PENDUGAAN HAZARD RATE GEMPA DI PROVINSI ACEH DENGAN METODE SINGLE DECREMENT IKHSAN MAULIDI
|
|
- Inge Fanny Sugiarto
- 6 tahun lalu
- Tontonan:
Transkripsi
1 PENDUGAAN HAZARD RATE GEMPA DI PROVINSI ACEH DENGAN METODE SINGLE DECREMENT IKHSAN MAULIDI DEPARTEMEN MATEMATIKA FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM INSTITUT PERTANIAN BOGOR BOGOR 2014
2
3 PERNYATAAN MENGENAI SKRIPSI DAN SUMBER INFORMASI SERTA PELIMPAHAN HAK CIPTA Dengan ini saya menyatakan bahwa skripsi berjudul Pendugaan Hazard Rate Gempa di Provinsi Aceh dengan Metode Single Decrement adalah benar karya saya dengan arahan dari komisi pembimbing dan belum diajukan dalam bentuk apa pun kepada perguruan tinggi mana pun. Sumber informasi yang berasal atau dikutip dari karya yang diterbitkan maupun tidak diterbitkan dari penulis lain telah disebutkan dalam teks dan dicantumkan dalam Daftar Pustaka di bagian akhir skripsi ini. Dengan ini saya melimpahkan hak cipta dari karya tulis saya kepada Institut Pertanian Bogor. Bogor, Januari 2014 Ikhsan Maulidi NIM G
4 ABSTRAK IKHSAN MAULIDI. Pendugaan Hazard Rate Gempa di Provinsi Aceh dengan Metode Single Decrement. Dibimbing oleh I WAYAN MANGKU dan HADI SUMARNO. Hazard rate memegang peranan penting dalam prakiraan kemunculan gempa. Jika hazard rate diketahui maka sebaran kepekatan bersama kemunculan gempa dapat diketahui. Oleh karena itu diperlukan suatu model penduga hazard rate yang akurat untuk menduga nilai hazard rate. Dalam karya ilmiah ini dibahas suatu metode untuk menduga hazard rate di titik t 0. Metode yang digunakan adalah metode single decrement. Ada dua pendekatan yang dapat digunakan untuk menduga hazard rate dengan menggunakan metode single decrement, yaitu pendekatan likelihood dan pendekatan momen. Pada pendekatan likelihood dibutuhkan asumsi sebaran waktu tunggu kemunculan gempa. Dalam karya ilmiah ini sebaran waktu tunggu kemunculan gempa diasumsikan menyebar linear, eksponensial, dan hiperbolik. Pendugaan hazard rate menggunakan data gempa bumi di Aceh dengan kekuatan lebih dari atau sama dengan 5 SR. Pendekatan yang digunakan adalah pendekatan likelihood. Model parametrik yang diperoleh dari metode ini diharapkan mampu menduga nilai hazard rate secara akurat. Kata kunci: gempa bumi, hazard rate, sebaran kepekatan bersama, waktu tunggu. ABSTRACT IKHSAN MAULIDI. Estimation of Hazard Rate of Earthquake in Aceh Province with Single Decrement Method. Supervised by I WAYAN MANGKU and HADI SUMARNO. Hazard rate has a significant effect on the earthquake forecasting. If the hazard rate is given then the joint density distribution of earthquake occurrences can be identified. Therefore we need a parametric model that accurately estimates the hazard rate. In this paper a method to estimate the hazard rate at a point t 0 is discussed. The method used is single decrement method. There are two approaches that can be used to estimate the hazard rate using the method of single decrement, those are likelihood approach and the moment approach. The likelihood approach requires an assumption on the distribution of the waiting time of earthquake occurrences. In this paper the distribution of waiting time of earthquake occurrences is assumed to be linear, exponential, and hyperbolic. Estimation of the hazard rate uses earthquake data in Aceh with power greater than or equal to 5 SR. The approach used is likelihood approach. Parametric model obtained from this method is expected to estimate the hazard rate accurately. Keywords: earthquake, hazard rate, joint density distribution, waiting time.
5 PENDUGAAN HAZARD RATE GEMPA DI PROVINSI ACEH DENGAN METODE SINGLE DECREMENT IKHSAN MAULIDI Skripsi sebagai salah satu syarat untuk memperoleh gelar Sarjana Sains pada Departemen Matematika DEPARTEMEN MATEMATIKA FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM INSTITUT PERTANIAN BOGOR BOGOR 2014
6
7 Judul Skripsi : Pendugaan Hazard Rate Gempa di Provinsi Aceh dengan Metode Single Decrement Nama : Ikhsan Maulidi NIM : G Disetujui oleh Prof Dr Ir I Wayan Mangku, MSc Pembimbing I Dr Ir Hadi Sumarno, MS Pembimbing II Diketahui oleh Dr Toni Bakhtiar, MSc Ketua Departemen Tanggal Lulus:
8 PRAKATA Puji dan syukur penulis panjatkan kepada Tuhan yang maha esa atas segala karunia-nya sehingga karya ilmiah ini yang berjudul Pendugaan Hazard Rate di Provinsi Aceh dengan Metode Single Decrement berhasil diselesaikan. Terima kasih penulis ucapkan kepada Bapak Prof Dr Ir I Wayan Mangku dan Bapak Dr Hadi Sumarno selaku pembimbing serta Bapak Dr Paian Sianturi selaku dosen penguji yang telah banyak memberi saran dan bantuannya selama penulisan karya ilmiah. Di samping itu, penghargaan penulis sampaikan kepada Badan Meteorologi dan Geofisika yang telah membantu selama pengumpulan data. Ungkapan terima kasih juga disampaikan kepada ayah, ibu, seluruh keluarga, serta teman-teman semua atas segala doa dan kasih sayangnya. Semoga karya ilmiah ini bermanfaat. Bogor, Mei 2014 Ikhsan Maulidi
9 DAFTAR ISI DAFTAR TABEL vi DAFTAR GAMBAR vi DAFTAR LAMPIRAN vi PENDAHULUAN 1 Latar Belakang 1 Perumusan Masalah 2 Tujuan Penelitian 2 METODE PENDUGAAN HAZARD RATE SINGLE DECREMENT (HRSD) 2 Pendugaan Likelihood dalam Single Decrement 3 Asumsi Linear 4 Asumsi Eksponensial 5 Asumsi Hiperbolik 6 Pendugaan Momen dalam Single Decrement 7 Contoh Aplikasi Pendugaan Nilai dan Persamaan Hazard Rate 8 SIMPULAN 15 DAFTAR PUSTAKA 16 LAMPIRAN 17 RIWAYAT HIDUP 33
10 vi DAFTAR TABEL 1. Hasil Pendugaan HRSD untuk Asumsi Waktu Tunggu Bersebaran Linear Melalui Prosedur Maksimum Likelihood jika Diketahui Belum Terjadi Gempa Hingga Saat t Hasil Pendugaan HRSD untuk Asumsi Waktu Tunggu Bersebaran Eksponensial Melalui Prosedur Maksimum Likelihood jika Diketahui Belum Terjadi Gempa Hingga Saat t Dugaan Persamaan Hazard Rate pada Tabel Dugaan Persamaan Hazard Rate pada Tabel DAFTAR GAMBAR 1. Plot magnitudo terhadap waktu untuk area studi Plot lokasi kejadian gempa untuk area studi Plot hazard rate proses titik terhadap tahun dengan asumsi waktu tunggu menyebar linear Plot hazard rate proses titik terhadap tahun dengan asumsi waktu tunggu menyebar eksponensial Kurva perbandingan pendugaaan model hazard rate Tabel 1 yang telah ditransformasi dengan asumsi linear, kuadratik, dan kubik Kurva perbandingan pendugaaan model hazard rate Tabel 2 yang telah ditransformasi dengan asumsi linear, kuadratik, dan kubik. 15 DAFTAR LAMPIRAN 1. Data gempa bumi di wilayah Aceh tahun dengan magnitudo lebih dari atau sama dengan 5 SR QQ-Plot hazard rate pada Tabel 1 dan 2 (Sebelum data ditransformasi) Box-plot nilai hazard rate pada Tabel 1 dan 2 untuk melihat nilai pencilan (outlier) Hasil transformasi Box-Cox nilai hazard rate pada Tabel 1 dan QQ-Plot hazard rate setelah ditransformasi. 32
11 PENDAHULUAN Latar Belakang Gempa bumi merupakan pelepasan energi dari dalam bumi secara tiba-tiba, cepat dan merambat ke segala arah sebagai gelombang seismik. Secara umum sumber terjadinya gempa bumi dikategorikan menjadi 3 bagian, yaitu gempa bumi runtuhan, gempa bumi vulkanik, dan gempa bumi tektonik. Gempa bumi tektonik merupakan gempa bumi yang paling sering terjadi. Secara geografis kepulauan Indonesia berada di antara 6 0 LU dan 11 0 LS serta di antara 95 0 BT dan BT dan terletak pada pertemuan tiga lempeng kerak bumi yaitu Eurasia, Pasifik, dan Indo-Australia. Ditinjau secara geologis, kepulauan Indonesia berada pada pertemuan 2 jalur gempa utama, yaitu Sirkum Pasifik dan Alpide Transasiatic. Karena itu, kepulauan Indonesia berada pada daerah yang mempunyai aktivitas gempa bumi cukup tinggi. Beberapa tahun terakhir bencana alam akibat gempa bumi di Laut Flores yang terjadi pada 12 Desember 1992 dengan magnitudo surface (Ms) sebesar 7.5, Lampung pada 16 Februari 1994 dengan Ms = 7.2,, Banyuwangi pada 3 Juni 1994, Bengkulu pada 4 Juni 2000, Nabire pada 6 Februari 2004 dengan Ms = 6.9 dan 26 Nopember 2004 dengan Ms = 6.1 yang menimbulkan korban jiwa dan kerugian harta penduduk yang besar. Gempa terbesar terakhir yang terjadi pada 26 Desember 2004 dengan pusat gempa di lepas pantai barat Provinsi Nangroe Aceh Darussalam dengan Ms = 8.9. Gempa tersebut telah memicu gelombang tsunami yang dampaknya terasa di 11 negara Asia dengan jumlah korban diperkirakan tidak kurang dari jiwa (Firmansyah dan Irsyam 1999). Hazard rate memegang peranan penting dalam teori likelihood proses kemunculan gempa. Jika hazard rate diketahui, maka sebaran kepekatan bersama untuk realisasi data kemunculan dalam (0, T) dapat diketahui. Oleh karena itu, penting memperoleh model parametrik yang akurat untuk menduga hazard rate. Umumnya, hazard rate gempa diduga berdasarkan persamaan likelihood proses titik yang diperkenalkan oleh Vere-Jones pada tahun 1995 (Daley dan Vere-Jones 2003). Persamaan ini merupakan persamaan non linear yang tidak mudah diselesaikan secara analitik sehingga sering kali diselesaikan secara numerik. Pada skripsi ini dibahas metode lain dalam menduga hazard rate gempa yaitu metode single decrement (Darwis et al. 2009). Metode ini diadaptasi dari metode pendugaan dalam studi aktuaria yang biasa digunakan dalam pembuatan tabel mortalitas. Hasil studi kasus yang telah dilakukan Sunusi (2010) menunjukkan bahwa pendugaan melalui metode hazard rate single decrement lebih informatif daripada hazard rate likelihood proses titik.
