = ( {p} {u}) = ({p, u}) = {p, u} δ * (q, ) = (δ(p,) δ(u,)) = ({r}) = {r} δ * (q, ) = (δ(r,)) = ({s}) = {s, w, q, p, t} Slide 2 dari 4

21 Apakah diterima? Karena δ * (q, ) berisi w A maka diterima. Modul 5: NFA- Dalam hal ini transisi yang terjadi akibat string adalah q p p r s w Slide 2 dari 4

22 Kompatibilitas NFA-L dengan NFA Modul 5: NFA- Sebelumnya telah ditunjukkan bahwa NFA tidak lebih powerful dari FA dalam kemampuannya mengenali bahasa. Dari setiap NFA dapat ditemukan suatu FA. Bagaimana dengan NFA- terhadap NFA atau FA? Apakah juga tidak lebih powerful? Slide 22 dari 4

23 Teorema: Bila L Σ * suatu bahasa yang diterima NFA- M = (Q, Σ, q, A, δ), maka akan terdapat suatu NFA M = (Q, Σ, q, A, δ ) yang juga menerima L. Transisi- adalah jenis lain dr nondeterminisme. Misalnya dalam M terdapat transisi p q r Simbol dapat membawa M dari p ke q atau r. Slide 23 dari 4

24 Maka suatu NFA M dapat dibuat dari M dengan menghapus transisi- dan menggantikannya dengan transisi dari p ke r dengan masukan simbol. Dalam konversi ini himpunan status Q tidak berubah, demikian pula status inisialnya. Secara lebih formal dijabarkan dalam: Menentukan δ dari δ Menentukan A dari A Slide 24 dari 4

25 Menentukan d Perubahan yang terjadi pada fungsi transisi δ menjadi δ adalah karena adanya tambahan transisi-transisi yang menggantikan transisi- tsb. Untuk setiap q Q dan a Σ, δ (q, a) = δ * (q, a) * = δ ( q, a) = Uδ( p, a) = p δ ( q, ) p U δ( * ({ q}) p, a) Slide 25 dari 4

26 q δ * (q,y) a Sejumlah transisi- δ (q, a) a a a U p ({ q}) δ ( p, a) Slide 26 dari 4 U p ({ δ ( p, a) q})

27 Pendefinisian δ seperti itu dimaksudkan agar δ * (q, a) dari NFA M adalah semua status yang dapat tercapai oleh NFA- M dari status q berdasarkan masukan string tak-kosong x (termasuk setiap kemungkinan transisi-). Dpl., untuk membuktikan bahwa δ * (q, x) = δ * (q, x) Secara induksi struktural matematis akan dibuktikan sbb. Untuk x = a Σ,maka δ * (q, a) = Slide 27 dari 4

28 Slide 28 dari 4 δ (q, a) = δ * (q, a) = δ * (q, x) Dengan hipotesis bahwa δ * (q, x) = δ * (q, x), untuk x = ya, dengan y Σ *, y dan a Σ, maka U U U ), ( * ), ( ), ( * * * * ), ( ), ( ), ( ), ( y q p y q p y q p a p a p ya p ya q δ δ δ δ δ δ δ = = =

29 Slide 29 dari 4 Karena setiap δ * (p, a) adalah -closure maka setelah digabungkan juga -closure. Jadi - closure dari himpunan yang dihasilkan ruas terakhir tersebut sama dengan himpunan itu sendiri, sbb. ya q a p a p y q p y q p, ( ), ( ), ( * ), ( * ), ( * * * δ δ δ δ δ = = U U )

30 Menentukan A dari A A bisa berbeda dari A. Suatu status inisial q yang bukan status menerima akan menjadi status menerima apabila di dalam ({q }) terdapat status menerima. Dituliskan secara formal sbb. A A { q} jika ({ q}) A = A lainnya dalam M Slide 3 dari 4

31 Teorema: Untuk suatu alfabet Σ, setiapa bahasa L Σ *, ketiga pernyataan berikut ini adalah ekivalen (jika salah satu benar maka kedua lainnya juga benar):.l dapat dikenali oleh suatu FA. 2.L dapat dikenali oleh suatu NFA. 3.L dapat dikenali oleh suatu NFA-. Slide 3 dari 4

32 Bukti: Teorema-teorema sebelumnya menyatakan bahwa pernyataan ketiga berimplikasi pernyataan kedua dan pernyataan kedua berimplikasi pernyataan pertama. Jadi untuk membuktikan teorema di atas cukup dengan membuktikan bahwa pernyataan pertama berimplikasi pernyataan ketiga. Jika suatu bahasa L diterima oleh FA M = {Q, Σ, q, A, δ). Suatu NFA- M = {Q, Σ, q, A, δ ) Slide 32 dari 4

33 dapat dibentuk untuk menerima L sebagai berikut. δ : Q (Σ {}) 2 Q didefinisikan dengan formula (untuk setiap q Q, dan setiap a Σ). δ (q, ) = δ (q, a) = {δ (q,a)} Modul 5: NFA- Formula pertama menyatakan dalam M tidak ada transisi-, dan yang kedua menyatakan fungsi Slide 33 dari 4

34 transisi δ dan δ adalah identik kecuali jika δ memetakan ke suatu status, δ memetakan ke himpunan yang hanya berisi status tersebut. Jadi, dalam hal ini, NFA- M tidak ada nondeterminisme. Berikut ini beberapa contoh mengeliminasi transisi- dari NFA- menjadi NFA, dan mengkonversinya menjadi FA. Slide 34 dari 4

35 Contoh: berikut ini, M adalah NFA- yang menerima bahasa {} * {} * {} *. C A B D Fungsi transisi digambarkan dalam tabel transisi serta harga-harga δ * (q, ) dan δ * (q, ) misalnya. * δ ( A,) = Uδ( p,) p ({ A}) Slide 35 dari 4

36 Dengan fungsi transisi δ (p, a) = δ*(p, a) untuk semua status p dan simbol a diperoleh tabel sbb. q δ (q, L) δ (q, ) δ (q, ) δ * (q, ) δ * (q, ) A {B} {A} {A,B,C,D} B {D} {C} {C,D} C {B} {B,D} D {D} {D} Status A menjadi status menerima karena dalam M status D dapat dicapai dari A dengan duakali transisi-. Slide 36 dari 4

37 Dengan demikian NFA M yang diperoleh adalah sebagai di samping ini. C A B D Dan Konversi NFA ke FA yang telah dibahas pada topik A NFA menghasilkan FA M 2 berikut ini. Slide 37 dari 4 ABCD, BD D CD

38 Contoh: NFA disamping ini ini mengenali bahasa {} * ({} * {} {} * {}). A C B D E Slide 38 dari 4

39 Tabel transisi berikut harga δ * (q, ) dan δ * (q, ) adalah. q δ (q, L) δ (q, ) δ (q, ) δ * (q, ) δ * (q, ) A {B,D} {A} {A,B,C,D,E} {D,E} B {C} {E} {C } {E} C {B} {B} D {E} {D} {E} {D} E Slide 39 dari 4

40 NFA yang diperoleh adalah sebagai berikut. C Modul 5: NFA- A B, E, D Slide 4 dari 4

41 Slide 4 dari 4 Modul 5: NFA- Dari NFA di atas kemudian diperoleh FA sebagai berikut ini. A ABCDE, DE D BD E,, E D CE D