12 2 Perumusan Masalah Pendugaan hazard rate dengan metode single decrement terdiri dari dua sub metode yaitu dengan pendekatan likelihood dan pendekatan momen. Dengan pendekatan likelihood dibutuhkan informasi exit time yaitu informasi banyaknya kejadian gempa bumi setelah t0. Setelah diperoleh nilai dugaan hazard rate, selanjutnya akan dirumuskan persamaan terbaik untuk menduga nilai hazard rate. Persamaan terbaik tersebut merupakan persamaan yang memberikan nilai Mean Square Error (MSE) terkecil. Data yang digunakan dalam penelitian ini merupakan data yang diperoleh langsung dari BMKG pusat di Jakarta. Data yang digunakan adalah data gempa bumi di Aceh selama periode waktu Analisis data dilakukan dengan menggunakan Microsoft Excel 2013 dan beberapa software statistika lainnya. Tujuan Penelitian Tujuan dari penelitian ini adalah : 1. Menduga nilai hazard rate gempa dari data gempa bumi Aceh tahun dengan asumsi waktu tunggu menyebar linear dan eksponensial. 2. Menentukan persamaan yang lebih baik untuk menduga hazard rate dengan menggunakan asumsi persamaan linear, kuadratik, dan kubik. METODE PENDUGAAN HAZARD RATE SINGLE DECREMENT (HRSD) Hazard rate memegang peranan penting dalam hal prakiraan peluang kemunculan kejadian dalam suatu interval waktu tertentu. Hal ini berkaitan dengan pendugaan parameter yang terlibat di dalamnya. Metode Pendugaan hazard rate single decrement didasari oleh pembuatan Tabel mortalitas di bidang aktuaria. Metode ini terdiri dari dua sub metode yaitu metode maksimum likelihood dan metode momen. Sebagaimana biasanya dalam teori aktuaria, di dalam karya ilmiah ini hazard rate di titik t 0 disimbolkan dengan μto. Misalkan X(t 0 ) = T t 0 menyatakan waktu tunggu hingga kemunculan gempa berikutnya, jika diketahui t 0 waktu kemunculan gempa yang pertama dan T adalah waktu kemunculan kembali gempa berikutnya. Sebagai ilustrasi, jika gempa yang pertama terjadi pada tahun 2010 dan gempa berikutnya terjadi pada tahun 2013 maka X(t) = = 3 tahun. Misalkan μ, S, dan f berturut-turut menyatakan hazard rate, fungsi ketahanan (survival function), dan fungsi kepekatan peluang. Hazard rate μ t0 dapat dinyatakan sebagai
13 3 P(t μ t0 = lim 0 T t 0 + t 0 T>t 0 ) t 0 0 t 0 f(t 0 ) S(t 0 ) (1) Misalkan y = t 0, maka persamaan (1) menjadi μ y = f(y) = S (y) d ln(s(y)) =. S(y) S(y) dy μ y dy= d ln(s(y)). (2) Dengan mengintegralkan kedua ruas pada persamaan (2) diperoleh ln(s(y)) = t 0 t 0 + t 0 μ y dy t 0 + t 0 S(y) = exp [ μ y dy]. t 0 Misalkan t 0 = 0, yaitu sesaat setelah terjadi gempa, maka t 0 t0 p to = S(t 0 ) = P(T > t 0 + t 0 T > t 0 ) = exp [ μ(t 0 + s) ds 0 merupakan fungsi ketahanan. Prakiraan gempa diformulasikan sebagai peluang bersyarat kemunculan gempa hingga t 0 + t 0 jika diberikan informasi bahwa belum terjadi gempa hingga saat t 0. Sebaran waktu kemunculan kembali T dan waktu tunggu hingga kemunculan gempa berikutnya X(t 0 ) masing-masing dinyatakan sebagai berikut (Bowers et al. 1986) T~ dan X~ t 0 p t0 μ t0 p to t0 μ t0 + t 0. Dalam ekspresi ini, t 0 p t0 μ t0 + t 0 menyatakan peluang bahwa suatu gempa muncul antara t 0 dan t 0 + t 0 jika diketahui belum terjadi gempa hingga saat t 0, dan d t 0 p t0 μ t0 + t 0 = 1 ; t 0 p t0 = t 0 p t0 μ t0 + t 0. 0 dt ] Pendugaan Likelihood dalam Single Decrement Pendugaan hazard rate dengan pendekatan single decrement dengan metode Maximum Likelihood Estimation (MLE) membutuhkan informasi exit time, yaitu waktu pada saat terjadi gempa. Misalkan d t0 menyatakan banyaknya gempa yang terjadi pada interval (t 0, t 0 + 1] dan n t0 d t0 menyatakan banyaknya gempa yang terjadi setelah t Likehood L untuk gempa ke-i pada interval (t i, t i + 1 ] diberikan oleh berikut jika diketahui tidak terjadi gempa hingga saat t 0. L i = f(t 0 (i) T > t 0 (i)) = f(t 0(i)) S(t 0 ) = S(t 0(i)) μ(t 0 (i)), (3) S(t 0 (i)) yaitu kontribusi kempa ke-i pada L. Jika y i = t 0 (i) + t 0 adalah waktu kemunculan gempa ke-i dalam interval (t 0, t 0 + 1] dengan 0 < y i 1, maka L i = S(t 0+y i ) μ(t 0 +y i ) S(t 0 ) = y i p t0 μ t0 +y i. (4)
14 4 Kontribusi banyaknya gempa d t0 pada L adalah i=1 y i p t0 μ t0 +y i. Kontribusi n t0 d t0 yaitu banyaknya gempa yang muncul setelah t adalah (p t0 ) n t0 d t0. Dalam hal ini n t0 merupakan banyaknya gempa yang muncul saat atau setelah t 0. Dengan demikian likelihood total adalah L = (1 q t0 ) n t0 d t0 d t 0 y i p t0 μ t0 +y i i=1. (5) Untuk menyelesaikan persamaan (5) dibutuhkan asumsi bahwa sebaran y i p t0 μ t0 +y i dapat dinyatakan dalam bentuk q t0. Berikut ini ditinjau tiga kasus, yakni jika l t0 +y yang merupakan banyak gempa setelah t 0 + y diasumsikan bersebaran linear, eksponensial, dan hiperbolik yang diperlukan untuk menyatakan y i p t0 μ t0 +y i. Jika sebaran y i p t0 μ t0 +y i diketahui maka sebaran waktu tunggu X juga akan diketahui. Asumsi Linear Misalkan l t0 +y = a + by maka untuk y = 0 diperoleh a = l t0 dan untuk y = 1 diperoleh a + b = l t0 +1, b = l t0 +1 a = l t0 +1 l t0 = d t0. Sehingga diperoleh persamaan: l t0 +y = l t0 d t0 y, (6) dengan l t0 = ω 1 t 0 d 0 + d d ω 1. Dari persamaan (6) kita peroleh l t 0 d t0 y l t 0 = l t0+y l t 0 = y p t0 = 1 y q t0 = 1 y q t0. (7) Karena q t0 = d t0 maka persamaan (7) menjadi l y p t0 = 1 y d t0. (8) t 0 l t 0 Sehingga dengan menggunakan asumsi linear diketahui bahwa: d μ t0 +y = d ds (l t0+y) l t 0+y = d dy (l t0 d t0 y) l t 0+y Jadi = = d t 0 l t 0+y q t 0 1 y q t 0. = d t0 = yp t 0.l t0 q t 0 yp t 0 μ t0 +y i = q t0 1 y i q t 0 Substitusikan (7) dan (9) ke persamaan (5) diperoleh L = (1 q t0 ) n t0 d t0 = (1 q t0 ) n t0 d t0 q t0 D = (1 q t0 ) n t0 d t0 D q t0. (9) y i p t0 μ t0 +y D 1 y i q t 0 (1 y i q t0 )
15 5 = (1 q t0 ) n t0 d t0 (q t0 ) d t0. (10) Misalkan l = ln L = (n t0 d t0 ) ln(1 q t0 ) + d t0 ln q t0, maka dengan menggunakan syarat perlu optimalitas turunan orde pertama δ (ln L) = d t0 (n t0 d t0 ) δq q t 0 1 q t 0 q t 0 n t0 +q t0 d t0 + d t0 q t0 d t0 (1 q t 0 )q t0 = 0 = 0 diperoleh = d t0. (11) q t0 n t 0 Selanjutnya dengan turunan orde dua diperoleh 2 (ln L) = d t0 (n t0 d t0 ) q 2 (q t 0 )2 (1 q t 0 )2 = d t0 (1 q t0 )2 (n t 0 d t0 )(q t0 )2 (q t 0 )2 (1 q t 0 )2. (12) Persamaan (12) akan bernilai negatif karena d t0 > 0, (1 q t0 ) > 0, dan (n t0 d t0 ) > 0. Akibatnya q t0 = d t0 merupakan maximum likelihood n t 0 estimation bagi q t0. Selanjutnya nilai hazard rate dapat diperoleh dengan menggunakan persamaaan μ t0 = q t0 1 q t 0. Setelah nilai hazard rate untuk setiap titik diperoleh maka diduga persamaan untuk menduga nilai hazard rate dengan menggunakan metode regresi. Asumsi Eksponensial Misalkan l t0 +y bersebaran eksponensial maka l y = ab y. Untuk y = 0 maka l t0 = a, dan untuk y = 1 maka l t0+1 = ab, b = l t0+1. Jadi l t 0 l t0 +y = l t0 ( l y t0+1 ) = (l l t0 t +1)(l t0 ) 1 y. (13) 0 Telah kita ketahui bahwa p t0 = l t0+1 dan l l t0 +1 = p t0 l t0. Sehingga t 0 dengan menyubstitusikan persamaan ini ke persamaan (13) diperoleh l t0 +y = (p t0 l t0 ) y (l t0 ) 1 y (p t0 ) y = = (p t0 ) y (l t0 ) l t 0+y l t 0 = y p t0 (14) q t0 = 1 y p t0 = 1 (p t0 ) y = 1 (1 q t0 ) y. (15)
16 6 Nilai hazard rate μ diperoleh dari persamaan berikut μ t0 +y = d ds (l t0+y ) l t 0 = (p t0 )y ln (p t 0 ) l t 0+y l t 0 (p t0 )y ln p t0 = μ t0 +y. (16) Substitusikan persamaan (14) dan (16) ke persamaan (5) diperoleh d t 0 L = (1 q t0 ) n t0 d t0 i=1 d t 0 y pt0 i μ t0 +y i = (1 q t0 ) n t0 d t0 μt0 +y (p t0 ) y i d t 0 i=1 = (p t0 ) n t0 d t0 μt0 +y (p t0 ) y i i=1 = (exp( μ)) n t0 d t0 μ d t 0 exp( μ yi ) = μ d d t0 exp [ μ(nt0 d t0 ) + t 0 y i=0 i ]. (17) Dengan mengambil logaritma natural dari persamaan (17) diperoleh l = ln L= d t0 ln μ μ [(n t0 d t0 ) + y i ]. (18). Syarat perlu orde pertama memberikan dl dμ = d t0 μ [(n t 0 d t0 ) y i ] =0. Sehingga diperoleh nilai dugaan hazard rate μ = Selanjutnya karena turunan kedua l, d 2 l d t 0 (n t 0 d t0 )+ d t 0 i=0 y i. (19) = d t0 < 0 maka nilai μ dμ 2 μ2 yang diperoleh merupakan maximum likelihood estimation bagi μ. Karena q berkorespondensi 1-1 dengan μ maka q t0 = 1 p t0 = (1 e μ ). Asumsi Hiperbolik Misalkan l t0 +y merupakan persamaan yang hiperbolik maka l t0 +y = 1. Dengan mengambil nilai y = 0 diperoleh l a+by t 0 = 1 a = 1. a l t Untuk y = 1, l t0 +1 = a + b =. Sehingga diperoleh nilai b = a+b l t Dengan demikian diperoleh l t 0+1 l t 0 l t0 +s = 1 1 +( 1 l t 0 l 1 ) s t 0+1 l t 0. (20)
17 7 Persamaan (19) dapat juga dinyatakan sebagai berikut 1 = 1 + y 1 1 = y + (1 y) l t 0+y l t 0 l t 0+1 l t 0 l t 0+1 l t 0 Selanjutnya 1 yp t 0 = l t0 = l l t0 ( y t 0+y l t 0+1 = (1 y) + y p t 0 + (1 y) ) l t 0 (21) = y+(1 y)p t0 p t 0 = p t0 +(1 p t0 )y p t 0 = p t0 +q t0 y. (22) p t 0 Dengan demikian y p t0 = p t0 p t 0 +q t0y. (23) Fungsi hazard rate diperoleh dari persamaan berikut: μ t0 +y = d( y p t 0 ) dy yp t 0 = p t 0 +q t0 (p t 0 +q t0 y)2 p t 0 = qt0 p t 0 +q t0 y. p t 0 +q t0 y q t 0 = = q t 0. (24) (1 q t 0 )+q t0 y 1 (1 y)q t 0 Dari persamaan (23) dan (24) diperoleh sp t0 μ t0 +y = p t0 = q t 0 = q t0 (1 p t0 ). (25) p t 0 +q t0 y 1 (1 y)q t 0 (1 (1 y)q t 0 )2 Misalkan x = (1 y)q t0, maka persamaan (24) akan menjadi μ t0 +y = q t0. (26) 1 x 1 Karena = 1 + x + 1 x x2 +,maka dari persamaan (26) diperoleh μ t0 +y = q t0 (1 + x + x 2 + ). = (q t0 + q t0 x + q t0 x 2 + ) = q t0 + (1 y)q 2 t0 + (1 y) 2 q 3 t0 +. Jika suku-suku kuadrat dan setelahnya diabaikan, maka μ t0 +y q t0. (27) Persamaan (27) menunjukkan bahwa μ t0 +y dapat dihampiri q t0 yang merupakan peluang munculnya kejadian pada interval (t 0, t 0 + 1] dimana diketahui belum ada kejadian hingga saat t 0. Pendugaan Momen dalam Single Decrement Pendugaan nilai hazard rate dengan menggunakan metode momen membutuhkan dua tahapan. Tahap pertama adalah menentukaan suatu ekspresi tentang banyaknya kejadian dalam interval (t 0, t 0 + 1]. Kemudian tahap kedua adalah menyelesaikan persamaan momen. Prinsip yang digunakan dalam menyelesaikan persamaan momen adalah prinsip statistik,
18 8 yaitu banyaknya kejadian yang diharapkan sama dengan banyaknya kejadian yang diobservasi. Misalkan kemunculan gempa ke-i yang masuk dalam interval pendugaan (t 0, t 0 + 1] terjadi pada t 0 + r i dengan 0 < r i < 1, dan gempa berikutnya terjadi pada t 0 + s i. Maka (t 0, s i ) merupakan interval waktu kemunculan dua gempa pada periode (t 0, t 0 + 1]. Untuk kemunculan gempa ke-i, jika peluang terjadinya satu kejadian gempa adalah s i r i q t0 +r i dan peluang tidak terjadi gempa adalah s i r i p t0 +r i, maka peluang bersyarat terjadi gempa sebelum t 0 + s i jika diketahui belum terjadi gempa hingga t 0 + r i adalah 1. s i r i q t0 +r i +0. s i r i p t0 +r i = s i r i q t0 +r i. (28) Berdasarkan persamaan (28) diperoleh total banyaknya kejadian gempa n adalah i= s i r i q t0 +r i. Selanjutnya diperoleh persamaan momen sebagai berikut: n E[D t0 ] = i=1 s i r i q t0 +r i = d t0 (29) di mana D t0 merupakan peubah acak untuk kemunculan gempa dalam (t 0, t 0 + 1] dan d t0 merupakan banyaknya amatan pada (t 0, t 0 + 1]. Untuk estimasi q t0, digunakan aproksimasi s i r i q t0 +r i (s i r i )q t0. n Sehingga persamaan (29) menjadi E[D t0 ] = q t0 i=1(s i r i ) = d t0. Dengan demikian diperoleh q t0 = n. i=1(s i r i ) Untuk waktu tunggu yang menyebar eksponensial, maka fungsi hazard rate bernilai konstan dengan μ(t) = μ untuk setiap t. Diketahui bahwa p t0 = S(t 0 + 1) S(t 0 ) d t0 = e μ(t 0+1) e μ(t 0) = e μ, maka μ = ln (p t0 ) atau p t0 = e μ. Karena itu, diperoleh q t0 = 1 e μ. Dengan demikian, μ t0 = ln (1 q t0 ). Contoh Aplikasi Pendugaan Nilai dan Persamaan Hazard Rate Dalam karya ilmiah ini contoh aplikasi dari pendugaan nilai dan persamaan hazard rate ditentukan dari data yang diperoleh langsung dari BMKG pusat di Jakarta. Adapun data yang digunakan untuk perhitungan merupakan data gempa di wilayah Aceh dalam interval waktu yang memiliki kekuatan gempa lebih dari atau sama dengan 5 SR (Data terlampir).
19 9 Berikut ditampilkan plot magnitudo terhadap waktu dan plot lokasi terjadinya gempa untuk area studi. Gambar 1. Plot magnitudo terhadap waktu untuk area studi. Gambar 2. Plot lokasi kejadian gempa untuk area studi. Selanjutnya ditentukan nilai hazard rate dengan menggunakan metode single decrement pendekatan likelihood. Kita ketahui dalam pendekatan likelihood dibutuhkan asumsi sebaran waktu tunggu terjadinya gempa. Dalam aplikasi ini asumsi sebaran waktu tunggu yang dibahas adalah asumsi waktu tunggu menyebar linear dan menyebar eksponensial. Maka dengan menggunakan persamaan hazard rate yang telah dirumuskan sebelumnya diperoleh nilai hazard rate sebagai berikut:
20 10 Tabel 1. Hasil Pendugaan HRSD untuk Asumsi Waktu Tunggu Bersebaran Linear Melalui Prosedur Maksimum Likelihood jika Diketahui Belum Terjadi Gempa Hingga Saat t 0. No Interval Tahun d t0 n t0 q t0 μ t0 1 (0,1] (1,2] (2,3] (3,4] (4,5] (4,6] (6,7] (7,8] (8,9] (9,10] (10,11] (11,12] (12,13] (13,14] (14,15] (15,16] (16,17] (17,18] (18,19] (19,20] (20,21] (21,22] (22,23] (23,24] (24,25] (25,26] (26,27] (27,28] (28,29] (29,30] (30,31] (31,32] (32,33] Keterangan: n t0 : banyaknya gempa yang terjadi pada saat atau setelah t 0. d t0 : banyaknya gempa yang terjadi pada interval (t 0, t 0 + 1]. q t0 : peluang munculnya kejadian gempa pada interval (t 0, t 0 + 1] jika diketahui belum ada gempa hingga saat t 0. μ t0 : hazard rate gempa sesaat setelah t 0.
21 11 Tabel 2. Hasil Pendugaan HRSD untuk Asumsi Waktu Tunggu Bersebaran Eksponensial Melalui Prosedur Maksimum Likelihood jika Diketahui Belum Terjadi Gempa Hingga Saat t 0. n No Interval Tahun y i i=1 n t0 d t0 d t0 q t0 μ t0 1 (0,1] (1,2] (2,3] (3,4] (4,5] (4,6] (6,7] (7,8] (8,9] (9,10] (10,11] (11,12] (12,13] (13,14] (14,15] (15,16] (16,17] (17,18] (18,19] (19,20] (20,21] (21,22] (22,23] (23,24] (24,25] (25,26] (26,27] (27,28] (28,29] (29,30] (30,31] (31,32] (32,33] Keterangan EE n : Total eksposure, EE = (n t0 d t0 ) + i=1 y i. d t0 : Banyaknya gempa yang terjadi pada interval (t 0, t 0 + 1]. n t0 d t0 : Banyaknya gempa yang terjadi setelah t q t0 : Peluang munculnya kejadian gempa pada interval(t 0, t 0 + 1] jika diketahui belum ada gempa hingga saat t 0.
22 12 Gambar 3. Plot hazard rate proses titik terhadap tahun dengan asumsi waktu tunggu menyebar linear. Gambar 4. Plot hazard rate proses titik terhadap tahun dengan asumsi waktu tunggu menyebar eksponensial. Hasil pada Tabel 1 dan Tabel 2 berturut-turut merupakan nilai hazard rate dengan asumsi waktu tunggu tunggu menyebar linear dan menyebar eksponensial pada waktu t0 yang dinotasikan dengan simbol µt0. Untuk menduga persamaan regresi dari hazard rate dibutuhkan sifat bahwa hazard rate harus menyebar normal. Akan tetapi menurut hasil QQ-plot dari hazard rate pada Tabel 1 dan Tabel 2 menunjukkan bahwa hazard rate tidak menyebar normal, sehingga perlu dilakukan normalisasi untuk nilai
23 13 hazard rate ini dengan terlebih dahulu menghilangkan nilai hazard rate yang bersifat pencilan. Dengan melakukan transformasi Box-Cox pada nilai hazard rate dari Tabel 1 dan Tabel 2 diperoleh nilai λ berturut-turut -0.5 dan Artinya transformasi yang dilakukan adalah μ t0 = (μ t0 ) 0.5 untuk hazard rate dengan waktu tunggu menyebar linear dan μ t0 = (μ t0 ) 0.5 untuk hazard rate dengan waktu tunggu menyebar eksponensial. Sehingga diperlukan transformasi balik agar diperoleh nilai dugaan hazard rate yang diinginkan. Transformasi balik yang dilakukan adalah μ t0 = (μ t0 ) 2 = 1 2. Proses penentuan model parametrik untuk HRSD dilakukan dengan metode regresi untuk nilai hazard rate tersebut dengan menggunakan model linear μ t0 = β 0 + β 1 t 0 + ε, model kuadratik μ t0 = β 0 + β 1 t 0 + β 2 t ε, dan model kubik μ t0 = β 0 + β 1 t 0 + β 2 t β 3 t ε. Dari hasil transformasi nilai hazard rate pada Tabel 1 diperoleh model parametrik μ t0 = t 0 untuk model linear dengan MSE = Persamaan duga linear ini sudah nyata menurut hasil uji nyata koefisien regresi pada taraf nyata 0.1. Untuk model kuadratik diperoleh model μ t0 2 = t t 0 dengan MSE = Akan tetapi persamaan dugaan kuadratik belum nyata berdasarkan hasil uji nyata koefisien regresi pada taraf nyata 0.1. Sedangkan untuk model kubik diperoleh model parametrik μ t0 = t t t 0 dengan MSE = Persamaan duga linear ini sudah nyata menurut hasil uji nyata koefisien regresi pada taraf nyata 0.1. Sehingga dapat disimpulkan bahwa model kubik merupakan model yang lebih baik untuk menduga nilai hazard rate pada Tabel 1 karena menghasilkan nilai MSE terkecil dan koefisiennya sudah nyata pada taraf nyata 0.1. Dengan menggunakan transformasi balik diperoleh persamaan duga hazard rate untuk Tabel 1 dimana waktu tunggu bersebaran linear adalah 1 μ t0 =. Jika model ini diasumsikan dapat ( t t t 3 0 ) 2 memperkirakan nilai hazard rate pada waktu mendatang maka model parametrik ini dapat digunakan. Sebagai contoh nilai dugaan hazard rate untuk tahun 2014 adalah μ 1 34 = = ( (34)+0.061(34) (34) 3 ) Artinya dugaan tingkat terjadinya gempa ada tahun 2014 adalah sebesar µ t 0 Tabel 3. Dugaan Persamaan Hazard Rate pada Tabel 1. Persamaan MSE Uji Nyata Regresi (α = 0. 1) μ t0 = t Nyata μ t0 2 = t t Tidak nyata μ t0 2 = t t t Nyata
24 14 Gambar 5. Kurva perbandingan pendugaaan model hazard rate Tabel 1 yang telah ditransformasi dengan asumsi linear, kuadratik, dan kubik. Dari hasil transformasi nilai hazard rate pada Tabel 2 diperoleh model parametrik μ t0 = t 0 untuk model linear dengan MSE = Persamaan duga linear ini sudah nyata menurut hasil uji nyata koefisien regresi pada taraf nyata 0.1. Untuk model kuadratik diperoleh model μ t0 2 = t t 0 dengan MSE = Akan tetapi persamaan dugaan kuadratik belum nyata berdasarkan hasil uji nyata koefisien regresi pada taraf nyata 0.1. Sedangkan untuk model kubik diperoleh model parametrik μ t0 = t t t 0 dengan MSE = Persamaan duga linear ini sudah nyata menurut hasil uji nyata koefisien regresi pada taraf nyata 0.1. Sehingga dapat disimpulkan bahwa model kubik merupakan model yang lebih baik untuk menduga nilai hazard rate pada Tabel 2 karena menghasilkan nilai MSE terkecil dan koefisiennya sudah nyata pada taraf nyata 0.1. Dengan menggunakan transformasi balik diperoleh persamaan duga hazard rate untuk Tabel 2 dimana waktu tunggu bersebaran eksponensial adalah μ 1 t0 = ( t t t 3 0 ) 2. Jika model ini diasumsikan dapat memperkirakan nilai hazard rate pada waktu mendatang maka model parametrik ini dapat digunakan. Sebagai contoh nilai dugaan hazard rate untuk tahun 2014 adalah μ 34 = 1 ( (34) 0.060(34) (34) 3 ) 2 = Artinya dugaan tingkat terjadinya gempa ada tahun 2014 adalah sebesar
25 15 Tabel 4. Dugaan Persamaan Hazard Rate pada Tabel 2. Persamaan MSE Uji Nyata Regresi (α = 0. 1) μ t0 = t Nyata μ t0 2 = t t Tidak nyata μ t0 2 = t t Nyata t 0 Gambar 6. Kurva perbandingan pendugaan model hazard rate Tabel 2 yang telah ditransformasi dengan asumsi linear, kuadratik, dan kubik. SIMPULAN Dalam karya ilmiah ini dibahas salah satu metode untuk menentukan nilai hazard rate proses titik temporal. Metode yang digunakan adalah metode single decrement. Metode single decrement ini merupakan metode yang didasarkan pada teori aktuaria. Pendugaan hazard rate dengan metode single decrement dilakukan dengan dua pendekatan, yaitu pendekatan likelihood dan pendekatan momen. Dengan menggunakan pendekatan likelihood, dibutuhkan asumsi sebaran waktu tunggu terjadinya gempa. Sebaran waktu tunggu terjadinya gempa yang digunakan adalah sebaran linear, eksponensial, dan hiperbolik. Jika sebaran waktu tunggu adalah linear maka dugaan hazard rate (μ t0 ) dapat dirumuskan menjadi μ t0 =, dan q 1 q t 0 t 0 n t 0 menyatakan dugaan peluang terjadinya gempa pada interval (t 0, t 0 + q t0 q t0 = d t0 dengan 1] jika diasumsikan belum terjadi gempa hingga t 0, d t0 menyatakan
26 16 banyaknya kejadian gempa pada interval (t 0, t 0 + 1], serta n t0 menyatakan banyaknya kejadian gempa tepat atau setelah t 0. Jika sebaran waktu tunggu adalah eksponensial maka dugaan hazard d rate (μ t 0 t0 ) dapat dirumuskan menjadi μ =, dengan (n t 0 d t0 )+ d t 0 i=0 y i d t0 menyatakan banyaknya kejadian gempa pada interval (t 0, t 0 + 1], (n t0 d t0 ) menyatakan banyaknya kejadian gempa setelah t 0 + 1, dan yi adalah bilangan yang menyatakan waktu kemunculan gempa ke-i setelah t 0, dalam hal ini 0 < y i < 1. Sedangkan jika sebaran waktu tunggu adalah hiperbolik maka dugaan hazard rate μ t0 +s q t0, akan tetapi belum diperoleh solusi analitik untuk menentukan q t0. Perhitungan hazard rate menggunakan data gempa di Aceh periode waktu dengan kekuatan gempa lebih dari atau sama dengan 5 SR. Pendugaan nilai hazard rate dilakukan dengan menggunakan pendekatan likelihood dimana menggunakan asumsi waktu tunggu yang menyebar linear dan eksponensial. Dari hasil perhitungan yang dilakukan diperoleh model yang lebih baik dalam menduga persamaan adalah model kubik. Model yang diperoleh ini diharapkan mampu menduga nilai hazard rate secara akurat. DAFTAR PUSTAKA Bowers, N.L, Gerber, H.U, Hickman, J.C, Jones, D.A, and Nesbitt, C.J Actuarial Mathematics : The Society of Actuaries. Daley, D.J. dan Vere-Jones, D. 2003: An Introduction to the Teory of Point Processes. Berlin: Springer. Darwis, S, Sunusi, N., Triyoso, W., dan Mangku, I.W Single Decrement Approach for Estimating Eartquake Hazard Rate, Advance and Applications in Statistics, 11(2), Firmansyah, J. and Irsyam, M Development of Seismic Hazard Map for Indonesia: Konferensi Nasional Rekayasa Kegempaan. Sunusi, N Pengembangan Estimasi Hazard Rate Proses Titik Temporal dan Aplikasinya pada Prakiraan Kemunculan Gempa [Disertasi]. Bandung : Institut Teknologi Bandung.
27 17 LAMPIRAN Lampiran 1. Data gempa bumi di wilayah Aceh tahun dengan magnitudo lebih dari atau sama dengan 5 SR. Date OT (UTC) Lat Lon Depth (Km) Mag (SR) 1/04/ :21: /09/ :23: /02/ :42: /09/ :17: /02/ :56: /02/ :22: /03/ :08: /03/ :38: /08/ :44: /10/ :48: /01/ :26: /03/ :13: /04/ :59: /04/ :03: /04/ :51: /07/ :34: /09/ :56: /10/ :51: /04/ :51: /05/ :36: /06/ :28: /08/ :56: /03/ :48: /03/ :18: /07/ :10: /10/ :14: /04/ :59: /06/ :51: /09/ :39: /09/ :11: /02/ :52: /05/ :11: /06/ :03: /10/ :30: /11/ :38:
28 18 Lanjutan Lampiran 1 10/12/ :22: /01/ :48: /04/ :27: /08/ :25: /12/ :50: /02/ :38: /07/ :27: /07/ :14: /08/ :24: /08/ :48: /11/ :54: /12/ :40: /12/ :08: /01/ :26: /01/ :34: /02/ :51: /05/ :07: /06/ :14: /07/ :25: /09/ :42: /10/ :27: /10/ :15: /11/ :47: /11/ :18: /11/ :48: /11/ :34: /11/ :06: /11/ :23: /01/ :45: /01/ :06: /01/ :13: /02/ :19: /07/ :25: /08/ :17: /08/ :05: /08/ :00: /09/ :20: /06/ :41: /11/ :01: /01/ :30: /08/ :06: /09/ :36: /09/ :03:
29 Lanjutan Lampiran 1 2/10/ :30: /01/ :05: /02/ :56: /06/ :16: /10/ :48: /11/ :34: /03/ :27: /06/ :29: /06/ :57: /06/ :29: /09/ :19: /11/ :27: /07/ :49: /09/ :04: /09/ :04: /10/ :21: /10/ :02: /04/ :37: /06/ :12: /08/ :15: /08/ :17: /02/ :28: /02/ :46: /02/ :20: /06/ :11: /07/ :46: /11/ :51: /03/ :32: /04/ :02: /07/ :11: /08/ :40: /08/ :14: /09/ :25: /09/ :01: /03/ :26: /08/ :06: /10/ :34: /10/ :04: /12/ :19: /01/ :15: /01/ :56: /01/ :24: /01/ :52:
30 20 Lanjutan Lampiran 1 24/01/ :12: /01/ :05: /10/ :53: /11/ :56: /11/ :45: /11/ :38: /11/ :46: /11/ :26: /11/ :53: /11/ :07: /12/ :28: /01/ :58: /02/ :17: /06/ :36: /08/ :13: /09/ :23: /09/ :26: /09/ :42: /09/ :14: /12/ :05: /12/ :25: /12/ :02: /12/ :44: /12/ :42: /12/ :11: /12/ :55: /12/ :11: /12/ :30: /12/ :23: /12/ :47: /12/ :50: /12/ :26: /12/ :21: /12/ :02: /12/ :28: /12/ :22: /12/ :17: /12/ :19: /12/ :55: /12/ :06: /12/ :40: /12/ :03: /12/ :48:
31 Lanjutan Lampiran 1 26/12/ :34: /12/ :59: /12/ :51: /12/ :02: /12/ :24: /12/ :56: /12/ :25: /12/ :06: /12/ :19: /12/ :58: /12/ :53: /12/ :18: /12/ :58: /12/ :11: /12/ :22: /12/ :21: /12/ :09: /12/ :59: /12/ :47: /12/ :05: /12/ :10: /12/ :32: /12/ :39: /01/ :53: /01/ :32: /01/ :24: /01/ :07: /01/ :58: /01/ :18: /01/ :16: /01/ :36: /01/ :59: /01/ :39: /01/ :54: /01/ :43: /01/ :50: /01/ :00: /01/ :09: /01/ :55: /01/ :20: /01/ :45: /02/ :14: /02/ :15:
32 22 Lanjutan Lampiran 1 2/02/ :04: /02/ :57: /02/ :09: /02/ :03: /02/ :02: /02/ :27: /02/ :02: /02/ :22: /02/ :31: /02/ :33: /02/ :23: /02/ :23: /02/ :42: /02/ :35: /02/ :40: /02/ :56: /03/ :10: /03/ :00: /03/ :33: /03/ :12: /03/ :39: /03/ :20: /03/ :01: /03/ :04: /03/ :03: /03/ :44: /03/ :58: /03/ :54: /03/ :50: /03/ :48: /03/ :34: /03/ :39: /03/ :44: /03/ :37: /03/ :09: /03/ :41: /03/ :16: /03/ :56: /03/ :25: /03/ :16: /03/ :29: /03/ :19: /03/ :27:
33 Lanjutan Lampiran 1 31/03/ :30: /04/ :55: /04/ :40: /04/ :50: /04/ :18: /04/ :37: /04/ :24: /04/ :16: /04/ :21: /04/ :10: /04/ :37: /04/ :01: /04/ :27: /04/ :53: /04/ :04: /04/ :11: /04/ :08: /04/ :10: /04/ :31: /04/ :18: /04/ :07: /05/ :29: /05/ :44: /05/ :58: /05/ :14: /05/ :30: /05/ :47: /05/ :04: /05/ :01: /05/ :37: /05/ :42: /05/ :23: /05/ :28: /05/ :29: /06/ :28: /06/ :36: /06/ :26: /06/ :59: /06/ :26: /06/ :37: /06/ :38: /06/ :50: /06/ :45:
34 24 Lanjutan Lampiran 1 5/07/ :57: /07/ :42: /07/ :50: /07/ :44: /07/ :53: /07/ :57: /07/ :43: /07/ :13: /08/ :56: /08/ :21: /08/ :43: /08/ :09: /08/ :43: /08/ :20: /09/ :42: /09/ :00: /09/ :57: /09/ :19: /09/ :00: /09/ :30: /09/ :12: /10/ :09: /10/ :23: /10/ :46: /10/ :05: /10/ :03: /10/ :39: /10/ :16: /10/ :07: /10/ :23: /11/ :38: /11/ :09: /11/ :10: /12/ :46: /12/ :40: /12/ :23: /01/ :47: /01/ :47: /01/ :15: /02/ :05: /02/ :05: /02/ :32: /02/ :32:
35 Lanjutan Lampiran 1 1/03/ :36: /03/ :15: /03/ :33: /03/ :12: /03/ :24: /03/ :08: /03/ :35: /04/ :34: /04/ :30: /04/ :22: /04/ :42: /04/ :23: /05/ :43: /05/ :11: /06/ :24: /06/ :14: /08/ :13: /08/ :54: /08/ :15: /08/ :41: /08/ :31: /09/ :17: /10/ :30: /11/ :55: /11/ :57: /11/ :50: /12/ :06: /12/ :24: /12/ :10: /12/ :48: /01/ :47: /01/ :44: /02/ :54: /02/ :11: /03/ :01: /04/ :51: /04/ :02: /05/ :44: /05/ :57: /05/ :41: /05/ :19: /06/ :59: /06/ :47:
36 26 Lanjutan Lampiran 1 10/07/ :28: /07/ :53: /07/ :51: /08/ :38: /09/ :32: /09/ :37: /10/ :03: /10/ :55: /11/ :23: /11/ :30: /11/ :02: /12/ :09: /12/ :32: /12/ :26: /12/ :24: /01/ :01: /02/ :32: /02/ :05: /02/ :36: /02/ :11: /02/ :28: /02/ :08: /02/ :47: /02/ :53: /02/ :38: /03/ :04: /03/ :22: /03/ :43: /03/ :30: /04/ :43: /04/ :27: /05/ :31: /05/ :29: /07/ :44: /07/ :44: /09/ :02: /09/ :18: /09/ :00: /11/ :56: /12/ :47: /01/ :14: /02/ :11: /03/ :56:
37 Lanjutan Lampiran 1 12/03/ :05: /03/ :35: /05/ :19: /07/ :51: /08/ :04: /08/ :26: /08/ :45: /11/ :27: /12/ :29: /12/ :43: /01/ :46: /03/ :44: /04/ :28: /04/ :54: /04/ :26: /04/ :15: /04/ :22: /04/ :28: /05/ :59: /05/ :17: /06/ :24: /08/ :42: /09/ :33: /09/ :54: /10/ :43: /12/ :56: /12/ :07: /12/ :01: /01/ :36: /01/ :45: /01/ :26: /01/ :23: /01/ :33: /01/ :34: /01/ :38: /01/ :42: /04/ :56: /08/ :18: /09/ :55: /10/ :16: /10/ :02: /01/ :09: /01/ :03:
38 28 Lanjutan Lampiran 1 22/02/ :02: /03/ :55: /04/ :22: /04/ :00: /04/ :21: /04/ :09: /05/ :08: /06/ :01: /06/ :34: /07/ :39: /07/ :27: /08/ :24: /08/ :57: /12/ :50: /01/ :47: /01/ :22: /03/ :24: /04/ :43: /07/ :36: /07/ :55: /07/ :37: /07/ :05: /08/ :24: /10/ :32: /10/ :40: Sumber: Badan Meteorologi Klimatologi dan Geofisika (BMKG).
39 Lampiran 2. QQ-Plot hazard rate pada Tabel 1 dan 2 (Sebelum data ditransformasi). 29
40 30 Lampiran 3. Box-plot nilai hazard rate pada Tabel 1 dan 2 untuk melihat nilai pencilan (outlier). 1,6 Boxplot of Hazard rate 1 1,4 1,2 Hazard rate 1 1,0 0,8 0,6 0,4 0,2 0,0 Boxplot of Hazard rate 2 0,9 0,8 0,7 Hazard rate 2 0,6 0,5 0,4 0,3 0,2 0,1 0,0
41 31 Lampiran 4. Hasil transformasi Box-Cox nilai hazard rate pada Tabel 1 dan 2. Titik Hazard rate1 Transform1 Titik Hazard rate2 Transform2 0 0, , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , Keterangan : Transform1 = (Hazard rate1) 0.5. Transform2 = (Hazard rate2) 0.5
42 32 Lampiran 5. QQ-Plot hazard rate setelah ditransformasi.
Pendugaan Hazard Rate Kematian Di Provinsi Dki Jakarta Dengan Metode Single Decrement Pendekatan Likelihood
Pendugaan Hazard Rate Kematian Di Provinsi Dki Jakarta Dengan Metode Single Decrement Pendekatan Likelihood Khoirun Nisa Sekolah Tinggi Manajemen Informatika dan Komputer Nusa Mandiri Jakarta khoirunnisakhn@gmailcom
Lebih terperinciEstimasi Hazard Rate Temporal Point Process
Vol. 9, No.1, 33-38, Juli 2012 Estimasi Hazard Rate Temporal Point Process Nurtiti Sunusi 1 Abstrak Point process adalah suatu model stokastik yang dapat menerangkan fenomena alam yang sifatnya acak baik
Lebih terperinciModel Linked Stress Release pada Data Gempa Bumi di Pulau Sumatra
Model Linked Stress Release pada Data Gempa Bumi di Pulau Sumatra Ismiyati Khusnul Khotimah 1, Hasih Pratiwi 2, Dewi Retno Sari Saputro 3 1,3 Program Studi Matematka/FMIPA, Universitas Sebelas Maret 2
Lebih terperinciPENDUGAAN FUNGSI SEBARAN DAN FUNGSI KEPEKATAN PELUANG WAKTU TUNGGU PROSES POISSON PERIODIK NADIROH
PENDUGAAN FUNGSI SEBARAN DAN FUNGSI KEPEKATAN PELUANG WAKTU TUNGGU PROSES POISSON PERIODIK NADIROH DEPARTEMEN MATEMATIKA FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM INSTITUT PERTANIAN BOGOR BOGOR 2011
Lebih terperinciSEBARAN ASIMTOTIK PENDUGA KOMPONEN PERIODIK FUNGSI INTENSITAS PROSES POISSON PERIODIK DENGAN TREN FUNGSI PANGKAT RO FAH NUR RACHMAWATI
SEBARAN ASIMTOTIK PENDUGA KOMPONEN PERIODIK FUNGSI INTENSITAS PROSES POISSON PERIODIK DENGAN TREN FUNGSI PANGKAT RO FAH NUR RACHMAWATI SEKOLAH PASCASARJANA INSTITUT PERTANIAN BOGOR BOGOR 2010 PERNYATAAN
Lebih terperinciPREMI ASURANSI JIWA BERJANGKA MENGGUNAKAN MODEL TINGKAT BUNGA VASICEK
PREMI ASURANSI JIWA BERJANGKA MENGGUNAKAN MODEL TINGKAT BUNGA VASICEK Muslim 1*, Hasriati 2, Asli Sirait 2 1 Mahasiswa Program S1 Matematika 2 Dosen Jurusan Matematika Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan
Lebih terperinciEstimasi Fungsi Intensitas Bersyarat Model Stress Release
Estimasi Fungsi Intensitas Bersyarat Model Stress Release Indri Cahya Diena 1 Hasih Pratiwi 2 dan Muslich 3 13 Program Studi Matematika Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Universitas Sebelas
Lebih terperinciANALISIS KETAHANAN DAN APLIKASINYA UNTUK PEMODELAN INTERVAL KELAHIRAN ANAK PERTAMA HARNANTO
ANALISIS KETAHANAN DAN APLIKASINYA UNTUK PEMODELAN INTERVAL KELAHIRAN ANAK PERTAMA HARNANTO SEKOLAH PASCASARJANA INSTITUT PERTANIAN BOGOR BOGOR 2008 PERNYATAAN MENGENAI TESIS DAN SUMBER INFORMASI Dengan
Lebih terperinciANALISIS REGRESI TERPOTONG BEBERAPA NILAI AMATAN NURHAFNI
ANALISIS REGRESI TERPOTONG DENGAN BEBERAPA NILAI AMATAN NOL NURHAFNI SEKOLAH PASCASARJANAA INSTITUT PERTANIAN BOGOR BOGOR 2008 PERNYATAAN MENGENAI TESIS DAN SUMBER INFORMASI Dengan ini saya menyatakan
Lebih terperinciBAB III METODOLOGI PENELITIAN. dari katalog gempa BMKG Bandung, tetapi dikarenakan data gempa yang
BAB III METODOLOGI PENELITIAN 3.1 Metode Penelitian Metode penelitian yang dilakukan adalah deskripsi analitik dari data gempa yang diperoleh. Pada awalnya data gempa yang akan digunakan berasal dari katalog
Lebih terperinciANALISIS POLA KELAHIRAN MENURUT UMUR STUDI KASUS DI INDONESIA TAHUN 1987 DAN TAHUN 1997 SUMIHAR MEINARTI
ANALISIS POLA KELAHIRAN MENURUT UMUR STUDI KASUS DI INDONESIA TAHUN 1987 DAN TAHUN 1997 SUMIHAR MEINARTI SEKOLAH PASCASARJANA INSTITUT PERTANIAN BOGOR BOGOR 2009 PERNYATAAN MENGENAI TESIS DAN SUMBER INFORMASI
Lebih terperinciESTIMASI PARAMETER µ DAN σ 2 PADA DISTRIBUSI EKSPONENSIAL TERGENERALISIR DUA VARIABEL MENGGUNAKAN FUNGSI PEMBANGKIT MOMEN SKRIPSI
ESTIMASI PARAMETER µ DAN σ 2 PADA DISTRIBUSI EKSPONENSIAL TERGENERALISIR DUA VARIABEL MENGGUNAKAN FUNGSI PEMBANGKIT MOMEN SKRIPSI GHAZALI WARDHONO 090823040 DEPARTEMEN MATEMATIKA FAKULTAS MATEMATIKA DAN
Lebih terperinciProses Titik Self-Exciting dan Penerapannya pada Data Gempa Bumi di Jawa
Proses Titik Self-Exciting dan Penerapannya pada Data Gempa Bumi di Jawa Winda Haryanto 1*, Hasih Pratiwi 2, dan Ririn Setiyowati 3 1,3 Program Studi Matematika, Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan
Lebih terperinciAnalisis Karakteristik Prakiraan Berakhirnya Gempa Susulan pada Segmen Aceh dan Segmen Sianok (Studi Kasus Gempa 2 Juli 2013 dan 11 September 2014)
Analisis Karakteristik Prakiraan Berakhirnya Gempa Susulan pada Segmen Aceh dan Segmen Sianok (Studi Kasus Gempa 2 Juli 2013 dan 11 September 2014) Ekarama Putri 1,*, Dwi Pujiastuti 1, Irma Kurniawati
Lebih terperinciPERBANDINGAN METODE PEMULUSAN BROWN DAN HOLT PADA PERAMALAN GEMPA BUMI SE-JAWA BARAT-BANTEN IVONNE RENITA ARLEEN
PERBANDINGAN METODE PEMULUSAN BROWN DAN HOLT PADA PERAMALAN GEMPA BUMI SE-JAWA BARAT-BANTEN IVONNE RENITA ARLEEN DEPARTEMEN MATEMATIKA FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM INSTITUT PERTANIAN BOGOR
Lebih terperinciPERBANDINGAN METODE INTERPOLASI ABRIDGED LIFE TABLE
PERBANDINGANN METODE INTERPOLASI ABRIDGED LIFE TABLE DAN APLIKASINYA PADA DATAA KEMATIAN INDONESIA VANI RIALITA SUPONO SEKOLAH PASCASARJANAA INSTITUT PERTANIAN BOGOR BOGOR 2009 PERNYATAAN MENGENAI TESIS
Lebih terperinciANALISIS MODEL PELUANG BERTAHAN HIDUP DAN APLIKASINYA SUNARTI FAJARIYAH
ANALISIS MODEL PELUANG BERTAHAN HIDUP DAN APLIKASINYA SUNARTI FAJARIYAH SEKOLAH PASCASARJANA INSTITUT PERTANIAN BOGOR BOGOR 2009 2 PERNYATAAN MENGENAI TESIS DAN SUMBER INFORMASI Dengan ini saya menyatakan
Lebih terperinciMODIFIKASI METODE RELE UNTUK MODEL PENDUDUK QUASI-STABIL CECEP A.H.F. SANTOSA
MODIFIKASI METODE RELE UNTUK MODEL PENDUDUK QUASI-STABIL CECEP A.H.F. SANTOSA SEKOLAH PASCASARJANA INSTITUT PERTANIAN BOGOR BOGOR 2008 Hak Cipta milik Institut Pertanian Bogor, tahun 2008 Hak Cipta dilindungi
Lebih terperinciEstimasi Parameter Model Epidemic Type Aftershock Sequence (ETAS) Spasial untuk Gempa Bumi di Pulau Jawa
Estimasi Parameter Model Epidemic Type Aftershock Sequence (ETAS) Spasial untuk Gempa Bumi di Pulau Jawa Dody Chandra Priambodo 1*, Hasih Pratiwi 2, dan Respatiwulan 3. 1 Program Studi Matematika, Fakultas
Lebih terperinciPENENTUAN BESARNYA ANUITAS HIDUP DENGAN MENGGUNAKAN NILAI ASUMSI PADA DISTRIBUSI SISA USIA
PENENTUAN BESARNYA ANUITAS HIDUP DENGAN MENGGUNAKAN NILAI ASUMSI PADA DISTRIBUSI SISA USIA Farah Kristiani (farah@home.unpar.ac.id) Jurusan Matematika FTIS Universitas Katolik Parahyangan ABSTRACT There
Lebih terperincitektonik utama yaitu Lempeng Eurasia di sebelah Utara, Lempeng Pasifik di
BAB I PENDAHULUAN 1.1 Latar Belakang Indonesia merupakan suatu wilayah yang sangat aktif kegempaannya. Hal ini disebabkan oleh letak Indonesia yang berada pada pertemuan tiga lempeng tektonik utama yaitu
Lebih terperinciBAB 3 REVIEW SIFAT-SIFAT STATISTIK PENDUGA KOMPONEN PERIODIK
BAB 3 REVIEW SIFAT-SIFAT STATISTIK PENDUGA KOMPONEN PERIODIK 3. Perumusan Penduga Misalkan N adalah proses Poisson non-homogen pada interval 0, dengan fungsi intensitas yang tidak diketahui. Fungsi intensitas
Lebih terperinciANALISIS POLA KELAHIRAN MENURUT UMUR STUDI KASUS DI INDONESIA TAHUN 1987 DAN TAHUN 1997 SUMIHAR MEINARTI
ANALISIS POLA KELAHIRAN MENURUT UMUR STUDI KASUS DI INDONESIA TAHUN 1987 DAN TAHUN 1997 SUMIHAR MEINARTI SEKOLAH PASCASARJANA INSTITUT PERTANIAN BOGOR BOGOR 2009 PERNYATAAN MENGENAI TESIS DAN SUMBER INFORMASI
Lebih terperinciPENAKSIRAN PARAMETER µ DAN σ PADA DISTRIBUSI NORMAL MENGGUNAKAN METODE BAYES DAN MAKSIMUM LIKELIHOOD SKRIPSI SUNARTO URJOYO PURBA
PENAKSIRAN PARAMETER µ DAN σ PADA DISTRIBUSI NORMAL MENGGUNAKAN METODE BAYES DAN MAKSIMUM LIKELIHOOD SKRIPSI SUNARTO URJOYO PURBA 09083005 DEPARTEMEN MATEMATIKA FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN
Lebih terperinciPENDUGAAN FUNGSI INTENSITAS PROSES POISSON PERIODIK DENGAN TREN FUNGSI PANGKAT MENGGUNAKAN METODE TIPE KERNEL
PENDUGAAN FUNGSI INTENSITAS PROSES POISSON PERIODIK DENGAN TREN FUNGSI PANGKAT MENGGUNAKAN METODE TIPE KERNEL Ro fah Nur Rachmawati Jurusan Matematika, Fakultas Sains dan Teknologi, Binus University Jl.
Lebih terperinciPENENTUAN PELUANG BERTAHAN DALAM MODEL RISIKO KLASIK DENGAN MENGGUNAKAN TRANSFORMASI LAPLACE AMIRUDDIN
PENENTUAN PELUANG BERTAHAN DALAM MODEL RISIKO KLASIK DENGAN MENGGUNAKAN TRANSFORMASI LAPLACE AMIRUDDIN SEKOLAH PASCASARJANA INSTITUT PERTANIAN BOGOR BOGOR 2008 PERNYATAAN MENGENAI TESIS DAN SUMBER INFORMASI
Lebih terperinciPENDUGAAN PARAMETER BEBERAPA SEBARAN POISSON CAMPURAN DAN BEBERAPA SEBARAN DISKRET DENGAN MENGGUNAKAN ALGORITME EM ADE HARIS HIMAWAN
PENDUGAAN PARAMETER BEBERAPA SEBARAN POISSON CAMPURAN DAN BEBERAPA SEBARAN DISKRET DENGAN MENGGUNAKAN ALGORITME EM ADE HARIS HIMAWAN SEKOLAH PASCASARJANA INSTITUT PERTANIAN BOGOR BOGOR 2008 PERNYATAAN
Lebih terperinciBAB I PENDAHULUAN. 1 Universitas Kristen Maranatha
BAB I PENDAHULUAN 1.1 Latar Belakang Indonesia termasuk kedalam wilayah rawan gempa. Secara geografis, kepulauan Indonesia berada di antara 6 LU dan 11 LS serta di antara 95 BT dan 141 BT dan terletak
Lebih terperinciPENDUGAAN TURUNAN PERTAMA DAN TURUNAN KEDUA DARI FUNGSI INTENSITAS SUATU PROSES POISSON PERIODIK SYAMSURI
PENDUGAAN TURUNAN PERTAMA DAN TURUNAN KEDUA DARI FUNGSI INTENSITAS SUATU PROSES POISSON PERIODIK SYAMSURI SEKOLAH PASCASARJANA INSTITUT PERTANIAN BOGOR BOGOR 2007 PERNYATAAN MENGENAI TESIS DAN SUMBER INFORMASI
Lebih terperinciESTIMASI PARAMETER DISTRIBUSI WEIBULL DENGAN TRANSFORMASI MODEL REGRESI MENGGUNAKAN METODE KUADRAT TERKECIL LINIER
ESTIMASI PARAMETER DISTRIBUSI WEIBULL DENGAN TRANSFORMASI MODEL REGRESI MENGGUNAKAN METODE KUADRAT TERKECIL LINIER 1 ESTIMASI PARAMETER DISTRIBUSI WEIBULL DENGAN TRANSFORMASI MODEL REGRESI MENGGUNAKAN
Lebih terperinciPEMETAAN BAHAYA GEMPA BUMI DAN POTENSI TSUNAMI DI BALI BERDASARKAN NILAI SESMISITAS. Bayu Baskara
PEMETAAN BAHAYA GEMPA BUMI DAN POTENSI TSUNAMI DI BALI BERDASARKAN NILAI SESMISITAS Bayu Baskara ABSTRAK Bali merupakan salah satu daerah rawan bencana gempa bumi dan tsunami karena berada di wilayah pertemuan
Lebih terperinciPERBANDINGAN TRANSFORMASI BOX-COX DAN REGRESI KUANTIL MEDIAN DALAM MENGATASI HETEROSKEDASTISITAS
E-Jurnal Matematika Vol. 4 (1), Januari 2015, pp. 8-13 ISSN: 2303-1751 PERBANDINGAN TRANSFORMASI BOX-COX DAN REGRESI KUANTIL MEDIAN DALAM MENGATASI HETEROSKEDASTISITAS Ni Wayan Yuni Cahyani 1, I Gusti
Lebih terperinciBAB 1 PENDAHULUAN. oleh faktor eksternal (gempa, angin, tsunami, kekakuan tanah, dll)
BAB 1 PENDAHULUAN 1.1 Latar Belakang Masalah Pembebanan suatu gedung tingkat tinggi, bukan hanya dipengaruhi oleh faktor internal (berat sendiri, beban mati, beban hidup, dll), tetapi juga oleh faktor
Lebih terperinciBAB I PENDAHULUAN 1.1. Latar Belakang Masalah
BAB I PENDAHULUAN 1.1. Latar Belakang Masalah Indonesia merupakan Negara kepulauan yang letak geografis berada pada 94-141 BT dan 6 LU - 11 LS. Letak geografisnya, menjadikan Indonesia sebagai negara yang
Lebih terperinciPERBANDINGAN METODE PEMULUSAN (SMOOTHING) EKSPONENSIAL DAN ARIMA (BOX-JENKINS) SEBAGAI METODE PERAMALAN INDEKS HARGA SAHAM GABUNGAN (IHSG) SKRIPSI
PERBANDINGAN METODE PEMULUSAN (SMOOTHING) EKSPONENSIAL DAN ARIMA (BOX-JENKINS) SEBAGAI METODE PERAMALAN INDEKS HARGA SAHAM GABUNGAN (IHSG) SKRIPSI WARSINI 070803042 DEPARTEMEN MATEMATIKA FAKULTAS MATEMATIKA
Lebih terperinciESTIMASI PARAMETER DISTRIBUSI WEIBULL DENGAN TRANSFORMASI MODEL REGRESI MENGGUNAKAN METODE KUADRAT TERKECIL LINIER
1 ESTIMASI PARAMETER DISTRIBUSI WEIBULL DENGAN TRANSFORMASI MODEL REGRESI MENGGUNAKAN METODE KUADRAT TERKECIL LINIER A. Musdalifa, Raupong, Anna Islamiyati Abstrak Estimasi parameter adalah merupakan hal
Lebih terperinciPERBANDINGAN ANTARA UNWEIGHTED LEAST SQUARES (ULS) DAN PARTIAL LEAST SQUARES (PLS) DALAM PEMODELAN PERSAMAAN STRUKTURAL MUHAMMAD AMIN PARIS
PERBANDINGAN ANTARA UNWEIGHTED LEAST SQUARES (ULS) DAN PARTIAL LEAST SQUARES (PLS) DALAM PEMODELAN PERSAMAAN STRUKTURAL MUHAMMAD AMIN PARIS SEKOLAH PASCASARJANA INSTITUT PERTANIAN BOGOR BOGOR 2009 PERNYATAAN
Lebih terperinciESTIMATOR BAYES DAN MAKSIMUM LIKELIHOOD UNTUK DATA BERDISTRIBUSI WEIBULL SKRIPSI SUMI SRIARDINA YUSARA
ESTIMATOR BAYES DAN MAKSIMUM LIKELIHOOD UNTUK DATA BERDISTRIBUSI WEIBULL SKRIPSI SUMI SRIARDINA YUSARA 100823018 DEPARTEMEN MATEMATIKA FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM UNIVERSITAS SUMATERA
Lebih terperinciDEFICIENCY PENAKSIR PARAMETER PADA DISTRIBUSI GAMMA
digilib.uns.ac.id DEFICIENCY PENAKSIR PARAMETER PADA DISTRIBUSI GAMMA oleh ANIS TELAS TANTI M0106003 SKRIPSI ditulis dan diajukan untuk memenuhi sebagian persyaratan memperoleh gelar Sarjana Sains Matematika
Lebih terperinciPenerapan Model epidemic type aftershock sequence (ETAS) pada Data Gempa Bumi di Sumatra
Penerapan Model epidemic type aftershock sequence (ETAS) pada Data Gempa Bumi di Sumatra Lia Sulistya Rini 1, Hasih Pratiwi 2, dan Santoso Budi Wiyono 3 1,3 Program Studi Matematika Fakultas Matematika
Lebih terperinciPERHITUNGAN NILAI-NILAI AKTUARIA DENGAN ASUMSI TINGKAT SUKU BUNGA BERUBAH SECARA STOKASTIK
PERHITUNGAN NILAI-NILAI AKTUARIA DENGAN ASUMSI TINGKAT SUKU BUNGA BERUBAH SECARA STOKASTIK Kumala Dewi S.; Ferry Jaya Permana; Farah Kristiani Jurusan Matematika, Fakultas Teknologi dan Ilmu Sains, Universitas
Lebih terperinciI. PENDAHULUAN. Perkembangan teori statistika telah mempengaruhi hampir semua aspek. Dalam teori statistika dan peluang, distribusi gamma (
I. PENDAHULUAN 1.1. Latar Belakang dan Masalah Perkembangan teori statistika telah mempengaruhi hampir semua aspek kehidupan. Hal ini disebabkan statistika merupakan salah satu disiplin ilmu yang berperan
Lebih terperinciMODEL REGRESI ROBUST MENGGUNAKAN ESTIMASI S DAN ESTIMASI GS
MODEL REGRESI ROBUST MENGGUNAKAN ESTIMASI S DAN ESTIMASI GS (Studi Kasus Produksi Jagung di Indonesia) Oleh VICTOR SATRIA SAPUTERA M0112089 SKRIPSI ditulis dan diajukan untuk memenuhi sebagian persyaratan
Lebih terperinciFUNGSI INTENSITAS BERSYARAT PROSES TITIK SELF-EXCITING DAN PENERAPANNYA PADA DATA GEMPA BUMI
FUNGSI INTENSITAS BERSYARAT PROSES TITIK SELF-EXCITING DAN PENERAPANNYA PADA DATA GEMPA BUMI oleh WINDA HARYANTO M0113056 SKRIPSI ditulis dan diajukan untuk memenuhi sebagian persyaratan memperoleh gelar
Lebih terperinciSIMULASI INTENSITAS SENSOR DALAM PENDUGAAN PARAMATER DISTRIBUSI WEIBULL TERSENSOR KIRI. Abstract
ISBN: 978-602-71798-1-3 SIMULASI INTENSITAS SENSOR DALAM PENDUGAAN PARAMATER DISTRIBUSI WEIBULL TERSENSOR KIRI Widiarti 1), Ayu Maidiyanti 2), Warsono 3) 1 FMIPA Universitas Lampung widiarti08@gmail.com
Lebih terperinciMODEL REGRESI COX PROPORTIONAL HAZARD PADA LAJU TAMAT MAHASISWA JURUSAN MATEMATIKA UNIVERSITAS ANDALAS
Jurnal Matematika UNAND Vol. VI No. 1 Hal. 33 41 ISSN : 2303 2910 c Jurusan Matematika FMIPA UNAND MODEL REGRESI COX PROPORTIONAL HAZARD PADA LAJU TAMAT MAHASISWA JURUSAN MATEMATIKA UNIVERSITAS ANDALAS
Lebih terperinciFUNGSI QUASI-LIKELIHOOD UNTUK PENAKSIRAN PARAMETER DALAM DISTRIBUSI PARETO
FUNGSI QUASI-LIKELIHOOD UNTUK PENAKSIRAN PARAMETER DALAM DISTRIBUSI PARETO TESIS Oleh AGUS BUDIANTO 087021076/MT FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM UNIVERSITAS SUMATERA UTARA MEDAN 2010 FUNGSI
Lebih terperinciPemodelan Data Curah Hujan Menggunakan Proses Shot Noise Modeling Rainfall Data Using a Shot Noise Process
Prosiding Statistika ISSN: 2460-6456 Pemodelan Data Menggunakan Proses Shot Noise Modeling Rainfall Data Using a Shot Noise Process 1 Novi Tri Wahyuni, 2 Sutawatir Darwis, 3 Teti Sofia Yanti 1,2,3 Prodi
Lebih terperinciPENERAPAN HUKUM MORTALITA MAKEHAM DAN TINGKAT SUKU BUNGA STOKASTIK UNTUK PERHITUNGAN NILAI TUNAI MANFAAT
PENERAPAN HUKUM MORTALITA MAKEHAM DAN TINGKAT SUKU BUNGA STOKASTIK UNTUK PERHITUNGAN NILAI TUNAI MANFAAT Valensia Huang; Farah Kristiani Jurusan Matematika, Fakultas Teknologi Informasi dan Sains, Universitas
Lebih terperinciPERKUAT MITIGASI, SADAR EVAKUASI MANDIRI DALAM MENGHADAPI BENCANA TSUNAMI
PERKUAT MITIGASI, SADAR EVAKUASI MANDIRI DALAM MENGHADAPI BENCANA TSUNAMI Oleh : Rahmat Triyono, ST, MSc Kepala Stasiun Geofisika Klas I Padang Panjang Email : rahmat.triyono@bmkg.go.id (Hasil Penelitian
Lebih terperinciPENGUJIAN ASUMSI-ASUMSI ANALISIS VARIANSI DENGAN METODE DIAGNOSTIK SISAAN DALAM RANCANGAN ACAK KELOMPOK LENGKAP MODEL TETAP SKRIPSI
PENGUJIAN ASUMSI-ASUMSI ANALISIS VARIANSI DENGAN METODE DIAGNOSTIK SISAAN DALAM RANCANGAN ACAK KELOMPOK LENGKAP MODEL TETAP SKRIPSI SAHDANI FONNA NASUTION 090823047 DEPARTEMEN MATEMATIKA FAKULTAS MATEMATIKA
Lebih terperinciBAB II TINJAUAN PUSTAKA
BAB II TINJAUAN PUSTAKA 21 Beberapa Pengertian Definisi 1 [Ruang Contoh] Ruang contoh adalah himpunan semua hasil yang mungkin dari suatu percobaan acak, dan dinotasikan dengan (Grimmet dan Stirzaker,1992)
Lebih terperinciRISIKO GEMUK (FAT-TAILED ADRINA LONY SEKOLAH
PENENTUAN BESARNYA PREMI UNTUK SEBARAN RISIKO YANG BEREKOR GEMUK (FAT-TAILED RISK DISTRIBUTION) ADRINA LONY SEKOLAH PASCASARJANAA INSTITUT PERTANIAN BOGOR BOGOR 2009 PERNYATAAN MENGENAI TESIS DAN SUMBER
Lebih terperinciSKRIPSI. Disusun oleh LANDONG PANAHATAN HUTAHAEAN
MODEL REGRESI COX PROPORTIONAL HAZARDS PADA DATA LAMA STUDI MAHASISWA (Studi Kasus Di Fakultas Sains dan Matematika Universitas Diponegoro Semarang Mahasiswa Angkatan 2009) SKRIPSI Disusun oleh LANDONG
Lebih terperinciPEMODELAN SISTEM PENDULUM TERBALIK DENGAN LINTASAN MIRING DAN KARAKTERISASI PARAMETER PADA MASALAH TRACKING ERROR OPTIMAL BAMBANG EDISUSANTO
PEMODELAN SISTEM PENDULUM TERBALIK DENGAN LINTASAN MIRING DAN KARAKTERISASI PARAMETER PADA MASALAH TRACKING ERROR OPTIMAL BAMBANG EDISUSANTO SEKOLAH PASCASARJANA INSTITUT PERTANIAN BOGOR BOGOR 2008 PERNYATAAN
Lebih terperinciBAB I PENDAHULUAN Latar belakang
BAB I PENDAHULUAN 1.1. Latar belakang Indonesia merupakan salah satu negara dimana terdapat pertemuan 3 lempeng tektonik utama bumi. Lempeng tersebut meliputi lempeng Eurasia, lempeng Indo-Australia, dan
Lebih terperinciBAB I PENDAHULUAN. Indonesia terletak di antara tiga lempeng aktif dunia, yaitu Lempeng
BAB I PENDAHULUAN A. Latar Belakang Indonesia terletak di antara tiga lempeng aktif dunia, yaitu Lempeng Eurasia, Indo-Australia dan Pasifik. Konsekuensi tumbukkan lempeng tersebut mengakibatkan negara
Lebih terperinciPENENTUAN HARGA PREMI BERDASARKAN FUNGSI PERMINTAAN DAN TITIK KESETIMBANGANNYA DALAM PORTOFOLIO HETEROGEN
PENENTUAN HARGA PREMI BERDASARKAN FUNGSI PERMINTAAN DAN TITIK KESETIMBANGANNYA DALAM PORTOFOLIO HETEROGEN (PREMIUM PRICING BASED ON DEMAND FUNCTION AND EQUILIBRIUM POINT IN HETEROGENOUS PORTOFOLIO) Usep
Lebih terperinciSulawesi. Dari pencatatan yang ada selama satu abad ini rata-rata sepuluh gempa
BAB I PENDAHULUAN 1.1 Latar Belakang Gempa bumi merupakan satu bencana alam yang disebabkan kerusakan kerak bumi yang terjadi secara tiba-tiba dan umumnya diikuti dengan terjadinya patahan atau sesar.
Lebih terperinciII. TINJAUAN PUSTAKA
II. TINJAUAN PUSTAKA. Pendahuluan Uji perbandingan dua distribusi merupakan suatu tekhnik analisis ang dilakukan untuk mencari nilai parameter ang baik diantara dua distribusi. Tekhnik uji perbandingan
Lebih terperinciBAB 1 PENDAHULUAN BAB I PENDAHULUAN
BAB 1 PENDAHULUAN BAB I PENDAHULUAN 1.1 Latar Belakang Indonesia merupakan Negara kepulauan yang wilayahnya membentang diantara benua Asia dan Australia serta diantara Samudera Pasifik dan Samudera Hindia.
Lebih terperinciGEMPA BUMI DAN AKTIVITASNYA DI INDONESIA
GEMPA BUMI DAN AKTIVITASNYA DI INDONESIA Disusun Oleh: Josina Christina DAFTAR ISI Kata Pengantar... 2 BAB I... 3 1.1 Latar Belakang... 3 1.2 Tujuan... 3 1.3 Rumusan Masalah... 4 BAB II... 5 2.1 Pengertian
Lebih terperinciAnalisis Percepatan Tanah Maksimum Wilayah Sumatera Barat (Studi Kasus Gempa Bumi 8 Maret 1977 dan 11 September 2014)
Jurnal Fisika Unand Vol. 5, No. 1, Januari 2016 ISSN 2302-8491 Analisis Percepatan Tanah Maksimum Wilayah Sumatera Barat (Studi Kasus Gempa Bumi 8 Maret 1977 dan 11 September 2014) Marlisa 1,*, Dwi Pujiastuti
Lebih terperinciMENENTUKAN MODEL KOEFISIEN REGRESI MULTIPLE VARIABEL DENGAN MENGGUNAKAN MAKSIMUM LIKELIHOOD SKRIPSI BENNY SOFYAN SAMOSIR
MENENTUKAN MODEL KOEFISIEN REGRESI MULTIPLE VARIABEL DENGAN MENGGUNAKAN MAKSIMUM LIKELIHOOD SKRIPSI BENNY SOFYAN SAMOSIR 080823004 DEPARTEMEN MATEMATIKA FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM UNIVERSITAS
Lebih terperinciKEKONVERGENAN MSE PENDUGA KERNEL SERAGAM FUNGSI INTENSITAS PROSES POISSON PERIODIK DENGAN TREN FUNGSI PANGKAT
KEKONVERGENAN MSE PENDUGA KERNEL SERAGAM FUNGSI INTENSITAS PROSES POISSON PERIODIK DENGAN TREN FUNGSI PANGKAT Ro fah Nur Rachmawati Mathematics & Statistics Department, School of Computer Science, Binus
Lebih terperinciANALISIS TAHAN HIDUP DATA TERSENSOR TIPE II MENGGUNAKAN MODEL DISTRIBUSI WEIBULL PADA PENDERITA HEPATITIS C
ANALISIS TAHAN HIDUP DATA TERSENSOR TIPE II MENGGUNAKAN MODEL DISTRIBUSI WEIBULL PADA PENDERITA HEPATITIS C oleh BUDI SANTOSO M0110013 SKRIPSI ditulis dan diajukan untuk memenuhi sebagian persyaratan memperoleh
Lebih terperinciBAB 3 MODEL ESTIMASI REGRESI NONPARAMETRIK
BAB 3 MODEL ESTIMASI REGRESI NONPARAMETRIK Dalam melakukan estimasi pada suatu kasus regresi nonparametrik, ada banyak metode yang dapat digunakan. Yasin (2009) dalam makalahnya melakukan estimasi regresi
Lebih terperinciKAJIAN METODE ROBUST LEAST TRIMMED SQUARE (LTS) DALAM MENGESTIMASI PARAMETER REGRESI LINEAR BERGANDA UNTUK DATA YANG MENGANDUNG PENCILAN SKRIPSI
KAJIAN METODE ROBUST LEAST TRIMMED SQUARE (LTS) DALAM MENGESTIMASI PARAMETER REGRESI LINEAR BERGANDA UNTUK DATA YANG MENGANDUNG PENCILAN SKRIPSI ADE AFFANY 120803016 DEPARTEMEN MATEMATIKA FAKULTAS MATEMATIKA
Lebih terperinciBab 2 Distribusi Survival dan Tabel Mortalitas
Bab 2 Distribusi Survival dan Tabel Mortalitas 2.1 Distribusi Survival Meninggalnya seseorang merupakan sesuatu yang pasti terjadi namun kapan terjadinya tidak dapat diprediksi. Karena itu, ketahanan hidup
Lebih terperinciPREDIKSI JANGKA PANJANG DARI PROSES POISSON SIKLIK DENGAN FUNGSI INTENSITAS GLOBAL DIKETAHUI AGUSTINA MARGARETHA
PREDIKSI JANGKA PANJANG DARI PROSES POISSON SIKLIK DENGAN FUNGSI INTENSITAS GLOBAL DIKETAHUI AGUSTINA MARGARETHA DEPARTEMEN MATEMATIKA FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM INSTITUT PERTANIAN BOGOR
Lebih terperinciNon Linear Estimation and Maximum Likelihood Estimation
Non Linear Estimation and Maximum Likelihood Estimation Non Linear Estimation and Maximum Likelihood Estimation Non Linear Estimation We have studied linear models in the sense that the parameters are
Lebih terperinciBAB 1 PENDAHULUAN. tingkat kepadatan penduduk nomor empat tertinggi di dunia, dengan jumlah
1 BAB 1 PENDAHULUAN 1.1 Latar Belakang Permasalahan Negara Kesatuan Republik Indonesia adalah negara kepulauan dengan tingkat kepadatan penduduk nomor empat tertinggi di dunia, dengan jumlah penduduk lebih
Lebih terperinciESTIMASI PARAMETER MODEL REGRESI M-KUANTIL MENGGUNAKAN METODE ITERATIVE REWEIGHTED LEAST SQUARE (IRLS)
ESTIMASI PARAMETER MODEL REGRESI M-KUANTIL MENGGUNAKAN METODE ITERATIVE REWEIGHTED LEAST SQUARE (IRLS) oleh Lisa Apriana Dewi M0108055 SKRIPSI ditulis dan diajukan untuk memenuhi sebagian persyaratanmemperoleh
Lebih terperinciANALISIS PROBABILITAS GEMPABUMI DAERAH BALI DENGAN DISTRIBUSI POISSON
ANALISIS PROBABILITAS GEMPABUMI DAERAH BALI DENGAN DISTRIBUSI POISSON Hapsoro Agung Nugroho Stasiun Geofisika Sanglah Denpasar soro_dnp@yahoo.co.id ABSTRACT Bali is located on the boundaries of the two
Lebih terperinciANALISIS FAKTOR-FAKTOR YANG MEMPENGARUHI PENYALURAN KREDIT DI BANK UMUM MILIK NEGARA PERIODE TAHUN RENALDO PRIMA SUTIKNO
ANALISIS FAKTOR-FAKTOR YANG MEMPENGARUHI PENYALURAN KREDIT DI BANK UMUM MILIK NEGARA PERIODE TAHUN 2004-2012 RENALDO PRIMA SUTIKNO SEKOLAH PASCASARJANA INSTITUT PERTANIAN BOGOR BOGOR 2013 PERNYATAAN MENGENAI
Lebih terperinciPERBANDINGAN TINGKAT AKURASI REGRESI NONPARAMETRIK SPLINE DAN REGRESI NONPARAMETRIK KERNEL PADA PERTUMBUHAN BALITA DI KOTA SURAKARTA
PERBANDINGAN TINGKAT AKURASI REGRESI NONPARAMETRIK SPLINE DAN REGRESI NONPARAMETRIK KERNEL PADA PERTUMBUHAN BALITA DI KOTA SURAKARTA oleh FEBRIANI ASTUTI M0111036 SKRIPSI ditulis dan diajukan untuk memenuhi
Lebih terperinciBAB I PENDAHULUAN. Gambar 1.1 Sebaran episenter gempa di wilayah Indonesia (Irsyam dkk, 2010). P. Lombok
2 BAB I PENDAHULUAN 1.1 Latar Belakang Gempabumi sangat sering terjadi di daerah sekitar pertemuan lempeng, dalam hal ini antara lempeng benua dan lempeng samudra akibat dari tumbukan antar lempeng tersebut.
Lebih terperinciKAJIAN DATA KETAHANAN HIDUP TERSENSOR TIPE I BERDISTRIBUSI EKSPONENSIAL DAN SIX SIGMA. Victoria Dwi Murti 1, Sudarno 2, Suparti 3
JURNAL GAUSSIAN, Volume 1, Nomor 1, Tahun 2012, Halaman 241-248 Online di: http://ejournal-s1.undip.ac.id/index.php/gaussian KAJIAN DATA KETAHANAN HIDUP TERSENSOR TIPE I BERDISTRIBUSI EKSPONENSIAL DAN
Lebih terperinciBAB I PENDAHULUAN. 1.1 Latar Belakang
BAB I PENDAHULUAN 1.1 Latar Belakang Bencana Gempa bumi merupakan sebuah ancaman besar bagi penduduk pantai di kawasan Pasifik dan lautan-lautan lainnya di dunia. Indonesia merupakan salah satu negara
Lebih terperinciKONSEP DASAR TERKAIT METODE BAYES
KONSEP DASAR TERKAIT METODE BAYES 2.3. Peubah Acak dan Distribusi Peluang Pada statistika kita melakukan percobaan dimana percobaan tersebut akan menghasilkan suatu peluang. Ruang sampel pada percobaan
Lebih terperinci*
Jurnal Natural Vol.6, No.2, 26 ISSN 4-853 KAJIAN STATISTIK SEISMISITAS KAWASAN SUMATERA* Warni Asnita*, Didik Sugiyanto 2, Ibnu Rusydy 3 Department of Geophysics Engineering, Syiah Kuala University, Banda
Lebih terperinciESTIMASI RASIO MENGGUNAKAN KOEFISIEN REGRESI DAN KORELASI PADA PRODUKSI KACANG TANAH DI PROVINSI JAWA TENGAH
ESTIMASI RASIO MENGGUNAKAN KOEFISIEN REGRESI DAN KORELASI PADA PRODUKSI KACANG TANAH DI PROVINSI JAWA TENGAH oleh RAMADHANI KUSUMA PUTRA M0110069 SKRIPSI ditulis dan diajukan untuk memenuhi sebagian persyaratan
Lebih terperinciRATA-RATA KUADRAT SESATAN PENDUGA REGRESI DENGAN KOMBINASI LINIER DUA VARIABEL BANTU PADA SAMPEL ACAK SEDERHANA
RATA-RATA KUADRAT SESATAN PENDUGA REGRESI DENGAN KOMBINASI LINIER DUA VARIABEL BANTU PADA SAMPEL ACAK SEDERHANA oleh INTAN LISDIANA NUR PRATIWI NIM. M0110040 SKRIPSI ditulis dan diajukan untuk memenuhi
Lebih terperinciBAB I PENDAHULUAN 1.1 Latar belakang
BAB I PENDAHULUAN 1.1 Latar belakang Gempa bumi adalah getaran atau guncangan yang terjadi di permukaan bumi akibat pelepasan energi dari dalam secara tiba-tiba yang menciptakan gelombang seismik. Indonesia
Lebih terperinciLANDASAN TEORI. menyatakan hubungan antara variabel respon Y dengan variabel-variabel
5 II. LANDASAN TEORI 2.1 Model Regresi Poisson Analisis regresi merupakan metode statistika yang populer digunakan untuk menyatakan hubungan antara variabel respon Y dengan variabel-variabel prediktor
Lebih terperinciPERBANDINGAN METODE PEMULUSAN EKSPONENSIAL TUNGGAL DAN FUZZY TIME SERIES UNTUK MEMPREDIKSI INDEKS HARGA SAHAM GABUNGAN
PERBANDINGAN METODE PEMULUSAN EKSPONENSIAL TUNGGAL DAN FUZZY TIME SERIES UNTUK MEMPREDIKSI INDEKS HARGA SAHAM GABUNGAN SKRIPSI Oleh : TAUFAN FAHMI J2E008056 JURUSAN STATISTIKA FAKULTAS SAINS DAN MATEMATIKA
Lebih terperinciFORMULASI HAMILTONIAN UNTUK MENGGAMBARKAN GERAK GELOMBANG INTERNAL PADA LAUT DALAM RINA PRASTIWI
FORMULASI HAMILTONIAN UNTUK MENGGAMBARKAN GERAK GELOMBANG INTERNAL PADA LAUT DALAM RINA PRASTIWI SEKOLAH PASCASARJANA INSTITUT PERTANIAN BOGOR BOGOR 2009 PERYATAAN MENGENAI TESIS DAN SUMBER INFORMASI Dengan
Lebih terperinciCADANGAN ASURANSI PENDIDIKAN MENGGUNAKAN DISTRIBUSI PARETO DENGAN TINGKAT BUNGA VASICEK. Reinhard Sianipar 1, Hasriati 2 ABSTRACT
CADANGAN ASURANSI PENDIDIKAN MENGGUNAKAN DISTRIBUSI PARETO DENGAN TINGKAT BUNGA VASICEK Reinhard Sianipar, Hasriati 2 Mahasiswa Program Studi S Matematika 2 Dosen Jurusan Matematika Jurusan Matematika
Lebih terperinciDeteksi Pencilan dengan Pendekatan Bayesian pada Regresi Linear (Studi Kasus Hubungan Pengeluaran Rumah Tangga dengan PDRB di Jawa Barat Tahun 2013)
Deteksi Pencilan dengan Pendekatan Bayesian pada Regresi Linear (Studi Kasus Hubungan Pengeluaran Rumah Tangga dengan PDRB di Jawa Barat Tahun 2013) Dwiningrum Prihastiwi, Dadang Juandi, Nar Herrhyanto
Lebih terperinciBEBERAPA METODE PENDUGAAN JUMLAH KOMPONEN DALAM CAMPURAN SENYAWA KIMIA MURDAN ALFA SATYAWAN SEKOLAH PASCASARJANA INSTITUT PERTANIAN BOGOR BOGOR 2008
i BEBERAPA METODE PENDUGAAN JUMLAH KOMPONEN DALAM CAMPURAN SENYAWA KIMIA MURDAN ALFA SATYAWAN SEKOLAH PASCASARJANA INSTITUT PERTANIAN BOGOR BOGOR 2008 ii PERNYATAAN MENGENAI TESIS DAN SUMBER INFORMASI
Lebih terperinciBAB III PEMBAHASAN. A. Penentuan nilai suku bunga menggunakan metode Cox Ingersoll Ross
BAB III PEMBAHASAN A. Penentuan nilai suku bunga menggunakan metode Cox Ingersoll Ross Dalam perkembangan ekonomi, suku bunga konstan dianggap kurang efektif, maka diperlukannya model yang bisa memprediksi
Lebih terperinciESTIMASI PARAMETER UNTUK DISTRIBUSI HALF LOGISTIK. Jl. A. Yani Km. 36 Banjarbaru, Kalimantan Selatan
Jurnal Matematika Murni dan Terapan εpsilon Vol. 07, No.01, 201, Hal. 45 52 ESTIMASI PARAMETER UNTUK DISTRIBUSI HALF LOGISTIK Rizqi Elmuna Hidayah 1, Nur Salam 2 dan Dewi Sri Susanti 1,2, Program Studi
Lebih terperinciSKRIPSI ditulis dan diajukan untuk memenuhi sebagian persyaratan memperoleh gelar Sarjana Sains Matematika
MODEL REGRESI SEMIPARAMETRIK SPLINE DAN PENERAPANNYA PADA FAKTOR YANG MEMENGARUHI KEPADATAN PENDUDUK DI JAWA TENGAH oleh YOHANI DEVI SUMANTARI M0112095 SKRIPSI ditulis dan diajukan untuk memenuhi sebagian
Lebih terperinciANALISIS PERIODE ULANG DAN AKTIVITAS KEGEMPAAN PADA DAERAH SUMATERA BARAT DAN SEKITARNYA
ANALISIS PERIODE ULANG DAN AKTIVITAS KEGEMPAAN PADA DAERAH SUMATERA BARAT DAN SEKITARNYA Arif Budiman 1, Riva Nandia 1, dan Moh. Taufik Gunawan 2 1 Laboratorium Fisika Bumi Jurusan Fisika Fakultas Matematika
Lebih terperinciE-Jurnal Matematika Vol. 2, No.3, Agustus 2013, ISSN:
E-Jurnal Matematika Vol. 2, No.3, Agustus 2013, 40-45 ISSN: 2303-1751 ANALISIS FAKTOR-FAKTOR YANG MEMENGARUHI WAKTU KELULUSAN MAHASISWA DENGAN MENGGUNAKAN METODE GOMPIT (Studi Kasus: Mahasiswa Fakultas
Lebih terperinciBAB 1 PENDAHULUAN. 1.1 Latar Belakang
BAB 1 PENDAHULUAN 1.1 Latar Belakang Distribusi eksponensial tergenaralisir (Generalized Eponential Distribution) pertama kali diperkenalkan oleh Gupta dan Kundu pada tahun 1999. Distribusi ini diambil
Lebih terperinciPERBANDINGAN TINGKAT EFISIENSI ANTARA METODE KUADRAT TERKECIL DENGAN METODE MINIMUM COVARIANCE DETERMINANT
PERBANDINGAN TINGKAT EFISIENSI ANTARA METODE KUADRAT TERKECIL DENGAN METODE MINIMUM COVARIANCE DETERMINANT PADA ESTIMASI PARAMETER MODEL REGRESI PRODUKSI JAGUNG DI JAWA TENGAH oleh KARINA PUTRIANI M0110047
Lebih terperinci: Analisis Diskriminan pada Klasifikasi Desa di Kabupaten. Tabanan Menggunakan Metode K-Fold Cross Validation. 2. I Gusti Ayu Made Srinadi, S.Si, M.
Judul : Analisis Diskriminan pada Klasifikasi Desa di Kabupaten Tabanan Menggunakan Metode K-Fold Cross Validation Nama : Ida Ayu Made Supartini Pembimbing : 1. Ir. I Komang Gde Sukarsa, M.Si 2. I Gusti
Lebih terperinciPERBANDINGAN RAMALAN MODEL TARCH DAN EGARCH PADA NILAI TUKAR KURS EURO TERHADAP RUPIAH
PERBANDINGAN RAMALAN MODEL TARCH DAN EGARCH PADA NILAI TUKAR KURS EURO TERHADAP RUPIAH Oleh RETNO HESTININGTYAS M0106061 SKRIPSI ditulis dan diajukan untuk memenuhi sebagian persyaratan memperoleh gelar
Lebih terperinciBAB 1 PENDAHULUAN. Statistika adalah suatu ilmu yang mempelajari data, mulai dari
BAB 1 PENDAHULUAN 1.1 Latar Belakang Masalah Statistika adalah suatu ilmu yang mempelajari data, mulai dari mengumpulkan, menganalisis, menginterpretasi, hingga menyajikan data. Salah satu metode statistika
Lebih terperinci